2013届高三数学一轮复习课时作业58 二项式定理A 新人教A版 理
高考数学人教版a版一轮配套题库10-3二项式定理(理)
第三节 二项式定理(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·江西卷)(x 2－2x 3)5展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－40解析 由二项式定理展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r(－2x3)r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2，故常数项为C 25(－2)2＝40.故选C.答案 C2．(2013·陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －1x )6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 x >0时，f (x )＝－x <0，故f [f (x )]＝f (－x )＝(1x－x )6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3，令r －3＝0，得r ＝3时，常数项为T 4＝C 36(－1)3＝－20.故选A.答案 A3．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1解析 依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫12－115＝0.答案 C4．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析 T r ＋1＝C r 24(x )24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r24x 12－5r 6，故当r ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．答案 C5．若(2＋x )10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．20D ．5 120解析 (2＋x )10＝[1＋(1＋x )]10＝1＋C 110(1＋x )＋C 210(1＋x )2＋…＋C 1010(1＋x )10，∴a 9＝C 910＝C 110＝10.答案 B6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析a ＝C m 2m ＝2m (2m －1)…(m ＋1)m ！，b ＝C m 2m ＋1＝(2m ＋1)·2m …(m ＋2)m ！.又13a ＝7b ，∴13(m ＋1)＝7(2m ＋1)，∴m ＝6. 答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·安徽卷)若(x ＋a 3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a＝________.解析 设展开式第r ＋1项为x 4项，则展开式的通项可得T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ；令8－43r ＝4，得r ＝3，∴C 38a 3＝7，a ＝12. 答案 128．(2013·四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)解析T r ＋1＝C r 5x5－r y r，⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2，r ＝3，∴r ＝3.∴x 2y 3的系数为C 35＝10. 答案 109．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，那么⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中的常数项为________．解析 由题意知，2＋22＋23＋…＋2n ＝126，所以n ＝6. 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 636－rx 6－r 2·(－1)r x －r 2＝(－1)r C r 6·36－rx 6－2r 2. 令6－2r ＝0，得r ＝3.故常数项为－540. 答案 －540三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解 (1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0. ∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1241x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x 4－34r (r ＝0,1,2，…，8)，∴第三项的二项式系数为C 28＝28.第三项系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.(3)令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.11．已知(a 2＋1)n展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解 由⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得， T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝(165)5－r ·C r 5·令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0.∴r ＝4. ∴常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ， 由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54.∴a ＝±3.12．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解 (1)方法1：(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，(x －1)5展开式的通项公式为C r 5·(－1)r ·x 5－r(0≤r ≤5)． (x －2)5展开式的通项公式为C s 5·(－2)s ·x 5－s (0≤s ≤5)， 所以(x 2－3x ＋2)5展开式的通项公式为C r 5·C s 5·(－1)r ＋s ·2s ·x 10－r －s ， 令r ＋s ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，s ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，s ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，s ＝3.所以展开式中x 2的系数为C 35C 5525＋C 45C 4524＋C 55C 3523＝800，即a 2＝800.方法2：(x 2－3x ＋2)5的本质是5个x 2－3x ＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C15·24＝80；②5个x2－3x＋2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C25·(－3)2·23＝720.∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800.(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…a10＝f(1)＝0，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.。
高考数学一轮复习讲解与练习 9.3二项式定理理 新人教A版.pdf
[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.能利用计数原理证明二项式定理． 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.一般不考查用计数原理证明二项式定理．2.求二项展开式中某项的系数和特定项是高考的热点，考查形式为选择题和填空题，难度不大，属中低档题，如2012年广东T10，福建T11等. [归纳·知识整合] 1．二项式定理 二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(nN*)二项式系数二项展开式中各项系数C(r＝0,1，…，n)二项式通项Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项[探究] 1.二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？ 提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换． 2．二项式系数的性质 [探究] 2.二项式(x＋y)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？ 提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为－1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定． [自测·牛刀小试] 1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是( ) A．C B．C C．C D．(－1)r－1C 解析：选D 本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(－1)r－1C. 2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展开式中x2的系数是( ) A．42 B．35 C．28 D．21 解析：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C×15＝21. 3．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( ) A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 解析：选C 由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38. 4．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________． 解析：由题意得即 解得<x<. 答案：<x< 5．若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n的值为________． 解析：由已知等式，可得 C＋3C＋32C＋…＋3nC＝256. 即(1＋3)n＝256，解得n＝4. 答案：4 求二项展开式中特定项或特定项系数 [例1] (1)(2012·上海高考)在6的二项展开式中，常数项等于________． (2)(2012·广东高考)6的展开式中x3的系数为________(用数字作答)． (3)(2012·福建高考)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________. [自主解答] (1)由通项公式得Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4项为常数项，T4＝(－2)3C＝－160. (2)由6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝20. (3)(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Ca4－rxr，令r＝3，得含x3的系数为Ca，故Ca＝8，解得a＝2. [答案] (1)－160 (2)20 (3)2 ——————————————————— 求特定项的步骤 (1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指定项(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且r≤n)； (2)根据所求项的指数特征求所要求解的项． 1．(2012·泰安模拟)若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( ) A．6 B．10 C．12 D．15 解析：选C Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx， 当r＝4时，＝0，又nN*， 所以n＝12. 2．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________． 解析：6的展开式的通项为 Tr＋1＝C(－1)rx6－2r， 当r＝3时，T4＝－C＝－20，当r＝4时，T5＝Cx－2＝15x－2，因此常数项为－20＋15＝－5. 答案：－5 二项式系数和或各项的系数和 [例2] 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a2＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. [自主解答] (1)(2－x)100展开式中的常数项为C·2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100. (2)令x＝1， 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100， 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1， 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100， ①－可得 a1＋a3＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10 0)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1. ——————————————————— 赋值法在求解二项式各项系数和有关问题中的应用 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和时常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 3．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(xR)，则＋＋…＋的值为( ) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：选C 令x＝0得a0＝1，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－a0＝－1. 4．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________． 解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10. 答案：10 二项展开式系数最大项的问题 [例3] 求二项式8的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数最大的项和系数最小的项． [自主解答] (1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项， 所求项为T4＋1＝C()44＝. (2)先求系数绝对值最大的项，设第r＋1项的系数的绝对值最大，则即 解得5≤r≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大． 由于第6项的系数为负，第7项的系数为正， 所以第7项是系数最大的项， 这一项为T6＋1＝C()2·6＝1 792x－11； 第6项是系数最小的项， 这一项为T5＋1＝C()3·5＝－1 792x－. ——————————————————— 运用二项式定理时的两个注意点 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异： (1)二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关； (2)项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关． 5．如果n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是( ) A．0 B．256 C．64 D. 解析：选D 法一：由已知得即5<n0， ＝. 令f(r)≥f(r－1)，则≥1，则r≤k＋(等号不成立)． 当r＝1,2，…，k时，f(r)>f(r－1)成立． 反之，当r＝k＋1，k＋2，…，2k时，f(r)<f(r－1)成立． f(k)＝C最大， 即(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大． 1．若n的展开式中的第5项为常数，则n＝( ) A．8 B．10 C．12 D．15 解析：选C T4＋1＝C()n－44＝C24x为常数，＝0，n＝12. 2．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy1，即x的取值范围是(1，＋∞)． 3．9192除以100的余数是________． 解析：9192＝(90＋1)92 ＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C ＝M×102＋92×90＋1(M为整数)＝100M＋82×100＋81. 9192除以100的余数是81. 答案：81 4．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数是19(m，nN*)． (1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值； (2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m，n，求f(x)展开式中x7的系数． 解：(1)由题意知C＋C＝19， 即m＋n＝19，所以m＝19－n. x2的系数为C＋C＝C＋C＝(19－n)(18－n)＋ n(n－1)＝n2－19n＋171＝2＋， n∈N*，当n＝9或n＝10时，x2的系数取最小值2＋＝81. (2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时， x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.。
高考数学一轮复习 11-3 二项式定理 新人教A版
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课堂总结
规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类 问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式
系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，
如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根 据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加 法计数原理讨论求解．
精品课件
课堂总结
【训练1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋ x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝
()
A．－4
B．－3
C(2．)(－20124·湖南卷)12x－2yD5．的－展1开式中 x2y3 的系数是(
)
A．－20
B．－5
C．5
D．20
精品课件
课堂总结
解析 (1)由二项式定理得(1＋x)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝ Cr5·xr，所以当 r＝2 时，(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数 为 C52，当 r＝1 时，x2 的系数为 C15·a，所以 C25＋C51·a＝5， a＝－1，故选 D. (2)展开式的通项为 Tk＋1＝Ck512x5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Ck5 x5－k·yk，令 5－k＝2，得 k＝3.则展开式中的 x2y3 的系数为(－ 1)3·22×3－5C53＝－20，故选 A.
