1.2.1排列与排列数公式
高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式2课件新人教A版选修2_3
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ 解 把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法. 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A25·A35＝1 200(种)方法.
排列方法.
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变， 即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的A133. 故有AA7733＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人， 若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解 7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种， 而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法， 所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
解析答案
12345
2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( C )
A.36
B.120
C.720
D.240
解析 6个人站成两排，每排3人，
分 2 类完成不同的排法有 A36A33＝720(种).
解析答案
12345
3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和 第四棒，问共有________种参赛方案.
所以共有 A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同 的送法？
解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
反思与感悟 解析答案
2020届高中数学分册同步讲义(选修2-3) 第1章 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
§1.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数的定义及公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a>b还是a<b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、排列数公式的应用命题角度1 利用排列数公式求值例2－1 计算A 315和A 66.解 A 315＝15×14×13＝2 730， A 66＝6×5×4×3×2×1＝720. 命题角度2 利用排列数公式化简例2－2 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)化简n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )．解 (1)∵55－n ,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有(69－n )－(55－n )＋1＝15(个)数， ∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)由排列数公式可知n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )＝A m ＋1n ＋m .命题角度3 利用排列数公式证明例2－3 求证A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·mn ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 反思感悟 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练2 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8} 答案 D解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝8.三、排列的简单应用例3 用排列数表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A 2100. (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A 33.(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A 45. 反思感悟 首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题．跟踪训练3 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解 对于两个火车站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A 221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．1．下面问题中，是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案 A解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．A39等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案 C3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________.答案 64．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案245．从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，不同排法有________种．答案n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)一、选择题1．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析因为A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．所以A n－3n＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A．50 B．60 C．120 D．90答案 C解析5本书进行全排列，A55＝120.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A．12种B．24种C．48种D．120种答案 B解析∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．下列各式中与排列数A m n相等的是()A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n －1n －m ＋1 D ．A 1n ·A m －1n －1答案 D 解析∵A m n ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 答案 C解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20(种)排法， 因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.6．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( ) A ．54B ．45C ．5×4×3×2D ．5答案 D解析 由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种． 二、填空题7．若A 42x ＋1＝140·A 3x ，则x ＝________. 答案 3解析 根据原方程，知x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，解得x ≥3，x ∈N *.由排列数公式，得(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，所以x ＝3.8．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析 根据题意，得A 240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．9．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法． 答案 3 600解析 不同排法的种数为A 55A 26＝3 600(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案 11解析 根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的， 则其不同的排列有12×A 44＝12种， 而正确的排列只有1种， 则可能出现的错误共有11种．11．5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为________．(用数字作答) 答案 96解析 可分两步：第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A 14种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A 44种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为A 14A 44＝96.故填96.12．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有______种不同的招聘方案．(用数字作答) 答案 60解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)． 三、解答题13．A ，B ，C ，D 四人站成一排，其中A 不站排头，写出所有的站法． 解 作出“树形图”如下：故所有的站法：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.14．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.15．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m <2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15， 故原有15个车站，现有17个车站．。
1-1.2.1第2课时排列与排列数公式
栏目导引
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数． 排列数 表示法 乘积 形式 形式 性质 备注
工具
Anm
Anm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) .
排列数 公式
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(2)1！＋2·2！＋3·3！＋„＋n·n!
＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋„＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
[题后感悟]
(1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其
中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样做往往会减少运算量．
数字的两位数？
(2)从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数
字的三位数？
(3)从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数 字的四位数？ 观察以上问题，你认为从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排成一列，有多少种不同的排法？排列数公式是什么？
工具
第一章 计算原理
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2A85＋7A84 An－1m 1· n－mn m A 1.计算：(1) ；(2) . － A88－A95 An－1n 1
－
－
2A85＋7A84 解析： (1) A88－A95 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝ ＝1. 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 An－1m 1· n－mn A (2) － An－1n 1
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修23
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的 所有可能站法. 解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
解答
类型三 排列数公式及应用 例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； 解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15(个)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
证明
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式， 若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对 含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.
跟踪训练3 不等式 Ax8<6A8x－2 的解集为
A.[2,8]
第一章 1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列能应用排列知识解决简单的实际 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 排列的定义
从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动. 思考 让你安排这项活动需要分几步？ 答案 分两步.第1步确定上午的同学； 第2步确定下午的同学.
