三重积分n重积分简介

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三重积分计算

三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。

在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。

一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。

设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。

则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。

可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。

三重积分对应的结果是一个数值。

二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。

三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。

1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。

先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。

然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。

三重积分的概念和计算方法

三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。

本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。

1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。

在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。

2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。

3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。

3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。

对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。

3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。

常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。

3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。

对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。

3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。

对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。

4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。

常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。

5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。

三重积分n重积分简介

§５三重积分一、三重积分的概念1 三重积分的物理解释设非均匀物体A 内分布着一种物质，其密度为(,,)x y z ρ，并假定ρ在A 上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A 的质量是(,,)Am x y z dxdydz ρ=⎰⎰⎰2 三重积分的定义P243-2443 三重积分的性质、可积条件与二重积分类似线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等.二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1 长方体],[],[],[h k d c b a ⨯⨯上的积分定理21.15设[,][,][,]A a b c d e f =⨯⨯，f 是A 上的连续函数，那么f 在A 上的三重积分可以化为先对z ，后对y,x 的积分：(,,)Af x y z dxdydz ⎰⎰⎰=(,,)bdfacedx dy f x y z dz ⎰⎰⎰，或先y x z →→：(,,)Af x y z dxdydz ⎰⎰⎰= (,,)f b deacdz dx f x y z dy ⎰⎰⎰等等（共6种），并且此时（f 连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Vb ad chkdz z y x f dy dx dxdydz z y x f ),,(),,(.2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分简单区域（典型区域）的定义}),( , ),(),(|),,( {21D y x y x z z y x z z y x V ∈≤≤=, 其中D 为V 在XY 平面上的投影，{})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤= 或者 {})()(,),(21y x x y x d y c y x D ≤≤≤≤=),(),,(21y x z y x z 在D 上连续，)(),(21x y x y 在],[b a 上连续，)(),(21y x y x 在 ],[d c 上连续.方法将三重积分先化为一个定积分与一个二重积分（先一后二），进而化为三个定积分.⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(=2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰（3）公式解释“点—点，线—线，面—面”三重积分的直接计算方法举例（先一后二）补例1 3(1)DdxdydzI x y z =+++⎰⎰⎰，D ：有平面1,0,0,0x y z x y z ++====所围成区域.P245 补例2 DxyI dxdydz x =⎰⎰⎰，D ：锥面222222z x y c a b =+，平面,0,0z c x y ===所围（,,0a b c >）例1⎰⎰⎰+V yx dxdydz22, V : y z x y z x x ===== , , 0 , 2 , 1. P245. 解 } 21 , 0 , 0|),,( {≤≤≤≤≤≤=x x y y z z y x V ,⎰⎰⎰=V⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤=+=+=+21,0021,021*******x x y yx x y x y x ydydx yx ydxdy y x dz dxdy ⎰⎰==+===2121022.2ln 212ln 21)ln(21dx dx y x x y y注此例要求学生解答，学生画出积分区域的图形普遍困难，由此导出“求围定顶”法.3 三重积分的“求围定顶”法4 三重积分的“先二后一”（“截面法”）⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰hkD zdxdy z y x f dz ),,( ,其中V 介于平面k z =和h z =之间 , z D 是用平面z Z =截V 所得的截面. “先二后一”多用于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的，二重积分部分的被积函数往往为常数，并且积分区域的面积函数可以求出的情况.