小升初数论重点——完全平方数
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
第二讲 完全平方数
第二讲 完全平方数定理1 完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．逆否命题：个位数是2,3,7,8（52k ±型）的整数一定不是完全平方数．定理2 一个奇数的平方的十位数是偶数．逆否命题：定理3 如果一个完全平方数的个位数是6，那么它的十位数一定是奇数．定理4 奇数的平方仍然是奇数，并且被4除余1，偶数的平方是偶数，并且一定能被4整除． 推论１ 两个整数的平方和被4除的余数只能是0,1,2．即一个整数被4除余3，这个数一定不能表示成两个整数的平方和．推论2 两个整数的平方差被4除的余数只能是0,1,3．即一个整数被4除余2，这个数一定不能表示成两个整数的平方差．推论3 两个奇数的平方和一定不是完全平方数．定理5 凡是不能被3整除的整数的平方被3除余1，凡是3的倍数的平方一定能被3整除． 定理6 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数．定理7 一个正整数是完全平方数的充分且必要条件是它的约数个数一定是奇数．结论：若整数a 是下列情况之一，则一定不是完全平方数：（1）个位数是2，3，7，8的数；（2）个位数和十位数都是奇数的数；（3）个位数是6，十位数是偶数的数；（4）被4除余数是2或3的数；（5）被8除余数是2，3，5，6，7的数；（6）被3除余数是2的数；（7）在相邻两个完全平方数之间的数；（8）所有约数的个数是偶数的数．例1：如果2()f x x x =+，证明方程4()()f a f b =没有正整数解a 和b ．【分析】设a 、b 是方程4()()f a f b =的正整数解，则2244a a b b +=+，22440a a b b +--=解得：a =2222121(1)b b b b b b <++<++=+，所以21b b ++不是完全平方数，则a N *∉，得证．例2：设a 与b 为任意给定的整数，试证明方程210530x ax b +++=和210530x ax b ++-=都没有整数根．【分析】求根得：1,25x a =-22553a b -±不是完全平方数，因为2225535(5)3a b a b -±=-±，而25(5)a b -的个位数字为0或5，所以25(5)3a b -±的个位数字为2,3,7,8，由定理1知22553a b -±不是不是完全平方数．例3：求证：边长和对角线都是整数的矩形的面积是6的倍数．【分析】设矩形边长为,x y ，对角线长为z ，且,,x y z N *∈，则本题即为：若整数,,x y z 满足222x y z +=，则6|xy .①首先证明,x y 中至少一个是偶数．否则，若,x y 都是奇数，则22x y +为42k +（或82k +）型数，与结论（4）（或结论（5））矛盾，故,x y 中至少一个是偶数；②下再证明,x y 中至少一个是3的倍数．否则22,x y 皆为31k +型数，22x y +为32k +型数，但2z 不可能为32k +型（由结论（6）），所以,x y 中至少一个是3的倍数．又(2,3)1=，得证． 例4：求证：没有整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=．【分析】假设存在整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=，即2286a b c +=+．若a ,b 均为奇数，则22a b +为82k +型数，而等式右边为86c +，矛盾；若a ,b 均为偶数，则22a b +为4的倍数，而86c +不是4的倍数，矛盾；若a ,b 一奇一偶，则22a b +为奇数，而86c +是偶数，仍然矛盾，得证．例5：求22222a b c a b ++=的所有整数解．（1）若0c =，则2222a b a b +=，可知a b b a 且，所以a b =，即有2240a b a a +=⇒=或a =a Z ∈，所以0a b c ===满足方程．（2）若0c ≠，先证明0a ≠，0b ≠．否则，若0a =，则220b c +=．所以0b c ==与0c ≠矛盾．同理，若0b =，矛盾．①若c 为奇数，显然a b 、不同为偶数，当a b 、同为奇数，由于222,,a b c 同为41k +型，则222a b c ++为43k +型，而22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为42k +型，22a b 为4k 型，矛盾．故若c 为奇数，方程无整数解．②若c 为偶数，当a b 、同为奇数，222a b c ++为42k +型，22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为41k +型，22a b 为4k 型，矛盾．当a b 、同为偶数，则a b c 、、全为偶，不妨设2m a α=⋅，2n b β=⋅，2t c γ=⋅，其中αβγ、、为奇数，*m n t N ∈、、，于是22222222222222m n t m n αβγαβ+⋅+⋅+⋅=⋅⋅首先不可能有m n t ==，否则222222222()2(2)m m m αβγαβ++=⋅⋅，222αβγ++=2222m αβ⋅⋅，左奇右偶，矛盾．所以m n t 、、不可能全相等． 下证m 不可能是m n t 、、中最小的，否则两边同除以2m，得 22222n m αβ-+⋅+22222222t m n γαβ-⋅=⋅⋅，左奇右偶，矛盾．同理，n 不可能是m n t 、、中最小的．故t 最小，但222222222222222m t n t m n t αβγαβ--+-++=，仍有左奇右偶，矛盾． 例6：求一个三位数，使它等于2n ，并且各位数字之积等于1n -．设210010A n a b c ==++，其中,,a b c 为0,1,2, ,9中的某个数字，且0,2,3,7,8a c ≠≠．