数学归纳法 导学案
高中数学《数学归纳法》导学案
第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。
数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。
根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。
数学归纳法导学案
§2.3 数学归纳法（1）学生姓名： 班级：预习案（写一写，梳理基础知识）【学习目标】1. 了解数学归纳法的含义，体会归纳推理与数学归纳法关系；2. 能用数学归纳法证明简单的数学问题，理解数学归纳法的证明步骤；3. 掌握数学归纳法的简单应用。
【自主预习】梳理知识，夯实基础 一、课前准备（预习教材P 16~ P 18，找出疑惑之处）复习1：等差数列的通项公式是如何得到的？复习2：由22)55(+-=n n a n ，求,,,,4321a a a a 能得到什么结论？这个结论正确吗？【预习检测】小试身手 1． 某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立2． 一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对3． 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．04． 若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确探究案（比一比，争当优胜小组）要求：认真思考，积极参与讨论交流，踊跃发言，大胆展示讨论成果。
加油，你能行！典型例题探究任务一：数学归纳法的概念问题： 如何证明首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=对于每一个n 都成立？新知：数学归纳法的概念试试：用数学归纳法证明：2)12(531n n =-++++例1 证明：首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和公式2)1(1dn n na S n -+=对于每一个n 都成立。
《2.3.1数学归纳法》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.3数学归纳法理》导学案学法指导：认真自学，激情讨论，愉快收获.●为必背知识教学目标：1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．教学重点与难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.教学过程：一：回顾预习案1.阅读课本92页-93页2.完成下列填空a n1=这个猜想用多米诺骨牌原理解决数学问题.思考：你认为证明数列的通过公式是n与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？行：(1)(归纳奠基) ；(2)(归纳递推) .只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做 . 注意：(1)这两步步骤缺一不可.(2)用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n =k +1时命题成立”.(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析.4、例题讲解 例1 课本P 94例2 课本P 94当堂检测： 1．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为( )Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<L ≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+L ≥ 2．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n Λ过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 ( )A .2)2(kB .2)32(+kC . 2)12(+kD . 2)22(+k 3．用数学归纳法证明不等式)2(241321312111≥>++++++n n n n n Λ的过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边 ( )A .增加了一项)1(21+k B .增加了一项)1(21121+++k kC .增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D .增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”4．若f (k )=++-+-Λ4131211 ,21121kk --则)1(+k f = )(k f + _______． 二 ，讨论展示案 合作探究，展示点评 展示一，课本96页A 组1(1)展示二，课本96页A 组1(2)展示三，课本96页A 组1(3)展示四，课本96页A 组2。
《2.3.1数学归纳法》导学案.doc
