5年高考题_3年模拟题_分类汇编_平面向量_部分

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高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题_空间向量在立体几何中的应用

第三节空间向量在立体几何中的应用一、填空题1. 若等边的边长为，平面内一点知足，则_________2．在空间直角坐标系中，已知点 A（ 1，0， 2）， B(1 ， -3 ， 1) ，点 M在 y 轴上，且 M到 A 与到 B 的距离相等，则 M的坐标是 ________。

【分析】设由可得故【答案】 (0,-1 ， 0)二、解答题3.（本小题满分 12 分）如图，在五面体ABCDEF中， FA 平面 ABCD, AD（II ）证明：，（I II ）又由题设，平面的一个法向量为4．（此题满分15 分）如图，平面平面，是认为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（I ）设是的中点，证明：平面；（II ）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．证明：（ I ）如图，连结 OP，以 O为坐标原点，分别以 OB、 OC、 OP所在直线为轴，轴，轴，成立空间直角坐标系 O，则，由题意得，因，所以平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，所以有平面6.（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行ABCD 和 DCEF不在同一平面内，M， N 分别为 AB， DF的中点。

（I）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN与平面 DCEF所成角的正当弦；（I I ）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以 D 为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为 x,y,z轴正半轴成立空间直角坐标系如图.则 M（ 1,0,2 ） ,N(0,1,0),可得=(-1,1,2).又 =（ 0， 0， 2）为平面DCEF的法向量，可得cos(,)=·DCEF所成角的正弦值为所以MN与平面cos · 6 分( Ⅱ ) 假定直线ME与 BN共面，8 分则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN与平面 DCEF交于 EN由已知，两正方形不共面，故AB平面 DCEF。

高考数学(理)真题专题汇编：平面向量

高考数学（理）真题专题汇编：平面向量一、选择题1.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．33.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 35.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ）已知向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =－1，则a ·(2a －b )= A ．4B ．3C ．2D ．06.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A.43AB －41ACB. 41AB －43AC C. 43AB ＋41AC D. 41AB ＋43AC7.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（）（A ）85-（B ）81（C ）41（D ）8118.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OB OA ⋅，I 2=OC OB ⋅，I 3=OD OC ⋅，则A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3 ＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ． I 2＜I 1＜I 39.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅲ卷）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．210.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是（）A.-2B.23-C. 43-D.-111.【来源】2016年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ卷）12.【来源】2014高考真题理科数学（福建卷）在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e二、填空题13.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）在四边形ABCD 中，,23,5,30ADBC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 15.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,<>=a c ___________. 16.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.18.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 19.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 20.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，则|a +b |+|a －b |的最小值是________，最大值是_______．21.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若20≤⋅PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是 .22.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。

高考理科数学试题分类汇编5：平面向量

高考理科数学试题分类汇编5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）A ．0,0m M =>B ．0,0m M <>C ．0,0m M <=D ．0,0m M <<【答案】D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A [来源:12999数学网]3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P 00∙≥∙.则（）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =【答案】D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））在四边形ABCD中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）A B ．C ．5D ．10【答案】C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P O PO A O B R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,12AB AB ⊥ ,121OB OB == ,12AP AB AB =+ .若12OP < ,则OA 的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．,22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝【答案】D7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】A8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1[来源:]【答案】B9 ．（2013年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（）A B C ．D ．【答案】A [来源:12999数学网] 二、填空题10．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______.【答案】211．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =- ，.若//a b ,则实数 k = __________【答案】34-12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量AB与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.【答案】71213．（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.【答案】t =2.14．（2013年高考北京卷（理））向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.【答案】4 [来源:]15．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,的最大值等于________. 【答案】216．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.【答案】1217．（2013年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________.【答案】218．（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________【答案】5219．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为______.【答案】12。

(完整版)全国卷高考题汇编—平面向量

2011年——2016年高考题专题汇编专题3 平面向量1、（16年全国1 文）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .2、（16年全国1 理）设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .3、（16年全国2 文）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.4、（16年全国2 理）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）85、（16年全国3 文）已知向量BA →=（12，2），BC →=（2，12），则∠ABC = （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°6、（16年全国3 理）已知向量1(,)22BA = ,31(),22BC = 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12007、（15年新课标2 文）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．-1B ．0C ．1D ．38、（15年新课标2理）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．9、（15年新课标1文）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =（A ）（-7，-4）（B ）（7,4）（C ）（-1,4）（D ）（1，4） 10、（15年新课标1理）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =-11、（14年新课标3 文）已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．212、（14年新课标3 理）若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（）A ．2BC ．1 D13、（14年新课标2 文）设向量a ,b 满足a ·b=（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 514、（14年新课标2 理）设向量a,b 满足|a+b |=|a -b ，则a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 515、（14年新课标1文）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB.AD 21 C. BC 21 D. BC16、（14年新课标1理）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .17、（13全国2 文理）已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点,，则 =_______.18、（12全国2 文）已知向量a ,b 夹角为45° ，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=19、（11全国2 文）若向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A B CD 20、（11全国2 理）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2BCD ．1。

北京市丰台区高考数学三年(2021-2023)模拟题知识点分类汇编-平面向量、空间向量与立体几何

2 形 ABEF ，且 AF AD ．
试卷第 4 页，共 5 页(1Biblioteka 求证： DF P平面 BCE ； 5
(2)在线段 DF 上是否存在点 P ，使得直线 AE 和平面 BCP 所成角的正弦值为？若存在， 6
求出 DP 的值；若不存在，说明理由．
DF
16．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， AC 交 BD 于点 O， BAD 60 ， PB PD ．点 E 是棱 PA 的中点，连接 OE，OP．
①三棱锥 A BCD 的体积为 1 abc ；②三棱锥 A BCD 的每个面都是锐角三角形；③三
3
棱锥 A BCD 中，二面角 A CD B 不会是直二面角；④三棱锥 A BCD 中，三条侧棱与底面所成的角分别记为 , , ，则 sin2 sin2 sin2 2 . 8．（2022·北京丰台·统考一模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 A1B1，A1D1 的中点，点 P 在线段 CM 上运动，给出下列四个结论：
③点
D
到直线 C1E
的距离的最小值为
25 5
．
其中所有正确结论的个数为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题 7．（2021·北京丰台·统考一模）如图，从长、宽、高分别为 a,b, c 的长方体 AEBF GCHD 中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥 A BCD .下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____.
（1）求证： BC OM ；（2）若 PM 3 PB ，求二面角 B OM C 的余弦值.
5 14．（2022·北京丰台·统考二模）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 AB ，D 为 BC

5年高考3年模拟分类汇编字音

第一章语言知识和语言表达第一节字音第一部分五年高考题荟萃2009年高考题1.（09年全国卷Ⅰ）下列词语中加点的字，读音完全正确的一组是（）A．菁．华（qīng）宁．可（nìng）冠．心病（guān）翘．首回望（qiáo）B．吐蕃．（fān）庇．护（bì）歼．击机（jiān）呱．呱坠地（gū）C．请帖．（tiě）梵．文（fán）发横．财（hèng）按捺．不住（nà）D．链．接（liàn）创．口（chuāng）倒．春寒（dào）拈．花惹草（niān）答案 D解析 A．菁．华（jīng）；B．吐蕃．（bō）；C．梵．文（fàn）。

2.（09年全国卷Ⅱ）下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是（）A.作．坊（zuō）心广体胖．（pán）处．方（chǔ）给予．帮助（jǐ）B.燕．山（yān）戎马倥偬．（zǒng）落．枕（lào）分．外高兴（fēn）C.干．系（gān）呼天抢．地（qiǎng）饮．马（yìn）供不应．求（yìng）D.泡．桐（pāo）济济．．一堂（jǐ）空．余（kòng）作者附识．（shí）答案 A解析B项分fèn外高兴，C项呼天抢qiāng地，D项作者附识zhì。

3.（09年北京卷）下列词语中，字形和加点的字的读音全部正确的一项是（）A.诠释出其制胜瞩．（zhǔ）目人才荟．( kuài )萃B.杀戮宁静致远莅．(wèi )临鸢．( yuān )飞鱼跃C.平添励精图治缜．( zhěn )密鹬．( yù )蚌相争D.松弛老奸巨猾揣度．( duó) 深陷囹圄．( wú )答案 C解析将字音字形结合起来考查，不但可以减少题量，还符合生活语文的规律，应该大力提倡这种命题思路。

