2012年数学分析B(一)期中试题
2012数学本四A、B班数学分析(1)期中考试解答
0 ，要使 x2 5 3 x 2 x 2 5 x 2 ，只要 x 2 ，故取 min{ 1, }．
5
5
3
于是， 0 ， min{ 1, } 0 ，当0 x 2 时 ，有 5
由定义， lim x2 5 3． x2
x2 5 3 ，
2．设 a1 c 0 ， an1 can , n 1, 2 ,….证明数列an 收敛并求其极限 .
(2n
1 1)(2n
1)
.
解：
lim
n
1 1 3
1 35
(2n
1 1)(2n
1)
lim
n
1 2
(11
1) 3
(1 3
1 5
)
( 1 2n 1
2n11)
lim
n
1 2
1
1 2n 1
1 2
．
2. 求极限 lim 1 2 3 3 n n ．
n
n
解：由于 lim n n 1,于是有 lim 1 2 3 3 n n 1.
2x 2x
, 求 lim f (x) , x
lim f (x) .
x
解：由于：当 a 1时， lim ax 0 ；当 a 1时， lim ax 0 .
x
x
于是有 lim x
f (x)
lim
x
2x 2x
2x 2x
1 (1)x
lim
x
1
(
4 1
)
x
1；
4
lim
x
f (x)
lim
x
2x 2x
1 4
.
x
x xn n
4. 求极限 lim
2012考研数学一真题答案(完整版)
数一参考答案9、x e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12、12； 13、2； 14、34三、解答题 (15)证明：令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，()f x 是偶函数()212lnsin 11x x f x x x x x +'=+----()00f '=()()()222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->--所以()()00f x f ≥=即证得：()21ln cos 11112x x x x x x ++≥+-<<- (16)解：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x yf x y xe y y ++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=(17) 解：（Ⅰ）收敛域22(1)122222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1n n n n n n n n n xa x n n n n R x x n n a x n n n x n ++→∞→∞→∞+-++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。
数学分析II-期中练习题
1期中练习题一. 填空题（每小题4分, 共32分）1. 已知,2,1==b a 向量a 与b 的夹角3),(π=b a , 则=⋅b a _____________, =-b a 32________________.2. 点)4,3,2(P 到直线635221-=-=-z y x 的距离=d ______________. 3. 设z xy y x u 22+=, 在点)0,1,2(处沿方向_______________u 增加得最快, 且沿此方向u 的变化率为_____________.4. 曲线θθθ5,sin 2,cos 2===z y x 是什么曲线:_______________, 此曲线上2πθ=的点处的切向量=s ____________________. 5. 函数)1ln(),(y e y x f x +=的二阶麦克劳林公式(带佩亚诺余项)为=),(y x f ____ .6. 设221y x y x z +=∂∂∂, x x z y +=∂∂=10, y z x ==0, 则=z ___________________________. 7. 设),(22y x e y x f z ++=, 其中f 有二阶连续偏导数, 则=∂∂xz ______________________, =∂∂∂yx z 2_________________________________________________________. 8. 函数52),(22-+=y x y x f 在区域1:22≤+y x D 上的最大值=M _________, 最小值 =m _________.二. (10分)设)2,(222x z xy f z y x -=++, 其中f 有连续偏导数, 求.,y z x z ∂∂∂∂三. (12分) 证明直线232132:1-=-+=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=+212:2z y y x L 共面, 并求过直线1L 与2L 的平面方程.四. (12分) 计算二重积分dxdy y x x y D ⎰⎰+-22, 其中D 是由直线x y =, 2=y , 与圆1)1(22=-+y x 所围成的阴影部分区域(如图).y2五. (11分) 在曲面163222=++z y x 上求一点, 使曲面在此点的切平面与直线815643:1+=-=-z y x L 和z y x L ==:2都平行.六. (11分) 计算三重积分⎰⎰⎰-----=y x z x y x dz e dy dx I 1011010.七. (12分) 设M 是椭圆⎩⎨⎧=+=+-052222y x z y x 上的点, e f ∂∂是函数222),,(z y x z y x f ++=在点M 处沿方向}1,1,1{-的方向导数, 求使e f ∂∂取得最大值和最小值的点M 及ef ∂∂的最大值和最小值.。
武汉大学2012-2013第一学期期中试题及答案(1)
= 2n−1 x2 cos(2x + nπ ) + 2n−1 nx cos(2x + (n − 1)π ) + 2n−3 n(n −1) cos(2x + (n − 2)π )
2
2
2
4) dy = d (sin(x2 + 1))4
= 4(sin( x2 + 1))3d sin( x2 + 1)
= 4(sin(x2 + 1))3 cos(x2 + 1)d (x2 + 1)
1 x2 2 x2
− lim x→0
2 x2 3 x2
=
−1 6
2)
由
lim ln(x
x→0
1
+ e2 x )sin x
=
lim ln(x + e2x )
x→0
x
=
lim
x→0
1 + 2e2x x + e2x
= 3,
1
得 lim( x + e2x )sin x = e3 ； x→0
3) 由
lim ln( 2 π x→+∞
2) 3) 且有
f
′(0)
=
lim
x→0
f
(x) − 0 x
=
lim
x→0
g(x) − e−x x2
= lim g′(x) + e−x = lim g′′( x) − e−x = 1 (g′′(0) − 1) .