B.[2,6] C.(7,12)
D√.{8}
解析 由 Ax8<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7<x<12，
①
1.2.1-3排列及排列数
n! (n－m)!
n An n!
含有限制条件 的排列问题
例7 3 用0到9 这10个数字可以组成多少个没有 ,
重复数字的三位数 ?
百 A91
十
个
2
A9 解法1: 解决这个问题, 分2个步骤: 第1步:确定百位: 从1~9中任选一数, 有A91种选法; 第2步:确定十位、个位: 从余下的9个数中任选二数, 有A92种选法; 根据分步乘法计数原理,
A63 · A55 =14400
这是解决有限制条件问题的两种常用方法。
例11. 3个女生和5个男生排成一排， (1)女生必须全排在一起，有多少种不同的排法? (2)男生必须全排在一起，有多少种不同的排法? (3)男女生分别排在一起，有多少种不同的排法? 解(1) 解(2) 解(3) 女 女女 男 男
0
依据的是分类加法计数原理.
例7 3 用0到9 这10个数字可以组成多少个没有 , 百 十 个 重复数字的三位数 ? 0 解法3: 思考的角度不同,便有不同的解题方法; 从0~9这10个数字中任选三个的排列数: A103; 其中0在百位的的排列数: A92;
十 个
A92
它们的差就是这10个数字组成的没有重复数字的三位数 个数: A103－A92=648个不同的三位数. 此法是一种逆向思考方法, 先不考虑限制条件, 求出从10个不同数字中选3个的排列数, 然后从中减去不合条件 (即百位是0)的排列数,
答:安排方法有400种.
例10 .3个女生和5个男生排成一排, 两端都不能排女生, 有多少种不同的排法? 解: 1.位置分析法: 女 A52 女 A52 · A66 =14400
(1)先用男生把两端排了:
(2)余下的六人排剩下的六个位置: A66 2.元素分析法: “以人为本”
第1章-1.2-1.2.1-第1课时 排列与排列数公式
A．6 个
【解析】 符合题意的商有 A2 4＝4×3＝12. 【答案】 C
3．某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票，那么这段 铁路共有的车站数是( A．8 B．12 ) C．16 D．24
【解】 设车站数为 n，则 A2 n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.
【答案】 B
4．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排； (2)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、 副班长．
沿途有四个车站，求这四个车 要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2 个车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A2 4种 不同的排法，即共有 A2 4 种不同的车票，由排列数公式可得 A2 4＝4×3＝12.
树形图法在解决简单排列问题中的应用 (12 分)从 0,1,2,3 这四个数字中，每次取出三个 不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数． (2)若组成这些三位数中，1 不能在百位，2 不能在十位， 3 不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三 位数．
【提示】 不是．
排列的概念 一般地，从 n 个不同元素中取出 m( 按照 一定的顺序
m≤n )个元素，
排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的一个排列．
排列数及排列数公式
【问题导思】 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数 字游戏．
1． 从这 4 个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的 两位数？
【解】 (1)四名同学站成一排， 共有 A4 4＝24 个不同的排 列，它们是： 甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙， 甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙， 乙丁丙甲；
1.2.1-排列与排列数公式
题型三 排列应用题 【例3】 (14分)(1)从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1
本，共有多少种不同的送法？ (2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？
本题考查使用排列数公式的条件及分步计数原理， 应用排列数公式求排列数．
第17页，共23页。
第22页，共23页。
[正解] 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，
若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则
原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然
是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A
6 10
＝151
200(种)坐法．
在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题 做出判断．
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解 (1)从1,2,3,4这4个数字中取出3个不同的数，有(1,2,3)；(1,2,4)； (1,3,4)；(2,3,4)共4种取法．与顺序无关，不是排列问题． (2)画出下列树形图．
第8页，共23页。
由上面的树形图知所有的三位数为： 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,3 41,342,412,413,421,423,431,432，共24个三位数．所得三位数与顺 序有关，是排列问题． 规律方法 (1)理解判断一个问题是不是排列问题，关键看是否与 元素的顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，与顺序无关， 就不是排列问题，必要时可以变换元素的顺序比较是否有变化． (2)枚举所有排列时注意“树形图法”“列表法”等的应用．
第2页，共23页。
试一试 排列与排列数有何区别？ 提示 “一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个 数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学
12/7/2021
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忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
12/7/2021
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知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
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(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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1[1].2.1排列第1课时 排列与排列数公式 课件(人教A版选修2-3)
![1[1].2.1排列第1课时 排列与排列数公式 课件(人教A版选修2-3)](https://img.taocdn.com/s3/m/c0a71706844769eae009ed7a.png)
排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
自学导引
1．排列的定义
【题后反思】
(1)题属于求排列数问题；(2)题不属于求
排列数问题，应注意它们的区别，区分的关键看“事件”是 否符合排列定义，排列的特点是先取后排，特点是序性．
【变式4】 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个 三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
题型四
排列的简单应用
【例4】 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班
的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少
种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组 报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 审题指导 根据排列和计数原理的概念解题．
1 (3)性质：An＝n！规定 A0＝__，0！＝1. n n
试 一 试 ： 如 果 A m ＝ 17×16×15×…×5×4 ， 则 n ＝ n ________，m＝________．
提示
因为最大数为17，是17－4＋1＝14个数的积，
∴n＝17，m＝14.
