简单几何体综合能力训练
立体几何综合训练 学生版拔尖
课题：立体几何综合训练个性化教学辅导教案学生姓名年级学科数学上课时间教师姓名课题立体几何综合训练教学过程教师活动1.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题正确的是（）A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点2.回顾下直线，平面的平行判断与性质。
3.回顾下直线，平面垂直的性质和判定方法。
4.求线面所成角与二面角的一般步骤是什么？5.若已知条件中，已知三角形中两线段相等，你会想到什么？遇到中点呢？立体几何综合训练例1 如图，直三棱柱111ABC A B C - 中，90BAC ∠=，2AB AC ==，11AA =，点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点．(1)证明：MN ∥平面11A ACC ； (2)求三棱锥1A MNC -的体积例2 如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，棱长均为5，E 、F 分别是AC 、11A C 的中点． （1）求证：平面1AB F ∥平面1BEC ； （2）求点A 到平面1BEC 的距离．例3 如图，在直角梯形SABC 中，∠B=∠C=π2，D 为边SC 上的点，且AD ⊥SC ，现将△SAD 沿AD 折起到达PAD 的位置（折起后点S 记为P ），并使得PA ⊥AB ． （1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知PD=AD ，PD +AD +DC=6，G 是AD 的中点，当线段PB 取得最小值时，则在平面PBC 上是否存在点F ，使得FG ⊥平面PBC ？若存在，确定点F 的位置，若不存在，请说明理由．立体几何综合训练教学过程： 突破1： 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：（线线平行线面平行）③性质定理：（线面平行线线平行）④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：（用于判断）；////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭⇒////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭⇒//l l αα=∅⇒（ii ）判定定理：“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii ）“面面平行线面平行”（用于证明）； （4）（用于判断）；3.面面平行： ①定义：；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： 【如下图①】图① 图②推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述：【如上图②】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 符号表述：.【如右图】③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2 ④面面平行的性质： （1）（面面平行线面平行）； （2）；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
2021级人教版数学科目+立体几何综合训练(一)
2021 级数学科自主学习提升课程（一）立体几何综合训练1、如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， AB = AD ， O 为 BD 的中点. （1）证明： OA ⊥ CD ；（2）若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE = 2EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为 45︒ ， 求三棱锥 A - BCD 的体积.2、如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ，M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM ．（1）证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ；（2）若 PD = DC = 1 ，求四棱锥 P - ABCD 的体积．3、如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ∠ABC = 120︒, AB = 1, BC = 4, PA = N 分别为 BC, PC 的中点， PD ⊥ DC , PM ⊥ MD . （1）证明： AB ⊥ PM ；（2）求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值.M ，4、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E 是PB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若PC＞1，直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为，求二面角P﹣AC﹣E 的余弦值．5、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：AD⊥CD；（2）已知CD＝PD＝4，AB＝AD＝3，∠ADP＝90°．在棱AB 上是否存在一点E，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．6、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若PA＝PD＝AB＝CD＝2，∠APD＝90°，求点C 到平面BDP 的距离．7、如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB，∠ABC＝60°，四边形ACEF 是矩形．（Ⅰ）求证：AC⊥EB；（Ⅱ）若CE＝BC，且CE⊥BC，求EB 与平面FBD 所成角的正弦值．8、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA＝PB＝AB，且∠PBC＝2∠PAD＝90°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．9、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝3，E为PD 的中点，点F 在PC 上，且；（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P 的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且，判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．10、如图，四棱锥P﹣ABCD 中，平面PCD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝3DC＝6，BM＝2MP．（1）求证：CM∥平面PAD；（2）若AD＝1，AD⊥DC，PD⊥PC 且PD＝PC．求直线CM 与平面PAB 所成的角．11、已知平面四边形ABCD 中，AB⊥AC，AB＝AC＝AD＝CD＝2，现将△ABC沿AC 折起，使得点B 移至点P 的位置（如图），且PC＝PD．（1）求证：CD⊥PA；（2）若M 为PD 的中点，求点D 到平面ACM 的距离．12、在四棱锥P﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，以BC 为直径的圆O（O 为圆心）过点A，且AO＝AC ＝AP＝2，PA 底面ABCD，M 为PC 的中点．（1）证明：平面OAM⊥平面PCD；（2）求二面角O﹣MD﹣C 的余弦值．13、在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，M，N 分别为BC，AB1 的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB＝AC＝AA＝，BC＝2，且A1 在底面ABC 上的正投影恰为点M，求二面角N﹣BC﹣C1 的正弦值．114、如图，在多面体ABCDE 中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE 为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC＝60°，CD＝1，AE＝AC＝2，F 为BE 的中点．