由条件，有：1abc n =-，显然0c ≠，否则1n =，A 不是三位数．若c 为偶数，则1abc n =-为偶数，n 为奇数，2n 也为奇数，矛盾．所以 1,9,5c =，下面只需在三位完全平方数中逐一筛查，得361A =．例7：求证：任意六个连续正整数的积不可能是一个整数的立方．【分析】首先证明对任意7n ≥且n N ∈，有33(3)(4)(6)(4)n n n n n +<++<+ 3(4)(6)(3)n n n n ++-+23270n n =-->，3(4)(4)(6)n n n n +-++22(1232)n n =++2(4)(8)0n n =++>设相邻6个正整数为,1,2,3,4,5a a a a a a +++++，则(1)(2)(3)(4)(5)a a a a a a +++++[(5)][(1)(4)][(2)(3)]a a a a a a =+++++222(5)(54)(56)a a a a a a =+++++.设25n a a =+，则6n ≥.当6n =时，61012720⨯⨯=不是一个整数的立方；当7n ≥时，由引理可知2322223(53)(5)(54)(56)(54)a a a a a a a a a a ++<+++++<++，而相邻两个立方数之间不可能有完全立方数，得证.※例8：求使23m n +为完全平方数的所有正整数m 、n ．【分析】设223m n x =+，则2x 必为奇数，且不能被3整除，于是2x 为31k +型，则2m也31k + 为型．当m 为奇数时，设21m t =+，则2122242(31)m t t t +==⋅=⋅+，由二项式定理知：(31)t +被3除余1．所以2m 为32k +型，矛盾．从而m 为偶数，设2m s =，则 2223s n x +=，因为2x 被4除余1，而242s ．所以3n 被4除余1．若n 为奇数，设21n k =+，则213393(81)k k k +=⋅=+，因为(81)k k +为4+1型．所以213k +为43k +型 ，矛盾．故n 为偶数，设2n q =，则22223s q x +=，22(3)(3)s q q x x =+-，所以3q x +与3q x -都是2 的幕的形式．设32q a x +=，则232q s a x --=，解得：121322q a s a ---=-，左奇，所以212121021s a s a s a --=⇒--=⇒=+，12232121q a s --=-=-，所以22231s q -=+，若q 为奇数.2212231(31)(33+1)s q q q ---=+=+-+ ……，242s -∴=1233q q ---+……1+，若1q >，上或右偶右奇，矛盾，1q ∴=，2421s -∴=，2,3,24s a m s ====，22n q ==，即422235+=课后练习：1．证明125n +型的数不可能是完全平方数．2．证明(1)n n +不是完全平方数．3．当22d n （表示d 整除22n ），n 和d 是正整数时，求证2n d +不是完全平方数．4．求证：任意相邻的四个正整数之积不是完全平方数．5．证明对所有正整数n ，22n n ++不可能被15整除．6．求证：两位或两位以上的平方数，至少含有两个不同的数字．7．求证：对于数31n N =+（1）当n 为偶数时，N 能被2整除；（2）当n 为奇数时，N 能被22整除；（3）不论n 为奇数还是偶数，它不能被2的更高次幂整除．8．求证：对任意的正整数n 、k ，622411k k nn ++不是完全平方数． ※9．求证：若整数a ，b ，c 满足222a b c +=，则a ，b ，c 至少有一个是5的倍数．※10．求证：相邻四个正整数的四次幂的和不可能是另一个正整数的四次幂．※11．已知a ，b 为正整数，当22a b +被a b +除时，所得的商为q ，余数为r ，求所有的正整数a 和b ，使得21977q r +=．《完全平方数》课后练习参考答案1．因为1253(41)2n n +=++，而32k +型的数不可能是完全平方数．2．由于222221(1)n n n n n n <+<++=+，所以2(1)n n n n +=+不是完全平方数．3．由于22d n ，则22n md =，其中m 是整数．若2n d +是完全平方数，设22n d x +=，则22222m n m d m x +=，222222m n n m m x +=，2222(2)n m m m x +=．如果上式成立，22m m +应为完全平方数，然而2222(1)m m m m <+<+，所以22m m +不可能是完全平方数，于是产生矛盾．4．设相邻四个整数为m ，1m +，2m +，3m +，则(1)(2)(3)A m m m m =+++ 22(31)1m m =++-．因为2222(3)(31)m m A m m +<<++，所以A 不是完全平方数．5．假定22n n ++能被15整除，设2215n n k ++=，22150n n k ++-=，n =607k -的个位数是3，所以607k -不是完全平方数，所以n 不可能是整数．6．由于完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．（1）若平方数的个位数是1，5，9，则它的十位数是偶数，显然有两位数字不同；（2）若平方数的个位数是6，则它的十位数是奇数，也是两位数字不同；（3）若平方数的个位数是0，若它的十位数不是0，则已有两位数字不同，若它的十位数是0，则百位，千位，…至少有一位不是0，否则与已知二位或二位以上数字相矛盾；（4）若平方数的个位数字是4，它的十位数是偶数．若十位数不是4，则已有两位数字不同；若十位数字是4，而百位，千位，…有一位不是4，则也有两位数字不同．若各位数字都是4，则4444111=⨯ ．由于11…1不是完全平方数（否则，若是完全平方数，由位数是1，十位数应是偶数，这是不可能的），而4是完全平方数，显然它们的积4111444⨯= 不是完全平方数．