1导数的概念及其几何意义-简单难度-讲义 - 副本
高考复习-导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。
导数的概念及其几何意义(高三理)
导数的概念及其几何意义【考点精讲】（一）导数的概念：1.导函数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即xx f x x f x y x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000。
（二）导数的几何意义：1. 导数的几何意义:设函数()y f x =如图，AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线，由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。
当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即：000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率，曲线()y f x =过点00(,())x f x 切线的斜率等于0()f x '。
2.切线的方程：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，求曲线在一点处的切线的一般步骤： ①求出P 点的坐标； ②求点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程（三）常见函数的导数：（高等数学中有证明过程）(1) (2) (3)(4) (5) (6)()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠ （7） （8）1()2x x '=(9)a x x a ln 1)(log ='（四）导函数的四则运算法则：()'''u v u v +=+，()'''uv u v uv =+ ，2''()'u u v uv v v -= （五）复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则在点处有导数.).)((0'0x x x f y y -=-)(0为常数C C =')(1Q n nx x n n ∈='-）（x x cos )(sin ='x x sin )(cos -='xx 1)(ln ='xx e e =')()(x u ψ=x )(x u x ψ'=')(u f y =x u )(u f y u '='f y =)]([x ψx x u x u y y '⋅'='（六）如何求函数的导数：（1）由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法:①求函数的变量)()(f x f x x f -∆+=∆; ②求平均变化率xx f x x f x∆-∆+=∆∆)()(f ;③求导数＝xx ∆∆→∆f lim 0。
第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件
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2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
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3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
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5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
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6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
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知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
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2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
导数的基本概念和意义
导数的基本概念和意义尽管导数在我们的日常生活中并不常见，但它在数学和物理学等学科中却扮演着重要的角色。
导数是微积分的一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
本文将探讨导数的基本概念和意义，并讨论它在实际应用中的重要性。
一、导数的定义导数可以被定义为函数在某一点上的变化率。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果在某一点x上，函数的值发生微小的变化Δx，那么相应的函数值的变化量为Δf。
导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(Δx→0) [Δf/Δx]这个公式可以被解释为：当Δx趋近于0时，函数f(x)在x点上的变化率接近于Δf/Δx。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
二、导数的几何意义导数在几何上有着重要的意义。
对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)可以被理解为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
切线是曲线在该点附近的近似直线，而导数正是切线的斜率。
通过计算导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率情况，从而揭示函数曲线的变化趋势。
三、导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，它的导数x'(t)可以表示物体在该时刻的速度。
速度是位置随时间变化的导数，它描述了物体在单位时间内移动的距离。
同样地，加速度可以被定义为速度随时间的导数。
导数的物理意义不仅限于运动学，它还可以应用于其他物理量的研究。
例如，对于一个物体的质量函数m(t)，它的导数m'(t)可以表示物体在该时刻的质量变化率。
导数可以帮助我们理解物体在不同时刻的质量变化情况，从而揭示物体的增长或减少趋势。
四、导数的计算方法计算导数是微积分中的重要内容。
对于简单的函数，我们可以通过求导法则来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = anx^(n-1)对于更复杂的函数，我们可以使用链式法则、乘积法则和商法则等来计算导数。