（1）当BC 的长为多少时，DF⊥平面ABE．（2）求平面ABE 与平面BCD 所成的锐二面角的大小．15、在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1．（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；（2）若AC 与平面CC1D1D 所成角为，求二面角C﹣AA1﹣D 的余弦值．116、在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，AD＝BC，AD＝1，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF＝AC．（1）证明：AB⊥CF；（2）当二面角B﹣EF﹣D 的余弦值为时，求线段CF 的长．17、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，BC⊥平面PAB，AB∥CD，若DC＝DP＝2，BC＝，AP＝1，AB＝3．（Ⅰ）求证：AP⊥AB；（Ⅱ）求直线PC 与平面ADP 所成的角的正弦值．18、如图1，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝BC＝2，将△ABD沿BD 折起，使得A 到P 的位置，且二面角P﹣BD﹣C 是直二面角，如图2．（1）求证：CD⊥PB．（2）求二面角P﹣BC﹣D 的余弦值．19、在直角梯形ABCD 中，∠ABC＝90°，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝2，M为线段AD 中点．将△ABC沿AC 折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B﹣ACD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；（Ⅱ）求直线BD 与平面BCM 所成角的正弦值．20、如图所示，四棱锥S﹣ABCD 中，△SAB为等边三角形，四边形ABCD 为菱形，，二面角S﹣AB﹣C 为直二面角，点E 为线段AB 的中点．（1）求证：SC⊥CD；（2）求直线BC 与平面SCD 所成角的余弦值．21、已知正△ABC的边长为3，点D、E 分别是AB、AC 上的三等分点（点E 靠近点A，点D 靠近点B）（如图1），将△ADE沿DE 折起到△ADE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B 的平面角为90°，连接A1B，A1C（如图2）．1（1）求证：AE⊥平面BCED；1（2）在线段BC 上是否存在点P，使得直线PA1 与平面A1EC 所成的角为60°？若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由．22、如图，AB⊥平面ADE，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝AE＝3，∠DAE＝120°，四边形ABCD 的对角线交于点M，N 为棱DE 上一点，且MN∥平面ABE．（1）求的值；（2）求二面角B﹣AC﹣N 的余弦值．23、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，△PBC为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD＝3，BC＝4，点M，N 分别在线段AD 和PC 上，且．（1）求证：PM∥平面BDN；（2）设二面角P﹣AD﹣B 为θ．若，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．24、如图：P⊥平面ABCD，四边形ABCD 为直角梯形，��//��，∠���= 90 ∘，P = P = 2P = 2A = 2.求证：平面���⊥平面PBC；求二面角�−��−�的余弦值；在棱PA 上是否存在点Q，使得��//平面PBC？若存在，求��的值，若不存在，请说明理由.��25、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B 的余弦值．。
立体综合运用几何练习题-含答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )2．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若l α,l β,则αβB ．若l α⊥,l β⊥,则αβC ．若l α⊥,l β,则αβD ．若αβ⊥,l α,则l β⊥3．已知α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是不重合的直线，给出下列命题： ①a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；②//a b a c c b ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭． 其中正确命题的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β二、填空题（题型注释）5．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．6．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余三、解答题（题型注释）7．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD ＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．8．如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．图1 图2(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B DEG 的体积．9．如图，菱形ABCD 的边长为2，BCD ∆为正三角形，现将BCD ∆沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且，连接CC '． D ABC EC '（1）若E 为CC '的中点，证明：AC '平面BDE ；（2）求三棱锥C ABD '-的体积．10．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A 的余弦值．.答案1．D【解析】这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其直观图为选项D 中的图形．2．B【解析】试题分析：若l α，l β，则平面,αβ可能相交，此时交线与l 平行，故A 错误；若l α⊥，l β⊥，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B 正确；若l α⊥，l β，则存在直线m β⊂，使l m ，则m α⊥，故此时αβ⊥，故C 错误；若αβ⊥，l α，则l 与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D 错误，故选B考点：空间直线、平面平行与垂直辨析．3．C【解析】试题分析：对于①，根据面面垂直的判定定理可知①正确；对于②，以正方体过同一个顶点的三条棱为a 、b 、c ，可得a b ⊥且c b ⊥，但是a 、c 是相交直线，∴②不正确；对于③，∵a α，b a ⊥，∴b 有可能在α内，或与α平行，或与α相交，∴③不正确，故选C ． 考点：线面平行与垂直的性质．4．C【解析】平行的传递性只有在线线和面面之间，则A ，B 不正确．两条平行线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面，C 正确．5【解析】∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF 6．④【解析】如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确．7．（1）见解析（2【解析】设AB ＝a ，PA ＝b ，如图所示，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (a ，0，0)，P (0，0，b )，C (2a ，2a ，0)，D (0，2a ，0)，E证明：BE＝，AD＝(0，2a，0)，AP＝(0，0，b)，所以BE＝AD＋AP，又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，故BE∥平面PAD.(2)∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即BE·PC＝0，PC＝(2a，2a，－b)，∴BE·PC＝2a20，即b＝2a.