能被特殊数整除的特征
能被特殊数整除的特征
能被特殊数整除的特征1、能被2整除的数的特征。
如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。
2、能被3整除的数的特征。
如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。
例如：225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。
3、能被4整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。
例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。
4、能被5整除的数的特征。
若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。
5、能被7整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，以此类推。
方法二：如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。
例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。
方法三：首位缩小法，减少7的倍数。
例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。
可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所以452669能被7整除。
整除的特征
整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。
（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。
例如：10、72、34、56、98都能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。
例如：180、315都能被5整除。
（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。
例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。
4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。
能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。
一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。
（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。
例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。
975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。
如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。
如700、2800都能同时被4 和25整除。
（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。
例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。
9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。
如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。
如1000、3000、78000等。
（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。
例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。
能被234567等数整除的数的特征
能被234567等数整除的数的特征一个数能否被2、3、4、5、6、7等数整除，取决于这个数的特征和性质。
在本文中，我们将探讨以下几个关键因素来确定一个数能否被这些数整除的特征。
1.末位数字：一个数能否被2整除取决于它的末位数字。
如果一个数的末位数字是0、2、4、6或8，那么它可以被2整除。
如果一个数的末位数字是0或5，那么它可以被5整除。
因此，如果一个数能被2和5同时整除，它也能被10整除。
3.末位数字和：如果一个数的末位数字和倒数第二位数字组成的两位数能被4整除，那么这个数也能被4整除。
例如，数字152的倒数第二位数字是5，末位数字是2，它们组成的两位数52能被4整除，所以152也能被4整除。
4.末位数字：一个数能否被5整除取决于它的末位数字。
如果一个数的末位数字是0或5，那么它可以被5整除。
5.可被2整除的数中，末位数字是0或5的数，再判断这个数能否被3整除。
如果能被3整除，则说明这个数也能被6整除。
例如，数字30能被2整除，末位数字是0，它也能被3整除，所以30能被6整除。
6.数字和：一个数能否被6整除取决于它各个位数上数字之和。
如果一个数各个位数上的数字之和能被3整除，并且末位数字是0、2、4、6或8，那么它也能被6整除。
7.数字重复：一个数能否被7整除取决于它的数字组成是否存在循环数字。
如果一个数的数字组成中存在循环数字，那么这个数可以被7整除。
例如，数字17的数字组成是1和7，它们是重复的，所以17能被7整除。
综上所述，一个数能否被2、3、4、5、6、7等数整除的特征是：它的末位数字必须是0、2、4、5、6、8中的一个；它的数字和必须能被3整除；如果末位数字和倒数第二位数字组成的两位数能被4整除，那么该数也能被4整除；它的数字组成中存在循环数字。
数的整除特征
数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。
3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。
这个数能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。
、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。
例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。
思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。
据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。
（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。
例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。
思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。
于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
最全的能被特殊数7、11、13等整除的数的判别法
一、特殊数字的整除。
1、能被3、9整除的数：数位之和能被3、9整除（注意消倍）。
例：76935、3165493能否被3整除?例：1349982、367594737能否被9整除？2、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
3、能被7整除的数：1）割尾法。
故133可以被7整除。
2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被7整除。
