第9章 多元函数微分学练习题
《多元函数微分学》练习题参考答案
解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题 作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ． （2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
24
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x
第九章多元函数微积分及其应用习题参考答案
习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域： （1）ln(z y x =- （2）u =。
解 (1) 函数的定义域为(){}22,,0,1x y y x x xy >≥+<.(2) 函数的定义域为(){}22,0x y z x y ≤+≠.2.求下列各极限： （1）(,)(0,0)limx y →； （2）(,)(2,0)tan()lim x y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+ （4）()(,0,0limx y →解 (1) 原式()(()(()(,0,0,0,0,0,0441limlim lim 4x y x y x y xy →→→-+====-(2) 原式()()()()()()()()()()(),2,0,2,0,2,0,2,0tan tan tan limlim lim lim 122x y x y x y x y xy xy xy x x yxy xy →→→→⎡⎤==⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦(3) 令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===(4) 令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数：（1）2sin()cos ()z xy xy =+； （2）(1)yz xy =+； （3）arctan()zu x y =-. 解 (1)()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zy xy xy xy y y xy xy x∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ ()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zx xy xy xy x x xy xy y∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ (2)()121y z y xy x -∂=+∂; ()()()ln 11ln 11y y xy z xy e xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦. (3) ()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 证 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂,左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=； （2）xz y =. 解 (1) ()22222222212,;1z y y z xy xx x y x y x y x ∂∂⎛⎫=⋅-=-= ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22222222112,;1z x z xy yx x y y y x y x ∂∂⎛⎫=⋅=-=- ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()()()22222222222222x y y y z y y x x y y x y x y x y +-⋅⎛⎫∂∂-=-=-= ⎪∂∂∂+⎝⎭++. (2) 222ln ,ln x x z z y y y y x x ∂∂==⋅∂∂, ()2122,1x x z z xy x x y y y--∂∂==-∂∂, ()()21ln 1ln x x z y y y x y x y y -∂∂==+∂∂∂. 习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分：（1）y xz e =； （2）yzu x =. （3）sin2yz yu x e =++. （4）()222tan z y x u ++=解 (1) 因为2y x z y e x x ∂=-∂, 1y x z e y x ∂=∂,所以()21yxz z dz dx dy e ydx xdy x y x∂∂=+=--∂∂. (2) 因为1,ln ,ln yz yz yz u u u yzx zx x yx x x y z-∂∂∂===∂∂∂,所以 ()1ln yz yz u u udu dx dy dz yzx dx x x zdy ydz x y z-∂∂∂=++=++∂∂∂.(3)11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.(4) 因为u x ∂=∂，u y ∂=∂u z ∂=∂,所以)du xdx ydy zdz =++.2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。
多元函数微分学练习题及答案
三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
第九章多元函数微分学C自测题及答案
第九章多元函数微分学自测题一、 填空题（每题3分，共30分）1．已知22),(y x xy y x f -=+ ，则f(x ,y)= （ ）。
2．)sin(11lim 00xy xy y x -+→→=（ ）. 3．已知()=∂∂-=x z y x z 则,2sin ln （ ）. 4. 可微函数),(y x f 在点),(00y x 达到极值，则必有（ ）5.由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z =z （x ,y ）,在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ ）．6. 设 22ln arctan y x y x +=，则dy dx=（ ） 7. 函数221)ln(y x xx y z --+-=的定义域是（ ）8．函数222y x z -=是否有极值点，若有，写出该点，否则写无（ ）9. 设)ln(y x e e z +=，则yz x z ∂∂+∂∂= 10 函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值点有（ ）．二、 单项选择题（每题3分，共15分）1. 设2y zx e u -=，则zu ∂∂＝（ ） A. 2y zx e --； B.2y zx xe --； C. 22y z x e y x --； D. 22y zx e y x - ２．二元函数),(),(00y x y x f z 在点=可导（偏导数存在）与可微的关系是（ ）．A. 可导必可微；B. 可导一定不可微 ；C.可微不一定可导；D.可微必可导．3．函数其它)0,0(),(0),(22≠⎩⎨⎧=+y x y x f yx xy 在（0，0）处 （ ）A. 连续，偏导数存在；B. 连续，偏导数不存在；C. 不连续，偏导数存在；D. 不连续，偏导数不存在。
4. 对函数xy z =，原点（０，０）（ ）.Ａ．不是驻点； Ｂ．是驻点但非极值点；Ｃ．是驻点且为极大值点； Ｄ．是驻点且为极大值点．5.二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的两个偏导都存在，则下列说法正确的是（ ）.A ． 0000(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+；B ．函数0(,)z f x y =在0x x =点连续；C ．函数0(,)z f x y =在0y y =点不连续；D ．函数(,)z f x y =在00(,)x y 点连续.三、计算题（每题5分，共55分）1. 设函数)sin ,2(x y y x f z -=，求yx z ∂∂∂2． ２．设),,,(y x u f z = yxe u = ．其中f 具有连续的二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2． 3.求偏导数 2(,cos ,)xy z f e xy y =4. 由方程0),(=++x z y y z x F 所确定，其中F 为可微函数，求： yz y x z x ∂∂+∂∂。
【同济高数】第九章多元函数微分法及其应用单元测试题
四．综合题（共30分）
24．求函数 的极值．（8分）
25．求对角线长度为 米而体积最大的长方体的体积．（8分）
26.要造一个容积等于定数 的无盖长方体水箱，应如何选择水箱的尺寸，方可使它的表面积最小．（7分）
27.将周长为 的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？（7分）
A． B． C． D．
6.函数 在点（1，1）处的全微分 =（ ).
A. B. C. D.
7.二元函数在 在点 处的两个偏导数存在是该函数在点 处可微分的（ ）
A．充分条件； B．必要条件； C．充要条件； D．既非充分也非必要条件
8.函数 的驻点为（）．
A． B． C． D．
9. 在（1，－1，2）处的梯度是（）.
A． B．2 C． D．2
10. ＝（）（a 0）
A.1B.0C. D.a
二．填空题（每小题2分，共14分）
11.
12.函数 在点P（5，1，2）处的方向导数的最大值为．
13.设 ，则 =.
14.函数 在点 处沿点 指向点 方向的方向导数为.
15.函数 在点 处有极_ __值.
16.设函数 ，则 .
密封线答题不能超出密封装订线20162017学年第2学期多元函数微分法及其应用单元测验题使用班级教师填写
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
得分
阅卷人
一.填空题（每空2分，共20分）
1. ＝（）．
A．0B． C．∞D．1
2. ,则函数在(0,0)点().
A．连续B．极限不存在C．极限不存在，但不连续D．无定义
第九章多元函数微分学习题简解
基本训练11．设函数222),(yx xy y x f +=，求⎪⎭⎫⎝⎛x y f ,1． 答案：222yx xy +2．求下列函数的定义域：（1）()84ln 2+-=x y z ； 答案：)}2(4|),{(2->x y y x ； （2）yx yx z -++=11； 答案：|}||),{(y x y x >；（3）xy z arcsin=； 答案：}0|||||),{(≠≤x x y y x 且3．求下列极限： （1）11lim 22220-+++→→y x yx y x ； 提示：分母有理化；答案：2（2）xxy y x )sin(lim0→→； 答案：0（3）()yxy x y x 1cos1sinlim 30+→→． 提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小； 答案：04．证明极限yx y x y x -+→→00lim不存在：提示：令(x, y ) 沿不同的路径kx y =趋向于原点，极限等于不同的值.5．函数yx z -=1在何处是间断的？答案：在位于xOy 平面的直线y = x 上.6．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222yx y x y x xy z 的连续性．提示：选取直线kx y =， 则2222)0,0(),(l 22)0,0(),(1im limkkkx x kxy x xykxy y x kxy y x +=+=+=→=→随着k 的变化而变化，即22)0,0(),(limyxxyy x +→不存在，函数在除)0,0(外任一点都连续.7．求下列函数的偏导数： (1) 22yx y x z +-+=；答案：221yx x xz +-=∂∂，221yx y yz +-=∂∂（2）yx z tanln =； 答案：yx yx y xz cossin1=∂∂，yx y x y x yz cossin2-=∂∂（3）yx z arctan =；答案：)1(22yyx x yxxz +=∂∂，)1(2ln 2yyx x x yz +=∂∂（4）)sec(xy z =；答案：)sec()tan(xy xy y xz ⋅=∂∂，)sec()tan(xy xy x yz ⋅=∂∂8．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(4444442yx y x y x xyy x f ，证明函数),(y x f 在)0,0(处偏导数存在，但不连续．简解： 000lim)0,0()0,(lim )0,0(0=-=-=→→xxf x f f x x x ，同理0)0,0(=y f ； 但0≠k 时，442)0,0(),(limy x xykxy y x +=→∞=+==→443)0,0(),(limkxx kxkxy y x ,所以函数在)0,0(处不连续．基本训练21．求下列函数的二阶偏导数： (1) yxz 2=，求22xz ∂∂，yx z ∂∂∂2；答案：2222)12(2--=∂∂y xy y xz ，)ln 21(2122x y xyx z y +=∂∂∂-(2) x y y x z sin sin 33+=，求yx z∂∂∂2；答案：x y y x cos 3cos 322+(3) )l n(xy x z =，求yx z ∂∂∂23．答案：02．设222zy x r ++=，证明rzr yr xr 2222222=∂∂+∂∂+∂∂．简解： rx zyxxxr =++=∂∂222，322222rz yrxr x r xr +=∂∂⋅-=∂∂，同理可得,32222rz xyr +=∂∂32222ry x zr +=∂∂，因此rrz y x zr yr xr 2)(23222222222++=∂∂+∂∂+∂∂3．求下列函数的全微分：(1) y x z arcsi n =； 答案：22||x y y xdyydx --（2）)ln(22y x z +=，求)1,1(dz ； 答案：dy dx +(3) zy x u =． 答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++xdz y xdy z dx x yzx yz ln ln4．求函数32y x z =当2=x ，1-=y ，02.0=∆x ，01.0-=∆y 时的全增量及全微分．答案：.2.0,20404.0-=-=∆dz z*5．设有一圆柱，它的底圆半径r 由2cm 增加到05.2cm ，其高h 由10cm 减少到8.9cm ，试确定其体积的近似变化．6．设22uv v u z -=，而y x u cos =，y x v sin =，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：)sin (cos 2sin 232y y y x xz -=∂∂，)cos(sin)sin (cos 2sin 3333y x x y y y x yz +++-=∂∂7．设xy z =，而t e x =，t e y 21-=，求dtdz ． 答案：t t e e ---．8．设)arctan(xy z =，而xe y =，求dxdz ． 答案：xxex x e 221)1(++．基本训练31．设1)(2+-=a z y eu ax，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu ． 答案：x e ax sin ．2．设())4(32y x y x z ++=，求xz ∂∂，yz ∂∂．两边取对数 答案：()())32ln(3232)4(2414y x y x y x y x xz yx y x +++++=∂∂+-+，()())32ln(32432)4(3414y x y x y x y x yz yx y x +++++=∂∂+-+4．设)(u xF xy z +=，而xy u =，)(u F 为可导函数，求证xy z yz yx z x+=∂∂+∂∂．