在平面BDE和平面BDC中，BE＝(0，a，a)，BD＝(－a，2a，0)，BC＝(a，2a，0)，所以平面BDE的一个法向量为n1＝(2，1，－1)，平面BDC的一个法向量为n2＝(0，0，1)．cos〈n1，n2EBD与平面BDC8．（1）见解析（2【解析】(1)如图(1)∵CE＝4，∠DCE＝30°，过点D作AC的垂线交于点M，则DMEM＝1，∴DE＝2，CD＝则CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.在图(2)中，又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.图(1) 图(2)(2)在图(2)中，∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.由条件得BHS △DEG△ACD·CD三棱锥B DEG 的体积V△DEG ·BH9．（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接OE 、OC ，可得OE AC '，再由线面平行的判定定理证明AC '平面BDE ；（2）在C CO '∆内，过C '作C H OC '⊥于H ，可证C H '⊥平面BCD ，求得C H '，根据体积公式计算可得答案．试题解析：（1）如图， D C 'A B C E O连接AC ，交BD 于点O ，连接OE 、OC ，∵ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又∵E 为CC '的中点，∴OE AC '， 又AC '⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴AC '平面BDE . 于H ，CO C O O '= ，∴BD C H '⊥，CO BD O =，∴C OC OC == 1考点：1、棱锥的体积；2、直线与平面平行的判定．10．（1）见解析（2【解析】(1)由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B0,0)，P (0,1,1)． 故CB ＝0,0)，CP ＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1100n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)．因为AP ＝(0,0,1)，AB ＝1,0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则2200n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以不妨令x 2＝1，则n 2＝(10)．于是cos 〈n 1，n 2所以由题意可知二面角C PB A。
小升初空间几何(立体图形)专项训练
空间几何（立体图形）专项训练解决问题的切入点放在把握图形的特征上。
在解决问题的策略上，加强对图形特征的分析和研究，就能够抓住问题的本质特征，使问题迎刃而解。
1．通过联想图形的基本特征，来巧妙地解决问题，提升了解决问题的方法，达到了数形结合的目的。
2．有条理、有根据地思考问题是一种重要的思维品质，由于面临的问题往往不能一步解决，而需要以分步写小标题的形式来进行解决，这个过程中就训练了有序思考的能力。
3．在解决问题的过程中，说一说自己是怎样想的，怎样做的，达到学以致用的目的。
练习1：等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是60立方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？圆锥的体积是多少立方厘米？2：等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之差是60立方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？圆锥的体积是多少立方厘米？3：把一根2米长的圆柱形木棒截成三段，表面积增加15平方厘米，这根木棒的体积是多少立方厘米？4：圆柱的侧面展开得到正方形，它的底面周长是36厘米，它的高是多少厘米？5：把一个圆柱削去一个最大的圆锥体后，体积还剩54立方厘米，这个圆锥的体积是多少立方厘米？6：一个没有盖的圆柱形铁皮桶，底面周长是18.84分米,高是12分米,做这个水桶大约需要多少平方分米铁皮?7:一堆圆锥形沙堆,底面周长是25.12米,高1.5米,每立方米黄沙重1.7吨,这堆沙重多少吨?8:压路机的滚筒是一个圆柱体,它的宽是2米,横截面半径是0.8米,以每分钟滚动5周计算,1小时可以压多大的路面?1小时可以前进多少米?9:一张长方形铁皮长为3厘米,宽为2厘米,绕着它的任意一条边旋转一周,可以得到一个什么立体图形?这个立体图形体积最大是多少?10:一个直角三角形的两条直角边分别长6厘米、10厘米，以10厘米的直角边为轴旋转一周，可以得到一个什么形体？它的体积是多少立方厘米？11:一个高8厘米的圆柱如果高减少2厘米,它的表面积就减少25.12平方厘米,求这个圆柱的体积?12：一只圆柱形油罐，原来高8分米，现在需要加高5分米，这样表面积增加6.28平方米,油罐加高后的容积是多少立方米?13:一个直径是20厘米,长2米的圆木,要锯成一个横断面是最大的,长方体的方木,锯成的长方体方木的体积是多少立方分米?14：把一个半径为10厘米的圆锥形钢材浸没在一只底面半径是30厘米的圆柱形水桶里，当钢材从水桶中拿出，桶里的水面下降了1厘米。
立体几何专项训练
立体几何专项训练
立体几何是数学领域中的一个重要分支，主要研究三维空间中图形的性质、位置关系以及度量等问题。
为了加深对立体几何的理解，我们需要进行一系列的专项训练。
以下是一些关于立体几何的专项训练题目，旨在帮助学生提高解题能力和空间想象力。
一、基础训练
已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其表面积和体积。
已知一个正方体的棱长为a，求其表面积和体积。
已知一个球的半径为r，求其表面积和体积。
二、进阶训练
已知一个长方体的三个面的面积分别为S1、S2、S3，求其体积。
已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其表面积和体积。
已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其表面积和体积。
三、拓展训练
在一个正方体中，从一个顶点出发，沿着正方体的棱走，求最多能走过几条棱。
在一个正方体中，从一个顶点出发，沿着正方体的面走，求最多能走过几个面。
在一个球内，放入n个等大的小球，求这些小球的最大半径。
通过以上训练，可以帮助学生熟悉立体几何的基本概念和性质，提高解题能力和空间想象力。
同时，也可以引导学生深入思考，拓展思路，为后续的数学学习打下坚实的基础。
小学一年级数学几何体组合练习题及答案
小学一年级数学几何体组合练习题及答案题目：小学一年级数学几何体组合练习题及答案一、填空题：1. 一个正方体有几个顶点？_________2. 一个圆柱体有几个侧面？_________3. 一个长方体有几个棱？_________4. 一个圆锥体有几个面？_________5. 一个球体有几个面？_________二、选择题：1. 下面哪个不是几何体？A. 球体B. 长方体C. 二维平面图形D. 圆柱体2. 哪个几何体的所有面都是三角形？A. 正方体B. 圆锥体C. 球体D. 三棱柱3. 下面哪个几何体有曲面？A. 球体B. 二维平面图形C. 正方体D. 长方体4. 下面哪个几何体可以滚动？A. 球体B. 圆柱体C. 正方体D. 三棱锥5. 下面哪个几何体没有棱？A. 球体B. 圆锥体C. 三棱柱D. 长方体三、解答题：1. 请画出一个正方体，并标明它的顶点、棱和面。
2. 请列举两个球体的实际应用场景，并简述它们的特点。
四、综合题：小明拿来了一些几何体，其中包括两个正方体、三个圆柱体和一个圆锥体，请你用这些几何体拼出一个长方体。
画图并标出每个几何体所代表的长度。
五、问题发散：请思考，如果我们把一个长方体的一侧面搭积木拼成一个圆柱体，那么这个圆柱体的高度和原长方体的高度是否相等？为什么？答案：一、填空题：1. 一个正方体有几个顶点？8个2. 一个圆柱体有几个侧面？2个3. 一个长方体有几个棱？12个4. 一个圆锥体有几个面？2个5. 一个球体有几个面？1个二、选择题：1. C. 二维平面图形2. B. 圆锥体3. A. 球体4. A. 球体5. A. 球体三、解答题：1. （请自行绘制正方体的图形，并标明顶点、棱和面）2. 球体的应用场景：- 篮球、足球等运动用球- 圆形地球仪特点：- 所有的面都是曲面，没有棱和顶点- 任何方向上的直径长度相同，球体上的任何一点到球心的距离都相等四、综合题：（请自行绘制拼出长方体的图形，并标明每个几何体所代表的长度）五、问题发散：如果我们把一个长方体的一侧面搭积木拼成一个圆柱体，这个圆柱体的高度和原长方体的高度是相等的。
初一数学下册立体形的综合练习
初一数学下册立体形的综合练习立体几何是数学中一个重要的分支，也是初中数学的难点之一。