例如判断1798638345能否被7整除？3）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差绝对值能被7整除。
例如判断69272、13275能否被7整除？4、能被11整除的数：1）割尾法。
若将一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的1倍，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
如果差太大或心算不易看出是否为11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如判断6259能否被11整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被11整除。
例如判断55138028、44142405能否被11整除？3）该数的奇数位数字和减去偶数位数字和所得的差的绝对值能被11整除。
例如判断55138028、44142405能否被11整除？4）注意：奇数位数首位单独为一节。
5）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差绝对值能被11整除。
例如判断44528能否被11整除？5、能被13整除的数：1）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
例如判断5005、73853能否被13整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被13整除。
例如判断106736097、57157059能否被13整除？3）逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍后能被13整除。
五年级秋学期奥数 第5讲：数的整除性
第5讲：数的整除性灵活地运用整除性质，可以解决许多有关整除方面的问题。
一些特殊数整除的特征：1．个位是0、2、4、6、8的数能被2整除。
2．个位是0或5的数能被5整除。
3．各位数字之和能被3或9整除的数就能被3或9整除。
4．如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
5．如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
6．被11整除的数的特征：如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个自然数就能被11整除，否则就不能。
7．能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，如果这个差能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
学习例题：例1：在五位数15□8□的方框里填上什么数字，才能使它既能被3整除，又含有约数5？3是6的倍数，这样的六位数共有多少个？例2：六位数ABABA例3：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。
符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？例4：五位数B A 329能被72整除。
问A 和B 各代表什么数字？例5：六位数B A 3412是88的倍数，这个数除以88所得的商是什么？例6．在五位数中，数字和等于43且能被11整除的数有哪些？思考与练习：1． 有一个四位数13AA ，它能被9整除。
A 所代表的数字是多少？2． 在2008后面填上三个数字，组成一个新七位数，使它分别能被除3、4、5整除，这个七位数最大是多少？3．173□是一个四位数，王老师说：“我在这个数的方框里分别填上3个数字，所得的四位数依次能被7、11、6整除。
”王老师填入的3个数字的和是多少？4．已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数字最小是多少？5．用0、1、3、5、7这五个数字中的四个，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？6.将一个四位数减去各数位上数字的和后仍得一个四位数，19□2，那么□中应该填多少？7.六位数□1991□能被33整除，这样的六位数是多少？8.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的是多少?9.在一个两位数的数字之间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个数。
判断一个数能否被几个特殊质数整除的方法
判断在小学的时候，我们曾学会判断一个数能否被2,3,5整除的方法。
但在有些题目的解题过程中，往往需要判断一个数能否被11,13,17等数整除。
现在，我介绍几个判断能否被几个特殊质数整除的方法，并证明。
1）判断一个数能否被2整除的方法只需判断其个位数字能否被2整除。
证明：任意一数abcd ， 10abcd abc d =⨯+ 当2d 时，210abc ⨯210abc d ∴⨯+，即2abcd2）判断一个数能否被3整除的方法只需判断其各位数字之和能否被3整除。
证明：任意一数abcd当3a b c d +++时则31000100010001000a b c d +++3900,3990,3999b c d3100010010a b c d ∴+++即3abcd3）判断一个数能否被5整除的方法当一个数的个位为0或5时，此数能被5整除。
证明：任意一数0abc 或5abc50 且55又510abc ⨯50,55a b c a b c ∴ 4）判断一个数能否被7整除的方法将此数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
证明：任意一数abcd72abc d -71020abc d ∴⨯-又721d7abcd ∴5）判断一个数能否被11整除的方法将此数的奇位数字之和与偶位数字之和作差，若差能被11整除，则此数能被11 证明：①当有奇位数字时，对任意的数123...n x x x x135246111......n n x x x x x x x x -++++-----111111324111010...101010n n n n n n x x x x x -----∴⨯+⨯++⨯-⨯-⨯11...10n n x ----⨯()123013123311101010...101010n n n n n n x x x x x -----∴⨯+⨯+⨯++⨯+-+()()()()151012145241010...101010101010n n n n n n n n x x x x --------++--+-+()11...1010n n x ----+()()()1315101233511...10101010...1010n n n n n n n x x x x x x x -----∴+-+-++--()()()1214124110101010...1010n n n n n n x x x ------+-+--+∴要证原命题，只需证 112111010n n a ---- 与 12111010n n a --+ 211110a -- ()121110110n a --∴- 即112111010n n a ----又21119910,111010n a n n --⨯+ 12121110109910111010n n n n n ----∴+-⨯⇔+ 124141110109910111010n n n n n -----+-⨯⇔+1222121110109910111010n n a n a n n a --+---∴+-⨯⇔+又由①12311...n x x x x ⇒②当有偶数位时，证法相似，不再作过多证明。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
