信号07

b0
x(n)
1 E
+
b1
1 E
∑
1
− a1
E
x(n − 1)
y ( n − 1)
1 E
y ( n − 2)
23
x ( n − 2)
b2
− a2
y(n) = −a1 y(n −1) − a2 y(n − 2) + b0 x(n) + 0 1x(n −1) + b2 x(n − 2) bb
x(n)
b0
25
一、迭代法
• 当差分方程阶次较低时常用此法
y (n) = ay (n − 1) + x(n) x ( n) = δ ( n) n = 0 y (0) = ay (−1) + x(0) = 0 + δ (n) = 1 n = 1 y (1) = ay (0) + x(1) = a + 0 = a n=2 ⋮ n=n y (2) = ay (1) + x(2) = a.a + 0 = a y (n) = ay (n − 1) + x(n) = a n
t = nTs
x(n) = A sin(Ω 0 nTs )
N −1
0 1 2 3 4
n
10
若
为整数 k ，则经过 k 个点序列重复， k 为周期 2π m ， m , k 为整数，则 k 为周期 为有理数 ω0 k 为无理数，则正弦序列 不是周期序列
11
• 复指数序列
x(n) = A cos nω 0 + jB sin nω 0 = x ( n) e
j arg[ x ( n )]
= x ( n) e
j ( nω 0 +ϕ )
• 任意离散序列
x (t )
x(n) = ∑x(m)δ (n − m)
m=−∞
∞
m = −∞
∑ δ (n − m )
∞
x(n)
加权表示
12
§7.3离散时间系统的数学 离散时间系统的数学 模型
•离散线性时不变系统 离散线性时不变系统 •离散系统的数学模型 离散系统的数学模型 •从常系数微分方程得到差分方程 从常系数微分方程得到差分方程 •已知网络结构建立离散系统数学模型 已知网络结构建立离散系统数学模型
第七章 离散时间系统的 时域分析
本章要点
• • • • • 离散时间信号——序列 序列 离散时间信号 离散时间系统的数学模型 常系数差分方程的求解 离散时间系统的单位样值响应 卷积和解卷积
1
§7.1 引言
一、离散时间信号与离散时间系统日趋丰富和完善 二、离散时间系统与连续时间系统分析方法对比
• • • • • •
13
X(n)
离散时间 系统
y(n)
一、线性时不变系统
1.线性系统（满足均匀性和叠加性 ） 线性系统（ 线性系统
X1(n) 离散时 间系统 X2(n) 离散时 间系统 y1(n) c1X1(n)＋c2 X2(n) ＋ y2(n) 离散时 间系统 c1y1(n)＋c2 y2(n) ＋
2.时不变系统 时不变系统 在同样起始状态之下系统响应与激励施加于系统的时刻无 即激励x(n)产生响应 产生响应y(n)，则激励 产生响应y(n-N)。 关。即激励 产生响应 ，则激励x(n-N)产生响应 产生响应 。
有N个特征根 个特征根
αk
y (n) =
∑
l k =1
N
k =0
C k α kn
l −k n k
y ( n ) = ∑ Cl n α
n
C1(α + jβ) +C2(α − jβ)
n
27
• 特解： 特解： k – 自由项为 n 的多项式 则特解为
D1n + D2 n
k
k −1
+ ⋯ + Dk +1
– 自由项含有 a n 且 – 自由项含有 a n 且 则特解
x(n)
+
y (n + 1) = ay ( n) + x( n)
∑
+
1
1 y (n) = [ y (n + 1) − x(n)] a
E
前向差分方程 多用于状态方程
17
a
x(n)
y(n+2) ∑
1 E
-a1
y(n+1)
1 E
-a0
y(n)
y(n)
y ( n + 2 ) + a 1 y ( n + 1) + a 0 y ( n ) = x ( n )
xi (n − m)
yi (n − m)
14
二、离散时间系统的数学模型
1.差分方程 差分方程 离散时间系统中，基本运算是延时、乘系数、相加。 离散时间系统中，基本运算是延时、乘系数、相加。 其系统模型为离散输入函数x(n)及离散输出函数 及离散输出函数y(n)的各 其系统模型为离散输入函数 及离散输出函数 的各 次延时函数的线性叠加。 次延时函数的线性叠加。线性时不变系统的数学模型为 常系数线性差分方程， 常系数线性差分方程，一般形式如下