掌握立体形的特点、性质和计算方法，对于进一步学习几何、解决实际问题都具有重要意义。
本文将围绕初一数学下册立体形的综合练习展开，通过一系列的题目来巩固和拓展我们的知识。
一、立体形的基本概念在开始练习之前，首先我们需要了解立体形的基本概念。
立体形是三维空间中的图形，包括了由平面图形组成的立体、曲面图形、以及曲面和平面的组合体。
常见的立体形有圆柱、圆锥、球体、立方体等。
例如，下面是一道题目：【题目】判断下列图形属于哪种立体形：（1）正方形的棱长为5cm的立方体；（2）底面是半径为10cm的圆，高为20cm的圆锥；（3）直径为8cm的球体。
【解答】（1）正方形的棱长为5cm的立方体，根据题目描述，可知该立方体是由正方形组成的。
因此，该图形属于立方体。
（2）底面是半径为10cm的圆，高为20cm的圆锥，根据题目描述，可知该图形是由一个圆锥和一个圆柱组成的组合体。
因此，该图形属于组合体。
（3）直径为8cm的球体，根据题目描述，可知该图形是一个球体。
因此，该图形属于球体。
通过上述例题，我们可以初步了解立体形的基本概念及分类方式。
二、立体形的计算在实际操作和计算中，我们经常需要求解立体形的表面积、体积等问题。
针对不同的立体形，计算的方法也有所不同。
1. 立方体的计算立方体是最常见的一种立体形，其特点是六个面都是正方形。
【例题】计算一块立方体的表面积和体积，其中边长为4cm。
【解答】由于立方体的六个面都是正方形，且边长相等，因此，我们可以根据公式计算出表面积和体积：表面积 = 6 ×边长²= 6 × 4² cm²= 96 cm²体积 = 边长³= 4³ cm³= 64 cm³2. 圆柱的计算圆柱是由一个底面圆和与底面平行的侧面一起构成的。
三年级数学上册综合运用立体几何的练习
三年级数学上册综合运用立体几何的练习立体几何是数学中的重要分支之一，它研究的是三维空间中的物体形状、大小和位置关系。
在三年级数学上册中，综合运用立体几何的练习是帮助学生巩固和拓展对几何概念和立体图形的理解的重要环节。
本文将结合相关习题，以及合适的格式，来帮助三年级学生更好地学习和应用立体几何知识。
1. 直线、线段和射线在几何学中，直线、线段和射线是最基本的图形概念。
直线是由无限多点组成，线段是直线上任意两点及其之间的点所组成的有限部分，射线是起点固定且方向唯一的直线部分。
2. 平面图形平面图形是立体几何中常见的概念，它们具有二维形态。
三年级学生已经学习了正方形、三角形、长方形等多边形的知识，在综合运用立体几何的练习中，可以通过画图、计算周长和面积等方式，进行实际的应用操作和计算。
3. 立体图形的认识在三年级，学生开始接触立体图形的基本概念。
通过正视图、俯视图和侧视图的认识，他们可以了解到常见的立体图形如立方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
举例来说，让学生计算正方体和长方体的体积和表面积，通过操作实际的模型，帮助他们直观理解这些概念。
4. 立体图形的应用在综合运用立体几何的练习中，学生可以通过实际应用问题，将立体几何知识运用到实际生活中。
例如，给定一个房间的尺寸，学生可以计算出该房间的体积，以确定需要多少油漆来涂刷墙壁。
又如，给定一个容器的形状和尺寸，学生可以计算容器内能够容纳的液体体积。
综上所述，三年级数学上册综合运用立体几何的练习是通过实际问题演练学生对立体几何的认识和应用能力。
通过合适的格式和练习题，学生可以巩固并扩展他们对立体几何基本概念的理解，并将这些知识运用到实际场景中，培养他们解决问题和思考能力。
立体几何不仅是数学中的重要内容，也对培养学生的空间思维和几何观念具有重要意义。
因此，我们鼓励三年级学生多加练习，提高他们在立体几何方面的应用能力，为今后的学习打下坚实的基础。
四年级数学上册综合算式专项练习题数学几何体练习
四年级数学上册综合算式专项练习题数学几何体练习数学是一门需要不断练习的学科，通过练习，我们能够加深对知识点的理解，提高解题能力。
数学几何体是四年级学生需要熟练掌握的内容之一，本文将为大家提供一些关于数学几何体方面的综合算式专项练习题，帮助大家巩固所学知识，提高解题能力。
一、填空题1. 请根据图形名称，填写下面的空格。
a) 四个相等的正方体叠放在一起，可以组成一个 ________。
b) 有六个正方形的三角棱柱称为 ________。
c) 只有一个底且上下底相等的棱锥叫做 ________。
d) 有两个平行相等的底和一个曲面的立方体称为 ________。
2. 按照所给的整数，填写相应形状的表面积和体积。
a) 正方体，边长为4cm，表面积是 ________ 平方厘米，体积是________ 立方厘米。
b) 三角棱柱，底边长为5cm，高度为8cm，表面积是 ________ 平方厘米，体积是 ________ 立方厘米。
c) 圆柱体，底面直径为10cm，高度为12cm，表面积是 ________ 平方厘米，体积是 ________ 立方厘米。
d) 圆锥体，底面半径为6cm，高度为9cm，表面积是 ________ 平方厘米，体积是 ________ 立方厘米。
二、计算题1. 请你计算下列数学几何体的表面积和体积。
a) 正方体，边长为6cm。
b) 三角棱柱，底边长为8cm，高度为10cm。
c) 四边形棱柱，底边长为5cm，高度为6cm，上底边长为7cm。
d) 圆柱体，底面半径为3cm，高度为8cm。
e) 圆锥体，底面半径为5cm，高度为12cm。
2. 小丽的盒子中有一些彩色方块，她想把这些方块按一定的规则进行排列。
请你根据题意，计算小丽盒子中方块的总数。
题目：小丽盒子中有5层方块，每一层比下一层多4个方块，最底层有12个方块。
请计算盒子中一共有多少个方块。
三、应用题1. 下图是一个池塘的示意图，请你计算池塘的表面积和底面积，并解释计算过程。
几何综合分类练习
几何综合分类练习一、课程目标知识目标：1. 熟练掌握几何图形的基本分类，包括平面图形和立体图形；2. 能够识别并运用各类几何图形的性质、特征进行问题分析；3. 理解几何图形之间的相互关系，如相似、全等、对称等概念。
技能目标：1. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力，如计算面积、体积等；2. 提高学生运用几何画图工具进行作图和证明的能力；3. 培养学生通过几何图形观察、分析、推理的思维方式。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对几何学科的兴趣，培养其几何审美观念；2. 培养学生合作、探究的学习态度，使其在解决问题过程中树立信心；3. 引导学生认识到几何知识在实际生活中的应用，增强学以致用的意识。
课程性质分析：本课程为几何综合分类练习，旨在帮助学生巩固和拓展几何知识，提高解决实际问题的能力。
课程内容与课本紧密关联，以培养学生的几何思维和实际应用能力为目标。
学生特点分析：考虑到学生所在年级的特点，课程设计应注重知识点的深入浅出，逐步提高学生的几何素养。
同时，关注学生的个体差异，使课程能够满足不同层次学生的教学要求：1. 教师应充分运用多媒体、实物等教学资源，提高课堂教学效果；2. 教师要关注学生的学习过程，及时给予反馈，指导学生调整学习方法；3. 教师要注重培养学生的动手操作能力和实际应用能力，提高几何知识的实践价值。
二、教学内容1. 教材章节：本节课主要依托课本中“几何图形的分类与性质”章节，结合“平面图形与立体图形”的相关内容进行教学。
2. 教学内容安排：a) 平面图形的分类与性质：三角形、四边形、圆等；b) 立体图形的分类与性质：柱体、锥体、球体等；c) 几何图形的相互关系：相似、全等、对称等；d) 几何图形在实际问题中的应用：计算面积、体积等。
3. 教学进度：a) 第一课时：回顾平面图形和立体图形的分类，重点讲解各类图形的性质；b) 第二课时：探讨几何图形之间的相互关系，进行实例分析；c) 第三课时：通过实际案例，引导学生运用几何知识解决实际问题。
拓宽小学生数学应用几何体问题能力的习题练习
拓宽小学生数学应用几何体问题能力的习题练习数学是一门重要且广泛运用的学科，其中几何体问题是小学数学中的一个重要内容。
拓宽小学生在数学应用几何体问题的能力，可以帮助他们培养空间思维、逻辑推理和问题解决的能力。
为此，本文将通过设计一些习题练习的方式，帮助小学生拓宽数学应用几何体问题的能力。
1. 体验与观察首先，为了引发学生对几何体的兴趣和好奇心，我们可以设计一些体验与观察的活动。
例如，让学生拿来一个长方形的纸盒子，观察它的特点，并发现它与长方形的关联性。
接着，可以引导学生进一步思考，如果将纸盒子的一面剪开，并展开，会得到什么形状的图形？通过这样的活动，学生可以对几何体的特征进行观察和实践，从而激发他们对几何体问题的学习兴趣。
2. 比较与分类其次，我们可以设计一些比较与分类的习题，让学生通过对几何体进行比较与分类，进一步了解几何体的特性。
例如，给学生提供一些不同形状的几何体模型，让他们以现实生活中的经验，根据形状、边数、面数等特点对这些几何体进行分类。
通过这样的练习，学生可以培养对几何体形状和特征的观察力和整理能力。
3. 特征与应用在学生对几何体的基本形状和分类有了一定了解后，可以进行一些更加具体的习题练习，让学生将几何体的特征与实际应用相结合。
