2-2连续型随机变量的概率密度 [兼容模式]
连续型随机变量及其概率密度
p l ba
l
l
1
a
ba
o
bx
分布函数
0,
x a,
F(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1
1,
x b.
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
(二) 指数分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
1 ex
,
F
(
x
)
1
e
x
,
x 0,
0,
其他.
(4.8)
1 , 1, 2时F ( x)的图形如下
3
性质(4.9)称为无记忆性. 如果X是某一元件的 的寿命, 那么(4.9)式表明: 已知元件已使用s小时, 它总共能使用至少s t小时的条件概率, 与从开 始 使 用 时 算 起 它 至 少 能使 用t 小 时 的 概 率 相 等.这 就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆.
6当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
S1
x2 f ( x)d x
x1
1
S1
o
x1 x2
x
同时得以下计算公式
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
2.2连续型随机变量
F ( x) P{X x}
P{X 0} P{0 X x} kx 2
为确定k，取值x=2则有
P{ X 2} 22 k 1, k 1/ 4
1 2 于是： F ( x) x 4
若x>2，则 有 F ( x) P{X 所以：
x} 1
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
f ( x)dx
a b
对于连续型随机变量，还要指出两点： （1）F(x)是连续函数; （2）P{X=a}=0（a为任意实数）. 证 （2）取 x > 0 ，因为
0 P{ X a} P{a x X a} F (a) F (a x)
查附表3可得 即
(1.29) 0.9015 0.9
0.5 0.05 1.29 0.5645
应将调到不小于0.5645的位置.
P41 1. 2. P50 6. 7. 8. 10.
2. 指数分布 若随机变量X的密度函数为
e x , x0 f ( x) x0 0, 其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布。 记作X~E(λ).
1 e x , 分布函数为 F ( x) 0, x0 x0
指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电 子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间 都常假定服从指数分布．
例8 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长 期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X 服从参数 =0.05kg的正态分布. 为了使重量少于0.5kg 的罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值 参数调节到什么位置上？
连续型随机变量及其概率密度
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
对于任意s, t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t }. 证明
P{ X s t | X s} P{( X s t ) ( X s )} P{ X S } 1 x e dx x P{ X s t )} s t e |s t x 1 P{ X S } x e |s e dx
(３) 对 f(x)的进一步理解 若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x) 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ] 上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
s
e ( st ) s t }
1
t
t e x dx e x | e t
于是 P{ X s t | X s} P{ X t }.
1
o
S
a
b
x
3) X落入区间［a,b］内的概率＝ 牛牛文档分 享ba
f ( x )dx
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P{ X a } 0.
这是因为
P ( X a) lim P ( a X a x )
则称X是连续型随机变量， f ( x ) 称为X的概率密度函 数,简称概率密度. 牛牛文档分 享概率密度函数的性质
1) 2)
f ( x) 0
连续型随机变量的概率密度
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.
连续型随机变量的概率密度
解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．
概率论--连续型随机变量及其概率密度
f ( x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
F ( x) P{ X x}
F ( x) f ( x)dx
x
导数关系
x
f ( x)dx
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
P(a X b) F (b) F (a) f ( x)dx
（2）密度函数为
2x 0 x 1 f ( x) F ( x) 0 otherwise
均匀分布
Uniform Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 a xb f ( x) b a 0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
5 1
1 1 dx 0 (5 1) 1 4 4
x1 0 1 F ( x ) ( x 1) 1 x 5 4 x5 1
1
0
1
5
例：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0
x
2 其它
F ( x2 ) F ( x1 ) P{x1 X x2} 0
F () lim F ( x) 0,
x
F () lim F ( x) 1
x
F () P{X } F () P{X }
不可能事件
必然事件
F(x)在 (, ) 内是左连续的，即 x0 (, ) 有
a
b
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
连续型随机变量及其概率密度函数
x 100
当x 0 当x 0
e
x 100 150 50
(1) 的值. (2) 50 到 150 小时 (3) 少于100小时 概率统计
0.384
1 (3) P ( X 100) 0 100e dx 1 e 0.633
100
x 100
一般称:
若 X 具有概率密度:
1 x e f ( x ) 0
x0 x0
0
则 称 X 为服从参数 的 指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数 定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0
概率统计
[证 ]: 证法1
1 X xk X x k n X x k n 1
让 “交” 往 xk 方 向 “挤”
0
xk
1 P ( X xk ) lim P ( X xk ) P ( X xk ) n n 1
第四节
连续型随机变量及其概率密度
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负 函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有:
F ( x)
x
f (t )dt ( P ( X x ))
则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数 注: ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别 离散型： P ( X x ) 0 k 连续型：P( X xk ) 0
概率统计
但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度， 并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大， 则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点 附近的程度.
