初二第九讲多边形(2003)

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人教版八年级数学上册《多边形》PPT

前提条件：同一个平面内
将多边形转化为三角形和四边形解决问题的重要线段
正多边形
定义既是判定也是性质
六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明.
如图所示，剪去一个角后，六边形的边数增加一条，此时新的多边形的边数为7.
动手试一试还有其他的剪法吗？
六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明.
跟踪训练
1、画出下列图形的所有对角线.
2、下列多边形中不是凸多边形的是（ B ）
九边形从一个顶点可以引出（ 6 ）条对角线，分割出（ 7）个三角形，共有对角线（）27条.
解：从一个顶点可以引出对角线条数为9-3=6.
分割出的三角形个数为9-2=7.
共有对角线条数为
.
若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则分割出的三角形的个数是（ 11）.
知识点2 多边形的相关概念
定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
A
如图：在五边形ABCDE中，从点A画五边形的对角线分别为AC、
E
B
AD，从点B画五边形的对角线分别为BE、BD，从点C画五边
形的对角线分别为CE、CA，从点D画五边形的对角线分别为 DA、DB，从点E画五边形的对角线分别为EC、EB.
画出CD所在的直线，发现①中的图形在这条直线的同一侧，而②中的图形不在这条直线的同一侧.
知识点3 凸多边形
A
A
B
C
①D
C
B
②
D
定义：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，称为凹多边形，本节只讨论凸多边形.

浙教版初中数学八年级下册《多边形》知识讲解

多边形知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】要点一、多边形的概念1．定义：在同一平面内，由不在同一直线上的若干条线段（线段的条数不少于3）首尾顺次相接所形成的图形叫做多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．n边形：边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3).顶点：多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的一边的邻边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点二、多边形内角和定理四边形的内角和等于360°．n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3)．多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；多边形的外角和为360°．(3)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(4)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(5)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