由（1）（2）（3）（4）可知，两位或两位以上的完全平方数一定有两个数字不同．7．由于3n 是奇数，而任何奇数的平方被8除1．（1）当n 为偶数时，设2n m =，由于223131(3)1(81)1n m m M +=+=+=++，其中M 是整数．于是312(41)n M +=+．所以n 为偶数时，31n +能被2整除；（2）当n 为奇数时，设21n m =+，由于2123133313(81)1n m m a M ++=+=⋅+=++ 4(61)M =+，所以n 为奇数时，31n +能被242=整除；（3）由（1）（2），41M +和61M +都是奇数，所以31n +不可能被2的更高次幂整除．8．设2k t n =，设原式为A ，则32411A t t =++22(2)92t t =+++，若t 能被3整除，则22(2)t t +能被3整除，于是A 为32m +型．若t 不能被3整除，则22t +能被3整除，于是A 也为32m +型．因为32m +型的数不可能是完全平方数，所以A 不是完全平方数．9．首先证明一个不能被5整除的整数的平方一定是51k ±型．这是因为一个不能被5整除的整数可表为51m ±，52m ±型．而22(51)5(52)1m m m ±=±+，22(52)5(541)1m m m ±=±+-．下面证明本题．假定a ，b ，c 中任何一个都不是5的倍数，则2a ，2b ，2c 一定都是51k ±型．（1）若2a 和2b 都是51k +型或都是51k -型，则222a b c +=是52k ±型．但能被5整除的数的平方为5k 型，不能被5整除的数的平方为51k ±，于是2c 不可能为52k ±型，即产生矛盾；（2）若2a 和2b 中一个是51k +型，另一个是51k -型，则22a b +是5k 型，此时c 能被5整除，与假定不符．所以a ，b ，c ，中至少有一个是5的倍数．10．注意到奇数的平方为41k +型，则奇数的四次方也为41k +型，而偶数的四次方为4k 型． 由于相邻四个整数的四次幂的和是两个奇数和两个偶数的四次幂的和，因而是42k +型；但42k +型的数不可能是一个整数的四次幂．11．由0r ≥及21977q r +=知21977q ≤，44.4q ≤=…，这样q 和r 的取值只能是(44,41)，(43,128)，(42,213)，…另一方面：22()a b a b q r +=++，r a b <+， 则：222222()()11()2()2()22a b a b a b a b r a b a b a b +++=≥=+>+++．于是12q r >或112q r >-． 而43q ≤时，128r ≥，1632r q -≥>，所以不可能有43q ≤． 这样q 和r 的取值只能是44q =，41r =．此时有等式2244()41a b a b +=++，配方得 22(22)(22)1009a b -+-=．设22(22)x a =-，22(22)y b =-，则有221009x y +=．由于31.7y ≤= 以及2x 的个位数是0，1，4，9，6，5，从而2y 的个位数只是9，8，5，0，3，4．考虑到2y 是完全平方数，所以它的个位数只能是9，5，0，4．由于2x 和2y 在221009x y +=中的对称性，所以2x 和2y 的个位都不可能是1，6．这样x ，y 只能是0，2，3，5，7，8，10，12，13，15，17，18，20，22，23，25，27，28，30． 对应的2x 是0，4，9，25，49，64，100，144，169，225，289，324，400，484，529，625，729，784，900．由221009y x =-可取得相应的2y 值为1009，1005，1000，984，960，945，909，865，840，784，720，685，609，525，480，384，280，225，109．再考虑2x 和2y 的对称性，只能是上面两组数中共有的数才有可能满足221009x y +=，这种数只有784，225．于是22784225x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22225784x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即22(22)784(22)225a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(22)225(22)784a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 注意到a 和b 是正整数，解得：1 150 37a b =⎧⎨=⎩，22507ab=⎧⎨=⎩，333750ab=⎧⎨=⎩，44750ab=⎧⎨=⎩．。
小学奥数知识点梳理-神奇的完全平方数！
小学奥数知识点梳理-神奇的完全平方数！完全平方数：指两个相同数相乘所得的数，例如：9=3×3，9就是一个完全平方数(或称平方数)，还可以理解为一个数如果是另一个整数的平方，那么这个数就是完全平方数。
表达式为：完全平方数A=a 的平方=a×a。
在前面文章里面我们研究了求某些特殊数平方的一些巧算方法，同学们可以回顾下：巧求平方数。
它经常会出现在什么地方呢？首先想到的就是正方形面积等于它的边长的平方；还有方阵问题也会碰到。
作为一类常见的特殊自然数，完全平方数有哪些神奇的特殊性质呢？观察下图1000以内的所有完全平方数。
性质1：完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9；不可能出现 2，3，7，8在整数的各种问题中，确定个位数十分重要。
知道完全平方数个位数字范围，就可以快速判断是否为完全平方数了。
证明：整数的个位数只有0~9十种情况，我们只需要分析0×0，1×1，2×2，…9×9得数的个位数就可以了。
性质2：完全平方数因数个数为奇数，因数个数为奇数的是完全平方数证明：请看视频→ 因数个数与完全平方数也可以表述为：完全平方数所有质因数的指数都是偶数例题1：在1~100的自然数中，因数个数是奇数的有多少个？实际上我们可以把问题转化为→ 1~100中有多少完全平方数。
