2.1.3三角形(3)
三角形个数规律-概述说明以及解释
三角形个数规律-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形是数学中的一个基本几何形状，它由三条边和三个顶点组成。
三角形在我们的日常生活中随处可见，例如建筑物的屋顶、牛奶盒子的底部等等。
三角形不仅在几何学中有着重要的地位，还在各个学科领域中得到广泛的应用，如物理学、工程学等。
本文的主要目的是探讨三角形个数的规律。
在正文部分，我们将首先介绍三角形的定义和分类，以及它们的基本性质和特点。
接着，我们将重点研究三角形个数的规律，并通过数学方法和图形展示来分析这些规律的特点和变化趋势。
了解三角形个数的规律对于我们理解几何学的发展和应用具有重要意义。
通过探究三角形个数的规律，我们可以更好地理解几何学的基本原理和定理，并在实际问题中灵活运用这些知识。
此外，研究三角形个数的规律还对于提高数学思维能力和解决复杂问题具有启发作用。
总之，本文将系统地介绍三角形个数的规律，通过深入分析和讨论，展示出三角形在几何学中的重要性，并展望未来的研究方向。
通过阅读本文，读者将能够更好地理解三角形的相关概念和性质，扩展数学思维，并在实际问题中应用所学知识。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下角度进行撰写：文章结构文章结构的设计是为了合理地组织和展示文章的内容，使读者能够清晰地理解和接收信息。
本文将按照以下结构进行展开：1. 引言部分1.1 概述在这一部分，我们将介绍三角形个数规律的背景和重要性，引起读者对该主题的兴趣。
1.2 文章结构这一部分旨在概述整篇文章的结构，让读者了解文章的组织方式。
接下来的正文将包括三个主要部分：三角形的定义、分类和性质；三角形个数的规律；以及结论部分。
1.3 目的在这一部分，我们将明确本文的目的，即探讨三角形个数规律的原因和意义，以及进一步研究该规律的动机。
2. 正文部分2.1 三角形的定义这一部分将介绍三角形的定义和基本概念，包括三边和三角形的角度关系等，为后续讨论奠定基础。
2.2 三角形的分类在这一部分，我们将介绍常见的三角形分类方法，如按边长分类（等边三角形、等腰三角形、一般三角形）、按角度分类（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）、按角度和边长综合分类等。
湘教版八年级数学上册导学案 2.1第3课时 三角形的内角和定理
第3课时三角形的内角和定理1.知道三角形的内角和是180°,能应用此性质解决相关问题.2.知道三角形的分类,并会用数学符号表示直角三角形.3.会找一个三角形的外角,能应用三角形外角的性质解决相关问题.自学指导：阅读课本P46-48，完成下列问题.知识探究1.三角形的内角和等于180°.2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=50°.3.若△ABC中，∠A=40°，∠B=50°,则△ABC为直角三角形.4.如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图2，一个三角形有6个外角.每个顶点处有2个外角.图1 图25.如图1，△ABC中，∠A＝80°,∠B＝40°,∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.试猜想∠ACD与∠A,∠B的关系是∠A+∠B=∠ACD.6.试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1+∠2=∠A+∠B.即∠ACD=∠A+∠B.一般地，有下面的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.自学反馈1.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.一个三角形至少有( )A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角3.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去 4.判断下列∠1是哪个三角形的外角：5..求下列各图中∠1的度数.活动1 小组讨论例1 如图， AD 是△ABC 的角平分线， ∠B= 36°， ∠C= 76°， 求∠DAC 的度数.解：因为∠B= 36°， ∠C= 76°， 又∠BAC+∠B ＋∠C=180°， 所以 ∠BAC=68°.因为 AD 是△ABC 的角平分线， 所以 ∠DAC=21∠BAC =34°.例2 如图，∠CAD ＝100°，∠B ＝ 30°，求∠C 的度数.解：因为∠CAD 是△ABC 的外角，所以∠B+∠C= ∠CAD ，于是∠C = ∠CAD -∠B = 100°-30°=70°.活动2 跟踪训练1.在△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，则∠△ABC的形状是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这这块三角板的另一个角的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.60°3.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90°4.如图，AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是（）A.63°B.83°C.73°D.53°5.在△ABC中，若∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=________.6.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为________.7.如图，在△ABC中，点D、E分别在ABAC上，若∠B+∠C=120°，则∠1+∠2=______.8.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=50°，试求：（1）∠D的度数；（2）∠ACD的度数．9.如图，△ABC中，∠A=80°，BE、CF相交于点O，∠ACF=30°，∠ABE=20°，求∠BOC的度数.10.已知，如图，BD 、CD 分别为∠EBC 和∠FCB 的平分线. （1）若∠A=80°，求∠D 的度数； （2）试探究∠D 和∠A 的数量关系；课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法?有何收获和感悟?还有哪些疑惑?教学至此，敬请使用《名校课堂》课时部分.【预习导学】 自学反馈1.B2.B3.C4.(1)△ABC （2）△ABD （3）△ABC （4）△ACE5.75° 125° 【合作探究】 活动2 跟踪训练1.D2.B3.C4.A5.50°6.100°7.120°8.（1）∵∠DAE=∠B+∠D ，∴∠D=∠DAE-∠B ，即∠D=50°-30°=20°． （2）∵AD 平分∠CAE ， ∴∠CAE=2∠DAE=100°． ∴∠BAC=80°． ∵∠B=30°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=110°.9. ∵∠A=80°，∴∠ACB+∠ABC=100°． 即∠ACF+∠BCF+∠ABE+∠CBE=100°， ∵∠ACF=30°，∠ABE=20°， ∴∠BCF+∠CBE=50°．在△BOC 中，∠BOC=180°-∠BCF-∠CBE=130°． 10.（1）∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=100°． ∴∠CBE+∠BCF=260°．∵BD 平分∠EBC ，CD 平分∠FCB ， ∴∠CBD+∠BCD=130°． ∴∠D=50°． （2）21∠A+∠D=90°.。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和判定定理。
本文将对三角形的性质和判定定理进行论述，探究其数学本质和应用。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段都是连接两个非共线点的直线段。
三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等各种类型。
2. 三角形的性质2.1 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，可以得出以下等式：A + B + C = 180度。
2.2 三角形的外角性质三角形的外角等于其余两个内角的和。
如果外角为θ，则有：θ = A + B 或θ = B + C 或θ = A + C。
2.3 三角形的边长关系三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设三角形的三个边分别为a、b、c，则有以下不等式成立：a + b > c，a + c > b，b+ c > a；a - b < c，a - c < b，b - c < a。
三角形的内角与其对边之间存在一定的关系。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 三角形的判定定理3.1 三边长度判定定理如果三角形的三边长度分别为a、b、c，满足a + b > c，a + c > b，b +c > a，则可以构成一个三角形。
3.2 两边夹角与第三边关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角为θ，则可以根据余弦定理判断第三边的长度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 -2abcosθ。
3.3 两边夹角与第三边夹角关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角分别为A、B，则可以根据正弦定理判断第三边夹角的大小。
正弦定理表达式为：sinC/a = sinA/b = sinB/c。
三角形的分类
三角形的分类三角形是几何形状中最基本的形状之一，它由三条线段组成。
根据边长和角度的关系，三角形可以被分类为不同类型。
本文将介绍几种常见的三角形分类。
1. 根据边长分类根据三角形的边长关系，可以将三角形分为三种不同类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
1.1 等边三角形等边三角形的定义是三条边长相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角均为60度。
等边三角形具有如下特点：- 三条边长相等；- 三个内角均为60度；- 具有对称性。
1.2 等腰三角形等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边两侧的角度）相等，而顶角（底边对面的角）则可能不等。