临沂四中高二年级数学导学案§2.3数学归纳法(1)编写：杨祥明审核：魏宝玲编写时间：2014年3月20日班级姓名学习目标1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写；3.数学归纳法中递推思想的理解.学习过程—、课前准备复习：在数列｛%｝中，％ =l,a,s =—eN*),计算队，时S的值，猜测0｝的通项公式.1 +勺二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法思考1：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?思考2：你认为证明数列的通项公式是勾=上这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？n 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？试一试：你能证明数列的通项公式与=1这个猜想吗？总结数学归纳法两大步:(1)归纳奠基：(2)归纳递推:典型例题例1.用数学归纳法证明<2 与2 c2 2〃(乃 + 1)(2〃 + 1)I2 + 22 + 32 + ... + n2 = ------------ -------- - -------- ,n G N6跟踪练习：l + x + x2 H ----- X n = —.（〃G TV*,且尤丰 1）1-X（1）当n = 1时该等式的左端为___________________（2）当〃=上+ 1时该等式的左端为例2用数学归纳法证明：首项是为,公差是d的等差数列的通项公式是％ =为+(”-l)d，前〃项和的公式是c工n(n -1),S, = na. H ---------- a ." 1 2跟踪练习：用数学归纳法证明：首项是％ ,公比是q的等差数列的通项公式是a n =财心，前n项和的公式是S,=竺二^2.(g N 1 )。
i — q三、总结提升1.数学归纳法的步骤:2.数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题..当堂检测1.用数学归纳法证明〃边形的内角和为（〃一2）・180°时，需要验证的第一个值为.2.-------------------------------------------- 设f (幻=(* +1) + (* + 2) (k + k) k e N*时，贝U f(k +1) =L1 _ 〃〃+2在验证〃=1时，左端计算所得项为（). 3. 1 + a+a2+■■■ + a"+1 =—-—(ml),1 —CLA.1B. 1 +。
数学归纳法导学案
数学归纳法导学案主备人：徐恩战 审核人：徐恩战 使用时间：2013---03 学习目标: 1、了解数学归纳法的原理 2、能用数学归纳法证明一些简单命题重点：借助具体事例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
难点 学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不会根据归纳假设做出证明。
自主探究: 情境一：22235126⨯⨯+=；2223471236⨯⨯++=；222245912346⨯⨯+++=；222225611123456⨯⨯++++=；……问：①请同学们观察以上等式，可以猜想出什么结论？ ②对于以上问题，你能完成证明吗？ 情境二：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？ 条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 有些启发？（证明本题对任意正整数都成立相当于验证让骨牌全部倒下的条件）（1）第一块骨牌倒下相当于证明当1n =时，命题成立；（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立。
只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述方法叫做数学归纳法。
【辨析】下面两例的证明过程正确吗？1、求证：所有的奇数都是2的倍数。
证明：假设第m 个奇数为k ，且k 为2的倍数，则第m+1个奇数为k + 2，而k+2也是2的倍数，所以命题成立。
学案1：2.3数学归纳法
《数学归纳法》导学案【学习目标】了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.【重点难点】重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.难点：数学归纳法中递推思想的理解.模块一：自主学习，明确目标一．知识链接1综合法：2分析法:3反证法:阅读教材思考并回答以下问题1.多米诺骨牌全部的条件是什么:2.数学归纳法的定义？3.数学归纳法适用范围是什么?4.数学归纳法的步骤(原理)是什么?5.数学归纳法的步骤 (原理)中关键及难点是什么?6.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 你怎样理解这句话？. 模块二：合作释疑例1、在数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．模块三：巩固训练，整理提高例2. 用数学归纳法证明6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)．变式迁移2：数学归纳法证明13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2二．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思三．当堂检测：1．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n 过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 （ ）A. 2)2(kB.2)32(+kC. 2)12(+kD. 2)22(+k 2．数列｛a n ｝的通项公式为a n =()211+n ()N ∈n ，记f(n) =（1－a 1）（1－a 2）…（1－a n ），求f (1)，f (2)，f (3)．推测f (n)的表达式，并证明你的结论．(实验班)3．用数学归纳法证明不等式 )2(241321312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边（ ）A.增加了一项)1(21+kB. 增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C. 