例如，给学生提供一些日常生活中的场景，让他们思考该场景中可以使用到哪些几何体以及为什么选择这些几何体。
通过这样的练习，学生可以将几何体问题与实际应用相联系，提升他们的问题解决能力和创新思维。
4. 推理与解决问题最后，可以设计一些需要学生进行推理和解决问题的习题，以进一步提高他们的数学应用几何体问题的能力。
例如，给学生提供一些未完成的几何体图形，要求他们根据已有的信息推理，并完成缺失的部分。
这种习题可以促使学生运用已学知识进行推理和解决问题，培养他们的逻辑思维和创新能力。
通过以上的习题练习，可以有效地拓宽小学生在数学应用几何体问题的能力。
同时，为了更好地引导学生学习和解决问题，教师可以根据学生的实际情况，选择适当的难度和形式进行习题设计。
综合算式专项练习题立体几何的计算
综合算式专项练习题立体几何的计算在立体几何的计算中，综合算式是一种常见的题型。
通过解题综合算式，我们可以加深对立体几何的理解，巩固计算能力。
本文将提供一些综合算式专项练习题，帮助读者熟悉立体几何的计算方法。
一、圆柱体的计算题1. 如图所示，一个圆柱体的高度为8cm，半径为4cm，请计算其表面积和体积，并保留两位小数。
解答：圆柱体的表面积= 2πr² + 2πrh= 2π(4)² + 2π(4)(8)= 32π + 64π= 96π所以，圆柱体的表面积约为301.59平方厘米。
圆柱体的体积= πr²h= π(4)²(8)= 128π所以，圆柱体的体积约为402.12立方厘米。
2. 如图所示，一个圆柱体的底面积为16平方厘米，高度为10厘米，请计算其表面积和体积，并保留两位小数。
解答：已知圆柱体的底面积为16平方厘米，可以得知圆的半径为2厘米。
圆柱体的表面积= 2πr² + 2πrh= 2π(2)² + 2π(2)(10)= 8π + 40π= 48π所以，圆柱体的表面积约为150.80平方厘米。
圆柱体的体积= πr²h= π(2)²(10)= 40π所以，圆柱体的体积约为125.66立方厘米。
二、圆锥体的计算题1. 如图所示，一个圆锥体的底面半径为6cm，母线长度为10cm，请计算其表面积和体积，并保留两位小数。
解答：利用母线和半径计算圆锥体的高度：母线² = 底面半径² + 高度²10² = 6² + 高度²高度² = 100 - 36高度= √64高度 = 8圆锥体的表面积= πr(r + l)= π(6)(6 + 10)= 16π(6 + 10)= 16π(16)= 256π所以，圆锥体的表面积约为804.25平方厘米。
圆锥体的体积= 1/3 πr²h= 1/3 π(6)²(8)= 1/3 π(36)(8)= 1/3(288π)= 96π所以，圆锥体的体积约为301.59立方厘米。
几何体的组合训练
设计素描
简单几何体的“加法”
简单几何体的“加法”
形体的增形训练，是指在一个基本形态的 基础上，叠加一种新的形态，又称“加法”训 练，叠加的形态可简可繁，与基本形相比，叠 加的形象可以与其相同，也可以有较大差异。 更重要的是要注意叠加形与基本形之间的结构 组合关系，力求准确，辅助线要做到位，要做 得清楚明了。这样我们所得到的形态组合就会 结构关系明确而生动了。
形体组合：
运用简单的几何体（立方体，球体，圆锥，圆
柱体）进行组合（多个6个以上）设计公共设施，画出 组合后的结构素描并上色。
要求：1 可以运用一个简单的几何体进行组合。 2 可以运用多个简单的几何体进行组合。 3 可以运用对简单的几何体先进行切挖再组合。
附： 1 画出立体效果和平面效果 立方体与圆柱体的组合
简单几何体综合练习题
北航附中高二简单几何体综合练习2011-9-16班级 ________ 姓名 _________1. 点 O 1 为圆锥的高中凑近极点的一个三平分点，过 O 1 与地面平行的截面面积是底面面积的（）A ．1B ．2C ．1D ．13 34 92. 圆柱的轴截面是边长为 5cm 的正方形 ABCD ，则圆柱侧面上从 A 到 C 的最短距离是（）A ． 10cmB ．5 24 cmC ．5 2 cmD ． 521cm23. 若圆锥的轴截面是一个面积为 9 3 cm 2 的正三角形，那么其内接球的半径是（）A ． 4cmB ． 6 cmC ． 3 cmD ． 3cm4. 已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长非别为 6 和 8 ，则两个平行截面间的距离是（）A ．1B ．2C ．1或 7D ．2或 65. 棱长为 1 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 的 8 个极点都在球 O 的表面上， E 、F 分别是棱 AA 1 、 DD 1 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为（）2 B ． 12D ． 2A ．C ．1226. 极点在同一个球面上的正四棱柱ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， AB=1 ， AA 1 = 2 ，则 A 、 C 两点间的球面距离为（）A ．B ．22C ．D ．42427. 以下命题中真命题的个数是（ ）① 正方形的平行投影必定是菱形② 平行四边形的平行投影必定是平行四边形 ③ 三角形的平行投影必定是三角形A ．0B ． 1C ． 2D ． 48.假如图形所在的平面不平行于投射线，那么以下说法正确的选项是（）A．矩形的平行投影必定是矩形 B. 梯形的平行投影必定是梯形C．正方形的平行投影必定是矩形 D. 正方形的平行投影必定是菱形9.利用斜二测画法获得的① 三角形的直观图是三角形；② 平行四边形的直观图是平行四边形；③ 正方形的直观图是正方形；④ 菱形的直观图是菱形；以上结论正确的选项是（）A ．①②B．①C．③④D．①②③④10. 如下图是水平搁置的三角形 ABC 的直观图，y'A' B ' / / y '轴，则△ ABC 是（）C'A ．等边三角形B．等腰三角形O'C．直角三角形D．等腰直角三角形A'B'x' 11.将一个边长为 a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则其表面积增添了（）A ．6a2B．12a2C．18a2D．24a212.圆台的上、下底面半径和高的比为 1:4:4，母线长为 10，则圆台的侧面积为（）A．81B．100C．14D． 16913.把底面半径为 8cm 的圆锥，放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥极点S转动，当这个圆锥在平面内转回到原地点时，圆锥自己转动了 2.5 周，则圆锥的母线长为 _____________，表面积等于 ___________.14.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图，则截面的可能图形是______________①②③④15.已知一个圆柱的侧面睁开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是 _______________ .16. 一个直角梯形的上、下底面和高的比值为1: 2: 3 ，求它旋转后的圆台的上底面积、下底面面积和侧面积的比为______________.17.两个球的表面积之差为 48 ，它们的大圆周长之和为 12 ，则这两个球的半径之差为 _______________ .18.一个圆锥的主视图和左视图均为正三角形，其面积为S，则圆锥侧面积为___________19.棱长为 a 的正四周体的外接球的半径为 ________，内切球的半径为 _______.20.一个正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 15 ，那么这个三棱锥的体积是 ____21. 三棱柱 ABC A1B1C1中，若 E、F 分别为 AB 、AC 的中点，平面 EB1C1 F 将三棱柱分红体积为 V1、 V2的两部分，那么 V1: V2 =___________22.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比是 __________23. 已知圆锥的底面半径为r ，高为h，正方体ABCD A1 B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长 .。
几何图形初步综合练习