等腰三角形具有如下特点：- 两边边长相等；- 两个底角相等，顶角可能不等；- 具有对称性。
1.3 普通三角形普通三角形是指所有边长都不相等的三角形。
在普通三角形中，三个内角均不相等。
普通三角形具有如下特点：- 三条边长都不相等；- 三个内角均不相等；- 没有对称性。
2. 根据角度分类根据三角形的角度关系，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2.1 锐角三角形锐角三角形是指三个内角均小于90度的三角形。
在锐角三角形中，所有的内角都是锐角。
锐角三角形具有如下特点：- 三个内角都小于90度；- 没有角度等于90度的角；- 具有锐角特征。
2.2 直角三角形直角三角形是指一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，一个内角为直角（90度），而其他两个内角则是锐角。
直角三角形具有如下特点：- 一个内角等于90度，其他两个内角为锐角；- 具有直角特征；- 遵守勾股定理（直角边的平方和等于斜边的平方）。
2.3 钝角三角形钝角三角形是指三个内角中有一个大于90度的三角形。
在钝角三角形中，一个内角为钝角（大于90度），而其他两个内角则是锐角。
钝角三角形具有如下特点：- 一个内角大于90度，其他两个内角为锐角；- 具有钝角特征。
3. 综合分类根据边长和角度的关系，三角形还可以进一步综合分类。
桐城市四中八年级数学上册 第2章 三角形2.1 三角形第3课时 三角形的内角和练习 湘教版
第3课时三角形的内角和1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( ) A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．[2012·云南]如图2－1－29，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )图2－1－29A．40°B．45°C．50° D．55°3．[2012·梧州]如图2－1－30，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是( )图2－1－30A．10°B．12°C．15° D．18°4．如图2－1－31，直线a∥b，则∠A的度数是( )图2－1－31A．28°B．31°C．39°D．42°5．[2012·漳州]将一副直角三角板，按如图2－1－32所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ( )A．45° B．60°C．75° D．90°6．如图2－1－33，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于________．图2－1－337．如图2－1－34是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角是________度．8．一个零件的形状如图2－1－35所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°.检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？图2－1－35图2－1－32图2－1－349．如图2－1－36，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．图2－1－3610．如图2－1－37所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．图2－1－37答案解析1．B 【解析】 三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，所以三角形的三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°.所以该三角形是锐角三角形．故选B.2．A 【解析】 因为∠B ＝67°，∠C ＝33°，所以∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－67°－33°＝80°.因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠CAD ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.故选A.3．A 【解析】 因为AD ⊥BC ，∠C ＝36°，所以∠CAD ＝90°－36°＝54°，因为AE 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝128°， 所以∠CAE ＝12∠BAC ＝12×128°＝64°，所以∠DAE ＝∠CAE －∠CAD ＝64°－54°＝10°.故选A. 4．C 【解析】 因为a ∥b ，所以∠DBC ＝70°，所以∠ABD ＝180°－70°＝110°，所以∠A ＝180°－31°－110°＝39°.故选C. 5．C 【解析】 如图，因为∠1＝90°－60°＝30°，所以∠α＝45°＋30°＝75°.故选C.第5题答图6．80° 【解析】 因为∠ACD ＝∠A ＋∠B ，所以∠A ＝∠ACD －∠B ＝120°－40°＝80°. 7．408．【解析】 可以先计算出合格时∠BDC 的度数．由于∠BDC 与∠A ，∠B ，∠C 不在同一个三角形内，所以无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线． 解：方法一：连接AD 并延长，如图(1)所示．第8题答图因为∠1＝∠3＋∠C ，∠2＝∠4＋∠B ，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠C ＋∠4＋∠B ＝(∠3＋∠4)＋∠C ＋∠B ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C ， 所以∠1＋∠2＝90°＋21°＋20°＝131°，即∠BDC ＝131°. 由于零件中∠BDC ＝130°，所以可以断定这个零件不合格． 方法二：延长CD 交AB 于E ，如图(2)所示． 因为∠CEB ＝∠C ＋∠A ，∠CDB ＝∠CEB ＋∠B ，所以∠BDC ＝∠C ＋∠A ＋∠B ＝20°＋90°＋21°＝131°. 由于零件中∠BDC ＝130°，所以可以断定这个零件不合格．9．【解析】 运用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和建立∠3、∠4与∠1、∠2的关系，再用三角形内角和定理求出有关角的大小． 解：因为∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， 所以∠4＝2∠2，又因为∠3＝∠4， 所以∠3＝2∠2，所以∠2＝12∠3，在△ABC 中，∠2＋∠3＋∠BAC ＝180°，因为∠BAC ＝63°，所以12∠3＋∠3＋63°＝180°，所以∠3＝∠4＝78°，而∠DAC ＝180°－78°－78°＝24°. 10．解：因为∠AGL ＝∠A ＋∠B ，∠CHG ＝∠C ＋∠D ，∠ELH ＝∠E ＋∠F ，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝∠AGL ＋∠CHG ＋∠ELH (即△GHL 的外角和)． 所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°.3.3 轴对称和平移的坐标表示1 轴对称的坐标表示要点感知1 一般地，在平面直角坐标系中，点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为__________，即横坐标__________，纵坐标互为__________.预习练习1-1 点A(1，-2)关于x轴对称的点的坐标是( )A.(1，-2)B.(-1，2)C.(-1，-2)D.(1，2)要点感知2 一般地，在平面直角坐标系中，点(a，b)关于y轴的对称点的坐标为__________，即横坐标互为__________，纵坐标__________.预习练习2-1 点P(1，-2)关于y轴对称的点的坐标为__________.2-2 如图，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为__________.知识点1 关于x轴对称1.在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，则点A关于x轴的对称点坐标为( )A.(3,2)B.(2，-3)C.(-2,3)D.(-2，-3)2.已知点A(2，-3)与点B关于x轴对称，则点B在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知点A(m-1，3)与点B(2，n+1)关于x轴对称，则m=__________，n=__________.知识点2 关于y轴对称4.已知点P(-2，3)关于y轴的对称点为Q(a，b)，则a+b的值是( )A.1B.-1C.5D.-55.已知点P(3，-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b，1-b)，则ab的值为__________.知识点3 图形上点的对称问题6.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A的对应点D 的坐标是__________.7.如图，在直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB=2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是__________.8.如图，在直角坐标系中，△OBC的顶点O(0，0)，B(-6，0)，且∠OCB=90°，OC=BC，则点C关于y轴对称的点的坐标是( )A.(3，3)B.(-3，3)C.(-3，-3)D.(32，32)知识点4 对称的作图问题9.如图，已知平面直角坐标系中，A(-1，3)，B(2，0)，C(-3，-1),在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.10.如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(-4，6)，B(-6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( )A.(-4，6)B.(4，6)C.(-2，1)D.(6，2)11.已知点P(a+1，2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )A.a＜-1B.-1＜a＜32C.-32＜a＜1 D.a＞3212.若点A(m+2，3)与点B(-4，n+5)关于y轴对称，则m+n=__________.13.