导数的概念和几何意义
导数的概念和几何意义导数是数学分析中的一个重要概念，广泛应用于各个学科领域中。
它不仅有着重要的理论意义，也具有丰富的几何意义。
首先，我们来了解导数的概念。
在数学上，导数可以理解为函数在其中一点上的变化率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在其中一点$x_0$的邻近有定义，那么函数在此点的导数可以定义为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。
这个极限值即为导数。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像上其中一点切线的斜率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数为$k$，那么在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率为$k$。
这意味着，切线的斜率描述了函数在该点的变化趋势。
如果导数为正，代表函数在该点上升；如果导数为负，代表函数在该点下降；如果导数为零，代表函数在该点取得极值。
以一个简单的例子来说明导数的几何意义。
考虑函数$y=x^2$，我们可以求得其在点$x_0$处的导数为$2x_0$。
这个导数可以看做是函数$y=x^2$在点$x_0$处的切线的斜率。
比如，在点$(1,1)$处，导数为$2$，那么切线的斜率为$2$。
我们可以绘制出函数曲线$y=x^2$，并在点$(1,1)$处绘制出斜率为$2$的切线。
通过这条切线，我们可以近似描述函数$y=x^2$在点$(1,1)$处的局部行为。
导数的几何意义还可以通过函数图像的凹凸性来解释。
如果函数在其中一区间上的导数始终为正（或始终为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。
如果函数在其中一区间上的导数变号，则函数在该区间上存在极值点。
此外，如果函数在其中一点的导数为$0$，则函数在该点可能存在极值点，或者函数在该点处具有水平切线。
另外，导数还可以用于判断函数的连续性。
2.1-导数的概念及几何意义(理)
导数的概念与几何意义一. 教学内容导数的概念与几何意义1. 导数的概念设函数)(x f y =在0x 及其近旁有定义，用x ∆表示x 的改变量，于是对应的函数值改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在极限，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，此极限值叫函数)(x f y =在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，函数)(x f y =在点0x 处的导数即平均变化率当0→∆x 时的极限值。
2. 导数的几何意义函数)(x f y =在一点0x 的导数等于函数图形上对应点))(,(00x f x 的切线斜率，即)(tan 0x f '=α，其中α是过),(000y x P 的切线的倾斜角，过点),(000y x P 的切线方程为))((000x x x f y y -'=-3. 导数的物理意义函数)(x f y =在0x 的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率，若函数)(x f 表示运动路程，则)(0x f '表示在0x 时刻的瞬时速度。
4. 导函数的概念如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导，就说)(x f 在),(b a 内可导，这时，对于开区间),(b a 内每个确定的值0x 都对应一个确定的导数)(0x f '，这就在),(b a 内构成一个新的函数，此函数就称为)(x f 在),(b a 内的导函数，记作)(x f '或)(x y y ''或，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0而当x 取定某一数值0x x =时的导数是上述导函数的一个函数值。
导数的概念及其几何意义-直击2021年高考中的导数问题(1)
导数的概念及其几何意义一、导数的定义设函数y=f（x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处取得增量∆x（点x0+∆x仍在该邻域内）时，相应的函数y 取的增量∆y = f (x+∆x)-f(x0)；如果∆y与∆x之比当∆x → 0 时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数，记为：y' =lim∆y =lim f (x+∆x)-f (x0)x=x0∆x→0 ∆x∆x→0∆x其他形式：f ' (x )= f(x0 +h)-f(x0)f ' (x )= lim f (x)-f (x0 )0 limh→0 ，x→x0x-x0二、导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P 时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim f (x+∆x)-f (x0)．0 h∆x ∆x→0技巧 1 导数的几何意义例1 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )[思路分析] (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？[解析] 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A 选项符合．『规律方法』1、f ′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2、若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x) 的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y 轴的直线的一部分．例2、已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(x A)与f ′(x B)的大小关系是( )A．f ′(x A)>f ′(x B) B．f ′(x A)＝f ′(x B)C．f ′(x A)<f ′(x B) D．f ′(x A)与f ′(x B)大小不能确定[解析] 由y＝f(x)的图象可知，在A，B 点处的切线斜率k A>k B，根据导数的几何意义有：f ′(x A)>f ′(x B)．技巧2 求切线方程例3、已知曲线C：f(x)＝x3.) 0 0 (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与曲线 C 相切的直线方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝ l im [(Δx )2＋3x 2＋3x ·Δx ]＝3x 2，Δx →0∴f ′(1)＝3×12＝3，又 f (1)＝13＝1，∴切线方程为 y －1＝3(x －1)，即 3x －y －2＝0.