解答： 因为xyu xy xu 1,2=∂∂-=∂∂，故)()()()(u F x y u F y xu u F x u F y xz '-+=∂∂'++=∂∂)()(u F x yu u F x x yz'+=∂∂'+=∂∂，所以 xy z xy u xF xy u F y xy u F y u xF xy yzyx zx+=++='++'-+=∂∂+∂∂))(()()()(5．求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶偏导数）：(1))(zx yz xy f u ++=；答案：)()(xz yz xy f z y xu ++'+=∂∂，)()(xz yz xy f z x yu++'+=∂∂，)()(xz yz xy f y x zu ++'+=∂∂（3）),,(xyz xy x f u =．答案：321f yz f y f xu '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy zu '=∂∂6．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，试求yz y xz x ∂∂+∂∂11．简解： 因为)()(22)()(2222222222y xfy x f xy x y xf y xfy xz --'-=⋅-'--=∂∂,)()(2)()()2()()(222222222222222y xfy x f yy xf y xfy y x f y y xf yz --'+-=--⋅-'--=∂∂,所以yz y xz x ∂∂+∂∂11)()(222222y xfy x f y --'-=)()(2)(22222222y xyfy x f y y xf --'+-+)(122y x yf -=.7．求下列函数的二阶偏导数（其中f 有二阶连续的偏导数）： (1) )(222z y x f u ++=，求22xu ∂∂；答案：)(4)(22222222z y x f x z y x f ++''+++'.（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f u ,，求22y u ∂∂； 答案：2242232f yx f yx ''+'.(3) ),sin (22y x y e f z x +=，求yx z ∂∂∂2；简解：因为 212s i n f x f y e xz x'+'=∂∂， 所以)2c o s (2)2c o s (s i n c o s 2221121112f y f y e x f y f y e y e f y e yx z x xx x ''+''+''+''+'=∂∂∂ y e f f xy f y x y y e y y e f x x x cos 4)cos sin (2cos sin 12212211'+''+''++''=.(4) ),,(y x u f z =，yxe u =，求yx z ∂∂∂2；答案：1232113112f e f f xe f e f xe y y y y '+''+''+''+''8．设)()(t x t x y μψμϕ-++=，其中ϕ，ψ是任意的二次可导函数，求证： 22222xy ty ∂∂=∂∂μ．简证：因为 )()(t x t x ty μψμμϕμ-'-+'=∂∂,)()(2222t x t x ty μψμμϕμ-''++''=∂∂又 )()(t x t x xy μψμϕ-'++'=∂∂,)()(22t x t x xy μψμϕ-''++''=∂∂所以22222xy ty ∂∂=∂∂μ.基本训练41．设xy yx arctan ln22=+，求dxdy ．提示：原方程就是xy y x arctan)ln(2122=+，对方程两边关于x 求导;也可以用隐函数的求导方法求解，令xy y xz y x F arctan)ln(21),,(22-+=, 利用隐函数存在定理的求导公式来解. 答案：yx y x -+.2．设03333=-++axyz z y x ，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：axyz xayz xz --=∂∂22，axyz yaxz yz --=∂∂22.3．设0=-xyz e z ，求xz ∂∂，yz ∂∂．简解：令xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xz F y -=， xy e F z z -= xz F y -= 所以xz ∂∂xy eyzxy eyzzz-=---=，yz ∂∂xyexzxy exzzz-=---=因此yx z ∂∂∂2=--∂∂--∂∂+=2)()())((xy e x yz eyz xy e yz y z zzz()zy x e xyz zexy e z xz22223)(1---4．证明由方程0),(=--bz cy az cx ϕ（),(v u ϕ具有连续的偏导数，a ，b ，c 为常数）所确定的函数),(y x f z =满足关系式c yz bx z a=∂∂+∂∂．简解：（方法一）方程两边微分得,0)()(212121ϕϕϕϕϕϕ'+''+'=⇒=-⋅'+-⋅'b a dy c dx c dz dz b dy c dz a dx c因此211ϕϕϕ'+''=∂∂b a c xz ，212ϕϕϕ'+''=∂∂b a c yz ，得c yz bxz a=∂∂+∂∂.（方法二） 记),,(bz cy az cx F --=ϕ 则,211ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zx.212ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zy5．设023=+-y xz z ，求22xz ∂∂，22y z ∂∂．答案：3222)23(16x z xz xz --=∂∂，3222)23(6x z zyz --=∂∂7．设223),,(z y x z y x f u ==，其中),(y x z z =是由方程03333=-++xyz z y x 所确定的函数，求)1,0,1(-∂∂xu ．简解：令 xyz z y x z y x F 3),,(333-++=， 则,332yz x F x -= xy z F z 332-=；xyz xyz xyz yz x xz --=---=∂∂22223333，所以xz z y x z y x xu ∂∂⋅+=∂∂2322223.232223222xyz xyz z y x z y x --⋅+=基本训练51．求曲线2y x =，3x z =在)1,1,1(处的切线与法平面方程．答案：切线方程611121-=-=-z y x ，法平面方程962=++z y x2．求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x ．简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为 ()23,2,1t t s =，已知平面的法向量为()1,2,1=n . 由题意得 0=⋅n s ，即 03412=++t t ，解得1-=t 或31-=t ，故所求的点为)1,1,1(--，或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,313．求曲线⎩⎨⎧+==++222226y x z z y x 在点)2,1,1(处的切线方程． 提示：曲线可以表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===2sin 2cos 2z t y tx ，曲线上点)2,1,1(处也就是4π=t 时的切线的方向向量为)0,1,1(-=s.答案：切线方程⎩⎨⎧=--+=-++0222062z y x z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021111z y x4．求曲面xy z arctan=在⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面和法线方程．答案：切平面方程022=-+-πz y x ， 法线方程241111π-=--=-z y x5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程．答案：切平面方程0279=--+z y x ， 法线方程111193--=-=-z y x6．在曲面222y x z +=上求一点，使该点处的法线垂直于平面0142=+++z y x ，并写出法线方程．答案：所求点为),3,1,1(-- 法线方程134121-=+=+z y x ．7．求曲面2222z yx +=上平行于平面01422=+-+z y x 的切平面方程．答案：切平面方程012=+-+z y x8．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数： (1) y e y e z yxcos si n +=，在点⎪⎭⎫⎝⎛2,0π沿向量}1,2{-； 提示：方向l 的方向余弦为51cos ,52cos -==βα；ye xz xs i n =∂∂，y e y e y e yz yyxsin cos cos -+=∂∂，βαπππc o s c o s )2,0()2,0()2,0(yz xz lz ∂∂+∂∂=∂∂522πe +=．(2) z e xy u +=，在点)0,1,1(处沿从点)1,2,4(-到)0,1,5(的方向．提示：ze zu x yu y xu =∂∂=∂∂=∂∂,,，方向l 的方向向量)1,1,1(-=s；所以方向l 的方向余弦为：31cos ,31cos ,31cos =-==γβα；代入方向导数公式可得γβαcos cos cos )0,1,1()0,1,1()0,1,1()0,1,1(zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂31=9．设从x 轴正向到方向l 的转角为θ，求函数332y xy x u +-=在点)1,1(M 处沿方向l 的方向导数lu ∂∂．问θ为何值时，方向导数lu ∂∂：1）具有最大值；2）具有最小值；3）等于零．提示：2232,23yy xu x x xu +-=∂∂-=∂∂，1)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yu xu ，)4sin(2sin cos )1,1(πθθθ+=+=∂∂lu ,所以当4πθ=时，lu ∂∂最大；当45πθ=时，lu ∂∂最小；当43πθ=或47πθ=时，0=∂∂lu ．10．设z y x xy z y x u 62332222---+++=，求)0,0,0(f grad 及)1,1,1(f grad ．答案：k j i f 623)0,0,0(---=grad ，j f 3)1,1,1(=grad11．设22y xy x z +-=，求在点)1,1(处的梯度，并问函数z 在该点沿什么方向使方向导数：1）取最大值；2）取最小值；3）等于零．答案：j i z +=)1,1(grad ，函数z 在)1,1(处沿j i +方向lz ∂∂取最大值，沿j i --方向lz ∂∂取最小值，沿j i +-或j i -方向lz ∂∂取值为零．基本训练61．问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值．提示：22,2,xy zu xyz yu z y xu =∂∂=∂∂=∂∂，4,2)2,1,1()2,1,1(-=∂∂=∂∂--yu xu ,1)2,1,1(=∂∂-zu ，所以kj i u +-=42grad 是方向导数取最大值的方向， 此方向导数的最大值为21||=u grad ．2．求下列函数的极值：(1) 22324y xy x x z -+-=； 答案： 极大值为0)0,0(=f(2) y y ye x e z -+=cos )1(； 答案： 极大值为2)0,2(=πk f ， ,2,1,0±±=k 3．求函数22y x z +=在条件1=+by a x 下的极值．答案：极小值为2222222222,b a b a b a ba b a ab f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 4．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．简解：设水池的长宽高分别为z y x ,,，令)(22),,,(V xyz zx yz xy z y x L --++=λλ, 关于λ,,,z y x 求偏导，求得驻点为)4,2,2(333V V V ，这是唯一可能极值点，由问题的实际意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为3334,2,2V V V 时，建筑材料最省.5．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短．提示：目标函数为 13632),(-+=y x y x f ，条件函数为44),(22-+=y x y x ϕ.为了求目标函数的最值，可设)44()632(),,(222-++-+=y x y x y x L λλ，求得可能极值点为)53,58(，)53,58(--, 代入, 比较得所求点⎪⎭⎫ ⎝⎛53,58. 6．设有一槽形容器，底是半圆柱形，其长为H ，截面是半径为R 的半圆，横放在水平面上，其表面积为常数0S ，试求R 与H 的值，使其容积最大．简解：令)(21),,(022S R RH H R H R L -+-=ππλπλ，求得唯一可能极值点为：)32,3(),(0ππS S H R =；因此当π30S R =，π32S H =时，容积最大．7．在平面023=-z x 上求一点，使得它到点)1,1,1(A 、点)4,3,2(B 的距离平方之和为最小．提示：目标函数为2222)2()1()1()1(),,(-+-+-+-=x z y x z y x f 22)4()3(-+-+z y)16543(2222+---++=z y x z y x ，条件函数为z x y x 23),(-=ϕ,答案是点⎪⎭⎫⎝⎛2663,2,1321.本篇自测A 卷一、填空题1．答案：),(y x f 2．答案：不存在3．提示：分式函数在分母为0处间断，答案为：πn x =，或πm y =，（n ，,2,1,0±±=m ）． 4．答案：⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x二、单项选择题 1． 答案：B2．提示：函数),(y x f 在一点连续、偏导数存在、可微之间有如下关系全微分存在 ⇔ 点存在偏导数在点连续在函数点可微函数在点连续在偏导数P P P P ⇓⇒⇓故答案为B.3．提示：参见第2小题提示，答案为A .4．提示：令3),,(-+-=xy z e z y x F z ，则y F x =，x y F =，1-=z z e F 所以曲面在点)0,1,2(处法向量为：)0,2,1(，从而可得C 为正确答案.三、计算题1. 提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小, 答案为0.2. 答案：)1(21yyy x x yxxz +=∂∂-，)1(2ln yyyx x x x yz +=∂∂3. 提示：两边取对数得()y x y x z ++=2ln )2(ln , 两边关于y 求偏导得122ln(2)2z x y x y z yx y∂+=++∂+.故答案为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=∂∂+y x y x y x y x yz yx 22)2ln(222.4. 答案：321f y f f xz '+'+'=∂∂，321f x f f yz '+'-'=∂∂5．答案：)22()(122323zzze z y z xy zey xy e ---．6．答案：2222y x y x +-． 7．答案：22212f xy f ''-''. 8．答案：dydx 5252-．9．提示：令09632=-+=∂∂x xxz , 得3-=x 或1=x ,令0632=+-=∂∂y yyz , 得0=y 或2=y ;所以驻点为 )2,1(),0,1(),2,3(),0,3(--, 利用二元函数极值的充分条件可求得极小值为5)0,1(-=f ，极大值为31)2,3(=-f .四、应用题1. 简解：设切点为),,(z y x ，则切点处的方向向量)3,2,1(2x x s =，已知平面的法向量)1,2,1(=n.由题意得 s 与n 垂直, 即 0=⋅n s, 所以03412=++x x , 解得1x =-或13x =-. 