例2 ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V d x d y d z c z b y a x 222222, V : 1222222≤++c z b y a x . P246解 ⎰⎰⎰=V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++V V V dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x 222222.解法1 (“先二后一”)⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V aD xdydz dx a x dxdydz a x 022222,其中x D 为椭圆域 2222221ax c z b y -≤+, 即椭圆域11122222222≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a x c z a x b y ,其面积为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222111a xbc a x c a x b ππ. 因此 ⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=V aabc dx a x x abc dxdydz a x 022*******12ππ. 同理得 ⎰⎰⎰=V abc dV b y π15422 ,⎰⎰⎰=Vabc dV c z π15422. 因此⎰⎰⎰=⋅=a b ca b c ππ541543. 解法2 (“先一后二”)V 上下对称, 22ax 为z 的偶函数, ⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰'=V V dxdydz a x 222, 其中V '为V 在XOY 平面上方的部分, 其在XOY 平面上的投影为椭圆 12222≤+by a x . 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--==≤+--≤+V b y ax b y ax c b y a x dxdy by a x a x cdz dxdy a x dxdydz a x 2222221102212212222222222 ⎰⎰-==============21232sin , cos 1cos 8πθθθθdr r r d abc br y ar x .⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=220242sin 2121cos πππθθθθd , ⎰⎰=-=====--=1122123152)1(12dt t t dr r rr t . 因此 ⎰⎰⎰=⋅⋅=V abc abc dxdydz ax ππ1541524822. 同理 …….于是⎰⎰⎰=⋅=a b ca b c ππ541543. 思考题设⎰=12)(dx x f . 计算积分⎰⎰⎰Vd x d y d z z f y f x f )()()(, V : x z x y x ≤≤≤≤≤≤0 , 0 , 10.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤===Vxy x x xx dz z f dy y f dx x f dz z f y f x f 0,1010)()()()()()(⎰⎰⎰⎰==⎰========⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==220321)(020232|31)()(0t dt t dy y f d dy y f xdy y f t x x .三、三重积分换元法三重积分的变量替换公式设在三重积分 (,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰作变量替换：(,,)(,,)(,,){x x u v y y u v z z u v ωωω=== (,,)'u v D ω∈又设这一变换满足下列条件：（1）建立了'D D ↔之间的一一对应；（2） x,y,z 在'D 内有关于,,u v ω的连续偏导数，并且其通变换：(,,),(,,),(,,)u u x y z v v x y z x y z ωω===在D 内有关于,,x y z 的连续偏导数；（3） Jacohi 行列式 (,,)(,,)uv uv uvx x x x y z J y y y u v z z z ωωωω∂==∂在'D 内无零点，则(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰='((,,),(,,),(,,))D f x u v y u v z u v J dudvd ωωωω⎰⎰⎰ （4）公式把xyz 坐标系下的三重积分化为uv ω坐标系下的三重积分. 和二重积分类似，当 J 在'D 内个别点或线段上为零时，上述公式仍成立.特别地有1 柱面坐标代换cos ,sin ,x r y r z z θθ===，(0,02,)r z θπ≥≤≤-∞<<+∞，(,,)(,,)x y z J r r z θ∂==∂三重积分的柱坐标换元公式为(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰='(cos ,sin ,)D f r r z rd drdz θθθ⎰⎰⎰.用柱坐标计算三重积分，通常是找出'D 在r θ平面上的投影区域r θσ，那当{}12'(,,)|(,)(,),(,)r D x r z r z z r r θθθθθσ=≤≤∈时，(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰=21(,)(,)(,,)r z r z r drd f r r z dz θθθσθθθ⎰⎰⎰先对z 积分，再计算r θσ上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）适用于22()f x y +型被积函数，或积分区域中二重积分部分的积分区域适用于极坐标变换.例3⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, V : 4 , )(222==+z z y x . 解 P2482 球坐标变换球面坐标设空间一点(,,)M x y z 在zy 平面上的投影为P （x,y ），(0)OM ρρ=≤<+∞，ϕ是有向线段OM 与z 轴的正向之间的交角（0ϕπ≤≤），θ是两平面xz 与POM 的交角（02θπ≤≤），则(,,)ρϕθ叫做点M 的球面坐标.在球面坐标中，有三族坐标平面：ρ=常数，以原点为中心的球面；ϕ=常数，以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ=常数，过z 轴的柱面（两两正交是正交坐标系）.点M 的直角坐标与它的球面坐标的点系为：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，02,0,0θπϕπρ≤≤≤≤≤<+∞2||sin (0,0,02)J ρϕρϕπθπ=≤<+∞≤≤≤≤(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰=2'(sin cos ,sin sin ,cos )sin D f d d d ρϕθρϕθρϕρϕθϕρ⎰⎰⎰ （6）适用于积分区域或被积函数是222()f x y z ++型：例4 P250 例5 P250补例3 DI zdxdydz =⎰⎰⎰，D 由上半球面2224(0)x y z z ++=≥和抛物面223x y z +=所围的区域.补例4 求球面2222(0)x y z rz r ++=>和锥面所围区域的体积V ，其中锥面是以Z 轴为轴，顶角为2α的锥面。