A项：其－奇，据词义可以推测出来；荟，音“huì”。

【英语】5年高考3年模拟分类汇编系列--非谓语动词

第六章非谓语动词第一部分近年高考题荟萃2009年高考题1. (09安徽28)The play next month aims mainly to reflect the local culture.A. producedB. being producedC. to be producedD. having been produced答案 C2 (09北京24)For breakfast he only drinks juice from fresh fruit _____ on his own farm.A. grownB. being grownC. to be grownD. to grow K答案 A3. (09北京27)The way the guests _____ in the hotel influenced their evaluation of the serviceA. treatedB. were treatedC. would treatD. would be treated 答案 D4. (09北京28)All of them try to use the power of the workstation ___ information in a more effective way. A. presenting B. presented C. being presented D. to present答案 D5. (09北京34)___ twice, the postman refused to deliver our letters unless we chained our dog.A. Being bittenB. BittenC. Having bittenD. To be bitten答案 A6. (09福建32)not to miss the flight at 15:20, the manager set out for the airport in a hurry.A. RemindingB. RemindedC. To remindD. Having reminded 答案B解析考查非谓语动词。

5.2 平面向量的数量及其应用-5年3年模拟北京高考

5.2 平面向量的数量积及其应用五年高考考点1 长度与角度问题1．（2013湖南．6,5分）已知a ，b 是单位向量，.0=⋅b a 若向量C 满足,1||=--b a c 则｜C ｜的取值范围是( )]12,12.[+-A ]22,12[+-⋅B ]12,1[+⋅c ]22,1[+⋅D2．（2013湖北．6，5分）已知点,2()2,1()1,1(--C B A 、、),4,3()1D 、-则向量⋅在方向上的投影为 ( )223.A 2153.B 223.-C 2153.-D 3．（2011课标．10.5分）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题)32,0[1|:|1πθ∈⇔>+b a p ],32(1|:|2ππθ∈⇔>+b a p )3,0[1|:|3πθ∈⇔>-b a p ),3(1|:|4ππθ∈⇔>-b a p 其中的真命题是( )41,p p A ⋅ 31,p p B ⋅ 32,p p c ⋅ 42,p p D ⋅4．（2011全国，12.5分）设向量a ，b ，c 满足b a b a ⋅==,1||||,21-=>--<c b c a ,,60 =则C 的最大值等于 ( )2.A3.B 2.C 1.D5．（2011辽宁，10，5分）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )12.-A 1.B 2.C 2-D6．（2011卓越联盟自主招生．1）向量a ，b 均为非零向量，-a (,)2a b ⊥,)2(b a b ⊥-则a ，b 的夹角为( )6π⋅A 3π⋅B 32.πC 65.πD7．（2010卓越联盟自主招生，2）设向量a ，b 满足a b a ,1||||==∙,m b =则)(||R t tb a ∈+的最小值为 ( )2.A m B +1. 1.C 21.m D -8．（2013浙江．17.4分）设21,e e 为单位向量，非零向量1xe b =R y x ye ∈+,,2若21,e e 的夹角为,6π则||||b x 的最大值等于 9．（2011浙江．14,4分）若平面向量βα,满足,1||,1||≤=βα且以向量βα,为邻边的平行四边形的面积为,21则α与β的夹角θ的取值范围是 10．（2011安徽．13，5分）已知向量a ，b 满足)()2(b a b a -⋅+,6-=且,2||,1||==b a 则a 与b 的夹角为11.（2010浙江．16,4分）已知平面向量),0(,βααβα=/=/满足,1||=β且αβα-与的夹角为,120o 则||α的取值范围是12.（2010江西．13，4分）已知向量a ，b 满足a b a ,2||,1||==b 与的夹角为,60则=-||b a智力背景牵牛花的螺旋到了夏季，人们随处可以看到缠绕在大树上生长的牵牛花，而树为圆桶状，是为了最大限度减少从各个方向吹来的风的影响。