八年级上册数学多边形知识点总结人教版

八年级上册数学多边形知识点总结
一、多边形的定义
1. 多边形是由三条或更多的线段组成的封闭图形。

2. 多边形的边界是线段，顶点是两条线段相交的地方。

3. 多边形的内角和为（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。

二、多边形的分类
1. 根据边数的不同，可以分为三角形、四边形、五边形、六边形等。

2. 根据边是否相等，可以分为等边三角形、等腰梯形、正方形等。

3. 根据角的大小，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等。

三、多边形的性质
1. 多边形的内角和等于（n-2）×180°。

2. 多边形的外角和等于360°。

3. 多边形的对角线互相平分。

4. 多边形的任意一条对角线都可以将多边形分为两个三角形。

5. 多边形的任意一条中线都可以将多边形分为两个面积相等的部分。

四、多边形的周长和面积
1. 多边形的周长是指多边形所有边的长度之和。

2. 多边形的面积是指多边形内部的所有点到其边界的距离之和。

3. 计算多边形的周长和面积时，需要知道多边形的边长和角度。

五、多边形的相似性
1. 如果两个多边形的形状相同，但大小不同，那么这两个多边形就是相似的。

2. 两个相似的多边形，它们的对应边成比例，对应角相等。

3. 两个相似的多边形，它们的周长比等于对应边的比，面积比等于对应边的平方比。

人教版八年级多边形知识点归纳很实用

人教版八年级多边形知识点归纳很实用
人教版八年级多边形知识点归纳
1. 多边形定义
多边形是由一条闭合的线段和与其相交的线段所围成的平面图形。

其特点是：每条边的两个端点都是一个顶点，每条边都与它的前一条边和后一条边相交，且没有两条边相交于同一点。

2. 多边形的分类
- 根据边数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等等。

- 根据边长，多边形可以分为等边多边形和普通多边形。

- 根据角度，多边形可以分为凸多边形和凹多边形。

3. 多边形的性质
- 内角和公式：对于 n 边形，其内角和等于 (n - 2) × 180 度。

- 外角和公式：对于 n 边形，其外角和等于 360 度。

- 对于凸多边形，任意两个顶点间的距离都小于等于其它所有点到这两点的距离之和。

4. 三角形的分类
- 根据边长，三角形可以分为等腰三角形（两边相等）、等边三角形（三边相等）和普通三角形。

- 根据角度，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

5. 四边形的分类
- 矩形：四个内角都是90度，且相对边相等。

- 正方形：矩形的特殊形式，四个边长相等。

- 平行四边形：两对对边平行。

- 梯形：有一对对边平行。

- 菱形：四个边等长，两对对边相互垂直。

以上是人教版八年级多边形知识点的简要归纳，希望对你有所帮助。

人教版八年级上册数学精品系列：多边形PPT

比一比.画一画
请分别画出下列两个图形各边所在的直线,你能得到什么结论？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。
人教版八年级上册数学课件：11.3.1 多边形( 共17张 PPT)
✓
4.黄山的云可真白啊，白得就像一匹白纱缎，又犹如刚下的白雪，那么洁净，那么润泽，别有一番神采。黄山的云真静啊，静得让你感觉不到它在飘动，看上去会使你陶醉。
✓
5.黄山的云真长啊，长得无法用眼睛望到边际，只让你感觉到它是那样浩瀚，像一张大幕把天地都罩起来了。
❖
为迎接2010世博会,上海四家宾馆A 、B 、 C 、D
决定建一个停车场,使它到四个宾馆的距离和最小.请你
帮他们确定停车场的位置,并说明理由.
A
C
o
B
D
人教版八年级上册数学课件：11.3.1 多边形( 共17张 PPT)
通过这节课的学习我知道了
……
✓
1.小彼得是一个商人的儿子。有时他得到他爸爸做生意的商店里去瞧瞧。商店里每天都有一些收款和付款的账单要经办，彼得经常被派去把这些账单送往邮局寄走。
多边形的定义
三角形长方形四边形六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗？在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做
八边形多边形。
人教版八年级上册数学课件：11.3.1 多边形( 共17张 PPT)

八年级上数学多边形知识点

八年级上数学多边形知识点在八年级上数学中，多边形是一个非常重要的知识点。

本文将会对多边形的定义、性质及应用进行详细介绍。

一、多边形的定义多边形是由线段围成的封闭图形，其中每个线段都被称为边，每个相邻的边都会相交成一个点，这个点被称为顶点。

根据边的数量，多边形可以分为三种类型：1. 三角形，由三条边组成。

2. 四边形，由四条边组成。

3. 多边形，由五条或以上的边组成。

二、多边形的性质1. 内角和公式多边形内部所有角度之和可以用如下公式计算：S = (n - 2) × 180°其中 n 表示多边形的边数，S 表示所有角度之和。

例如，一个三角形的内角和为 (3 - 2) × 180° = 180°，一个六边形的内角和为 (6 - 2) × 180° = 720°。

2. 对角线数量公式多边形内任意两个顶点之间的连线被称为对角线。

对角线数量可以用如下公式计算：d = n × (n - 3) / 2其中 n 表示多边形的边数，d 表示对角线数量。

例如，一个五边形的对角线数量为 5 × (5 - 3) / 2 = 5。

3. 对称轴数量公式多边形可以存在不同类型的对称轴，包括：- 中心对称轴，即以多边形中心为对称轴的对称轴。

- 旋转对称轴，即以多边形某个顶点为顶点的角度为旋转角度的对称轴。

对称轴数量可以用如下公式计算：n = k + m其中 n 表示对称轴数量，k 和 m 分别表示全等的部分和不全等的部分。

例如，一个正三角形存在三个对称轴，一个正六边形存在九个对称轴。

三、多边形的应用多边形在日常生活中存在着广泛的应用，以下为几个例子：1. 建筑设计多边形在建筑设计中非常重要，例如，正方形、长方形等形状的建筑结构往往更为牢固。

2. 机床多边形的切削是机床加工过程中的常见操作。

机床可以根据多边形的形状进行自动切削，以达到理想的加工效果。

人教版八级上册数学课件多边形

§11.3.1多边形
从这些图形你能抽象出什么平面图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
三角形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
长方形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
四边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
六边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
人教版八年级上册数学课件：11.3.1 多边形( 共15张 PPT)
人教版八年级上册数学课件：11.3.1 多边形( 共15张 PPT)
4、已知一个四边形的四个内角的比为1 : 2 : 3 : 4,求这个
四边形的各个外角的度数。
解法二：算术解法
解法一：方程解法
设：各内角的度数分别为x, 2x, 3x, 4x，则
人教版八年级上册数学课件：11.3.1 多边形( 共15张 PPT)
5、已知一个多边形有35条对角线，你能求出它的边数吗？ 6、有一个家庭联谊会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期间，每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手。（1）若参加会议的人数为15，则一共要握手多少次？（2）若一共握手170次，则参加会议的人数是多少？
1 10
×360°=36°
2 10
×360°=72°
X+2x+3x+4x=360° 解得x=36°
∴2x=72° 3x=108 ° 4x=144 °
3 10
×360°=108°
4 10
×360°=144°
180 °-36 °=144° 180 °-72 °=108° 180 °-108°=72° 180 °-144 °=36°

人教版八年级数学上册：多边形教学课件1

人教版八年级数学上册课件：多边形课件
自学指导(二)
自学内容:P20前两行字自学要求:认真看书理解课本
中内容仔细思考并完成“对角线概念”和表格。
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
自学验收题:
1.什么叫多边形的对角线? 2.从五边形的一顶点出发可以引几条对
D 对角线
A3 A2
A1
…….
An
A4 A5
A6
n边形过一顶点可以引(n-3)条对角线
n边形过一顶点引出的对角线把n边形分成(n-2)个三角形
关于多边形的对角线
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
四边形共 2 条对角线
多边形的对角线常用虚线表示。
关于多边形的对角线五边形有 5 条对角线六边形有 9条对角线
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
达标检测独立完成导学案中的前9个题。
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
• 作业：三维训练相对应的多边形练习
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
人教版八年级数学上册课件：多边形课件
人教版八年级数学上册课件：多边形课件人教版八年级数学上册课件：多边形课件
§11.3.1多边形
学习目标：
• 1.了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念。
• 2.区别凸多边形与凹多边形 • 3.理解和运用对角线知识来解决问
题。
•我肯定会达到这个目标， •我为这些目标认真学习！
自学指导（一）
人教版八年级数学上册课件：多边形课件

多边形的周长和面积

第九讲多边形的周长、面积正方形：周长（C）= ; 面积（S）＝；长方形：周长（C）＝；面积（S）＝；平行四边形：周长（C）＝；面积（S）＝；三角形：，周长（C）＝；面积（S）＝；梯形：周长（C）＝；面积（S）＝。

课堂练习（一）一、填空题（每空2分，共24分）1、如果平行四边形的四个角都变成直角，那么这个平行四边形就变成了（）或（）。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫做（）。

3、两条平行线之间，（）最短。

4、一个平行四边形的一组邻边分别是5厘米和2厘米，这个平行四边形的周长是（）厘米。

5、一个三角形的三个角，第一个角是第二个角的2倍，第三个角是第二个角的3倍，这个三角形是（）三角形，其中最小的角是（）度。

6、一根铁丝长50厘米，要折成如下图2-1所示的长方形，至多可以折出（）个来。

6厘米8厘米图2-1图2-27、把两个长6厘米、宽5厘米的长方形，拼成一个新的长方形，新的长方形的周长是（）厘米。

8、一个长方形的花坛，周长是30米，长是8米，宽是（）米。

9、如上图2-2所示的图形的周长是（）厘米。

10、一个长方形，它的周长是48厘米，长是宽的2倍，则长方形的面积是（）平方厘米。

二、选择题（每题2分，共16分）1、过直线外一点，可以作（）条直线与已知直线平行A、一B、二C、三D、无数2、在等腰梯形中画一条线段，不能分割成（）A、一个平行四边形和一个梯形B、两个平行四边形C、两个三角形D、两个等腰梯形3、在梯形中，互相平行的一组对边叫做梯形的（）A、腰B、上底和下底C、高4、下面各组小棒中不能拼成三角形的是（）A、3cm 4cm 5cmB、6cm 8cm 10cmC、4cm 5cm 11cmD、4cm 10cm 6cm 5、有一个三角形的其中两个内角度数分别是89 ，21 ，这个三角形是（）三角形A、等腰B、等边C、锐角D、钝角6、一个等腰三角形的周长是9厘米，一边长是4厘米，另两边长（）厘米A、3厘米、2厘米B、4厘米、1厘米C、2.5厘米和2.5厘米D、3厘米、3厘米7、任意一个三角形至少有（）个锐角A、1个B、2个C、3个8、钝角三角形有（）条高A、1条B、2条C、3条三、解答题（共60分）1、从一张长10厘米，宽4厘米的长方形纸片中剪下最大的正方形。

初二数学多边形优秀教案

边形
2、多边形的内角
定义：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角,如下图中的
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E
3、三角形的外角
定义：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边
形的外角，如下图∠1 是五边形 ABCDE 的一个外角
4、多边形的对角线
定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形
的对角线。如下图，AC、AD 是五边形 ABCDE 的两条对角
线
三、合作探究，分组汇报
学生自己动笔分别画三角形、四边形、五边形、六边形、
八边形等，找出其内角、外角和由其中一个顶点引出的
对角线，并填好下表：
教学板书
图形
边
内角
数
数
外角数
由一个顶点引出的对角线数
三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
n 边形
小组内书本 21 页的练习第 1、2 小题五、课堂小结，结课
形，那么五条边的图形叫什么？六条边？八条边？n 条边呢？
… 我们把三条边以上的平面图形统称为多边形
二、讲授新课（18 分钟）
n 条边?
1、多边形的定义（根据三角形定义引导学生给出多边形定
义）
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首位顺次相接组
成的图形叫三角形。
多边形：由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多
多
边
形
教
案
课题主备人教学对象
教学目标
教学重难点教学媒体教学方法
教学过程
多边形
课时
45 分钟
师范组 13 号
课型
新知识讲授课
初中二年级学生
知识与技能：

人教版八年级数学上册《多边形的定义》课件(共40张PPT)

解：设一个外角为x°，则内角为（x＋36）° 根据题意得： x+x+36＝180 x＝72 360÷72＝5
答：这个正多边形为正五边形。
（1）一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度?
(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？
（3）一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和每个内角的度数。
多边形的
边数
3 4 5 6 7…
n
从一个顶
点出发对 0 1 2 3 4
n-3
角线数
分成的三角形个数
1
2
3
4 5 … n-2
多边形的内角和
180°
180°
×2
180° 180° 180°
×3 ×4 ×5
…
(n-2) ×180
n边形的内角和等于(n－2)．180°
多边形外角和
探索
（1）什么是三角形的外角？外角有什么性质？
角为（ C
2.一个正多边形每一个内角都是120o，这个
多边形是（ C ）
A、
正四边形 B、正五边形
C、正六边形 D、正七边形
３．一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（ A ） A、13条 B、14条 C、15条 D、16条
＝ 180 ° 。
探究活动：
５Ｅ
４
Ｂ
Ａ１
Ｆ２
Ｄ３Ｃ
如图， ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ
＝ 180 ° 。
G
A
F
B
E C
D
巩固一下：求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。

八年级多边形原理知识点

八年级多边形原理知识点在数学学科中，多边形是一个非常常见的形状，它是由多个线段相连形成的封闭图形。

八年级学生需要掌握多边形的原理知识点，以便能够正确地解决与多边形相关的问题。

本文将介绍八年级多边形原理知识点。

一、多边形的定义和性质多边形指由若干条线段组成的封闭平面图形。

其中，多边形的内部是指由多边形围成的区域，而多边形的外部则指该区域以外的平面。

多边形具有以下性质：1. 多边形是封闭的、平面的。

2. 多边形的每个角的度数之和等于 180 度。

3. 多边形的对角线的数量为n(n-3)/2，其中n 为多边形的边数。

二、多边形的分类多边形可以按照边数和形状进行分类。

1. 按照边数分类：三边形：有三条边的多边形。

四边形：有四条边的多边形。

五边形：有五条边的多边形。

六边形：有六条边的多边形。

…………n 边形：有 n 条边的多边形。

2. 按照形状分类：凸多边形：每个内角都小于 180 度的多边形。

凹多边形：至少存在一个内角大于 180 度的多边形。

正多边形：具有相等边长和相等内角的多边形。

不规则多边形：不具有相等边长和相等内角的多边形。

三、多边形的面积和周长计算方法1. 面积：三角形面积公式：S=1/2*b*h，其中 b 和 h 分别指三角形的底边和高。

四边形面积公式：S=1/2*d1*d2，其中 d1 和 d2 分别指四边形的对角线。

正多边形面积公式：S=1/2*a*p，其中 a 和 p 分别指正多边形的边长和周长。

2. 周长：多边形的周长即为其所有边长的和。

四、多边形的中心和对称轴1. 中心：正多边形的中心是指多边形的重心、外心、内心和垂心的交点。

不规则图形的中心是指该图形的质心。

2. 对称轴：多边形的对称轴是指将多边形沿着某条线对称后所得到的线。

多边形可以具有一个或多个对称轴。

五、多边形的旋转和平移1. 旋转：将多边形沿着某个点旋转一定角度后所得到的图形与原图形具有相似性质。

2. 平移：将多边形沿着某个方向移动一定距离后所得到的图形与原图形相似，且它们拥有相同的形状和大小。

八年级多边形知识点总结

八年级多边形知识点总结本文旨在总结八年级学生需要掌握的多边形知识点，让大家更好的掌握多边形相关的概念和解题方法，并为日后的学习和实践打下坚实的基础。

一、多边形的定义多边形是指由三个或更多的线段组成的、一条线段的端点恰好是另一条线段的端点的图形。

多边形的定理有很多，比如多边形内角和定理、正多边形的性质等。

二、正多边形的性质正多边形是指所有边相等，以及所有内角都相等的多边形。

关于正多边形，我们需要掌握的知识点如下：1. 内角和公式：正n边形的内角和为 (n-2)×180°。

2. 中心角公式：正n边形的中心角等于 360°/n。

3. 对角线数公式：正n边形的对角线数= n(n-3)/2。

4. 对边平行：正多边形中对边平行且相等。

三、多边形的内角和定理由三角形的内角和定理，我们可以推出多边形中内角和的公式，即：(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。

根据内角和定理，我们可以知道：1. 三角形的内角和为180°。

2. 四边形的内角和为360°。

3. 五边形的内角和为540°。

以此类推，我们可以通过公式算出任意多边形的内角和。

四、特殊的四边形关于四边形，我们需要特别注意一些特殊的类型，这些类型的四边形有一些特殊的性质，需要我们花费更多的时间来理解。

1. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，其性质有：对角线相等、对边平行且相等、内角为90°、外角为270°等。

2. 矩形：矩形是一种所有内角均为90°的四边形，其特点为：逆时针旋转180°后仍是原图形、对角线相等、对边平行且相等、中心对称等。

3. 菱形：菱形也是一种所有内角均为90°的四边形，其特点为：对边平行且相等、对角线互相垂直且相等、中心对称等。

五、多边形的周长和面积学习多边形的周长和面积也是非常重要的，也是解决多边形相关问题的必备技能。

八年级上册多边形的知识点

八年级上册多边形的知识点多边形是几何学中的一个重要概念，是指由若干个线段组成的、封闭的图形。

在八年级上册的几何学中，学生需要掌握多边形的种类、性质和应用等方面的知识。

本文就该部分内容进行详细阐述。

一、多边形的种类1.凸多边形：所有内角均小于180度的多边形称为凸多边形。

例如，三角形、正方形、五边形等都是凸多边形。

2.凹多边形：存在内角大于等于180度的多边形称为凹多边形。

例如，图中的图形都是凹多边形。

3.不规则多边形：既不是凸多边形也不是凹多边形的多边形称为不规则多边形。

例如，图中的图形都是不规则多边形。

二、多边形的性质1.所有内角的和：对于一个n边形（n≥3），其所有内角的和为(n-2)×180度。

例如，一个正方形的所有内角的和为(4-2)×180度=360度。

2.正多边形的内外角：对于一个n边形，其每个内角的度数为(180度×(n-2))/n；每个外角的度数为360度/n。

例如，一个正五边形的每个内角的度数为(180度×(5-2))/5=108度，每个外角的度数为360度/5=72度。

3.多边形的对边平行：对于一个凸多边形，如果两条非相邻的边的对边平行，则该多边形是梯形。

例如，图中第一幅图形是梯形，而第二幅图形不是梯形。

4.多边形的等边性：对于一个n边形，如果所有边的长度相等，则称其为正多边形。

例如，一个边长为a的正六边形的周长为6a。

三、多边形的应用1.计算多边形面积：对于任意一个多边形，可以通过先将其分割为若干个三角形，并对每个三角形计算面积，最终得出多边形的面积。

例如，一个正五边形的面积可以按照以下方式计算：首先将其分割为五个等边三角形，而每个等边三角形的面积为(边长的平方×√3)/4，因此该正五边形的面积为5×(边长的平方×√3)/4。

2.应用到建筑、艺术设计等领域：多边形结构在建筑、艺术设计等领域中有广泛运用。

例如，一些建筑物采用的经典设计元素就包括三角形、正方形等多边形结构。

走进重高培优讲义八下第九讲多边形

第九讲多边形例1 一个n边形从一个顶点出发可以画4条对角线，则它的内角和为( )．.C.D720900540360.A.B例2 看图回答问题：(1)内角和为,2005 小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？(3)被错当成内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？例3 如图1～4，直线Z 分别截正三角形、正方形、正五边形、正n 边形中,1A ∠交正多边形两边于M ，N 两点．(1)图1～3中，21∠+∠的度数分别为 (2)求图4中21∠+∠度数．例4 乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数 4 5 6 7 8 n1 2 3 4 5从一个顶点出发的对角线的条数2 5 9 14 20多边形对角线的总条数(1)请观察上面的图形和表格，并用含咒的代数式将上面的表格填写完整．(2)数学社团共分为6个小组，每组有3名同学，同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打多少个电话？(3)乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．例5四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质，只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图1)，其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点(如图1).求证：⋅⋅=⋅∆∆∆∆CCD O AB O AD O Bc S S S S(2)在三角形中（如图2），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明；若不能，请说明理由，例如图，在四边形ABCD 中，ADC ABC A ∠∠=∠与,90 互补． (1)求∠C 的度数．(2)若CD BC >且,AD AB =请在图上画出一条线段，把四边形ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由．(3)若,49,8,6===ABCD S BC CD 四边形求AB 的值．拓展训练 A 组1．以线段10,9,8,7====d c b a 为边作四边形，可以作( )． A.l 个 B ．2个 C. 3个 D ．无数个 2．【白银】如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．180.A 360.B 540.C 720.D（第2题）3．若一个正多边形的边长为2，每个内角为,135 则这个多边形的周长是( )．8.A 12.B 16.C 18.D4．如图，在五边形ABCDE 中，3,2,1,//∠∠∠CD AB 分别是EDC AED BAE ∠∠∠,,的外角，则321∠+∠+∠等于( )．90.A 180.B o C 210. 270.D（第4题）（第5题）（第6题）（第7题） 5．如图，已知矩形ABCD ，用一条直线将该矩形分割成两个图形，则所得任一图形内角和度数不可能是( )．720.A 540.B 360.C o D 180.6．【济宁】如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是7．如图，在四边形ABCD 中，.70,100=∠=∠C A o 将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN，若//MF //,FN ADDC 则=∠B _________.8．如图，图1中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，图2中多边形是由正方形“扩展”而来的……依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为_________.（第8题）（第9题）9．如图，我们可以按照如下方法求一个多边形的对角线条数．图1：032)13(3=--⨯（条）；图2：242)14(4=--⨯（条）；图3：552)15(5=--⨯（条）．若按以上方法求二十边形的对角线条数，可列式子为，求得该多边形的对角线条数为_______．10.小月和小东在一起探究有关“多边形内角和”的问题，两人互相出题考对方，小月给小东出了这样的一个题目：一个四边形的各个内角的度数之比为1:2:3:6，求这个四边形各个内角的度数．小东想了想，说：“这道题目有问题，” (1)请你指出问题出在哪里．(2)他们经过研究后，改变题目中的一个数，使这道题目没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数，使这道题目没有问题，并进行解答．11.例题：如图1：请你想办法求出五角星中E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的值．下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：观察图形，能分别求出各个角的度数吗？能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数，有个学生小声地说了句：要是能把这五个角放到一块就好了！老师回答：有想法，就去试试看，很快就有学生发现利用三角形外角性质可将D B E C ∠∠∠∠,,,分别用21∠∠和表示，于是得到.18021 =∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠A E D C B A根据以上信息，你能求出图2中G F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的值吗？请给予说明．（第11题）B 组12．记n 边形)3(>n 的一个外角的度数为p ，与该外角不相邻的)1(-n 个内角的度数的和为q ，则p 与q的关系是( )．q P A =. o n q P B 180)1(.⋅--= 180)2(.⋅--=n q P C 180)3(.⋅--=n q P D13.【济宁】如图，在五边形ABCDE 中，CP DP E B A ,,300=∠+∠+∠分别平分,EDC ∠,BCD ∠则∠P的度数是( )．50.A 55.B 60.C 65.D（第13题）（第14题）14.把边长相等的正五边形ABGHI 和正六边形ABCDEF 的AB 边重合，按照如图的方式叠合在一起，连结EB ，交HI 于点J ，则=∠BJI ________. 15. 一个凸多边形的内角的度数从小到大排列，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是,100o 最大角是,140o 求这个多边形的边数，16.如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图是一组正多边形，观察每个正多边形中α∠的变化情况，解答下列问题：（第16题）(1)将下面的表格补充完整：正多边形的边数 3 4 5 618∠a 的度数(2)根据规律，是否存在一个正n 边形，使其中的？20=∠α若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．(3)根据规律，是否存在一个正n 边形，使其中的？21=∠α若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．17．(1)如图，在图l 中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个……则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有________个．（用含n 的代数式表示） (2)若在如图4的n 边形中，P 是n A A 1边上的点，分别连结,,,,,1432-n PA PA PA PA 得到1-n 个互不重叠的三角形，你能否根据这样的划分方法写出n 边形的内角和公式并说明你的理由．(3)若在四边形内部有n 个不同的点，按照(1)中的方法可得k 个互不重叠的三角形，试探究n 与k 的关系．（第17题）18.提出问题：如图1，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形人手： (1)当AD AP 21=时（如图2）．ABP AD AP ∆=,21在AP 边上的高和△ABD 在AD 边上的高相等， .21ABD ABP S s ∆∆=∴CDP AD AP AD PD ∆=-=,21在PD 边上的高和△CDA 在AD 边上的高相等，⋅=∴∆∆CDA CDP S s 21CD p ABP ABCD PBC s s s s ∆∆∆--=∴四边形CDA ABD ABCD s S s ∆∆--=2121四边形 )(21)(21ABC ABCD DBc ABCD ABCD S S s s s ∆∆----=四边形四边形四边形.2121⋅+=∆∆ABC DBC S S（第18题）(2)当AD AP 31=时，探求PBC S ∆与⋅∆ABC S 和DBC S ∆之间的关系，并写出求解过程． (3)当AD AP 61=时，⋅∆pBC S 与ABC S ∧和DBc s ∆之间的关系为____________(4) -般地，当AD nAP 1=（n 表示正整数）时，探求PBC s ∆与ABc S ∆和DBc s ∆之间的关系，并写出求解过程．问题解决：当)10(≤≤=nmAD n m AP 时，PBC S ∆.与ABC S ∆和⋅∆DBC S 之间的关系为_________. 走进重高1．【鞍山】如图，某人从点A 出发，前进8m 后向右转,60 再前进8m 后又向右转,60 按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A 时，共走了( )．m A 24. m B 32. m C 40. m D 48.（第1题）（第3题）（第4题） 2．【莱芜】如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是( )．10.A 11.B 12.C 13.D 3．【宜宾】如图，六边形ABCDEF 的各个内角都相等，,//BC AD 则=∠DAB ________.4．【徐州】如图，A ，B ，C ，D 为一个外角为40的正多边形的顶点．若0为正多边形的中心，则=∠OAD5．我们曾利用下面的方法，探索过n 边形的内角和．方法一：在n 边形n A A A A A A 54321内任取一点0，连结点0与各个顶点．方法二：选取n 边形的任意一个顶点，连结与它不相邻的所有顶点（即作过任意一个顶点的所有对角线）．方法三：在n 边形的一条边上任取一点P ，连结这点与各个顶点．如图是n 边形⋅n A A A A A A 54321(1)求证：n 边形n A A A A A A 54321的内角和等于.180)2( ⋅-n(2)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为.1180请帮他求出这个多加的外角度数及该多边形的边数．（第5题）6．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S ，该多边形各边上的格点个数和为a ，内部的格点个数为b ，则.121-+=b a s 小明认真研究了上面的内容，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是正三角形网格中的两个格点多边形：（第6题）(1)根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1 8 1 多边形273… … ……一般格点多边形 a6S(2)S 与a ，b 之间的关系为S=___________（用含a ，b 的代数式表示）．高分夺冠1．如图1，圆上均匀分布着11个点111321,,,,A A A A A 从起每隔k 个点顺次连结，当再次与点1A 连结时，我们把所形成的图形称为1+k 阶正十一角星”，其中k k <≤≤81为正整数）．例如，图2是“2阶正十一角星”．那么当 5401121=∠++∠+∠A A A 时，k 的值为( )．3.A 3.B 或6 2.C 或6 2.D（第1题）（第2题）2．如图，在四边形ABCD 中，∠F 为四边形ABCD 的内角∠ABC 的平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的锐角，若⋅=∠=∠βαD A ,(1)如图1，当 180>+βα时，=∠F _________（用含βα,的式子表示）．(2)如图2，当o 180<+βα时，请在图2中画出∠F，且∠F=_________（用含βα,的式子表示）．(3)当βα,满足条件____________时，不存在∠F ．3．如图，四边形ABCD 的面积为1，第一次操作：分别延长,,,CD BC AB DA 至点,,,,1111D C B A 使,,,,1111DA A D CD D C BC C B AB B A ====顺次连结1111,,,D C B A 得到四边形⋅1111D C B A 第二次操作：分别延长11111111,,,A D D C C B B A 至点,,,,2222D C B A 使===1211121112,D C C B C B B A B A ,,111211A D A D D C =顺次连结,,,,2222D C B A 得到四边形 2222D C B A 按此规律，要使得到的四边形的面积超过,20162最少要经过_________次操作．（第3题）4．如图，在五边形54321A A A A A 中，1B 是1A 对边43A A 的中点，连结,11B A 我们称B A 1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．（第4题）5．将数字8,7,6,5,4,3,2,1分别填写到八边形ABCDEFGH 的8个顶点上，并且以,,,21 s s 8S 分别表示),,(,),,,(),,,(B A H D C B C B A 8组相邻的三个顶点上的数字之和．(1)试给出一个填法，使得821,,,s s s 都大于或等于12.(2)请证明任何填法均不可能使得821,,,s s s 都大于或等于13.（第5题）答案。