例题2：一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？把270分解质因数，因为完全平方数所有质因数的指数都是偶数，补齐选最小就可以得到答案。
性质3：完全平方数与余数1，完全平方数除以5的余数只可能为 0，1，4证明：5的整除特性是判断个位数是否为0，5。
分析完全平方数可能出现的个位数，可以推断出结论。
个位是0,除以5余0；个位是1,则余1；个位是4,则余4；个位是5,则余0；个位是6,则余1；个位是9,则余4。
2，完全平方数除以3或4的余数都只可能为 0，1证明：完全平方数除以3的余数只能是0，1（同理可证明4）。
5-4-1_完全平方数.题库教师版
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-模块一、完全平方数基本性质和概念【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【解析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=， 例题精讲 知识点拨教学目标5-4完全平方数原式22(11111117)7777777=⨯=．【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】 设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯ ，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯ ，因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+= ．由于39139313=⨯=⨯，⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。
第九讲____完全平方数
第九讲 完全平方数完全平方数是数论中的一个重点知识，也是各大杯赛中常考的一个知识点。
这一讲学员需要掌握的主要是完全平方数的性质及灵活运用。
一、完全平方数的定义把一个自然数平方后所得到的数叫做完全平方数或平方数。
二、常用完全平方数表三、完全平方数性质1、平方数的尾数特征（通过列表的观察可得）性质1：完全平方数的个位只可能是0,1,4,5,6,9。
性质2：如果一个自然数介于两个连续的平方数之间，则这个数一定不是完全平方数。
性质3：若一个平方数的个位是6，则十位是奇数；若一个平方数的个位是0 若一个平方数的个位是52、平方数的余数特征 性质4：完全平方数除以3的余数只能是0、1。
完全平方数除以4的余数只能是0、1。
完全平方数除以8的余数只能是0、1、4。
完全平方数除以16的余数只能是0、1、43、平方数的因数特征性质5 性质6: 完全平方数的因数有奇数个。
4、平方数的差特征性质7：平方差公式： , 其中 和 的奇偶性相同。
四、完全平方数性质的灵活运用1、平方数的基础练习（1）不超过2010的最大的完全平方数是多少？估算 ， ，所以应该在40-50之间， ，所以不超过2010的最大的平方数应该是（2）一个平方数，它的最后三位数字相同但不为0，则该数最小是多少？性质1，个位只能是1,4,5,6,9，所以最小的应该是111,444,555,666,999，但用余数特称有都被淘汰所以最小只能是1111,1444,…，最后验证得到注：在这7个性质中5,6,7是各大杯赛的常考点， 性质1-4主要是用于判断一个数是否为平方数。
2、平方数的例题讲解例1、分析：肯定是发错了。
作业本的总数量如果是个完全平方数的话由性质1可知，平方数的个位只能是0、1、4、5、6、9，所以除以5的余数只能是0、1、4，而题每人5本最后余3本，所以不可能。
拓展练习：（1）1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6的结果是完全平方数吗？提示：不是，该式子的结果个位为1+2+6+4+0+0=3，（性质1）（2）我们知道：，，都是完全平方数，那么121+12321+1234321+ …+12345678987654321是不是完全平方数？提示：不是。
5-4-1完全平方数,题库教师版
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
知识点拨教学目标5-4完全平方数6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()ab a b a b -=+-模块一、完全平方数基本性质和概念【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【解析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=， 原式22(11111117)7777777=⨯=．【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】 设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+=．由于39139313=⨯=⨯，例题精讲⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。
5-4-1完全平方数,题库教师版
5-4完全平方数教学目标完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.知识点拨一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-模块一、完全平方数基本性质和概念【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】 设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+=．由于39139313=⨯=⨯，⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．例题精讲【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。