连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概率密度在概率论与数理统计的领域中，连续型随机变量的概率密度是一个非常重要的概念。
它就像是一把钥匙，能够帮助我们打开理解随机现象背后规律的大门。
首先，咱们来聊聊什么是连续型随机变量。
想象一下，有一个变量，它可以在某个区间内取任意的值，而且取值是连续不断的，没有间隔，这就是连续型随机变量。
比如说，测量一个物体的长度、记录一段时间内的温度变化等等，这些都可能是连续型随机变量。
那么，概率密度又是什么呢？简单来说，概率密度函数就像是给连续型随机变量的取值“分配”概率的一个工具。
它不是直接给出某个具体值发生的概率（因为对于连续型随机变量，取某个特定值的概率几乎为 0），而是描述了变量在不同取值附近的概率分布情况。
举个例子，假设有一个连续型随机变量 X 表示某地区一天内的气温。
那么概率密度函数 f(x) 就可以告诉我们，气温在某个区间内（比如 20到 25 摄氏度）出现的可能性相对较大，而在另一个区间内（比如 0 到5 摄氏度）出现的可能性相对较小。
概率密度函数具有一些重要的性质。
比如说，它的值总是非负的，因为概率不能是负数嘛。
而且，在整个取值范围内，概率密度函数的积分值一定等于 1。
这就意味着，所有可能取值的概率总和是 1，这是符合概率的基本定义的。
为了更好地理解概率密度，我们来看看它和概率分布函数的关系。
概率分布函数 F(x) 表示随机变量 X 小于等于某个值 x 的概率。
而概率密度函数 f(x) 就是概率分布函数 F(x) 的导数。
也就是说，通过对概率分布函数求导，我们就能得到概率密度函数；反过来，对概率密度函数进行积分，就能得到概率分布函数。
那概率密度函数在实际中有什么用呢？比如说在工程领域，我们要设计一个零件，需要知道它所能承受的压力的分布情况。
通过研究压力这个连续型随机变量的概率密度，就可以更好地评估零件的可靠性和安全性。
在金融领域，预测股票价格的波动也是一个例子。
股票价格可以看作是一个连续型随机变量，通过分析其概率密度，投资者可以做出更明智的决策。
连续型随机变量的严格单调函数的概率密度
在概率论和数理统计中，连续型随机变量的概率密度函数是非常重要的概念。
而严格单调函数则是在数学中经常讨论的一个性质。
本文将结合这两个概念，探讨连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。
1. 连续型随机变量的概率密度函数我们来回顾一下连续型随机变量的概率密度函数。
在概率论中，概率密度函数是描述一个随机变量在某个取值范围内出现的概率分布的函数。
对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)表示在区间[a, b]内，X落在某一小区间(dx)内的概率。
概率密度函数具有非负性和积分为1的性质，是描述连续型随机变量概率分布的重要工具。
2. 严格单调函数的性质在数学中，一个函数如果满足对任意的x1, x2 (x1 ≠ x2)，若x1<x2则f(x1)<f(x2)或者若x1<x2则f(x1)>f(x2)，则称该函数是严格单调函数。
严格单调函数具有非常重要的性质，比如在一个区间内只有一个零点、在一个区间内只有一个反函数等。
3. 连续型随机变量的严格单调函数的概率密度假设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。
如果f(x)是一个严格单调函数，那么我们可以得到一些有趣的结果。
根据严格单调函数的性质，我们可以知道在任意的区间[a, b]内，f(x)的取值是严格单调递增或递减的。
这意味着X落在不同区间内的概率是按照一定的规律递增或递减的。
这对于我们理解连续型随机变量的概率分布有很大的帮助。
4. 个人观点和理解从我个人的观点来看，连续型随机变量的严格单调函数的概率密度是一个非常有意思的话题。
它不仅能帮助我们更深入地理解概率密度函数的特性，还能让我们对随机变量的概率分布有更加直观的认识。
通过研究严格单调函数的概率密度，我们也可以更好地理解随机变量的取值规律和分布特点。
深入研究连续型随机变量的严格单调函数的概率密度对于我们理解概率论和数理统计的基本概念具有重要的意义。
总结：本文通过回顾连续型随机变量的概率密度函数和严格单调函数的性质，探讨了连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。
2.2连续型随机变量及概率密度33页PPT
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
二维连续性随机变量的函数的概率密度及其求法
