三重积分n重积分简介

§5 二重积分

一、三重积分的概念

1三重积分的物理解释

设非均匀物体A内分布着一种物质，其密度为，(x,y,z)，并假定T在A上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A的质量是

m= ?(x, y, z)dxdydz

A

2三重积分的定义

P243-244

3三重积分的性质、可积条件

与二重积分类似

线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等•

二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分

1长方体[a,b] [c,d] [k,h]上的积分

定理21.15设A二[a,b] [c,d] [e, f]，f是A上的连续函数，那么f在A上的三重积分

b d f

可以化为先对z，后对y,x的积分：丨丨丨f (x, y, z)dxdydz= dx dy f (x, y,z)dz，

-a c e

A

或先y > x > z:

f b d

II .1 f (x, y, z)dxdydz= dz dx f(x,y,z)dy

e a c

A

等等(共6种)，并且此时(f连续时)，各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。

b d h

III f (x, y,z)dxdyd^ dx dv f (x, y,z)dz.

ack

V

2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分

一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分简单区域(典型区域)的定义V 二{(x,y,z)|Z i(x,y)乞z ^Z2(x,y), (x,y) D},其中D 为V 在XY 平面上的投影，

D =《x, y)|a 兰b, y i(x)兰y 兰y2(x)> 或者D ={(x,y) ^d,x1 (y)兰x2(y)}

注 此例要求学生解答，学生画出积分区域的图形普遍困难，由此导出“求围定顶”法 3三重积分的“求围定顶”法

4三重积分的“先二后一”(“截面法”)

h

III f (x, y, z)dxdydz = dz f (x, y, z)dxdy ,

V

k D z

其中V 介于平面z 二k 和z 二h 之间，D z 是用平面z 二z 截V 所得的截面.“先二后一”多用 于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的，二重积分部分的被积函数往往为常数，并且积分区 域的面积函数可以求出的情况.

( 2 2 2、 222

例2 J J 百+占+勺dxdy,dz V : 笃+与+务兰1.

P246

v Va b c ) a b c

Z i (x, y),Z 2(x, y)在 D 上连续,y i (x),y 2(x)在［a,b ］上连续,X i (y),X 2(y)在［c,d ］上连续.

方法将三重积分先化为一个定积分与一个二重积分(先一后二)，进而化为三个定积分.

Z 2(x,y)

b

y 2(x)

Z 2(x,y)

［f( f (x,y, z)dxdydz = "dxdy Jf(x,y,z)dz = J dxj dyj ( 、f(x,y,z)dz ( 3)

a y (x) z (x,y)

公式解释

“点一点，线一线，面一面”

重积分的直接计算方法举例(先一后二) 补例

】，D 有平面x 『z " = 0,y =0,z =0所围成区域.P245

补例

2 2 2

xy

dxdydz ， D:锥面 乡=笃+与，平面 z = c,x=0,y = 0 所围(a,b,c>0) x c a '

b 2

dxdydz ! 1 1 2 2 , V x y

V : x =1, x =2,

z=0, y=x, z = y . P245.

V ={ (x,y,z) |0_z_y, 0_y_x,

y

dz

!!!： M

dxdy 。一2

V 0今空， x y

空运

ydxdy J J 2 丄 2 0匕空，X y 1空二

=1 12l n(x 2 y 2)

y

分 y=0 1 2 dx ln 2dx 二 2 1

1 — In 2. 2

2 2 2

in

111 X 2dxdydz 亠 m 当dxdydz 亠 m 刍 dxdydz. V

V a V b V c

解法1 ( “先二后一”)

2

a 2

I i 笃 dxdydz = 2 刍 dx 11 dydz ,

V a o a D X

2 2

其中D x 为椭圆域与叮

b c

4

二abc.

15

“ x 2 y 2

； ---- L T

1

f

2 r 31-r 2dr =HH t 2(1-t 2)dt ：

15

其面积为 2 x

2

a

2 x

2

a

=叱c 1

一

2

x

~2 a

因此

孑

dxdydz = 2

二 be 2

x 1

2 dx 4

二abc.

a 2

15 15 2

dxdydz = 2 亍

dxdy dz = 2c

x 2

y 2

a

x

二：1 a

2

b 2 _

a 2'? a 2

2 2

x y

-2 dxdy - b 2

=8abc cos

1

2

nd v r 3 . 1 - r 2 dr .

因此

x 2

2 dxdydz = 8abc ― V a 4 2 4 abc. 同理 ..... 15 15

2

冷，即椭圆域

a 同理得

因此

=3 — ~ab (15)

解法 2 ( “先一后二” V 上下对称,

)

2 x

2

a

为z 的偶函数,

x 2

—dxdydz 2 ,其中 V 为 V 在 XOY

V a

平面上方的部分, 其在XOY 平面上的投影为椭圆

2 x

~2

a

”.于是

cos 2

」sin" '2

2

i

b 2

2 \

x

2

c

2 x

2

a