8.7 空间向量在立体几何中的应用-5年3年模拟北京高考

8.7 空间向量在立体几何中的应用五年高考考点空闻向量及其应用 1．（2013江西．19,12分）如图，四棱锥P- ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，EA DCB DAB ,∆≅∆,23,1====PA AB EB 连结CE 并延长交AD 于F ． (1)求证：AD ⊥平面CFG;(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．2．（2013浙江．20，15分）如图，在四面体A- BCD 中，AD ⊥平面,2,,=⊥AD CD BC BCD M BD .22= 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且.3QC AQ = (1)证明：PQ//平面BCD;(2)若二面角C-BM -D 的大小为,600求∠BDC 的大小．3．（2012北京．16,14分）如图1，在Rt△ABC 中，BC C ,90=∠E D AC ,.6,3==分别是．AC ，AB 上的点，且.2,//=DE BC DE 将△ADE 沿DE 折起到DE A 1∆的位置，使,1CD C A ⊥如图2． (1)求证：⊥C A 1平面BCDE ；(2)若M 是D A 1的中点，求CM 与平面BE A 1所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面DP A 1与平面BE A 1垂直？说明理由．4．（2012天津．17,13分）如图，在四棱锥P- ABCD 中，PA ⊥平面,,,A BC AB AD AC BCD ⊥⊥.1,2,45====∠AC AD PA BAC(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A-PC -D 的正弦值；(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为,03求AE 的长，智力背景控制论的诞生（二) 第二次世界大战期间，他参加了美国研制防空火力自动控制系统的工作，为提高炮火的命中率，许多数据必须迅速、准确地计算出来．让维纳兴奋的是，他发现自动防空炮火系统的运转和生物体有着惊人的相似：在二者的内部都存在着对输A 信息的处理和反应，于是，他将大脑和神经系统与计算机设备联系在一起.:1943年，维纳与人合写了《行为、目的和目的论》的论文，从反馈角度研究了目的性行为，找出神经系统和自动机之间的一致性，这是第一篇关于控制论的论文．5．（2011辽宁，18，12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面.21,//,PD AB QA QA PD ABCD == (1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q- BP -C 的余弦值．6．（2010山东，19,12分）如图，在五棱锥P - ABCDE 中，PA ⊥平面,//,//,ED AC CD AB ABCDE==AB ABC BC AE ,45/,// ,42,22==⋅AE C B 三角形PAB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；(3)求四棱锥P-ACDE 的体积．解读探究知识清单1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有①____和②____的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向③____且模④ 的向量． (3)共线向量． (4)共面向量．2．共线向量、共面向量定理和空闻向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b （b≠0），a∥b 的充要条件是⑤ 推论；如图所示，点P 在L 上的充要条件是：,ta +=其中a 叫直线L 的方向向量，,R t ∈在L 上取,a =则可化为⑥=0或=0.)1(t t +-(2)共面向量定理的向量表达式：p=⑦____，其中b a R y x ,,,∈为不共线向量，推论的表达式为+=x y 或对空间任意一点O 有⑧= 或y x +=.1,=+++z y x z 其中(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b,c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z}，使得p=⑨____，把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 (i)两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间内任取一点O ，作ω,a =,b =则⑩ 叫做向量a 与b 的夹角，记作，其范围是，若,2,π>=<b a 则称a 与b 记作a ⊥b.智力背景华罗庚的读书法-- “厚薄”法华罗庚把读书过程归结为“由厚到薄”“由薄到厚”两个阶段，当你对书的内容真正有了透彻的了解，抓住了全书的要点，掌握了全书的精神实质后，读书就由厚变薄了，愈是懂得透彻，就愈有薄的感觉，如果在读书过程中，你对各章节又作深入的探讨，在每页上添加注解，补充参考资料，那么，书又会愈读愈厚． (ii)两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则叫做向量a ，b 的数量积，记作，即(2)空间向量数量积的运算律(i)结合律：=⋅b a )(λ(ii)交换律：=⋅b a(iii)分配律：=+⋅)(C b a 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算若),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==则=⋅b a (2)共线与垂直的坐标表示设),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==则⇔b a //⇔⊥b a（a ，b 均为非零向量）．(3)模、夹角和距离公式设),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==则=⋅=a a a ||=⋅>=<||||,cos b a ba b a若),,,(),,,(222111c b a B c b a A 则==||dAB5．直线的方向向量及其应用 (1)直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可能有(2)直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．(i)若有直线L ，点A 是直线L 上一点，向量a 是L 的方向向量，在直线L 上取,a =则对于直线L 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线L 的位置，还可以具体表示出L 上的任意一点．(ii)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．设这两条直线相交于点0，它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得= 这样，点0与方向向量a ，b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．6．平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的向量，显然—个平面的法向量也有个，它们是向量 (2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是确定的． 7．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线1l 的方向向量为),,,(1111c b a u =直线2l 的方向向量为⋅=),,(2222c b a u 如果,//21l l 那么⇔21//u u如果,21l l ⊥那么⇔⊥21u u直线L 的方向向量为),,,(111c b a u =平面α的法向量为n ⋅=),,(222c b a若,//αl 则⇔=⋅⇔⊥0n u n u若L ⊥α，则⇔=⇔kn u n u //平面1α的法向量为),,,(1111c b a u =平面2α的法向量为⋅=),,(2222c b a u若,//21αα则⇔=2121~//ku u u若,21αα⊥则⇔=⋅⇔⊥02121u u U u【知识拓展】1．空间向量中数量积的性质：(1)可用来求角；(2)可证明线线垂直；(3)可用来求线段的长．2．在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象．3．对空间任意一点A 求其坐标的一般方法：过A 作z 轴的平行线交平面xOy 于B ，过B 分别作x 、y 轴的平行线，分别交x 、y 轴于C 、D ，则由O 0的长度和方向便可求得点A 的坐标．知识清单答案智力背景英国数学家康威康威喜欢小孩子的玩意.他常赤着脚，用纸和笔玩数学游戏，有时就捉着学生、教授和他玩．康威的办公室以杂乱闻名，以致很难容两人坐下来.他结婚两次，生活相当清贫.他不开车也不买车，因为他常深入数学世界，忘记周围.他除了搞数学，唯一的乐趣就是每月买几本旧书.他认为大战发生就是世界末日．他试着计算地球毁于核意外的日子，为不久全世界毁于核爆炸而忧心忡忡.突破方法方法1异面直线所成角及点面距离例1 （2012广东中山二模，19，14分）如图，已知两个正四棱锥P - ABCD 与Q- ABCD 的高分别为l ，2，AB =4.(1)证明：PQ ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值； (3)求点P 到面QAD 的距离．解题思路解析 (1)证明：如图，设,0=BD AC连结,,OQ OP .,BD ACABCD Q ABCD P --与都是正四棱锥，∴ PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ，从而P 、0、Q 三点在一条直线上． ∵ PQ 上平面ABCD. （4分）(2)由题设知，四边形ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥BD ．由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以CA ，DB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O- xyz ，由条件得),0,0,22(),1,0,0(A P ),0,22,0(),2,0,0(B Q -⋅-=--=∴)1,22,0(),2,0,22(P （6分）于是⋅==<93|||AQ |,cos PB从而异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值为⋅93（9分） (3)由(2)得=-),0,22,0(D Q ),0,22,22(P --),3,0,0(-=设),,(z y x n =是面QAD 的一个法向量.由⎪⎩⎪⎨⎧==0D ,0A nn得⎩⎨⎧=+=+.0,02y x z x 不妨取x=l ，得).2,1,1(--=n （12分） ∴ 点P 到面QAD 的距离⋅=⋅=223|ln ||n P d （14分）【方法点拨】异面直线所成角及点面距离的向量求法：方法2 平行与垂直、直绒与平面所成角例2（2012河南开封三模．