2017年“庆元旦”九年级数学竞赛试卷
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、设实数a 、b 满足1-=-b a ，则ab b a 333+-的值为（ B ） A 、3-B 、1-C 、1D 、3解析：()()()13332222233-=--=+---=+++-=+-b a ab b ab a ab b ab a b a ab b a 2、若实数a 为常数，关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤+722 x aa x 的整数解只有8个，则a 的值为（C ）A 、1-B 、0C 、1D 、2解析：()10122127722222=⇒≤-⇒+-≤⇒+--⇒⎩⎨⎧-≤+a a a a a a x x a a x 3、在菱形ABCD 中，4=AB ，︒=∠60A ，E 为AB 的中点，若在线段BD 上取一点P ，则PE PA +的最小值是（ D ）A 、32B 、4C 、52D 、72解析：如图，连结AC ，EC 交BD 于点P ，则点P 是所求的 菱形ABCD 中，4=AB ，︒=∠60A ，E 为AB 的中点 32=⇒DE281612222=+=+=⇒DC DE CE72=⇒CE4、对于任意实数a ，b ，c ，用{}c b a M ，，表示三个数的平均数，用{}c b a ，，min 表示这三个数中最小的数，若{}=-+++y x y x y x M 2222，，{}y x y x y x -+++2222min ，，，则=+y x （A ）A 、4-B 、2-C 、2D 、4解析：不妨设a 最小，则()()033=-+-⇒=++⇒=++⇒a c ab ac b a a cb a 00≥-≥-⇒ac a b ， c a b ==⇒故4132222-=+⇒-=-=⇒-=+=++y x y x y x y x y x ，5、如图，ABC Rt ∆的斜边AB 与⊙O 相切于点P ，直角顶点C 在⊙O 上，若22=AC ，4=BC ，BEACDP则⊙O 的半径是（ B ）A 、3B 、32C 、4D 、62解析：如图，由射影定理得： DC AC BC ⋅=⇒2 24=⇒CD48222=+=⇒BC CD BD34=⇒BD 32=⇒BO6、不超过()615+的最大整数是（ D ）A 、1142B 、1145C 、1148D 、1151解析：()()3652615+=+a =+⇒526，b =-5261612==+⇒ab b a ，b a ，⇒是016122=+-x x 的两根016122=+-⇒a a ，016122=+-b b a a a 161223-=⇒， b b b 161223-=()()()[]()115216212161222233=+--+=+-+=+⇒b a ab b a b a b a b a由10103 b b ⇒ 3a ⇒的最大整数不超过1151二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、若012=-+x x ，则()()11124---+x x x x 的值为 ．答案：3解析：()()11124---+x x x x ()()()()()3221111122322=++=++=--+-++⇒x x xxx x x x x x x x 8、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上，且︒=∠20BAE ，︒=∠25DAF ，则CEF ∠等于 ．答案：︒40解析： 如图所示，ABG ADF ∆≅∆AE AE AD AG DAF GAB ==︒=∠=∠⇒，，25 AFE AGE ∆≅∆⇒ ︒=∠=∠⇒70AEB AEF︒=∠⇒40CEF9、小丽与小明一起用A 、B 两个骰子玩游戏，以小丽掷的A 骰子朝上的数字为x ，小明掷的BBEAFGBDC骰子朝上的数字为y ，来确定点（x ，y ），那么，他们各掷一次所确定的点P （x ，y ）落在已知抛物线542+-=x x y 的概率为 ．答案：91解析：两个立方体都有6个数字，那么共有36种可能，可在抛物线上的有（1，2）、（2，1）、（3，2）、（4，5）共4种情况，故概率为9110、如图，设点P 在函数x y 6=的图像上，x PC ⊥轴于点C ，交函数xy 2=的图像于点A ，y PD ⊥轴于点D ，交函数xy 2=的图像于点B ，则四边形P AOB 的面积为 ．答案：4 解析：四边形P AOB 的面积=矩形ODPC AOC DBO S S ∆∆--=426=- 三、（本大题满分20分）11、已知关于x 的一元二次方程052=+-kx x 与052=-+k x x 只有一个公共的实根，求关于x 的方程k kx x =+2所有的实根之和。
2017年全国初中数学竞赛试题参考答案(word版)
2017年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2017元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
2017年全国初中数学联合竞赛试题(初三组)
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试(A) 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++＝ （ ）A. 2．B. 1．C. 0．D. 1-．2．已知△ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下三个结论： （1）以（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ） A ．0． B ．1． C ．2． D ．3．3．若正整数满足a b c ≤≤且2()abc a b c =++，则称为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1． B ．2． C ．3． D ．4．,,a b c (,,)a b c 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ）A. 109．B. 87． C. 65． D. 43．5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知15BC =，6BF =，3BD =，则AE ＝ （ ） A. B. C.．D..6．对于正整数n ，设n a 1232001111a a a a ++++=A.1917． B. 1927． C. 1937． D. 1947．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．=的值为_______．a 2．如图，平行四边形中，72ABC ∠=︒，AFBC ⊥于点F ，AF交于点，若2DE AB =，则AED ∠＝_______．ABCD BD ,,a b c.3．设,m n 是正整数，且m n >.若9m与9n的末两位数字相同，则m n -的最小值为 ．4．若实数,x y 满足3331x y xy ++=，则22x y +的最小值为 ．第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)y ax bx c c =++≠的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数3233y a x b x c =++的图象与x 轴的交点个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．不确定．2．题目和解答与（A ）卷第1题相同. 3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同. 4．已知正整数,,a b c 满足26390ab c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++＝ （ ）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460． 5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ） A. 43． B. 65． C. 87． D. 109．6．题目和解答与（A ）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．题目和解答与（A ）卷第1题相同. 2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，,D E 分别为线段,BC OA 的中点，7ACB OED ∠=∠，5ABC OED ∠=∠，则OED ∠＝_________.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4. 题目和解答与（A ）卷第4题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知实数,x y 满足3x y +=，221112x y x y +=++，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC >，45BAC ∠=︒，E 是BAC ∠的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB ⊥.已1AF =，5BF =，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)a b ，使得34938b a=⨯+.第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数,,a b c 满足a b c ≤≤，16a b c ++=，22211284a b c abc +++=，求c 的值.二、（本题满分25分）求所有的正整数m ，使得21221m m --+是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ∠=∠，OA OD ⊥，OB OC ⊥.求证：2222AB CD AD BC +=+.。
全国初中数学竞赛试题及答案(2017年)
2017年全国初中数学竞赛试题考试时间2017年3月20日9︰30－11︰30满分150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。
每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。
如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=，那么(,)x y 为（ B ）。