增加了一项)1(21121+++k k D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”【作业】答案例1【解析】a 2=12 ,a 3=13 ,a 4=14推测a n =1n 假设a k =1k 成立a k+1=a ka k +1=1k 1k +1=1k+1 由此可得a n =1n 对任意的n ∈N ∗都成立 例2【解析】n=1时，左边=右边，等式成立假设n=k 成立12+22+⋯+k 2=16k (k +1)(2k +1) 则n =k +112+22+⋯+k 2+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2=16(k +1)(2k 2+7k +6)=16(k +1)(k +2)(2k +3) =(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]综上6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)变式迁移2【答案】n=1时，显然成立假设n =k 时， 13+23+33+⋯+k 3=14k 2(k +1)2 成立 则n =k +1时，13+23+33+⋯+k 3+(k +1)3=14k 2(k +1)2+(k +1)3 =14(k +1)2(k 2+4k +4)=14(k +1)2[(k +1)+1]2 综上13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2当堂检测1【答案】 C2【解析】f(1)=34, f(2)=23,f(3)=58推测f(n)=2+n2(n+1)n=1时显然成立，假设n=k时，f(k)=2+k2(k+1)成立，则n=k+1时, f(k+1)=2+k2(k+1)(1−a k+1)=2+k2(k+1)(1−1(k+2)2)=2+k2(k+1)(k+1)(k+3)(k+2)2=2+(k+1)2[(k+1)+1]综上f(n)=2+n2(n+1)成立3【答案】B。
数学归纳法的导学案及答案
数学归纳法的导学案及答案主备人：周兴顺审核：包科领导：年级组长：使用时间：课题：第一章§4数学归纳法（共两课时本节为第一课时）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题的方法。
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【重点、难点】重点：数学归纳法。
难点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【学法指导】1根据学习目标，自学课本p16-p18内容，限时独立完成导学案；2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；【情境引入】不思不讲1.阅读章头插图---多米诺骨牌，思考“所有的骨牌都倒下”的条件：（1）第一块骨牌必须被推倒（2）若某一块骨牌倒下了，紧挨着的下一块骨牌，也要被倒下的这块骨牌被推倒，只要满足上述两个条件，所有骨牌就都倒下了。
若少了第一个条件，即使满足了第二个条件，就是摆好的骨牌，不会有一块倒下，即使你推倒中间某一开，引起了后边的骨牌倒下，由于第一块骨牌没有倒下，也不能称为所有骨牌都倒下；如果少了第二个条件，即出现某块骨牌倒下了，但紧挨着的下一块骨牌没有被推倒，后边的骨牌也都不会倒下，也就不是“所有的骨牌都倒下”。
满足了这两个条件的所有骨牌都倒下，与骨牌数量有关吗？没有关系，骨牌的数量可以是无穷多。
2.能用“多米诺骨牌效应”解释等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d吗？解：设等差数列｛a n｝的首项是a1，公差是d,(1)由于第一项是a1=a1 +（1-1）d,所以公式对第一项成立。
（2）如果公式对第k项成立，那么根据等差数列的定义，第k+1项是a k+1 =a k+d=a1+(k-1)d+d=a1+〔（k+1）-1〕d,即公式对第k+1项也成立。
从而公式对所有的项都成立。
即这个等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d。
【自主探究】不看不讲1、数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法。
2、数学归纳法的基本步骤是：（1）（归纳奠基）验证：n=1时，命题成立。
数学归纳法导学案
数学归纳法导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【学习目标】1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3. 数学归纳法中递推思想的理解. 【自主学习】（阅读教材P92—P95，独立完成下列问题）问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么新知：1.定义: ⑴设(){}p n 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题1p (或0p )成立; (2)在假设p ｋ成立的前提下，推出p ｋ+１也成立，()p n 对一切正整数都成立.2．数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N*）时命题成立；证明当n =k +1时命题也成立（此步一定要在假设的基础上证明）. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明1 + 2 + 22+…+2n –1 = 2n – 1(n ∈N*)的过程如下： ①当n = 1时，左边 = 20 = 1，右边 = 21 – 1 = 1，等式成立； ②假设n = k 时，等式成立，即1 + 2 + 22 +…+2k –1 = 2k – 1. 则当n = k + 1时，1 + 2 + 22+…+2k –1+ 2k=11122112k k ++-=--，所以n = k + 1时等式成立.由此可知对任何自然数n ，等式都成立. 上述证明错在何处 .【合作探究】例1 用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式1：用数学归纳法证明：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈例2：在数列{}n a 中，*111,,()1nn na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再猜想通项a n 的公式，并用数学归纳法证明你的猜想。