三重积分

三重积分设三元函数f（x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri（i=1，2,3.....n），体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取点f（ξi，ηi，ζi），作和式Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f（x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

中文名：三重积分外文名：Triple integral三重积分号：∫∫∫三重积分定义体积元素设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δv i(i=123…，n）并以Δv i表示第i个子域的体积.在Δv i上任取一点（ξiηiζi）作和（n/i=1 Σ（ξiηiζi）Δv i）.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即Ω∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 （n/i=1 Σf（ξi，ηi，ζi）Δv i），其中dv叫做体积元素。

Ω三重积分术语∫∫∫‥‥‥三重积分号f(x,y,z）‥‥‥被积函数f(x,y,z)dv‥‥‥被积表达式dv‥‥‥体积元x,y,z‥‥‥积分变量Ω‥‥‥积分区域Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi‥‥‥积分和三重积分三重积分的性质三重积分性质1(k为常数)三重积分性质2线性性质：设α、β为常数，则三重积分性质3如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

三重积分性质4如果在G上，且f(x,y,z）═1，v为G的体积，则v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.Ω Ω三重积分性质5如果在G上，f(x,y,z）≤φ（x,y,z），则有，∫∫∫f(x,y,z)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv，特殊地，若函数f(x,y,z)在Ω上可积，则|f(x,y,z)|亦在Ω上可积，且有|∫∫∫f(x,y,z)dv|∣≤∫∫∫|f(x,y,z)|dv.ΩΩ Ω Ω三重积分性质6设M、m分别为f(x,y,z）在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.Ω三重积分性质7（积分中值定理）设函数f(x,y,z）在闭区域G上连续，v是G的体积，则在G上至少存在一个点（ζ，η，μ）使得∫∫∫f(x,y,z)dv═f（ζ，η，μ）v。

简介三重积分资料讲解

2020/7/30
三、计算xzdxdyd,z其中是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
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例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则三重积分 f ( x , y , z )dxdydz 化为三次积分是
_______________________.
2、若
是由曲面 cz
xy (c

三重积分讲解

三重积分是微积分学中的一个重要部分，也是解决许多实际问题的基础。

以下是对三重积分的详细讲解：1.三重积分的概念：三重积分是将一个函数的积分运算转化为三个不同的积分，即分别对三个变量进行积分。

其一般形式为：∫∫∫f(x,y,z)dxdydz其中f(x,y,z)是待求积分的函数，而∫∫∫是三重积分的符号。

2.三重积分的物理背景：三重积分有着深刻的物理背景。

在物理学中，一个物体的质量分布、能量分布或者电荷分布等可以用三重积分来表示。

例如，一个物体的质量分布可以表示为空间中的密度函数f(x,y,z)，那么该物体的总质量就可以通过三重积分来计算。

3.三重积分的计算方法：三重积分的计算通常采用“分割、近似、求和、取极限”的方法。

具体步骤如下：（1）分割：将积分区域分割成许多小的立方体，每个立方体称为一个“小块”。

（2）近似：用每个小块的中心点(x',y',z')来近似该小块上的积分，即用该点的函数值f(x',y',z')来近似该小块上的积分。

（3）求和：将所有小块的积分值相加，得到粗略的积分值。

（4）取极限：将小块的尺寸逐渐缩小，使得粗略的积分值逐渐接近精确的积分值。

4.三重积分的几何意义：三重积分可以理解为空间物体的质量，即空间物体占据空间区域，在点(x,y,z)处的体密度为f(x,y,z)，整个空间物体的总质量就是将f(x,y,z)累积遍整个空间区域。