A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)-3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ C ）A ．83-B ．53-C ．1D ．1134、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ∆＝，BCF 3S S ∆＝，CEF 4S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S SB ．13S S ＝24S SC ．13S S ＞24S SD ．不能确定5、设33331111S 1232011＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。
初三数学竞赛试卷带答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -√2B. 0.5C. 3D. 2/32. 若a，b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 4B. -4C. 3D. 13. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = |x|D. y = x^34. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S9 = 90，则公差d为（）A. 2C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共20分）6. 若一个数的平方等于它本身，则这个数是_______。
7. 二项式定理中，(x + y)^n展开式中，x的系数是_______。
8. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = _______。
9. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x^2 - 5x的值为_______。
10. 一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则这个三角形的周长为_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：3x^2 - 5x + 2 = 0。
12. 已知函数y = 2x - 3，求证：对于任意实数x1，x2，都有y1 + y2 ≥ 2y。
13. 在△ABC中，AB = AC，点D是边BC上的一点，且BD = DC。
若∠ADB = 40°，求∠A的度数。
答案一、选择题1. A2. A3. D4. A5. A二、填空题6. 07. C_n^1 x^(n-1) y9. -510. 28三、解答题11. 解：分解因式得 (3x - 2)(x - 1) = 0，所以 x = 2/3 或 x = 1。
12. 证明：设x1 < x2，则y1 = 2x1 - 3，y2 = 2x2 - 3。
元旦杯初三数学竞赛试卷
1元旦杯初三数学竞赛试卷考试时间：120分钟 试卷满分：140分一、选择题（每小题7分，共42分）1、化简 ）A 、345-B 、134-C 、5D 、12、如图（1）用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ ）A 、2B 、25C 、54D 、161753、已知z y x ,,为3个非负实数，且满足,2,523=-+=++z y x z y x 若z y x S -+=2，则S 的最大值与最小值的和为（ ） A 、5 B 、423 C 、427 D 、4354、关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）A 、2116-<<-aB 、2116-<≤-aC 、2116-≤<-aD 、2116-≤≤-a 5、如图（2）在直角梯形ABCD 中，底,,8,13AB AD CD AB ⊥==并且,12=AD 则A 到BC的距离为（ ）A 、12B 、13C 、131212⨯ D 、10.5 6、设直线(1)nx n y ++=（n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为(1,2,3,,2000)n S n =…，则122000S S S +++…的值为（ ）A 、1B 、19992000C 、2000D 、2001二、选择题（每小题7分，共28分）7、观察数组（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19）……，则2007在第 组。
8、如图（3），在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线b x y +=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b = 。
9、当23-=x 时，代数式12924++-x x x 的值是 。
10、设y x N 9223+=为完全平方数，且N 不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对()y x ,共有 对。
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。
2017九年级数学竞赛试题
2017年九年级数学竞赛试卷（满分100分，时间100分钟）一、选择题（每小题4分，共20分） 1．下列计算错误．．的是（ ） A ．14772⨯=B ．60523÷=C ．9258a a a +=D ．3223-=2．若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( )A.k>-74B.k ≥-74 且k ≠0C.k ≥-74D.k>74且k ≠03．下列说法正确的是（ ）A ．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%B ．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次C ．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数D ．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 4．设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006B ．2007C ．2008D ．20095.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（ ）A 、6折B 、7折C 、8折D 、9折 二、填空题（每小题4分，共20分）6．如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是 米．7．若正比例函数()x m y 12-=与反比例函数x my -=3的图象无交点，则m 的取值范围是 。
8.如图，矩形ABCD 中，BC= 2 , DC = 4．以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ，则阴影部分的面积为 (结果保留л）9.对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．10．用等腰直角三角板画45AOB =∠，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______．三、解答题（每题12分，共60分） 11．计算及解方程:112753483- 02122=+-x xOA22α12．已知：如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥ BC ，垂足为D ，AN 是△ABC 外角 CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E ，连接DE 交AC 于F 。
2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c＝（）a +2bA. 2．B. 1．C. 0．D.-1．【答】B.已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，3b+c=18 ，所以3b+c=1.a +2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +222b +c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即边长的三角形一定存在；（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=52（不是整数）；若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝ （ ）OB10 8 64A.．B.．C.．D.．D9 7 5 3E【答】A.C过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以AC = BC ，所以4O3AB EBAB ⋅ BC6 ⨯318BEB = = = .A6AC 5 5再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .BEOB 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）AA. 4 3 ．B. 2 13 ．C. 2 14 ．D. 2 15 ．【答】B.FBDEC如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近的整数，则 1 + 1 + 1 + +1 = （ n）na 1 a 2 a 3a200A. 191 ．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7 【答】A.对于任意自然数 k ， ( k +1 )2 = k 2 + k + 1不是整数，所以，对于正整数 n ，- 1 一定不是整数.n24 2的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.设 m 是最接近 nn2易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .n 2 2 24 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近的整数，n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.所以1+1+1+ +1= 2 ⨯1+ 4 ⨯1+ 6 ⨯1+ + 26 ⨯1+ 18⨯1=191.a a a a12313147 123200二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 .