名师点睛
1．对排列定义的理解 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”， 二是“按一定的顺序排列”． (2)排列的一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与这些元素的排列顺序有关，选取的元素不同
2018-2019学年人教A版高中数学选修2-33 1.2-1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
栏目 导引
第一章 计数原理
2．判断下列问题是否是排列问题： (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的 点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不 同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一 个门出来，不同的出入方式共有多少种？
栏1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪 一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考 虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
栏目 导引
第一章 计数原理
2．排列数及排列数公式
排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所 数定 有 义 表示 法 全排 列 n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个 元素的一个全排列，这时公式中 m＝n，即有 An n＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1
栏目 导引
不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素
栏目 导引
第一章 计数原理
下面问题中，是排列问题的是(
)
A．由 1，2，3，4 四个数字组成无重复数字的四位数 B．从 60 人中选 11 人组成足球队 C．从 100 人中选 2 人抽样调查 D．从 1，2，3，4，5 中选 2 个数组成集合
答案：A
栏目 导引
第一章 计数原理
3 A2 ＝ ________ ， A 4 3＝________．
答案：12 6 若 Am 10＝10×9×…×5，则 m＝________． 答案：6
12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式
2.从1,2,3,4中任取两个数字组成平面直角坐标系中一个点的 坐标,则组成不同点的个数为( ) 答案:C
A.2
B.4
C.12
D.24
栏目 导引
第一章 计数原理
3.全排列 (1)定义:n 个不同元素全部取出的2)×…×3×2×1＝n！. (3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积. (4)规定:0！＝1.
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
栏目 导引
第一章 计数原理
【名师点评】 有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
第一章 计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,
第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才
是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有
序还是无序是判定是否是排列的关键.
栏目 导引
变式训练 1.判断下列问题是否为排列问题.
第一章 计数原理
(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;
个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素__完__全__相__同__,且元素的 __排__列__顺__序__也相同.
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学
义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
2021/12/12
第十五页，共三十六页。
[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序 排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
2021/12/12
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[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺 序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不 同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
第二页，共三十六页。
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ． 思考：如何理解排列的定义？
选修2-3课件1.2.1 排列2
例3.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个 队参加，每队要与其余各队在主、客场分别 比赛一次，共进行多少场比赛？ 解：任意两队间进行1次主场比赛与 1次客场比赛，对应于从14个元素中 任取2个元素的一个排列．因此，比 赛的总场次是
A 14 13 182
2 14
本 例4(1）从5本不同的书中选3本送给3名同学， 选 每人各1本，共有多少种不同的送法？ 种 买 (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学， 每人各1本，共有多少种不同的送法？
(1) A A A A
1 4 2 4 3 4
4 4
(2)5 A 4 A
3 5
m n m n
2 4
m 1 n 1 m 1 n
(3) A ____ A
(4) A ____ A
(m 1)! (5) n1 _______ Am1 (m n)!