5.三重积分的性质：三重积分具有与一元定积分相同的性质，例如可加性、可移性、可换序性等。

同时，三重积分也具有与二重积分不同的性质，例如三重积分可以通过“分割、近似、求和、取极限”的过程得到精确的积分值，而二重积分则不能。

6.三重积分的实际应用：三重积分在许多实际应用领域有着广泛的应用，例如物理学中的质量分布、电荷分布、能量分布等问题，工程学中的体积计算、质量平衡等问题，以及统计学中的数据分布等问题。

通过三重积分，我们可以更好地理解和解决这些问题。

三重积分详解

f ( x , y, z )dxdydz

I = dxdy
D

z ( x , y )
z ( x , y )
f ( x, y, z )dz
z1(x,y)
这就化为一个定积分和一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
三重积分化为三次积分的过程：
z
z2 z1
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
2
y
x
6
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
先做二重积分，后做定积分

Dz
z
c1
0 y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz

其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
先做二重积分，后做定积分
c2
z

Dz
z
c1
0
.
y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz

c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz

三重积分的计算

f (x, y, z)dxdydz
b
dx
y2 ( x)dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a y1 ( x) z1 ( x, y)
上式是先对 z，次对 y，最后对 x 的三次积分.
注: 类似地，空间区域还有 yz 型和 zx 型的.
当是 xy 型或 yz 型或 zx 型空间区域时，都可以把三重积分按先“定积分”后“二重积分” 的步骤来计算.
y, z）dV
lim
0
i
1
f（
i
,
i
,
i）
Vi
其中dV 称为体积元素.
若 f ( x, y,z) 在有界闭区域上连续，则 f ( x, y,z) 在上的
三重积分必定存在.
注: 1． f ( x, y, z)dV f ( x, y, z) dxdydz ，
直角坐标系下的体积元素
2. dxdydz 的体积 ( f ( x, y, z) 1 ).
xdxdydz
0
dx 0
2
dy 0
xdz
1
xdx
0
1 x
2 (1
0
x 2 y)dy
1 4
1
(x
2x2
x3
)dx
0
1. 48
例 2. 计算三重积分 I ycos( x z)dxdydz ，
其中是由抛物柱面 y
x z 所围成的区域.
2
x 及平面 y 0, z 0,
z
2
n
m
lim
0
i
( i
1
,i
,
i
)Vi
三重积分的定义

三重积分知识点总结

三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。

我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。

然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。

2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。

设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。

3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。

常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。

通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。

二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。

对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。

2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。

球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。

3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。

柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。

三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。

例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。

2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。

通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。

高等数学第九章(三重积分

分析由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)d。v故只需计算三重积分即可。而积分
区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。
解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)dv(xyz)dxdydz
1
11
dxdy(xyz)dz
1
1
1
dx (xy )dy
2.可加性： f(x, y, z)dvf(x,y,z)d vf(x,y,z)dv
12
1
2
3. 的体积：V dv
4. 单调性：若在上，f(x ,y ,z)g (x ,y ,z)，则
f(x, y,z)d vg(x, y,z)dv
3
5．估值性质： m f( x ,y ,z ) M ,( x ,y ,z ) , 则
第九章重积分
三重积分
1
三重积分
一、三重积分的概念
1．定义:
n
f(x ,y,z)d v l i0im 1f( i, i, i) vi
2．物理意义: M(x, y, z)dv 表示体密度为(x, y, z)的空间物体的质量。
2
二、三重积分的性质
1.线性性质：
[ f(x, y,z)g(x, y,z)d ] v f(x ,y,z)d v g (x ,y,z)dv
11
12
利用直角坐标计算
利用柱面坐标计算
确定 D x y 上顶曲面 z h2 ( x, y) 下顶曲面 z h1( x, y)
确定
Dxy
1()
2()
上顶曲面 z z2 ( , ) 下顶曲面 z z1( , )
2 利用球面坐标计算
:1() 2()