(2)设切点为 P (x 0，x 3)，由(1)知切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 2，故切线方程为 y －x 3＝3x 2(x －x )．0 0 0 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1－x 3＝3x 2(1－x )，即 2x 3－3x 2＋1＝0，∴(x －1)2(2x ＋1)＝0，解得 x ＝1 或 x ＝－1.0 0 0 0 0 02故所求的切线方程为：y －1＝3(x －1)或 y ＋1＝3(x ＋1，8 4 2即 3x －y －2＝0 或 3x －4y ＋1＝0.『规律方法』 1.求曲线在点 P (x 0，y 0)处切线的步骤：(1)求出函数 y ＝f (x )在点 x 0 处的导数 f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．过曲线外的点 P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为 Q (x 0，y 0)；(2)求出函数 y ＝f (x )在点 x 0 处的导数 f ′(x 0)；(3)利用 Q 在曲线上和 f ′(x 0)＝k PQ ，解出 x 0，y 0 及 f ′(x 0)；(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．要正确区分曲线 y ＝f (x )在点 P 处的切线，与过点 P 的曲线 y ＝f (x )的切线．4．f ′(x 0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x 0)<0 时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x 0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f (x )在 x 0 处的导数不存在，则切线垂直于 x 轴或不存在．一、单选题1．已知函数y =f (x)在x =x 处的导数为11，则lim f(x0-∆x)-f(x0)1 A．11 B．-11 C．∆x→0∆xD．-111 11 【答案】B【解析】【分析】直接化简lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)∆x得解.【详解】由题得lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)∆x=- lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)-∆x=-f '(x) =-11.故选：B【点睛】本题主要考查函数导数公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．函数f (x )在x =x 处导数f ' (x )的几何意义是（）0 0A．在点x =x0 处的斜率B．在点(x0 , f (x0 ))处的切线与x轴所夹的锐角正切值C．点(x0 , f (x0 ))与点(0，0)连线的斜率D．曲线y =f (x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率=（）【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义即可得出.【详解】解： f '(x )的几何意义是在切点(x , f (x )) 处的切线斜率.故选：D.0 0【点睛】考查导数的几何意义，属于基础题.3．函数 f(x)＝e x cosx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )A ．B ．0D ．1【答案】A【解析】【分析】求函数导数，代入 x=0 得到切线斜率，进而得倾斜角.【详解】由 f′(x)＝e x (cosx －sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率 k ＝f′(0)＝1，故倾斜角为 π，选 A.4【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题. 二、填空题x24．曲线y =+ ln x 在点2【答案】2x -y -3= 02(1, f (1)) 处的切线方程为．【解析】【分析】先对函数求导，求出在点(1, f (1))的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程.【详解】因为y =x2+，所以y'=x +1，所以y'= 1+1 = 2.ln x2x x=1又因为f (1) =1，所以切线方程为y -1= 2(x -1) ，即2x -y -3= 0 .2 2 2故答案为2x -y -3= 02【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 5．曲线y =(-3x +1)e x 在点(0, 1)处的切线方程为．【答案】y =-2x +1.【解析】【分析】求出导数，得切线斜率，从而得切线方程．【详解】x=0y'=-3e x +(-3x +1)e x =(-3x - 2)e x ，所以k =y ' =-2 ,故切线方程为y -1 =-2(x - 0).即y =-2x +1.故答案为：y =-2x +1．【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求出导数得出切线斜率．三、解答题6．已知定义在R 上的连续函数y = f ( x) 的图像在点M (1, f (1)) 处的切线方程为y=-12x + 2 ，求f (1) +f '(1) . 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可直接求出f '(1) =-1，f (1) =-1+ 2 =3，进而可得出结果.2 2 2 【详解】因为函数y = f ( x) 在点M (1, f (1)) 处的切线方程为y=-12x + 2 ，所以f '(1) =-1，f (1) =-1+ 2 =3，因此f (1) +f '(1) = 1.2 2 2【点睛】本题主要考查导数的几何意义，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.x x 2 x2 x 0 x 0 2 x 01+ 4x 051．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f (x ) = x 4 - 2x 3 的图像在点(1，f (1)) 处的切线方程为A ．y = -2x -1 B ． y = -2x +1 C ． y = 2x - 3 D ．