故所求点为:)1,1,1(--或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,31.2. 简解: 令)1()1543(),,,,(222-++-+++=y x z y x z z y x L μλμλ,分别求关于μλ,,,,z y x 的偏导数得,52,24,23λμλμλ+=+=+=z L y L x L x y x1543-++=z y x L λ,122-+=y x L μ解得可能极值点为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1235,53,54⎪⎭⎫ ⎝⎛--1285,53,54. 比较z 的大小得所求点为： ⎪⎭⎫⎝⎛1235,53,54.3. 简解: 设第一卦限内的内接点为),,(z y x , 由空间解析几何知识得: 直角平行六面体的长宽高分别为z y x 2,2,2, 体积xyz V 8=; 故令).1(8),,,(222222-+++=cz by ax xyz z y x L λλ答案为：长、宽、高分别为32a ，32b ，32c 时，有最大体积 abc V 338=．五、证明题1．简解: )(z y x z ϕ+= 两边关于x ，y 求偏导得xz z y xz ∂∂'+=∂∂)(1ϕ，yz z y z yz ∂∂'+=∂∂)()(ϕϕ，解得 )(11z y x z ϕ'-=∂∂，)(1)(z y z yz ϕϕ'-=∂∂, 又 xzz f xu ∂∂'=∂∂)(， yz z f yu ∂∂'=∂∂)(所以xu z yu ∂∂=∂∂)(ϕ.2. 简证: 令 ⎪⎭⎫⎝⎛----=c z b y cz ax f z y x F ,),,(，则cz f F cz f F y x -'=-'=21,， 2221)()()()(c z b y f c z a x f F z ---⋅'+---⋅'=．所以曲面上任一点),,(z y x 处的法向量为：),)()(,,(2121cz b y f cz a x f f f ---⋅'+---⋅'''故点),,(z y x 处的切平面为,0)]()()([)()(2121=----⋅'+---⋅'+-⋅'+-⋅'z Z cz b y f cz a x f y Y f x X f即 .0)])(())([()])(())([(21=-----⋅'+-----⋅'z Z b y c z y Y f z Z a x c z x X f 不论z y x ,,取何值，c Z b Y a X ===,,总能使上式恒成立；即切平面总通过点),,(c b a .本篇自测B 卷一、填空题1．答案：}104|),{(222<+<≤y x x y y x 且． 2．提示：分子有理化，原式41241lim)24(44lim000=++=++-+=→→→→xy xy xy xy y x y x .3．提示：混和偏导数连续，则它们相等；答案为: = .4．提示：函数可微分, 则方向导数存在(显然偏导数连续也保证方向导数存在). 答案为: 函数可微分.二、单项选择题 1．提示：令xy v y x u =+=,，则1u x v=+，1uv y v=+ 代入得21(,)1v f u v u v-=+，故答案为B2．简解：xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→xb a f b x a f xb a f b x a f x x ---+-+=→→),(),(lim),(),(lim),(2b a f x =.3．提示：切点为)0,1,1(, 方向向量为)1,1,1(-，所以答案为D.*4．简解：偏导数存在，不一定可微，故A 错误；由题设条件知曲面),(y x f z =的法向量为}1,1,3{--，故B 错误；曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的一个切向量为{1,0,}{1,0,3}x f =，故Ｃ正确；也可以根据曲线的切向量与曲面的法向量互相垂直来判定答案C 正确而D 错误.．三、计算题 1.提示： 因为xy yxy x xy y xy x xy =++≤+-≤22222222)()(0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+-≤22222221)(0y x y x y x xy 或，由夹逼准则得0)(lim2222=+-→→yxy x xy y x .2．答案：⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'x y f xy x y f xy f )(．3．简解：21)(f x f xz '+''=∂∂ϕ, 所以))(()())((222112112f y f x f y f yx z'''+''-+''''+''-=∂∂∂ψϕψ 221211)()1)()(()(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψϕϕ. 4．提示：两边关于x 求偏导得：)(222xy x y f x x y f x zzx -⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂+,zx x y f x y x y f xz 22-⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂.也可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x y xf z y x z y x F 222),,(，利用隐函数求偏导公式来计算.5．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+dz y z x dy x y z dx z x y z y x xzyln ln ln 6. 简解：（解法一）利用全微分的形式不变性，方程两边求微分得：0)()()(21=++-+'++'zdz ydy xdx dz dy F dz dx F ， 所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(.（解法二）方程两边关于x 求偏导得： 0)1(21=∂∂--∂∂'+∂∂+'xz zx x z F x z F ，解得 z F F F x x z-'+''-=∂∂211，同理得 z F F F y y z-'+''-=∂∂212， 所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(. *7．简解：方程组两边对x 求偏导得： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-022022x v v x u u y x v u v x u x解关于xu ∂∂，xv ∂∂的二元一次方程组得)(24222v u uyxv xu ++=∂∂，)(24222v u vyxu xv +-=∂∂.四、应用题1. 简解：曲面上任一点),,(z y x 处切平面的法向量为 )1,2,2(-=y x n， 又已知直线的方向向量为： )2,1,0()2,0,1(⨯=s)1,2,2(--= 由题意, s n//, 即112222-=-=-y x .解得1,1==y x ，代入曲面方程得2=z ，故所求的切平面方程为0)2()1(2)1(2=---+-z y x ，即 0222=--+z y x .*2．简解：x y yh y x xh +-=∂∂+-=∂∂2,2,00),(00),(2,20000x y y h y x x h y x y x +-=∂∂+-=∂∂,所以j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad ，沿梯度j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad方向的方向导数最大，最大值为 00202000855),(y x y x y x g -+=. 令xyy x y x L 855),,(22-+=λ)75(22--+-xy yxλ,由拉格朗日乘数法得)5,5(1-M ，)5,5(2-M ，),35,35(3M )35,35(3--M 为),(00y x g 的可能极值点，计算相应函数值并比较得)5,5(1-M 或)5,5(2-M 可作为攀登的起点．五、证明题 1. 简证：因为=∂∂xz [])]()([2)()(2ax y ax y a ax y ax y a -+++-'-+'ψψϕϕ，[])]()([21)()(21ax y ax y ax y ax y yz --++-'++'=∂∂ψψϕϕ;[])]()([2)()(22222ax y ax y aax y ax y axz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ,[])]()([21)()(2122ax y ax y ax y ax y yz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ.所以022222=∂∂-∂∂yz axz .*2．简证：因为 ()22|||)|2(02/12/3222/32222xy xy yx yxyx =≤+≤， 又022||lim2/10=→→xy y x ，所以 ()0lim2/3222200=+→→yx yx y x ，注意到0)0,0(=f ，因此函数在点)0,0(处连续；因为0)0,(≡x f ，所以0)0,0()0,(lim )0,0(0=-=→x f x f f x x ， 同理 0)0,0(=y f ；考虑极限 ρρ)0,0(),(limf y x f -→()22222)0,0(),(limy x yx y x +=→，其中22yx+=ρ，若沿直线kx y =取极限，则()22242242)0,0(),()1(1limk kxk xk kxy y x +=+=→随着k 的变化而变化，表明上述极限不存在，因此函数在点)0,0(处不可微．。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
多元函数的微分学典型例题
多元函数的微分学典型例题例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导 数，并指出：（1） 沿哪个方向的方向导数最大？ （2） 沿哪个方向的方向导数最小？ （3） 沿哪个方向的方向导数为零？解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z¶ ¶ a a sin cos + = ．因此（1） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4pa = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导数最大．（2） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 pa - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方向导数最小．（3） 43pa - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向导数为零．例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微， 且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向 导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求 （1） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；（2） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数． 解 （1） 设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导 数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有x f l f = ¶ ¶ 12 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ． 因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ．（2） 在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø öç è æ 5 4,5 3 ，设该方向为l ，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5145 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ．例 3 验证函数) , ( y x f ïî ï í ì = + ¹ + + = . 0 ,0 , 0 , 2 2 22 22 y x y x yx xy 在原点 ) 0 , 0 ( 连续且可偏导，但它在该点不可微．验证 注意不等式 | | 2 2 xy y x ³ + ，就有0 | | 0 2 2 22 2 2 22 ® + = + + £ + £y x y x y x y x xy ， ) , ( y x ® ) 0 , 0 ( ．故而 0 ) , ( lim)0 , 0 ( ) , ( = ® y x f y x f = ) 0 , 0 ( ．因此， ) , ( y xf 在原点 ) 0 , 0 ( 连续． x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 )0 , 0 ( ) 0 , ( = - xf x f ，由变量对称性得 y f ) 0 , 0 ( 0 = ．即该函数在原点 ) 0 , 0 ( 可偏导．假如 ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 可微，就应有) , ( y x f = - ) 0 , 0 ( f x f ) 0 , 0 ( + x y f ) 0 , 0 ( ) ( 2 2 y x y + +o ，即 ) , ( y x f = ) ( 2 2 y x + o ．但这是不可能的，因为沿路径 ) 0 ( ¹ = k kx y ，就有= + ® 2 2 )0 , 0 ( ) , ( ), ( limyx y x f kx x = + ® 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xykx x 0 1 lim 2 2 2 2 2 0 ¹ + = + ® k k x k x kx x ．可见， ) , ( y x f ¹ ) ( 2 2 y x + o ．因此， ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 不可微． 例 4 验证函数) , ( y x f ï îï íì = + ¹ + + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin ) ( 2 2 22 22 2 2 y x y x y x y x 的偏导函数 ) , ( y x f x 和 ) , ( y x f y 在原点 ) 0 , 0 ( 不连续，但它却在该点可微．验证x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 1sin lim ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 0 = = - ® xx x f x f x ； ) , ( y x ¹ ) 0 , 0 ( 时，) , ( y x f x 22 2222222121 2sin()cos () x x x y x y x y x yæö =++- ç÷ +++ èø 2 2 2 2 2 2 1cos2 1 sin2 y x y x x y x x + + - + = ．因此， ) , ( y x f x ï î ï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x x y x x 由变量对称，得) , ( y x f y ï îï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x y y x y ) , ( y x f x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．