写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：(1)点B，E的位置有什么特点？(2)从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？14.在直角坐标系中，已知点A(a+b，2-a)与点B(a-5，b-2a)关于y轴对称，(1)试确定点A、B的坐标；(2)如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积.15.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-1)，B(-3，-3)，C(-1，-3). （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标.16.如图所示，△COB 是由△AOB 经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点C 的坐标之间的关系，解答下列问题：(1)若点M 的坐标为(x ，y)，则它的对应点N 的坐标为__________； (2)若点P(a ，2)与点Q(-3，b)关于x 轴对称，求代数式：1ab +()()111a b --+()()122a b --+…+()()11010a b --的值.参考答案要点感知1 (a ，-b) 不变 相反数 预习练习1-1 D要点感知2 (-a ，b) 相反数 不变 预习练习2-1 (-1，-2)2-2 (-1，3)1.B2.A3.3-44.C5.256.(2，1)7.-28.A9.图略，点A1，B1，C1的坐标分别为：A1(1，3)，B1(-2，0)，C1(3，-1).10.B 11.B 12.013.A(-2，0)，B(0，-2)，C(2，-1)，D(2，1)，E(0，2).(1)点B和点E关于x轴对称；(2)点B与点E，点C与点D，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数.14.(1)∵点A(a+b，2-a)与点B(a-5，b-2a)关于y轴对称，∴2250.a b aa b a--+-⎩+⎧⎨＝，＝解得13.ab⎧⎨⎩＝，＝∴点A,B的坐标分别为：(4，1)，(-4，1)；(2)∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为(-4，-1).∴△ABC的面积为：12×BC×AB=12×2×8=8.15.（1）图略，A1(-2，1)；（2）图略，A2(2，1).16.（1）（x,-y）（2）∵点P(a，2)与点Q(-3，b)关于x轴对称，∴a=-3，b=-2，∴1ab+()()111a b--+()()122a b--+…+()()11010a b--=16+112+120+…+1156=12-13+13-14+…+112-113=11 26.《第7章平行线的证明》一、选择题1．下列语句中，是命题的是（）A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（）A．25°B．35°C．50°D．65°3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（）A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（）A．50°B．60°C．65°D．90°6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）A．150°B．130°C．120°D．100°7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（）A．84°B．106°C．96°D．104°8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°二、填空题11．命题“对顶角相等”的条件是，结论是．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= ．13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是．14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= ，∠CED= ．15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= ．16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为度．17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为°．18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 度．三、解答题（共66分）19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= ；若∠A=n°，则∠BEC= ．【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= ；（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）《第7章平行线的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．下列语句中，是命题的是（）A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断．【解答】解：A、是问句，不是命题；B、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题；C、对一件事情做出了判断，是命题；D、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题．故选C．【点评】命题分为真命题和假命题，注意假命题也是命题．2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（）A．25°B．35°C．50°D．65°【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠ABC的大小．【解答】解：∵CB⊥DB，∴∠CBD=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠D=65°，∴∠C=25°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠C=25°．故选A．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°【考点】三角形内角和定理．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（）A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角，∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正确；∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB＞∠DEC，∵∠ADB＞∠ACB，∴∠ADB＞∠DEC，故D正确；∠DCE与∠ADB的大小无法比较．故选A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角是解答此题的关键．5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（）A．50°B．60°C．65°D．90°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【分析】由AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°，∵∠1=50°，∴∠BEF=130°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=65°，∴∠2=∠BEG=65°．故选C．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）A．150°B．130°C．120°D．100°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，∴∠ABD=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．故选C．【点评】此题比较简单，考查的是平行线及角平分线的性质，比较简单．7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（）A．84°B．106°C．96°D．104°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠1，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵a∥b，∴∠ABC=∠1=46°，∵∠A=38°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°，∴∠B=60°，∠C=90°，∴△ABC为直角三角形．故选B．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°﹣55°=35°，∴∠2=35°．故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．二、填空题11．命题“对顶角相等”的条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．【考点】命题与定理．【分析】命题是判断一件事情，由条件和结论组成，都能写成“如果…那么…”的形式，此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．【点评】本题考查找命题里面的条件和结论，写成“如果…那么…”的形式可降低难度．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= 64°．【考点】平行线的性质．【分析】两直线平行，内错角相等，据此进行计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAC=∠ACF，即70°+x=134°，解得x=64°．故答案为：64°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是50°．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠DFE度数，再根据平行线的性质，求得∠B的度数．【解答】解：∵∠DEF=50°，∠D=80°，∴∠DFE=50°，又∵AB∥CD，∴∠B=∠DFE=50°．