y = 2x +1【答案】B【解析】 f (x )= x 4- 2x 3，∴ f '(x ) = 4x 3- 6x 2，∴ f (1) = -1， f '(1) = -2 ， 因此，所求切线的方程为 y +1 = -2(x -1)，即 y = -2x +1.故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.2．【2020 年高考全国 III 卷理数】若直线 l 与曲线 y =1 和 x 2+y 2= 5都相切，则 l 的方程为A ．y =2x +1B ．y =2x + 12 C ．y = 12 x +1D ．y = 12 x + 12【答案】D【解析】设直线l 在曲线 y =上的切点为(x 0 ,x 0 )，则 x 0 > 0 ，函数 y = 的导数为y ' = 1，则直线l 的斜率 k = 1 ，设直线l 的方程为y - = 1(x - x )，即 x - 2 y + x 0 = 0，由于直线l 与圆 x 2+ y 2= 1相切，则x 05= 1 ，两边平方并整理得5x 2- 4x -1 = 0 ，解得 x = 1， x = - 1（舍），5x x 0 0则直线l 的方程为x - 2 y+1= 0 ，即y =1x +1.2 2故选：D．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线y =a e x +x ln x 在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．a = e，b =-1 B．a=e，b=1 C．a = e-1，b = 1D．a = e-1 ，b =-1【答案】D【解析】∵ y'=a e x + ln x +1,∴切线的斜率k =y'|x=1 =a e +1= 2 ，∴a = e-1 ，将(1,1) 代入y = 2x +b ，得2 +b =1, b =-1.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y= f (x) 在点(0, 0) 处的切线方程为A．y =-2x B．y =-x C．y = 2x D．y =x【答案】D【解析】因为函数f崘᮱新是奇函数，所以aെ1െ0，解得aെ1，所以f崘᮱新െ᮱3+᮱，f᮱崘᮱新െ3᮱2+ 1，所以f᮱崘0新െ1᮱f崘0新െ0，所以曲线yെf崘᮱新在点崘0᮱0新处的切线方程为yെf崘0新െf᮱崘0新᮱，化简可得yെ᮱.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线yെf崘᮱新在某个点崘᮱0᮱f崘᮱0新新处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f᮱崘᮱新，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线y=3(x2+x)e x在点(0，0)处的切线方程为．【答案】3x -y = 0【解析】y'= 3(2x +1)e x + 3(x 2 +x)e x = 3(x 2 + 3x +1)e x ,所以切线的斜率k =y'|x=0 = 3，则曲线y = 3(x2 +x)e x 在点(0, 0) 处的切线方程为y = 3x ，即3x -y = 0 ．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．6.【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】曲线y = 2 ln(x +1) 在点(0, 0) 处的切线方程为．【答案】y െ2᮱【解析】y᮱െ2᮱+1，在点（0᮱0）处切线的斜率为kെ20+1െ2，则所求的切线方程为y െ2᮱.【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a =．【答案】െ 3【解析】y'=a e x +(ax +1)e x ，则y'|=a+1=-2，所以aെെ3.x=0【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.。
1导数的概念及其几何意义-拔高难度-讲义
导数的概念及其几何意义引入中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映她在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.那么，如何求瞬时速度呢？解读1、导数的概念（1）．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．（2）．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．（3）．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．2、导数的几何意义（1）.导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．（2）.求曲线的切线方程若曲线()y f x =在点00(,)P x y 及其附近有意义，给横坐标0x 一个增量x ，相应的纵坐标也有一个增量00()()y f x x f x =+-，对应的点00(,)Q x x y y ++.则PQ 为曲线()y f x =的割线.当0x →时Q P →,如果割线PQ趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ 的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()y y k x x -=-.探究类型一、求曲线()y f x =在点0,0x y （）的切线：'000()()y y f x x x -=-．类型二、求曲线()y f x =过点0,0x y （）的切线： 步骤一：设切点1,1x y （）；步骤二：联立方程组11'01001()()()y f x y y f x x x =⎧⎨-=-⎩解出1x ； 步骤三：写出切线方程'010()()y y f x x x -=-. 归纳总结1、导数的概念0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|x x y =' . 注意：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在.②在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0.③xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ∆，)(00x x f ∆+）的割线斜率. ④导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率. ⑤若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导.⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x '，称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.2、导数的几何意义函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义：曲线)(:x f y C =在其上点0(x P ，)0y 处的切线的斜率.用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）.一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条.以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为bx ax x f +=3)(.若()11M x y ，是三次曲线bx ax x f +=3)(上的任一点， 设过M 的切线与曲线()y f x =相切于()00,x y ， 则切线方程为))((000x x x f y y -'=-，因为点M 在此切线上，故))((01001x x x f y y -'=-， 又13110300,bx ax y bx ax y +=+=，所以))(3()(0120030131x x b ax bx ax bx ax -+=+-+，整理得：0)2()(10210=+-x x x x ， 解得，10x x =或210x x -=. 当点M 是对称中心即1x =-21x =0时，过点M 作曲线的切线切点是惟一的，且为M ，故只有一条切线；当点M 不是对称中心即01≠x 时，过点M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M 为切点（亦即曲线在点M 处）的切线.典例精讲一．选择题（共5小题）1．（2016春•孝感期中）质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=t0时的速度为（）A．4+4t0B．0 C．8t0+4 D．4t0+4t02，在x=0处f（x）2．（2014春•市南区校级期中）设函数f（x）=，（）A．不连续B．连续，但不可导C．可导，但导数不连续D．可导，且导数连续3．（2014•上城区校级模拟）函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f （x）的函数图象可能是（）A．B．C．D．4．（2011•上高县校级模拟）已知函数，，＜其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y=﹣2x﹣3 B．y=﹣2x+3 C．y=2x﹣3 D．y=2x+35．（2012•浉河区校级模拟）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则的值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20136．（2016春•宁德期中）一质点的运动方程为s（t）=，则它在t=3时的速度为．7．（2012春•东湖区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足0＜f′（x）＜1，对任意实数a≠b，的取值范围是．8．（2015春•宁德期末）若曲线y=x2+1的一条切线的斜率是4，则切点的横坐标x=．9．（2017•红桥区模拟）已知函数f（x）=﹣x3﹣x2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为．二、填空题10．（2011春•巴南区校级期末）已知f（x）是可导的函数，且，则曲线y=f （x）在点（2，2）处的切线的一般式方程是．11．（2013•泗阳县校级一模）若直线y=x是曲线y=x3﹣3x2+ax的切线，则a=．12．（2017春•昌平区校级月考）曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为．13．（2016春•姜堰区期中）函数f（x）的导函数f′（x）在R上恒大于0，则对任意x1，x2（x1≠x2）在R上的符号是（填“正”、“负”）14．（2015•广州校级二模）已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是．15．（2014秋•巫溪县校级月考）若函数f（x）=x2+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线相互垂直，则x2﹣x1的最小值为．16．（2012春•高明区校级月考）一列火车正以40m/s的速度行驶，前方遇到特殊情况需采取紧急制动，已知在采取制动后t秒时刻的速度（单位：m/s）为v=40﹣5T+T2，则火车从采取制动时到完全停下共行驶的距离为m．三、解答题（共4小题）17.（2014春•微山县校级期中）求曲线f（x）=x3﹣3x2+2x过原点的切线方程．18．（2016春•广安校级月考）水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．19．（2012•威远县校级模拟）二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（﹣2﹣x），导函数的图象与直线垂直（1）求f（x）的解析式（2）若函数g（x）=在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．。
导数的概念及其几何意义
导数的概念及其几何意义
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的几何意义是指函数在一点的导数等于函数图形上对应点的切线斜率。
当函数在某一点取某个值时，函数在该点的切线方向和该点处的法线方向相同，而切线斜率就是法线斜率。
因此，导数的几何意义可以看作是函数在某一点处切线的斜率。
导数的概念来源于微积分中的极值问题。
我们可以使用导数来寻找函数的极值点，特别是寻找函数的零点和极值点。
在求解微积分问题时，导数也是一个常用的工具。
例如，在求解函数的最大值和最小值时，我们可以使用导数来找到函数的极值点，进而求解最大值和最小值。
此外，导数还可以用于求解曲线的最值问题，例如求曲线的最小值或最大值。
总结起来，导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，具有广泛的应用。
在求解微积分问题时，我们应该熟练掌握导数的概念和应用，以便更好地解决问题。
导数概念--公式知识点总结+习题含详细讲解
．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x+∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
第1讲 导数的概念及其几何意义