精彩 (×)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两×
项．
(
)
√
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无×
关．
()
(4)(a＋b)2n中系数最大的精品项课件是第n项．
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案二项式定理1
第三节 二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点一 二项式定理 1．定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫作二项式定理． 2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项．(2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中常数项为________． 解析：由题意可知常数项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎫－1x 4＝60. 答案：602.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项． 答案：3知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．2．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k<n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n 是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和⎭⎫第n＋12＋1项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n3.各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在T k＋1＝C k n a n－k b k中，C k n就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；T k＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，T k＋1＝C k n2n－k·3k x n－k y k，其中C k n2n－k3k就是T k ＋1项的系数．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.答案：－404．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋(2n＋1)C n n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系数问题|1．(2016·海淀模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.答案：353．若⎝⎛⎭⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝⎛⎭⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫1x n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝2×(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. [解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10， 通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ， 所以r ＝2时，常数项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题． 3．三项展开式中的特定项(系数)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x ＝±1，可求得奇数项与偶数项系数之和．[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.②故(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. [跟踪练习] 若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( ) A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r ， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r3， 令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎫x －12x 6的展开式中常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常数项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－14r x －r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。
高考数学一轮复习专题十计数原理2二项式定理综合篇课件新人教A版
考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和 例2 (1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的 二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 ( )
A.-960 B.960
C.1 120 D.1 680
(2)若
x2
1 x
n
的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
第
n 2
1项 的二项式系数最大,即最
n
大的二项式系数为④
C
2 n
.
当n是奇数时,二项展开式的中间两项
第
n
2
1项和第
n
2
3
项
的二项式系
n1
n1
数相等且最大,即最大的二项式系数为⑤ Cn2 和⑥ Cn2 .
(3)二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即⑦
C0n
+
C1n
解析 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9. (1)二项式系数之和为 C90+ C19+ C92+…+ C99=29. (2)令x=1,y=1得各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1. (3)令x=1,y=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=59,
(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为 1 [g(1)+g(-1)],
2
(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为 1 [g(1)-g(-1)].
人教A版高三数学(理科)一轮复习第10章第3节二项式定理教案
第三节二项式定理[考纲传真](教师用书独具)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(对应学生用书第173页)[基础知识填充]1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质与(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当a ，b 中包含数字时，系数最大的项不一定为中间一项或中间两项．(3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( ) A ．240 B ．60 C ．192D ．180A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r＝26－r C r 6x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，所以常数项为26－2C 26＝16×6×52×1＝240.] 3．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45A [由题意得a 8＝C 81022(－1)8＝180.]4．(2017·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.4 [(1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r .令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.]5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是________，各项系数之和为________．(用数字作答)10 243 [x 2的系数为C 15×2＝10；令x ＝1，得各项系数之和为(1＋2)5＝243.](对应学生用书第173页)◎角度1 求展开式中的某一项(2018·合肥二测)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －14的展开式中，常数项为________．－5 [由题知，二项式展开式为C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4·(－1)0＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 3·(－1)＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2·(－1)2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ·(－1)3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 0·(－1)4，则常数项为C 04·C 24－C 24·C 12＋C 44＝6－12＋1＝－5.]◎角度2 求展开式中的项的系数或二项式系数(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35C [对于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6，若要得到x 2项，可以在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2中选取1，此时(1＋x )6中要选取含x 2的项，则系数为C 26；当在⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2中选取1x 2时，(1＋x )6中要选取含x 4的项，即系数为C 46，所以，展开式中x 2项的系数为C 26＋C 46＝30，故选C ．] ◎角度3 由已知条件求n 的值或参数的值(2018·云南二检)在(x －2－1x )n 的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [由题意，得C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－7，解得n ＝8，故选B ．] [规律方法] 求二项展开式中的特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k 的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0，1，2，…，n ).(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.(4)求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80(2)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) 【导学号：97190351】A ．－7B ．7C ．－28D ．28(3)(2018·西宁检测(一))若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x n的展开式中，二项式系数和为64，所有项的系数和为729，则a 的值为________．(1)C (2)B (3)－4或2 [(1)因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C ．(2)由题意知n 2＋1＝5，解得n ＝8，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝(－1)k 2k －8C k8x 8－43k.令8－4k3＝0得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.(3)由二项式系数和为64得2n ＝64，解得n ＝6.令x ＝1，得所有项的系数和为(1＋a )6＝729，解得a ＝2或a ＝－4.](1)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29(2)(2015·全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.(1)D (2)3 [(1)∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.从而C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.(2)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5. ①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5. ②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.] [规律方法] 赋值法的应用(1)对形如(ax ＋b )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 展开式中各项的系数的和为g (1)，(a ＋bx )n 展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]， (a ＋bx )n 展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．[跟踪训练] (1)(2018·合肥一检)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6展开式所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64(2)(2018·杭州质检)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；展开式中的常数项是________．(1)D (2)6 240 [(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，则(ax ＋b )6＝(x －3)6，令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D ．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n的展开式中所有二次项系数和为64，得2n ＝64，n ＝6，则展开式第r ＋1项是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r＝C r 6·26－r ×(－1)r x 6－3r ，当r ＝2时为常数项，则常数项是C 26×24×(－1)2＝15×16＝240.](1)(2017·豫东名校模拟)设复数x ＝2i1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋I D ．－1－i(2)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 (1)C (2)D [(1)x ＝2i 1－i＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝－1＋i. (2)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋ C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a 能被13整除，∴C 20122012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除． 因此a 可取值12.][规律方法] 1.逆用二项式定理的关键根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.2.利用二项式定理解决整除问题的思路(1)观察除式与被除式间的关系.(2)将被除式拆成二项式.(3)余数是非负整数.(4)结合二项式定理得出结论.[跟踪训练] 1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)【导学号：97190352】1.172[1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.]。