由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.所以， a =8.2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72︒，AF⊥BC于点F， AFM交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．【答】 66︒.BE 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .2设∠AED =α，则∠AME =180︒ -2α，∠ABM =α-18︒.又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ -2α=α-18︒，解得α=66︒.3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位数字是 01.所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．1【答】2 .因为0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =12(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.若x + y =1，则x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12[1+(x-y)2]≥12，当且仅当x=y=12时等号成立.所以， x 2+ y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式∆2=(b3)2-4a3c3=b6-161(4ac)3=b6-161(b2)3=1615b6>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180︒，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.A 【答】10︒.如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC= ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ -2x ，∠ODE =180︒ - x -(180︒ -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所22B 以∠DOC =60︒，从而可得 x =10︒.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，1+1=1，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x 2+ y2解由1+1=1可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )⋅[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分二（、本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是 ∠BAC的外角平分线与 △ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥ AB . 已知 AF =1， BF = 5，求△ ABC 的面积.解 在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝180︒ - 2 ∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10 分EAFDCGB……………………15 分 所以 AG = BC ，所以 AC = BG ，所以 AC ＝BG. 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高 h = AC sin 45︒ = 2 2 .所以，△ ABC 的面积 S = 1 ⋅ AB ⋅ h = 1 ⨯ 6 ⨯ 2 = 6 .2 2 ……………………25 分22三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对 ( a , b ) ，使得 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 . 解 显然， 49 ⨯ 3b +8 为奇数，所以 a 为奇数.又因为 a 3 = 49 ⨯ 3b + 8 ≥ 49 ⨯ 3 + 8 > 53 ，所以 a > 5 .……………………5 分由 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 可得 a 3 - 8 = 49 ⨯3b ，即 ( a - 2)( a 2 + 2a + 4) = 7 2 ⨯3b . ……………………10 分设 ( a - 2, a 2 + 2a + 4) = d ，则 d 为奇数.注意到 a 2 + 2a + 4 = ( a - 2)( a + 4) +12 ，所以 d | 12 ，所以 d＝1 或 3. ……………………15 分⎧a - 2 = 7 2,⎧a - 2 = 3b,均无正整数解.……………………20 分若 d ＝1，则有 ⎨a 2 + 2 a + 4 或 ⎨a 2 + 2 a + 4 = 7 2 ⎪ = 3b ,⎪ , ⎩⎩⎧a - 2 = 3 ⨯7 2, ⎧a - 2 = 3b -1,解得 a =11， b = 3 . 若 d ＝3，则有 ⎨ 2 + 2 a + 4 b -1或 ⎨ 2 + 2 a + 4 = 3 ⨯7 2 ⎪ a = 3 , ⎪ a ,⎩⎩所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25 分第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）已知实数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c ， a + b + c =16 ， a 2 + b 2 + c 2 +14 abc =128 ，求 c 的值.解 设 a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2 - 2 y + (16 - x ) 2 +14 y (16 - x ) =128 ，整理得( x - 8) 2 = 1y ( x -8) ，8所以 x = 8 或 y = 8( x -8) .……………………10 分（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.综合可知： c =8.……………………20分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ⋅ (2m-1 ) 2- 2 ⋅ 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x<y， xy =22m-2，所以x,y均为2的方幂.……………………20分又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2⨯2m=22m-2，解得m=3.综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，DOA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.AOP 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90︒，又∠OAD =∠OCB，所以△ AOD ∽△ COB ，……………………5分OD AO OC AOB所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90︒，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2.……………………25分。
2017年全国初中数学竞赛试题及答案
“《数学周报》杯”2017年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1）设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1（C ）﹣1（D ）2【答】C ． 解：由已知得2310x x ++=， 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为( ).（A ）111（B ）0 （C ）5 （D ）5411【答】D ．解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411． （3）若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2（C ）92（D ）112【答】C ．解：由题设可知1y yx -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y =，从而4=x ．于是92x y +=．（4）设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答】A ．解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．（5）点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=， 则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31．解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011<b ，所以2a 第（5）题是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.（8）若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32． 解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．（9）如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .【答】32． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2b a （，）.因为点F 在双曲线2y x=上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标为b ，所以点E 的坐标为2(,)b b.