几何图形初步综合练习一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．解：A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．故选D．2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱.故选：D.【点睛】本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．3．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．详解：A选项中，展开图下方的直角三角形的斜边长为12，不合题意；B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；故选：D．点睛：本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．4．如图所示是一个正方体展开图，图中六个正方形内分别标有“新”、“时”、“代”、“去”、“奋”、“斗”、六个字，将其围成一个正方体后，则与“奋”相对的字是( )A．斗B．新C．时D．代【答案】C【解析】分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．详解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“时”相对的字是“奋”；“代”相对的字是“新”；“去”相对的字是“斗”．故选C．点睛：本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握立方体的11种展开图的特征．5．如图，Ｂ是线段ＡＤ的中点，Ｃ是线段ＢＤ上一点，则下列结论中错误．．的是（）A．BC=AB-CD B．BC=12(AD-CD) C．BC=12AD-CD D．BC=AC-BD【答案】B【解析】试题解析：∵B是线段AD的中点，∴AB=BD=12 AD，A、BC=BD-CD=AB-CD，故本选项正确；B、BC=BD-CD=12AD-CD，故本选项错误；C、BC=BD-CD=12AD-CD，故本选项正确；D、BC=AC-AB=AC-BD，故本选项正确．故选B．6．如图，如果用剪刀沿直线将一个正方形图片剪掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方形图片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．线段比曲线短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短【答案】D【解析】【分析】如下图，只需要分析AB+BC＜AC即可【详解】∵线段AC是点A和点C之间的连线，AB+BC是点A和点C经过弯折后的路径又∵两点之间线段最短∴AC＜AB+BC故选：D【点睛】本题考查两点之间线段最短，在应用的过程中，要弄清楚线段长度表示的是哪两个点之间的距离7．如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是（）A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm2【答案】D【解析】【分析】根据圆柱的侧面积=底面周长×高.【详解】根据圆柱的侧面积计算公式可得π×2×2×5=20πcm2，故选D．【点睛】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是熟练掌握圆柱侧面积公式.8．下列说法，正确的是( )A．经过一点有且只有一条直线B．两条射线组成的图形叫做角C．两条直线相交至少有两个交点D．两点确定一条直线【答案】D【解析】【分析】根据直线的性质、角的定义、相交线的概念一一判断即可．【详解】A、经过两点有且只有一条直线，故错误；B、有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；C、两条直线相交有一个交点，故错误；D、两点确定一条直线，故正确，故选D．本题考查直线的性质、角的定义、相交线的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键.9．如图，AB ∥CD ，EF 平分∠GED ，∠1=50°，则∠2=（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】C【解析】【分析】 由平行线性质和角平分线定理即可求.【详解】∵AB ∥CD∴∠GEC=∠1=50°∵EF 平分∠GED∴∠2=∠GEF= 12∠GED=12(180°-∠GEC)=65° 故答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线性质和角平分线定理，解题关键是熟记角平分线定理.10．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，15AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B【解析】【分析】作DE AB ⊥于E ，根据角平分线的性质得4DE DC ==，再根据三角形的面积公式求解【详解】作DE AB ⊥于E由尺规作图可知，AD 是△ABC 的角平分线∵90C ∠=︒，DE AB ⊥∴4DE DC ==∴△ABD 的面积1302AB DE =⨯⨯= 故答案为：B ．【点睛】 本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．11．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）A ．厉B ．害C ．了D ．我 【答案】D【解析】 分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 详解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面．故选：D ．点睛：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．12．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm ．A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C 即可．【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，∵CQ＝12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝22129＝15cm，故选：B．【点睛】本题考查了圆柱的最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图、勾股定理是解题的关键．13．如图是正方体的表面展开图，请问展开前与“我”字相对的面上的字是（）A ．是B ．好C ．朋D ．友【答案】A【解析】【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“是”是相对面，“们”与“朋”是相对面，“好”与“友”是相对面．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．14．如图：点 C 是线段 AB 上的中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB=3AD 4，则CD 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例求出DB 的长度，即可得到AB 的长度，再根据中点平分线段的长度可得AC 的长度，根据CD AD AC =-即可求出CD 的长度．【详解】∵38,4AD DB AD ==∴6DB =∴14AB AD DB =+=∵点 C 是线段 AB 上的中点∴172AC AB == ∴1CD AD AC =-=故答案为：D ．【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解题的关键．15．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，如图：（1）以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；（3）连结AP 并延长交BC 于点D ．根据以上作图过程，下列结论中错误的是（ ）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的中垂线上D ．:1:3DAC ABD S S =△△【答案】D【解析】【分析】 根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC 的度数；利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D 在AB 的中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：A 、根据作图方法可得AD 是∠BAC 的平分线，正确；B 、∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，正确；C 、∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB ，∴点D 在AB 的中垂线上，正确；D 、∵∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∵AD=DB ， ∴CD=12DB ， ∴CD=13CB ， S △ACD =12CD•AC ，S △ACB =12CB•AC ，∴S△ACD：S△ACB=1：3，∴S△DAC：S△ABD≠1：3，错误，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图—基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．