苏教版高一数学弧度制2

B
1.1.2 弧度制
一、课题：弧度制（2）
二、教学目标：1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；
2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用；
3．求扇形面积的最值。

三、教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。

四、教学过程：
（一）复习：
（1）弧度制角如何规定的？||l r
α=（其中l 表示α所对的弧长） （2）1801()π=； 1180
π= ． 说出下列角所对弧度数30,45,60,75,90,120,150,180,240,270,360． （练习）写出阴影部分的角的集合：
（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？
圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为||||2360180
n n r l r ππ=⨯=； 扇形面积为22||||360360
n r n S r ππ=⨯=． （二）新课讲解：
1．弧长公式：
在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？ ∵||l r
α=（其中l 表示α所对的弧长）， 所以，弧长公式为||l r α=⋅．]
2．扇形面积公式：扇形面积公式为：22||1222
l
r S r r lr αππππ=⋅==． 说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；
②以上公式中的α必须为弧度单位．
3．例题分析：
例1 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。

（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
解：（1）因为21203
π=，所以，21112||36122223S lr r παπ===⋅⋅=． （2）设弧长为l ，半径为r ，由已知220l r +=，所以202l r =-，202||l r r r
α-==， 从而222211202||10(5)2522r S r r r r r r
α-==⋅⋅=-+=--+， 当5r =时，S 最大，最大值为25，这时2022l r r r
α-===． 例2 如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

150 210
解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，则有
2841242
l r l r lr +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩ ， 所以，中心角为422
l r α===，弦长＝22sin14sin1⋅=． 五、课堂练习：
1．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
的关系是 （ ） （A ）A B = （B ）A B ⊆ （C ）A B ⊇ （D ）以上都不对。

2．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B 等于（ ）
（A ）φ （B ）{}|44αα-≤≤ （C ）{}|0ααπ≤≤ （D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤ 3．圆的半径变为原来的
12
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。

4．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB
AB 所对的圆心角α 的弧度数为 ．
六、小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
2．由||l r α=将12
S lr =转化成21||2S r α=，利用这个S 与r 的二次函数关系求出扇形面积的最值。

七、作业：
补充：1．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为r ，求扇形的面积。

2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面 积（要求作图）。

3．已知扇形的周长为30，当它的半径r 和圆心角α各取多少值时，扇形面积S 最大， 最大值为多少？。