事实上，沿路径 x y = ， ® ) , ( x x ) 0 , 0 ( 时，2 2 2 2 1 cos 2 2 2 1 sin2 ) , ( x x x x x x x f x - = 中，第一项趋于零，而第二项 22 1cos 1 x x - 的极限不存在(比如取 pk x k 2 1=， +¥ ® k 时有 0 ® k x ，而2 2 1cos 1 kk x x -¥ ® )．可见， x y x f ) 0 , 0 ( ) , ( lim ® ) , ( y x 不存在，因此 ) , ( y xf x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．同理可证 ) , ( y x f y 在点 ) 0 , 0 ( 不连续． 但由于0 1sin ) , ( 0 2 2 22 2 2 22 ® + £ + + =+ £y x y x y x y x y x f ，® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，就有 0 ) , ( 22® + yx y x f ，于是就有0 ) , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2222® + =+ - - - yx y x f yx yf x f f y x f y x ， ® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，即 ) ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2 2 y x y f x f f y x f y x + + + = - o ． 可见 f 在点 ) 0 , 0 ( 可微． 例 5 证明函数) , ( y x f ï îïí ì = + ¹ + + = . 0 , 0 , 0 , 2 22 22 42 2 y x y x y x xy 在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因此不可 微．证 设 ) sin , cos ( a a = l 则= - = ¶ ¶ ® tf t t f l f t )0 , 0 ( ) sin , cos ( lim 0 a a 32 2244 0 2cos sin lim ( cos sin )t t t t t a a a a ® = +3 0 , , , 22 2tan sin , , . 22p p a p p a a a ì= ï ï = íï ¹ ï î 可见在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在．但沿路径 2y x = ，有 = ® ) , ( lim )0 , 0 ( ) , ( 2y x f y y f y y y y y ¹ = + ® 1 2 lim 4 4 22 0 ) 0 , 0 ( 可见 f 在 原点 ) 0 , 0 ( 并不连续，因此不可微． 例 6 计算下列函数的高阶导数或高阶微分： （1） x yz arctan = ，求 2 2 x z ¶ ¶ ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 22 y z ¶ ¶ ；解 x z ¶ ¶ 2 2 2 2 2 1 y x y x y x y + - = + -= ， y z ¶ ¶ 22 22 1 1 y x x xy x + = + =． 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 2 ) ( 2 y x xy + = ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 2 2 ) ( y x x y + - = ， 2 2 y z ¶ ¶ = 22 2 )( 2 y x xy+ - ． （2） xyxe z = ，求 y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 和 23 y x z¶ ¶ ¶ ．解 x z ¶ ¶ = ) 1 ( xy e xye e xyxy xy + = + ， 2 2 x z ¶ ¶ ) 2 ( ) 1 ( xy ye y e xy ye xy xy xy + = + + = ；yx z¶ ¶ ¶ 2 ) 2 ( ) 1 ( xy xe xe xy xe xy xy xy + = + + = ． y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 = = ¶ ¶ ¶¶ x y x z 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y x z x 2 xyxy xy xy e xy xye xye xy e ) 2 3 ( ) 2 ( + = + + + ；2 3 y x z ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = y x z y 2 ( )= + + xy xy xe xy xe x ) 2 ( xye y x x x ) 3 ( 2 + ． （3） ) ln(xy x z = ，求 z d 2 ； 解 x z 1 ) ln( ) ln( + = + = xy xy xy xy， xy z y xy x 1 = = ， x xy y z xx 1= = ；y z y x xy x = = 2 ， yy z 2 yx- = ．2222222 2 12 xx xy yy d z dx dy z z dx z dxdy z dy x y x dx dxdy dy x y yæö¶¶ =+=++ ç÷ ¶¶ èø =+- ．（4） ) ( sin 2 by ax z + = ，求 z d 3 ．解 x z ) ( 2 sin by ax a + = ， xx z ) ( 2 cos 2 2 by ax a + = ， = 3x z ) ( 2 sin 4 3 by ax a + - ，) ( 2 sin 4 2 axby b a z xxy - = ； y z ) ( 2 sin by ax b + = ， ) ( 2 cos 2 2 by ax b z yy + = ，= = yyx xyy z z ) ( 2 sin 4 2 by ax ab + - ． = 3 y z ) ( 2 sin 4 3 by ax b + - ．z d 3 = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ z y dy x dx 33223322333 x x y xy y z dx z dx dy z dxdy z dy +++ ) ( 2 sin 12 ) ( 2 sin 4 2 3 by ax b a by ax a + - + - = ) ( 2 sin 12 2 by ax ab + - 3 4sin 2()b ax by -+ ) ( 2 sin ) ( 4 3 by ax b a + + - = ．例 7 利用链式规则求偏导数 ：（1） ÷ ÷ øö ç ç è æ = , y x xy f u ．求 x u¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 y u ¶ ¶ ．解 设 xy t = ， yxs = ．x u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = x s s f x t t f s f y t f y ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 ， y u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = y s s f y t t f sfy x t f x ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = y s s t f y t t f y t f 2 2 2 22 22 11 f f t f s y s y s t y s y æö¶¶¶¶¶ -++ ç÷ ¶¶¶¶¶¶ èø = ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ s t f y x t f x y t f 2 2 2 2 22 222 11 f f x f x y s y s t y s æö¶¶¶ -+- ç÷ ¶¶¶¶ èø 2 2 t f xy ¶ ¶ = s t f y x ¶ ¶ ¶ - 2 3 s fy t f ¶ ¶ - ¶ ¶ + 2 1 ．2 2 y u ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = y u y 2 f x f x y t y s æö ¶¶¶ =- ç÷ ¶¶¶èø 23 2 2 2 2 y xs f y x y s s t f y t t f x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = = ÷ ÷ øöç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y s s f y t t s f 2 2 2 23 2 2 2 2 2 y xs f y x s t f y x tf x x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 s f y x t sf x s f y x s f y x s t f y x t f x ¶¶ +¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ． （2） ) ( 222z y x f u + + = ．求 x u ¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， z u¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 xu ¶ ¶ ．解 设 2 2 2 z y x t + + = ．x u ¶ ¶ ( 2 ) ( f x x tt f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ， y u ¶ ¶ ( 2 ) ( f y yt t f ¢ = ¶ ¶ ¢= ) 2 2 2 z y x + + ， z u ¶ ¶ ( 2 ) ( f z zt t f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ( )= + + ¢ ¶ ¶) ( 2 2 2 2 z y x f x y 4( xyf ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ； 22 xu ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u x ( ) 222 2() xf x y z x ¶¢ ++ ¶ 2( f ¢ = ) 2 2 2 z y x + + 2 4x + ( f ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ． 例 8 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续导数．写出 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 y z ¶ ¶ + 在坐标变换2 2 y x u - = ， xy v 2 = 下的表达式．解x z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ x u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ x v ¶ ¶ x 2 = u z ¶ ¶ + y 2 vz¶ ¶ ，2 2 x z ¶ ¶ 2 = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + x v v u z x u u z x 2 2 2 2 22 2 2 z u z v y v u x v x æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø 2 2 24 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 222 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ ．y z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ y u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ y v ¶ ¶ y 2 - = u z ¶ ¶ + x 2 vz¶ ¶ ，2 2 y z ¶ ¶ 2 - = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ - y v v u z y u u z y 2 2 2 2 22 2 2 z u z v x v u y v y æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø u z vz x v u z xy u z y ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 2 4 8 4 222 2 2 2 2． 则2 2 x z ¶ ¶ 22 y z ¶ ¶ + 2 2 2 4 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 2 22 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + u z v z x v u z xy u z y 2 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ + 2 2 2 22 2 ) ( 4 v z u z y x ． 例 9 （1）写出函数 ) , ( y x f 9 8 6 2 23 2 2 3 3 + - - - - + = y x xy y x y x 在点 ) 2 , 1 ( 的Taylor 展开式．解= ) 2 , 1 ( f 16 - ， = ) 2 , 1 ( x f 13 - ， = ) 2 , 1 ( y f 6 - ； = ) 2 , 1 ( xx f 10， = ) 2 , 1 ( xy f 12 - ， = ) 2 , 1 ( yy f 8；= ) 2 , 1 ( 3 x f 18， = ) 2 , 1 ( xxy f 4 - ， 4 ) 2 , 1 ( - = xyy f ， 6 ) 2 , 1 ( 3 = y f ．更高阶的导数全为零 ．因此， ) , ( y x f = + ) 2 , 1 ( f + - ) 1 )( 2 , 1 ( x f x ( 1 , 2 )(2)y f y - + - + 2 ) 1 )( 2 , 1 ( x f xx + - - ) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( 2 y x f xy 2( 1 , 2 )(2) yy f y - 3 3 ( 1 , 2 )(1) x f x +- 3 ) 2 ( ) 1 )( 2 , 1 ( 3 2 + - - + y x f xxy 2) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( - - y x f xyy 3 3 ( 1 , 2 )(2)y f y +- 22 1613(1)6(2)5(1)12(1)(2)4(2)x y x x y y =-----+----+- 3 2 2 3 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 - + - - - - - - - + y y x y x x ．（2） 求函数 ) , ( y x f y x e + = 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式，并写出余项．