练习2：选择
n! (1)若x ，则x等于（ ） 3! n n A: A 3 B:A n 3 C:A 3 D:A n 3 n n
3 10 2 9
练习3：解答
问题:用0,1,2,3,4这5个数字。 1.组成几个五位数？ 2.组成几个五位偶数？ 3.组成几个百位数不为4的五位数?
解法 1
：
A A 9 9 8 648
1 9 2 9
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？ 解法 2 ：
A A A 648
3 9 2 9 2 9
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？
解法 3Βιβλιοθήκη ：A A 10 9 8 9 8 648
两个问题的区别： (1)是从5本不同的书中选出3本分送3名同学，各人得到的书不同， 属于求排列数问题； (2)由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件， 只能用分步乘法计数原理进行计算．
高中数学2-3第一章 1.2.1 《排列概念与排列数公式》【学案】
1.2。
1排列与排列数公式一、课前准备1．课时目标(1) 理解排列的定义，并能解决简单的排列实际应用问题；（2) 熟记排列数公式，能进行熟练的运算；2．基础预探1．一般地，从n 个不同的元素中任取m ()m n ≤个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列.2。
从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的 的个数叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示。
3．排列数公式mn A ＝ （m ，n n m N ≤∈且,*）。
4.n 个不同的元素全部取出的 ，叫做n 个不同元素的一个全排列,nnA =__________. 5。
正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用______表示,排列数公式写成阶乘的形式为m n A=,这里规定0!= 。
二、学习引领1.学习时应注意定义中那些细节？排列要求ｎ个元素是不同的，被排列的ｍ个元素也是不同的,即从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素进行排列.定义中规定m,n n,*，如果ｍ＜ｎ，则称为∈且mN≤选排列，如果ｍ＝ｎ,则称为全排列。
2．如何判断一个问题是否是排列问题？排列定义包括两个基本条件:一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排列”。
排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列，如取出两个数做乘法与顺序无关，就不是排列，做除法与顺序有关，就是排列。
3。
如何判断两个排列是否是相同排列？只有元素完全相同,并且元素的排列顺序完全相同时，才是同一个排列。
元素完全相同，顺序不一样就是不同的排列.4.什么是排列数,它计算时应注意什么？“排列"与“排列数"是两个不同的概念，排列是一个具体的排法,不是数；排列数是所有可能的排列的种数，是一个数.计算排列数时注意，它公式右边是ｍ个数的连乘积，其特点是：第一个因数是ｎ，后面的每一个因数都比它前面的因数少1；最后一个因数是ｎ－ｍ＋1，一共有ｍ个连续自然数的连乘积。
1.2.1 排列(二)12112701解析
n ( n 1) n ( n 1) 3 2 1 An 1 ( n 1)! ( n 1) n !
n1 n An A 1 n1 成立 .
n1 n An ( n 1) A 1 n 成立 .
A mA
m n
m 1 n
A
m n 1
.
m 想一想： 如果 An 17 16 5 4 ， 14 . 17 ， 那么 n _____ m ______
n 1 n 想一想：An 1 An1 成立吗？
n1 n An ( n 1) A 1 n 成立吗？
1 2 由分步计数原理： A9 A9 = 9×9×8 = 648.
例6：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 分析：着眼于特殊元素
解法2：符合条件的三位数可以分三类： 第一类每一位数字都不是0的三位数有 A 个
2 第二类个位数字是0的三位数有 A9 个
2 第三类十位数字是0的三位数有 A9 个
1 2 3 由分类计算原理：A3 +A3 +A3 = 3+3×2+3×2×1 = 15
答：一共可以表示15种不同的信号 .
例6：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 分析： 条件限制：百位上不能排0，即百位上只能排1到9这九 个数字中的一个. 分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素 占据其余位置. （着眼于特殊位置） 解法1：分两步完成。 第一步从1到9这九个数中任选一个占据百位， 1 A 有 9 种方法。 第二步从余下的九个数（包括数字0）中任选 2 2个占据十位、个位，有 A9 种方法。
1.2.1.2排列与排列数公式
n (n 1)L (n m 1) (n m)L 21
(n m)L 21
n!
(n m)!
即排列数公式还可写成 说明：
Anm
n! (n m)!
1.排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来
证明.
2.对于 m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐
含条件.