《用数学归纳法证明贝努利不等式》 导学案
《用数学归纳法证明贝努利不等式》导学案一、学习目标1、理解贝努利不等式的内容和形式。
2、掌握数学归纳法的基本步骤和原理。
3、学会用数学归纳法证明贝努利不等式。
二、知识回顾1、数学归纳法的定义数学归纳法是用于证明与自然数有关的命题的一种方法。
它的基本步骤包括：（1）验证当 n 取第一个值 n₀时命题成立。
（2）假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k ∈ N）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
2、常见不等式（1）基本不等式：对于任意正实数 a，b，有\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）。
三、贝努利不等式的内容对于任意实数 x ＞－1，且x ≠ 0，以及任意正整数 n，有\（（1 ＋x)＾n ＞ 1 ＋ nx\）。
四、数学归纳法证明贝努利不等式1、当 n ＝ 1 时左边＝＼（1 ＋ x\），右边＝＼（1 ＋ 1×x ＝ 1 ＋ x\），左边＝右边，不等式成立。
2、假设当 n ＝ k（k ≥ 1，k ∈ N）时，不等式\（（1 ＋ x)＾k ＞ 1 ＋ kx\）成立。
3、当 n ＝ k ＋ 1 时＼（（1 ＋ x)＾｛k ＋ 1} ＝（1 ＋ x)（1 ＋ x)＾k\）因为\（（1 ＋ x)＾k ＞ 1 ＋ kx\）（假设成立），所以：＼（（1 ＋ x)（1 ＋ x)＾k ＞（1 ＋ x)（1 ＋ kx)＼）展开可得：＼（（1 ＋ x)（1 ＋ kx) ＝ 1 ＋ kx ＋ x ＋ kx^2 ＝ 1 ＋（k ＋ 1)x ＋kx^2\）因为 x ＞－1 且x ≠ 0，所以＼（kx^2 ＞ 0\），则＼（1 ＋（k ＋1)x ＋ kx^2 ＞ 1 ＋（k ＋ 1)x\）即\（（1 ＋ x)＾｛k ＋ 1} ＞ 1 ＋（k ＋ 1)x\）综上，由数学归纳法可知，对于任意实数 x ＞－1，且x ≠ 0，以及任意正整数 n，贝努利不等式\（（1 ＋ x)＾n ＞ 1 ＋ nx\）成立。
人教版选修2-2 2.3 数学归纳法导学案
2.3 《数学归纳法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-04-06【学习目标】1、了解数学归纳法的原理；2、能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【学习重点】运用数学归纳法证明有关的数学命题【学习难点】数学归纳法的原理以及运用数学归纳法证明有关的数学命题【预习导航】下图为多米诺骨牌：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？【问题探究】探究活动一：什么是数学归纳法?例 1 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n×(2n＋2)＝n4(n＋1).探究活动二：数学归纳法的应用范围及注意事项例2 已知正项数列{b n}的前n项和B n ＝14(b n＋1)2.(1) 求出b1，b2，b3，b4的值；(2) 猜想{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明．探究活动三：如何运用数学归纳法证明有关的数学问题？【课堂巩固练习】1、用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中0n的取值应为( )A．1 B．2 C．3 D．42、用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝2)1(kk，则当n＝k＋1时，表达式应为__________.3、证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N*)．【总结概括】本节课的收获：【分层作业】必做题：教材第96页习题2.3第1,2题选做题：同步练习册课后作业提升习题。
4.2数学归纳法2导学案
例 2.用数学归纳法证明： （1+α ）n≥1+nα (其中α >-1，n 是正整数)
【导学点拨】 1.数学归纳法的两个步骤中第一步 n 的初始值是否一定为 1?
阳光“学-导-练”导学案
年级 高二
学科 数学
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提示：不一定,如证明 n 边形的内角和为(n-2)·180°中,第一个值 3. 2.数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系? 提示：第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据 ,这 两个步骤缺一不可 3.应用数学归纳法要特别注意哪些问题？ 提示：一、要注意数学归纳法的起点，数学归纳法的第一步是递推的基 础，有了此基础，在第二步中的假设才能成立，才不是真正意义上的纯 粹假设；二、要注意如何添项：在证明 n=k+1 命题成立要用到 n=k 命题 成立时，要分析命题的结构特点，分析“n=k+1”时命题是什么，并找出 与“n=k”时命题形式的差别，弄清右端应增加的项. 【达标训练】 a 1. 对于数列an ,已知a1 1，an1 n n 1, 2, ... 猜想其通项公式 1 an 并给出证明
【引学独学】 1.利用数学归纳法证明 1+a+a2+„+an+1= ______ （a≠1，a∈N+）时，在 验证 n=1 成立时，左边应该是（ ） 2 （A）1 （B）1+a（C）1+a+a （D）1+a+a2+a3 2.用数学归纳法证明 n(n+1)(2n+1)能被 6 整除时,由归纳假设推证 n=ห้องสมุดไป่ตู้+1 时命题成立,需将 n=k+1 时的原式表示成（ ） （A）k(k+1)(2k+1)+6(k+1) （B）6k(k+1)(2k+1) 2 （C）k(k+1)(2k+1)+6(k+1) （D）以上都不对 【对学群学】 1 例 1. 已知数列{an}满足 an+1= ,a1=0，试猜想{an}通项公式并用数学 (2-an) 归纳法证明.