二维连续性随机变量的函数的概率密度及其求法1.1 二维连续性随机变量的函数的概率密度2.1.1 随机变量(.)r v 的联合分布的概率密度它类似于一维连续性随机变量，对于二维随机变量(,)X Y ，如果定义域是整个平面xoy 上的非负函数(,)f x y ，则(,)X Y 的分布函数可以表示为：(,)(,)xyF x y f u v dvdu -∞-∞=⎰⎰（0-1）则成为二维连续性随机变量，其中(,)f x y 为二维连续性随机变量(,)X Y 的随机联合概率密度或概率密度边缘密度函数 ()X f x 、()Y f y ，条件密度函数 |(|)X Y f x y 、Y|X (|x)f y ，都是围绕联合密度函数(,)XY f x y 。
一般来说，都会包括“由F 求p 法”——由分布函数求密度函数的方法。
根据定义所具有的性质：(,)0f x y ≥++(+,-)(,)=1F f u v dvdu ∞∞-∞-∞∞∞=⎰⎰（0-2）若O 是某个xoy 平面上的区域，点O 落在(,)X Y 内的概率为：{(,)}(,)OP X Y O f x y dxdy ∈=⎰⎰（0-3）若(,)f x y 在点(,)x y 连续，则有：2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂（0-4）2.1.2 随机变量的边缘分布概率密度 与二维离散性随机变量类似，在等式中，(,)(,)xyf x y f u v dvdu -∞-∞=⎰⎰（0-5）令y =+∞得到连续性随机变量X 的边缘分布函数()()(,)X X df x F x f x y dy dx+∞-∞==⎰（0-6）由此得随机变量X 的边缘概率密度函数()(,)(,)xX F x F x f u v dudv +∞-∞-∞=+∞=⎰⎰（0-7）同理可得随机变量Y 的边缘概率密度函数()(,)(,)y Y F y F y dy f x y dx +∞-∞-∞=+∞=⎰⎰（0-8）Y 的边缘概率密度函数：()()(,)Y Y df x F y f x y dx dy+∞-∞==⎰（0-9）2.1.3 二维均匀分布的概率密度定义：设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1,(,),(,)0,x y D A f x y ⎧∈⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其他（0-10）其中D 是平面上的有界区域，其面积为A ，则称(,)X Y 在D 中是均匀分布的。
连续型随机变量及其概率密度
A
A，B间真实距离为，测量值为X。
X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
（其中 ，为实数，>0） 则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为
正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即 f( +x)=f( -x)，x∈(-∞,+∞)
X～N(, 2)，p∈(0,1)，若实
数up满足P(X〉 up)=p,
p
则称up为标准正态分布的p分 位点。
O Up
x
定义 (1)标准正态分布的与下侧概率p对应的分位数up
满足条件P（X〈 up）= p，0〈 p〈1， X~N(0,1) （2）标准正态分布的与上侧概率α对应的分位数uα
满足条件P（X〉 u α ）= α，0〈 α〈1， X~N(0,1) （3）标准正态分布的与双侧概率p/2对应的分位数u p/2
解 设A—乘客候车时间超过10分钟， X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P(A) P(10 X 15) P(25 X 45) P(55 X 60) 5 20 5 1 60 2
2、正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。
P( X
x)
x
证明
x
FX (x) P( X x)
1
e dt
(
t) 2 2
2
2-2连续型随机变量及其概率密度
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3} 51 d x 2 ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
P{Y
2}
3 2
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线 电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等 都服从指数分布.