19,12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD= DE= 2AB ，F 为CD 的中点． (1)求证：AF//平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值，解题思路解析设,22a AB DE AD ===建立如图所示的坐标系),0,0,0(,A xyz A 则-),,0,0(),0,0,2(a B a C),0,3,(a a D ).2,3,(a a a E∵ F 为CD 的中点，∴⋅)0,23,23(.a a F （3分） (1)证明：),,3,(),0,23,23(a a a BE a a AF == ⋅⊂/+=-=AF a a ),(21),,0,2( 平面BCE ， ∴ AF∥平面BCE. （6分）智力背景不是洗澡堂德国女数学家爱米·诺德，虽已获得博士学位，但无开课“资格”，当时，著名数学家希尔伯特十分欣赏爱米的才能，他到处奔走，要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师，但在教授会上还是出现了争论，一位教授说：“当我们的战士从战场回到课堂，发现自己拜倒在女人脚下读书，会作何感想呢？”希尔伯特站起来，坚定地批驳道：“先生们，候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由，大学评议会毕竟不是洗澡堂！”(2)证明：∴=-==⋅),0,3,(),0,23,23(E a a C a a ),2,0,0(a - （7分） ,,,0.,0.E A A E C ⊥⊥∴==⋅∴ ⊥∴平面CDE ，又AF ／／平面BCE ，∴ 平面CDE ⊥平面BCE. （9分）(3)设平面BCE 的法向量为),,,(z y x n =由,0=⋅B n0C =⋅B n 可得,02,03=-=++z x z y x取),2,3,1(-=n （10分）又),,23,23(a a a -=设BF 和平面BCE 所成的角为θp ，则,422222sin =⋅==a a θ ∴ 直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为⋅42（12分）【方法点拨】直线与平面所成角的向量求法直线L 与平面α的夹角一是直线L 的方向向量L 与平面α的法向量n 的夹角β(锐角)的余角，故有⋅⋅==||||cos sin n l nl βθ方法3 二面角例3 （2012课标全国．19，12分）如图，直三棱柱-ABC 111C B A 中，D AA BC C ,21A .1==是棱 1AA 的中点，.1BD DC ⊥(1)证明：;1BC DC ⊥(2)求二面角11C BD A --的大小，解题思路解析 (1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为1AA 的中点，故⋅=1DC DC 又⋅=,211AA AC 可得,21221CC DC DC =+所以.1DC DC ⊥（2分）而,,1D BD DCBD DC =⊥ 所以⊥1DC平面BCD. （4分）又⊂BC 平面BCD ，故.1BC DC ⊥ （6分）(2)由(1)知,1DC BC ⊥且,1CC BC ⊥则BC ⊥平面,1ACC 所以1,,CC CB CA 两两相互垂直，以C 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，C 的方向为y 轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C .xyz -由题意知 ).2,0,0(),1,0,1(),0,1,0(),2,0,1(11C D B A则⋅-=-=-=)1,0,1(),1,1,1(),1,0,0(11DC B A （8分）设),,(z y x n =是平面BD B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01A n BD n 即⎩⎨⎧==+-.0,0z z y x 可取n=(l ，l ，0)．（9分）同理，设m 是平面BD C 1的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,01DC m m可取⋅=)1,2,1(m （10分）从而⋅=⋅>=<23||.|ln ,cos m m n m n 故二面角11C BD A --的大小为.30o （12分）【方法点拨】二面角的向量求法：(1) 若AB 、CD 分别是二面角α-L-β的两个面内与棱L 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角（如图①)．(2)设21,n n 分别是二面角βα--l 的两个面βα,的法向量，则向量21n n 与的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③），即⋅⋅⋅=|n |n n cos 2121n θ智力背景东方第一几何学家——— 苏步青 1927年毕业于东北帝国大学,1931 年获该校理学博士学位.1948 年被选聘为中央研究院院士，复旦大学教授、名誉校长，中国数学会名誉理事长．主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，被誉为“东方第一几何学家”，在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果；在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就．1955年被选聘为院士．三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：60分钟分值：65分一、远择题（共5分）1．（2013辽宁大连一模，5）长方体1111D C B A ABCD -中，=AB E AD ,1,2AA 1==为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为( )1010.A 1030.B 10152.C 10103.D 二、填空题（每题5分，共10分）2．（2013上海普陀二模．12）正四棱锥S - ABCD 中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO = OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是．3．（2012江苏苏州3月模拟．6）已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CC =2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为 .三、解答题（共50分）4．（2013北京延庆一模）如图，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 为菱形，,60 =∠ABC 侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD.(1)设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥平面ABCD ；(2)求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角M - BD -C 的大小为,600求CP CM 的值．5．（2013天津南开4月．17）在直三棱柱中，,3AA 1===BC AB D AC ,2=是AC 中点．(1)求证：//1C B 平面;1BD A(2)求点1B 到平面BD A 1的距离；(3)求二面角11B DB A --的余弦值．6．（2013山东聊城二模．20）正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E-DF-C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BCBP 的值；如果不存在，请说明理由． 7．（2012广东汕头4月模拟，18）如图所示的长方体-ABCD 1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，0为AC 与BD 的交点，M BB ,21=是线段11D B 的中点．(1)求证：BM∥平面;1AC D(2)求证：O D 1⊥平面;1C AB(3)求二面角C AB B --1的大小．智力背景数理统计学学科的奠基者---费谢尔歇（一）数理统计一个进一步完善的数学学科，他的奠基者是英国人费歇尔（R ．A ．Fisher ，1890—1962）．费歇尔1909年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业，毕业后，他曾去投资办工厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员．1919年，他开始对生物统计学产生浓厚的兴趣，并参加了罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计在农业科学和遗传学中的应用研究，年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：40分钟分值：45分一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013福建泉州二模．7）设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则点1D 到平面BD A 1的距离是( )23.A 22.B 332.C 332.D 2．（2011辽宁沈阳4月．8）如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别在AC D A 、1上，且,31,3211AC AF D A E A ==则( ) A ．EF 至多与AC D A 、1之一垂直B ．EF 是ACD A 、1的公垂线C ．EF 与1BD 相交D ．EF 与1BD 异面二、填空题（每题5分，共10分）3．（2013江苏南京一模．9）P 是二面角βα--AB 棱上的一点，分别在平面βα、上引射线,PN PM 、如果=∠=∠BPN BPM ,60,45 =∠MPN 那么二面角βα--AB 的大小为4．（2013湖南长沙一模．15）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为l ，E 、F 分别为CD BB 、1的中点，则点F 到平面E D A 11的距离为三、解答题（共25分）5．（2013北京房山一模．19）如图，四棱锥P - ABCD 的底面为正方形，侧棱PA 上底面ABCD ，且PA= AD =2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．(1)求证：PB∥平面EFH;(2)求证：PD ⊥平面AHF ；(3)求二面角H- EF -A 的大小．6．（2013河北衡水二模，19）如图，在四棱锥P - ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PD PA ==,,PD PA ⊥底面ABCD 为直角梯形，其中,,//AD AB AD BC ⊥0,1==BC AB 为AD 中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q - AC -D 的余弦值为?36若存在，求出QDPQ 的值；若不存在，请说明理由，智力背景数理统计学学科的奠基者 —一费歇尔（二）费歇尔热衷于数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据而不减少信息、对一个模型的参数估计等．最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面“科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效．费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的．在30—50年代，费歇尔是统计学的中心人物．1959年费歇尔退体后在淡失利亚度遭了最后三年．。