于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .【答】84．解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ， 则22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=， 故12()a b ab +=． ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，第（10）题第（9）题所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（）， 所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分 （12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠90=︒BDQ ．…………5分 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. ……………………………………………………10分 又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分 （13） 如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ； （Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1）， 且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的 直线PQ 的函数解析式.解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是，222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ .故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分（Ⅱ）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0， 由（Ⅰ）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以 AC 2-，AD =2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD=，即a b ．所以a b +=．由（Ⅰ）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，于是，可求得2==a b将b =代入223y x =，得到点Q ，12）. …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得=k所以直线PQ 的函数解析式为1y x =+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y x =+，或1y =+. ………………20分 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由（Ⅰ），得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得2P x =-从而2()3P Q k x x =+.所以，直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y x =+. ………………………………………20分 （14）已知0122011i a i >=，， ， ， ，且122011a a a <<<，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j <，（），使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<．证明：令20101 2 20111i ix i a ==+，，，，， ……………………………………5分 则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2017， 使得11k k x x +-<，从而120102010111k k a a +-<++． …………………………………15分即 11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分。
2017年下期初三数学比赛试卷
桂冠学校2017年下期初三数学竞赛试卷（时量 120分钟；分值 140分） 命题人：梁合军 审题：刘新建一、填空题：（答案填入框内，每小题4分，共40分）1、已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.2、已知直线()0>=k kx y 与双曲线xy 2=交于A 、B 两点，若A 、B 两点的坐标分别是A （11,y x ），B （22,y x ），则1221y x y x += 。
3、在反比例函数()02>=x xy 的图象上，有4321,,,P P P P 四点，它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作到x 轴与y 轴的垂线段，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为321,,S S S ,则321S S S ++= 。
4、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .5、如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东30°方向上，那么该船继续航行_______分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．6、实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，代数式22120122013a a a +-- 的值是 .7、已知x x y -+=62，则y 的最大值为8、如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 9、关于x 的方程03)3(12=+---x xm m 是一元二次方程，则=m ；10、如果一次函数()的图像与反比例函数xm n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为 。
二、选择题：（答案填入框内，每小题4分，共40分）11、若α、β是方程x 2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）A 、2005B 、2003C 、-2005D 、401012、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <0班级 考室 考号 姓名 密 封 线 内 不 得 答 题，否 则 作 “0” 分 处 理。
2017年秋九年级数学竞赛试题(含答案)
九年级数学竞赛试题一．选择题：（每题4分，共32分）1．若m 为实数，则代数式||m ＋m 的值一定是（ ）．A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数2．若10<<a ，化简2211()4()4a a a a-+++-的结果为（ ）A ．2a -B ．2aC ．－2aD ．2a 3．如果a ，b ，c 都不为零且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值是（ ） A ．零 B ．正数 C ．负数 D ．不能确定4．已知四边形的边长分别是m ，n ，p ，q ，且满足222222m n p q mn pq +++=+，则这个四边形是（ ）A ．平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的四边形D ．平行四边形或对角线互相垂直的四边形5．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．143≤<mB ．43≥mC ．10≤≤mD ．143≤≤m6．如下图，已知函数y ax b =+和2(0)y ax bx c a =++≠，那么它们的图象可以是（ ）A B C D7．记35311+-=x y ，25212+=x y ，523+-=x y ，对每一个实数x ，都有唯一的一个值y 1，y 2，y 3与之对应，取y 为三数之中的最小值，当x 取遍所有实数时，所有y 值中的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝12.5，O 在BC 上，OB ＝3.5．以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，M 坐标为（5，0），以OM 为一边作等腰△OMP ，P 点落在矩形ABCD 的边上，则符合条件的P 点共有（ ）个A ．5B ．6C ．7D ．8二．填空题：（每题4分，共32分）9．规定][a 表示不超过a 的最大整数，当1-=x 时，代数式6323+-nx mx 的值为16，则]32[n m -的值为________．10．若52=a ，94=a ，并且所有正整数n 满足1611=+++-n n n a a a ，则2016a ＝ ． 11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ．△ACE ．△BCF 是等边三角形，则四边形AEFD的面积为_______．12．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，点P 在经过点A （－4，0），B （0，4）的直线上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 的最小值为________．yxO MDC B AEFDACB PBA O yx第8题图 第11题图 第12题图 13．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 与x 轴只有一个交点．则243-+a a 的值为_________． 14．已知实数x ，y 满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 ．15．如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝6cm ，DC ＝7cm ，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D ′CE ′，如图乙．这时AB 与CD ′相交于点O ，D ′E ′与AB 相交于点F ．则线段AD ′的长为___________．