【变式练习】
计算：（1）5A
第2课时 排列与排列数公式
1.排列的定义：
从n个不同元素中取出m( m n )个元素，按照一定
的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列.
2.排列数的定义：
从n个不同元素中取出m( m ≤n)个元素的所有不同
排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
A
m n
3. “一个排列”与“排列数”的不同：
排列数公式 Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) 这里，n, m N ，并且m n.
观察排列数公式有何特征： （1）第一个因数是n，后面每一个因数比它 前面一个因数少1． （2）最后一个因数是n－m＋1． （3）共有m个因数．
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个
元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
318 SHIFT n Pr 18 13 SHIFT n Pr 13 1 028 160.
由23 我们看到，A518 = A1188÷A1133.
那么，这个结果有没有一般性呢？即
A
m n
=
Ann An-m
n-m
=
n! 是否成立？ n-m !
Am n(n 1)(n 2)L (n m 1) n
A
n n
n
(n
【数学】1.2.1《排列(二)》
有A 种，故符合题意的偶数 有A A A 个。
3 3
1 2
1 3
3 3
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？ 万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向思维法 ）由 1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个，减去其中奇数的个 数A3 A4 个，再 1 3 减去偶数中大于 50000 的数A2 A3 个，符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有：A5 A3 A4 A2 A3 36个
例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每 人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各 1本，共有多少种不同的送法？
例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表 示多少种不同的信号？
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位
0
A
3 9
0
A
2 9
A
2 9
根据加法原理
A 2A
9
3
2
9
648
解法三：间接法.
逆向思维法
3
2
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 A10 ， 其中以0为排头的排列数为 A9 . ∴ 所求的三位数的个数是
A A 1098 98 648.
有约束条件的排列问题
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列与排列数公式
答案 (1)D (2)5 (3)见解析
12/13/2021
答案
解析 (1)27－a,28－a，…，34－a 中最大数为 34－a，一共有 34－a－(27 －a)＋1＝8 个因式，所以(27－a)·…·(34－a)＝A834－a.
(2)解法一：A1248AA611412＝841！ ！2××11182！！！＝54！ ！＝5. 5！
12/13/2021
[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南 京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 12 种．
12/13/2021
答案
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
12/13/2021
答案
拓展提升 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列 中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏．
12/13/2021
答案 B
12/13/2021
答案
解析 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有 B 中的问题是与 顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选 B.
12/13/2021
2．下列各式中与排列数 Amn 相等的是( )
n！ A.m－n！
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.n－mn ＋1Ann－1
D．An1·Amn－－11
12/13/2021
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请你尝试证明这一猜想.
排列数公式（阶乘式）：
n! A (n m)!
m n
n! n 若m n时， A , 又An n!，故规定 0! 1. 0!
n n
例3 毕节市的座机电话号码是0857—×××××××， 后面7个数字都来自0~9这10个数字，若要求最后7个数 字不能重复，则有多少个不同的电话号码？
（1）n个不同的元素； （2）取出m (m≤n)个元素； （3）一定的顺序.
在研究排列问题时，是从一些不同元素中 任取部分（或全部）不同元素，这里既没有重 复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况.
形成概念
排列：一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列（Arrangement）.
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验，有 24 种不同的种植方法？
3 A4 4 3 2 24
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛， 并排定他们的出场顺序，有 60 种不同的方法？
3 A5 5 4 3 60
4.10×9×8×7×6=（ D ）
解决这一问题可分两个步骤： 第一步：确定参加上午活动的同学，即从3名同学 中任选1名，有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种选法. 根据分步乘法计数原理：共有3×2=6种不同的选法.
树形图如下： 上午 甲 乙 下午 乙 丙 相应的排法 甲乙
甲 丙
甲 乙
甲丙 乙甲 乙丙
丙甲 丙乙
丙
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１ 就可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一 定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ 所有不同的排列是 ab，ac，ba，bc，ca，cb， 共有3×2=6种.
思考： “一个排列”和“排列数”有什么区别？
“一个排列”是指从n个不同元素中取出
m 个元素，
按照一定的顺序排成一列，它不是一个数； “排列数”是指从n 个不同元素中取出 m 个元素的 m 所有排列的个数，是一个自然数；所以符号 An 只表示排列数，而不表示具体的排列.