三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——平面向量(原卷版)

!!!" AC
×
!B!C!"=1，则
点 C 的轨迹为
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
!!!" !!!" 6．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP × AB
的取值范围是
A． (-2, 6)
B． (-6, 2)
C． (-2, 4)
D． (-4, 6)
AE
=
BE
，则
!!!" BD
×
!!!" AE
= _____________．
23．【2019 年高考江苏卷】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，
21．【2019 年高考全国 III 卷文数】已知向量 a = (2, 2), b = (-8, 6)，则
cos a, b =___________.
22．【2019 年高考天津卷文数】在四边形 ABCD中，
AD ∥ BC, AB = 2 3, AD = 5, ÐA = 30° ，点 E 在线段 CB的延长线上，且
P2 (cos b , - sin b )， P3 (cos (a + b ),sin (a + b ))， A(1, 0)，则（）
!!!" !!!" A． OP1 = OP2
!!!" !!!" B． AP1 = AP2
!!!" !!!" !!!" !!!" C． OA × OP3 = OP1 × OP2
2
|
!!!" PD
|=
_________；

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理-5年3年模拟北京高考

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理五年高考考点1 向量的线性运算及几何意义1．（2013陕西．3，5分）设a ，b 为向量，则,|,|||||b a b a =⋅是”“b a //的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2012浙江．5,5分）设a ，b 是两个非零向量． ( ) A ．若b a b a b a ⊥-=+则|,||||| B ．若,b a ⊥则||||||b a b a -=+C ．若|,|||||b a b a -=+则存在实数,λ使得a b λ=D ．若存在实数,λ使得||||||,b a b a a b -=+=则λ3．（2012辽宁，3,5分）已知两个非零向量a ，b 满足=+||b a |,|b a -则下面结论正确的是 ( )b a A //. b a B ⊥. ||||.b a C = b a b a D -=+.4．（2011山东，12，5分）设4321,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若),(2131R A A A A ∈=λλ∈=μμ(2141A A A A ),R 且,211=+μλ则称43,A A 调和分割⋅21,A A 已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是 ( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上5．（2011上海．17，5分）设54321,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同点，则使054321=++++MA MA MA MA MA 成立的点M 的个数为( )0.A 1.B 5.C 10.D6．（2013四川．12.5分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,0D ,A A AB O λ=+则=λ7．（2013江苏．10.5分）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，.32,21AD BC BE AB ==若1λ= 212,λλλ<+AL 为实数），则21λλ+的值为 8．（2011北京．10.5分）已知向量=-==c b a ),1,0(),1,3(⋅)3,(k 若a-2b 与c 共线，则=k 考点2 平面向量的基本定理及坐标表示1．(2013辽宁．3.5分)已知点A(l ，3)，B （4，-1），则与向量AB 同方向的单位向量为 ( ))5,5.(-A )5,5.(-B )5,5.(-C )5,5.(-D 2．（2013重庆．10，5分）在平面上，==⊥||||,2121OB OB AB AB .,121AB AB +=若,21||<则 ||的取值范围是( ))25,0.(A )27,25.(B )2,25.(C )2,27.(D 3．（2012大纲全国．6,5分）△ABC 中，AB 边的高为CD.若=,0,,=⋅=b a b a ===b a 则,2,1|| ( )b a A 3131.- b a B 3232.- b a C 5353.- b a D 5454.- 4．（2012广东，3，5分）若向量),7,4(),3,2(==CA BA 则=BC ( ))4,2.(--A )4,2.(B )10,6.(C )10,6.(--D5．（2012安徽．8，5分）在平面直角坐标系中，点0(0，0)，P(6，8)，将向量绕点0按逆时针方向旋转43π后得向量,则点Q 的坐标是 ( ) )2,27.(--A )2,27.(-B )2,64.(--C )2,64.(-D6．（2012重庆．6,5分）设,,R y x ∈向量c y b x a ),,1(),1,(==),4,2(-=且,//,c b C a ⊥则=+||b a ( )5.A 10.B 52.C 10.D7．（2010安徽．3,5分）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )智力背景分粟子三个小女孩一共采集到770颗栗子，她们打算如往常那样，根据她们年龄的大小按比例进行分配．以往，当玛丽拿4颗栗子时，尼莉拿3颗；而每当玛丽得到6颗时，苏茜可以拿7颗，试问：每个女孩可以分到多少颗栗子？答案是最小女孩可分到198颗，年纪稍大的分得264颗，最年长的可分得308颗．||||.b a A = 22.=⋅b a B b b a C 与-.垂直 b a D //. 8．（2013北京．13,5分）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若),,(R b a c ∈+=μλμλ则=μλ解读探究知识清单1．既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用有向线段来表示．2．向量B A 的大小，也就是向量B A 的长度（或称模），记作.||3．长度为O 的向量叫做零向量，记作0．长度为1个单位长度的向量叫做单位向量． 4．方向相同或相反的非零向量叫做①____，也叫做②____．规定：O 与任一向量平行．5．长度相等且③____的向量叫做相等向量．6．向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则． 7．向量加法的交换律：a+b=b+a ，向量加法的结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)．8．与a 长度相等，④____ 的向量叫做a 的相反向量，规定：O 的相反向量是09．实数λ与向量a 的乘积||a λ是一个向量，它的长度是a 的||λ倍，即.||||||a a λλ=它的方向:当0>λ时，与a 同向；当0<λ时，与a 反向．显然，当0=λ时，.0=a λ10.设a 、b 是任意向量，μλ、是实数，则实数与向量的积适合以下运算律：a ．结合律.;)()(b a a λμμλ= 第一分配律=+a )(μλ.;c a a μλ+第二分配律.)(b a b a λλλ+=+ 11.向量共线的判断：(1)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是⑤(2)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数.,λ使⑥ 12.平面向量基本定理：如果21.e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数,21λλh 使,2211e e a λλ+=其中21e e 、是一组基底． 13.平面向量的坐标运算：(1)若),0)(,(),,(2211=/==b y x b y x a 则,21x x b a ±=±（).21y y ± (2)若),,(),,(2211y x B y x A 则⋅--=),(1212y y x x Ak (3)若,),,(R y x a ∈=λ则).,(y x a λλλ= 14．向量平行的坐标表示：(1)如果),,(),,(2211y x b y x a ==则a∥b 的充要条件为⑦智力背景BSD 猎想数学家总是对诸如222z y x =+这样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷，欧几里得曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，就变得极为困难．事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解．当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通一戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点s=l 附近的性态．(2)三点),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 共线的充要条件为))())((12131312y y x x y y x x -----（.0=【知识拓展】1．向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素，在用有向线段表示向量时，要认识到有向线段的起点的选取是任意的，不要误以为向量是由起点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有“平移”意识——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．2．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成O ，而不应写成O ；在△ABC 中，0=++AF （如图）．3．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：（如图）用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线),(而差向量是另一条对角线),(方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．·知识清单答案突破方法方法1 平面向量的线性运算用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法，数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．例1 （2012山东聊城二模．10.5分）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b a ==则等于 ( )b a A 2141.+ b a B 3132.+ b a C 4121.+ b a D 3231.+解题思路解析如图，,DF AD AF +=由题意知，,31,:3:1:AB DF BE DE =∴== .3132)2121(312121b a b a b a +=-++=∴答案 B【方法点拨】向量的线性运算法则：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同，方法2 平面向量共线问题向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法，解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题.例2（2012浙江杭州二模．11,4分）已知点A （1，-2），点AB 的中点坐标为(3，1)，且与向量),1(λ=a 共线，则=λ解题思路解析由AB 的中点坐标为(3，1)可知B(5，4)，=∴AB ),6,4(又⋅=∴=⨯-∴23,0614,//λλa AB 答案23 【方法点拨】共线向量的求解方法：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：b a b b a λ=⇔=/)0(//或.01221=-y x y x可以利用两个向量共线的条件列方程，求未知数的值，智力背景奔跑的狗（一）一次在德国苏步青与一位有名的数学家同乘电车时，这位数学象出了一道关于奔跑的狗的题目让苏教授解答，逸道题是：甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行．甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只狗和他同时出发，狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙立即回头向甲奔去；遇到甲又回头向己奔去，蛊~甲、乙两人相遇时狗才停止问这只狗共跑了多少千米路？对这个问题，苏步青教授略加思索，就算出了正确的答案.三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：40分钟分值:45分一、选择题（每题5分，共20分）1．（2013北京石景山期末）AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，===),3,1(),4,2(A 则 ( ))4,2(⋅A )7,3(⋅B )1,1.(C )1,1.(--D2．（2013辽宁朝阳一模．5）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，,μλ+=则μλ+ 的值为 ( )21.A 31.B 41.C 1.D 3．（2012辽宁大连沙河口3月模拟．8）非零不共线向量,且,02y x P +=若),(R AB PA ∈=λλ则点Q(x ，y)的轨迹方程是( )02.=-+y x A 012.=-+y x B 022.=-+y x C 022.=-+y x D4．（2012广东佛山三模．5）设a ),1,(),2,1(0-=-=O b a b ,0,0),0,(>>-=为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是 ( )二、填空题（每题5分，共15分）5．（2013北京西城高三上学期期末）已知向量==b a ),3,1().3,2(),1,2(=-c 若向量C 与向量b ka +共线，则实数=k6．（2013宁夏吴忠3月．15）在平面直角坐标系中，已知=AB ),1,2(),3,1(-=-AC 则=||BC 7．（2013江苏苏州一模．9）如图，在△ABC 中，点0是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,C ,B AN n A AM m A ==则n m +的值为三、解答题（共10分）8．（2013山东莱芜一模，17）如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设.,b a == (1)用a 和b 表示向量;、 (2)若,OA OE λ=求实数λ的值．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：45分钟分值：45分一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013陕西黄陵一模．6）已知向量,2(),3,1(=-=),2,1(1-+=-k k 若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )2.-=k A 21.=k B 1.=k C 1.-=k D 2．（2013湖北襄樊=模．8）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为B A ∠∠、.、C ∠的对边，且,a b c >>若向量)1,(b a m -=和,c b n -=（)1平行，且,54sin =B 当△ABC 的面积为23时，则=b ( ) 231.+A 2.B 4.C 32.+D 二、填空题（每题5分，共10分）3．（2013福建南平一模，14）设,,R y x ∈向量,1),1,(（==b x a )4,2(),-=c y 且,//,c b c a ⊥则=+||b a4．（2011陕西西安5月．14）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若,3,2λ+==C A 则=λ智力背景奔跑的狗（二）解答：狗从甲、乙出发时起，直到两人相遇时止，一直在甲、乙之间奔跑，从未停止过．因此它奔跑的时间，就是甲、乙两人从开始行走到相遇时的时间，这就是解答本题的关键．时间知道了，狗跑的路程也就能算出来了．甲、乙两人从开始走到相遇共用100÷(6+4)=lO 小时，所以狗跑的总路程是10×10 =100千米．三、解答题（共25分）5．（2013吉林松原5月．18）已知平行四边形ABCD ，从平面AB-CD 外一点O 引向量,0k =OD K OH ,OC K C ,B K F ===O O O 求证：(1)四点E ，F ，G ，H 共面； (2)平面ABCD//平面EFGH.6．（2012江西九江5月模拟．17）在□ABCD 中，=A ),1,1(),0,6(点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1)若),5,3(D =A 求点C 的坐标； (2)当|D |||A =时，求点P 的轨迹．。

高考数学(文)5年真题精选与模拟专题01 集合 (2)