数的整除特征
数的整除特征数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11｜5，所以11｜123456789不能。
再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
能被3和9整除的数的特征
能被3和9整除的数的特征一、引言在数学中，有一类特殊的数被称为能被3和9整除的数。
这些数具有一些独特的特征，本文将从不同角度展开讨论，探究能被3和9整除的数的特点和性质。
二、能被3整除的数的特征1. 数字和能被3整除能被3整除的数具有一个明显的特点，即它们的各位数字之和能被3整除。
例如，12、15、18都是能被3整除的数，因为1+2=3，1+5=6，1+8=9，都能被3整除。
2. 末位数字规律能被3整除的数的末位数字具有一定的规律性。
例如，3、6、9、12等数的末位数字都是3的倍数，因此它们能被3整除。
三、能被9整除的数的特征1. 数字和能被9整除能被9整除的数的各位数字之和能被9整除。
这是因为9是3的倍数，即9=3*3。
例如，27、36、45等数的各位数字之和都能被9整除。
2. 末位数字规律能被9整除的数的末位数字为0。
这是因为9是10的一个因子，而10的倍数的末位数字为0。
四、能被3和9整除的数的特征1. 数字和能被3和9整除能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除。
例如，27、36、45都是能被3和9整除的数，因为它们的各位数字之和都能被3和9整除。
2. 末位数字规律能被3和9整除的数的末位数字为0。
这是因为能被3和9整除的数既能被3整除，又能被9整除，而9是10的一个因子，因此这类数的末位数字为0。
五、能被3和9整除的数的例子1. 30、90、120、150等都是能被3和9整除的数。
它们的各位数字之和都能被3和9整除，且末位数字为0。
六、结论通过对能被3和9整除的数的特征进行分析，我们可以得出以下结论：1. 能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，且末位数字为3、6、9。
2. 能被9整除的数的各位数字之和能被9整除，且末位数字为0。
3. 能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除，且末位数字为0。
以上是关于能被3和9整除的数的特征的讨论。
这类数在数学中具有一些独特的性质，通过研究它们的特点，可以帮助我们更好地理解数学规律。
数的整除1 能被N整除数的特征!
数的整除：能被一个数N整除的数的特征能被2、5整除数的特征：个位上的数能被2、5整除能被3、9整除数的特征：各位上的数字和是3和9的倍数能被4、25整除数的特征：一个数的末两位是4、25的倍数。
能被8、125整除数的特征：一个数的末三位是8、125的倍数。
能被6整除数的特征：一个数既是2的倍数，又是3的倍数。
能被12整除数的特征：一个数既是3的倍数，又是4的倍数。
能被11整除的数的特征：一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。
能同时被7、11、13整除数的特征：一个三位数连续写两遍，一定是7、11、13的倍数。
（末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差）练习一：一、判断下面的数，哪些数是4和25、8和125的倍数500、120、36400、12000、5800、1136、88652、52000、4375二、判断下面的数，哪些数是3的倍数，哪些是9的倍数258、666、357、878、342、895、12000、3630、1503、三、判断下面的数，哪些是11的倍数。
121、1357、1826、64746、363、1325、888、13211、四、根据数的整除特点，完成下面的填空。
1、一个数如果能被45整除，它就一定能被（）和（）整除。
2、一个数如果能被15整除，它就一定能被（）和（）整除。
3、一个数如果能被12整除，它就一定能被（）和（）整除。
4、一个数如果能被22整除，它就一定能被（）和（）整除。
5、一个数如果能被24整除，它就一定能被（）和（）整除。
6、一个数如果能被36整除，它就一定能被（）和（）整除。
7、四位数4A5B能被12整除，那么这个四位数最大是（）。
8、三位数58A是6的倍数，那么这个三位数最大是（）。
9、四位数236A能同时被2、3整除，这个四位数是（）。
10、五位数4H97H能被3整除，它的最末两位数字所组成的数7H能被6整除，这个五位数是（）。
常见数的整除特征
常见数的整除特征1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。
任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。
2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。
3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。
例如，30、80、120等。
4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。
5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。
例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。
6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。
例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。
7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。
例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。
8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。
例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。
9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。
根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。
特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。
11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。
例如，1、4、9、16等。
一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。
总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。
通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。
奥数——数的整除特征
数的整除特征★知识要点1、如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。
2、如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
3、如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
4、如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。
5、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