高三数学第一轮复习课时作业(59)二项式定理B
课时作业(五十九)B 第59讲 二项式定理时间：35分钟 分值：80分基础热身1．若二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( )A ．－27C 39B ．27C 39C ．－9C 49D ．9C 492．二项式⎝⎛x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．10B ．3C ．7D ．53．若(1－x )n ＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋x n(n ∈N ＋)，且a 1∶a 3＝1∶7，则a 5等于( ) A ．56 B ．－56 C ．35 D ．－354．设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 能力提升5．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n中，若2a 2＋a n －5＝0，则自然数n 的值是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．106．若(1－2x )2013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2013x2013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201322013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－27．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6展开式的常数项是( )A ．160B ．20C ．－20D ．－1608.⎠⎛0x(1－t)3d t 的展开式中x 的系数是( )A ．－1B ．1C ．－4D ．49．2012·皖南八校一联 设x 6＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5＋a 6(x －1)6，则a 3＝________.10．2011·山西大学附中月考 (1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．11．2011·哈三中模拟 若已知(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则a 0＋3a 1＋5a 2＋7a 3＋9a 4＋11a 5的值为________．12．(13分)设f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋x)n 的展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)对f (x )展开式中x 2的系数取最小值时的m ，n ，求f (x )展开式中x 7的系数．难点突破13．(12分)设f n(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n，其中a1，a2，a3，…，a n是整数，若f n(2)和f n(3)都能被6整除，求证：f n(5)也能被6整除．课时作业(五十九)B【基础热身】1．B 解析 各项系数之和为(3－1)n ＝2n ＝512，故n ＝9，展开式的通项是T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ×39－r C r 9x18－3r.令18－3r ＝0，则r ＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×C 69＝27C 39.2．D 解析 展开式的通项公式是T r ＋1＝C r n x 3n －3r x －2r ＝C r n x 3n －5r ，若二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则3n －5r ＝0，即n ＝5r3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，此时n 的最小值是5. 3．B 解析 a 1＝－C 1n ，a 3＝－C 3n ，由a 1∶a 3＝1∶7，得n ＝8，故a 5＝－C 58＝－56.4．B 解析 由M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5×1－11n＝4n ，N ＝2n ，所以M －N ＝4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4， T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r·x 4－3r 2，由4－3r 2＝1⇒r ＝2，则x 的系数为(－1)2C 24·52＝150，选B. 【能力提升】5．B 解析 ∵a 2＝C 2n ，a n －5＝C n －5n (－1)n －5.∴2C 2n ＝C n －5n (－1)n －4，逐一代入检验，可知选B.6．C 解析 令x ＝0得a 0＝1，令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201322013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 201322013＝－a 0＝－1. 7．D 解析 a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)⎪⎪π＝2，所以二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6(2x)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6·26－r·(－1)r x3－r，当r ＝3时，即第四项是二项展开式的常数项，该项的值是－23C 36＝－160.正确选项为D .8．B 解析 ⎠⎛0x(1－t)3d t ＝⎣⎡⎦⎤－(1－t)44⎪⎪x0＝－(1－x)44＋14，故这个展开式中x 的系数是－C 14(－1)4＝1.9．20 解析 x 6＝1＋(x －1)6，故a 3＝C 36＝20.10．－5 解析 ⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46x －2＝15x －2，因此常数项为－20＋15＝－5.11．－807 解析 (2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，即(1－2x)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6.求出各个系数值进行计算． a 0＝1，a 1＝－12，a 2＝60，a 3＝－160，a 4＝240，a 5＝－192. 所以a 0＋3a 1＋5a 2＋7a 3＋9a 4＋11a 5＝－807.12．解答 (1)由题意知C 1m ＋C 1n ＝19， ∴m ＋n ＝19，∴m ＝19－n.x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝12(19－n)(18－n)＋12n(n －1)＝n 2－19n ＋171＝⎝⎛⎭⎫n －1922＋3234，∵n ∈N *，∴当n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值⎝⎛⎭⎫122＋3234＝81.(2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时， x 7的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156. 【难点突破】13．解答 证明：∵f n (2)＝2a 1＋22a 2＋23a 3＋ (2)a n ，f n (3)＝3a 1＋32a 2＋33a 3＋ (3)a n .∴f n (5)＝f n (2＋3)＝(2＋3)a 1＋(2＋3)2a 2＋(2＋3)3a 3＋…＋(2＋3)na n ＝f n (2)＋f n (3)＋6M ，其中M ＝C 12a 2＋(C 13·2＋C 23·3)a 3＋…＋(C 1n ·2n －2＋…＋C n －1n ·3n －2)a n . ∵f n (2)，f n (3)，6M 均能被6整除， ∴f n (5)也能被6整除．。
高考数学一轮复习 第11章《二项式定理》名师首选学案 新人教A版
学案62 二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)，这个公式叫做__________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数__________(r ＝____________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的____________________叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项为展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝____________________________.2．二项式系数的性质(1)C m n ＝C n －mn ；(2)C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1；(3)当r <n －12时，______________________；当r >n －12时，C r ＋1n <C rn ；(4)当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数______________________________、__________________________相等，且同时取得最大值；(5)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______.自我检测1． (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于________．2． (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．3． ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______． 4．若(x －a x2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．5．已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______．(用数字作答)探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1 在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n·2n－1；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．变式迁移2 求C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n的值．探究点三求系数最大项例3 已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．变式迁移 3 (1)在(x ＋y )n的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于________．(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而第r ＋1项的系数为C r n a n －r b r.2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C r n a n －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项．3．在(a ＋b )n 的展开式中，令a ＝b ＝1，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ；令a ＝1，b ＝－1，得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＝0，∴C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n 不是很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有________项． 2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．4．如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________． 5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．6． (x －13x )18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)7． (x －12x )6的展开式中的常数项为________．8.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210的展开式中的常数项是________．二、解答题(共42分)9．(14分)(1)设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. ①求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； ②求a 0＋a 2＋a 4； ③求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．