专题 7 平面向量【2012高考真题精选】1．（2012·浙江卷设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2．（2012·陕西卷）已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．3．（2012·广东卷）若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)【答案】A 【解析】∵BC →＝BA →－CA →，∴BC →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)，所以选择A.4．（2012·全国卷） △ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 【答案】D 【解析】本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a 和b 作为基底去表示向量AD →.易知a ⊥b ，|AB |＝5，用等面积法求得|CD |＝255， ∵AD ＝AC 2－CD 2＝455，AB ＝5，∴AD →＝45AB →＝45(a －b )，故选D.5．（2012·安徽卷）在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)【答案】A 【解析】设∠POx ＝α，因为P ()6，8，所以OP →＝(10cos α，10sin α)⇒cos α＝35，sin α＝45，则OQ →＝⎝⎛⎭⎫10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4，10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π4＝(－72，－2)．故答案为A. 6．（2012·江西卷）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．107．（2012·重庆卷）设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10【答案】B 【解析】因为a ⊥c ，所以a ·c ＝0，即2x －4＝0，解得x ＝2，由b ∥c ，得－4＝2y ，解得y ＝－2，所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋－1 2＝10.8．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．9．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a|＝|b|D ．a ＋b ＝a －b10．（2012·课标全国卷）已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.11．（2012·安徽卷）若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．【答案】－98【解析】本题考查平面向量的数量积，模的有关运算．12．（2012·广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ∘b ＝( ) A.12 B ．1 C.32 D.5213．（2012·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________.DE →·DC →的最大值为________．14．（2012·重庆卷）设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．1015．（2012·浙江卷）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝－16.16．（2012·湖南卷）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.2317．（2012·福建卷）如图1－4，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e＝12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．图1－4【答案】解：解法一： (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.18．（2012·山东卷）已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos2x (A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．因此，g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6. 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为（－3,6）． 19．（2012·天津卷）已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R.若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222【答案】A 【解析】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积的运算，考查数据处理能力，中档题．BQ →·CP →＝(AQ →－AB →)·(AP →－AC →) ＝（(1－λ)AC →－AB →）·(λAB →－AC →)＝－(1－λ)AC →2－λAB →2＋[]1－λλ＋1AB →·AC →＝－2λ2＋2λ－2＝－32，解之得λ＝12.20．（2012·浙江卷）设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |垂直，故A 错；再取a ＝()2，0，b ＝()1，0，满足a ＝λb ，但不满足||a ＋b ＝||a －||b ，故D 错；取a ＝()2，0，b ＝()0，－1，满足a ⊥b ，但不满足||a ＋b ＝||a －||b ，故B 错，所以答案为C.21．（2012·四川卷）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |【答案】C 【解析】要使得a |a |＝b|b |，在a ，b 都为非零向量的前提下，必须且只需a 、b 同向即可，对照四个选项，只有C 满足这一条件．22．（2012·山东卷）如图1－4所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．【2011高考真题精选】1. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=( )(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF【答案】D【解析】BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.2. (2011年高考全国卷理科12)设向量a b c 、、满足|a |=|b |=1, a b ⋅ 1=2-,，,a c b c <--> =060，则c 的最大值等于(A)2(D)1 【答案】A【解析】如图，构造AB = a , AD = b , AC =c ,120,60BAD BCD ∠=∠= ，所以,,,A B C D 四点共圆，可知当线段AC 为直径时，c最大，最大值为2.ABDC3. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量α ，β 满足1α= ，1β≤，且以向量α ，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α 与β 的夹角θ的取值范围是。

2024年全国高考数学真题分类( 复数和平面向量)汇编(附答案)

2024年全国高考数学真题分类（复数和平面向量）汇编一、单选题 1．（2024ꞏ全国）若1i 1zz =+-，则z =（） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．（2024ꞏ全国）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024ꞏ全国）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．24．（2024ꞏ全国）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．2C ．2D ．15．（2024ꞏ全国）设z =，则z z ⋅=（） A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024ꞏ全国）设5i z =+，则()i z z +=（） A ．10iB ．2iC ．10D ．2-7．（2024ꞏ全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b”的充分条件8．（2024ꞏ北京）已知i 1iz=-，则z =（）． A ．1i -B ．i -C ．1i --D ．19．（2024ꞏ北京）已知向量a ，b ，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024ꞏ天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅-= ．11．（2024ꞏ天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．12．（2024ꞏ上海）已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．13．（2024ꞏ上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．参考答案1．C【详细分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【答案解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C. 2．D【详细分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值. 【答案解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D. 3．C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案解析】若1i z =--，则z ==故选：C. 4．B【详细分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【答案解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而= b 故选：B. 5．D【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案解析】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D 6．A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A 7．C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案解析】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.8．C【详细分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【答案解析】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.9．A【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【答案解析】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【答案解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅= ，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.12．15【详细分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【答案解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15． 13．2【详细分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【答案解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m∈R ，2232311bmbb bb⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m=，故答案为：2.。

历届高考中的向量试题汇编大全

A
D
B
图1
C
5、（2006 湖北文）已知非零向量 a、b，若 a＋2b 与 a－2b 互相垂直，则
a b
（）
A.
1 4
B. 4
C.
1 2
D. 2
6．（2006 湖北理）已知向量 a ( 3,1) ，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b

3 ，则 b
1 3 133 , 1 ） , ） C．（ , ） D．（0 2 2 4 4 7．（2006 湖南文）已知向量 a (2, t ),b (1,2), 若 t t1 时， a ∥ b ； t t 2 时， a b ，则 A． t1 4,t 2 1 B. t1 4,t 2 1 C. t1 4,t 2 1 D. t1 4,t 2 1
o
）
A． b1 b2 b3 0 C． b1 b2 b3 0
B． b1 b2 b3 0 D． b1 b2 b3 0
Hale Waihona Puke 14．（2006全国Ⅱ卷文）已知向量 a ＝（4，2），向量 b ＝（ x ，3），且 a // b ,则 x ＝（A）9 (B)6 (C)5 (D)3

15．（2006 山东文）设向量 a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量 4a、3b－2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 为（） (A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6） 16．（2006 山东理）设向量 a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为（） (A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) → → → → 1 AB AC AB AC → → → 17. （2006 陕西文、理）已知非零向量AB与AC满足( + )· BC=0 且 · = , 则 → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形） C B

(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示文湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示考点平面向量的基本定理及坐标表示1．（2013辽宁，5分）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：选A 本题主要考查向量的坐标表示．由已知，得AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，因此与AB 同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 2．（2013福建，5分）在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况．依题意得，AC ²BD ＝1³(－4)＋2³2＝0.所以AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为12|AC |²|BD |＝12³5³20＝5. 3．（2013陕西，5分）已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．0解析：选C 本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示．a ∥b 的充要条件的坐标表示为1³2－m2＝0，∴m ＝± 2.4．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t)，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力．AB ＝OB －OA ＝(3,2－t)，由题意知OB ²AB ＝0，所以2³3＋2(2－t)＝0，t ＝5.答案：55．（2013四川，5分）在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：本题主要考查几何最值问题，从几何方法入手，用代数手段解决，意在考查考生对解析几何和平面几何的结合与转化的能力．取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD. 如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．答案：(2,4)6．（2012广东，5分）若向量AB ＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝( )A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2,2)解析：AC ＝AB ＋BC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．答案：A7．（2012辽宁，5分）已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x)．若a²b＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x)可得a²b＝2－x ＝1，故x ＝1.答案：D8．（2012陕西，5分）设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12 C ．0 D ．－1解析：由向量互相垂直得到a²b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.答案：C9．（2011广东，5分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c 则λ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2解析：可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb)∥c 得(1＋λ)³4－3³2＝0，∴λ＝12答案：B10．（2010新课标全国，5分）a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－1665解析：由题可知，设b ＝(x ，y)，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，由cos 〈a ，b 〉＝a²b |a| |b|＝1665. 答案：C11．（2012安徽，5分）设向量a ＝(1,2m)，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m)．若(a ＋c)⊥b ，则|a|＝________.解析：a ＋c ＝(3,3m)，由(a ＋c)⊥b ，可得(a ＋c)²b＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a|＝ 2. 答案： 212．（2011北京，5分）已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析：a －2b ＝(3，3)，根据a －2b 与c 共线，得方程3k ＝3²3，解得k ＝1. 答案：1。

5年高考3年模拟高考英语

5年高考3年模拟高考英语篇一：【英语】5年高考3年模拟分类汇编系列--定语从句第十章定语从句第一部分近年高考题荟萃2009年高考题1.(09山东24)Whenever I met her, _________ was fairly often, she greeted me with a sweet smile. A. who B. which C. when D. that 答案 B解析本题考查连词的用法，非限制性定语从句，指代前面一个句子，故用which.2.(09宁夏海南28)She brought with her three friends, none of A. them B. who C. whom D. these 答案C解析考查定语从句中的非限制性定语从句。

句意为：她带着她的三个朋友，他们三个中没有一个人我曾见过。

表示“部分的词语+of+关系代词” 在非限制性定语从句指人只能用whom。

3.(09江苏23)_ local 5-star hotels charged 6,000 yuan for one night.A. ifB. whenC. whichD. since 答案 B解析由于金融危机，当地五星级酒店一晚收费6000元的日子不复存在了。

when引导的从句做days的定语。

4.(09天津5)A person ______ e-mail account is full won?t be able to send or receive any e-mails.A. who B. whom C. whoseD. whoever答案C 5.(09陕西11). Gun control is a subject Americans have argued for a long time.A. of whichB. with whichC. about whichD. into which 答案 C解析考查定语从句，先行词是Gun control，指物，关系词在从句中做介词的宾语，介词前置，介词与从句动词构成搭配argue about sth，选C。

