北京市第三十五中学2015届高三上学期期中考试数学(理) Word版试题及答案

2014-2015年度第一学期期中试卷2014.11分钟. I 卷为选择题，包括一个大题，共10个小题，II 卷为主I 卷40分。

每小题只有一个正确选项，请选择正确答1{}42≥∈=x x R ，则=B A{}322<≤-≤x x x 或 D. R 2; ”的逆否命题； ”的否定.3*n N ∈，都有1n n a a +>，则实数k 的取值C ．k >1D ．k >04x x cos sin 22=，则下列结论正确的是 成中心对称 4π-成轴对称 5(1)(1)f x f x -=+成立，则()y f x = x =1对称2的周期函数6．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致为A B C D7．,a b 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8．函数()cos x f x e x =的图象在点(0, f (0))处的切线的倾斜角为 A ．0 B ．4πC ．1D ．2π9．若0,04a b a b >>+=，且，则下列不等式恒成立的是 A ．114ab≤B ．1114ab+≤C ．2ab ≥D ．228a b +≥10．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则f 的n 阶周期点的个数是A. 2nB. 2(2n -1)C. 2nD. 2n 2II 卷二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分。

请将正确答案填在答题纸相应的题号处） 11．如右图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α=12．已知点P (1,- 2)及其关于原点对称点均在不等式210x by -+>表示的平面区域内，则实数b13．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则⋅a b =1，|2|+=a b 14．函数3()2x f x e x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 __________.1Aαxy O15．已知函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是12a -<< 16．已知函数：①，②，③.对如下两个命题：命题甲：在区间上是增函数； 命题乙：在区间上恰有两个零点，且.能使甲、乙两个命题均为真的函数的序号是____________.○1○2三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17.（本小题共12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n =324（n >6） （Ⅰ）求数列的项数n ；（Ⅱ）求910a a +的值及数列的通项公式 解：（1）依题意得：1261516()36180(())n n n n a a a a a a a a --=+=++++++++………3分136n a a ⇒+=………1分1()3242n n n a a S +==⇒18n =………2分（2）118910a a a a ++==36………2分11181613(25)362,1217a S a d d a a a d =+=⇒==+=+且………3分所以21n a n =-………1分 18．（本小题满分13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin3)(2xx x x f +=, 求()f B 的最大值，并判断此时△ABC 的形状． 解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． (余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……3分∵ 0<A <π，（或写成A 是三角形内角）……………………4分5分2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++……………………7分1sin()62x π=++，……………………9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈∴5666B πππ<+<（没讨论，扣1分）…………………10分∴当62B ππ+=即3B π=时()f B 有最大值是23．……………………11分 又∵3A π=，∴3C π=∴△ABC 为等边三角形．……………13分19．（本小题满分13分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。

（Ⅰ）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？（Ⅱ）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）每吨平均成本为y /x （万元）………1分 则………3分当且仅当x =200时取得等号；………2分 （2）设年获得总利润为R (x )万元………1分 则R (x )=40x -y =40x -x 2/5+48x -8000=-x 2/5+88x -8000………2分R (x )在区间[0,210]上是增函数，所以x =210时，R (x )取得最大值……1分 R (x )最大值为1660………2分答：年产量为200吨时，每吨平均成本达到最低，为32万元； 年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。

………1分20．（本小题满分14分）如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，(0),AOP C θθπ∠=<<点坐标为(-2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S （Ⅰ）求OA OQ S t ⋅+=的最大值；（Ⅱ）若CB //OP ，求sin(2)6πθ-.解（1）(1cos ,sin )OQ θθ=+，………1分1cos OQ OA θ=+⋅………1分1||||sin sin 2S OA OP θθ==………1分OA OQ S t ⋅+==1cos sin )14πθθθ++=++………1分04πθπθ<<∴=时，OA OQ S t ⋅+=2分（2）(2,1),(cos ,sin )CB OP θθ==………1分//cos 2sin CB OP θθ∴=………1分220,sin cos 1θπθθ<<+=又，解得sin cos 55θθ==2分43sin 2,cos 255θθ==，………2分2分21．（本小题满分14分）已知函数x x a x f ln )21()(2+-=，()a ∈R .（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[]1e ，上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间()1+∞，上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=， ∴ xx x x x f 11)(2+=+='．………2分对于∈x []e ,1，有0)(>'x f ，∴)(x f 在区间[]e ,1上为增函数．∴21)()(2max e e f x f +==5分（Ⅱ）令x ax x a ax x f x g ln 2)21(2)()(2+--=-=，则)(x g 的定义域为 ()+∞,0.………6分在区间()+∞,1上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于0)(<x g 在区间()+∞,1上恒成立.∵x a x a x g 12)12()(+--='xax x a 12)12(2+--=x x a x ]1)12)[(1(---=，…8分①若21>a ，令0)(='x g ，解得：11=x ，1212-=a x ． 当112=>x x ，即112a <<时，在()+∞,2x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间()+∞,2x 上是增函数，并且在该区间上有()+∞∈),()(2x g x g ，不合题意；当112=<x x ，即1≥a ，同理可知，)(x g 在区间()+∞,1上，有()+∞∈),1()(g x g ，也不合题意；………11分 ②若21≤a 时，则有210a -≤，此时在区间()+∞,1上恒有0)(<'x g ， 从而)(x g 在区间()+∞,1上是减函数；要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a g 12a ⇒≥-，由此求得a ………12分综合①②可知，当a ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21时，)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.…14分22. （本小题满分14分）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体.存在非零常数T ,对任意R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立.(Ⅰ) 函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由;(Ⅱ) 设函数0()(>=a a x f x 且)1≠a 的图像与x y =的图像有公共点，证明：M a x f x ∈=)(； (Ⅲ) 若函数M kx x f ∈=sin )(，求实数k 的取值范围. (Ⅰ)解：不属于.…………1分若函数x x f =)(属于集合M ，则对任意R x ∈，+=x T Tx ， 所以(1)-=T x T 恒成立，显然没有非零常数T 使上式成立。

所以函数x x f =)(不属于集合M …………………3分 (Ⅱ)因为(),++==x Tx T f x T aa a 而(),=x Tf x Ta …………………4分因为函数0()(>=a a x f x 且)1≠a 的图像与x y =的图像有公共点，所以=TT a 有解.……6分即存在常数,T 使对于(),=xf x a )()(x Tf T x f =+成立.所以M a x f x ∈=)(. …………………7分(Ⅲ)若函数M kx x f ∈=sin )(，则sin ()sin ,+=k x T T kx ………………8分 则对于任意x ，sin cos cos sin sin ,+=kx kT kx kT T kx 恒成立……………9分 当cos 0,=kx 时，cos ,=kT T 恒成立 …………………10分 当cos 0≠kx 时，tan (cos )sin 0,-+=kx kT T kT 恒成立 则可知cos ,sin 0==kT T kT …………………12分 综上cos ,sin 0==kT T kT所以1,π.=±=T kT n …………………13分 所以π.(Z)=∈k n n .…………………14分。