x→0
2x
x→0
2
2
当 x ≠ 0 时，
f
′( x)
= ⎜⎜⎝⎛
g(x) − e−x x
中科大数学分析(B1) 期中考试
f (x)
f (0) = 0, f (x) > 0, (x > 0).
1
2
{a2n}
:
:
( x = y,
15 ) f (x)
[0, 1]
0 f (x) 1.
|f (x) − f (y)| < |x − y|.
x, y ∈ [0, 1],
x0 ∈ (0, 1]
f (x0)
=
. 1−x0 x0
g(x) = 1−xf (x)−x. g(x) [0, 1]
h2(x) = 0, (x 0). f (x)
g (x) = 0, x ∈ (−∞, +∞). 2
g(x) (......... 10 )
2
2
1. lim ln2(n 1) ln2 n ; n
3.
x
lim
1 2
x x
x
;
2. lim 3 n2(3 n 1 3 n) ;
n
4.
x
lim
x
1
1 x
x
e .
三、(本题 16 分, 每小题 4 分) 计算下面的导数:
1.
ln
tan
x 2
;
2.
arcsin
1 1
x x
2 2
;
3. ( 1 x 2 ) ;
4. (xex )(n) .
四、(本题 15 分)
设 a1
1, an1
1 1 ,n an
1, 2, .
求证:
数列 {an } 收敛,
并求其极限.
五、(本题 15 分) 求证: sin x x x 3 , (x 0) . 6
六、(本题 15 分) 设 f (x) 在区间[0,1] 上连续且 0 f (x) 1 . 若对一切 x,y [0,1], x y , 有
西南大学2012年《数学分析》考研试题答案
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）1、C2、B3、A4、D5、B6、D二、计算题（本题共7小题，每小题10分，共70分）1、求极限⎪⎭⎫⎝⎛++--→11111lim 0x e x x x . 解：因为011lim 1x x x e →⎛⎫-= ⎪-⎝⎭000111lim lim lim (1)122x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e xe →→→---===--++， 6分 所以00011111113lim lim lim 111112 2.x x x x x x e x x e x →→→⎛⎫⎛⎫-+=-+=+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭10分 2、设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin cos ，求22dx y d . 解：sin cos ,cos sin t t t tdy e t e t dx e t e t +=- 5分 2223322(cos sin )(cos sin )t t t t d y e dx e t e t e t t ==-- 10分 3、设⎰=21sin )(x dt ttx f ，求⎰10)(dx x xf .解：11122120000111()()()()222xf x dx f x dx x f x x f x dx '==-⎰⎰⎰12221001111(1)sin (1)cos 22221[(1)cos11].2f x dx f x f =-=+=++⎰4、设22z u v uv =-，y x u cos =，y x v sin =，求x z ∂∂和yz ∂∂.解：22(2)cos (2)sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x ∂∂∂∂∂=+=---∂∂∂∂∂，22(2)sin (2)cos .z z u z v v uv x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂ 5、将函数xx f 3)(=在00=x 点处展开成泰勒级数。
武汉理工2012高数期中试卷及答案
一. 选择题 CBCDD二. 填空题 19210π，9a =12b =，22222()()[2()2()()()]x x fx x f x xe f e e f x f x f e e dx ''+，1y =±三. 计算题1. sin 00sin 1lim .12(1)2x x x x x →→==-⋅- 2.00121ln(sin 2cos )2cos 2sin lim ln(sin cos )lim lim 2sin 2cos 21lim sin cos .x t t t x t t t t x x x x t t t x e e e e x x →∞→→+-++→∞⎛⎫+=== ⎪⎝⎭=令 3. 222000(1cos )(1cos )(0)(1cos )(0)1cos 1lim lim lim (0).tan 1cos 2x x x f x f x f f x f x f x x x x →→→------'==⋅=- 4.设()2()1(1)x f x x e x =--+，()22()211x x f x x e e '=---，()2222()412240,(01)x x x x f x x e e e xe x ''=---=-<<<，故()f x '在[0,1]上单调减少. 01x <<，()(0)0f x f ''<=；则()(0)0.f x f <=即()211.x x e x -<+四．计算题1. 22sec tan sec 1sec tan 11x x x dy dx x x x ⎡⎤+=+⎢++-⎣sec .x dx ⎡⎤=⎢⎣2.方程两端对x 求导，12(1)ln()()(1)y y x y x y y x y'''-=--+--- 上式两端再对x 求导，2(1)[2ln()]y x y y x y'-''+-=-.10,2x y e y -'==-=，，故(0)y e ''=. 3. sin cos tan dy dy dt t t t t dx dx dt t ===--， 22()cos sin tan d dy d y t t t dt dx dx dx dt t -+==- 4. ()()()2111323(1)!2(1)!.2123(1)3(2)n n n n n n n x n n y x x x x x x ++--⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪--+-+-⎝⎭⎝⎭ 五．应用题 解：过曲线任意点的切线，()4x Y y X x y-=--则距离 2222222414()(,(11,0)41x y L y x y y y x y y =+++=+-≤≤≠-令2422()24(2)0(1)d L y y dy y y -=--=-，得驻点3y =±，由问题的实际意义，距离最小值为驻点处取得，值为3，此时切点坐标为(3±. 六．