16．如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm /s 的速度移动；同时，点Q沿折线A —B —C 从点A 开始向点C 以2cm /s 的速度移动．当点P 移动到点A 时，P ，Q 同时停止移动．设点P 出发x 秒时，△P AQ 的面积为ycm 2，y 与x 的函数图象如图②，写出线段EF 所对应的函数关系式并指出自变量的取值范围：____________________．图①PQDCB A第15题图 第16题图ACB E D（甲）E 'ACBOF D '（乙）三．解答题：（56分） 17．（8分）在学校文化艺术节中，有A ，B ，C ，D 四个班的同学参加集体舞表演，已知A ，B 两个班共16名演员，B ，C 两个班共20名演员，C ，D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A ，B ，C ，D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 18．（8分）△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，满足下列条件：①c b a >>；②b c a 2=+；③b 为正整数，a ，c 不一定是正整数；④842222=++c b a ．根据以上条件： （1）用含b 的代数式表示ac ；（3分）（2）求b 的值．（5分）19．（8分）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D ，E 是边AB 上的两点，AD ＝3，BE ＝4，∠DCE ＝45°．（1）求证：AD 2＋BE 2＝DE 2；（4分） （2）求△ABC 的面积．（4分）EDB CA20．（8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AC ＞BC ，点D 为的中点．（1）求证：CD 平分∠ACE ；（3分）（2）求证：AD 2＝AC ·BC ＋CD 2．（5分）EODCBA21．（12分）某公司市场信息部经过调研发现：如果单独投资A 产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在一次函数关系1+=kx y A ．并且当投资5万元时，获得利润3万元；如果单独投资B 产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系bx ax y B +=2．并且当投资2万元时，获得利润2.4万元；投资4万元时，获得利润3.2万元． （1）分别求出上述的一次函数和二次函数的解析式；（4分）（2）如果该公司只投资一种产品，当投资金额在什么范围内，投资B 产品合算？（4分）（3）如果该公司同时对A ，B 两种产品投资，共投资10万元．请设计一种投资方案，使获得的总利润最大，最大总利润是多少万元？（4分）22．（12分）如图，已知抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的对称轴为x ＝－1，且经过A (1，0)，C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线和直线BC 的解析式；（4分）（2）N 点是抛物线上第二象限的一个动点，当△NBC 面积最大时，求N 点坐标；（4分） （3）设点P 在抛物线的对称轴x ＝－1上，且△BPC 是直角三角形，直接写出点P 的坐标．（4分）九年级数学竞赛题参考答案一．选择题（每题4分，共32分）1．D2．B3．A4．D5．A6．C7．B8．C二．填空题（每题4分，共32分）9．－410．211．612．13．814．415．516．三．解答题：17．设A班有x名演员，则B班有（16－x）名演员，C班有20－（16－x）＝（x＋4）名演员，D 班有34－（x＋4）＝（30－x）名演员．由已知得：，解得：．∵x为整数，所以．所以：A班有7名演员，B班有9名演员，C班有11名演员，D班有23名演员．18．（1）由④得：，由②得：，即：，∴，．………………3分（2）于是a，c可以看作方程两根，∵a，c是三角形的边长，所以，解得．∵b为正整数，所以，b＝4．…………………8分19．（1）将△BCE绕点C顺时针旋转90°到△ACF位置，连接DF．这时，∠DCF＝∠DCA＋∠FCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°－∠DCE＝45°．在△DEC和△DFC中，CE＝CF，∠DCE＝∠DCF，CD＝CD，∴△DEC≌△DFC，∴DE＝DF．∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠BAC＝45°，∴∠DAF＝90°．在△DAF中，由勾股定理可得：AD2＋AF2＝DF2．∵AF＝BE，DF＝DE，所以：AD2＋BE2＝DE2．…………………4分（2）由（1）得：DE＝5，所以：AB＝3＋4＋5＝12．过C作CH⊥AB，垂足为H，则CH＝AB＝6，所以：△ABC的面积S＝＝36．…………………8分20．（1）∵D为的中点，∴∠ACD＝∠BAD．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠BAD，∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE．………………3分（2）连接BD，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BE于N．∵D为的中点，∴AD＝BD．∵CD平分∠ACE，DM⊥AC，DN⊥BE，∴DM＝DN．在Rt△ADM和Rt△BDN中，，所以Rt△ADM≌Rt△BDN，∴AM＝BN．在Rt△DCM和Rt△DCN中，，所以Rt△DCM≌Rt△DCN，∴CM＝CN．在△ADM和△CDM中，由勾股定理得：，．∴＝．……………8分21．（1），；…………………4分（2）当时，＝，解得：，．∴当时，；…………………8分（3）设对B产品投资t万元，则A产品投资（10－t）万元，总利润为w万元，则：．，当时，w的最大值为6.8万元．即对A产品投资7万元，B产品投资3万元，所获利润最大，最大利润是6.8万元．………………12分22．（1）抛物线的解析式为：；…………………2分直线的解析式为：．…………………4分（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于M，设N点的横坐标为t，则N点坐标为（t，），M点的坐标为（t，），则MN＝； e则△NBC的面积S＝＝＝．………7分即当时，S的最大值是，此时，N点的坐标为（，）．………8分（3）P1（－1，4），P2（－1，－2），P3（－1，），P3（－1，）．…………………12分。
九年级数学竞赛试题
海南省三亚荔枝沟中学2017年10月九年级数学竞赛试题（考试时间120分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．5 2．已知实数a 在数轴上的位置如图1所示，则化简 |1-a |+2a 的结果为A ．1B ．-1C ．1-2aD ．2a -13．长方体的主视图与左视图如图2所示(单位：cm )，则其俯视图的面积是A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．12 cm 24．化简a a a a a a 2422-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的结果是 A ．-4B ．4C ．2aD ．-2a5．若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ＞-1D ．a ＜16． 小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前5位的顺序，后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通小林电话的概率是 A ．121 B ．61 C ．41 D ．31图2左视图主视图2342a 图17．如图3，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP =1，D 为AC 上一点，若∠APD =60°，则CD 的长为 A ．23 B ．32 C ．21 D ．438．如图4，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为A ．3B ．4C ．5D ．69．如图5，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则 |h 1－h 2| 等于 A. 5 B. 6 C. 7 D. 810. 如图6.1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图6.2所示，则△ABC 的面积是A. 10B. 16C. 18D. 20 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）11．已知x =1是一元二次方程x 2+mx +n =0的一个根，则m 2+2mn +n 2的值为 ． 12．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．图4 E CBAADCPB图3 60°图6.1图6.2O 图5 ABNM E F h 2h 113. 如图7，∠ACB =60°，半径为1cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 cm ．14. 如图8，已知一次函数y =x +1的图象与反比例函数xky的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C ，AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）． 三、解答题（本大题满分44分）15.（满分8分）一辆汽车从A 地驶往B 地，前31路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60千米/时，在高速公路上行驶的速度为100千米/时，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2小时．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方．．．．．程组．．解决的问题，并写出解答过程． 16.