例3 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000的指数分布(单位:小时). (1) 任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上 的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上, 求还能使用1000小时以上的概率.
2
2
1
3
2 3
3 3
2 31 3
2 0 3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
1 θ
e
x
θ
,
x 0,
0,
x 0.
其中θ 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布.
分布函数
F
(
x)
1
1 θ
e
x
θ
,
x
0,
0,
x 0.
应用与背景
另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的 极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.
器 内. 调 节 器 整 定 在d oC , 液 体 的 温 度X (以o C计 )
连续型随机变量x的密度函数
连续型随机变量x的密度函数
连续型随机变量x的密度函数（或概率密度函数）f(x)定义为：对于任意实数a 和b（a < b），有：
P(a ≤x ≤b) = ∫[a, b] f(x)dx
其中，∫[a, b]表示对x从a到b的积分。
密度函数f(x)满足以下性质：
1. f(x) ≥0，即密度函数的取值非负。
2. ∫(-∞, +∞) f(x)dx = 1，即密度函数在整个定义域上的积分等于1。
密度函数可以用来计算随机变量落在某个特定区间的概率。
例如，随机变量x 的密度函数f(x)，那么P(a ≤x ≤b)可以通过对密度函数在[a, b]区间上的积分来计算。
密度函数的形式取决于具体的概率分布。
常见的连续概率分布如正态分布、均匀分布、指数分布等都有相应的密度函数。
不同的分布函数有不同的数学表达式来描述其密度函数。
2-2连续型随机变量的概率密度 [兼容模式]
![2-2连续型随机变量的概率密度 [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/b69a4a2eaaea998fcc220e57.png)
2
3 8
2 1 2
f x dx 1
7
⑵．PX 1
f x dx f x dx f x dx
1
8
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
3 4 x 2 x 2 dx 8 1
2
某电子元件的寿命（单位：小时）是以
德莫佛
32
§4
连续型随机变量的概率密度
高 尔 顿 钉 板 试 验 这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
33
若 0， 1，我们称 N 0， 1为标准正态分布．
标准正态分布的密度函 数为
1 2 e x 2
x2
x
34
§4
连续型随机变量的概率密度
解： X 的密度函数为
27
x 1 10 e f x 10 0
x0 x0
28
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
令：B={ 等待时间为10~20分钟 }
则
PB P10 X 20
x 1 1 e 10 dx e 10 10 10 10 10
§4
连续型随机变量的概率密度
如果随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，则随机变量 X 在区间a， b上的任意一个子区间上取值的概率与该子区 间的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
若随机变量 X 服从区间 a， b 上的均匀分布， 则 X 的分布函数为 0 xa F x b a 1 xa a xb bx
连续型随机变量及其概率密度ok
0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P (| X | a ) 2 ( a ) 1
对一般的正态分布 ：X ～N ( , 2)
其分布函数
作变量代换
F (x)
s t
1 2
x
(t ) 2
2
2
e
dt
x F (x)
P ( a X b ) F (b ) F ( a ) b P ( X a ) 1 F (a )
知A=3，即
3 e 3 x , f (x) 0,
x 0; x 0.
而 X 的分布函数为
F (x)
x
1 e 3 x , f ( t ) dt 0,
x 0; x 0.
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正 比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的 距离，试求随机变量X的分布函数． 解: 若 x 0 , 则 ( X x )是不可能事件 , 于是
0 P ( X a ) P (a x X a )
a x
a
f ( x )d x
0 P ( X a ) lim
x 0 a x
a
f ( x )d x
0
P( X a) 0
命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.