证明题证明：(1)设()0,()0f a f b ''>> ()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a x ax a →→-'==>--，由极限的局部保号性，在点a 的右领域内11,()0c a f c ∃>>；()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b x b x b→→-'==>--，由极限的局部保号性，在点b 的左领域内22,()0c b f c ∃<<；()f x 在区间12[,]c c 上应用零点定理，至少(,)a b ξ∃∈，使()0f ξ=.(2) 因为()()0f a f b ==，()f x 在[],a b 上有二阶导数，()f x 在区间[,]a ξ上应用罗尔定理，至少1(,)a ηξ∃∈，使1()0f η'=； ()f x 在区间[,]b ξ上应用罗尔定理，至少2(,)b ηξ∃∈，使2()0f η'=； ()f x '在区间12[,]ηη上应用罗尔定理，至少(,)a b η∃∈，使()0f η''=.。
2012年全国考研数学一真题
0 0 1 1 （5）设 1 0 ， ，其中 c , c , c1 , c2 为任意常数，则下列 2 1 ， 4 3 4 3 1 ， 1 c c c c 2 3 4 1
（7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 PX Y =3
（C）
2 5 1 2
（D）
4 5
)
（8）将长为 1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( （A）1 （B）
1 2
（C）
（D） 1
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上
x0 y0
f ( x, y) 存在，则 f (x, y) 在（0,0）处可微 x y f ( x, y) 存在，则 f (x, y) 在（0,0）处可微 x2 y 2 f ( x, y ) 存在 x0 x y y0 f ( x, y ) 存在 x2 y 2
( )
（B）若极限lim
)
（B）1
（2）设函数 y( x) ( ex 1)(e2x 2) (enx n) ，其中 n 为正整数，则 y' (0) = （A） (1)n1 (n 1)! （B） (1)n (n 1)! （C） (1)n1 n!
(
)
（D） (1)n n! )
（3）如果函数 f (x, y) 在（0,0）处连续，那么下列命题正确的是 ( （A）若极限lim
y 轴无边界的区域的面积。
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（19）（本题满分 10 分） 已知 L 是第一象限中从点（0,0）沿圆周 x2 y 2 2x 到点（2,0），再沿圆周 x2 y 2 4 到点（0,2 ） 的曲线段，计算曲线积分 J
2012学年第一学期八年级数学期中试卷及参考答案
2012学年度第一学期八年级数学期中试卷（测试时间90分钟，满分100分） 2012.11一、填空题（本大题共有14小题，每题2分，共28分）1．计算：2)3(-= .2．计算：=⋅62 .3．当x 时，二次根式x -3有意义. 4．化简：1222--= .5．不等式0622>-x 的解集是 . 6．方程x x 22=的根是 .7．一元二次方程：042=--x x 中根的判别式的值等于 . 8．关于x 方程01)2(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k . 9．分解因式：342--x x = .10．某种型号的手机六月份的售价为2000元，连续两次降价后，现售价为1280元．如果每次降价的百分率相同，设每次降价的百分比均为x ，那么可列方程为 . 11．如果13)(-+=x x x f ，那么=)3(f ______________. 12．y 与x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________. 13．已知反比例函数xk y 2-=，其图像在第一、第三象限内，则k 的值可为 （写出满足条件的一个k 的值即可）.14.一个正比例函数x y 2-=的图像与一个反比例函数)0(≠=k xky 的像有一个交点A （a ,2-），则反比例函数解析式为 . 二、选择题（本大题共有4小题，每题3分，共12分）15．下列二次根式中与8是同类二次根式的是…………………………………………（ ）学校___________________班级________________ 学号_________ 姓名______________………………………………………○…………………………………………封○…………………………………………○线…………………………………………（A ）38； （B ）21； （C ）16； （D ）12 16．将二次三项式2223x xy y --因式分解的结果为……………………………………（ ）（A ）)4173)(4173(y x y x --+-； （B ）)4173)(4173(2y x y x --+-； （C ）)4173)(4173(2y x y x -+++； （D ）)4173)(4173(2yx y x -+++ 17．下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是………………………………………（ ）（A ）x y 2=； （B ）x y 1=； （C ）x y 1-=； （D ）xy 2=（＞0x ）18．当K ＜0时，直线kx y =和双曲线)0(≠=k xky 在同一个坐标系中的大致位置是（ ）三、（本大题共有5小题，每题6分，共30分） 19．计算：)31518()21212(--+ 20．计算：273732)52)(25(+--+-+ 解： 解：21．用配方法解方程：0142=+-y y 22．解方程：5)2(2=-x x 解： 解：（A ）（C ）（D ）（B ）y x23．已知点P （2，3）在反比例函数的图像上， （1）求反比例函数的解析式；（2）点A 在此反比例函数的图像上，且A 点纵坐标是横坐标的3倍，求点A 坐标． 解：四、（本大题共有3小题，第（24）小题8分，第（25）、（26）两小题各6分，共20分） 24．如图，某人骑车从A 出发到B 、C 两地办事，根据图形回答下列问题： （1）从A 到B 骑车的平均速度是每小时 千米； （2）在B 处停留了 小时；（3）返回时的平均速度是 千米/（4）这次办事共行驶了 千米.25．已知A 城与B 城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A 城驶向B 城，求：（1）火车与B 城的距离S （千米）与行驶的时间t （小时）的函数关系式； （2）t （小时）的取值范围； （3）画出函数的图像。