第1讲 导数的概念、运算及其几何意义【知识梳理】1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-， 21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，记作 .3.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 .4.导数的几何意义: 函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点()00,()x f x 处的 .5.解决函数切线问题时,如果切点未知,通常先把 假设出来.注意求“在”一点与“过”一点的切线的区别6.常见函数的导数：C '= (C 为常数)；()n x '= ；(sin )x '= ；(cos )x '= ； ()x a '= ；()x e '= ；(log )a x '= ；(ln )x '= .7.导数的运算法则：[()()]f x g x '±= ，[()]Cf x '= (其中C 为常数)；[()()]f x g x '⋅= ，()[]()f xg x '= (()0g x ≠). 【例题分析】类型一 导数的概念及运算例1 （1）函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为（2）在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,则k 无限趋近零时,(2)(2)3f k f k +-无限趋近于 . 变式：若0()2f x '=，则当k 趋近于0时，00()()2f x k f x k--无限趋近于 .（3）若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为 米/秒.（4）汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12.（5）一汽球的半径以2cm/s 的速度膨胀，半径为6cm 时，表面积对于时间的变化率是 ． 例2（1）函数2log ()x f x x=,则该函数的导数'()f x = . （2）已知()2cos f x x x =,则'()3f π= . （3）已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= .（4）若2ln ()1x f x x =+，则'()f x = . 类型二 导数的几何意义例3（1）函数2log y x =在x e =处切线斜率为 .（2）曲线sin y x =在点1(,)62P π处的切线方程是 . （3）函数y ＝x 2＋a 的图象与直线y ＝x 相切，则切点坐标为 ,a ＝ .（4）函数31y x x =-+图象上任一点的切线的倾斜角取值范围为 .（5）过原点且与函数()ln f x x =图象相切的切线方程为 . （6）曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 例4（1）若直线3y kx =-与曲线2ln y x =相切，则实数k =_________.变式：已知函数y =的一条切线方程为14y kx =+，则k =__________.例5 已知曲线32y x x =-（1）求在点（0，0）处的切线方程；（2）求过点（1，—1）的切线方程．类型三 综合问题例6（1）在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点,该图象 在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值_____________.（2）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.例7 已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l .(1)判断函数()f x 的奇偶性;并判断,A B 是否关于原点对称;(2)若直线12,l l 都与AB 垂直,求实数b 的取值范围.【课后作业】1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 .2.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度 为 .3.函数2x y e =的导数'y = ，()cos f x x x =,则'()3f π= . 4.函数n y mx =的导数为34y x '=，则m = ，n = .5.函数cos y x =在点1(,)32π处的切线方程为 . 6.若323y x x =-的切线与直线34y x =+平行,则切点坐标为 .7.已知直线kx y =是x y ln =的切线,则k 的值为___________8.过原点作曲线xy e =的切线,则切线方程为 .9. 已知曲线2:ln S y x x =-，则作斜率为1的切线，共可作 条.10.曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 .11. 设曲线ax y e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ..12.函数2y x x =-图象上动点A 到直线4y x =-的最小距离为 .13.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .14.求下列函数的导数 (1)22log xy x =+ (2)tan y x = (3)32ln x x y x -=15. 已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点(2,0)P ，且在点P 处有公共切线，求(),()f x g x 的表达式.16. 已知函数21()ln ,()2f x x a x a R =-∈,若函数()f x 在x =2处的切线方程为y=x+b ，求a ,b 的值.。
导数概念及几何意义意义-2023届高三数学二轮复习讲义
目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一： 导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二： 导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=． 特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-； （3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值： （1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数 （1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++； （2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-； （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2． 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1． 已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值;考点四： 切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数） （Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++． 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率） （Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。
