9第九章 振动学基础

r F弹
x
o x
4 简谐振动的微分方程
F = − kx = ma
k dx =− x a= 2 = m m dt k 2 令 ω = m
F
有
2
dx k + x =0 2 dt m
2
dx 2 +ω x = 0 2 dt
2
简谐振动微分方程
解微分方程
x = A cos(ωt + ϕ )
5 简谐振动速度和加速度
r 规定 A = A
r A ω t +ϕ
o
ω
设 t=0时 , 质点的径矢经过 时 与x轴夹角为ϕ 的位置. 轴夹角为 的位置.
x
x
开始计时，则在时刻t此径矢与x轴的夹角为 ω t + ϕ , 开始计时，则在时刻t此径矢与x 质点在x轴上的投影式 质点在 轴上的投影式
x = A cos(ωt + ϕ )
9-1 简谐振动的规律
预习要点 1. 注意简谐振动的规律和特点. 如何判断一个振动是 注意简谐振动的规律和特点 否为简谐振动？ 否为简谐振动？ 2. 简谐振动的能量有什么特点 简谐振动的能量有什么特点? 3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 简谐振动的周期由什么因素决定？ 振动的周期？ 振动的周期？ 4. 研究谐振子模型的意义何在？ 研究谐振子模型的意义何在？
标准椭圆方程， 但质点运 标准椭圆方程， 行方向和2相反 行方向和 相反. 相反
2
2
A2
o
A1
x
1 解: 重力矩 M = − mglsinθ 2 “ – ”表示力矩与θ 张角方向相反. 表示力矩与 张角方向相反.
J
dθ M = Jα = J 2 dt 2 dθ 1
2
2
θ l
m g
= − mgl sin θ dt 2
当θ
2
< 5° 时, sin θ ≈ θ
d θ mgl + θ =0 2 dt 2J
ω,T ,ν
由
2π 角频率 ω = 2π ν = T
都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢. 都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢 快慢
2
k ω = m
弹簧振子周期 T = 2π
m k
例题: 质量为m的任意物体 的任意物体， 点作小角度摆动. 例题: 质量为 的任意物体，绕o点作小角度摆动. 点作小角度摆动 求振动周期. 求振动周期.
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动， 合成后仍为简谐运动 两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动， 角速度不变. 角速度不变
1.当 ∆ϕ .
= ϕ 2 − ϕ1 = 2kπ
时,
( k = 0,±1,±2,L) = 0,±1,±2,L)
2.当 ∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π 时, ( k . （ ）
一 简谐振动的定义
1 定义 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（ 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位 移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化， 余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化， 简谐运动. 这种运动叫简谐运动 这种运动叫简谐运动. 2 简谐振动的条件 1）在平衡位置附近来回振动. 在平衡位置附近来回振动. 在平衡位置附近来回振动 2）受回复力作用. ）受回复力作用. 3 弹簧振子 一个轻质弹簧的一端固定， 一个轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以 自由运动的物体，就构成一个弹簧振子 弹簧振子. 自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
2. .
o
A1
y
x
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
x y + =1 A1 A2
2 2
A2
o
标准椭圆方程
A1
x
3.|ϕ 2 .
− ϕ1 | π =
反相位
y
A2 − A1 o
y
A2 y=− x A1
4. ϕ 2 − ϕ1 = 3π / 2 .
x
x y + =1 A1 A2
1 2 1 2 2 Ep = kx = kA cos (ωt + ϕ ) 2 2
ω = k /m 1 2 1 2 2 2 Ek = mv = mω A sin (ωt + ϕ ) 2 2 1 2 2 = kA sin (ωt + ϕ ) 2
由
2
弹簧振子的总的机械能 弹簧振子的总的机械能
1 2 E = Ek + Ep = kA 2
①2+(②/ω)2 ②
v0 2 有 x + =A ω
2 0
2
v0 A= x + ω
2 0
2
②/①有: ①
− v0 / Aω v0 =− tgϕ = ωx0 x0 / A
2 相位 在 x = A cos( ω t + ϕ )中，ω t
+ ϕ 称为振动的相位. 称为振动的相位.
即其决
存在一一对应的关系; 1） ω t + ϕ → x ，存在一一对应的关系; 定质点在时刻的t 位置. 定质点在时刻的 的位置.
描述质点初始时刻的运动状态. 初始时刻的运动状态 2）初相位 ϕ (t = 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
二 相位差
1 相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动， 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动， 步调上的差异. 相位差表示它们间步调上的差异 相位差表示它们间步调上的差异.
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 )
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
两个同 两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关. 时间无关. 2 领先和落后 若∆ϕ =ϕ2-ϕ1>0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2比 较早达到正最大， 到正最大
x1 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) x2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
v A 2
ϕ2
0
ω
v A
xx
x = x1 + x2
x = A cos( ω t + ϕ )
2 1 2 2
x2
ϕ1
ϕ
x1
v A 1
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
ϕ ωt+ϕ ω
T
9-3简谐振动的合成
预习要点 1. 注意两个同方向频率简谐振动的合振动规律 分振 注意两个同方向频率简谐振动的合振动规律. 动的相位差与合振动振幅有什么关系？ 动的相位差与合振动振幅有什么关系？ 2. 了解两个互相垂直的简谐振动的合成 了解两个互相垂直的简谐振动的合成.
一 两个同方向同频率的简谐振动的合成
一 振幅和相位 1 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值 最大位移的绝对值 由初始条件决定，表征了系统的能量. 由初始条件决定，表征了系统的能量 由
x = A cos(ωt + ϕ ) A = xmax v = − Aω sin(ωt + ϕ ) x 0 = A cos ϕ ① t = 0 时, ② v0 = − Aω sinϕ
1 2 由 J = ml 3 2 d θ 3g + θ =0 2 dt 2l
3g 令 ω = 2l
2
得到谐振动微分方程 得到谐振动微分方程: 谐振动微分方程
dθ 2 +ω θ = 0 2 dt
2
2l T = 2π 3g
9-2 简谐振动的描述
预习要点 1. 简谐振动的振幅和初位相由哪些因素决定 如何确 简谐振动的振幅和初位相由哪些因素决定? 定它们的数值？ 定它们的数值？ 2. 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法 注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.
弹簧振子在振动过程中， 弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时 间发生周期性变化 周期性变化， 间发生周期性变化，但动能和势能的总合保持为一个常 即作简谐运动的系统机械能守恒 机械能守恒. 量，即作简谐运动的系统机械能守恒
简谐运动能量图 E
1 kA 2 2
Ek
Ep
o
7 振动曲线
T 4
T 2
3T 4
π dx v= = − Aω sin(ωt + ϕ ) = Aω cos(ωt + ϕ + ) dt 2
d x 2 2 a = 2 = − Aω cos(ωt + ϕ ) = Aω cos(ωt + ϕ + π ) dt
6 简谐振动的能量
2
1 2 1 2 2 2 Ek = mv = mω A sin (ωt + ϕ ) 2 2
x2
x1 同相 T t
x A1 A2 o - A2 -A1
x1 反相 T t x2
-A1 两同相振动的振动曲线
两反相振动的振动曲线
三 简谐振动的旋转矢量表示法
用匀速圆周运动表示简谐运动的位置变化. 用匀速圆周运动表示简谐运动的位置变化. 设一质点沿圆心在O点而半径A的圆周作匀速运动，其 设一质点沿圆心在O点而半径 的圆周作匀速运动， 的圆周作匀速运动 角速度为 ω .
第九章 9-1 9-2 9-3 教学基本要求 简谐振动的规律 简谐振动的描述 简谐振动的合成