16．如图，已知点P(0，3) ，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，BC边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是（）A．102+B．26C．5 D．26【答案】B【解析】【分析】过点P作PD∥x轴，做点A关于直线PD的对称点A´，延长A´ A交x轴于点E，则当A´、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，根据勾股定理求出A B'的长即可.【详解】如图，过点P作PD∥x轴，做点A关于直线PD的对称点A´，延长A´ A交x轴于点E，则当A´、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，∴AE=BE=1，∵P (0，3) ，∴A A´=4， ∴A´E=5， ∴22221526A B BE A E ''=+=+=，故选B.【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是作出点A 关于直线PD 的对称点，找出PA +PB 的值最小时三角形ABC 的位置．17．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）A ．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B ．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C ．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D ．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱【答案】D【解析】【分析】 根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．【详解】根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱．故选D ．【点睛】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=o ，AB=3，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．2【答案】C【解析】【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为6×3=18．【详解】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．19．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆:，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得 PC CE PD BD =，即253x x =-， 解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.20．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果145∠=°，330∠=°时，那么2∠的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．45°【答案】A【解析】【分析】 根据∠2=∠BOD+EOC-∠BOE ，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD 和∠EOC 的度数从而求解．【详解】∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°，∠EOC=90°-∠1=90°-45°=45°，∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE ，∴∠2=60°+45°-90°=15°．故选：A ．【点睛】此题考查余角和补角，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE 这一关系是解题的关键．。
立体几何图形的认知练习题
立体几何图形的认知练习题几何学是数学的一个重要分支，研究各种图形的性质、关系以及在空间中的排列组合。
而立体几何图形是几何学中的重要内容之一，它具有三维的特征，常见的有球体、立方体、圆锥体等。
通过认知立体几何图形的练习题，可以提升我们对几何形体的理解和思维能力。
本文将给出一些立体几何图形的认知练习题，供大家练习。
1.题目：请问以下哪个几何图形是由四个等腰三角形组成的？选项：A. 立方体B. 圆锥体C. 正四面体D. 正六面体2.题目：下图是一个正八面体，请问它的棱长是多少？（插入正八面体的图示）3.题目：以下哪个立体图形的所有边长相等？选项：A. 圆锥体B. 球体D. 长方体4.题目：某立方体的体积为64立方厘米，边长是多少？选项：A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米5.题目：圆锥体有几个侧面？选项：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.题目：以下哪个几何图形的面数最多？选项：A. 球体C. 圆锥体D. 正十二面体7.题目：以下哪个几何图形是由六个正方形组成的？选项：A. 正六面体B. 正八面体C. 正十二面体D. 正五角面体8.题目：已知某正六面体的棱长为6厘米，求其体积和表面积。
9.题目：请问球体的表面积公式是什么？10.题目：已知某圆锥体的底面半径为4厘米，高为8厘米，求其体积和侧面积。
以上是一些立体几何图形的认知练习题，通过解答这些问题可以加深我们对立体几何图形的理解和记忆。
希望大家能够认真思考并给出准确的答案，提高自己在几何学方面的能力。
通过不断的练习和学习，我们可以更好地掌握立体几何图形的性质和应用，为今后的数学学习打下坚实的基础。
（文中图片来源于网络，仅供参考）。
几何体和衬布组合训练
几何体和衬布组合训练
几何体和衬布组合训练是一种利用几何体和衬布的特性来进行训练的方法。
这种训练方法不仅可以帮助运动员增强肌肉力量和耐力,还可以提高他们的协调性和灵活性。
几何体是一种形状简单的物体,由曲线、圆形或正方形等几种基本形状组成。
衬布是一种覆盖在物体表面的材料,通常使用柔软、透气的材料制成,以提供额外的支持和舒适度。
几何体和衬布组合训练可以通过多种方式进行。
例如,运动员可以练习使用几何体作为辅助器材来进行训练。
在这种情况下,他们可以使用几何体作为辅助支撑,以增加训练强度和复杂度。
另一种方式是使用衬布来增加训练的难度和挑战。
在这种情况下,运动员可以使用衬布来覆盖身体的不同部位,以增加训练的难度和挑战。
例如,他们可以使用衬布来覆盖腿部,以提高腿部肌肉的力量和耐力。
几何体和衬布组合训练还可以帮助运动员提高他们的协调性和灵活性。
在这种情况下,运动员可以使用几何体来提高身体的协调性。
例如,他们可以使用几何体来进行平衡训练,以增强腿部肌肉的协调性和灵活性。
此外,几何体和衬布组合训练还可以为运动员提供额外的支持和舒适度。
在这种情况下,运动员可以使用衬布来提供额外的支持和舒适度,以帮助他们更好地完成训练。
几何体和衬布组合训练是一种有效的训练方法,可以帮助运动员增强肌肉力量和耐力,提高他们的协调性和灵活性。
小学六年级数学教案立体图形的综合练习
小学六年级数学教案立体图形的综合练习
小学六年级数学教案——立体图形的综合练习教学内容：练习三十一的第1016题。
教学目的：使学生进一步加深对立体图形的认识，能综合运用所学知识解决简单的实际问题。
教学过程：
一、复习
1．简要说明长方体、正方体、圆柱和圆锥的特点。
2．长方体、正方体和圆柱的表面积的计算方法。
3．长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积的计算方法。
二、口算练习
做练习三十一的第10题。
学生独立计算，教师计时，统计有多少学生在4分内完成。
集体订正时，可以让做得又对又快的学生说一说他们的经验。
三、综合练习
1．做练习三十一的第11题。
学生独立解答，教师巡视。
集体订正时，对有错误的学生要让他们知道为什么错了。
2．做练习三十一的第1216题。
用20分的时间让学生独立解答，教师巡视，了解学生掌握知识的情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。
第12题，让学生想一想：表面积为什么增加了?