对于连续型随机变量X
1 2
(3) 在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有 拐点 (4) 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线 (5) 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状.
第12讲 连续型随机变量及其概率密度
第12讲连续型随机变量及其概率密度()():,, X F x f x x 对于随机变量的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 定义有：()()xF x f t dt-∞=⎰,(),X f x X 则称为其中称连续型随机变量概率密度为的简称函数 概率密度.()X f x 有时也写为 2()y f x =1面积为x()f x 0(2) ()1;f x dx +∞-∞=⎰(1) ()0;f x ≥()f x 的性质：()()xF x f t dt-∞=⎰()1F +∞= 31x 2x {}12 P x X x <≤()f x x, ()0.a P X a ⇒==对任意的实数21121212(3) , ()() () ;x x x x x x P x X x f t dt <<≤=⎰对于任意的实数 ()f x 的性质：,()(),.DX P X D f x dx D R ∈=⊂⎰对于连续型的随机变量有任意()()xF x f t dt-∞=⎰21()()x x f t dt f t dt-∞-∞=-⎰⎰21()()LHS P X x P X x =≤-≤ 21()()F x F x =-1212 () ()P x X x P x X x <≤=<<且4500(4) (), '()().()()()()()'()()()(,]().()x x f x x F x f x f x F x x F x P x X x x f x F x limlim x xP x X x x f x xX x x x x f f x x x ∆→∆→=+∆-<≤+∆===∆∆<≤+∆≈⋅∆+∆∆在连续点即在的连续点,这表示落在点附近的概率等于性似的近质：1()f x x()f x 0()()(3) () ().xf t dt dF x dx f x F x -∞⎰−−−−→←−−−−(2) ()1;f x 的值是可以大于的(1) ();f x 值的含义说明：,()()x P x X x x f x x∆<≤+∆≈⋅∆当充分小时1x 2x 2()f x 21()()f x f x <6()()1/6,02;()0,.(1);(2);(3)11 cx x X f x c X F x P X +<<⎧=⎨⎩-<< 设的概率密度为 其他求: 常数的值 的概率分布函数例1:的值.(1)1()f x dx +∞-∞=⎰解 :212226c =⨯+⨯0202()()()f x dx f x dx f x dx+∞-∞=++⎰⎰⎰1.3c ⇒={(0,2)}1P X ∈={:()0}.()x f x X >即为的取值范围支撑2220011()()|626c cx dx x x =+=+⎰020210()06dx cx dx dx +∞-∞=+++⎰⎰⎰7/31/6,02;()0,.x x f x +<<⎧=⎨⎩其他{}(2)()()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰ {(0,2)}1P X ∈=注意到10, x <。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解： X 的密度函数为
27
x 1 10 e f x 10 0
x0 x0
28
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
令：B={ 等待时间为10~20分钟 }
则
PB P10 X 20
x 1 1 e 10 dx e 10 10 10 10 10
20 x
20
则称随机变量 X 服从，参数为 ， 2 的 f (x) 正态分布．记作 X ~ N ， 2
1 2 f x e 2 x 2 其中 ， 0 为参数 ，
x 2
e 1 e 2
⑵． f x dx
0
0
f x dx
x
f x dx
0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为 的指数分布．
e
x dx e
0
1．
由此可知，
e x f x 0
25
x0 x0
P 1 2 0
24
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
如果随机变量 X 的密度函数为
e x f x 0 x0 x0
设X ~ 参数为 的指数分布，f x 是其密度函数，则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0 ；
b
f x dx f x dx f x dx
a b
记作 X ~ U [a , b]
17
1 dx 1． b a a 1 a xb 确是密度函数． 由此可知， f x b a 其它 0
18
§4
连续型随机变量的概率密度
10
2
0
f ( x ) 0.
f (x)
F ( x)
x
f (t ) dt ,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为X 的概率密度函数,简称概率密度.
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
3
f ( x)dx 1.