10．(14分)利用二项式定理证明对一切n ∈N *，都有2≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.11．(14分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案62 二项式定理答案自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C r n 0,1,2，…，n ④C r n a n －r b rC r n an －r b r2.(3)C r n <C r ＋1n (4)C n 2n C n ＋12n C n －12n(5)2n2n －1自我检测 1．40解析 (1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r ，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.2．15解析 设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15.3．－160x4．4 解析 (x －a x2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r(－1)r ·(a )r ·x－2r＝C r 6x6－3r(－1)r·(a )r.令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.5．－52解析 n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－52.课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n a n －r b r 是(a ＋b )n的展开式的第r ＋1项，而不是第r项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C rn ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x －r 3 ＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x n －2r 3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2. 变式迁移1 6 解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x 20－r·(43y )r＝C r20·x20－r·y r·3r4.由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C k n ＝C n －kn ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C nn ， ①∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ， ②①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝n ·2n.∴S ＝n ·2n －1.原式得证．方法二 ∵k n C k n ＝k n ·n ！k ！n －k ！＝n －1！k －1！n －k ！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1.∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1＝右边．(2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1 ＝89－1＝(9－1)9－1 ＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n.令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n2n ＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n ＝22n 2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为 f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n－32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫x 233(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫x 232(3x 2)3＝270x 223. (2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r )．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－r ！r ！×3≥5！6－r ！r －1！，5！5－r ！r ！≥5！4－r ！r ＋1！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. 故展开式中系数最大的项为T 5＝405x 263.变式迁移3 11,12,13(1)解析 分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13.(2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10. 课后练习区1．5 2.－2 3.7 4.21 5．－121解析 (1－x )5中x 3的系数为－C 35＝－10，(1－x )6中x 3的系数为－C 36＝－20，(1－x )7中x 3的系数为－C 37＝－35，(1－x )8中x 3的系数为－C 38＝－56.所以原式中x 3的系数为－10－20－35－56＝－121.6．17解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r (－13x)r ＝(－1)r (13)r C r18x 18－3r 2.令18－3r2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为(－1)2(13)2C 218＝17.7．－52解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ·x －r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6·x 6－2r， 令6－2r ＝0，得r ＝3.∴常数项为T 3＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 36＝－52.8．4 351解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1x 210＝C 010(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2＋C 210(1＋x )81x 4＋C 310(1＋x )71x 6＋C 410(1＋x )61x8＋…，从第五项C 410(1＋x )61x8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C 010×C 010，C 110×C 29，C 210×C 48，C 310×C 67.故原三项展开式中常数项为 C 010C 010＋C 110C 29＋C 210C 48＋C 310C 67＝4 351. 9．解 (1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16. (3分) ②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16， 两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. (6分)③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0＝16－1＝15. (9分)(2)证明 ∵32n ＋2－8n －9＝32·32n－8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n－8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9(12分)＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9＝9×82×(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]， 显然括号内是正整数，∴原式能被64整除． (14分)10．证明 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋C 3n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3＋…＋C nn ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＝1＋1＋12！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋13！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋1n ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n …⎝ ⎛⎭⎪⎫1n . (4分) 所以2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<2＋12！＋13！＋…＋1n ！ (7分)<2＋11·2＋12·3＋…＋1n －1n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝3－1n<3， (10分)仅当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2；(12分)当n ≥2时，2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<3.故对一切n ∈N *，都有2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.(14分) 11．解 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·－24C 2n ·－22＝101， 化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (2分)(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (4分)(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝C r 8·(－2)r·x 8－r 2－2r ，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1.故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32. (8分)(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r， 解得5≤r ≤6. (12分) 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大．此时T5＝1 120x－6.(14分)。
高三数学一轮复习 10.3 二项式定理课时训练解析 新人教A版
第十章 第三节 二项式定理(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2011·南昌模拟)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5解析：∵C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x )n－1， 代入验证选项可得答案C. 答案：C2．在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5D ．25解析：因为(x －1)5中含x 4，x 3，x 2项分别为－C 15x 4，C 25x 3，－C 35x 2，所以含x 4项系数为－C 15＋C 25－C 35＝－5.答案：B3．(2011·海南五校联考)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8，易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7.答案：C 4. 若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－1.5．(1＋ax ＋by )n展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2.答案：D6．(2011·湖南六校联考)已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1＝( )A ．9B ．－10C ．11D ．－12解析：作出y ＝a |x |(x >0)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．在(3x －1x)6的展开式中，x 的指数是整数的项共有________项．解析：因为T r ＋1＝C r6(3x )6－r(－1x)r ＝C r 6(－1)r423r x-，43r 为整数时，r 可以取0,3,6，所以展开式中x 的指数是整数的项共有3项．答案：38．(2010·安徽高考)(x y －y x)6的展开式中，x 3的系数等于________． 解析：(x y －y x )6的通项为T r ＋1＝C r6(x y )6－r (－y x)r ＝C r6(－1)r362r x-332r y-，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 26(－1)2＝15.9．已知函数f (x )＝(1－1x )9，则f ′(x )中1x的系数为________．解析：由函数f (x )＝(1－1x )9，得f ′(x )＝9(1－1x )8×(1－1x )′＝9(1－1x )8·1x2，因为(1－1x )8的二项展开式的通项T r ＋1＝C r8(－1x )r ，T 2＝C 18(－1x )1＝－8x ，所以f ′(x )中1x3的系数为－72. 答案：－72三、解答题(共3小题，满分35分)10．(2011·济南模拟)若(x 2－1ax )9(a ∈R)的展开式中x 9的系数是－212，求0a ⎰sin x d x 的值．解：由题意得T r ＋1＝C r9(x 2)9－r(－1)r (1ax)r＝(－1)r C r 9x18－3r1ar，令18－3r ＝9得r ＝3，所以－C 391a3 ＝－212，解得a ＝2，所以20⎰sin x d x ＝(－cos x )2＝－cos2＋cos0＝1－cos2. 11．已知(x －2x2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32x 的项．解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2， 则有C 4n－4C 2n－2＝101， 化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式T r ＋1＝C r8·(x )8－r·(－2x2)r＝C r8·(－2)r·822rr x --，(r ＝0,1，…，8)，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1，故展开式中含32x 的项为T 2＝－1632x .12．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为f (1)＝(1＋3)n＝4n， 展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知4n－2n＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T 3＝C 25(23x )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(23x )2(3x 2)3＝270223x.(2)展开式通项为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r ) 2(52)3r x +．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－r ！r ！×3≥5！6－r ！r －1！，5！5－r ！r ！≥5！4－r ！r ＋1！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405263x.。