初中数学重点梳理：完全平方数
完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。
知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
小学奥数25完全平方数
2、7完全平方数2、7、1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*２,３*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数得平方得形式,则称这个数为完全平方数。
完全平方数就是非负数。
２、7、2性质推论例如:０,1,４,9,1６,２５,36,４9,64,81,100,121，14４,16９,1９6，2２５,２５6，２89,3２4,3６1,40０,44１,4８４,５2９…观察这些完全平方数,可以获得对它们得个位数、十位数、数字与等得规律性得认识。
下面我们来研究完全平方数得一些常用性质：性质1:末位数只能就是0，1，4,5,6,９。
此为完全平方数得必要不充分条件，且定义为“一个数如果就是另一个整数得完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数，故0就是完全平方数性质２:奇数得平方得个位数字一定就是奇数,十位数字为偶数；偶数得平方得个位数字一定就是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一:１0a+1,10a+３，10ａ+5，１0ａ+7，10ａ+9分别平方后，得)1０a+3）2=10０ａ2+60a＋9=20a(５a+3)（10ａ+１)2=100a2+2０ａ+１＝20ａ(5ａ＋1)+1ﻫ＋9ﻫ(10a+5）2＝1００a２+100a+25=20(5a+5ａ＋1)+5(10a＋7)２=1０0a2+１４0a＋49＝２０ (５a+7ａ+2)+9（10a+9)2=100ａ2＋18０ａ＋81=20（５ａ+9a+4）+1综上各种情形可知:奇数得平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质３：如果完全平方数得十位数字就是奇数,则它得个位数字一定就是6;反之,如果完全平方数得个位数字就是6,则它得十位数字一定就是奇数。
证明已知m2＝１０ｋ+6，证明k为奇数。
因为ｋ得个位数为6,所以ｍ得个位数为4或6,于就是可设ｍ=１0n+４或10n+6。
则１0k+6＝(10n+４）２＝1０0+(8n＋1)ｘ10+６或１0k＋6＝(10n+6)2＝10０+(1２n+3）x1０+６即 k=１0+8n+1＝２(5＋4n）＋1或 k=1０+1２n+3＝2(5+6n)＋３∴ｋ为奇数。
五年级春季：12-完全平方数(大纲+题库)
一、 教学目标总述：完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.细分：1.掌握平方数的因数与余数的性质；2.初步体会用尾数分析法解有关整数问题；3.初步体会用因数分析法解有关整数问题；4.初步体会余数分析法解有关整数问题；二、 知识点拨1．平方数的因数有下面的一些性质：（1） 平方数的因数的个数必为奇数；反之，恰有奇数个因数的数必为平方数。
（2） 若p 是平方数M 的因数，则也是M 的因数，且仍为平方数。
2．平方数的余数有下面的性质：⑴偶数的平方被4整除；⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。
3、平方数尾数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
4.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-三、 整体思路注：选做题中，将放除去以上题目类型以外的题目，并要包含以上知识点，分析难度会提高。
2p 2/M p四、 题目分类[类型一] 平方数的分解式，及分解质因数之后的质因数的指数特征《一》简单类型，可以作为学习入门【例 1】9207乘以正整数a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？[教学建议] 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。
[分析解答]要乘的数a 应满足条件使得9207的所有质因数个数都为偶数， 则a 的最小值是3×11×31=1023；【例 2】 9207加上正整数a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？ [教学建议] 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。
[分析解答] 根据平方数定义，9207加上一个正整数a 后所得的数可以表示为两个相同的数相乘的形式，由9207的分解式看出9207=99×93，295=9025＜9207＜9216=296；9216-9207=9，则a 的最小值是9。
小升初奥数数论完全平方数知识点
小升初奥数数论完全平方数知识点【篇一】一、完全平方数的定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