18
三、从常系数微分方程得到差分方程
• 在连续和离散之间作某种近似
y (t ) ⇔ y (n)
dy (t ) 1 ⇔ [ y ( n + 1) − y ( n )] dt Ts
19
x(t )
dy (t ) RC + y (t ) = x(t ) dt
取近似： 取近似：
y (t )
y (t ) ≈ y (n)
a 不是齐次根，则特解 Da n 不是齐次根，
a 是单次齐次根， 是单次齐次根，
n
( D1n + D2 )a
a
– 自由项含有 a n 且 则特解 k
是K次重齐次根 次重齐次根
k −1
( D1n + D2 n
+ ⋯ + Dk +1 )a
n
28
•特解： 特解： 特解 •自由项为 正弦或余弦表达式 自由项为 则特解为
连续系统 微分方程 卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换 卷积定理
• • • • • •
离散系统 差分方程 卷积和 Z变换 变换 离散傅立叶变换 卷积定理
2
§7.2 离散时间信号
一、离散时间信号——序列 离散时间信号 序列
1.定义 定义
只在某些离散瞬时给出函数值， 只在某些离散瞬时给出函数值，是时间上不连续的序 通常给出函数值的离散瞬时的间隔是均匀的， 列。通常给出函数值的离散瞬时的间隔是均匀的，若此间 隔为T，可用x(nT)表示离散时间信号 n取整数 表示离散时间信号， 取整数（ 隔为T，可用x(nT)表示离散时间信号，n取整数（n=0,±1, ± ±2,…）。也可直接用 ）。也可直接用 表示。 ）。也可直接用x(n)表示。把对应序号 的函数值称 表示 把对应序号n的函数值称 为第n个样点的 样值” 个样点的“ 为第 个样点的“样值”。
y (n) =
∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1)
k = −∞
∑ x(k )
x(k )
2
n
8.能量 能量
E =
k = −∞
5
∑
∞
三、典型离散时间序列 • 单位样值信号（Unit Sample) 单位样值信号（
δ (n)
1 (n = 0) δ (n) = 0 (n ≠ 0)
2.相乘 相乘
y(n)=x1(n)x2(n) 两序列同序号的数值逐项相乘。 两序列同序号的数值逐项相乘。
3.时移 时移
右移： 序列x(n)逐项依次右移（后移）m位。 逐项依次右移（ 右移： y(n)=x(n-m) 序列 逐项依次右移 后移） 位 左移： 序列x(n)逐项依次左移（前移）m位。 逐项依次左移（ 左移： y(n)=x(n+m) 序列 逐项依次左移 前移） 位
k =1 r =0 N M
差分方程的阶次：输出序列的最好序号值与最低序号值之差。 差分方程的阶次：输出序列的最好序号值与最低序号值之差。
15
2.系统模拟 系统模拟 延时
x(n) y (n)
1 1
x(n − 1)
Z
y ( n − 1)
E
y (n) = − y ( n − 1) + x(n)
加法器
x(n)
x(n)
+
∑
1
− 1 a
E
1 y ( n) = − y ( n − 1) + x ( n ) a21来自1x(n − 1)
E
y(n) = −a1 y(n −1) + b0 x(n) + b1x(n −1)
1
b1
x(n)
b0 +
∑
E
− a1
y(n−1 )
22
y(n) = −a1 y(n −1) − a2 y(n − 2) + b0 x(n) + b1x(n −1) + b2 x(n − 2)
4
4.反褶 反褶
y(n)=x(-n) 将序列x(n)以纵轴反褶。 以纵轴反褶。 将序列 以纵轴反褶
5.尺度变换 尺度变换
补上相应零值点。 补上相应零值点。例7-1。 。 后向差分
n x(an) 波形压缩，应去除某些点； x( ) 波形扩展，应 波形压缩，应去除某些点； 波形扩展， a
6.差分 前向差分 ∆ x ( n ) = x ( n + 1) − x ( n ) 差分 7.累加 累加
26
2
∴ y ( n) = a n u ( n)