高考数学一轮复习 课时作业58 二项式定理 理-人教版高三全册数学试题
课时作业58 二项式定理[基础达标]一、选择题1．[2020·某某某某检测]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，x 2的系数为( )A.154 B ．－154C.38 D ．－38 解析：⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 622r －6x 3－r，令r ＝1，可得x 2的系数为(－1)1×C 16×22×1－6＝－38.故选D. 答案：D2．[2020·某某某某三中测评]⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项的二项式系数为( )A ．70 B.358C.354D ．105 解析：T r ＋1＝＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 4－r，当4－r ＝0，即r ＝4时，所得项为常数项，所以常数项的二项式系数为C 48＝70，故选A.答案：A3．[2020·某某某某检测](1－2x )5(2＋x )的展开式中，x 3的系数是( ) A ．－160 B ．－120 C ．40 D ．200解析：(1－2x )5(2＋x )的展开式中x 3的系数是(1－2x )5的展开式中x 3的系数的2倍与(1－2x )5的展开式中x 2的系数的和，易知(1－2x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－2)r C r 5x r，令r ＝3，得x 3的系数为－8C 35＝－80，令r ＝2，得x 2的系数为4C 25＝40，所以(1－2x )5(2＋x )的展开式中x 3的系数是－80×2＋40＝－120.故选B.答案：B4．[2020·某某重点中学协作体联考](1＋x －x 2)10展开式中x 3的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．210解析：(1＋x －x 2)10＝[1＋(x －x 2)]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x －x 2)r .(x －x 2)r的通项公式为T ′m ＋1＝C mr ·xr －m·(－x 2)m ＝(－1)m C m r xr ＋m，令r ＋m ＝3，根据0≤m ≤r ，r ∈N ，m ∈N ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，m ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，m ＝0，∴(1＋x －x 2)10展开式中x 3项的系数为－C 210C 12＋C 310C 03＝－90＋120＝30.故选B.答案：B5．[2020·某某八校联考]若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( )A ．－2B ．－3C ．125D ．－131解析：对于题中等式，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得－2＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－3.∵(1＋x )(1－2x )7＝(1＋x )·[C 07×17×(－2x )0＋C 17×16×(－2x )1＋…＋C 77×10×(－2x )7]，∴a 8＝C 77×10×(－2)7＝－128，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝125.故选C.答案：C6．[2020·某某某某检测](2x －y )(x ＋2y )5展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－40 B ．120 C ．160 D ．200解析：(2x －y )(x ＋2y )5展开式中x 3y 3的项为2x ·C 35x 2·(2y )3＋(－y )C 25·x 3·(2y )2＝160x 3y 3－40x 3y 3＝120x 3y 3，故展开式中x 3y 3的系数为120.故选B.答案：B7．[2020·某某某某十校联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－64解析：由(x ＋1)4＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]4＋[(x －1)－1]8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，得a 3·(x －1)3＝C 14·(x －1)3·2＋C 58·(x －1)3·(－1)5，∴a 3＝8－C 58＝－48.故选C.答案：C8．[2020·某某某某调研]“a >1”是“⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6x 4(a ∈R )的展开式中的常数项大于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 6x 4(a ∈R )的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4x 4－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6x k ＝C k 4x 4－2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6k，令4－2k ＝0，得k ＝2，所以展开式中的常数项为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 62＝6×a 26＝a 2，若展开式中的常数项大于1，则a 2>1，得a >1或a <－1，即“a >1”是“⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6x 4(a ∈R )的展开式中的常数项大于1”的充分不必要条件．故选A.答案：A9．[2020·某某区高考高效训练]若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝( )A.34(3n －1)B.34(3n－2) C.32(3n －2) D.32(3n－1) 解析：在等式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝31－3n1－3＝32(3n－1)．故选D. 答案：D10．[2020·某某某某联考]设命题p 1：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式共有4项；命题p 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式的常数项为24；命题p 3：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式中各项的二项式系数之和为16.那么，下列命题中为真命题的是( ) A ．綈p 2 B ．p 1∧p 2 C ．p 2∧p 3 D ．p 1∨(綈p 3)解析：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式共有5项，常数项为22C 24＝24，各项的二项式系数之和为24＝16，故p 1为假命题，p 2，p 3均为真命题，则p 2∧p 3为真命题．故选C.答案：C 二、填空题11．[2020·某某浦东新区检测]已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项的系数为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n n －12＝37，得n ＝8，故展开式中的第五项的系数为C 48×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝358.答案：35812．[2019·某某卷]在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：16 2 513．[2020·某某重点高中协作体联考]在(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )8的展开式中，x 2的系数是________．解析：由题意可知(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )8的各项中x 2的系数分别为C 2n ，3≤n ≤8，n ∈N ，所以(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 28＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 28－1＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 28－1＝C 35＋C 25＋…＋C 28－1＝…＝C 39－1＝83.答案：8314．[2020·某某彬州第一次教学质量监测]如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为256，则展开式中1x2的系数是________．解析：令x ＝1，可得各项系数之和为(3－1)n ＝256，求得n ＝8，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 28的通项公式是T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 8·38－r ·(－1)r·x 58-r 3，令8－53r ＝－2，解得r ＝6.故展开式中1x2的系数是C 68·32＝252.答案：252[能力挑战]15．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中第m 项为常数项，则m ，n 应满足( )A ．2n ＝3(m －1)B ．2n ＝3mC ．2n ＝3(m ＋1)D ．2n ＝m解析：由题意得，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C rn x3n-2r，当n ＝32r ，即2n ＝3r 时，为常数项，此时r ＝m －1，所以m ，n 应满足2n ＝3(m －1)，故选A.答案：A16．[2020·某某某某华侨学校检测]在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的指数是整数的项数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 24(x )24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r24x 512-6r，∴当r ＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项，故选D.答案：D17．(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________．解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6， 依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4，设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r －18·2r －1，C r8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6(∵r ∈{0,1,2，…，8})， ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. 答案：1 120x 41 792x 6。
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第59讲二项式定理备用例题
例1
2 1 2 2 2 n 2 n 证明：(C0 n) ＋(Cn) ＋(Cn) ＋…＋(Cn) ＝C2n.
第59讲 │ 备用例题
[解答] 证明：∵(1＋x)n· (1＋x)n＝(1＋x)2n，
1 2 2 r r n n 0 1 2 2 ∴(C0 ＋ C x ＋ C x ＋…＋ C x ＋…＋ C x )· (C ＋ C x ＋ C n n n n n n n nx r n n 2n ＋…＋Cr x ＋…＋ C x ) ＝ (1 ＋ x ) . n n 2n n 而 Cn 在 (1 ＋ x ) 的展开式中是 x 的系数， 2n
n－ 1 n－ 2 1 0 即 Sn＝Cn a ＋ C a ＋ C n n＋ 1 n n n an－1＋…＋Cna2＋Cna1.
两式相加得
1 2 n－ 1 2Sn ＝ C0 ( a ＋ a ) ＋ C ( a ＋ a ) ＋ C ( a ＋ a ) ＋…＋ C ＋ － n 1 n 1 n 2 n n 3 n 1 n
由多项式的恒等定理，得
－1 －2 1 2 n n C0 Cn Cn Cn C0 n· n＋Cn· n ＋Cn· n ＋…＋Cn· n＝C2n.
n ∵Cm ＝ C n n
－m
，0≤m≤n，
2 1 2 2 2 n 2 n ∴(C0 ) ＋ (C ) ＋ (C ) ＋…＋ (C ) ＝ C n n n n 2n.
第59讲 │ 二项式定理
第59讲
二项式定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第59讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例 1 是二项式定理证明组合恒等式，这是二项 式定理的重要应用之一，可以与探究点 4 补充使用；例 2 是经 过变换后使用二项式定理，可以作为能力训练题使用；例 3 是 倒序相加法，也是一个典型问题，可以作为方法类试题使用．
高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.3二项式定理课件 新人教A版
() B．－20 D．40
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[常规解法] 令 x＝1，由已知条件 1＋a＝2，则 a＝1.
2x－1x5
＝
C
Hale Waihona Puke 0 5(2x)5＋
C15
(2x)4
－1x
＋
C
25(2x)3·－1x
2
＋
C
3 5
(2x)2－1x3＋C45(2x)－1x4＋－1x5 ＝32x5－80x3＋80x－401x＋10×x13－x15.
