数值分析报告报告材料期末复习资料

数值分析期末复习

题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明

第一章 误差与有效数字

一、有效数字

1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说

x*有n 位有效数字。 2、 两点理解：

（1） 四舍五入的一定是有效数字

（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg.

3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为

4、 考点：

（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）

二、避免误差危害原则 1、 原则：

（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ） （2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg.

或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14

*(1)1

1

102n r a ε--≤

⨯;

x

εx ε

x εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =

三、数值运算的误差估计 1、 公式：

（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)）

eg.P19习题1、2、5

（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4

第二章 插值法

一、 插值条件

1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值

yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使

2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一

n i y x P i i n ,,2,1,0)(Λ==

二、拉格朗日插值及其余项

1、n次插值基函数表达式（P26（2.8））

2、插值多项式表达式（P26（2.9））

3、插值余项（P26（2.12））：用于误差估计

4、插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1

三、差商（均差）及牛顿插值多项式

1、差商性质（P30）：

（1）可表示为函数值的线性组合

（2）差商的对称性：差商与节点的排列次序无关

（3）均差与导数的关系（P31（3.5））

2、均差表计算及牛顿插值多项式

四、埃尔米特插值（书P36）

两种解法：

（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数

值相等各2个）

（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14

五、三次样条插值定义

（1） 分段函数，每段都是三次多项式

（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）

考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题

第三章 函数逼近与曲线拟合

一、 曲线拟合的最小二乘法

解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17 形如y=ae bx 解题步骤：

（1）线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代

n

j y x S j j ,,1,0,)(Λ==

第四章数值积分与数值微分

一、代数精度

1、概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成

立，则称该求积公式具有m次代数精度

2、计算方法：将f(x)=1,x,x2,…x n代入式子求解eg.P100例1

二、插值型的求积公式

求积系数

定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。

三、牛顿-科特斯公式

1、 掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性

2、 定理：当n 为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n 次代数精度；当阶n 为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度

3、 在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即,k b a

x a kh h n

-=+= ，k=0，1，2，….n 。则可构造牛顿-柯斯特求积公式:

()()()

n 000

00(1)=b-a (),!()n

n

n k n n

n

n n k k k

k j j j k

j k

b a t j I C f x C dt t j dt h k j nk n k -===≠≠---==---∑∏∏⎰⎰（）！ n=1时，求积公式为梯形公式：

()()()()2

b a

b a f x dx f a f b -≈

+⎡⎤⎣⎦⎰ n=2时，求积公式为辛普森公式：()()()()46

2b a

b a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫

≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭

⎣

⎦

⎰

n=4时，求积公式为柯特斯公式：

()()()()()()()012347321232790

b

a

b a f x dx f

x f x f x f x f x -⎡⎤≈

++++⎣

⎦⎰

4、 低阶求积公式的余项： 梯形公式：()

()()[]2

,,12

T b a R b a f a b ηη-''=-

-∈

辛普森公式：()()()[]4

4,,1802S b a b a R f a b ηη--⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭

柯特斯公式：()()

()[]6

62,,9454C b a b a R f a b ηη--⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭

5、 复合梯形公式及余项（P106）

()()()1122n n k k h T f a f x f b -=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑()()()1

2

10

b-a ,12n n n k k k k k R f I T h f x x ηη-+=''=-=-∈+∑