（满分14分）如图9，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF =BE ． （1）求证：CE =CF ；（2）在图9中，若G 在AD 上，且∠GCE =45°，则GE =BE +GD 成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图10，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B =90°，AB =BC =12，E 是AB 上一点，且∠DCE =45°，BE =4，求DE 的长．17.（满分8分）某商店在四个月的试销期内，只销售A 、B 两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，只能经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图11.1和图11.2．（1）第四个月销量占总销量的百分比是 ；O 图7ABC图9 图10 EB C AD（2）在图11.2中补全表示B 品牌电视机月销量的折线；（3）为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，求抽到B 品牌电视机的概率；（4）经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．18.（满分14分）如图12，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)、D (8,8)．抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点． （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．① 过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？ ② 连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的t 值．图11.2电视机月销量折线统计图电视机月销量扇形统计图第一个月15%第二个月30%第三个月25%第四个月 图11.1图12参考答案一、选择题：AADAC BBDBA二、填空题：11．1 12. 70°或20° 13. 3 14. 22 三、解答题：15. 本题答案不惟一，下列解法供参考．解法一：问题1：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 设汽车在普通公路上行驶了x 小时，高速公路上行驶了y 小时．根据题意，得⎩⎨⎧=⨯=+.100260,2.2y x y x 解得 ⎩⎨⎧==2.11y x .答：汽车在普通公路上行驶了1小时，高速公路上行驶了1.2小时． 解法二：问题2：普通公路和高速公路各为多少千米？ 设普通公路长为x 千米，高度公路长为y 千米．根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=.2.210060,2y xy x 解得 ⎩⎨⎧==12060y x . 答：普通公路长为60千米，高度公路长为120千米． 16．（1）证明：在正方形ABCD 中，∵ BC =CD ，∠B =∠CDF ，BE =DF ， ∴ △CBE ≌△CDF ．∴CE =CF ． （2）GE =BE +GD 成立． 理由是：∵ △CBE ≌△CDF ，∴ ∠BCE =∠DCF ． ∴ ∠BCE +∠ECD =∠DCF +∠ECD 即∠ECF =∠BCD =90°，又∠GCE =45°，∴∠GCF =∠GCE =45°． ∵ CE =CF ，∠GCE =∠GCF ，GC =GC ， ∴ △ECG ≌△FCG ．∴ GE =GF ．∴ GE =DF +GD =BE +GD ．（3） 过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中，∵ AD ∥BC ，∴ ∠A =∠B =90°， 又∠CGA =90°，AB =BC ， ∴ 四边形ABCD 为正方形． ∴ AG =BC =12．E GBCA D已知∠DCE =45°，根据（1）（2）可知，ED =BE +DG ． 设DE =x ，则DG =x -4，∴AD =16-x ．在Rt △AED 中， ∵ DE 2=AD 2+AE 2，即x 2=(16-x )+2+82． 解这个方程，得 x =10．∴ DE =10．17.（1）30%； （2）如图1；（3）8021203=；（4）由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A 品牌的月销量呈下降趋势，而B品牌的月销量呈上升趋势． 所以该商店应经销B 品牌电视机．18．（1）点A 的坐标为（4，8）．将A (4,8)、C (8,0)两点坐标分别代入y =ax 2+bx ，得81640648.a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得142a b =-=，．∴ 抛物线的解析式为：2142y x x =-+． （2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan PE BC PAE AP AB ∠==，即48PE AP =．∴ 1122PE AP t ==，PB =8-t ．∴ 点E 的坐标为1482t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，． ∴ 点G 的纵坐标为22111144482228t t t ⎛⎫⎛⎫-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴ 218(8)8EG t t =-+--218t t =-+． ∵ 108-<，∴ 当t =4时，线段EG 最长为2． ②共有三个时刻．1231640313t t t ===，，．/月图1电视机月销量折线统计图。
九年级数学元旦竞赛试题及答案
九年级数学试题参考答案及评分建议一.1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C二.13. 32 14. k ≤4且k ≠3 15. 30cm 16. 95 17. （3，2）或（－3，－2） 18. 9900 19. [52，135°] 20.22500三.21.222212121(1)(1)()242(2)(2)1(2)(2)2(1)2........................................41x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+-÷=÷+-++-++-=⨯++-=+ x 不能为2，-2，-1,其它都可 (6)22. 根据题意25000(1)4050x -=.…………………………………………………3分 解得1 1.9x =（舍去），20.1x =，故楼价下降率为10%.………………………5分 23. （1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴DE=DM ，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF=MF ；…（4分）（2）设EF=MF==1，且BC=3， ∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x ，∵EB=AB-AE=3-1=2， 在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2，即22+（4-x ）2=x 2，解得：x=52 则EF=52…………………………………………..8 24. 解：（1）证明：连接OT ，∴∠DAT=∠OAT ，∴∠DAT=∠OTA .∴OT∥AC .……………………………………………………3分又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT 为⊙O 的切线；……………5分又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE 为矩形.…………7分∵CT=，∴OE=， 又∵OA=2，∴在Rt△OAE 中，∴AD=2AE=2．………………………… 8分25. 解：(1)把A 点(1，4)分别代入反比例函数xk y =，一次函数y ＝x ＋b ，得k ＝1×4， 1＋b ＝4，解得k ＝4，b ＝3，∴反比例函数的解析式是x y 4=.………………4分 一次函数解析式是y ＝x ＋3.……………………………………………………………6分 如图当x ＝－4时，y ＝－1，B(－4，－1)，当y ＝0时，x ＋3＝0，x ＝－3，C(－3，0) S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21513214321=⨯⨯+⨯⨯..............................................7分 (2)∵B(－4，－1)，A(1，4)，∴根据图象可知：当x ＞1或－4＜x ＜0时，反比例函数值小于一次函数值. (9)26. 解：(1)由上述定义可知：① 4 ② 1 ③ 0 ④ 2 ----------------4(2)由材料 ,x y x y x y M a a a a N--÷==， log log log a a a M x y M N N∴=-=-------------------------------6 可设312123,,,,n x x x x n a M a M a M a M ====，则1122log ,log ,,log a a a n n M x M x M x ===312312n n x x x x x x x x a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅=，12312n x x x x n a M M M ++++∴=⋅⋅⋅ 1212log a n n M M M x x x ∴⋅⋅⋅=+++，因此1212log log log log a n a a a n M M M M M M ∴⋅⋅⋅=+++ （其中12,,,n M M M 均为正数，0,1a a >≠） --------1027. 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；------------------------3∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、B C．由勾股定理得：AC=，BC=．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．-------------------------------------------------------5解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴，解得，∴当的面积有最大值为36；----------------------8解法二：如答图2﹣2，过M作MN⊥y轴于点N．设M（m，m2﹣m﹣4），∵S△OBD=OB•OD==16，S梯形OBMN=（MN+OB）•ON=（m+8）[﹣（m2﹣m﹣4）]=﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4），S△MND=MN•DN=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]=2m﹣m（m2﹣m﹣4），∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND=16﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m+m（m2﹣m﹣4）=16﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m=﹣m2+4m+32=﹣（m﹣2）2+36；（2）如答图3，连接AD、B C．由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，∴△AOD∽△COB，∴=，设A（x1，0），B（x2，0），∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），∵OC=﹣c，x1x2=c，∴=，∴OD==1，∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．---------------12第11页共11页。