6、被7、11、13整除数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除。
★典型例题例1、在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除，这样的五位数有多少个？例2、在□内填上适当的数，使六位数69547□能被4或25整除。
例3、在□内填上适当的数，使五位数31□26能被3或9整除。
例4、在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能地大。
例5、在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5？例6、根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 68868例7、判断2146455311能否被7，11或13整除？课堂练习1、在□内填上适当的数，使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、在□内填上适当的数，使七位数7132□20能被8整除。
3、判断下列哪些数能被25整除，哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗？反之能被25整除的数一定能被125整除吗？750 765 2775 6325 1500 10004、根据被3和9整除的数的特征，用“去三法”或“或九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除。
请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！5646 49257 25341 87203 56142365、在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。
能被某数整除的数的特征
能被某数整除的数的特征1.能被2（4、8）或5（25、125）整除的数的特征:未位上的数字所表示的数能被2或5整除，这个数的末位数能被2或5整除。
（未位数是0、2、4、6、8的数能被2整除；未位数是0、5的数能被5整除）未两位数字所表示的数能被4或25整除，这个数能被4或25整除；未两位数能被25整除是00、25、50、75。
未三位数字所表示的数能被8或125整除，这个数能被8或125整除；2.能被3或9整除的数的特征：这个数的各个数位上的数字之和能被3或9整除，这个数能被3或9整除。
3.能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数能被7、11、13整除。
例如：701239末三位：239 末三位之前的数为701701-239=462 462÷7=66 701239能被7整除462÷11=42 701239能被11整除462÷13=35……7 701239不能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：694378906末三位：906 末三位之前的数为694378694378-906=693472太大了，不能直接看出被7、11、13整除，继续运用此方法检查：末三位：472 末三位之前的数为693693-472=221 221÷7=31……4 694378906不能被13整除221÷11=20……1 694378906不能被11整除221÷13=33 694378906能被13整除个位数字以前的数字按顺序组成的数字与个位数字的2倍之差（大减小）能被7整除，则这个数能被7整除。
数的性质 整除性 数的整除特征
因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +
特殊数的整除特征
特殊数的整除特征特殊数是指在一定的条件下具有特殊整除特征的数。
在数学中，各种特殊数都有独特的整除特征，下面介绍几种常见的特殊数及其整除特征。
1.完全数完全数是指一个数恰好等于它所有正因子（除了它本身）的和。
最早完全数的记录出现在古希腊，最小的完全数是6（因子为1、2、3，和为6）。
另外两个较小的完全数是28（因子为1、2、4、7、14，和为28）和496（因子为1、2、4、8、16、31、62、124、248，和为496）。
2.欧拉回文数3.素数素数是指只能被1和它自身整除的正整数。
素数在整数论中起着重要的作用，它们具有特殊的整除特性。
素数的定义简单，但却是数学研究的核心之一、质数的性质导致了很多数论的发展，比如素数定理、哥德巴赫猜想等。
4.斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都是前面两项的和。
例如，斐波那契数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、斐波那契数列在数学和自然界中都有很大的应用，在整除特征中，斐波那契数列中的相邻项有特殊的整除关系，即前一项能整除后一项。
5.卡普雷卡数卡普雷卡数是指一个正整数n，它和n的平方数的数字组成的数一样。
例如，5是一个卡普雷卡数，因为5的平方是25，它们的数字组成是一样的。
另外一个例子是49，因为49的平方是2401，它们的数字组成也是一样的。
卡普雷卡数具有一定的特殊性，被广泛研究和应用于数学和密码学中。
特殊数的整除特征能够帮助我们理解和探索数学的奥秘。
通过研究这些特殊数及其整除特征，我们可以发现数学中的规律和性质，推动数学的发展。
同时，特殊数的整除特征也有一定的应用价值，可以在密码学、编码理论等领域中发挥作用。
因此，研究特殊数的整除特征是数学研究中的重要方向之一。
特殊数的整除特征
特殊数的整除特征几个重要的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2整除，这个数就能被2整除。
（2）能被3整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
（3）能被4整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4整除，这个数就能被4整除。
（4）能被5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被5整除，这个数就能被5整除。
（5）能被7整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7整除，这个数就能被7整除。
（6）能被8整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8整除，这个数就能被8整除。
（7）能被9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。
（8）能被11整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被11整除，这个数就能被11整除；或者一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。
（9）能被13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被13整除，这个数就能被13整除。
（10）能被25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被25整除，这个数就能被25整除。
（11）能被125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被125整除，这个数就能被125整除。
例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。
练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。
