甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案

2020-2021学年度第一学期高三第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数11iz i+=-的模为 （ ）A ．1B ．2CD ．22．下列四个函数，在0x =处取得极值的函数是 （ ） ①3y x = ②21y x += ③y x = ④2x y = A ．① ②B ．② ③C ．③ ④D ．① ③3．不等式20x bx c -++>的解集是{}21x x -<<，则1b c +-的值为（ ） A ．2B ．1-C ．0D ．14．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)（ ） A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年5．在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，316a =，且1a ，3a ，7a 成等比数列，则d =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．为了得到函数π2sin(),36x y x =+∈R 的图象，只需把函数2sin y x =，x ∈R 的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的13倍（纵坐标不变） B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 7．在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ）A ．1536AC AB - B ．1536AC AB -+ C ．1136AC AB -+ D ．1136AC AB - 8．命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤9．已知函数2,2()(1),2kx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程1()2f x =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[1,)+∞C ．[1,2)D ．[2,)+∞10．函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++的值为（ ）A ．0B ．C ．D ．11．给定两个单位向量OA ，OB ，且OA OB ⋅=-C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，OC xOA yOB =+y -的最小值为（ ）A ．B ．1-C ．2-D ．012．已知实数a ，b ，c 满足1lg 10ba c==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ． c b a >>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13．设集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为___________.14．已知向量a 、b 满足2a =，2b =，若()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为______.15．若三个关于x 的方程24430x x a +-+=，225(1)04a x a x ++-+=，2210x ax ++=中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为___________. 16．锐角三角形ABC 中，若2C B ∠=∠，则的范围是 ；三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.18（本小题满分12分）已知函数2()cos (sin cos )sin f x x a x x x =-+，满足()(0)3f f π-=，（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a =3b =，sin B A +=（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积．20（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S -=+（2n ≥），13a =. （Ⅰ）判断数列{}n a 是否是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .21（本小题满分12分）已知函数()ln 1af x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值.选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t t y t x 2428（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.23（本小题满分10分）设函数()|1|||f x x x t =-+-（0t >）的最小值为1. （1）求t 的值；（2）若33a b t +=（*,a b R ∈），求证：2a b +≤.理科参考答案1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．A 11．B 12．D二、13．11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭14．4π 15．1(,1][,)4-∞--+∞ 16．(三、17．【答案】（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为()1,2a =，且//c a ，则(,2)c a λλλ==，又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±，故2,4c或()2,4--；（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，由()1(1)2(2)0a aλb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53λ>-， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.18．【答案】（1）π，（2）最大值为2【解析】（1）因为()(0)3f f π-=，所以2cos()[sin()cos()]sin ()13333a ππππ----+-=-，解得a =所以2()cos cos )sin f x x x x x =-+22cos cos sin x x x x =-+2cos 2x x =-2sin(2)6x π=-， 所以()f x 的最小正周期为22ππ=，（2）由11,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得112212x ππ≤≤，所以32364x πππ≤-≤，所以sin(2)126x π≤-≤，2sin(2)26x π≤-≤，所以()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为219．【答案】（1）3A π=；（2）2ABCS∆=．【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =3sin B=3sin B A =.sin B A +=sin A =.因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=.解得1c =或2c =.当1c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222Sbc A ==⨯⨯=.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．20．【答案】（Ⅰ）数列{}n a 不是等比数列. 3,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅱ）n T 2(1)(2)log 32n n -+=+【解析】（Ⅰ）数列{}n a 不是等比数列.，由11n n a S -=+（2n ≥）可知，当3n ≥时，121n n a S --=+，两式相减得11n n n a a a ---=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 由11n n a S -=+（2n ≥）得当2n =时，211314a a =+=+=，21423a a =≠， 所以数列{}n a 是从第2项起，以2为公比的等比数列，所以3,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅱ）22log 3,1,log ,2,nn n b a n n =⎧==⎨≥⎩，所以2log 323n T n =++++2(1)(2)log 32n n -+=+.21．【答案】(1)(),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增，所以实数a 的取值范围(),0-∞.（2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时，()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+；当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x a g x x +=及题设得()()()()22ln 1'ln ln a x f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a a f e e e e =--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞()'g x － 0 +()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值.22．【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2.【解析】（1）由82x t=+得0x ≠， 将8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ， 得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）.由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）由（1）可知直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）， 化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠）， 当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为1,4πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A ρ=2sin 4B πρ==，所以|||A B AB ρρ=-==23．【答案】（1）2；（2）见解析.【解析】（1）由||||||a b a b +≥-，可得()|1|f x t ≥-，则|1|1t -=， 0t >，∴2t =；（2）由（1）可知2t =，∴332a b +=，+=+++33223()33a b a a b ab b 23323()23()2()24a b ab a b a b a b +⎛⎫=++≤++⋅=++ ⎪⎝⎭（当且仅当1a b ==时等号成立）， ∴+≤3()8a b ，故2a b +≤.。