2012年考研数一真题及答案解析(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x xn x y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<- (16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),c o s2x ft L t y t π=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
数学分析期中试卷(1)
《数学分析》(1)期中试卷班级__________学号__________姓名___________一、选择题（每题3分，共15分）1.设xx x f 1sin )(=，则)(x f （ ） A. 关于原点对称 B ．单调 C ．有界 D ．为周期函数2. 设非空数集⊂E R 无界，但有最大值M ，则 （ ）.A ．E sup 与E inf 都存在 B. E sup 与E inf 都不存在C ．M E =sup ，-∞=E inf D. -∞=<E M E inf ,sup3. 若,0>∀ε只有有限项),(εε+-∉a a a n ，则 （ ）A. 数列}{n a 必有极限，但不一定等于aB. 数列}{n a 存在极限，且一定等于aC. 数列}{n a 的极限不一定存在D. 数列}{n a 的极限一定不存在4. 设,||lim a x n n =∞→ 则有 （ ） A. 数列}{n x 收敛 B ．a x n n =∞→lim C ．a x n n -=∞→lim D ．22lim a x n n =∞→ 5. 当 0→x 时，x x sin 2-是x 的 （ ）A ．高阶无穷小 B. 等价无穷小 C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小 D.低阶无穷小 二、填空题（每题3分，共15分）1．设}2,|{2<∈=x Q x x S ，则._____inf ______,==S SupS2．_______)1(lim =-+∞→n n n n3．设2)2(lim 2=+→a x x ，则._______=a 4．______)1(lim 10=+-→x x x ， ________)11(lim 1=--∞→x x x. 5．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-+-=1,21,123)(2x x x x x x x f ，则=+)01(f三．计算题（每题7分，共56分） 1. )12111(lim n n n n n ++++++∞→2. 12lim n n n →∞+++3.)1311(lim 31x x x ---→4. xx x x )1323(lim -+∞→5. xx x x sin cos 1lim0-→6. ⎩⎨⎧<≤-<<--=10,101,1)(2x x x x x f 在0=x 处的极限。
2012考研数学一真题答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()x xnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x→→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y→→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在【答案】B【考点】全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：全微分存在的充分条件 如果函数(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂、zy∂∂在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分. 在本题中，若2200(,)limx y f x y x y →→+记()A ∃，则00lim (,)0x y f x y →→= 又(,)f x y 在(0,0)连续(0,0)0f ⇒=.于是2222000(,)(,)(0,0)limlim x x y y f x y f x y f A x y x y →→→→-==++ 由极限与无穷小的关系220(,)(0,0)(1)0x f x y f A o y x y →⎛⎫-⇒=+ ⎪→+⎝⎭，其中(1)o 为无穷小.2222(,)(0,0)()()(1)f x y f A x y x y o ⇒-=+++00()(0)x y o ρρ=⋅+⋅+→，其中0ρ=→.因此(,)f x y 在(0,0)可微.故选（B ）.（A ）不正确，如(,)f x y x y =+满足条件，但(,)f x y 在(0,0)不存在偏导数，故不可微.（C ）不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但0limx y xx y→→+不存在.（D ）也不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但2200limx y xx y →→+不存在.(4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I ，则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x et dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e exdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C)32 (D) 45 【答案】A【考点】常见随机变量的分布 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若随机变量X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩则称X 服从参数为λ(0)λ>的指数分布. 在本题中，依题设知X ，Y 的概率密度分别为,0,()0,0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 44,0,()0,0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩又X 与Y 相互独立，从而X 与Y 的联合概率密度为(4)4,0,0,(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y -+⎧>>=⋅=⎨⎩其他于是{}(4)(4)01(,)445x y x y x Dx yP X Y f x y dxdy edxdy dx e dy +∞+∞-+-+<<====⎰⎰⎰⎰⎰⎰故选A.