这个六位数最小是多少？2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。
A代表的数字是几？3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。
例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。
它们的前四位都是9876，而末位数字不同。
求这两个五位数的和。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征
1.能够被另一个数整除：如果一个数能够被另一个数整除，那么它就
是被整除的数的一个特征。
例如，4能够被2整除，因此4是被整除的数。
2.余数为0：当两个数进行整除运算时，如果余数为0，那么被除数
就是被整除的数。
例如，10除以5的余数为0，因此10是被整除的数。
3.可以被同一个数整除多次：如果一个数能够被同一个数整除多次，
那么它也是被整除的数的一个特征。
例如，12可以被2整除多次，因此
12是被整除的数。
4.能够被一组数整除：除了能够被单个数整除外，还有一些数能够被
一组数整除。
例如，15能够被3和5整除，因此15是被整除的数。
5.能够整除自己：除了能够被其他数整除外，数还可以被自己整除。
例如，5可以被自己整除，因此5是被整除的数。
6.能够被任意数整除：有一些数能够被任意数整除，这些数被称为无
穷整数。
例如，0、正负无穷大以及自然数的倍数都属于无穷整数。
7.有规律的整除性质：有一些数具有特殊的整除性质。
例如，能够被
2整除的数都是偶数，能够被3整除的数如果各个位上的数字之和能被3
整除，那么这个数也能被3整除。
总的来说，能够被整除的数具有上述特征之一或多个。
这些特征使我
们能够对数的整除性质进行计算和推理。
在数学和实际应用中，能够被整
除的数的特征是十分重要的。
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能被特殊数整除的特征
1、
能被2整除的数的特征。
如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。
2、能被3整除的数的特征。
如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。
例如：
225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。
3、能被4整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。
例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。
4、能被5整除的数的特征。
若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。
5、能被7
整除的数的特征。
方法一：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7
的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；
又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139 是7的倍数，以此类推。
方法二：
如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。
例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。
方法三：
首位缩小法，减少7的倍数。
例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。
可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所
以452669能被7整除。
6、能被8
整除的数的特征。
若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
7、能被9整除的数的特征。
若一个数的数位上的数字的和能被9整除，则这个整数能被9整除。
例如：111111111能不能被9整除呢？因为1+1+1+1+1+1+1+1+1=9,9是9的倍数，所以111111111能被9整除。
8、能被11
整除的数的特征。
方法一：
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和（从右往左数）的差能被11整除，则这个数能被11整除。
例如，判断491678能不能被11整除。
奇位数字之和8+6+9=23；偶2 位数字之和7+1+4=12；23-12=11,11能被11整除，所以491678能被11整除。
这种方法叫作“奇偶位差法”。
方法二：11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍
数不是2而是1
！例如：判断491678能不能被11整除，49167-8=49159,4915-9=4906， 490-6=484,48-4=44。
44能被11整除，所以得491678能被11整除。
方法三：
还可以根据7的方法二判断。
例如：283679的末三位数是679，末三位以前数所组成的数是283,679-283=396,396能被11整除，因此283679就一定能被11整除。
9、能被13整除的数的特征。
方法一：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=128440,12844+0×4=12844，
1284×4=1300,1300÷13=100。
所以1284322能被13整除。
方法二：前面7的方法二，也适用判定13。
例如：判定1284322能不能被13整除，128432的末尾三位数是322，末尾以前的数字所组成的数是1284,322-1284=-962。
962÷13=74。
所以1284322能被13整除。
10、能被17整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断1675282能不能被17整除，167528-2×5=167518,16751-8×5=16711,1671-1×5=1666,166-6×5=136, 136÷17=8，所以1675282能被17整除。
方法二：
若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
例如，判断1675282能不能被17整除，1675282的末三位是282，前面的数是1675，
282-1675×3=-4743,4743÷17=279，所以1675282能被17整除。
11、能被19整除的数的特征。
方法一：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19 整除。
例如，判断234555能不能被19整除，234555末尾三位数是555，前面三位是234，
555-234×7=-1083,1083÷19=57，所以234555能被19整除。
方法二：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19 的倍数，则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续
上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。
12、能被23整除的数的特征。
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
13、能被25整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被25整除，则这个数能被25整除。
14、能被125整除的数的特征。
如果一个数的末尾三位能被125整除，则这个数能被125整除。