数学归纳法导学案
2.3数学归纳法(导学案)主备人：韩爱芳 高二数学组【本课时知识目标】(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)了解数学归纳法的原理及使用范围(3)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。
【教学难点】 递推步骤中归纳假设的利用。
【教学过程】一、创设问题情境情境一：问题1:袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？问题2.某人站在13-1班门口，看到连续有20个男生进入1班，于是深有感触的说：“这个班的学生都是男生”。
你认为正确吗？问题3.对于数列{}n a ,已知111,1n n na a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式。
这个猜想是否正确，如何证明？情境二: 多米诺骨牌游戏 问题4.要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、探索新知思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决问题3吗？三、知识应用 例1.用数学归纳法证明: *)(N n ∈6)12)(1(3212222++=++++n n n n例2．用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ *)(N n ∈四﹑课堂练习 ①用数学归纳法证明：()N n a aa a a a n n ∈≠-+=++++++,1111212 在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）A ．1 B.a +1 C ．21a a ++ D.321a a a +++ ②用数学归纳法证明命题时，假设111()122k S k N k k k+=+++∈++ 那么 ______________________1+=+K K S S (不需要化简)③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？证明：2222(1)(21)123()6n n n n n N +++++++=∈ 证明：（1）当1n =时，左边=1，右边=(11)(21)16++=等式成立 （2）假设当n k =时等式成立即2222(1)(21)1236k k k k ++++++= 当1n k =+时代入2222(1)(21)1236n n n n ++++++=得 [][]22222123(1)(1)(2)(23)6(1)(1)12(1)16k k k k k k k k +++++++++=+++++= 所以当1n k =+时等式成立由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。
数学归纳法导学案
数学归纳法 导学案【学习目标】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题． 【学习任务单】 一、引入1. 本章知识结构图2. 练习已知数列}{n a 的首项11=a ，且满足），，，（ 32111=+=+n a a a n nn ，求数列}{n a的前四项，并以此猜想数列}{n a 的通项公式.分析：可求得数列}{n a 的前四项依次是：4131211，，，；并猜想其通项公式na n 1=. 3. 多米诺骨牌游戏这是一种码放骨牌的游戏，码放时保 证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下. 只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.思考1：这个游戏中，能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1） 第一块骨牌倒下;（2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 思考2: 你认为条件（2）的作用是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系： 当第k 块倒下时，相邻的第1+k块也倒下.这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下. 事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.思考3: 你认为上述练习中证明数列的通项公式是na n 1=这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？由条件容易知道，1=n 时猜想成立. 这就相当于游戏的条件（1）. 类比条件（2），可以考虑证明一个递推关系： 如果kn =时猜想成立，即ka k 1=，那么当1+=k n 时猜想也成立，即111+=+k a k . 事实上，如果ka k 1=，那么1111111+=+=+=+k kka a a k k k ， 即1+=k n 时猜想也成立.这样，对于猜想，由已知1=n 成立，就有2=n 也成立；2=n 成立，就有3=n 也成立；3=n 成立，就有4=n 也成立；4=n 成立，就有5=n 也成立……所以，对任意的正整数n ，猜想都成立，即数列的通项公式是na n 1=.二、新课一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值）（*00N n n ∈时命题成立； （2）（归纳递推）假设），（*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 用框图表示就是：三、例题讲解例1. 用数学归纳法证明).N (6)12)(1(21*222∈++=+++n n n n n证明：（1）当1=n 时，左边112==， 右边161)1(21)(11=+⨯⨯+⨯=，等式成立.（2）假设当)N (*∈=k k n 时等式成立，即 )N (6)12)(1(21*222∈++=+++k k k k k ，那么，2222)1(21+++++k k21)(6)12)(1(++++=k k k k6)32)(2)(1(+++=k k k，6]1)1(2][1)1)[(1(+++++=k k k 即当1+=k n 时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何*N ∈n 都成立. 例2. 已知数列n S n n ，，，，，， )13)(23(11071741411+-⨯⨯⨯表示其前n 项和. 计算4321S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.解：可求得.13410372414321====S S S S ，，， 由此猜想 .13n +=n nS下面我们用数学归纳法证明这个猜想. （1）当1=n 时，左边411==S ， 右边41113113=+⨯=+=n n ， 猜想成立.（2）假设当)N (*∈=k k n 时猜想成立，即，13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k 那么1+=k n 时，]1)1(3][2)1(3[1)13)(23(11071741411++-+++-++⨯+⨯+⨯k k k k )43)(13(113++++=k k k k 431++=k k，1)1(31+++=k k所以，当1+=k n 时猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何*N ∈n 都成立. 归纳小结：。