排列数公式的推导： 问题１是求从３个不同元素中取出２个元素的排 2 2 列数，记为 A3 ,已经算得 A3 3 2 6 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数， 3 3 记为 A4 ，已经算出 A4 4 3 2 24
排列数公式（乘积式）：
A n(n 1)(n 2)(n m 1)(m, n N*,m n)
m n
你能概括一下排列数公式的特点吗？
（ 1）m, n都是正整数，并且 m n; （2）公式右边第一个因数 是n，后面每个因数都比它 前面一个因数少 1, 最后一个因数是 n m 1, 共m个连 续的正整数相乘 .
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少？ An 呢？ An 呢？
2 An n(n 1)
A n(n 1)(n 2)(n m 1)
m n
3 An n(n 1)(n 2)
第1位
第2位
第3位
第m位
……
n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种
3 2 5 A5 4 A4 5 5 4 3 4 4 3 348
1 2 3 4 （2） A4 64 A4 A4 A4
1 2 3 4 A4 A4 A4 A4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 64
思考：问题1,2的共同特点是什么？
1.都是分步计数问题； 2.都是从若干个不同元素中取出元素，取 出的元素都要排序，顺序不同结果不同.
形概念
排列：一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列（Arrangement）. 思考1：你认为排列的概念中，哪些是关键词？
解：从10个不同的数字中选出 7个组成电话号码， 对应于从 10个不同元素中选出 7个元素的一个排 列，因此不同的电话号 码有 10 ！ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 7 A10 3 ！ 3 2 1 604800
例4 解方程 A
3 2x
A n(n 1)(n 2)3 2 1 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n!表示. n 所以n个不同元素的全排列数公式 An n! 另外，我们规定 0 ！ 1
当m＝n时，全排列数
n n
例2 计算：（ 1 ）A ;
解： (1) A62 6 5 30
6 6 4 4
思考2：你是如何理解“一定的顺序”的？
“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列.
思考3：你是如何理解两个排列相同的？
两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素和顺序都相同 时才是同一个排列.
说明：m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全 排列.
概念辨析
例1 下列问题中哪些是排列问题？ （1）从3名学生中选2名开会； （2）从3名学生中选2名当正、副组长； （3）从2,3,5,7,11中任选两个相乘； （4）从2,3,5,7,11中任选两个相除； （5）以圆上的10个点为端点作弦； （6）以圆上的10个点中的某一点为起点，作 过另一个点的射线.
5 D.A10 m 17 m ___ 13 . 5.An 17161514 6 5, 则n ___, 5 A.A7 5 B.A6 7 C.A10
课堂小结
1.本节课我们学到了哪些基本概念和公式？ 排列、排列数，排列数公式 2.研究过程中体现了哪些数学思想和方法？
类比，不完全归纳法
100A
2 . x
解：原方程可化为 2 x(2 x 1)(2 x 2) 100x( x 1), 因为x 0, x 1, 所以2 x 1 25, 解得x 13, 经检验, x 13是原方程的根 .
课堂练习
3 2 1．计算：（1） 5 A5 4 A4 348
2 6
(2) A A .
6 6 4 4
(2) A A 6! 4！（ 6 5 4 3 2 1） （4 3 2 1） 30
你有何发现？你能猜测 出一般性的结论吗？
6 4 我们发现A62 A6 A4 ，由此猜想 n A n! m n An n m An m (n m)!
是排列问题的有（2）、（4）、（6）.
排列数及排列数公式
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的排列数，用符号 An 表示.
范德蒙德Vandermonde （1735—1796）法国 数学，于1772年发明排 列数符号，在高等代数 方面有重要的贡献，是 行列式的奠基者.
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
1
2
3
2 4
3
3
4 4 2 2
1
3
4
3
1
2
2 41 4 1
1
3 1
2
3 1
3
3 4 2 42 3
41 41
2
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432.
1.2.1
排列与排列数公式
问题引入
毕节市的座机电话号码是0857—×××××××， 后面7个数字都来自0~9这10个数字，若要求最后7个数 字不能重复，则有多少个不同的电话号码？
10 9 8 7 6 5 4 604800
问题探究
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加 下午的活动，有多少种不同的选法？
同样，问题2可以归结为： 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照 一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同的排列是 abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 共有4×3×2=24种.