故答案为：50°【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= 70°，∠CED= 110°．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质求出∠D=∠ABD=70°，根据平行线的性质得出∠CED+∠C=180°，代入求出即可．【解答】解：∵∠A=∠F=40°，∴DF∥AC，∵∠D=70°，∴∠D=∠ABD=70°，∵DF∥AC，∴∠CED+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠C ED=110°，故答案为：70°，110°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= 120°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】利用外角的性质可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用内角和定理可列出关于∠2的方程，可求得∠2，则可求得∠2+∠DAC，即∠A．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2，∵∠3+∠4+∠DAC=180°，∴4∠2+100°=180°，∴∠2=20°，∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°，故答案为：120°．【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，由条件得到关于∠2的方程求出∠2是解题的关键．16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为22 度．【考点】平移的性质；同位角、内错角、同旁内角．【分析】由平移的性质知，AO∥SM，再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM，即可得答案．【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM，故∠WMS=∠OWM=22°；故答案为：22．【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等，及平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为50或130 °．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；②当为钝角三角形时可画图为，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；故填50°或130°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 10 度．【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，则180°﹣5x=130°，即可求解．【解答】解：设∠A=x．∵AB=BC=CD=DE=EF=FG，∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x，则180°﹣5x=130°，解，得x=10°．则∠A=10°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC 的外角是正确解答本题的关键．三、解答题（共66分）19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．【考点】平行线的判定．【专题】证明题．【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．【解答】证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D 互余．20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的邻补角的度数．【解答】解：小刚的答案为50°．理由如下：如图，设∠1的邻补角为∠4，∵∠1=130°，∴∠4=180°﹣130°=50°，∵∠3是人字架三角形的外角，∴∠3=∠2+∠4，∴∠4=∠3﹣∠2=50°，∴∠3比∠2大50°．【点评】本题主要利用两个邻补角的和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．【解答】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，在△ABE和△FDC中，∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F∴△ABE≌△FDC（ASA），∴AE=FC．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．【考点】等腰直角三角形．【分析】根据已知求得∠ACB=45°，进而求得∠BDC=∠BCD=45°+∠1，根据三角形内角和定理求得2（45°+∠1）+∠1=180°，即可求得∠1=30°，然后根据三角形内角和180°，从而求得∠3的度数．【解答】解∵∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=45°，∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2，∴∠BDC=∠BCD=45°+∠2，∵∠1=∠2，∴∠BDC=∠BCD=45°+∠1，∵∠BDC+∠BCD+∠1=180°，∴2（45°+∠1）+∠1=180°∴∠1=30°，∴∠3==75°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠B+∠C=110°，再根据∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，最后根据三角形内角和，求得∠EDF即可．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=110°，∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360°，∴∠EDB+∠FDC=140°，即∠EDF=180°﹣140°=40°【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）∴∠2=∠4（同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠3（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= 130°；若∠A=n°，则∠BEC= 90°+n°．【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= 60°+n°；（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可；探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．【解答】【问题】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣50°=130°；由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=90°﹣n°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（90°﹣n°）=90°+n°；探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=120°﹣n°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣n°）=60°+n°；（2）∠BOC=∠A．理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），∴∠A=2∠BOC，∴∠BOC=∠A；（3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．故答案为：130°，90°+n°；（1）60°+n°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．。
2022秋八年级数学上册第2章三角形2.1三角形1三角形三边的关系授课课件新版湘教版
感悟新知
知1－练
1．如图，以CD为公共边的三角形是__△__C_D__F_与__△__B_C__D__； ∠EFB是__△__B_E_F__的内角；在△BCE中，BE所对的角 是_∠__B__C_E__，∠CBE所对的边是____C_E___；以∠A为公 共角的三角形有__△__A_B_D__，__△__A_C__E_和__△__A_B__C__.
知2－导
感悟新知
知2－讲
1.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形，在等腰 三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的 夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
2.等边三角形三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)， 等边三角形是特殊的等腰三角形。
3.易错警示：(1)等腰三角形中有关边角的名称与三角形的摆放 位置无关；(2)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角， 而底角只能是锐角.
n＋8，3n，则满足条件的n的值有( D ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
感悟新知
知3－练
3. 已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的 第三边的长x的取值范围是___3_c_m__<_x_<_1_3__c_m__． 解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应 大于已知两边之差且小于已知两边之和，所 以3 cm<x<13 cm.
感悟新知
知1－讲
例 1 如图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是 ( C)
导引：按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的 图形，A，B，D中的三条线段都没有首尾顺次相接
感悟新知
总结
知1－讲
判断三角形的条件：①三条线段，②不在同一条直线 上，③首尾顺次连接三者必须同时满足，否则不是三角形.