解x f ¶ ¶ y x e + = ， y f ¶ ¶ yx e + = ，一般地，有 k h k h yx f ¶ ¶ ¶ + y x e + = ，则 1 ) 0 , 0 ( 00 = = ¶ ¶ ¶ + + e yx f kh k h ． 因此， ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式为) , ( y x f å = + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = n k kf y y x x k 0 ) 0 , 0 ( ! 1 )! 1 ( 1 + n 1( , )n x y f x y x y q q + æö ¶¶ + ç÷ ¶¶ èø å = + + = nk k y x k 0 ) ( ! 1 )! 1 ( 1 + n yx n e y y x x 1q q + + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ， ) 1 0 ( < <q ．例 10 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） 0 arctan = - + a y a y x ，求 dx dy 和 2 2 dxy d ；解 0 1 1 2 = ¢ - ÷ øöç è æ + + ¢+ a y a y x a y ，即 a y y x a y a ¢ = + + ¢ + 2 2 ) ( ) 1 ( ，即 dx dy 22 ) ( y x a + = ． 由 2 2 ) ( y x y a + ¢ = ，再求导 0 ) 1 )( ( 2 ) ( 2 = ¢ + + ¢ + + ¢ ¢ y y x y y x y ，解得 2 ) ( ) 1 )( ( 2 y x y y x y y + ¢ + + ¢ - = ¢ ¢ ，代入 = ¢ y 22)( y x a + ，得 2 2 dx y d 22 23 () () x y a a x y ++ = + ． （2） 0 = -xyz e z，求 x z ¶ ¶ 、 y z ¶ ¶、 2 2 xz ¶ ¶ 和 y x z ¶ ¶ ¶ 2 ；解 方程 0 = -xyz e z 两端对x 求导，得 0 = - - x z x xyz yz e z ， x z ¶ ¶ xye yzz - = ；方程 0 = -xyz e z 两端对y 求导，得 0 = - - z z y xyz xz e z ， y z ¶ ¶ xye xzz - = ．0 = - - x z x xyz yz e z 再对x 求导，得 0 2 = - - - - + xx x x zx z xx xyz yz xz z e z e z ，解得2 2 x z ¶ ¶ xy e e z z y x z z zx x - - + + = 2 ) ( 32 2 2 2 ) ( ) ( xy e e z y xy e z y ze zzz z - - - + = ． 同理得y x z ¶ ¶ ¶ 2 32 2 2 2 )( ) ( xy e e z x xy e z x ze zzz z - - - + = ． （3） 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f ，求 x z ¶ ¶ 和 yz ¶ ¶．解 设 y x u + = ， z y v + = ， x z w + = ，方程 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f 两端对x 求导，得 = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x w w f x v v f x u u f 0 1 = ÷ ø ö ç è æ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ x z w f x z v f u f，解得 x z¶ ¶ w v u w f f f f + + - = ；同理得 y z ¶ ¶ wv v u f f f f + + - = ．例 11 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数 ：（1） ï î ï í ì = + + = - - . 4 32 ,0 22 2 2 22 a z y x y x z 求 dx dy ， dx dz ， 2 2 dx y d 和 2 2 dx z d ； 解 方程对x 求导，注意 y 和z 是x 的函数，就有 î íì = ¢ + ¢ + = ¢ - - ¢ . 0 6 4 2 , 0 2 2 z z y y x y yx z *) 解得 dx dy ) 3 1 ( 2 6 z y xz x + + - = ， dx dzzx z y xy 3 1 ) 3 1 ( 2 2 + = + = ．方程 *)在对x 求导，有 ï î ï íì = ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ ¢ + = ¢ - ¢ ¢ - - ¢ ¢ . 0 6 6 4 4 , 0 2 2 2 2 2 2 z z z y y yx y y y z 解得 2 2 dx yd ) 3 1 ( 4 12 6 ) 3 1 ( 4 2 2 z y z z z y x + + ¢ + + ¢ + - = ， 2 2 dxz d ) 3 1 ( 2 6 ) 1 ( 4 4 2 2 z y z y xy y y y + ¢ - - + ¢ + = ；代入 dx dy 和 dxdz的表达式，即得2 2 dx y d 2 22 3 ) 3 1 ( 2 3 ) 3 1 ( 4 ) 6 1 ( 4 ) 3 1 ( 4 12 z y x z y z x z y z x + -+ + - + + - = ， 2 2 dx z d 222 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1 ( 2 ) 6 )( 1 ( ) 4 (2 1 z x z y xz x y x + - + + + + - = ． （2） î í ì - = + = . ) , (, ) , , ( 2y v x u g v y v x u f u 求 x u ¶ ¶ 和 y v ¶ ¶ ． 解 设 y v s + = ， x u t - = ， y v r 2 = ，方程对x 求导，注意u 和v 是x 的函 数，就有î íì + = + + = . ) , ( ) , (, ) , , ( ) , , ( ) , , (2 x r x t x x s x x u x r r t g t y v t g v s s x u f s x u f u s x u f u 即î íì + - = + + = . 2 ) , ( ) 1 )( , (, ) , , ( ) , , ( ) , , ( x r x t x x s x x u x yvv r t g u r t g v v s x u f s x u f u s x uf u 解得x u¶ ¶ ), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f r t yvg s x u f t s r u t s r x - - - + - - = ； 方程对 y 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有ï îï í ì + + = + + = . ) 2 )( , ( ) , ( , 1) )( , , ( ) , , ( 2 v yvv r t g u r t g v v s x u f u s x u f u y r y t y y s y u y 解得y v ¶ ¶), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( 2 r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f v r t yvg s x u f t s r u r s r s - - - - - -= ． 例 12 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续偏导数． 在极坐标 q cos r x = ， q sin r y = 变换下，求 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf¶ ¶ 关于极坐标的表达式．解2 2 y x r + = ， xy arctan = q ．所以= ¶ ¶ x f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x f x r r f q q 2 2 2 2 y x y f y x x r f + ¶ ¶ - + ¶ ¶ q qq q ¶ ¶ - ¶ ¶ = f r r f sin cos ， = ¶ ¶ y f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ y f y r r f q q 2 2 2 2 y x x f y x y r f + ¶ ¶ + + ¶ ¶ q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = f r r f cos sin ； 2 2 x f ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶¶ = q q q f r r f x sin cos r ¶ ¶ = q cos sin cos f f r r q q q ¶¶ æö - ç÷ ¶¶ èø q q ¶ ¶ -r sin sin cos f f r r q q q ¶¶ æö- ç÷¶¶ èør fr f rf r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 22 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 sin sin 2 cos ； 类似有22 yf ¶ ¶ r f r f r f r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin 2 cos sin 2 sin ． 于是得 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf ¶ ¶ = r fr f r r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 1 2 2 2 2 2 q ．例 13 证明：通过线性变换 y x u l + = ， y x v m + = ，可以北将方程A 2 2 x f ¶ ¶B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf，( 0 2 < - B AC )化简为 0 2 = ¶ ¶ ¶ v u f．并说明此时l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根．证 由 y x u l + = 和 y x v m + = 得x f ¶ ¶ v f u f ¶ ¶ + ¶ ¶ = ， y u ¶ ¶ vfu f ¶ ¶ + ¶ ¶ = m l ． 2 2 x f ¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 2 v f ¶ ¶ ， 2 2 y f ¶ ¶ lm l 2 2 2 2 + ¶ ¶ = u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 222 v f ¶ ¶ m ， = ¶ ¶ ¶ v u f 2 ) ( 2 2 m l l + + ¶ ¶ u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 22 vf ¶ ¶ m ． 代入A 2 2 x f ¶ ¶ B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2 C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf ，化简得) 2 ( 2l l C B A + + 2 2 u f ¶ ¶ + ) 2 ( 2 m m C B A + + 2 2 vf ¶ ¶] 2 ) ( 2 2 [ lm m l C B A + + + + 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．可见，当且仅当l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根时，方 程就化成 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．例 14 求椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 的平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面．解 所求切平面的法向量为 ) 6 , 4 , 2 ( z y x ，应有 56 3 4 1 2 z y x = = k 令== ，就有 2 k x = ， k y 4 3 = ， k z 6 5 = ，代入方程 498 3 2 2 2 2 = + + z y x ，有 498 2483 2 = k ，得12 ± = k ． 在点M ) 10 , 9 , 6 ( 和N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的切平面与平面 7 5 3 = + + z y x 平 行．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = - + + z y x ；在点N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( - - - ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = + - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = + + + z y x ．综上，椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 上，平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面 有两块，它们是 0 83 5 3 = ± + + z y x ．例15 证明曲面 a z y x = + + ) 0 ( > a 上任一点的切平面在各坐标轴上的 截距之和等于a ．证 设M ) , , ( 0 0 0 z y x 为曲面 a z y x = + + 上任的一点，曲面在该点的切面为0 2 2 2 00 00 00 = - + - + - z z z y y y x x x ，即0 ) ( 0 0 0 0 00 = + + - + + z y x z z y y x x ， 亦即0 0 0 0 = - + + a z z y y x x ．化为截距式即为 1 0 0 0= + + az zay y ax x ． 可见在各坐标轴上的截距之和为a az ay ax = + + 0 0 0 = + + ) ( 0 0 0 z y x a ．例 16 在 ] 1 , 0 [ 上用怎样的直线 b ax + = x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方 误差的积分 = ) , ( b a J ò - 10 2 ) ( dx y x 为极小意义下的最佳近似．解 = ) , ( b a J = - - ò 10 22) ( dx b ax x 51 32 23 2 2 + - - + + b a ab b a ．现求其中极小值．ï ï îï ï íì- + = - + = .3 2 2 ,2 1 3 2 a b J b a J b a 解得有唯一驻点M ÷ ø ö ç èæ- 6 1 , 1 ．0 3 1 1 2 3 2 | ) ( > = - ´ = - M ab bb aa J J J ，又 0 32| > = Maa J ，因此， ) , ( b a J 在点 M ÷ ø ö ç è æ- 6 1 , 1 取极小值．因为 ) , ( b a J 在R 2 中仅有唯一的极小值，可见该极小值还是最小值．因此，在 ] 1 , 0 [ 上用直线 61- = x x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分为极小的意义下是最佳的近似．例 17 要做一圆柱形帐篷，并给它加一个圆锥形的顶．问在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H 及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？解 设体积为定值V ，则 ÷ ø ö ç èæ+ = h H R V 3 1 2 p ，得 h R V H 3 1 2 - = p ．帐篷的全面积为2 2 2 2 322 2 ) , ( h R R Rh R V h R R RH h R S + + - =+ + = p p p p ， 0 > R ， 0 > H ． R S 0 3 2 2 2 2 2 22 2 = + + + + - - = hR R h R h R V p p p ，(*)0 3 2 2 2 = + + - = hR RhR S h p p ．(**)由(**)式的得 h h R 232 2 = + ，代入(*)式，有R S 0 6 4 5 12 242 2 = + + - = h R R h R Vh p p ，由 0 6 2 > h R ，应有 0 12 5 4 2 2 2 = - + Vh h R R p p ． 这就是驻点出应满足的关系式．由于该问题在于有最小值，这也是帐篷的全面 积 ) , ( h R S 取最小值时，圆柱的半径R 与圆锥的高h 所应满足的关系式． 例 18 抛物面 2 2 y x z + = 被平面 1 = + + z y x 截成一椭圆．求原点到这个椭圆的 最长距离与最短距离．解 这是求函数 2 2 2 ) , , ( z y x z y x d + + = 在约束条件 0 2 2 = - - y x z 与0 1= - + + z y x 之下的条件极值问题 ．构造 Lagrange 函数= ) , , , , ( m l z y x L l - + + 2 2 2 z y x m + - - ) ( 2 2 y x z ) 1 ( - + + z y x ．(5) . 0 1 (4) , 0 (3) , 0 2) 2 ( , 0 2 2 ) 1 ( , 0 2 2 2 2 ï ï ï î ïï ïí ì = - + + = = - + = = + - = = + + = = + + = z y x Lz y x L z L y y Lx x L z y x m l m l m l m l 由（1）和（2）有 0 ) 1 )( ( 2 = + - l y x ，由于 1 - ¹ l (否则由（1）得 0 = m ，据（3）得 2 1 - = z ，代入（4） ，导致 0 212 2 = + + y x 无解)，得 y x = ．把 y x = 代入（4）和（5） ，解得 2 3 1 2 , 1 ± - =x ， 231 2, 1 ± - = y ， 3 2 2 1 m = - = x z ．即得两个 驻点A ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 和B ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 ． 而该 问题必有最大值和最小值，因此，点A 和B 就是最大和最小值点．由于d ÷ ÷ ø öç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9- = ； d ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9+ = ． 可见点A 和B 分别是最小和最大值点．即原点到这个椭圆的最长距离为 3 5 9+ ，最短距离为 3 5 9- ．例 19 求椭圆 12 3 2 2 = + y x 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大．解 所指内接等腰三角形的一半(如图) 是 ABC D ，设C 的坐标为(,) x y ，则三角(0,2)A yx(0,)B y o(,)C x y形 ABC D 面积为 ) 2 ( y x - 之半，于是所求内接等腰三角形的面积为 ) 2 ( y x - ．问题是求函数 ) 2 ( ) , ( y x y x S - = 在约束条件 12 3 2 2 = + y x 之下的条件极值． 设Lagrange 函数为) 12 3 ( ) 2 ( ) , , ( 2 2 - + + - = y x y x y x L l l ，( 0 > x ， 2 2 < < - y )，则ï î ïí ì = - + = = + -= = + - = (3) . 0 12 3 (2) , 0 6 ) 1 ( , 0 22 2 2 y x L y x L x y L y x ll l 从方程（1）和（2）中消去l ，得 y y x 6 3 2 2 - = ，代入（3） ，得 0 2 2 = - - y y ，解得 231± = y ． 2 = y 时， 0 ) 2 , ( = x S ．因此，得唯一的驻点 ) 1 , 3 ( - ．该问题有最大值，当底边右端点的坐标为 ) 1 , 3 ( - 时，所得内接等腰三角形的面 积最大．。
多元函数微分学习题及详细解答
C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)
第九章多元函数微分法及其应用习题
．
练习 9—2 1．计算下列各题： （1） u = arctan( x − y ) ，求 u y ， u z ；
z
偏导数
（2）设
f ( x, y) = ∫
x2 + y 2 x
et dt ，求 f x (1， 2) ；
（3） 设 z = sin y + f (sin x − sin y ) ，其中 f (u ) 可微，求 z y ；
2
（B） a
∂z ∂z + b =1． ∂x ∂y
（C） b
（D） a
∂z ∂z −b =1． ∂x ∂y ∂2 z = ∂x 2
（5）设 z = z ( x, y ) 由方程 x + y + z − 4 z = 0 确定，
2 2
2 2 (A) x + (2 − 3z ) ． (2 − z )
(B)
： 2．求下列函数的偏导数（其中 f 具有一阶连续偏导数） （1） u = f ( ， ) ；
x y y z
（2） u = f ( x, xy , xy sin z ) ．
2
3．设 z = xy + yF (u ) ，而 u =
x ∂z ∂z + y −z． ， F (u ) 为可导函数，计算： x y ∂x ∂y
＝0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为 1 元，2 元，现用 150 元购料，问购进两
种原料各多少，使产量 f ( x, y ) 最大?最大产量是多少?
总 习 题 九 1．填空题： ⑴ 设z =
1 ∂2z = f ( xy ) + yϕ ( x + y )，f，ϕ 具有二阶连续导数，则 ∂x∂y x
第九章多元函数微分法及其应用+单元自测题答案(1)
第九章 多元函数微分法及其应用1、 填空题1) 设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x2) 函数223z x xy y =++的偏导数x z =y x 32+，y z =y x 23+3) 函数xyz e =在点(2,1)处的全微分dz =dy e dx e 222+4) 设sin z uv t =+，而,cos t u e v t ==，则dzdt=t t u ve t cos sin +- 5) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 必要 条件 6)()()xy xy y x 42lim0,0,+-→=41-7) 函数xy x y z 2222-+=在(){}02,2=-x y y x 间断8) 设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为111111--=-=-z y x9) 曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为()()()0162812=-++--z y x10) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu()2,2,192- 11) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为35 2、 求ln()z x x y =+的二阶偏导数解：y x x y x x z +++=∂∂)ln( yx xy z +=∂∂2222)(2)(1y x y x y x y y x x z ++=+++=∂∂ 222)()(1y x yy x x y x y x z +=+-+=∂∂∂ 22)(y x y x y z +=∂∂∂ 222)(y x xy z +-=∂∂ 3、 sin uz e v =，而,u xy v x y ==+，求z x ∂∂和z y∂∂ 解：)cos()sin(cos sin y x e y x ye v e v ye xv v z x u u z x z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )cos()sin(cos sin y x e y x xe v e v xe yv v z y u u z y z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 4、 已知20xyzez e --+=，求z x ∂∂，z y ∂∂，22xz∂∂解：令z xy e z e z y x F +-=-2),,( 则xy x ye F --= xyy xeF --= z z e F +-=2所以 2-=-=∂∂-z xy z x e ye F F x z 2-=-=∂∂-zxyz y e xe F F y z 322222222)2(])2[()2(2)2()2()2(-+--=-----=-∂∂---=∂∂-------z xy z z xy z z xyz xy z xy z zxyz xye e e e e y e e ye e ye e e y e x z eye e ey x z5、 设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求,,,u u v vx y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：将方程的两边对X 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂vx v x xu y u x v y x ux 在条件下022≠+=-y x x y y x 则22y x yv xu xy y x x v yu x u ++-=----=∂∂22y x xvyu xy y x v y u x xv +-=---=∂∂将方程的两边对y 求导并移项，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂u y v x yu y v yv y y ux 在条件下022≠+=-y x xy y x22y x yu xv x y y x x u y v y u +-=---=∂∂22y x yvxu xy y x u y vxyv++-=--=∂∂6、 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.解：⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+2532322dx dz dx dy x dx dz z dx dyy则z y z x z y z x dx dy 61041015532252223++-=---=z y xy z y xy dx dz 610694532223232+-+-=----=169)1,1,1(=dxdy 161)1,1,1(-=dxdz 故所求切线方程为：1)1(169)1(1611--=-=-z y x 所求法平面方程为：0)1()1(9)1(16=---+-z x x7、 求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程. 解：令1),,(22--+=z y x z y x F 则}1,2,2{},,{-==y x F F F n z y x}1,2,4{)4,1,2(-=n切平面方程：0)4()1(2)2(4=---+-z y x法线方程：142142--=-=-z y x 8、 求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(Q 的方向的方向导数.解：}1,1{=PQ 则与PQ 同向的单位向量是}22,22{1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz故方向导数为223)0,1(=∂∂lz9、 问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：→→→+-=k j i g r a d u 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu10、求函数y x y x y x f 44),(22+-+=的极值解：⎩⎨⎧=+==-=042042y f x f yx 得驻点（2，-2）2=xx f 0=xy f 2=yy f 在(2,-2)点002>>-A B AC 且函数在(2,-2)有极小值 -811、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸. 解：设长为x 宽为y 高为z问题可看作xyz V =在条件byz bxz axy A 22++=下的最值 令())22(,,,A byz bxz axy xyz z y x F -+++=λλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==++==++=)(22)(022)(02)1(02４ ３ ２ byz bxz axy A y b x b xy F z b x a xz F z b y a yz F z yx λλλλλλ 由（1）—（2）可得 y x =或)-y x (与实际意义矛盾，舍去可推出=-=λa z 将y x =代入（3）得 λb y x 4-==（5） 将（5）代入（1）得到 λa z 2-= （6） 将（5）（6）代入（4）可以得到 2248abA=λ,分别代入（5）（6）可得 a A y x 3＝＝宽长，aA b a z 32＝高 12、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.解：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++-++++=z y x u z y x z y x u z y x F λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++==+-==++==++=)(01)()(02)(022)1(02222５ ４ ３ ２ z y x y x z u z F u y y F u x x F z y x λλλ 由(1)(2)知 )1(2λμ+-==y x （6），由（3）得 2μλ-=z （7）由（4）（5）得x x 2122-= （8） 将（6）（7）代入（8）得到)31)(1(±-+=λμ （9）将（9）代入（1）得到 231 -==y x （10） 由（5）得到 3221±=-=x z （11）将（10）（11）代入 2222z y x d ++=求得最长距离为：359+，最短距离为：359-。
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)
共计 8 页
24.（8-5）已知 ln x y arctan
2 2
dy y ，求 . x dx
25.（8-5）设 x y z 4 z 0 ，求
2 2 2
z . x
x t sin t 26.（8-6）曲线 y 1 cos t 在点 1,1, 2 2 处的切线方程是（ 2 t z 4sin 2
z . x
11.（8-2）求 z x 3 xy y 在点 1, 2 处的偏导数
2 2
z . y
12.（8-2）已知理想气体的状态方程 pV RT （ R 为常数） ，求 A.
p （ V
）.