三重积分

2
2
4

2 2 64 1 d (16 4)d 1 2 [8 2 1 6 ]2 0 0 2 6 3 2 0
提示的上边界曲面为 z4 下边界曲面为 zx2y2 用极坐标在xOy面上的投影区域为 x2y24 用极坐标可表示为 2 所以 2z4 可表示为 0 2 0z 2
返回
例 3 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz 其中是
由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域解闭区域可表示为

2z4 02 02
于是
zdxdydz zdddz

d d 2 zdz
0 0
b y2 ( x )
1
a x b,
z2 ( x , y )
1
dy f ( x , y , z )dz. f ( x , y , z )dv dx a y ( x) z ( x, y)
注意
这是平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
返回
例4. 计算三重积分成半圆柱体.
其中为由
柱面 x 2 y 2 2 x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 0 za
原式 z d d d z
f (i ,i , i )vi
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重
积分记作 f (x, y, z)dv

i 1
n
返回
三重积分的定义

三重积分的计算及重积分的应用

三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。

在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。

一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。

以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。

则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。

2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。

例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。

然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。

1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。

通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。

2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。

三重积分的概念与计算

例：设物体占有空间闭区域，在点( x , y , z ) 处的密度为 ( x , y , z ) ，假定 ( x , y , z ) 在上连续，则该物体的质量为
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2

z1
S1
z z1 ( x , y )
M ( x , y, z )dv .
z e dv 2 e dv 2 [ dxdy ] e dz
z
z
1

上
2
0
D( z )
2 (1 z )e dz 2.
z 0
1
总结： f ( z )dxdydz c f ( z )dz dxdy

d
Dz
属于第二型， Dz的面积易求。
所围成的空间闭区域.
如图，
z
解
2
: 0 z x2 y2 ,
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .
x
y
为三个例 3 计算三重积分 zdxdydz ，其中
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
D d c Dz
(1) : z x 2 y 2与z 2所围。
(2) : z x 2 y 2与z 2所围。
( 3) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z R (4) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z a
截面法的一般步骤： z 轴）投影，得 (1) 把积分区域向某轴（例如投影区间[c , d ] ； z 轴且平行xoy 平面的平面去 (2) 对 z [c , d ]用过截，得截面Dz ;

高数大一知识点三重积分

高数大一知识点三重积分高等数学是大学数学专业的一门重要课程，对于数学专业的学生来说，掌握高数知识点是非常重要的。

在大一的高等数学课程中，三重积分是一个非常重要的知识点。

下面将从基本概念、计算方法和应用等几个方面来介绍三重积分。

一、基本概念三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算。

如果一个三维空间中的函数在某个区域上是连续的，那么可以对这个函数进行三重积分。

三重积分可以看作是对空间中的体积进行求和的过程。

在三重积分中，我们需要确定积分函数、积分区域、积分方向和积分顺序等要素。

二、计算方法三重积分的计算方法有直接计算法和间接计算法两种。

直接计算法是将积分区域划分成小的立体元，然后对每个立体元进行积分计算，最后将所有立体元的积分结果相加得到最终的积分结果。

间接计算法是利用高斯公式和格林公式来进行计算。

高斯公式是将三重积分转化为对闭合曲面上的二重积分，然后再将二重积分转化为对曲线上的一重积分。

格林公式则是将曲线积分转化为坐标轴上的一重积分。

利用这两个公式，可以将三重积分的计算转化为一重积分的计算，简化了计算的步骤。

三、应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

在物理学中，三重积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。

例如，在力学中，我们可以通过对物体密度分布函数进行三重积分来计算物体的质量。

在工程学中，三重积分可以用来计算物体的体积、质量、质心等。

例如，在建筑工程中，我们可以通过对建筑结构进行三重积分来计算结构的体积和质量。

在计算机图形学中，三维模型的表面可以通过三重积分来进行渲染和着色。

例如，通过对三维物体的颜色分布进行三重积分，可以得到物体在不同方向上的颜色分布，从而实现逼真的渲染效果。

四、总结三重积分是大一高等数学中的一个重要知识点，掌握三重积分的基本概念、计算方法和应用是非常重要的。

通过对三重积分的学习和应用，可以提高数学建模和问题求解的能力，并在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥重要作用。