(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1- 【答案】D【考点】相关系数的性质 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若X aY b =+，则当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.在本题中，设其中一段木棒长度为X ，另一段木棒长度为Y ，显然1X Y +=，即1X Y =-，Y 与X 之间有明显的线性关系，从而1XY ρ=-.故选D.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=，则()f x = 【答案】xe【考点】二阶常系数齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的特征方程20r pr q ++=有两个不同的实根，微分方程的通解形式为1212r xr xy C e C e =+. 在本题中，因()f x 满足()()2()0f x f x f x '''+-= ①()()2x f x f x e ''+= ②由①、②，得()3()2xf x f x e '-=-，两边乘以3xe -得32[()]2xx ef x e --'=-积分得32()xx ef x e C --=+，即3()x x f x e Ce =+代入②式得3392xxxxx e Ce e Cee +++=0C ⇒=，于是()xf x e =代入①式自然成立.因此求得()xf x e =.(10)2x =⎰【答案】2π 【考点】定积分的换元积分法 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 第一类换元法[()]()()baf t t d t f x d xβαϕϕ'=⎰⎰在本题中，22111(x =x t x t -==-+⎰⎰⎰111022ππ--=+=+=⎰⎰，其中1-⎰是半单位圆的面积.(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=【答案】{}1,1,1【考点】梯度 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：(,,)(,,)f f f gradf x y z x y z∂∂∂=∂∂∂ 在本题中，记zu xy y=+，则 u y x ∂=∂，2u z x y y ∂=-∂，1u z y∂=∂ (2,1,1)(2,1,1)|(,,)|(1,1,1)f f fgradu x y z∂∂∂⇒==∂∂∂ 因此(2,1,1)()|(1,1,1)zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：曲面积分公式：(,,)[,,(,xyD f x y z ds f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰在本题中，投影到xy 平面上.∑在xy 平面上的投影区域为{}(,)01,01xy D x y x y x =≤≤≤≤-由∑的方程1z x y =--1z x ∂⇒=-∂，1zy∂=-∂ 现将曲面积分化为二重积分，然后求出积分值.1122200xyxyx D D y ds yy dxdy dx y dy -∑===⎰⎰⎰⎰⎰1134001(1)[(1)]33412x dx x =-=⋅--=⎰ (13)设α为3维单位列向量，E 为3阶单位矩阵，则矩阵TE αα-的秩为 【答案】2【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）若()1r A =，则11nnn ii i E A a λλλ-=-=-∑；（ii ）实对称矩阵必可对角化.在本题中，设123a a a α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有2221231T a a a αα=++=，又211121322123212232331323(,,)T a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 易见秩()1r A =.那么3222232123()E A a a a λλλλλ-=-++=-，所以矩阵A 的特征值为1，0，0，从而E A -的特征值为0，1，1.又因E A -为对称矩阵，从而011E A⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()2T r E αα-=. (14)设A ,B ,C 是随机事件，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 【答案】34【考点】条件概率 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 条件概率公式()()(()0)()P AB P B A P A P A => 在本题中，由于A 与C 互不相容，所以AC =∅，ABC =∅，从而()0P ABC =.于是1()()()()32()11()1()4()13P ABC P AB P ABC P AB P AB C P C P C P C -=====---.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.证明：令()21ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，则转化为证明()0f x ≥（(1,1)x ∈-）因()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故只需考察0x ≥的情形. 用单调性方法.()111111lnsin ln sin 111111x x f x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫'=++--=+--- ⎪-+---+⎝⎭， 221111()cos 111(1)(1)f x x x x x x ''=+++--+--+， 22331122()sin 0((0,1])(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x '''=-++-+>∈+--+，其中2211(1)(1)x x ->-+，33112[]0(1)(1)x x ->-+，sin 0((0,1))x x >∈ 因(0,1)x ∈时(3)()0f x >，又()f x ''在[0,1)连续()f x ''⇒在[0,1)，()(0)20f x f ''''>=>（(0,1]x ∈），同理()f x '在[0,1)，()(0)0((0,1])f x f x ''>=∈()f x ⇒在[0,1)，()(0)0((0,1])f x f x >=∈.又因()f x 为偶函数()0((1,1),0)f x x x ⇒>∈-≠，(0)0f =.