三角形的三边关系
三角形的三边关系教学目标1.了解三角形的定义及分类。
2.理解三角形中三边之间的关系。
3.能够利用三边关系求出三角形中未知边或角的大小。
教学内容一、三角形的定义及分类1.1 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其任意两线段相交于一点，形成三个内角和三条边。
1.2 三角形的分类按边长分： - 等边三角形：三边相等。
- 等腰三角形：两边相等。
- 普通三角形：三边均不相等。
按角度分： - 直角三角形：其中一个内角为直角（90度）。
- 锐角三角形：三个内角均小于90度。
- 钝角三角形：其中一个内角大于90度。
二、三角形中三边之间的关系2.1 三边关系在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
2.2 三角形中的角三角形中的三个内角和为180度。
2.3 相似三角形两个三角形如果对应的角相等，则它们为相似三角形。
相似三角形的对应边比例相等。
三、利用三边关系求未知边或角的大小3.1 应用三边关系求边长利用三边关系，可以求出三角形中任意一边的长度。
假设三角形的三边分别为a、b、c，则可以得到以下公式：若a和b已知，则c = a + b。
若a和c已知，则b = c - a。
若b和c已知，则a = c - b。
3.2 应用三角形的角度关系求未知角度三角形中的三个内角和为180度，可以利用这个性质求出三角形中任意一个角的大小。
对于锐角三角形，可以利用正弦、余弦、正切函数来求解。
例如，对于三角形ABC，假设已知边长a、b和角C（已知），可以通过以下公式求解：sin(C) = a / c cos(C) = b / c tan(C) = a / b其中，c为三角形中第三条边的长度。
对于钝角三角形，利用余弦和正弦函数来求解。
以三角形ABC为例，假设已知边长a、b和角C，可以通过以下公式求解：cos(C) = -a / c sin(C) = b / c教学步骤一、引入三角形的定义和分类首先介绍三角形的基本概念，包括三边、三角和内角和为180度等。
课题《2.1.3三角形的内角与》教学设计
课题：《 2.1.3 三角形的内角和》教学设计汝城县思源实验学校陈里凡教材：义务教育教科书数学八年级上册（湖南教育出版社）一、教材分析三角形的内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础。
它是在学习了三角形定义及有关概念和边与边之间关系的基础上展开的，既是知识的延续，又是进一步学习各种特殊三角形和其他图形的基础，它本身在实际中也有广泛应用，所以本节内容是这一章的重点之一。
学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，今后学习四边形和多边形的内角和都是三角形的内角和定理的应用、推广和深化。
其中辅助线的作法对发展学生的思维能力、培养学生解决问题的能力、形成用数学的意识有重要作用。
二、学情分析八年级学生，对对于“空间与图形”领域的学习已经具备了一定的基础。
学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了平角定义、三角形相关知识、平行线的性质和判定等，已经具备了一定的识图能力和抽象思维能力及推理能力。
但是对于本节课三角形的内角和的探索，需要学生从拼图的实验中感悟添加辅助线的方法，用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。
三、教学目标知识与技能：掌握三角形内角和定理，初步应用三角形的内角和解决简单问题，了解三角形内角和在实际生活中的应用。
过程与方法：经历度量、折叠、剪拼、几何画板等实验进一步感知“三角形的内角和等于180°”这一过程，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，进而发现思路、证明定理。
同时培养学生观察、实验、验证、推理、交流的能力，渗透转化的数学思想方法。
情感态度价值观：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。
三、教学重难点教学重点：探索并证明三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理解决简单问题。
教学难点：如何添加辅助线证明三角形的内角和定理。
四、教法、学法、教学手段教学方法：本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上和态度上的跨越。
湘教版八年级上册 数学 课件 2.1 三角形 三角形内角和定理的证明
只有一条路不能选择 ——那就是放弃的路。
只有一条路不能拒绝 ——那就是成长的路。
爱学习，要牢记
成绩好，有诀窍，认真听课很重要； 书展开，笔在手，课前准备要做好； 眼看清，耳听好，上课专心不说笑； 勤动手，多动脑，精力集中质量高； 师教导，要记好，同学之间多探讨； 敢提问，会创造，方法科学效率高；
同学三们，角你形们的知内道其角中和的等道于理吗18？00
动手折一折
1
1
2
2
3
3
在纸片上画任意的三角形△ ABC（把 表示三角形三个顶点的字母标在三角形的 内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得 到什么结论？
A
B
C
A
A
B
C
B
C
三角形三这个只内同是角学实们的验观和，察等而和观于总察1结8与0的实°非验.常得棒到，的但结
F
1 2
3
4
D
证明
B
C
过：A点作射线AD，过Ｂ点作BE ∥ AD，过C点
CF∥AD 则BE ∥ CF
（平行与同一条直线的两直线平行）
∴ ∠1= ∠2， ∠3= ∠4 （两直线平行，内错角相等
）
∠EBC+ ∠FCB=180 ° （两直线平行，同旁内角互补） 即∠1+ ∠ABC+ ∠ACB+∠4= 180 ° 又∵ ∠BAC= ∠2+ ∠3 ∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 °（等量代换）
大哥 二哥
内角三兄弟之争
三弟
在一个直角三角形里住着三个内角，平时
，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二 突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样大！ ”“不行啊！”老大说：“这是不可能的， 否 则 ， 我 们 这 个 家 就 再 也 围 不 起 来 了 ……”“ 为什么？” 老二很纳闷。
电机三相星形接法和三角形接法电压电流的关系-概述说明以及解释
电机三相星形接法和三角形接法电压电流的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在电力系统中，电机是其中一种最常见且重要的设备之一。
为了获得电机运行所需的电力，我们需要了解电机工作时的电压和电流关系。
电机的电压和电流关系根据不同的接法可以有不同的表现。
在本文中，我们将重点讨论电机的三相星形接法和三角形接法，并探讨它们之间的电压和电流关系。
三相星形接法和三角形接法是电机最常用的两种接法，它们在电机启动、运行和控制中都发挥着关键作用。
三相星形接法是指将三个电机相线分别连接到一个共同的连接点，形成一个星形网络。
而三相三角形接法是指将电机三个相线相互连接，形成一个闭合的三角形。