【新教材精创】5.5 数学归纳法 导学案(人教B版 高二 选择性必修第三册)
5.5 数学归纳法导学案1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重点：用数学归纳法证明数学命题难点：数学归纳法的原理.1.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→（1）证明当n取第一个值n0(n∈N*)时命题成立归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.一、问题探究探究1. 已知数列{a n}中，a1=1,且a n+1= 4n2−1a n,求出这个数列的第2、3、4、5项，你能由此猜出数列的通项公式并给出证明吗？有人认为可以借助多米诺骨牌来理解数学归纳法，如图所示，一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第1张，而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下，你觉得这种理解方式怎么样？问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？探究2.以下是某人给出的关于2+4+6+⋯+2n=n2+ n+1②对所有正整数都成立的证明，这个证明有问题吗？由此你能得到什么启发?二、典例解析例1. 用数学归纳法证明，对任意的正整数n，都有12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证:1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).例2.求证：平面上n个圆把平面最多分成n2−n+2个区域.用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.跟踪训练2．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝n(n+1)2.例3.求证：当n是大于或等于5的正整数时，2n>n2.利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.跟踪训练3. 设P n=(1+x)n,Q n=1+nx+n(n-1)2x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较P n与Q n的大小,并加以证明.1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=1-a n+21-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是()A.1B.1+aC.1+a+a 2D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k ”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)3.已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *),计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,f (32)>72,由此推测,当n>2时,有 .4.用数学归纳法证明:122+132+…+1(n+1)2>12−1n+2.假设n=k 时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .5.用数学归纳法证明:当n ≥2,n ∈N *时,(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1n 2)=n+12n .参考答案：知识梳理学习过程一、 问题探究探究1. 由已知可得，a 2= 4×12−1a 1 =31 =3，a 3= 4×22−1a 2 =153 =5，a 4=7，a 5=9， 这就是说，数列{a n }的前5项分别为1，3，5，7，9，因此，可以猜测{a n }是一个等差数列，且通向公式为a n =2n −1 ①怎样才能证明这一点呢？我们已经知道前面5项都是满足①式的，所以原则上需要对后面的每一项都进行验证，但因为后面有无数项，所以一一验证是不可能的，不过用下述方法可以给出后面的每一项也满足的严格证明。
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§3 数学归纳法导学案
编制人：赵琳卓
【学习目标】
1、了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的步骤，能使用数学归纳法证明数学问题；
2、通过学习数学归纳法，感受递推的思想；
3、通过学习，进一步认识有限与无限的辩证关系，培养辩证的观点。
【重点、难点】
重点：理解数学归纳法的步骤，能应用数学归纳法证明数学问题
难点:对数学归纳法原理的理解
【自主探究】
探究一
数学归纳法的使用范围：数学归纳法是证明关于的命题的一种方法。
探究二
数学归纳法的基本步骤
（1）（归纳奠基）
（2）（归纳递推）
总结:
探究三
思考数学归纳法为什么能保证命题对所有的正整数都成立？【合作探究】
探究1（细节决定成败）
用数学归纳法证明不等式时，
（1）验证n=1时结论成立，不等号左边应为
（2）由到时，不等式左边应添加的项是
探究2（近几年的高考试题，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性）
已知数列{
n
a}满足,0
,
2
1
1
1
=
-
=
+
a
a
a
n
n
试猜测{
n
a}的通项公式并用数学归纳法证明。
探究3（数学归纳法在几何中的应用）
平面内有n（n≥2）条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条不过同一点，证明交点的
个数
2
)1
(
)
(
-
=
n
n
n
f.
探究4（填项配凑）
用数学归纳法证明：整除）能被（y x N n y x n
n
+∈-+22.
探究5（找准初始值，恰当放缩）
求证：），（＞+∈≥+⋯++++++N n n n n n n 26
5
31312111 课堂小结
1、 知识方面：
2、 数学思想：
【巩固提高】
1. 证明，假设时成立，当1时，左端增加
的项数是
A. 1项
B. 项
C. k 项
D.
项
2. 记凸k 边形的内角和为
，则凸
边形的内角和
（ ）
A. B. C. D.
3. 某个命题与自然数n 有关，若时命题成立，那么可推得当
时该命题
也成立，现已知当时，该命题不成立，那么可推得 A. 当
时，该命题不成立 B. 当
时，该命题成立
C. 当n=4时，该命题不成立
D. 当n=4时，该命题成立
4.用数学归纳法证明：时，。
5. 用数学归纳法证明：能被9整除。
6.平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成
个部分。