即原不等式成立.(16)求函数222(,)x y f x y xe+-=的极值.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域有连续的二阶偏导数，又00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，令00(,)xx f x y A ''=，00(,)xy f x y B ''=，00(,)yy f x y C ''=，则（1）当20A C B->时，(,)f x y 在00(,)x y 取极值，且当0A >时取极小值，0A <时取极大值；（2）当20AC B -<时，00(,)x y 不是(,)f x y 的极值点；（3）当20AC B -=时，仅此不足以判断00(,)x y 是否是(,)f x y 的极值点，还需另作讨论. 在本题中，先求函数的驻点.()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y f x y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩解得驻点为(1,0)-，(1,0)又()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y A xe e x x x f x y B e x y x yf x y C xe y y++--+-+-⎧∂==-+--⎪∂⎪⎪∂⎪==--⎨∂∂⎪⎪∂⎪==-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 代入（1，0），得122A e-=-，0B =，12C e-=-，从而20AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在（1，0）取得极大值，极大值为12e -；代入（-1，0），得122A e-=，0B =，12C e-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，0）取得极小值，极小值为12e--.(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数.【考点】幂级数的收敛域、和函数【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）求幂级数nn n a x∞=∑收敛域的步骤：（1）求收敛半径：设1limn n na l a +→∞=，则1/,0,0,,,0l l R l l <<+∞⎧⎪==+∞⎨⎪+∞=⎩（2）讨论端点的敛散性：如果0R <<+∞，则需进一步讨论nn n a x∞=∑在x R =±处的敛散性；（3）写出幂级数的收敛域. （ii ）和函数的性质：（1）和函数()S x 在(,)R R -内可导，并且有逐项求导公式：10()()nn n n n n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（2）在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立，即10()1xxnn n n n n a S t dt a t dt x n ∞∞+====+∑∑⎰⎰.本题中，直接用求收敛半径的公式，先求2124(1)4(1)3212(1)1lim lim lim 4432(1)121n n n n nn n a n n l n n a n n +→∞→∞→∞+++++++===+++++ 2222221111324(1)4()4(1)4(1)3lim 134344324n n n n n n n n n n n n n→∞+++++++++⋅=⋅=+++++ 于是收敛半径1R =当1x =时，原级数=2044321n n n n ∞=+++∑，第n 项的极限即2443lim 021n n n n →∞++=∞≠+，所以当1x =时，原级数发散；同理可证，1x =-时，原级数也是发散的. 因此，原级数的收敛域为(1,1)-.和函数22222000044322()[(21)](21)212121n n nn n n n n n n S x x n x n x x n n n ∞∞∞∞====++==++=+++++∑∑∑∑(1)x <令210()(21)nn S x n x ∞==+∑，2202()21nn S x x n ∞==+∑， 因为22112()(21)1xxnn n n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰(1)x <， 所以212221()()1(1)x x S x x x +'==--(1)x <. 因为21202()21n n xS x x n ∞+==+∑，所以2222002[()]221nn n n xS x x x x ∞∞=='===-∑∑(1)x < 所以2220002111()[()]()ln 1111xxx xxS x tS t dt dt dt t t t x +'===+=-+--⎰⎰⎰(1)x <当0x ≠时，211()ln1xS x x x+=-； 当0x =时，1(0)1S =，2(0)2S =.所以212223,0,()()()111ln ,1,0(1)1x S x S x S x x xx x x x x =⎧⎪=+=++⎨+<≠⎪--⎩(18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且(0)0f =，()0f t '>(0)2t π<<.若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求以曲线L 及x 轴和y 轴为边界的区域的面积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（ii ）由曲线()y f x =(()0)f x ≥及直线x a =，()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形的面积A 是定积分()baA f x dx =⎰.（Ⅰ）求()f t . 