2023年高考数学真题分训练平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理(含答案含解析)

专题 15 平面向量的概念、线性运算、平面向量根本定理年份题号考点考查内容2023卷 1 文6平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量的线性运算卷 1 理 7平面向量根本定理及其应用主要考查平面向量的线性运算及平面向量根本定理卷 2 理 13平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量共线的充要条件2023卷1文 2平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的坐标与点坐标的关系、平面向量坐标运算2023卷 2 文 13 平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量坐标的线性运算及向量共线的充要条件卷1理 6 文 7平面向量根本定理及其应用主要考查平面向量的线性运算及平面向量根本定理2023卷 3理 13 文 13 平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件2023 卷 2文 3平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量坐标运算及模公式考点 47 平面向量的概念与线性运算1．(2023 新课标 I ，文 6)设 D , E , F 分别为∆ABC 的三边 BC , CA , AB 的中点，则 EB + FC =33A. BCB ．（答案）C 1 AD2C ． ADD ． 1 BC2（解析） EB + FC =1 (CB + AB ) + 1 (BC + AC ) = 1( AB + AC ) = AD ，应选 C ． 2 2 22．(2023 福建)在以下向量组中，可以把向量a =(3,2) 表示出来的是A ．e 1 =(0,0),e 2 = (1,2) C ．e 1 =(3,5),e 2 =(6,10) （答案）BB ．e 1 =(-1,2),e 2 =(5,-2) D ．e 1 =(2,-3),e 2 =(-2,3) （解析）对于 A ，C ，D ，都有e 1 ∥ e 2 ，所以只有 B 成立．考点 48 平面向量根本定理及其应用1．(2023 江苏 13)在∆ABC 中， AB = 4 ， AC = 3 ， ∠BAC = 90︒， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P ，使得3AP = 9 ，假设 PA = mPB + (2- m )PC ( m 为常数)，则CD 的长度是．18 （答案）53 （解析）由向量系数m + ( - m ) = 为常数，结合等和线性质可知 2 2 PA PD= 2 ，1故 PD =2PA = 6 ， AD = PA - PD = 3 = AC ，故∠C = ∠CDA ，故∠CAD =π- 2C ．3AC 3 CD AD在∆ABC 中， cos C = = ；在∆ADC 中，由正弦定理得 = ，BC 5 sin ∠CAD sin Csin(π- 2C ) sin 2C 3 18即CD = ⋅ AD = ⋅ AD = 2 cos C ⋅ AD = 2 ⨯ ⨯ 3 = ．sin C sin C5 52．(2023•新课标Ⅰ，理 6 文 7)在∆ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB = ()A ． 3 - 1B ． 13C ． 31D ． 13AB AC4 4（答案）AAB - AC4 4AB + AC4 4AB + AC4 42EB AB AE AB AD =11AB AC （解析）在∆ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，∴ = - = - 12AB - ⨯ 2 2( AB + AC ) = 3 - 1，应选 A ． 4 43．(2023 新课标Ⅰ，理 7)设 D 为ABC 所在平面内一点 BC = 3CD ，则( )(A) AD = - 1 AB + 4AC (B) AD = 1 AB - 4AC3 3 3 3(C) AD =4 1AB + AC (D) AD =4 1AB - AC 3 33 3（答案）A1114 （解析）由题知 AD = AC + CD = AC + BC = AC + 3 3 ( AC - AB ) = = - AB + 3 3AC ，应选 A ． 4．(2023 广东)设a 是已知的平面向量且a ≠ 0 ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量 c ，使 a = b + c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a = λb + μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a = λb + μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a = λb + μc ；上述命题中的向量b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）B（解析）利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的根本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不肯定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 λb + μc =λ+μ≥ a ，所以④是假命题．综上，此题选 B ．5．(2023 江苏)如图，在同一个平面内，向量OA ， OB ， OC 的模分别为 1，1，， OA 与OC 的夹角为α ，且 tan α= 7 ， OB 与 OC 的夹角为 45．假设 OC = m OA + n OB ( m ， n ∈ R ) ，则m + n =．（答案）3（解析）由tan α= 7 可得sin α=7 2， cos α=2，由OC = m OA + n OB 得1010⎧ 2 ⎧⎪OC ⋅OA = mOA + nOB ⋅OA ⎪ 2 cos α= m + n c os(α+ 45 ) ⎨ 2 ，即⎨ ，两式相加得，2 cos 45 = m cos(α+ 45 ) + n ⎩OC ⋅OB = mOB ⋅OA + nOB⎩ 2(cos α+ cos 45 ) = (m + n )(1+ cos(α+ 45 )) ，所以2 ⨯2+ 2 ⨯2m + n = 2 cos α+ 2 cos 45 = 10 2 = 3 ，所以 m + n = 3 ． 1+ cos(α+ 45)2 2 7 2 2 1+ ⨯ - ⨯ 10 2 10 2λ6．(2023 北京)向量 a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图，假设c = λa + μb (λ，μ∈R )，则 μ=．（答案）41 （解析）如图建立坐标系，则 a = (-1,1) ，b = (6, 2) ，c = (-1, 3) ．由c = λa + μb ，可得λ= -2,μ= -，2λ∴ μ= 47．(2023 北京)在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ，假设 MN = x AB + y AC ，则 x =2AB c / /(2a a | a b | ； y = ．1（答案） 2 1 - 61 1 11 1 1 （解析）由 MN = MC + CN = AC + CB = AC + ( AB - AC ) = AB - AC = x AB + y AC ．所3 2 3 2 2 61 1 以 x = ， y = - ．2 6考点 49 平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．(2023•新课标Ⅱ，文 3)已知向量 a = (2, 3) ， b = (3, 2) ，则| a - b |= ( )A ．（答案）AB.2 C ． 5 D ．50（解析） a = (2, 3) ，b = (3, 2) ，∴- b = (2 ，3) - (3 ，2) = (-1 ，1) ，∴ -= ，应选 A ．2．(2023 辽宁)已知点 A (1, 3) ， B (4, -1) ，则与向量 AB 同方向的单位向量为⎛ 34 ⎫⎛ 43 ⎫⎛ - 3 4 ⎫⎛ 4 3 ⎫A ．，- ⎪B ．，- ⎪C ．， ⎪D ． - ， ⎪⎝ 55 ⎭ （答案）A⎝ 55 ⎭ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 5 5 ⎭（解析） AB = (3, -4) ，所以| AB |= 5 ，这样同方向的单位向量是 1 = (3 , - 4) ． 5 5 53．(2011 广东)已知向量a =(1，2)， b =(1，0)， c =(3，4)．假设λ为实数， (a + λb )∥c ，则λ=A.14（答案）BB.12C ．1D ．2（解析）a + λb = (1+ λ, 2) ，由(a + λb ) ∥ c ，得6 - 4(1+ λ) = 0 ，解得λ= 124．( 2023•新课标Ⅲ，理 13)已知向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ) ．假设+ b ) ，则λ= ．（答案） 12（解析）向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ，∴+ b = (4, 2) ， c = (1,λ) ，+ b ) ， 2a∴ 1 = λ，解得λ= 1．c / /(2a4 2 25．(2023 新课标，文 13) 已知向量 a =(m ，4)，b =(3，−2)，且 a ∥b ，则 m = ．（答案） -6225⎨⎩1（解析）向量 a ， b 不平行，向量λa + b 与 a + 2b 平行， a + b = t (a + 2b ) = ta + 2tb ，（解析）因为 a ∥b ，所以-2m - 4 ⨯ 3 = 0 ，解得 m = -6 ．6．(2023•新课标Ⅱ，理 13)设向量 a ， b 不平行，向量λ + b 与+ 2b 平行，则实数λ= ．（答案） 12 a a∴λ∴ ⎧λ= t ⎩1 = 2t，解得实数λ= 1 ．27．(2023 江苏)已知向量a = (2,1) ， b = (1, -2) ，假设 m a + n b = (9, -8) ( m , n ∈R)，则 m - n的值为．（答案）－3（解析）由题意得： 2m + n = 9, m - 2n = -8 ⇒ m = 2, n = 5, m - n = -3.8．(2023 北京)已知向量a 、b 满足 a = 1 ， b = (2,1) ，且λa + b = 0 (λ∈ R )，则 λ = （答案） ⎧cos θ= - 2（解析）∵| a |= 1，∴可令 a = (cos θ, s in θ) ，∵ λa + b = 0 ，∴⎧λcos θ+ 2 = 0，即⎪λ，解⎨λsin θ+1 = 0⎨⎪sin θ= - 1 ⎩ λ得λ2 = 5 得| λ|=．9．(2023 陕西) 设0 <θ< π，向量a = (sin 2θ，cos θ) ， b (cos θ，1)，假设a ∥b ，则2tan θ= ．1（答案）2（解析）∵ a ∥b ，∴ sin 2θ= cos2θ，∴ 2 sin θcos θ= cos 2θ，∵θ∈π(0, ) 2，∴tan θ= ． 25。