积，就能得到多少秒把水放完，再换算成以分为单位。
四、小结(略)。
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【综合能力训练】一、选择题1．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πB ．2π2．如图8-22，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥。
在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S 1、S 2、S 3，则这个三棱锥的体积为（ ）A ．V=32321S S S B ．V=32321S S SC ．V=32321S S S D ．V=6321S S S3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ） A ．必定都不是直角三角形 B ．至多有一个直角三角形 C ．至多有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）A ．27π B ．56πC ．14πD ．64π5．把一个半径为R 的实心铁球熔化铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为（ ）A ．31R B ．333R C ．5253R D ．33R6．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 27．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B=D 1D 。
已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）A ．26 B ．36 C ．46 D ．668．设地球半径为R ，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（ ）A ．33πR B ．3πR C ．πR D ．2πR9．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）10．如图8-25，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P=BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶111．如图8-26，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（ ）12．已知A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O 到平面BCD 的距离等于（ ）A ．36 B ．66 C ．126 D ．186二、填空题13．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。
14．如图8-27，在三棱锥S —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是棱SA 、SB 、BC 、AC 的中点，截面EFGH 将三棱锥分割为两个几何体AB —EFGH 、SC —EFGH ，其体积分别是V 1、V 2，则V 1∶V 2的值是 。
15．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各条棱长皆为2，则此三棱锥的体积为。
16．已知正四棱柱的体积为定值V ，则它的表面积的最小值为。
三、解答题17．正四棱台上、下底面边长分别为a 和b,上、下底面积之和等于侧面积，求棱台体积。
18．如图8-28，已知三棱锥P —ABC 中，PA=PB ，CB ⊥平面ABP ，PM=MC ，AN=3NB 。
（1）求证：MN ⊥AB ；（2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长。
19．如图8-29，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积。
20．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图8-30），设容器的高为h米，盖子边长为a米。
（1）求a关于h的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值。
（求解本题时，不计容器的厚度）21．如图8-31，已知三棱柱ABC—A′B′C′的底面ABC是边长为a的正三角形，侧面ABB′A′是菱形，且∠A′AB=60°，M是A′B′的中点，已知BM⊥AC。
（1）求证：BM ⊥平面ABC ；（2）证明：平面ABB ′A ′⊥平面ABC ； （3）求棱锥M —CBB ′C ′的体积；（4）求异面直线AA ′与BC 所成角的大小。
22．如图8-32，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1。
（1）求证：BE=EB 1；（2）若AA 1=A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角（锐角）的度数。
参考答案【综合能力训练】1.C2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.A9.B 10.B 11.C 12.B 13.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 14.1∶1 15.611 16.632V17.解：V=)(3b a ab +（a 2+ab+b 2）。
18.解（1）取AB 的中点D ，连结PD ，DC ，又取DC 的中点E ，连ME ，NE ，则ME∥PD ，由PA=PB ，D 为AB 的中点得PD ⊥AB ，∴AB ⊥ME 。
又AN=3NB ，∴N 是DB 的中点，又E 是DC 的中点，则EN ∥CB 。
∵CB ⊥平面ABP ，∴CB ⊥AB ，∴EN ⊥AB 而ME ∩EN=E ，∴AB ⊥面MNE ，由此可得MN ⊥AB 。
（2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，有PD ⊥AB ，且PD=2，∴ME=1，EN=1。
由CB ⊥平面ABP 可得面ABC ⊥面PAB ，∵PD ⊥AB ，∴PD ⊥面ABC ，又ME ∥PD ，∴ME ⊥面ABC ，又EN 面ABC ，∴ME ⊥EN 。
在直角三角形MNE 中，有MN=2。
19.解 设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为6，另一边长为2·6=23，∴r 2=(6)2+(3)2=9，∴r=3，故S半球=2πr 2+πr 2=27π，V 半球=32πr 3=18π，即半球的表面积为27π，体积为18π。
注：本题是正方体内接于半球问题，它与正方体内接于球的问题是有本质差别的，请注意比较。
20.解（1）设h ′为正四棱锥的斜高， 由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a解得a=112+h (h>0)。
（2）V=31ha 2=)1(32+h h (h>0)，易得V=)1(31h h +，因为h+h1≥2hh 1⋅=2，所以V ≤61，等号当且仅当h=h1，即h=1时取得。
故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米。
21.解 （1）连结A ′B ，由ABB ′A ′是菱形， 且∠A ′AB=60°，知△A ′BB ′是正三角形， 故BM ⊥A ′B ′，即BM ⊥AB ， 又BM ⊥AC ，得BM ⊥平面ABC 。
（2）由BM ⊥平面ABC ，得平面A ′ABB ′⊥平面ABC 。
（3）S '''C B A △ =43a 2,S '''C B M △=83a 2,∵BM ⊥平面A ′B ′C ，BM=23a, ∴V B-MB ′C ′=31S △MB ′C ′·BM=161a 3,∴V M-CBB ′C ′=V M —B ′BC +V M —C ′CB ′=''2C MB B V -=81a 3。
（4）作MN ⊥B ′C ′，垂足为N ，连结BN ， 又BM ⊥B ′C ，故B ′C ′⊥平面BNM ， ∴B ′C ′⊥BN 。
在直角△BB ′N 中，∵B ′N=41B ′C ′=41a,BB ′=a,∴cos ∠BB ′N=''BB N B =41。
又∵AA ′∥BB ′，BC ∥B ′C ′，则∠BB ′N 即为异面直线AA ′与BC 所成的角， 故AA ′与BC 所成的角的大小为arccos41。
22.解 （1）在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足。
∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1，取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC 。
∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG 。
由BF ，EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG 。
∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG 。
∵BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1。
又△AA 1C ∽△FGC ，且AF=FC ，∴FG=21AA 1=21BB 1，即BE=21BB 1，故BE=EB 1。
（2）分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D 。
∵EB 1∥CC 1，EB 1=21BB 1=21CC 1，∴DB 1=21DC 1=B 1C 1=A 1B 1。
∵∠B 1A 1C 1=∠B 1C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21(180°-∠DB 1A 1)=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即DA 1⊥A 1C 1。
∵CC 1⊥平面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C 1，∴∠CA 1C 1是所求二面角的平面角。
∵CC 1= AA 1=A 1B 1=A 1C 1, ∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°。