三重积分的定义和基本概念

三重积分的定义和基本概念三重积分是数学中的一种重要计算方法，用于解决三维空间中的问题。

在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

本篇文章将讨论三重积分的定义和基本概念。

一、三重积分的定义三重积分是对空间内的三维物体进行积分计算，相当于对空间进行分块，然后对每个小块进行求和。

计算三重积分需要确定三个方向上的积分限制，通常用x、y、z表示。

例如，计算一个某种物体在三维空间内的体积可以用以下式子表示：V = ∭f(x,y,z)dxdydz其中，f(x,y,z)是需要计算的函数，x、y、z是三个方向上的积分下限和上限。

dxdydz表示对三维空间进行积分。

计算过程中，要对x、y、z的取值范围进行分段积分，将整个空间分成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和，从而得出三重积分的结果。

二、三重积分的基本概念1.积分区域计算三重积分时必须确定积分区域。

积分区域通常由内部限制条件和外部限制条件确定。

内部限制条件是由该物体自身属性决定的，例如球体的内部限制条件是x²+y²+z²≤r²，其中r是球体半径。

外部限制条件则是由外部环境或其他因素所影响，例如在放射源处进行辐射计算时，辐射区域的外部限制条件是与放射源的距离。

2.三重积分的求法计算三重积分时，可以采用以下几种方法。

（1）直接积分法：根据题目要求，将积分区域划分成若干子区域，然后对于每个子区域进行一次三重积分。

（2）三重积分与二重积分的转换：当三重积分难以处理时，可以先对其中两个变量进行积分，然后再对得到的二重积分进行积分。

（3）极坐标系下的三重积分：当积分区域以旋转体或圆锥体为主体时，使用极坐标系进行计算会更加简单。

3.三重积分的应用三重积分在物理学和工程学中有广泛的应用。

例如，在热传递学和流体力学中，可以通过三重积分计算热传递和流量。

在电磁场学中，可以通过三重积分计算电磁场强度和电势分布。

在计算机图形学中，可以用三重积分计算物体的体积和表面积等。

10.3 三重积分

x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
20
三重积分
x2 y 2 z 2 解因为 M 2 2 2 dv a b c V
x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
3
三重积分
2. 三重积分存在性
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
在Ω上是可积的.
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 (1)占有空间区域
, 体密度函数为 f ( x, y, z )
M f ( x, y, z )dv
x2 所以 2 dv a V
x2 a a 2 dx
a
d ydz
Dx
4 abc 15 由对等性知
2 bc a 2 x2 2 x (1 2 )dx a a a
x2 dydz bc(1 2 ) a Dx
则
f ( x, y, z)dv

b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
dy

z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dz
9
先对z,次对y,最后对x的三次积分
三重积分
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多于两点情形.则考虑化为先对 z,后对xy的累次积分.过程如下:
1 dxdy (1 z )(1 z ) 2 Dz 1 1 1 2 原式= 0 z (1 z ) dz . 2 24

第九章第3节三重积分

1
.
02
24
12
例 2 计算三重积分 z2dxdydz，其中是由

椭球面 x2 a2

y2 b2

z2 c2

1所成的空间闭区域.
解 : {( x, y, z) | c z c,
x2 a2

y2 b2

1

z2 c2
}
z
Dz
o
y
Hale Waihona Puke 原式 c z2dz dxdy, c
记作 f ( x, y, z)dv

n
即

f
( x,
y, z)dv

lim
0
k 1
f
(k ,k , k )vk
d v称为体积元素
在直角坐标系下也常写作 dxd ydz
3
性质
三重积分的性质与二重积分相似 , 例如
中值定理: 设 f (x, y, z)在有界闭域上连续, 则存在

2 2cos
a
d r 2d r zd z
0
0
0

4a2
2
cos3
d

8
a3
30
9
d v rd rd d z
20
d xd yd z
z 例2. 计算三重积分 1 x2 y2 , 其中由抛物面
x2 y2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
0 r 4
1 :

r
2

z

, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :