12线性方程组的迭代法求解开题报告书
线性方程组的求解与应用开题报告
设计题目线性方程组理论及其应用学生姓名陈彦语学号1111124123 专业数学与应用数学（师范类）一、课题的目的意义：高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。
线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支，其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
线性方程组的求解是数值计算领域十分活跃的研究课题之一，大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。
因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化。
可以说，线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。
二、近几年来研究现状：目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。
直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。
迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。
三、设计方案的可行性分析和预期目标：可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组的一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件的学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究的基础上，给出利用matlab软件求解几类常见线性方程组的方法。
通过广泛收集线性方程组应用方向的文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域的应用，并实现线性方程组的求解过程。
预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高的角度来审视高等代数，对其中的线性方程组部分有一个更加深刻的理解和认识，锻炼自己的发散性思维和缜密的思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题的能力，从而达到对所学知识的融会贯通。
解线性方程组的迭代法数值计算上机实习报告
解线性方程组的迭代法数值计算上机实习报告一．综述：考虑用迭代法求解线性方程组，取真解为，初始向量取为零，以范数为度量工具，取误差指标为.其中。
分别完成下面各小题：第六题：编制程序实现Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel 方法。
对应不同的停机标准（例如残量，相邻误差，后验误差停机标准），比较迭代次数以及算法停止时的真实误差。
其中残量准则：、相邻误差准则：后验误差停机准则：解：为了结果的可靠性，这里我分别对矩阵阶数为400、2500、10000进行试验，得到对应不同的方法、取不同的停机标准，迭代次数和真实误差的数据如下：分析上面数据可知，对应不同的停机标准，GS方法的迭代次数都近似为J方法的一半，这与理论分析一致。
而且从迭代次数可以看出，在这个例子中，作为停机标准，最强的依次为后验误差，再到残量，再到相邻误差。
第七题：编写程序实现SOR 迭代方法。
以真实误差作为停机标准，数值观测SOR 迭代方法中松弛因子对迭代次数的影响，找到最佳迭代因子的取值。
解：本题中考虑n=50，即对2500阶的矩阵A。
由于我们已经知道要使SOR方法收敛，松弛因子需要位于。
下面来求SOR方法中对应的最佳松弛因子。
应用筛选法的思想，第一次我们取松弛因子，间距为0.05，得到的对应的图像如下，从图中可以看出迭代次数随着的增大，先减小后变大，这与理论相符。
同时可以看出最佳松弛因子.第二次将区间细分为10份，即取，可得下面第二幅图像，从图像中可以看出最佳松弛因子第八题：对于J 方法，GS方法和（带有最佳松弛因子的）SOR 方法，分别绘制误差下降曲线以及残量的下降曲线（采用对数坐标系），绘制（按真实误差）迭代次数与矩阵阶数倒数的关系；解：对于J方法，考虑n=50时，采用相邻误差为迭代的终止条件，误差下降曲线及残量的下降曲线如下：对于GS方法，考虑n=50的时候，采用相邻误差作为迭代的终止条件，所得到的残量和误差的下降曲线如下图：从中可以看出，当相邻误差满足误差指标时，真实误差却并不小于误差指标，而为2.6281e-04。
数值分析实验报告--解线性方程组的迭代法及其并行算法
disp('请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达 到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭 代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X 如下： ') X=X';jX=jX' end end X=X';D,U,L,jX=jX'
高斯－塞德尔的输入为：
A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; b=[1;1;2]; X0=[0 0 0]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100) A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; 请注意：因为对角矩阵 D 非奇异，所以此方程组有解.
0.0301 0.0758 0.1834
8.心得体会：
这已经是第三次实验了， 或多或少我已经对 MATLAB 有了更多的了 解与深入的学习。通过这次实验我了解了雅可比迭代法和高斯－ 塞德尔迭代法的基本思想，虽然我们不能熟练编出程序，但还是 能看明白的。运行起来也比较容易，让我跟好的了解迭代法的多 样性，使平常手算的题能得到很好的验证。通过这次实验让我对 MATLAB 又有了更深一层的认识，使我对这门课兴趣也更加浓厚。
运行雅可比迭代程序输入： A=[10
b=[1;1;2];X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)
2 3;2 10 1;3 1 10];
结果为：
k= 1 X=
0.1000 k= 2 X= 0.0200 k= 3 X= 0.0400 k= 4 X= 0.0276 k= 5 X= 0.0314 k= 6 X= 0.0294 k= 7 X= 0.0301 k= 8 X= 0.0297
6、 设计思想：先化简，把对角线的项提到左边，其它项
(精校版)迭代法解线性方程组数值分析实验报告
(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告的全部内容。
数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组专业：信息与计算科学学号: 1309302—24姓名：谭孜指导教师：郭兵成绩:二零一六年六月二十日一、前言：(目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤.②了解雅可比迭代法，高斯—赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2。
实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
比较雅可比迭代法，高斯—赛德尔迭代方法和松弛法,举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较.二、数学原理：设有方程组b Ax = …① 将其转化为等价的,便于迭代的形式f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。
对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x x k k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1。
雅可比迭代法基本原理设有方程组),,3,2,1(1n i b x a j j nj ij ==∑= …①矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠从式①中第i 个方程中解出x,得其等价形式)(111j nj j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x x =，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(111)()1(∑≠=++-=nj j i k j ij ii k ib x a a x…③ 也可记为矩阵形式：J x J k F B x k +==)()1( …④ 若将系数矩阵A 分解为A=D —L-U ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=--00000000000000111211212211212222111211n n n nn n nn nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a U L D A式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a D2211,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000121323121nn n n a a a a a a L ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000122311312n n n n a a a a a a U 。
线性方程组的求解方法及应用开题报告
开题报告线性方程组的求解方法及应用开题报告一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势) 线性方程组求解在中国历史久矣。
对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早1500年,记载在公元初《九章算术》方程章中。
现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。
在科学计算中的许多问题,例如,电学中的网络问题,船体放样中的样条函数计算,实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题,最终都归结为求解线性代数方程组。
现行高等代数教材只用行初等变换来解线性方程组,存在一定的局限性。
本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的Gauss消元法,以及行初等变换、克莱姆法则、标准上三角形求解法等。
对于不同类型的问题,线性方程组的求解方法不尽相同。
同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。
这就需要我们去根据相关问题去探究。
马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时,才算达到了完善的地步”。
随着科学技术的进步,数学已迅速渗透到各门学科之中,因而能强烈感受到数学的重要性。
而应用数学中很多用到了线性代数的相关知识,而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要,在实际生活的数学应用中,对所需目标进行确定,接着进一步明确一些决策中的关键因素,即而确立线性方程组,进而对此方程求解。
因而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分,恰当地使用方法,可以使计算过程比较简洁,避免了迂回复杂的计算。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题也许会觉得解线性方程组会很容易,但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。
若要正确完整得出方程解,首先要具备一定的线性代数的知识,其次要分析对于什么样类型,采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。
对于不同类型的问题,线性方程组解法的适用就至关重要。
线性方程组的解法及其应用开题报告
[12]张明淳.工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.
[13]赵树嫄.线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.
2.其次，找出解的几何意义并找出应用范围
3.最后，通过实践分析，总结出线性方程组在应用方面的作用
五、主要参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.
[2]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.
第1－2周：完成英文文献翻译工作。撰写开题报告。了解自己论文的背景，目的方案及预期达到的目标。
第3－4周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究,获得一些研究成果。接受指导老师的检验，开题答辩。
2.中期（5-8周）
第5－8周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究；获得一些研究成果；争取有一些理论创新；论文初步完成。
3.全部完成与整理（9-14、15-16周）
第9－14、15－16周：完善论文。写出较高质量的研究报告；接受指导老师的检验。申请结题。
4.答辩（第17周）
第17周：上交论文。接受教师组审查鉴定，进行毕业答辩。
四、预期达到的目标
1.首先，通过对齐次与非齐次线性方程组的求解，找出齐次与非齐次线性方程组解的判定方法
[7]首都师范大学数学系组编.数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.
[8]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147.
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
线性方程组的求解与应用开题报告
设计题目线性方程组理论及其应用学生姓名陈彦语学号专业数学与应用数学（师范类）课题地目地意义：高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（' ）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组地方法，本文将更加系统地阐述求解线性方程组地几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中地应用.线性代数是代数学地一个重要组成部分，广泛应用于现代科学地许多分支，其核心问题之一就是线性方程组地求解问题.线性方程组地求解是数值计算领域十分活跃地研究课题之一，大量地科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组.因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化.可以说，线性方程组地求解在现代科学领域占有重要地位.二、近几年来研究现状：目前关于线性方程组地数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法.直接方法最基本地是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组地有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展.迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组地精确解，迭代法具有地优点是：需要计算机地存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度地问题.迭代法是解大型稀疏矩阵方程组地重要方法，当前对迭代算法地研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好地性能加速还有待进一步研究..三、设计方案地可行性分析和预期目标：可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组地一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件地学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究地基础上，给出利用软件求解几类常见线性方程组地方法.通过广泛收集线性方程组应用方向地文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域地应用，并实现线性方程组地求解过程.预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高地角度来审视高等代数，对其中地线性方程组部分有一个更加深刻地理解和认识，锻炼自己地发散性思维和缜密地思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题地能力，从而达到对所学知识地融会贯通.四、所需要地仪器设备、材料：仪器设备：计算机，网络资源以及图书馆资料，打印机，纸材料：[]王萼芳,石生明.高等代数[].北京:高等教育出版社[]同济大学数学系.线性代数[].上海:高等教育出版社[]李庆扬,王超能,易大义.数值分析[].北京:清华大学出版[]王沫然与科学计算[].北京:清华大学出版社，[]《运筹学》教材编写组. 运筹学[]. 北京:清华大学出版社[]杨启帆,方道元. 数学建模[].杭州:浙江大学出版社，.[]姜启源.数学模型[].北京:高等教育出版社[]刘从义.线性方程组地求解及其应用[],考试周刊[]仝秋娟.几种特殊线性方程组解法研究[],陕西:西安电子科技大学，[]丁丽娟.数值计算方法[].北京:北京理工大学出版社[]谢金星,薛毅.优化模型与软件[],北京:清华大学出版社五、课题分阶段进度计划：序号起止日期工作内容阶段成果（第周）至查阅资料，填写开题报告，完成开题答辩材料.形成论文框架.（第周）至撰写论文初稿，翻译英文.完成初稿电子版及英文翻译电子版.（第周）至继续查找资料，修改完善论文内容和合适，修改译文；完成论文第二稿（第周）至进一步修改完善论文，最终定稿，打印论文；准备论文答辩提纲.正稿并答辩指导教师意见签字：年月日。
数值分析实验报告之迭代法求解线性方程组
1、计算机一台。
2、安装IIS。
实验步骤
Step1：将文件中线性方程组的增广矩阵读入内存；
Step2：选择雅可比迭代法或者高斯-赛德尔迭代法；
Step3:初始化迭代初值，设置迭代次数上限；
Step3:开始迭代，产生迭代后的新根，计算此时的误差；
Step4:如果误差不满足要求，转到Step5，否则转到Step6。
实验流程图
实验结果
主界面效果截图
选择雅可比迭代法结果截图
实验结果
使用高斯-塞德尔迭代法结果截图：
第5问第一个线性方程组用雅可比迭代是失败的，但高斯-塞德尔迭代成功：
第5问第一个线性方程组用雅可比迭代是成功的，但高斯-塞德尔迭代是失败的：
Step5:判断是否达到迭代次数上限，若没有达到，让迭代次数加1，返回到Step3，若到达迭代上限，则本次实验迭代失败，输出失败信息。
Step6用表格方式输出线性方程组的解，过程法和高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组的解，编写程序的过程中，首先要对两个迭代法的数学原理十分熟悉，然后对程序的整个流程十分清楚才行。在实验中，我开始是对具体题目编写求解程序，虽然可以将具体的某一道题解出来，但是一旦线性方程组换成另一个，程序将无法求解，即编写的程序不能通用，于是，才开始设计能够实现求解线性方程组的通用算法，无论方程组是几阶方程组，只要知道它的增广矩阵（系数矩阵加常数项列），就可以使用这两个迭代算法求解。将线性方程组的增广矩阵存入文件，就可以通过查找文件名达到获取文件数据的效果。实验中，设置不同的初值，得到的迭代次数也非常不同，本实验我选择的初始值都是0。实验的第5问中，通过连两个迭代法的运用，发现确实是有的线性方程组用雅可比迭代法比高斯-塞德尔迭代法要快，有的线性方程组使用雅可比迭代法或高斯-塞德尔迭代法无法求解。因此，这两个迭代法也不是对所有的小行星方程组都是可以求解的，即使用这两个迭代法无法求解，线性方程组依然有可能有解。
开题报告 线性代数方程组的基本迭代方法研究
毕业设计(论文)开题报告题目：线性代数方程组的基本迭代方法研究学院：理学院专业：信息与计算科学学生姓名：左双学号： ************ 指导老师：***2011年3 月25日毕业设计（论文）开题报告1．文献综述：结合毕业设计（论文）课题情况，根据所查阅的文献资料，每人撰写2500字以上的文献综述，文后应列出所查阅的文献资料。
文献综述0 引言线性代数方程组的迭代方法是一种极限方法是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
它的基本思想是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解,是一种逐步逼近的方法,首先选定方程 f ( x) = 0 的一个近似根后，然后使用某个固定公式反复校正这个根的近似值,使之逐步精确化,一直到满足给定的精度要求为止.迭代法将n阶线性方程组变形为某种迭代公[1]。
对于任意给定的迭代初始值，由某一迭代格式便可生成一向量序列，我们的目的是求解方程组的解，因此我们会希望向量序列的极限逼近方程组的解。
若迭代格式是收敛的，即迭代无穷多次后的值会收敛到某一特定的值，则这一特定的值就是方程组的解。
由此看来，用迭代法解线性方程组，需要解决如下三个问题:（1）迭代格式的构造；(2)判断迭代格式是否收敛；(3)迭代格式的收敛速度估计[2,3,4]。
对于迭代格式的构造，我们要研究其迭代格式的建立；迭代法的设计技术；迭代过程的收敛性；误差估计；接近准确解时的迭代次数等问题[5]。
迭代法是利用计算机求解方程组时常用的方法。
特别是对大型稀疏矩阵方程组，即系数矩阵中零元素占大部分的那种方程组。
对于迭代方法，主要雅克比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，还有松弛迭代法，松弛迭代法是一个应用极为广泛的方法，目前比较常用的迭代方法是雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法。
高斯-塞德尔迭代法是对雅克比迭代法的一种改进，但由于两种方法的迭代矩阵是不同的，所以存在有些方程组用雅克比迭代法收敛，而用高斯-塞德尔迭代法发散的情况。
每一种迭代法都有一定的应用范围，对于同一方程组，有些收敛，有些不收敛，在应用迭代法时应该对收敛性条件给予充分的重视，不收敛的迭代公式是毫无意义的。
12线性方程组的迭代法求解开题报告书
[16]曲双红，王雪莲.求解线性方程组迭代法的Excel实现，高校理科研究.2010年，第21卷（第6期：5页）
[17]高静.系数矩阵为L-矩阵的线性方程组的新迭代法，苏州市职业大学学报.2011年，第22卷（第2期：4页）
[12]汪仲文.解线性方程组的迭代方法之比较，喀什师范学院学报.2008，29（6）：21-25.
[13]韩艳丽.求解线性方程组的Jacobi和Gauss—Seidel迭代法的收敛定理，河南理工大学学报.2009，20（3）：31.
[14]陈丽红，周志刚，万立.求解线性方程组的一种迭代法的改进，武汉科技学院学报.2010，23（2）：33-35.
[8]何吉欢.大型线性方程组的变分迭代解法，工.迭代法解线性方程组的收敛性比较，江西科学.2009，27（5）：659-661.
[10]徐亚平，李让利.关于解线性方程组的迭代法，汉中师范学院学报（自然科学）.1997，15（1）：5-9.
[11]王丽，孙明军，宋永忠.解非埃尔特线性方程组的外推迭代法的收敛性，南京师大学报（自然科学版）.2007，30（1）：1-5.
[18]张步林.线性代数方程组迭代解法的MATLAB实现，成都纺织高等专科学校学报.2008年，第25卷（第4期：3页）
[19]花威.线性方程组的迭代解法及其MALAB实现程序，长江工程职业技术学院学报.2009年，第26卷（第4期：3页）
[20]杨廷鸿，但琦，汪益川，田艳芳.线性方程组迭代解法的另类矩阵形式，后勤工程学院学报.2006年，第13卷（第3期：1页）
预期目标
(1)学会运用各种迭代方法解线性方程组。
大型线性方程组的迭代解法的开题报告
大型线性方程组的迭代解法的开题报告一、选题背景大型线性方程组（Large-Scale Linear Systems, LLSs）是现代科学技术、经济和社会领域中广泛存在的问题。
例如，在工程中，常常需要解决大规模的矩阵方程来求解结构动力学问题或电气网络分析问题；在计算机科学中，图形处理、数据挖掘、机器学习等领域也需要高效解决大规模线性方程组问题。
随着计算资源越来越强大，解决大型线性方程组的算法也得到了极大的发展。
传统的求解大型线性方程组的方法包括直接法和迭代法，直接法适合于小型问题，但当问题规模增大时，其计算量和存储需求也随之增大；而迭代法通常比直接法更加高效，特别适合大型问题的求解。
目前，常用的迭代方法有雅可比迭代法、Gauss-Seidel法、SOR法、共轭梯度法、GMRES法等。
二、选题目的本课题旨在研究大型线性方程组的迭代解法，掌握雅可比迭代法、Gauss-Seidel法、SOR法、共轭梯度法、GMRES法等算法的原理和应用，以及它们的优缺点及适用范围，分析其收敛性、稳定性和计算复杂度，通过实验验证这些算法的效率和性能，并进行比较分析，为各种实际问题提供科学合理的数值求解方法。
三、选题内容1.大型线性方程组求解的数学模型和原理；2.雅可比迭代法、Gauss-Seidel法、SOR法、共轭梯度法、GMRES法等迭代算法的原理和应用；3.各种算法的收敛性、稳定性和计算复杂度的分析；4.通过实验验证各种算法的效率和性能，并进行比较分析；5.设计一些实际问题的数值求解方法，并应用上述算法进行求解。
四、选题意义大规模线性方程组求解是科学计算领域中具有重要意义的研究课题，其在工程、计算机科学、经济和社会领域中具有广泛应用。
本课题探索了一系列迭代算法的原理、特点和效率，为实际应用提供了科学合理的计算方法和理论基础。
同时，本课题为课程教学和学生科研提供了实践性的载体，有助于深入理解相关课程知识和掌握科学计算的基本方法。
线性方程组解法的研究【开题报告】
毕业论文开题报告信息与计算科学线性方程组解法的研究一、选题的意义线性代数是本专科高校中各类专业的一门公共基础课.。
由于线性问题广泛地存在于科学技术的各个领域, 许多非线性问题在一条件下也可以转化为线性问题来处理，线性代数已成为应用最广泛的大学基础数学课程之一，它的重要性也已经成为我们的共识.。
通过对线性代数课程的学习，可以提高学生的数学素质和数学能力, 特别是培养逻辑推理、归纳判断、科学计算、用数学语言和符号进行表达的能力等，对提高学生的思维能力、开发学生智力等起到重要作用。
尤其是现在, 随着计算机的逐渐普及，作为一门基础理论课的线性代数, 能够很好的帮助学生对计算机知识的理解和学习, 提高培养学生综合素质的效率。
矩阵被作为许多高等代数教材中研究的重要工具, 然而, 线性方程组理论同样也是一个比较重要的研究工具。
线性方程组是线性代数的主要内容，只要恰当地运用线性方程组理论, 我们在研究一些问题时就可以使比较复杂的研究过程简单化。
线性方程组与矩阵、向量的内容密切相关, 它与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广。
求解线性方程组是线性代数的核心内容之一, 同时也是它的最重要的应用领域之一。
线性方程组的求解还能处理许多实际问题，在科学研究与生产实践中，许多问题都可以归结为线性方程组的求解。
线性方程组的解法有很多，不同的线性方程组，根据其性质和特征，应当选择适当的解法。
所以，寻找最有效最简便的求解方法就显得极其重要。
本文首先对线性方程组的定义和基本性质等作了一些简单阐述，然后通过例子介绍了一些方程组的解法和特征，对其加以延伸综合、归纳总结，进一步提高我们线性方程组及其解法的认识，接着介绍了行列式线性方程组及其解法在一些领域中的应用，本文最后做出了简单的总结，使文章更加完整，也更加巩固了我们所学的线性方程组的相关知识，提升了我们对数学的理解和应用能力。
二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文研究的主要内容及解决的主要问题是线性方程组的多种解法研究及其有关应用。
几类特殊线性代数方程组的迭代解法及其收敛性分析的开题报告
几类特殊线性代数方程组的迭代解法及其收敛性分析的开题报告一、选题的背景和意义线性代数是数学中的一个重要分支，它在科学和工程中都有很广泛的应用。
线性方程组在生产和科学技术中的应用非常广泛，例如在物理、统计学、计算机科学、经济学、金融等领域中广泛使用。
然而，由于线性方程组通常是大规模的、复杂的，并且往往没有解析解，因此迭代方法是解决此类方程组的主要方法之一。
特殊的线性方程组是具有特殊结构的方程组，例如对角占优、对称正定、三对角等。
这些特殊的结构使得方程组的求解更具有可行性和稳定性，因此针对这些结构，设计相应的迭代方法具有理论和实际的重要性。
本文将研究这些特殊线性代数方程组的迭代解法及其收敛性分析，探究不同的迭代方法在不同的情况下的优缺点，并分析不同方法的收敛性，这对于理论和实践都具有重要意义。
二、研究内容和研究方法本文研究内容为各种特殊线性方程组的迭代解法及其收敛性分析，包括对角占优线性方程组、对称正定线性方程组、三对角线性方程组等。
本文将重点研究以下几种方法：1. Jacobi迭代法：Jacobi迭代法是一种基本的迭代方法，主要用于解对角占优线性方程组。
该方法的思路是将原方程组转化为x = Bx + g的形式，并进行迭代求解。
2. Gauss-Seidel迭代法：Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的变种，也是基于x = Bx + g的思路，但是它可以利用已经求得的解来加快求解的速度。
3. SOR迭代法：SOR迭代法是在Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的基础上发展而来的加速算法，该方法引入一个松弛因子来加速收敛。
4. CG迭代法：CG迭代法是一种用于求解对称正定线性方程组的迭代方法，它可以利用矩阵的对称性和正定性来加速求解。
5. TDMA迭代法：TDMA迭代法是一种用于求解三对角线性方程组的迭代方法，该方法利用三对角矩阵的特殊结构来简化矩阵运算，从而加速求解。
本文将运用数学分析、计算机仿真和实验比较等方法，对以上几种迭代方法的收敛性和求解速度进行深入研究。
《数学实验》实验报告——迭代法
3.线性方程组的迭代求解
给定一个 n 元线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x 2 amn xn 0
９
观察序列，并且判断极限。 Mathematica 程序如下：
当 x0=0.1，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.5，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.9，n=10 时,运行程序得
当 x0=1，n=10 时,运行程序得
实验结论:
１０
由以上实验可得，函数 f(x)=x/2+1/x 的极限为 1.41421
运行程序结果如下：
实验结论：
试验中假设矩阵 A 的对角元素 aii<>0,i=1,2,3,…n.令 D=diag(a11,a12,,,….ann),则可以将 方程 Ax=b 转化成 x=(U+L)x+D-1b 其中 U 为下三角阵，L 为上三角阵。如果 U+L 的行列式 最大特征值的绝对值小于 1，则线性方程组有解且唯一。
写成 Ax=b 的形式， 再将其改写成 x=M*x=f 其中 M 是 n 阶矩阵， f=(f1,f2,f3,f4….fn)T 是 n 维列向量，给定 x0，由迭代 x(n+1)=M*x^n+f,n=0,1,2,3,4…..对给定的矩阵 M 数组 f 和 初始值 x0，由 x(n+1)=M*x^n+f,n=0,1,2,3,4…..用 mathematic 可得迭代结果。 迭代程序如下：
《数学实验》实验报告
班级 实验 内容 **** 学号 **** 姓名 实验 类别 **** 成绩 实验 时间
线性方程组求解的预条件迭代法的开题报告
线性方程组求解的预条件迭代法的开题报告一、选题背景和意义线性方程组求解是数值线性代数的经典问题，对于实际问题的建模和求解具有重要的意义。
然而，对于大规模稠密线性方程组的求解，直接使用直接法（如高斯消元法）会受到极大的计算和存储压力，而迭代法则是一种有效的替代方法。
预条件迭代法是一种广泛使用的迭代法，其基本思想是先通过某种方法构造一个易于求解的预条件矩阵，然后在原方程组的基础上，将其转化为一个矩阵形式的迭代方程组，并通过多次迭代求解得到原方程组的解。
预条件迭代法不仅可以加速线性方程组的求解，而且能够在求解过程中控制误差，提高计算精度。
因此，对预条件迭代法的研究和应用具有重要的实际意义。
二、研究目的和内容本项目旨在研究预条件迭代法在稠密线性方程组求解中的应用。
具体研究内容包括以下几个方面：1. 探究预条件迭代法的基本原理，包括预条件矩阵的构造、预条件矩阵的选取和迭代方程式的推导等。
2. 研究现有的预条件迭代算法，如Jacobi预条件迭代法、Gauss-Seidel预条件迭代法和ILU预条件迭代法等，分析它们的优缺点和适用范围。
3. 结合具体的数值实验，分析预条件复杂度和收敛效果的影响因素，如预条件矩阵的选取、求解器的选择以及预条件参数的选取等。
4. 将预条件迭代法应用到实际问题中，比如流体力学中的Navier-Stokes方程组、地质学中的地震波传播方程等，探究其在实际问题中的应用效果。
三、研究方法和步骤本项目的研究方法主要包括理论分析和数值实验两个方面。
在理论分析方面，将结合参考文献和相关资料，重点研究预条件迭代法的基本原理和现有算法，并分析预条件矩阵的选取和预条件参数的选取等方面的关键问题。
在数值实验方面，将编写相应的数值计算程序，对几种常用的预条件迭代算法进行测试，分析算法对于不同线性方程组的求解的有效性和收敛性，通过大量的数值实验来验证算法的正确性和实用性。
项目的具体实施步骤如下：1. 文献调研和资料收集。
解线性方程组的预处理方法的开题报告
解线性方程组的预处理方法的开题报告题目：解线性方程组的预处理方法研究与应用摘要：线性方程组是数值线性代数中的基础问题，常常要进行大规模的计算。
为了提高求解速度和精度，需要采用一些预处理方法对系数矩阵进行改造，使其更易于求解。
本文将从预处理方法的理论分析出发，探讨几种典型的预处理方法，并通过实验数据分析它们的优缺点。
关键词：线性方程组，预处理方法，典型方法，实验分析一、绪论线性方程组的求解是数学和工程领域中的基础问题，涉及到很多科学计算的应用。
线性方程组的求解方法可以分为直接法和迭代法两类。
直接法通过对矩阵进行初等变换，实现从方程组到三角矩阵的转换，可精确地求得方程组的解。
但是直接法的时间和空间复杂度很高，在求解大规模线性方程组时不适用。
迭代法则是通过从一个初始近似解开始，逐步逼近精确解的过程。
迭代法具有较高的效率和稳定性，并且可以用预处理技术进行改进。
预处理技术是解决大规模线性方程组问题的有效手段，它是对系数矩阵进行初步加工处理，以便更好地适应某种求解算法的特性。
通常情况下，预处理技术可以使求解速度加快，精度提高，收敛性增强。
本文将从预处理方法的理论分析出发，重点探讨下列典型方法：ILU 分解、SSOR预处理、AMG预处理等，并通过实验比较它们的性能差异。
二、预处理方法的理论分析预处理方法是解决系数矩阵的稀疏特性与求解算法的高效性之间的冲突的方法，其本质思想是通过改变线性方程组的系数矩阵，使其满足求解算法的特性，以此提高求解过程的性能。
预处理技术可以分为不完全预处理和完全预处理两类。
1. 不完全预处理不完全预处理采用一种近似的方法来求解原问题，它可以针对特定的求解算法进行预处理，以简化原问题矩阵的结构，加速求解过程，减少计算复杂度。
其中，ILU分解是一种经典的非完全预处理方法，其主要思想是将原矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积形式。
2. 完全预处理完全预处理则是通过对系数矩阵进行完全分解，得到矩阵的特征和结构信息，进而利用这些信息进行求解或加速。
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(1)学会运用各种迭代方法解线性方程组。
(2)进一步学会迭代方法的数学思想。
研究条件（包括需要的仪器和材料）
仪器：电脑，PDF阅读器、WORD2003、公式编辑器等计算机应用软件.
材料:中国期刊网、万方数据库资料、图书馆书本资料.
文献资料
[1]钱志良，孔海涛.任意线性方程组的迭代求解法，常州信息职业技术学院学报.2008年，第7卷（第6期：3页）
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[3]孙霞林.一种线性方程组的迭代解法，武汉化工学院学报.2001年，第23卷（第2期：3页）
[4]田学全，朱世建.有无穷解的线性方程组的迭代法，塔里木农垦大学学报.2004年，第16卷（第2期：3页）
[5]杨德祥.在Excel中应用迭代法求解线性方程组—雅可比（Jacobi）和塞德尔（Seidel）迭代法，工程地质计算机应用.2007年（1）:33-34.