RT V2
3 2
B.
R p
3
C.
V R
D. 1
2 z 13.（8-2）设 z x y 3 xy xy 1 ，求 2 . x
45.（8-8）某工厂要制一个体积 2 m 的有盖的长方体水箱，问长、宽、高各取多少尺寸， 可使用料最省？最省为多少？
3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）
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共计 8 页
B 组 提高题
xy 2 2 1. 设 f x, y x y 0
x, y 0, 0 x, y 0, 0
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）
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C.
x 1 y 2 z 2 1 0
2 2
D. x 2 y 4 0 ）.
30.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处切平面的一般方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. 4 x 2 y z 6 0
多元函数微分学练习题
（2）
xy ； （3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4． 设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。 证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2， 。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e
( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.
多元函数微分学练习题及答案
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy
ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题 一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y） （ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
多元函数的微分学习题.docx
一、计算题81.巳知z =』ln(xy),求生，企.3JC，3y巫工(面雨3)=1 ;11解.dx dx2Jlnx + lnyx12xyjln(xy)同理中=_ .衡 2yjln(xy)82.已知z = s i nj(y) + c o S(Ay),求(中等难度)ox oyQz构车.~dx= cos(丕y) y + 2 cos(丕y) [- sin(丕y)] y=y[cos(A^) - sin(2A^)]由对称性可知：—=—e vln(l+vv, ln(l + xy) + y —dy dy 1 + xyx = (l + xy)' ln(l + xy) + y --------------- •1 + xy 85.设z = eSinxcosy,求在点(2, 兀)处的偏导数.(中等难度)解：因为Qz . Qz . ——=e anx cosxcosy, ——=-e smx sin ydx dy所以——=x[cos(xj7)一sin(2xy)].Sy 'dz dz 83.已知z-In tan-,求 ~~.(中等y ox oy难度)bji dz 1 2^12 2x W：——= ---------- sec --------- = — esc—,办tan^ 八V Vydz 1 2 x 一工2x 2x——= ------- sec ---------- =——esc——・为tan- V 广、Vy84.已知z = (l + xy)y,求多,与•(中等难度)ox oy解：—=V(1 + AT)y = y2(1 + AT) , dx86.已知z = J^sin>,求多,：・x ox dy襟1 dn J用+ ———~r= sm ------ co s—9dx 2^1 x x x xdz 4x y 1 ydy x x M x x87.已知f(jr, y) = e x+y cos(y-x),求字与•(中等难度)ox dyQz,一=[e x+y cos(y -x)]r x = e x+y cos(y -x) + dxsin(v-x)]・(-1)=e x+y[cos(y -x) + sin(y - x)]az-2s=/度cos 2 cos n --e— =[e x+y cos(y _ x)]： = e x+y cos(y -x) + dy 89.已知z =广[_sin(yr)]l ，f + yJo 求X 2 + y 2 = 0=e x+y [cos(y -x)- sin(y -x)]. dz dz虱，瓦.（高难度）88. 已知 f(x, y)=x + (y-l)arcsinl — ■ \y 解:Z 2 ,2\ 2+y )-x y dz dz 求妾瓦•（中等难度） 解：由于 ——= [x+(y-l)arcsin dx y 333(x 2+ y 2y (x 2+ y 2y当 %2+y 2=0时dz dxz(0 + A JV ,0) — z(0,0) [. 0 — 0 八 ---------------------------- =lim ----------- = (J仙项A X=(以 + [(V -1) arcsin 因此芸Axx 3J (x 2 + y 2)20,x 2+y 2 ^0 S + y2=odz dxy 33 (x 2 + y 2)20,x 2 + y2 / o.同理得.x 2 + 寸=o90. 已知〃 = ar ct &丑攵)z ,求+(y-l)(arcsin ——= [x+(y-l)arcsin dy = (x)；+(V —l)；arcsin du du r …，、工 办3'W •（中等难度）du 解，如=z(x —y)i，dx l + (x-y)2vdu z(x -du _ (x-y)z ln(x - y) dy91.l + (x-y)2v&l + (x-y)2v 已知“=一(、z-1X\y}du——=z dx dux z—=—z ----------- -dy 一 ' dudu du du求妾旬'赤f 、zT Xz y \y) x z・z~ /+1 (\XbJ92.已知 Z = *4 +y4 _4*2,2 ,求 茶齐中等难度）~r,曰 82Z x 2 甘 Zx-2TH —Y ~ y m y, —T ~ 刀3—i)y 办2 7ay 2dx 2 淬z1=xy x ~xlny+ y x— = y x ~{ (xln y +1)解: 由于fl 丁-阮峭=我一心 dxdy95,已知z = xs ixfi- jO ,求 于是乌 =12亍—8亍， a%2 顼 7 d 2za?d 2zd 2z赤?（中等难度）旦= —16时dxdy解: 由于y 93.已知 z = arctan — x 求 dx 2 ' dy 2 &. zz x dz/、——=sin(x + ^) + xcos(x + y),——=xcos(x+ y) dx dy捉•（中等难度） oxoy 于是解：由于 d 2z /、 / 、 . /、—-=cos(x + y) + cos(x +y )-x sin(x + y) dx ''=(cos(x + y) — sin(x + y),dz dy= co s(x +y)-x sin(x + y). dxdy于是 2xy d 2z82z d^~ (x 2+y 2y ，dy 2 ~ (x 2 + y 2)22xy96,已知 z = xl V ),求d 2zdxdyd 2z d 2z dx2，dy 2 '（中等难度）解：由于dxdy (x 2 + y 2)2 (x 2+y 2)2, - 、，尤 d 2z 94.已知Z = y ，求最 Wz dy 2 ' dxdy ' dz . z 、 x —= ln(x+y)+ ox于是dz _ x dy x+y（中等难度） 解：由于专=5导 dx 1 x + y (x+ y)2 (x+ v)2 ?d 2z _ x dy 2 (x+y)?d2z _ i x _ ydxdy x+ y (x+ y)2(x+ y)2= e xy:Cl + 3jcyz + x 2y2z2) 97.已知Z = a r c 攻)，求d2z d2z,——,d2 zA A •（中等难度）8x2dy oxoy解：由于z = sin(xy) +(p(x,—),99.设2 > 有二阶偏求' Z ,其中0 (〃，v)dxdy导数.dz r r 1- = ycos(xy) +(p i+(p2-ox yd2z _ - y - y2xdx2 l-x2y2-x2/ J(1-x2/)3d2z哥1 1-x -------- ,-------------- -_ 2J1 —(》y)2(-2x2y)1- (W J(if 项)3Q2Z x= cos(xv) -XV sin(xv) + •(-—)oxoy y1 1 Y+(-r)p；+ —.以Gr)y- y广x \ X=cos(xy) — xysin(Q)_ -~(p{2妣—一(p"2y y y_ x+ y1。
第九章--多元微分学--单元自测答案(1)
第九章单元练习题答案 一、填空1.22{(,)0,1}x y y x y x ->+≤;2. 1 ;3.32; 4. ()()()0162812=-++--z y x ; 5. 4π; 6. 12二、计算题1.解：221()()()11()(()())()()()(()())z yf xy f xy yf x y x x x z f xy f xy xyf xy f x y yf x y x y x xf x y y f xy f x y ∂''=-+++∂∂'''''''=-++++++∂∂'''''=++++2.解：利用隐函数的求导公式 令 (,,)(,)z zG x y z F x y y x=++ 那么 3.解：两边分别对x 求偏导有：xzf x z z∂∂+=∂∂'212, 故 '221f z x z -=∂∂ 同理由：y z f f y z z ∂∂++=∂∂'2'112，得： '2'121f z f y z -+=∂∂ 对方程'221f z x z -=∂∂两边同时求y 的偏导有：()2'2''22''21222f z y z f f y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂-=∂∂∂将'2'121f z f y z -+=∂∂代入上式有： 4.解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得解得,yy x'=-()1sin()x e x z z x z -'=--因此[]123d ()1d sin()x u y e x z f f f x x x z -'''=-+--5.解: 由题设(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1f ==[3=1(,(,))f x f x x '()212(,(,))(,)(,)f x f x x f x x f x x '''++]1x ==3[2+3(2+3)]=516.提示：平法球法切向＝ηηη→→→⨯,切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程：024916=--+z y x7.解：函数z 在闭区域1≤+y x 上连续，故存在最大值，最小值令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0202''x y z y x z y x ⇒ 0==y x 此时 0=z 显然()0.0是函数在区域内的唯一驻点，且所以函数在驻点()0.0取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得 设()y x f z ,=，显然()()y x f y x f ,,=--，故只需讨论以下边界的函数值 1〕1=+y x 10≤≤x 10≤≤y 2〕1=-y x 10≤≤x 01≤≤-y 对于情形1〕()()4121311222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 z 取最大值 1max =z对于情形2〕()()432111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 1max =z综上()00,0min ==z z ()()()()10,11,00,11,0max =====--z z z z z 三、证明题 1.证: 1)因sin xy xy ≤,所以00lim (,)0x y f x y →→=(0,0)f =故函数在点 (0,0) 连续 ; 2)(,0)0,f x ≡(0,0)0;x f ∴= 同理(0,0)0.y f =3)(,)(0,0),x y ≠当时(,)x f x y y=2极限不存在 ,(,)x f x y ∴ 在点(0,0)不连续 ; 同理 ,(,)y f x y 在点(0,0)也不连续.4) 下面证明(,)(0,0)f x y 点可微.在令ρ=那么(0,0)(0,0)x y f f x f yρ∆-∆-∆1sinx yρρ∆⋅∆=x≤∆0ρ→−−−→,(,)(0,0).f x y ∴点在可微2.证：曲面上任一点的法向量(n =1,F '12()(),F m F n ''⋅-+⋅-2)F ' 取定直线的方向向量为(,1,)l m n =为定向量，那么0,l n ⋅=故结论成立 .。
多元函数微分学例题