导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义一、知识与方法1、导数的概念：函数在处导数的定义：一般地，函数在处的瞬时变化率是_______，我们称它为函数在处的导数，记作或。
2、求在处的导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。
3、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。
特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。
二、练习题1．一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为__________。
2．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.32()32f x ax x =++,若,则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．曲线在点处的切线方程是＿＿＿＿．4．设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（ ）A ．1B ．C ．D ．5. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A ．2B ．C ．D ．6. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则8．已知是实数，函数。
若，求的值及曲线在点处的切线方程。
9. 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( )A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+10. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．求函数的解析式。
导数的概念是什么及几何意义
导数的概念是什么及几何意义导数的概念是什么及几何意义我们专升本是以计算为主的,下面让我们一起学习导数定义以及几何意义在考试中的考查内容及相关题型的解法吧!以下是店铺整理的导数的概念是什么及几何意义，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
导数的概念导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的`概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，xf'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数(简称导数)。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导(即②式)。
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导数的概念及其几何意义知识讲解一、导数的概念1.函数的平均变化率：定义：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率． 注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：瞬时变化率：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． 函数的导数：“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．2.求曲线的切线方程方法：若曲线()y f x =在点00(,)P x y 及其附近有意义，给横坐标0x 一个增量x ，相应的纵坐标也有一个增量00()()y f x x f x =+-，对应的点00(,)Q x x y y ++.则PQ 为曲线()y f x =的割线.当0x →时Q P →,如果割线PQ 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ 的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()y y k x x -=-.典型例题一．选择题（共14小题）1．（2018•德阳模拟）已知函数f （x ）在R 上存在导数f′（x ），下列关于f （x ），f′（x ）的描述正确的是（ ）A ．若f （x ）为奇函数，则f′（x ）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数【解答】解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误，对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确，对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误，对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误，故选：B．2．（2018春•东安区校级期中）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．， B．[0，）∪[，π）C．，D．，【解答】解：y′=3x2﹣≥﹣，tanα≥﹣，∴α∈[0，）∪[，π），故选：B．3．（2018春•福州期末）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f（1）+f′（1）的值等于（）A．1 B．C．3 D．0【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）=3，故选C．4．（2018春•咸阳期末）若y=f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）=（）A．B．2 C．3 D．【解答】解：∵，∴•=1，即f′（a）=1，则f′（a）=，故选：D．5．（2018春•吉安期中）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，∴导函数y=f′（x）的图象可能为区间（﹣∞，0）内，先有f′（x）＞0，再有f′（x）＜0，在（0，+∞）再有f′（x）＞0．