二、完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.约数个数为奇数;反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2三、完全平方数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【篇二】例题例1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2 (1)x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得n^2-m^2=89,(n+m)(n-m)=89但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。
解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
例2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。
欲证n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
【篇三】练习题1、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是()岁。
小升初数学思维拓展专项训练 专题11完全平方数性质
专题11-完全平方数性质小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2、性质。
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n 或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【典例一】：一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数．则a 的最小值是（）A、30B、20C、120D、60【分析】一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a 的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．【解答】解：因为1080×a 是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，所以，a 必含质因数2、3、5，因此a 最小为2×3×5=30．故选：A．【点评】明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键．【典例二】a 、b 均为正整数，a b ≠，且(90102)a b +正好是一个完全平方数，那么，()a b +的最小值为多少？【分析】因为(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以必有因数23，由2901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，然后假设3b =，推出a 的值，进而得出结论．【解答】解：(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以有因数232901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，当3b =，11a =时，2(1034)144123b a +⨯==，即()a b +的最小值为：11314+=；答：()a b +的最小值为14．【点评】结合题意，把原式进行提取，变形，得出：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，是解答此题的关键．【典例三】有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为2299212111+==，请你找出所有这样的两位数．【分析】设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为10111()121a b b a a b +++=⨯+=；只需要a b +等于11就可以了，据此可以列举出来．【解答】解：设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为：101011()121a b b a a b +++=⨯+=；所以1211111a b +=÷=，因为29384756a b +=+=+=+=+，所以：2299212111+==，2388312111+==，2477412111+==，2566512111+==，答：这样的两位数是56，47，38，29，65，74，92，83．【点评】解答此题紧紧抓住完全平方数的性质，即211121=，把两个数的和写成11()121a b ⨯+=的形式，推出a b +的和为11即可．一．选择题（共5小题）1．下面的数中，()是完全平方数．A．8B．9C．62．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有()个．A．42B．45C．493．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1236++=．像这样的数叫完全数．下面的数中，()是完全数．A．8B．18C．284．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有()个．A．15B．18C．20D．215．假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和100)共有()个“无平方”数．A．4B．5C．6D．7E．8二．填空题（共11小题）6．某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是．7．自然数a 乘294，正好是另一个自然数的平方，则a 的最小值是．8．若245a b b =⨯，则a 、b 的最小值分别是a =，b =．9．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、6、7、10、11、12⋯非平方也非立方数列，数列中第99个是．10．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1236++=，像6这样的数，叫作完全数（也叫作完美数）。