当02t π≤<时，曲线L 在切点((),cos )A f t t 处的切线斜率为/sin /()dy dy dt tdx dx dt f t -=='， 切线方程为sin cos [()]()ty t x f t f t =--' 令0y =得切线与x 轴的交点B 的x 坐标为cos ()()sin tf t x f t t'=+于是B 点坐标为cos ()((),0)sin tf t f t t'+，切点A 的坐标为((),cos )f t t依题设，A 与B1=， 化简得2sin ()cos tf t t'=，积分得22200sin sin 11()(0)sin cos 1sin tt xx f t f dx d x x x-+=+=-⎰⎰0111sin ()sin 21sin 1sin t t d x x x=-+++-⎰2211sin 1(1sin )sin ln sin ln 21sin 2cos t t t t t t++=-+=-+- sin ln sec tan t t t =-++（Ⅱ）求无界区域的面积S曲线(),:(0)cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩可表为()(0)y g x x =≤<+∞，当02t π→-时x →+∞当()x f t =时()cos g x t =，于是20()()cos ()S g x dxx f t tdf t π+∞==⎰⎰2222200sin cos ()cos sin cos 4t t f t dt t dt tdt t ππππ'=⋅=⋅==⎰⎰⎰(19)已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d LJ x y x x x y y =++-⎰【考点】格林公式【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 格林公式：()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰在本题中，记LJ Pdx Qdy =+⎰1）22(31)31Q P x x x y∂∂-=+-=∂∂； 2）曲线L 不封闭，添加辅助线1:L 沿y 轴由点(0,2)B 到点(0,0)O .122(0,)224LL Pdx Qdy Q y dy ydy ydy +==-==⎰⎰⎰⎰；3）在1L 与L 围成的区域D 上用格林公式（边界取正向，即逆时针方向）：1()1L L DDQ PPdx Qdy d d x y σσ+∂∂+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰221121422πππ=⋅-⋅=，因此42LJ Pdx Qdy π=+=-⎰(20)设10010101,00100010a a A a aβ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（I ）计算行列式A ；（II ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=，或1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=.（ii ）设A 是m n ⨯矩阵，方程组Ax b =，则方程组有无穷多解()()r A r A n ⇔=< （I ）按第一列展开，即得4141000101(1)10100101a a A a a a a a+=⋅+-=-（II ）因为0A =时，方程组Ax β=有可能有无穷多解.由（I ）知1a =或1a =- 当1a =时，11001110010110101101()00110001101001000002A β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由于()3r A =，()4r A =，故方程组无解.因此，当1a =时不合题意，应舍去. 当1a =-时，11001100100110101011()00110001101001000000A β⎡-⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由于()()3r A r A ==，故方程组Ax β=有无穷多解.选3x 为自由变量，得方程组通解为：(0,1,0,0)(1,1,1,1)T T k -+（k 为任意常数）.(21)已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2（I ）求实数a 的值；（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii ）任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n nf y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.（I ）二次型()T T x A A x 的秩为2，即()2Tr A A = 因为()()Tr A A r A =，故()2r A =.对A 作初等变换有1011010110111000101000A a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， 所以1a =-.（II ）当1a =-时，202022224TA A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由202022(2)(6)224T E A A λλλλλλλ---=--=-----，可知矩阵T A A 的特征值为0，2，6.对0λ=，由(0)0T E A A x -=得基础解系T），（1-,11， 对2λ=，由(2)0TE A A x -=得基础解系T），（0,11-， 对6λ=，由(6)0TE A A x -=得基础解系(1,1,2)T. 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.T ），（1-,11311=γ，T ），（0,11212-=γ，.T），（2,11613=γ 于是得到正交矩阵62-031-612131612131=Q 在正交变换y xQ =下，二次型的标准形为232262y y f +=.（22）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.【考点】随机变量的数学期望、方差；协方差及其性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）22()DX EX EX =-；（ii ）(,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅,(,)Cov X X DX =,1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.（Ⅰ）由随机变量(,)X Y 的概率分布可知，{}{}{}1120,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+= （Ⅱ）由条件知12111236X⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012111333Y ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，01471112312XY ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而11120122363EX =⋅+⋅+⋅=， 1110121333EY =⋅+⋅+⋅=，222211150123333EY =⋅+⋅+⋅=，7112()014123123E XY =⋅+⋅+⋅=又2252()133DY EY EY =-=-=，于是(,)(,)(,)()Cov X Y Y Cov X Y Cov Y Y E XY EX EY DY -=-=-⋅-222213333=-⋅-=-. (23)设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>.