[18]张步林.线性代数方程组迭代解法的MATLAB实现，成都纺织高等专科学校学报.2008年，第25卷（第4期：3页）
[19]花威.线性方程组的迭代解法及其MALAB实现程序，长江工程职业技术学院学报.2009年，第26卷（第4期：3页）
[20]杨廷鸿，但琦，汪益川，田艳芳.线性方程组迭代解法的另类矩阵形式，后勤工程学院学报.2006年，第13卷（第3期：1页）
黄冈师范学院பைடு நூலகம்
本科生毕业论文（设计）开题报告书
学生姓名
滑慧荐
专业班级
数学与应用
数学
指导
教师
王成
开题时间
20--
课题名称
线性方程组的迭代法求解
选题依据和意义
随着社会的发展，在科技、工程、医学、经济等各个领域中，很多问题常常归结为解线性方程组，有些问题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程组，但其数值解法却需将该问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。
[21]陈永林.一般限制线性方程组的迭代解法，应用数学学报.1996年，第19卷（第4期：9页）
[22]杨大衡.一类线性方程解的Jacobi和Seidel迭代的敛散性，天津职业技师师范学院学报.1991年，第27卷（第2期：5页）
[23]张亚红.一种实用的线性方程组迭代预处理算法，淮阴工学院学报.2006年，第15卷（第5期：3页）
[12]汪仲文.解线性方程组的迭代方法之比较，喀什师范学院学报.2008，29（6）：21-25.
[13]韩艳丽.求解线性方程组的Jacobi和Gauss—Seidel迭代法的收敛定理，河南理工大学学报.2009，20（3）：31.
[14]陈丽红，周志刚，万立.求解线性方程组的一种迭代法的改进，武汉科技学院学报.2010，23（2）：33-35.
指导教师(签名)：
年月日
备注
本课题运用所学的数学专业知识研究，有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识，特别是迭代方法。通过课题的研究，我进一步掌握了迭代方法的思想，对于今后类似实际问题的解法具有重要的意义。
研究内容（主要指标和预期目标）
主要指标
（1）介绍线性方程组的几种迭代解法。
（2）推导迭代的收敛公式。
（3）线性方程组的迭代解法在实际生活中的一些应用。
[15]常双领，张传林.球解线性方程组的一种迭代算法，暨南大学学报（自然科学版）.2004，25（3）：256-259.
[16]曲双红，王雪莲.求解线性方程组迭代法的Excel实现，高校理科研究.2010年，第21卷（第6期：5页）
[17]高静.系数矩阵为L-矩阵的线性方程组的新迭代法，苏州市职业大学学报.2011年，第22卷（第2期：4页）
[6]杜衡吉，徐昆良.Jacobi和Gauss—Seidel迭代法求解线性方程组的分析及应用，曲靖师范学院学报.2011，30（3）46-50.
[7]王育琳，贺迅宇，张尚先.Jacobi与Gauss—Seidel迭代法求解线性方程组收敛性比较与研究，株洲师范高等专科学校学报.2004，9（3）：23-25.
[24]陈新，陈永林.用基于矩阵正常分裂的迭代法求解长方或奇异线性方程组，南京师大学报（自然科学版）.2006年，第29卷（第2期：5页）
研究方法和技术路线
研究方法：主要运用文献资料法、综合分析法、对比分析法等理论寻求解决问题的最佳方案。
技术路线：①提出选题的依据。
②综合国内外学术界关于此问题的讨论，提出自己的见解。
2011年12月17日—2012年3月26日完成文献综述和开题报告.
2012年3月27日—2012年4月18日确定论文框架,完成初稿.
2012年4月19日—2012年5月10日修改完善论文,完成定稿.
2012年5月11日—2012年5月20日准备论文答辩.
指导教师意见
滑慧荐同学根据师范专业的特点，就本人感兴趣的数学问题，查阅了相关的参考资料，并且多次征求指导老师的意见，选择了以《线性方程组的迭代法求解》为毕业论文研究课题.该选题方向比较适合于本科生的毕业论文，工作量也比较适中.同意开题.
③作归纳总结。
进展计划
本人自11—12学年第一学期以来，便着力于选择学位论文的选题，与指导教师商讨论文开题和撰写论文的相关事宜，分别从图书馆、指导教师、相关网络资源上搜集、整理学位论文所需资料，阅读并收集有关论文的材料，做了大量实践性的工作.
2011年10月8日—2012年12月16日确定论文题目和资料的搜集.