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2．(1＋x3)x＋x126 展开式中的常数项为________． 解析：x＋x126 的通项公式为 Tr＋1＝Cr6x6－rx12r＝Cr6x6－3r，
(1＋x3)x＋x126 的展开式中的常数项由两部分组成：① 由 6－3r＝0，得 r＝2，C26＝15；②由 6－3r＝－3，得 r＝3，C36＝20.相加得 15＋20＝35.
[巧思妙解] 令 x＝1 得 1＋a＝2，∴a＝1. 又2x－1x5 的通项 Tr＋1＝Cr525－r(－1)r×x5－2r， 故分两类： (1)x＋1x的 x 与2x－1x5 展开式的1x相乘． (2)x＋1x的1x与2x－1x5 展开式的 x 相乘． 故令 5－2r＝－1 得 r＝3，令 5－2r＝1 得 r＝2. 从而常数项为 C35×22×(－1)3＋C25×23×(－1)2＝40.
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2．(1) (2012·天津(tiān jīn)质检)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2 ＋…
＋解a析12：x1令2，x则＝a21＋，a则4＋a…0＋＋aa11＋2＝a2_＋__…__＋___a.12＝36，令 x＝－ 1，则 a0－a1＋a2－…＋a12＝1， ∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝36＋2 1. 令 x＝0，则 a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝36＋2 1－1＝364.
山东省高考数学一轮复习 试题选编29 二项式定理 理 新人教A版
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理一、选择题1 ．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））若()()()()()()923112012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【 解析】令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-.令3x =,则01110a a a ++⋅⋅⋅+=,所以1110(5)5a a a +⋅⋅⋅+=-=--=,选C ．2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．—10C ．10D ．20【答案】C【解析】令1x =,可得各项系数和为5(1)(21)12a a +-=+=,所以1a =.所以555111()(21)()(21)()(12)ax x x x x x x x x+-=+-=-+-,5(12)x -的展开式的通项公式为155(2)(2)k k k k k k T C x x C +=-=-,当1k =时,125(2)10T C x x =-=-;所以展开式的常数项为1(10)10x x-⨯-=,选 C ．3 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++L ,则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++L L（ ）A ．201320133131+-B ．201320133131+--C ．201220123131+-D ．201220123131+--【答案】B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++=L ①, 令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-=L ②,由①②联立,可得2012420a a a a ++++Λ2013312+=,++31a a 52013a a ++L 2013132-=,从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++L L 20132013312132+=-201320133131+=--.4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若4(13)3(,)a b a b +=+为有理数,则a+b=（ ）A ．36B ．46C ．34D ．44【答案】D二项式的展开式为11223344441(3)(3)(3)(3)14318123928163C C C ++++=++++=+,所以28,16a b ==,281644a b +=+=,选 D ．5 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）二项式831()2x x-的展开式中常数项是 （ ）A ．28B ．-7C ．7D ．-28 【答案】C展开式的通项公式为48883188311()()()(1)22k k k k k k k k x T C C x x---+=-=-,由4803k -=得6k =,所以常数项为6866781()(1)72T C -=-=,选C ．6 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）51()(2)x a x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】 .A ．7 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）设0(cos sin )a x x dx π=⎰-,则二项式26()ax x+展开式中的3x 项的系数为 （ ）A ．-20B ．20C ．-160D ．160【答案】C 因为00(cos sin )(sin cos )2a x x dx x x ππ=⎰-=+=-,所以二项式为26262()()a x x x x+=-,所以展开式的通项公式为261231662()()(2)kk k k k k k T C x C x x--+=-=-,由1233k -=得3k =,所以333346(2)160T C x x =-=-,所以3x 项的系数为160-.选C ．8 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））设a=π0⎰sin x d x ,则二项式6a x x ⎛⎝的展开式的常数项是（ ）A ．160B ．-160C ．240D ．-240【答案】B【解析】由2)cos (sin 00=-=⎰ππx xdx ,所以2=a ,所以二项式为6)12(xx -,展开式的通项为22666661)1(2)1()2(k k kk k k k k k xxC xx C T ----+-=-=k k k k x C ---=366)1(2,所以当3=k ,为常数,此时160)1(23336-=-C ,选B ．9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ,则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为 （ ）A ．15B ．15-C ．30D ．30-【答案】A 因为函数()|2||4|f x x x =++-的最小值为4(2)6--=,即6n =.展开式的通项公式为6621661()(1)k k k k k k k T C x C x x--+=-=-,由622k -=,得2k =,所以222236(1)15T C x x =-=,即2x 项的系数为15,选A ．10．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（ ）A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-【答案】A11．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】C12．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）设22(13)40a x dx =-+⎰,则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是（ ）A ．160-B ．160C ．161D ．161-【答案】C13．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10,则实数a 等于 （ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2【答案】D14．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）若2012(3)n nn x a a x a x a x -=++++L ,其二项式系数的和为16,则012n a a a a ++++=L（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B 15．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）若()()()()()()923112012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-, 则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为 （ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【解析】令3x =,则有012110a a a a +++⋅⋅⋅+=,令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-,所以121105a a a a ++⋅⋅⋅+=-=,选C ．二、填空题16．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3=______________.【答案】8017．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若261()x ax-的二项展开式中3x 项的系数为52,则实数a =_______. 【答案】-218．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）若31()n x x-展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中3x 的系数为______. 【答案】84;19．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013滨州市一模)设6sin (a xdx,π=-⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】-160词 【解析】,3,2)1(,)12()1(,2|)cos (sin 36616600=∴-=-=-∴=-==--+⎰r x C T x x x x a x dx x a r r r r r Θππ所以常数项为-160.20．