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第九讲多边形、中心对称图形
一．【基础知识概述】
1、多边形：
（1）．多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°
①在N边形内任取一点，并把这点与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三
角形内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为（n-2）×180°
②从n边形的一边上取一点与各顶点相连，得（n-1）个三角形，n边形内角和为等于这（n-1）个三角形内角和减去在所取点处的一个平角，即（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°③从多边形的一个顶点与其它顶点连接起来，共有(n-2)个三角形，其内角和为（n-2）×180°，即金多边形的度数。

（2）．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°．
（3）．多边形的对角线
从n边形的一个顶点，可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形；n边形共
有
2)3
(
n
n
条对角线.
2．中心对称图形：
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合．那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称图形上的每一对对应点的连线必经过对称中心，对应点所连成的线段都被对称中心平分，反之亦然。

3.中心对称图形与轴对称的区别
二【典型例题】
1.多边形相关例题:
例1．已知一个多边形的各个内角都等于144度，求这个多边形的边数。

变式：已知一个多边形内角和是1440°，求这个多边形内角和的度数。

例2. 某多边形所有内角的和与某一内角的差是1710°，求这个多边形的边数
1
2
变式:一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数。

例3.已知六边形
ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠
F=120°
求证：AB+BC=EF+ED
例4.五边形ABCDE 中，AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=
∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连结AD,求证：AD 平分∠CDE.
例5.已和在四边形ABCD 中,O 为内部一点,且AO,BO,C0,DO
分别为∠A,∠B,∠C,∠D 的角平分线.求证:AB+CD=AD+BC
2.中心对称图形相关例题：
例1.下列图形中，既是对称图形又是中心对称图形的是：
A ．等边三角形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．正五边形
例2.如右图，已和四边形ABCD,作四边形ABCD 关于点B 的对称
图形.
F E
D
C
B
A E
D
C B
A
O
D
C
B
A
C
A
3
例3.在等腰三角形ABC 中，∠C=90°，BC=2cm. 如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转 180°，点B 落在B ′处，那么点B ′与点B 的原来位置相距多少cm?
例4.有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。

（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）
3.拔高综合例题：
例1.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任
意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；
⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.
例2.如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．
（1）证明：△ABG ≌△ADE ；
（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面
积为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．
C
B
A D
B C
C
F G
E
D
B
A
H
4
例3.阅读材料：
如图，ABC △中，AB AC =，P 为底边BC 上任意一点，点P 到两腰的距离分别为12r r ，，腰上的高为h ，连接AP ，则ABP ACP ABC S S S +=△△△．即：
12111
222
AB r AC r AB h += 12r r h ∴+=（定值）
．（1）理解与应用
如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 为对角线BD 上的一点，且
BE BC =，F 为CE 上一点，FM BC ⊥于M ，FN BD ⊥于N ，试利用上述结论求出FM FN +的长．
（2）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边ABC △内任意一点P 到各边的距离分别为123r r r ，，，等边
ABC △的高为h ，试证明123r r r h ++=（定值）．
（3）拓展与延伸
若正n 边形12n A A A 内部任意一点P 到各边的距离为12n rr r ，请问是12n r r r +++ 是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．
例4. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，判断AD+BC
与AB+CD 的大小关系
A
C B P r 1
r 2
h D
C
B
A
E N
F
M
C
A
B
P r 1
r 3 r 2
h D
C
A。