1
0 x
4
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
得 1
2
0 x2 其它
f x dx
0
f x dx f x dx
0
2
f x dx
2
求：⑴．常数 c； ⑵．PX 1 ． 解： ⑴．由密度函数的性质
8 2 c 4 x 2 x 2 dx c 2 x 2 x 3 c 3 0 3 0 所以， c
14
1
f t dt f t dt f t dt
x
0
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
当x 2 时，F x
0
f t dt
1 2 x 0 1 2
x
综上所述，可得随机变量 X 的分布函数
1
f t dt f t dt f t dt f t dt
设X ~ 区间a， b上的均匀分布，f x 是其密度函数， 则有：
1 a xb f x b a 其它 0
则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
⑴．对任意的 x，有 f x 0 ；
⑵． f x dx
a b
11
2
3
1
1 x2
1
x
12
§4
连续型随机变量的概率密度
x
§4
x2 2
连续型随机变量的概率密度
设随机变量X的密度函数为 0 x 1 x f x 2 x 1 x 2 0 其它
tdt
0
当1 x 2时，F x
试求 X 的分布函数．
f t dt
1 x 0 1
x
解：
当 x 0 时，F x
f t dt
x
x
0
当 0 x 1时，F x
f t dt
f t dt f t dt
0
13
0
ห้องสมุดไป่ตู้
x
1 tdt 2 t dt x 2 2 x 1 2 0 1
概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布
北京邮电大学民族教育学院
1
2
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有
a 1 F (x)
这时，可以认为随机变量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
P{c X c l}
c l c
c l
c
f ( x)dx
X a l 0 X l b x
1 l dx . ba ba
0
b
x
20
19
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
0.2325
29
0
30
x
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛（De Moivre)最早 发现了二项分布的一个近似公 式，这一公式被认为是正态分 布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通 常称为高斯分布.
31
你们是否见过街头的一种赌博游戏? 用一个钉板作赌具。
1 2
首先验证：
f x dx
e
x
2 2
x dx
1 2
e
x2 2
dx 1
2
dx 1
或验证：
35
e
x2 2
dx 2
36
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
对于正态分布的密度函数
确是一密度函数．
26
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
若随机变量 X 服从参数 指数分布， 则 X 的分布函数为
0 F x x 1 e
x0 x0
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是 1 以 为参数的指数随机变量．如果某人刚 10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
1 2 x f x e 2 2 由高等数学中的知识，我们有： f (x) ⑴．曲线关于直线 x 对称，
x 2
⑵．当 x 时，f x 取到最大值 f 1 2
x离 越远，f x 的值就越小．这表明，对于 同样长度的区间，当区间离 越远时，随机 变量 X 落在该区间中的概率就越小．
连续型随机变量的概率密度
30
P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
f (x)
f ( x)dx. ( x1 x2 )
x1
x2
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概 率！
我们不能认为： PX a f a ！
2 1
tdt 2 t dt
0
F x 2 x 2
0 x2 2 1
x0 0 x 1
2x 1 1 x 2 2 x
15
16
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
1．均 匀 分 布 若随机变量 X 的密度函数为
0 f x 100 x2 x 100 x 100
3 2 2 x 2 x3 8 3 1
1 2
2
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. 解： 设：A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
1 1 dx dx 30 30 10 25
15 30
则 X 服从区间 0， 30 上的均匀分布． 其密度函数为
1 0 x 30 f x 30 其它 0
21
1 3
22
§4
连续型随机变量的概率密度
§4
连续型随机变量的概率密度
设随机变量 服从区间 3， 6上的均匀分布， 试求方程 4 x 2 4 x 2 0
德莫佛
32
§4
连续型随机变量的概率密度
高 尔 顿 钉 板 试 验 这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
33
若 0， 1，我们称 N 0， 1为标准正态分布．
标准正态分布的密度函 数为
1 2 e x 2
x2
x
34
§4
连续型随机变量的概率密度
f x dx
设连续型随机变量 X 的分布函数为
1 1 arctgx 2 试求 X 的密度函数． F x