完全平方数的规律
完全平方数的规律嘿，朋友们！今天咱来唠唠完全平方数的规律，这可有意思啦！你看啊，完全平方数就像是数学世界里的小精灵，它们有着自己独特的脾气和特点呢。
就好比一个个小房子，整整齐齐地排列在那。
咱先来说说什么是完全平方数。
简单来说，就是一个整数能表示成另一个整数的平方。
比如说 4 吧，它就是 2 的平方呀，9 呢，就是 3 的平方。
这多好理解呀！那它们有啥规律呢？嘿，这规律可不少哩！比如说，完全平方数的个位数只能是 0、1、4、9 这几种情况。
你想想是不是这么回事？就好像是它们家族的标志一样。
再看看它们的增长速度，那也是很有特点的哟！一开始可能觉得不咋快，可越往后，那差距就越来越大啦。
就像跑步比赛，一开始大家都差不多，跑着跑着，差距就明显了。
还有啊，相邻的两个完全平方数之间的差距也是有规律的哦！它们之间的差值会越来越大呢。
这就好像是一级级台阶，越往上爬，台阶之间的距离越远。
咱举个例子吧，1 和 4 之间差 3，4 和 9 之间差 5，9 和 16 之间差7，是不是很神奇？这就像是大自然中的某种奇妙秩序一样。
而且哦，完全平方数在解决一些问题的时候可好用啦！就像是一把万能钥匙，能打开好多难题的锁。
你说数学是不是很有趣呀？完全平方数就这么看似简单的东西，却蕴含着这么多的奥秘和乐趣。
我们就像是探险家，在数学的海洋里遨游，不断发现这些神奇的规律。
我们的生活中也到处都有数学的影子呀，完全平方数不就是其中一个小小的例子嘛。
所以呀，可别小瞧了这些数字，它们能给我们带来很多惊喜和启发呢！我们要用心去感受，去发现它们的美。
这就是我对完全平方数规律的一些小感受，你们觉得呢？是不是也和我有一样的想法呀？。
五年级春季：12-完全平方数(大纲+题库)
一、 教学目标总述：完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.细分：1.掌握平方数的因数与余数的性质；2.初步体会用尾数分析法解有关整数问题；3.初步体会用因数分析法解有关整数问题；4.初步体会余数分析法解有关整数问题；二、 知识点拨1．平方数的因数有下面的一些性质：（1） 平方数的因数的个数必为奇数；反之，恰有奇数个因数的数必为平方数。
（2） 若p 是平方数M 的因数，则也是M 的因数，且仍为平方数。
2．平方数的余数有下面的性质：⑴偶数的平方被4整除；⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。
3、平方数尾数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
4.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-三、 整体思路注：选做题中，将放除去以上题目类型以外的题目，并要包含以上知识点，分析难度会提高。
2p 2/M p四、 题目分类[类型一] 平方数的分解式，及分解质因数之后的质因数的指数特征《一》简单类型，可以作为学习入门【例 1】9207乘以正整数a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？[教学建议] 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。
[分析解答]要乘的数a 应满足条件使得9207的所有质因数个数都为偶数， 则a 的最小值是3×11×31=1023；【例 2】 9207加上正整数a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？ [教学建议] 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。
[分析解答] 根据平方数定义，9207加上一个正整数a 后所得的数可以表示为两个相同的数相乘的形式，由9207的分解式看出9207=99×93，295=9025＜9207＜9216=296；9216-9207=9，则a 的最小值是9。
辨别完全平方数的方法
辨别完全平方数的方法引言：完全平方数是数学中一种特殊的数，它可以表示为一个整数的平方。
辨别完全平方数的方法在数学中具有重要的应用，尤其在代数和数论领域。
本文将介绍几种简单且常用的辨别完全平方数的方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
方法一：直接计算平方根最简单的辨别完全平方数的方法是直接计算其平方根。
如果一个数的平方根是一个整数，那么这个数就是完全平方数。
例如，数值16的平方根是4，而4是一个整数，所以16是完全平方数。
同样地，数值25的平方根是5，而5也是一个整数，所以25也是完全平方数。
这种方法简单直接，适用于小型数值的辨别。
方法二：观察奇偶性通过观察一个数的奇偶性，我们可以初步判断它是否为完全平方数。
一个完全平方数必然是一个奇数的平方或偶数的平方。
如果一个数是奇数的平方，那么它的个位数字一定是1、4、5、6、9中的一个。
例如，数值9是奇数3的平方，而3的个位数字是3，所以9是完全平方数。
如果一个数是偶数的平方，那么它的个位数字一定是0、2、4、6、8中的一个。
例如，数值16是偶数4的平方，而4的个位数字是4，所以16是完全平方数。
方法三：利用公式利用数学公式也是一种常用的辨别完全平方数的方法。
根据公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，我们可以将一个数表示成两个数的平方和。
如果一个数可以表示为两个整数的平方和，那么它就是一个完全平方数。
例如，数值25可以表示为3^2+4^2，所以25是完全平方数。