这两种接法在电压和电流的传递方式上有所不同。
本文将首先介绍三相星形接法的电压和电流关系，包括其电压的相量关系和电流的大小关系。
随后，我们将探讨三相三角形接法的电压和电流关系，并对两种接法进行对比分析。
通过对比分析，我们将得出结论，以说明在特定的应用场景下，三相星形接法和三角形接法各自的优缺点。
此外，我们还将总结本文的主要内容，并探讨相关研究的局限性并对未来的影响进行展望。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解电机的三相星形接法和三角形接法的电压和电流关系，以及它们在电机运行和控制中的应用。
希望本文能为相关领域的研究和实践提供一定的指导和参考价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下信息：文章结构的目的是为读者提供一个清晰的大纲，引导读者对整篇文章的内容和逻辑有一个整体的了解。
文章将分为引言、正文和结论三个主要部分。
在引言部分，我们会对文章的主题进行概述，介绍电机三相星形接法和三角形接法以及它们之间的电压电流关系。
同时，我们会说明本文的结构，为读者提供一个预览，以便更好地理解后续的内容。
正文部分是文章的核心，我们将分为两个子节进行讨论。
首先，我们会详细介绍三相星形接法的电压电流关系，包括简介、电压关系和电流关系三个方面。
然后，我们会针对三相三角形接法进行类似的讨论，介绍其电压电流关系的相关内容。
三角形相似全等的条件-概述说明以及解释
三角形相似全等的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形是几何学中的基本图形之一，具有三条边和三个顶点。
在三角形的研究中，相似和全等是两个重要的概念。
相似指的是两个三角形的形状相似，即它们的对应角度相等，对应边的比值相等。
全等则表示两个三角形的形状和大小完全相同，它们的对应边长和对应角度都相等。
在本文中，我们将深入探讨三角形相似和全等的条件。
通过研究这些条件，我们能够更好地理解三角形的性质和关系，并在实际问题中应用它们。
首先，我们将介绍三角形的基本概念，包括边、角、高度等。
理解这些基本概念对于后续的讨论非常重要。
然后，我们将详细讨论三角形相似和全等的条件。
相似的条件包括AAA（三个对应角度相等）、AA（两个对应角度相等，一对对应边成比例）以及SAS（一对对应边成比例，两个对应角度相等）。
全等的条件包括SSS （三边对应边长相等）、SAS（两边对应边长及夹角相等）以及ASA（两个对应角度相等，一对对应边相等）。
在文章的结尾部分，我们将总结三角形相似和全等的条件，并重申本文的目的。
通过深入研究这些条件，我们能够更好地理解和应用三角形的性质，为解决实际问题提供帮助。
总之，本文将对三角形相似和全等的条件进行详细阐述，通过理论推导和实例分析，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构部分的内容应该对整个文章的结构进行简单的介绍和总结。
它可以包括以下几个方面的内容：1. 引言部分的简述：首先，对引言部分的内容进行简短概述，介绍引言部分的主要目的和内容，为读者提供一个整体的概览。
2. 正文部分的大致分析：其次，可以简要介绍正文部分的大致分析结构和思路，包括三个主要章节的涉及内容，即「三角形的基本概念」、「三角形相似的条件」和「三角形全等的条件」。
3. 结论部分的预期结果：最后，可以提前介绍结论部分的预期结果，包括对三角形相似和全等条件的总结，并再次重申本文的目的。
《三角形内角和》 课件
由三角形内角和为180°得：
启示：运用代数 （方程）知识解 决几何问题！
3x x x 15 180
解得 x 33
所以：3x 99 ， x 15 48
所以：∠A=99°，∠B=33°，∠C=48°
五、课堂练习
1. 填空： （1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=45 °， 则∠ C= 100线叫做辅助线，通常画 成虚线。
为了证明三个角之和为180°,转化为一 个平角或同旁内角互补,这是转化思想.
巩固练习
1、(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（1）3°， 150°， 27° （ 是 ） （2）60°， 40°， 90° （ 不是）
（3）30°， 60°， 50° （ 不是）
七、本节课你学会了什么？
1、数学猜想需要通过数学证明才能升华为定理。 2、会证明和应用三角形内角和等于180°。 3、慢慢理解转化思想，学会用代数法解几何题。
作业
教材49页 ✓ A组第3、4题
三角形的三个内角和是180°
生
猜
实
数
得
活
想
验
学
出
事
规
检
证
结
件
律
验
明
论
你有什么方法可以验证它吗?
方法一:
方法二:
方法三:
量一量
拼一拼
折一折
误差
三、数学证明
证明: 延长BC至点D，过C作CE∥AB
所以：∠A =∠1（ 两直线平行,内错角相等 ） ∠B =∠2（ 两直线平行,同位角相等 ）
湘教版八年级上册第2章 2.1三角形 第3课时
一、教学目标
湘教版八年级上册 2.1 三角形 第3课时 三角形的内角和定理 课件(共28张PPT)
考考自己?
在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求
∠C的度数. A
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°.
∴∠B+∠C=100°.
B
C
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=50°.
考考自己?
已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5， 求这三个内角的度数. 解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x. 由题意得： x+3x+5x=180°，
x=20°. 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°.
A
∠BEC是△AEC的外角;
E
D ∠AEC是△BEC的外角;
F
∠EFD是△BEF和△DCF
的外角.
B
C
三 三角形的外角的性质
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
B
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两 内角(∠A，∠B)有什么关系？
2.1 三角形 第3课时 三角形的内角和定理
我们已经知道,任意一个三角形的内角 和等于180°.怎么验证这个结论呢？
方法一：度量法 通过具体的度量， 验证三角形的内角和为180°.
方法二：拼合法 把三个角拼在一起试试看？
方法三：推理验证法.
讲授新课
一 三角形的内角和及三角形按角的分类 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下 拼合在一起.
不相邻的内角
2.1.3三角形的性质(4)
所以 ∠BAC=68°，
因为 AD是△ABC的角平分线，
所以 ∠DAC = 1∠BAC = 34 °. 2
B
A
36° 76° DC
3. 如图，∠CAD＝100°，∠B＝ 30°，求∠C 的度数.