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）8(2x的展开式中,常数项为___________. 【答案】7展开式的通项公式为488831881()((1)()22k k k k k k k k x T C C x ---+==-,由4803k -=,解得6k =,所以常数项为226781(1)()72T C =-=.21．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若(x 2-n x)1的展开式中含x 的项为第6项,设(1-3x)n=a o +a 1x+a 2x 2++a n x n,则a l +a 2++a n 的值为_____________ 【答案】255展开式(x 2-n x)1的通项公式为22311()()(1)k n kk k k n k k n n T C x C x x--+=-=-,因为含x 的项为第6项,所以5,231k n k =-=,解得8n =,令1x =,得88018(13)2a a a +++=-=L ,又01a =,所以81821255a a ++=-=L .22．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）二项式)10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是____________.【答案】523．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）在62(x )x-的二项展开式中,常数项等于_______.【答案】 【答案】160- 展开式的通项公式为6621662()(2)k kk k k k k T C x C x x--+=-=-,由620k -=,得3k =,所以3346(2)160T C =-=-,即常数项为160-.24．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设dx x )12(20-⎰,则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为__________.___【答案】2425．（2011年高考（山东理））若6(x 展开式的常数项为60,则常数a 的值为_________.【答案】解析:62(x x-的展开式6162(k k k k T C x x-+=-636(kk C x -=,令630,2,k k -==226(1560,4C a a ===,答案应填:4.26．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）25(ax的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为 【答案】10【解析】因为展开式中各项系数的和为243,所以当1x =时,5(1)243a +=,解得2a =,展开式的通项公式为5102552155(2)2k kkk k kk T C x C x ---+==,由51002k -=,解得4k =,所以常数项为455210T C =⨯=.27．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项等于______(用数字作答).【答案】1215展开式的通项公式为666316621(3)()3kkk k k kk T C x C x x---+==,由630k -=得2k =,所以常数项为423631215T C ==.28．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________. 【答案】160-0sin =cos 2a xdx xππ=-=⎰,所以二项式的展开式为663166(((1)2k k kk k k k k T C C x ---+==-⋅⋅,由30k -=时,3k =,所以常数项为33346(1)2160T C =-⋅=-.29．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是_________.【答案】180。
(福建专用)高考数学一轮复习 课时规范练57 二项式定理 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题
课时规X练57 二项式定理一、基础巩固组1.(2017某某某某模拟)在(1+3x)n的展开式中,若x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为()A.21B.35C.45D.282.若+3+32+…+3n-2+3n-1=85,则n=()A.6B.5C.4D.33.设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.24.(2017某某某某一中质检一,理7)若a=sin x d x,则二项式展开式的常数项是()A.160B.20C.-20D.-1605.(x2-3)的展开式中的常数项是()A.-2B.2C.-3D.36.若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b等于()A.36B.46C.34D.447.(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为()A.7B.-7C.42D.-428.(2017某某会宁月考)1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87 〚导学号21500588〛9.(2017某某,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.10.(2017某某某某三模,理14)(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为.二、综合提升组11.(2017某某某某一模,理3)若(x2+m)的展开式中x4的系数为30,则m的值为()A.-B.C.-D.12.(2017某某某某二模,理8)若的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则d x=()A.0B.C.D.49π〚导学号21500589〛13.在(x+2y)7的展开式中,系数最大的项是()A.68y7B.112x3y4C.672x2y5D.1 344x2y514.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为()A.-40B.-20C.20D.4015.(2017某某重点校联考)在的展开式中,不含x的各项系数之和为.三、创新应用组16.若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9=()A.9B.10C.-9D.-10 〚导学号21500590〛17.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.〚导学号21500591〛课时规X练57二项式定理1.B∵T r+1=(3x)r=3r x r,由已知得35=36,即=3,∴n=7.因此,x4的二项式系数为=35,故选B.2.C+3+…+3n-2+3n-1=[(1+3)n-1]=85,解得n=4.3.B展开式的通项公式为T k+1=x2n-k(-1)k,令=0,得k=,∴n可取10.4.D∵a=sin x d x=-cos x=2,的展开式的通项为T r+1=(-1)r26-r x3-r.令3-r=0,得r=3.故展开式的常数项是-8=-160,故选D.5.B∵(x2-3)=(x2-3)·(x-10+x-8+x-6+x-4+x-2+),∴展开式的常数项是x2x-2-3=2.6.D(1+)4=1+)2+)3+()4=28+16,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.7.B将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为(-1)=-7.8.B1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1.∵前10项均能被88整除,∴余数是1.9.164由二项式展开式可得通项公式为x3-r x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.10.-6∵展开式中x2项为13(2x)012(-x)2+12(2x)113(-x)1+11(2x)214(-x)0,∴所求系数为2(-1)+22=6-24+12=-6.11.B的展开式的通项公式为T r+1=x6-r=(-2)r x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2项的系数为(-2)2=60,令6-2r=4,得r=1,所以x4项的系数为(-2)1=-12,所以(x2+m)的展开式中x4的系数为60-12m=30,解得m=,故选B.12.C由题意知展开式的通项公式为T r+1=(x3)n-r,因为展开式中含有常数项,所以3n-r=0有整数解,所以n的最小值为7.故定积分d x=13.C设第r+1项的系数最大,则有即解得∵r∈Z,∴r=5,∴系数最大的项为T6=x2·25y5=672x2y5.故选C.14.D在中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.原式=x,故常数项为x(2x)2(2x)3=-40+80=40.15.-1的展开式中不含x的项为(2x)0,令y=1,得各项系数之和为(3-4)9=-1.16.D x3+x10=x3+[(x+1)-1]10,题中a9只是[(x+1)-1]10的展开式中(x+1)9的系数,故a9=(-1)1=-10.17.120∵(1+x)6展开式的通项公式为x r,(1+y)4展开式的通项公式为y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h.∴f(m,n)=∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.。
高考数学一轮复习课后限时集训58二项式定理理含解析北师大版
A．6 B．－6 C．24D．－24
B[由 6＝C 6－C 5＋C 4＋…－C ＋C ，可知只有－C 5的展开式中含有x5，所以 6的展开式中含x5项的系数为－C C ＝－6，故选B．]
7．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝( )
4．在二项式 n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第4项为( )
A．7x6B．－7x C. x D．－ x7
B[由第5项的二项式系数最大可知n＝8，则 8的展开式的通项Tr＋1＝C ( )8－r· r＝ rC x ，则展开式的第4项为 3C x ＝－7x .]
5．(20xx·新余二模)在二项式 n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )
A．－1 B．1 C．27 D．－27
A[依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.]