5年高考3年模拟数学答案

5年高考3年模拟数学答案【篇一：五年高考三年模拟(数学)-极限】部分五年高考荟萃2009年高考题一、选择题2x2?ax?b)?2，其中a,b?r，则a?b的值为 1、（09重庆理8）已知lim(x??x?1a.?6 【解析】2（）b.?2c.2d.6lim2x?ax?ax?bx?b(2?a)x?(a?b)x?b?limlimx??x??x??x?1x?122(2?a)x?(a?b)?1?1xb?2?2?a?0则?,解得a?2,b??4,故a?b?2?(?4)?6 ??(a?b)?2答案 d2、（09湖北理6）设?x)2n?a0?a1x?a2x2?...?a2n?1x2n?1?a2nx2n， 222则lim[(a0?a2?a4?...?a2n)?(a1?a3?a5?...?a2n?1)]?n??（）a.-1b.0c.1d.【解析】令x?0得a0?令x??22n1?n令x?1时?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 21)2n?a0?a1?a2?????a2n两式相加得：a0?a2?????a2n??1)2n??1)2n21)2n?1)2n2两式相减得：a1?a3?????a2n?1?代入极限式可得，故选b 答案 b二、填空题3、（09陕西理13）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则limsn?n??n2?a6?12?a1?5d?12?a1?2snn?1snn?1解析：???s?n(n?1)???lim?lim?1???n2n??n2n??ns?12a?d?12d? 2nn??1?3答案 12005—2008年高考题一、选择题x3?x21、（2007年江西）limx?1x?1Ａ．等于0 答案 bＢ．等于1（）Ｃ．等于3Ｄ．不存在p?1??1???1n?2、（2007年湖北）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim? ?（）qn→??1??1???1?n?a．0 答案Ｃ3、（2006湖南）数列{an}满足:a1?b．1pqd．p?1q?11,且对于任意的正整数m,n都有am?n?am?an,则 3()lim(a1?a2?n???an)?123b.c. d.2 2321【解析】数列{an}满足: a1?, 且对任意正整数m,n都有3111am?n?am?ana2?a1?1?a1?a1?，an?1?an?a1?an，∴数列{an}是首项为，393a.公比为1a11?，选a. 的等比数列。

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23.（2007广东）若向量、满足的夹角为120°，则＝.
24.(2005上海)直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.
25.(2005江苏)在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是________。
三、解答题
26.（2007广东）已知△ 顶点的直角坐标分别为 .
18.（2008北京）已知向量与的夹角为，且，那么的值为
19.（2008天津）已知平面向量，．若，则 _____________．
20.（2008江苏），的夹角为，，则．
21.（2007安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则（用表示）．
22.（2007北京）已知向量．若向量，则实数的值是
小值为()
A. B. C. D.
11.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则 ( )
A．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝
12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量，则 ( )
A. B. C. D.
13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为，，则 ( )
16.（2009玉溪一中期末）设函数
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）若函数平移后得到函数的图像，求实数m,n的值。
17.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）已知向量
（1）当时，求的值；
（2）求在上的值域．
18.(青岛市2009年高三教学统一质量检测)已知向量
，设函数 .
(Ⅰ)求函数的最大值；
D.以，为邻边的平行四边形的面积
23.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（）
A． B． C． D．
24.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是（）
A．-2B．0C．1D．2
25.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到 , 的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于( )
二、填空题
15.（2008陕西）关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）
16.（2008上海）若向量，满足且与的夹角为，则．
17.（2008全国II）设向量，若向量与向量共线，则
28.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为 .
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中 ,则
的最大值是________.
29.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或 = + ，其中， R，则 + = _________.
16.（2009湖南卷文）如图1，D，E，F分别是 ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则| a＋2b |等于（）
A. B.2 C.4D.12
18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则 ( )
n＝( ， )。
（1）若m•n=1,求的值;
（2）记f(x)=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。
15.（2009牟定一中期中）已知：，（）.
(Ⅰ)求关于的表达式，并求的最小正周期；
(Ⅱ)若时，的最小值为5，求的值.
A．充分不必要条件B.必要不充分条件
C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件
22.（2009福建卷文）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， ∣ ∣=∣ ∣,则∣ • ∣的值一定等于( )
A．以，为邻边的平行四边形的面积
B.以，为两边的三角形面积
C．，为两边的三角形面积
A．－1B．－2C．0D．1
4.（2009上海闸北区）已知向量和的夹角为，，且，则 ( )
A． B． C． D．
5．(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知、是不共线的，则、、三点共线的充要条件是：（）
A． B． C． D．
6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知向量夹角的取值范围是（）
（2）若 ⊥ ，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积.
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008全国I）在中，，．若点满足，则（）
A． B． C． D．
2.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若， ,则（）
A．（－2，－4）B．（－3，－5）C．（3，5）D．（2，4）
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
37.（2009湖南卷文）已知向量
（1）若，求的值；
（2）若求的值。
38.(2009湖南卷理)在，已知，求角A，B，C的大小.
39.（2009上海卷文）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
， .
（1）若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；
A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.
34.(2009年广东卷文)（已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若， ,求的值
\
35.（2009江苏卷）设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证： ∥ .
36.（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中．
(1）若，求sin∠ 的值;
（2）若∠ 是钝角，求的取值范围.
第二部分三年联考题汇编
2009年联考题
一、选择题
1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量等于（）
A．9B．1C．－1D．－9
2.（2009昆明市期末）在△ABC中，
( )
A． B
C． D．1
3.（2009玉溪市民族中学第四次月考）已知向量反向，则m=（）
A． B． C． D．
二、填空题
7. (山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知，且，则与的夹角为．
8.（2009云南师大附中）设向量 _________
9.（2009冠龙高级中学3月月考）若向量与的夹角为，，则 _________.
10.（2009上海九校联考）若向量，则向量的夹角等于
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b= ，则向量 ( )
A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线
2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为()A. 6 B.2 C. D.
3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为( )
A． B.4C． D．
4.（2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则（）
A． B． C． D．
5.（2009北京卷文）已知向量，如果
那么()
A．且与同向B．且与反向
A．且c与d同向B．且c与d反向
C．且c与d同向D．且c与d反向
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）
A. B. C. D.
9.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a= (2,1)，a·b= 10，︱a+b︱= ，则︱b︱=
A. B. C.5 D.25
10.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且 · ＝0，则的最
3.（2008湖北）设 , , 则（）
A. B. C. D.
4.（2008湖南）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与 ( )
A.反向平行B.同向平行
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
5.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）
A. B. C. 4 D.2
14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
A.重心外心垂心B.重心外心内心
C.外心重心垂心D.外心重心内心
15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )
A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D. a+3b
Ｃ．Ｄ．
9.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（）
A． B． C． D．
10.（2007湖南）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（）
A． B． C． D．
11.（2007天津）设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（）
Ａ．[-6，1]Ｂ．Ｃ．（-6，1]Ｄ．[-1，6]
(Ⅱ)在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，，且的面积为， ,求的值.
19.(黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测)已知△ABC的面积S满足
（1）求的取值范围；
A．150°B.120°C.60°D.30°