故选：A．6．（2018春•思明区校级月考）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4） B．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）C．2f′（2）＜2f′（4）＜f（4）﹣f（2） D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）【解答】解：由函数f（x）的图象知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（4），f（4）﹣f（2）＞0，由此可知f′（x）在（0，+∞）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐增大，∴f′（x）单调递增，∴f′（2）＜f′（4），∴2f′（2）＜2f′（4），∵f′（2）＜＜f′（4），∴2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）故选：A．7．（2018春•菏泽期中）已知函数y=f（x），其导函数y=f'（x）的图象如图，则对于函数y=f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x=0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x=2处取得最小值【解答】解：当0＜x＜2或x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+∞）上单调递减，当2＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递增，∴当x=0或x=4时函数取的极大值，∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，无最小值，故选：C．8．（2018春•镇安县校级期中）定义在R上函数f（x），若（x﹣1）f′（x）≤0，则下列各式正确的是（）A．f（0）+f（2）＞2f（1） B．f（0）+f（2）＜2f（1）C．f（0）+f（1）=2f（1）D．f（0）+f（2）与2f（1）大小不定【解答】解：当x＜1时，则f′（x）≥0；当x＞1时，则f′（x）≤0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞），所以，f（0）＜f（1），f（2）＜f（1），将上述两个不等式相加得f（0）+f（2）＜2f（1），故选：B．9．（2018•榆林三模）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．，B．（，）C．（，1） D．（，1）【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）则，＞＞＞＜＜解得；＜＜．∴实数a的取值范围是（，1）故选：C．10．（2018春•商丘期中）已知函数f（x）=（x3﹣2x）e x，则的值为（）A．﹣e B．1 C．e D．0【解答】解：∵f（x）=（x3﹣2x）e x，∴f′（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，∴=f′（1）=（1+3﹣2﹣2）e=0，故选：D．11．（2018春•路南区校级期中）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1 D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，当△x=0.25时，2+△x=2.25，故﹣2+△y==﹣，则△y=﹣﹣（﹣2）=，此时割线的斜率K==；故选：B．12．（2016秋•宿州期末）一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t=4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒【解答】解：∵s=s（t）=t2﹣t+2，∴s'（t）=2t﹣1，∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'（4），即s'（4）=2×4﹣1=7（米/秒），故选：B．13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t秒后的距离为s=t3﹣t2+2t，则t=2秒时的瞬时速度为（）A．8m/s B．10m/s C．16m/s D．18m/s【解答】解：s′=3t2﹣2t+2∴s′（2）=12﹣4+2=10∴t=2时的瞬时速度为10m/s．故选：B．14．（2017春•东坡区校级月考）函数f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）C．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）﹣f'（3）【解答】解：由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＜0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f′（x）＞0，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：C．二．填空题（共4小题）15．（2018•南开区一模）若曲线y=e x+e﹣x的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2．【解答】解：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点的横坐标为x0，可得e x0﹣e﹣x0=整理可得2（）2﹣3﹣2=0，解得=2，或=（舍去）∴x0=ln2故答案为：ln216．（2018春•昌吉市期末）如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y=﹣2x+5，则f（2）+f′（2）=﹣1．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点x=2处的切线方程是y=﹣2x+5，∴f′（2）=﹣2，f（2）=﹣4+5=1，∴f（2）+f′（2）=﹣2+1=﹣1，故答案为：﹣117．（2017秋•龙海市校级期末）某物体做直线运动，其运动规律是（t 的单位是秒，s的单位是米），则它在t=2的瞬时速度为．（单位：米/秒）【解答】解：根据题意，s=t2+，则其导数s′=2t﹣，该物体在3秒末的瞬时速度就是t=3时的导数值，即s′|t=2=4﹣=，故答案为：．18．（2018春•平罗县校级期中）如果质点A按照规律s=5t2运动，则在t=3时的瞬时速度为30．【解答】解：∵质点A按照规律s=5t2运动，∴s′=10t，当t=3时，∴在t=3时的瞬时速度为s′=10×3=30．故答案为：30．。