解 因为∠CAD是△ABC的外角，
D
A 100°
所以 ∠B+∠C= ∠CAD ，
30°
B
C
于是∠C = ∠CAD -∠B
三角形中， 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形， 有一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角 是钝角的三角形叫钝角三角形， 如图2-14.
锐角三角形
直角三角形 图2-14
钝角三角形
直角三角形可用符号“Rt△” 来表示， 例如直角三 角形ABC 可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中， 夹直角的两边叫作直角边， 直角的对边叫作斜边. 两 条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
由此受到启发：
如图2-13， 将△ABC的边BC 所在的直线平移，
使其像经过点A， 得到直线B′C′.
因为直线在平移下的像是与它平行的直线，
所以B′C′∥BC.
则∠B′AB ＝∠B，∠C′AC ＝∠C.
B′
又∠B′AB +∠BAC +∠C′AC = 180°，
A C′
所以∠B +∠BAC +∠C ＝ 180°.
E
∴∠CAE+∠ACE=113.5°， C
∴∠E=180°–113.5°=66.5.
F
小结
1.这节课我们研究的是什么？为什么要这么研究？ 2.从方法上你有哪些收获？ 3.“一题多解，多解归一”，需要把多种解法的共 性挖掘出来，归纳成解决一类问题的方法.
三个三角形对在一起的标志
三个三角形对在一起的标志1.引言1.1 概述在数学和几何学中，三角形是研究和探索的核心对象之一。
它具有简单而又复杂的特性，广泛应用于各个领域。
本文将探讨三个三角形对在一起的标志，这一符号在不同文化和领域中扮演着重要的角色。
三角形对是指由三个单独的三角形构成的整体形状，它们紧密地相连在一起。
通过将三角形连接并组合在一起，我们可以得到一个具有特定意义和象征的形状。
这种形状存在于许多不同的文化和领域中，包括艺术、科学、宗教和数学等等。
三个三角形对在一起的标志意味着三个个体的合并和团结。
每个三角形代表着不同的事物或概念，它们的结合形成了一种更加强大和完整的形式。
这个标志可以被解读为一种整体性的象征，强调了合作、协作和团队精神的重要性。
此外，三个三角形对在一起的标志还可以具有其他的象征意义。
它可以代表平衡和稳定，因为三个三角形的相互连接形成了一个坚固的结构。
同时，这个标志还可以表达对对称和美的追求，三角形之间的布局和比例关系给人以和谐和完美的感觉。
三个三角形对在一起的标志在不同文化中可能有不同的解读和含义。
在某些文化中，它可能象征着家庭的联结与和谐；在艺术领域，它可能代表着创意和多样性的融合；而在科学领域，它可能具有一种凝聚力和集体智慧的象征。
通过深入研究三个三角形对在一起的标志，我们可以更好地理解这个形状所代表的意义和价值。
无论在哪个领域中，三个三角形对在一起的标志都具有重要的表达和象征作用。
本文将进一步探讨三个三角形的意义和关联性，并强调这一标志的重要性。
在接下来的章节中，我们将介绍三个三角形的意义和关联性，以及这一标志的重要性。
通过对不同领域和文化中的案例进行分析，我们将更全面地认识到这个标志的价值和作用。
让我们一起深入研究并探索三个三角形对在一起的标志带给我们的启示和思考。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织框架和布局，它决定了文章中各个部分的顺序和关系。
对于本篇文章《三个三角形对在一起的标志》，文章结构的安排需要有条理且合理。
三角形中线定理和高中定理
三角形中线定理和高中定理一、三角形中线定理1.1 定义：三角形的中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
1.2 性质：(1)中线等于第三边的一半。
(2)中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
(3)中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
(4)中线的长度是顶点到对边中点的距离。
二、高中定理2.1 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角之和等于180度。
2.2 外角定理：一个三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和。
2.3 平行线定理：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内角互补，那么这两条直线平行。
2.4 同位角定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
2.5 同旁内角定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
2.6 垂直定理：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2.7 对角线互相平分的定理：在一个四边形中，对角线互相平分。
2.8 对角线相等的定理：在一个平行四边形中，对角线相等。
2.9 圆的性质定理：圆是到定点等距的点的集合，圆心是圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2.10 圆周定理：圆的周长等于半径的两倍乘以π。
2.11 圆面积定理：圆的面积等于半径的平方乘以π。
以上是关于三角形中线定理和高中定理的知识点总结，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：在一个三角形ABC中，点D是边BC的中点，求证：AD是三角形ABC的中线。
答案：根据三角形中线定理，连接顶点A与对边BC的中点D，可得AD是三角形ABC的中线。
2.习题：已知三角形ABC，AB=AC，点D是边BC上的一个点，且AD=BD，求证：三角形ABC是等腰三角形。
答案：根据三角形中线定理，AD是三角形ABC的中线，且AD=BD，所以AB=AC，因此三角形ABC是等腰三角形。
3.习题：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E，求证：AE=CE，BE=DE。
答案：根据平行四边形对角线互相平分的定理，可得AE=CE，BE=DE。
三角形整理 （上升三角形，下降三角形，对称三角形）
三角形整理形态包括上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种形态。
三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分 为对称、上升、下降三种形态。
三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上 方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之 为下降三角形。
一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。
一、三角形整理的定义三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分为对称、上升、下降三种形态。
三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之为下降三角形。
一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。
在很多情况下，三角形态都不能事 先确定股价的波动方向，其突破是否有效取决于两个方面：其一是向上突破必须有成交量的配合，向下突破不一定要有量的配合；其二是三角形突破只有在从起点至 终点(末端)的大约三分之二处发生突破，才会有效或具有相当的突破力度，股价若运行至末端才出现突破，其突破往往不会有效或缺乏力度。
二、三角形整理形态的种类主要包括：上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种。
2.1、 上升三角形上升三角形是众多盘整形态中的其中一种，是一种持续形态，即后市依然会延续先前趋势。
上升三角形2.2、 下降三角形。
下降三角形同上升三角形正好反向，是看跌的形态。
它的基本内容同上升三角形可以说完全相似，只是方向相反。
下降三角形2.3、 底部三角形它的形成 与下降三角形相同，不同地是：1、所处的 位置不同。
三角形的性质与分类
三角形的性质与分类三角形是几何学中最基本的图形之一，具有各种有趣的性质和分类。
在本文中，将详细介绍三角形的性质以及如何分类不同类型的三角形。
1. 三角形的定义三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
三角形的边可以是不等长的，但是每两条边的长度之和必须大于第三条边的长度。
三角形的顶点可以用大写字母A，B，C表示。
2. 三角形的性质2.1 三角形的内角和为180度对于任意一个三角形ABC来说，三个内角A，B，C的和始终等于180度。
这个性质被称为三角形的角和定理。