同样地，数值100可以表示为6^2+8^2，所以100也是完全平方数。
通过这种方法，我们可以用较小的数来表示较大的完全平方数。
方法四：利用二进制利用二进制的特性也可以辨别完全平方数。
一个完全平方数的二进制表示中，1的个数一定是偶数。
例如，数值16的二进制表示为10000，其中1的个数是偶数，所以16是完全平方数。
同样地，数值81的二进制表示为1010001，其中1的个数也是偶数，所以81也是完全平方数。
辨别完全平方数的方法
辨别完全平方数的方法介绍完全平方数指的是能够表示为一个整数的平方的数。
辨别一个数是否为完全平方数是数论中一个常见的问题，本文将介绍几种常见的方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
方法一：试除法试除法是一种最直观、简单的方法来辨别一个数是否为完全平方数。
基本思想是从小到大依次试除所有可能的正整数，直到找到一个整数，使得其平方等于给定的数。
以下是试除法的具体步骤： 1. 给定一个数n，从1开始，依次尝试将n除以每个正整数； 2. 如果找到一个整数i，使得i*i等于n，那么n就是一个完全平方数；3. 如果找不到这样的整数，那么n不是一个完全平方数。
试除法的时间复杂度为O(sqrt(n))，其中n为给定的数。
试除法简单易懂，但对于大数的判断效率较低。
方法二：二分查找法二分查找法是一种高效的方法来辨别一个数是否为完全平方数。
基本思想是不断迭代，将待判断的数范围缩小一半，直到找到一个整数，使得其平方等于给定的数，或者确定给定的数不是完全平方数。
以下是二分查找法的具体步骤： 1. 将给定的数n的范围初始化为[1, n]； 2. 当范围的左边界小于等于右边界时，执行以下步骤： - 计算范围的中间数mid； -如果mid的平方等于n，那么n是一个完全平方数； - 如果mid的平方大于n，那么将范围的右边界调整为mid-1； - 如果mid的平方小于n，那么将范围的左边界调整为mid+1； 3. 如果经过迭代后没有找到完全平方数，那么n不是一个完全平方数。
二分查找法的时间复杂度为O(log(n))，其中n为给定的数。
相较于试除法，二分查找法在大数的判断上更加高效。
方法三：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断迭代逼近的方法来求解方程的根。
在辨别一个数是否为完全平方数的问题中，我们可以将其转化为求解方程x^2 - n = 0的根。
当方程的根为整数时，说明n是一个完全平方数。
以下是牛顿迭代法的具体步骤： 1. 首先，选择一个初始的猜测值x0，通常可以选择n的平方根作为初始值； 2. 通过迭代公式x_(n+1) = (x_n + n/x_n) / 2，不断计算新的猜测值，直到猜测值的平方与n的差的绝对值小于一个很小的阈值ε； 3. 如果迭代得到的猜测值的平方与n的差的绝对值小于阈值ε，那么n是一个完全平方数； 4. 如果进行了一定次数的迭代后，仍未满足上述条件，那么可以判断n不是一个完全平方数。
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(2009 年迎春杯初赛五年级) 200 名同学编号为 1 至 200 向南站成一排，第 1 次全体同学向右转(转后全体同学面朝西)； 第 2 次编号为 2 的倍数的同学向右转；第 3 次编号为 3 的倍数的同学向右转；……第 200 次编号为 200 的倍数的同学向右转；这时面向东、面向西的同学共有多少名？ 【举一反三】 礼堂里有 100 盏灯，依次按 1～100 的顺序排号。每盏灯由一根灯绳控制，拉一个亮，再拉 一下灭。100 个学生依次进入礼堂，第 1 名学生把编号为 1 的倍数的灯都拉一下，第 2 名学 生把编号为 2 的倍数的灯都拉一下……第 100 名学生把编号为 100 的倍数的灯都拉一下；最 后礼堂里有________盏灯是亮的？
2．★★Biblioteka 下面的哪个数字与 2500 的和是完全平方数？( )
A．202
B．103
C．101
D．100
3．★★★
记 S＝(1 2 3 n)＋(4k＋3) ，这里 n 3，当 k 在 1 至 100 间取正整数时，有______个
不同的 k ，使得 S 为一个正整数的平方？
A．6
B．7
C．8
D．9
一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？
2
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．★★ 下列说法不正确的是( ) A．如果一个数的尾数不是 0，1，4，5，6，9 中的一个，那么这个数一定不是完全平方 数。
B．1＋2＋3＋4＋……＋102 的计算结果不是完全平方数。 C．如果一个数的尾数是 0，1，4，5，6，9 中的一个，那么这个数是完全平方数。 D．1+1 2 +1 23 +1 23 4 +1 23 45 +1 23 45 6 不是完全平方数。
小升初数论重点考查内容（二） 约数与倍数——完全平方数
一天，一个小流氓在街上招摇撞骗，声称自己是完全平方数，只见此人长得这个模样：A＝ 1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑之 处，你发现了吗？
(2004 年南京市少年数学智力冬令营试题) 记 S＝(1×2×3×…×n)＋(4k＋3)，这里 n≥3，当 k 在 1 至 100 间取正整数时，有______个 不同的 k，使得 S 为一个正整数的平方？
4．★★★
从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数有(
)个。
A．7
B．8
C．9
D．10
5．★★★★
能否找到这么一个数，它加上 24 和减去 30 所得到的两个数都是完全平方数？
A．能
B．不能
C．无法确定
D．以上答案都不对
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