九年级元旦知识竞赛数学试题
第 1 页 共 3 页九年级元旦知识竞赛数学试题（总分120分，时间120分钟）第Ⅰ卷选择题一、选择题：（本大题共10小题,每小题3分,共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1.如右图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，P A =4，OA =3，则cos ∠APO 的值为（ ）A ．34B ．35C ．45D ．432．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图所示，ａ、ｂ、ｃ满足（ ）Ａ．a ＜0,b ＜0,c ＞0 B. a ＜0,b ＜0, c ＜0 C ．a ＜0,b ＞0,c ＞0 D. a ＞0,b ＜0,c ＞03．Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°,AC=3cm,BC=4cm.给出下列三个结论:① 以点C 为圆心,2.3cm 长为半径的圆与AB 相离; ② 以点C 为圆心,2.4cm 长为半径的圆与AB 相切; ③ 以点C 为圆心,2.5cm 长为半径的圆与AB 相交;则上述结论中正确的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.若半径为2cm 和3cm 的两圆相外切,那么与这两个圆都相切且半径为5cm 的圆的个数是（ ）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个5.已知抛物线21(4)33y x =--，图象与y 轴交点的坐标是（ ） A ．（0，3） B.（0，-3） C.（0，37） D.（0， -37）6．无论k 为何实数，直线y=2kx+1和抛物线y=x 2+x+k （ ）A ．有一个公共点B ．有两个公共点C ．没有公共点D ．公共点的个数不能确定7.如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米8．图7所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）A ．525 B ．625 C ．1025 D ．19259. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，则tan ∠DBC 的值等于( ) A ．21B ．23C ．3D ．110、如图，点P 按A →B →C →M 的顺序在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 边上的中点.设点P 经过的路程x 为自变量，△APM 的面积为y ，则函数y 的大致图像是（）第Ⅱ卷 必答题二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）11．如图11，在⊙O 中，已知∠ACB=∠CDB=60°，AC=3，则△ABC 的周长是 ．图11 图12 图1312．如图12，根据某市去年7月份中某21天的各天最高气温（℃）记录，制作了如图的统计图，由图中信息可知，记录的这些最高气温的众数是 ℃，其中最高气温的中位数是 ℃。
庆云县元旦试卷2017
庆云县九年级元旦竞赛数学试卷一、选择题：本题12个小题，每小题3分，共36分．1．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．02．（3分）下列图形中，不是中心对称图形但是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数4．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2分别向上、向右平移2个单位，则新抛物线的解析式是（）A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2（x+2）2﹣2 C．y=2（x﹣2）2﹣2 D．y=2（x+2）2+2 5．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD 的是（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．D．AC2=AD•AB6．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球与10的比值的平均数为0.4，根据上述数据，估计口袋中大约有（）个黄球．A．30 B．15 C．20 D．127．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=158．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B． C．D．10．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为（）A．3 B．1.5 C．2 D．2.511．在直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径作圆，该圆上到直线的距离等于2的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1=y2．其中正确的是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本题5个小题，每小题4分，共20分．13．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为．(14) (15)15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为．16．方程（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0的解为．17．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图1，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是，∠B2的度数是；（2）如图2，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，则∠B3的度数是；（3）如图3，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，B n C n把圆周2n等分，则∠B n 的度数是（用含n的代数式表示∠B n的度数）．三、解答题：本大题共7小题，共64分。
2017年实验中学九年级数学竞赛试题
2017年实验中学九年级数学竞赛试题一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式||||a b b c ++可以化简（ ）．（A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D ）a 2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是( ).3．若2010b c ==，，则ab b c++的值为（）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210114．某超市销售一种计数器，每个售价48元。
后来，计数器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计数器的利润提高了5%，则这种计数器原来每个进价为（A ） 36元; （B ）38元; （C ） 40元； （D ） 42元 5．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32xxB ． x（第13题）6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 7．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=BC=4-CD＝则AD 边的长为（ ）． （A） （B ）64 （C ）64+ （D ）622+9．黑板上写有111123100， ， ，， 共1002个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）9910．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A（B ）1 （C（D ）a 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）11．如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2018220171x x的值为 ．12．若c b a ,,为ABC ∆的三边长，且()()()0=-+-+-a c c c b b b a a ，则此ABC ∆的形状是13．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．14．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．15. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2-)(2-(120182017b a += 三、解答题（共4题，每题15分，共60分）16．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．17．在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（1） 用b 表示k ；（2） 求△ABC 面积的最小值．18．设实数a，b满足：22a ab b a b-++-=，31085100求u=2++的最小值.9722a b19．实数a ，b 使得关于x ，y 的方程组22210xy x xy ax bx a ⎧-=⎪⎨+++=⎪⎩，①②有实数解（x ，y ）.（1）求证：y ≥2； （2）求a 2＋b 2的最小值.。