设.Z X Y =-（Ⅰ）求Z 的概率密度2(,);f z σ （Ⅱ）设12,,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ（Ⅲ）证明2σ为2σ的无偏估计量【考点】常见随机变量的分布；最大似然估计法；估计量的评选标准 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）正态分布202()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞（ii ）似然函数 121()(,,,;)(;)nn i i L L x x x p x θθθ===∏，对数似然方程l n ()0dL d θθ= （iii ）若估计量12ˆˆ(,,,)n X X X θθ=的数学期望ˆ()E θ存在，且对于任意θ∈Θ有ˆ()E θθ=，则称ˆθ是未知参数θ的无偏估计量. （Ⅰ）由条件知Z 服从正态分布，且()0EZ E X Y EX EY =-=-=，2()3DZ D X Y DX DY σ=-=+=，即2(0,3)ZN σ，从而Z 的概率密度为2222(0)2236(;)z z f z σσσ---⋅==，z -∞<<+∞.（Ⅱ）由条件知似然函数为22122226611()(;)ni i i z z nni i i L f z σσσσ=--==∑===∏，i z -∞<<+∞，1,2,,i n =，222211ln ()ln 6ln 226nii n n L zσπσσ==---∑，令222241ln()110()26nii d n z d σσσσ==-⋅+=∑，解得22113n i i z n σ==∑.21 于是2σ的最大似然估计量为2211ˆ3n i i Z n σ==∑. （Ⅲ）由于222211111ˆ()()333n n i i i i E E Z E Z nEZ n n n σ=====⋅∑∑ 22211[()](30)33DZ EZ σσ=+=+=， 从而可知，2ˆσ为2σ的无偏估计量.。
2012考研真题及答案
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
2012年10月全国自考数学分析试题和答案
2012年10月全国自考数学分析试题和答案试题内容1. 记号法则证明题：证明$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。
2. 函数连续性证明题：证明函数$f(x)=\begin{cases}\sin x, & x \geq 0\\0, & x < 0\end{cases}$在$x=0$处连续。
3. 极限计算题：计算$\lim_{x \to 0}\frac{x^3-2x^2+x}{x^2+1}$。
4. 导数计算题：求函数$f(x)=\ln(\sqrt{1+x^2})$的导数$f'(x)$。
5. 积分计算题：计算$\int{\frac{2+x+x^2}{1+x+x^3}dx}$。
6. 积分应用题：已知物体的速度函数为$v(t)=t^2-2t+1$，求在$t=0$到$t=2$时间段内物体所走过的总路程。
试题答案1. 证明：$(fg)'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(fg)(x+\Delta x)-(fg)(x)}{\Delta x}$ (定义)$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}$ (展开)$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}$ (拆分)$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x}$ (合并)$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)}{\Delta x}[g(x+\Delta x)-g(x)]+\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x)}{\Delta x}[f(x+\Delta x)-f(x)]$ (分离)$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ (定义)2. 在$x=0$处，$\lim_{x \to 0^+}f(x)=\sin 0=0$，$\lim_{x \to 0^-}f(x)=0$，所以函数在$x=0$处左右极限相等。
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第 1 页 共 1 页 2012年11月17日用 期中试题 数学分析B （一）期中试题
一、（20分）用任意或存在等精确语言叙述下列概念
1. 实数b 是实数集的子集S 的上确界.
2. 数列{}n x 收敛.
3. 当3→x 时，函数)(x f 没有极限.
4. 数列{}n x 不收敛但不是无穷大量.
二、（24分）计算题
1. 求函数x x x f 2cos 2sin )(+=的最小正周期.
2. 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221211
1lim . 3. 求极限)arctan sin )21(1(lim x x x x e e x x
x x ++-++-∞→. 4. 设a 是实数，求极限n n n a a 2211lim
+-∞→.
三、（16分）解答题 1. 设Q 是全体有理数所成之集，试讨论⎩
⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ，，01)(的有界性、单调性、奇偶性和周期性.
2. 设⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧== ,3,2,122n B n ，问B sup 和B inf 存在吗？为什么？ 四、（40分）证明下列命题
1. 若数列{}n x 有界，且0lim =∞→n n y ，则0lim =∞
→n n n y x . 2. 若4
cos πn x n =，则数列{}n x 是发散的. 3. 若+∞=∞→n n a lim ，则+∞=+++∞→n
a a a n n 21lim . 4. 若单调数列{}n x 含有一个收敛子列，则数列{}n x 收敛.。