2．已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．29B．210C．211D．212
A[由题意得C ＝C ，由组合数性质得
4. 15的展开式中系数最大的项为第________项．
6[设 15展开式的第r＋1项的系数最大，则 解得 ≤r≤ ，又r∈N*，则r＝5，即第6项的系数最大．]
A．284 B．356 C．364D．378
C[令x＝0，则a0＝1；
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36， ①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1， ②
①②两式左右分别相加，
最新人教A版理科数学一轮复习二项式定理A专题精选课时习题(含答案解析)
课时作业(五十八)A [第58讲 二项式定理][时间：35分钟 分值：80分] 基础热身1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋126地 展开式地 第3项地 值是( )A.332B.364C.1564D.5162.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 8地 展开式中常数项是( )A ．56B ．－56C ．70D ．－703． 若(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n(n ∈N *)，且a 1＋a 2＝21，则展开式地 各项中系数地 最大值为( )A ．15B ．20C ．56D ．704．若(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5(x －1)5，则a 0＝( )A ．32B ．1C ．－1D ．－32 能力提升5． 已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n地 展开式地 各项系数和为32，则展开式中含有x 项地 系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．106.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 2n展开式地 第6项系数最大，则其常数项为( )A ．120B ．252C ．210D ．457．已知n ∈N *，若对任意实数x 都有x n＝a 0＋a 1(x －n )＋a 2(x －n )2＋…＋a n (x －n )n，则a n －1地 值为( )A ．n 2B ．n nC.(n －1)n 32 D.(n －1)nn －128．若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．－9D ．－109．9910被1 000除地 余数是________． 10．(1－2x )5(1＋3x )4地 展开式中含x 2项地 系数是________．11． 若(cos φ＋x )5地 展开式中x 3地 系数为2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π2＝________.12．(13分)证明：当n ≥3时，2n>2n ＋1. 难点突破13．(12分)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 28地 展开式中：(1)二项式系数最大地 项；(2)系数最大地项和系数最小地项．课时作业(五十八)A【基础热身】1．C [解析] 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋126地 展开式地 第3项是C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1564.2．C [解析] 常数项是第5项，这个项是C48x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝70. 3．B [解析] 由a 1＋a 2＝21，得C 1n ＋C 2n ＝21⇒n ＝6，故各项中系数地 最大值为C 36＝20，选B.4．A [解析] 令x ＝1，得a 0＝32. 【能力提升】5．D [解析] 令x ＝1可得展开式中各项系数之和，求出n 值，再根据二项展开式地 通项公式求解．展开式地 各项系数之和等于2n＝32，解得n ＝5.二项式地 通项公式是T r ＋1＝C r 5x2(5－r )x －r＝C r 5x10－3r，当r ＝3时，含有x 项地 系数是C 35＝10.6．C [解析] 根据二项式系数地 性质，得2n＝10，故二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 2n地 展开式地 通项公式是T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r10x 5－r 2－r 3，根据题意5－r 2－r3＝0，解得r ＝6，故所求地 常数项等于C 610＝C 410＝210.正确选项为C.7．A [解析] x n＝[n ＋(x －n )]n，根据二项式通项公式得a n －1＝Cn －1nn ＝n 2.正确选项为A.8．D [解析] a 9与x 2无关，变换x 10＝[－1＋(x ＋1)]10得，a 9＝C 910(－1)1＝－10.9．1 [解析] 9910＝(100－1)10＝C 01010010－…＋C 8101002－C 910100＋1，展开式中除最后一项都能被 1 000整除，故所求地 余数为1.10．－26 [解析] C 24·32＋C 14·3·C 15(－2)＋C 25(－2)2＝－26.11．－35[解析] 由二项式定理得，x 3地 系数为C 35cos 2φ＝2，∴cos 2φ＝15，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π2＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35.12．[解答] 证明：2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋…＋Cn －1n＋1，因为n ≥3，所以展开式中至少有四项，保留第一、二和倒数第二项，故有2n＝(1＋1)n＝1＋C 1n ＋…＋Cn －1n＋1>1＋C 1n ＋Cn －1n＝2n ＋1.【难点突破】13．[解答] (1)二项式系数最大地 项即展开式地 中间项，也即第5项，所求项为T 4＋1＝C48(x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 24＝1 120x 6.(2)先求系数绝对值最大地 项，设第r ＋1项地系数地 绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥19－r ，18－r ≥2r ＋1，∴5≤r ≤6，即第6项和第7项地 系数绝对值最大．由于第6项地 系数为负，第7项地 系数为正， ∴第7项是系数最大地 项，这一项为T 6＋1＝C 68(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 26＝1 792x －11； 第6项是系数最小地 项，这一项为T 5＋1＝C 58(x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 25＝－1 792x －172.。
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课时作业(五十八)A [第58讲 二项式定理]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋126
的展开式的第3项的值是( )
A.332
B.364
C.1564
D.516 2.⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 8
的展开式中常数项是( ) A ．56 B ．－56 C ．70 D ．－70
3．[2011·揭阳质检] 若(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *
)，且a 1＋a 2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为( )
A ．15
B ．20
C ．56
D ．70
4．若(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5(x －1)5
，则a 0＝( ) A ．32 B ．1 C ．－1 D ．－32 能力提升
5．[2011·银川二模] 已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x n
的展开式的各项系数和为32，则展开式中含有x
项的系数为( )
A ．5
B ．40
C ．20
D ．10 6.⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
x ＋13
x 2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．252 C ．210 D ．45
7．已知n ∈N *，若对任意实数x 都有x n ＝a 0＋a 1(x －n )＋a 2(x －n )2＋…＋a n (x －n )n
，则a n －1的值为( )
A ．n 2
B ．n n
C.n －1n 32
D.n －1n n －1
2
8．若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10
，则a 9＝( ) A ．9 B ．10 C ．－9 D ．－10
9．9910
被1 000除的余数是________．
10．(1－2x )5(1＋3x )4的展开式中含x 2
项的系数是________．
11．[2011·株洲调研] 若(cos φ＋x )5的展开式中x 3
的系数为2，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2φ＋π2＝
________.
12．(13分)证明：当n ≥3时，2n
>2n ＋1.
难点突破
13．(12分)求二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 28的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最大的项和系数最小的项．
课时作业(五十八)A
【基础热身】
1．C [解析] 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋126的展开式的第3项是C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝1564
.
2．C [解析] 常数项是第5项，这个项是C 48x 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x 4＝70.
3．B [解析] 由a 1＋a 2＝21，得C 1n ＋C 2n ＝21⇒n ＝6，故各项中系数的最大值为C 3
6＝20，
选B.
4．A [解析] 令x ＝1，得a 0＝32. 【能力提升】
5．D [解析] 令x ＝1可得展开式中各项系数之和，求出n 值，再根据二项展开式的通
项公式求解．展开式的各项系数之和等于2n ＝32，解得n ＝5.二项式的通项公式是T r ＋1＝C r 5x 2(5
－r )x －r ＝C r 5x
10－3r ，当r ＝3时，含有x 项的系数是C 3
5＝10. 6．C [解析] 根据二项式系数的性质，得2n ＝10，故二项式⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
x ＋13
x 2n 的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10(x )
10－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13x r ＝C r
10x 5－r 2－r 3，根据题意5－r 2－r 3＝0，解得r ＝6，故所求的常数项等于C 6
10＝C 4
10＝210.正确选项为C.
7．A [解析] x n ＝[n ＋(x －n )]n ，根据二项式通项公式得a n －1＝C n －1n n ＝n 2
.正确选项为A.
8．D [解析] a 9与x 2无关，变换x 10＝[－1＋(x ＋1)]10得，a 9＝C 910(－1)1
＝－10.
9．1 [解析] 9910＝(100－1)10＝C 01010010－…＋C 8101002－C 9
10100＋1，展开式中除最后一项都能被1 000整除，故所求的余数为1.
10．－26 [解析] C 24·32＋C 14·3·C 15(－2)＋C 25(－2)2
＝－26.
11．－35 [解析] 由二项式定理得，x 3的系数为C 35cos 2φ＝2，∴cos 2
φ＝15，故
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2φ＋π2＝cos2φ＝2cos 2
φ－1＝－35.
12．[解答] 证明：2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋…＋C n －1
n ＋1，因为n ≥3，所以展开式中至少
有四项，保留第一、二和倒数第二项，故有2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋1>1＋C 1n ＋C n －1
n ＝2n ＋1.
【难点突破】
13．[解答] (1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，所求项为T 4＋1
＝C 48(x )4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 24＝1 120x
6.
(2)先求系数绝对值最大的项，设第r ＋1项的系数的绝对值最大，则⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 82r ≥C r －182r －1
，
C r 82r ≥C r ＋182r ＋1
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2r ≥1
9－r ，18－r ≥2
r ＋1，
∴5≤r ≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大．
由于第6项的系数为负，第7项的系数为正， ∴第7项是系数最大的项，
这一项为T 6＋1＝C 68(x )2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 26＝1 792x －11
；
第6项是系数最小的项，
这一项为T 5＋1＝C 58(x )3
·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 25＝－1 792x －172.。