2017年九年级数学竞赛试卷
2017年九年级数学竟赛试卷（本卷满分120分，考试时刻120分钟）一、选择题（每小题5分，共35分）1．已知ABC △的三边长为a ，b ，c ，且知足方程a 2x 2—（c 2—a 2—b 2）x+b 2=0，则方程根的情形是（ ）。
A 、有两相等实根B 、有两相异实根C 、无实根D 、不能确信2．已知a ＋b 1=a 2＋2b ≠0，则ba 的值为 ( ) (A )－1 (B ) 2 (C ) l (D )不能确信3．已知1x B -2-x A 2-x -x 43x 2+=+，其中为常数，则4A －B 的值为( ) (A )7 (B ) 13 (C ) 9 (D )54．在一个多边形中，除二个内角外，其内角之和为2002°，则那个多边形的边数为 ( )(A )12 (B )12或13 (C )14 (D )14或155．已知abc ≠0，而且a b b c c a p c a b+++===，那么直线y=px+p 必然通过（ ）。
A 、第一、二象限 B 、第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、 第一、四象限6．已知一次函数y =kx －k ，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象通过( )(A )第一、二、三象限 (B )第一、二、四象限(C )第一、三、四象限 (D )第二、三、四象限7、如图8-4，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长别离为 （ ） A. 4cm cm 10 B. 5cm cm 10C. 4cm cm 32D. 5cm cm 32 二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知a 是质数，b 是奇数，且a 2+b=2009，则a+b= 。
8．从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是9．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx 的值等于 10．若04122=---x x ，则知足该方程的所有根之和为 .11．使得m 2+m+7是完全平方数的所有整数m 的积是 。
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蔡襄中学2017年“庆元旦”九年级数学竞赛试卷
(本试卷共三道大题，满分120分)
班级：_____________ 姓名： ________________ 分数：
一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ ）
2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关
系是（ ） A ．外离 B ． 外切 C ．相交 D ．内切
3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21
D 、2
3
4、抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为
，则b 、c 的值为（ ） A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
5、若不等式组⎩⎨
⎧>++<+-m x x m x 110
4的解集是4>x ，则（ ）
A 、29≤m
B 、5≤m
C 、29
=m D 、5=m
6、已知0221≠+=+b a b a ，则b
a
的值为（ ）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确
定
7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定q
p
n F =
)(．如：0652
=+-x x c bx x y ++=2
322
--=x x y
图1
12=1×12=2×6=3×4，则
4
3
)
12
(=
F，则在以下结论: ①
2
1
)2(=
F②
8
3
)
24
(=
F
③若n是一个完全平方数，则1
)
(=
n
F④若n是一个完全立方数，即3a
n=（a是正整
数），则
a
n
F
1
)
(=。
中，正确的结论有：（）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
8、如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（）
A、13
4 B、3
8 C、12 D、3
10
如图
二、填空（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
9、若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，3!＝3×2×1=6，4!=4×3×2
×1，…，则
100!
98!
＝。
10、设-1≤x≤2，则2
2
1
2+
+
-
-x
x
x的最大值与最小值之差为
11、给机器人下一个指令[s，A]（0
≥
s，
180
0<
≤A），它将完成下列动作：①先在原地向左旋转角度A；②再朝它面对的方向沿直线行走s个单位长度的距离。
现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x轴的正方向，取它的左侧为y轴的正方向，要想让机器人移动到点（5
-，5）处，应下指令：。
12、设是方程的两个实数根，则的值是
13、已知抛物线y=3(x－2)（x+4）则抛物线的对称轴是__________________
14、汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费
税每升提高0.8元。
若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在
“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图4中的
1
l、
2
l
所示，则
1
l与
2
l的交点的横坐标=
m (不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用) 。
图（4）
15、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与
CD之间的距离为__________.
16、设
3
2
2
1
3
3
1
x2(a
x
a
x
a
x
a+
+
+
=
+）,这是关于x的一个恒等式(即对于任意x都成立)。
则
3
1
a
a+的值是 .
三、解答（40分）
17、（12分=5分+7分）如图，矩形纸片ABCD中，8
AB=，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，10
BG=．
（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图（5），求EFG
△的面积；
（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图（6），证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长。
a b
，220090
x x
+-=22
a a b
+
+
18、（12分=5分+7分）如图7，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(5，0)两点，与y 轴交于点B(0，5)． （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积．
（图7）
19、（16分=5分+5分+6分）抛物线2
2(21)y x bx b =-+--（b 为常数）与x 轴相交于1(0)A x ，，
2(0)B x ，（210x x >>）两点，设OA ·OB=3（O 为坐标系原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，求证：点D 是ABC △的外心； （3）在抛物线上是否存在点p ，使1ABP S =△？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由．
A B F E (B ) D
C G 图（5） 图（6） G C
D F A B
E (B ) H (A )
y x
Ｏ
参考答案
一、选择题
1、D
2、D
3、A
4、A D
5、C
6、C
7、C
8、A
二、填空题
9、9900；10、1；11、[52，135°]；12、2008；13、x=-1；14、22500；15、1cm 或7cm；16、13
4
三、17、（1）25；（2）5
18、解：（1）抛物线的解析式为：y=-x 2+4x+5
（2）过D 作DF ⊥AE ，垂足为点F S AEDB =S AOB +S OBDF +S DEF =30．
19、（1）解：由题意，得x 1•x 2=2b-1．（1分）
∵OA•OB=3，OA=x 1OB=x 2， ∴x 1•x 2=3．（2分） ∴2b-1=3． ∴b=2．（3分）
∴所求的抛物线解析式是：y=-x 2+4x-3．（4分） （2）证明：如图，
∵y=-x 2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点C （2，1），D （2，0），CD=1．（5分） 令y=0，得-x 2+4x-3=0． 解得x 1=1，x 2=3．（6分）
∴A （1，0），B （3，0），AD=DB=1．（7分） ∴AD=DC=DB ．
∴D 为△ABC 的外心．（8分）
（3）解法一：设抛物线存在点P （x ，y ），使S △ABP =1． 由（2）可求得AB=3-1=2． ∴S △ABP =
2
1AB•|y|=
2
1
×2×|y|=1．（9分） ∴y=±1．
当y=1时，-x 2+4x-3=1，解得x 1=x 2=2．（10分） 当y=-1时，-x 2+4x-3=-1 x=2±
2．（11分）。