2.2 三角形的外角和为360度三角形的每个内角有一个对应的外角，两者相加等于360度。
这个性质是外角和定理的重要推论。
2.3 三角形的边长关系三角形的两边之和必须大于第三边的长度。
例如，对于三角形ABC 来说，AB + BC > AC， AB + AC > BC， BC + AC > AB。
如果有一条边的长度大于或等于其他两条边的长度之和，则无法构成三角形。
2.4 三角形的角度关系在任意三角形中，最大的内角对应最长的边，最小的内角对应最短的边。
这个性质被称为角边关系。
3. 三角形的分类根据三角形的边长或角度大小，可以将三角形分为不同的类型。
3.1 根据边长分类3.1.1 等边三角形等边三角形的三条边长相等。
每个内角都是60度。
例如，ABC的三条边长度分别为AB = AC = BC。
3.1.2 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等。
这意味着两个内角也相等。
例如，ABC的两条边长度分别为AB = AC, 内角A = 内角C。
3.1.3 直角三角形直角三角形有一个内角为90度。
直角三角形的最长边被称为斜边，两边分别被称为直角边。
例如，ABC中有一个内角为90度，两条直角边分别为AB和AC。
3.1.4 其他一般三角形一般三角形是指边长各不相等的三角形。
每个内角可以是任意大小。
3.2 根据角度分类3.2.1 锐角三角形锐角三角形的每个内角都小于90度。
三角形定理
2.1按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2.2按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
【注意】（1）任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
3.1三条重要的线（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线；（2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
【注意】（1）三角形的角平分线、中线和高都有三条； （2）三角形的三条角平分的交点是三角形的“内心”。
五、三角形1 定义2 分类3 相关概念1.1三角形：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形。
1.2边：组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a 、b 、c 或AC 、AB 、BC 。
1.3顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
1.4角：相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角。
1.5记法：三角形用符号“△”来表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作△ABC ，读作“三角形ABC”。
Aabc BC3.2三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3.3三角形的内角：三角形的内角和等于180°，∠1+∠2+∠3=180°。
3.4三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角； （2）性质：①三角形的一个外角与相邻的内角互补，∠1+∠4=180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠2+∠3=∠4； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠4＞∠3或∠3＜∠4。
《三角形的内角和外角》优质教案教学设计(省优)
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
2.1.3 三角形的外角和预设目标 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
2．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。
教学重难点 1．重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
2．难点：三角形外角的性质证明的过程。
教具准备三角尺、纸片教法学法讲授、讨论、练习教学过程一、复习提问1．什么叫三角形的外角?三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系?2．三角形的内角和等于多少?二、新授我们已经知道三角形的内角和等于180°。
1．现在我们探索三角形的外角及外角和。
如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。
∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻。
A DB C问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。
请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如教科书图2-15所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。
请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。
如图： D是△ABC边BC上一点，则有 A∠ADC＝∠DAB+∠ABD B D C∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD问：∠ADB＝∠( )+∠( )2．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。
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2.1.3 三角形（3）
【教学目标】
1、了解三角形的内角；
2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；
3、运用三角形内角和定理解决与角有关的实际问题；
4、初步培养学生的说理能力。
【教学重点】
了解三角形内角和性质，学会解决简单的实际问题【教学难点】说明三角形的内角和是180度。
【教学过程】一、新课导入
在小学里我们就接触过三角形，并且知道三角形的内角和是180°，大家还记得我们是
怎样检验的吗？这个检验的过程是不严谨的，今天我们一起来研究一下，
为什么三角形的内
角和是180°。
二、自主探究
阅读P46——P47，完成：
1、三角形内角和定理及其证明：
三角形的内角和等于
如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：延长
BC ，过C 作CE ∥BA .
【题后交流与反思】
本题的证明方法中应用了转化的思想方法，即把三角形的三个内角的和转化为一个
，
是借助
达到这个目的的。
2、三角形的分类：
（1）三角形的三个内角可以都是锐角吗？都是直角吗？都是钝角吗？一个三角形中最多有
个锐角，
个直角，个钝角。
（2）三角形按角分类如下
:
D
E
A
B
C
三角形
斜三角形
3、直角三角形的表示方法
如图记作，
叫作直角边，
叫斜边，
满足条件
的直角三角形叫等腰直角三角形
4、直角三角形两锐角的关系直角三角形的两个锐角 .
三、应用迁移（一）典例精析例1、在△ABC 中，∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A ，∠B,∠C
的度数。
例2、已知在△ABC 中，
C
B
A
3
12
1，试判断该三角形的形状。
（2）如图，
B A 与
D C
的度数有什么数量关系？你能写出证明过程吗？
将问题中的条件列成算式有助于于观察和计算分析。
（二）练习反馈
1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=_____
3、在△ABC中，已知∠A=1
3
∠B=
1
5
∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．
4、在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：3.求出∠A、∠B、∠C的度数。
5.在△ABC中，如果∠A+∠B=120°，∠A－∠B=10°求∠A，∠B，∠C的度数.
6．（1）如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB?的平分线相交于点D，求∠BDC的度数．
（2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC和∠A之间的数量关系．
四、归纳小结
本节课重点学习了
1、三角形的内角和定理及其证明方法；
2、根据角对三角形进行分类。
五、巩固提升
你还有别的方法证明三角形内角和定理吗?
D
A
B
C
E
D
F
A
B
E
D A
B。