第九章 多元函数微分学及其应用第一节 多元函数的基本概念1、求下列各函数的定义域，并作出其草图.(1) 2211y x z -+-=；解: 定义域{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x D ,图略． (2) )1ln(4222y x y x z ---=；解: 由⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-11010422222y x y x y x 得:定义域{}x y y x y x D 4,10),(222≤<+<=,图略．(3) ）（12arcsin 22-+=y x z ． 解: 由112122≤-+≤-y x 得:定义域{}22),(22≤+=y x y x D ,图略．２．设22),(y x xyy x f -=-，求),(y x f ． 解:令⎪⎩⎪⎨⎧==-s xy t y x ,得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=s ts y s t x 11代入得ss t s t f -+=1)1(),(2故yy x y x f -+=1)1(),(2．3、求下列极限：(1) 32210)(1limyx e xy xy x ++-→→；解: (直接代入)原式=210101=++- ．(2) 11)(cos 1lim220-+-→→y x xy y x ；解:原式=()1)11(2lim2222200=++→→yx y x xy y x ．(3)y y xy)(y xy 12x 1)sin(lim+→→； 解:原式= 21221sin lim e xy)(xy (xy)x x xyy x =+⋅⋅→→．4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值．(1) yyx y x -→→20lim； 解:当0→x 时，令2kx y =，则k k kx kx x y y x kxy x y x -=-=-=→→→1lim lim 22202002，其值与k 有关，故极限不存在．(2) 2265limyx yx y x +-∞→∞→； 解:当∞→∞→,y x 时，有0656565022222222→+≤+++≤+-≤yyx x y x y y x x y x y x ， 故065lim22=+-∞→∞→yx yx y x ． 5、设yx yx y x f +-=),(，求)],(lim [lim 00y x f y x →→和)],(lim [lim 00y x f x y →→．试问：极限),(lim 0y x f y x →→是否存在？为什么？解: 1)],(lim [lim 00=→→y x f y x ，1)],(lim [lim 00-=→→y x f x y极限),(lim 0y x f y x →→不存在，因为当0→x 时，令kx y =，其值与k 有关．6、研究函数⎩⎨⎧=+≠+=0,00,1),(2222y x y x y x f 的连续性（在哪些点连续，哪些点不连续）．解:),f(f(x,y)y x 0001lim 0=≠=→→，故函数在)0,0(处不连续，其它处均连续．第二节 偏导数１．填空题：(1) y x f f ,在),(00y x 处均存在是),(y x f 在该点连续的 既非充分也非必要 条件；(2)曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122x y x z 在点)3,1,1(处的切线与y 轴正向所成的角是6π；(3)设x y z ln=，则=∂∂x z x 1-，=∂∂y z y1； (4)设xy ze f(x,y,z)=，则=),,(f x 1000，=),,(f y 1000，=),,(f 100z 1．2．求下列函数的一阶偏导数：(1)yx xyz += ；解: 22y)(x y x z +=∂∂ ，22y)(x x y z +=∂∂．(2) x xy)(z +=1解:]xy xy xy)([xy)(x z x ++++=∂∂11ln 1 ，121-+=∂∂x xy)(x yz ． (3) zy x u = ；解:1z z -=∂∂y x y x u ，x x zy yuz y z ln 1-=∂∂，x x y y z u z y z ln ln ⋅=∂∂．3．求下列函数的二阶偏导数：(1)y)(x x z +=ln解:y x x y)(x x z +++=∂∂ln ，yx x y z +=∂∂， 2222y)(x y x x z ++=∂∂，22y)(x yy x z +=∂∂∂， 222y)(x x y z +-=∂∂，22y)(x y x y z +=∂∂∂ (2)yx z arcsin = ；解:221x y xz-=∂∂ ，22x y y xy z --=∂∂，232222--=∂∂)x x(y x z ，23222---=∂∂∂)x y(y yx z ， 23222122222---+-=∂∂)x x(y )x (y yx y z ，][12322221222---+--=∂∂∂)x (y x )x (y yx y z ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,y x ,,y x ,yx y f(x,y)0001cos 222222判断其在点),(00处的连续性和偏导数是否存在． 解: 1）),f(y x y f(x,y)y x y x 0001coslim lim 22000==+=→→→→故函数在点),(00处连续； 2）Δx),f()Δx,f(),(f Δx x 0000lim000-+=→000lim 0=-=→Δx Δx Δy),f(Δy),f(),(f Δy y 0000lim000-+=→()ΔyΔy Δy Δy 01cos lim2-=→()21coslim Δy Δy →=，极限不存在，故此点处关于y的偏导数不存在．第三节 全微分１．填空选择题：(1)二元函数f(x,y)z =在点),(y x 处可微的充分必要条件是0lim=-→ρdzΔz ρ，其中=Δz ()f(x,y)Δy Δx,y x f -++, dz 为表达式(x,y)Δx f (x,y)Δx f y x +,=ρ()()22Δy Δx +．(2) 在点),(y x 处),(y x df 存在的充分条件为C ．A ．f 的全部二阶偏导数均存在；B ．f 连续；C ．f 的全部一阶偏导数均连续；D ．f 连续且y x f f ,均存在．2．求函数xy z =当2=x ，1=y ，1.0=∆x ，2.0-=∆y 时的全增量和全微分．解:320128012...Δz -=⨯-⨯=30202101.).(.Δy yz Δx x z dz -=-⨯+⨯=∂∂+∂∂=3．求下列函数的全微分：(1) 23y x z =解:223y x x z =∂∂ ，y x yz 32=∂∂ ydy x dx y x dy yzdx x z dz 32223+=∂∂+∂∂=(2) yxz =解:xy x z 21=∂∂ ，2yxy y z-=∂∂dy y xy dx xydy y z dx x z dz 221-=∂∂+∂∂=(3) )ln(222z y x u ++=解:2222z y x x x u ++=∂∂ ，2222z y x yy u ++=∂∂， 2222zy x zz u ++=∂∂dz zy x zdy z y x y dx z y x x du 222222222222++++++++=4．讨论函数xy z =在点)0,0(处的可导性与可微性．解:000lim 000=-⋅=∂∂→ΔxΔx x zΔx ),(, 000lim00=-⋅=∂∂→ΔyΔy y z Δx ),(,故函数xy z =在点)0,0(处的偏导数存在；但()()2200lim lim Δy Δx ΔxΔyρdz Δz ρρ+=-→→，其中=ρ()()22Δy Δx +易知当()Δx ,Δy沿直线x y =趋于)0,0(时此极限不存在。
《高等数学》第九章 多元函数微分法及其应用自测题
第九章 多元函数微分法及其应用自测自检题第一部分:必做题一、选择填空题1. 设(0,1)y z x x x =>≠，则z x ∂=∂ , z y∂=∂ 。
2. 设22ln(1)z x y =++在点(1,2)处的全微分是 。
3. 设221(,)()2f x y x y =+，则(1,1)grad f = . 4. (,)f x y 的偏导数f x ∂∂及f y ∂∂在点(,)x y 处存在且连续是(,)f x y 在该点可微分的 ( ). (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件(C) 充分且必要条件 (D) 既非充分又非必要条件5. (,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==,则点00(,)x y ( ).(A) 不是极值点 (B) 是极大值点 (C) 是极小值点 (D) 是驻点6. 设54444440(,)=,00x xyx y f x y x yx y ⎧++≠⎪+⎨⎪+=⎩则()()0,0 x f =(A) 0 (B) 1 (C) ∞ (D) 不存在,但不是∞7. 设333143,x y z xyz ++-=求,z z x y∂∂∂∂在()1,2,1-处的值分别为( ) (A) 3, 5 (B) 5, 3 (C) 0, 5 (D) 3,0三、计算题1. 3sin ln 2,yz x x y e =+++求222,.z z x x y ∂∂∂∂∂ 2. ,32,23.u z u x y v x y v ==+=-求.z y ∂∂3. 2sin ,,xy z e x t y t ===求.dz dt 4. 设2,,xy z u e z x y +==求,.u u x y∂∂∂∂5. 设0.ze z xy +-=求.z x ∂∂ 6. 设(,),zf xy x y =+其中f 具有二阶连续偏导数，求2,.z z x x y ∂∂∂∂∂7．求函数2u xy z =在0(1,1,2)P -处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数.8.求曲线23,,x t y t z t ==-=上一点的切线, 9若曲面224z x y =--上点P 处切平面平行 使得与平面240x y z ++-=相平行. 于平面2210x y z ++-=，求P 的坐标.10.试求球面2221x y z ++=上一点, 使得该点到平面22100x y z -+-=距离最远.第二部分:选做题(考试不作要求)1.设222222221()sin 0(,)=,00x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎨⎪+=⎩试讨论在(0,0)处的连续性、偏导存在性、可微性、偏导连续性.2.求椭球面2221345x y z ++=第一卦限上一点,使得过该点的切平面与三个坐标平面所围立体体积最小. 3.设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂ (Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式.。
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第九章 多元函数微分学(冶金系)
1、下列函数不是．．
多元函数的是（ ） A.S ab = B.PV RT = C.V xyz = D.2y ax bx c =++ 2、下列函数不是．．
多元函数的是（ ） A.(,)0f x y x y +-= B.(,,)0f x y z = C.(,,)u f x y z = D.(,)z f x y = 3
、设函数(,)sin()z x y xy =，则,12z π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ）
A.1
11 D.0
4
、设函数(,)cos()z x y xy =，则,02z π⎛⎫
=
⎪⎝⎭（ ）
A.1
11 D.0
5、设函数(,)sin()f x y xy =，则2,x f y y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A.sin()xy
B.sin x
C.2sin()x
D.2sin()y 6
、设函数(,)f x y ,x y f y x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A.x
B.y
C.1
D.0 7
、函数z 的定义域是（ ）
A.224x y +≤
B.224x y +≥
C.222x y +≥
D.222x y +≤- 8
、函数z 的定义域是（ ）
A.00x y ≥⎧⎨≥⎩
B.0
0x y ≤⎧⎨≤⎩
C.00x y ≥⎧⎨≤⎩或00x y ≤⎧⎨≥⎩
D.00x y ≥⎧⎨≥⎩或00x y ≤⎧⎨≤⎩
9
、函数z =的定义域是
（ ）
A.224x y +≤
B.221x y +>
C.2214x y <+≤
D.224x y +≥或221x y +< 10
、函数z ）
A.229x y +≤
B.229x y +≥
C.223x y +≥
D.223x y +≤-
11、设函数2332z x xy y =-+，则z
x
∂=∂（ ）
A. 2236x y y -+
B. 23x xy -
C. 236y y -+
D. 23x y -
12、设函数2332z x xy y =-+，则z
y
∂=∂（ ）
A.2236x y y -+
B.23x xy -
C.236y y -+
D.23x y -
13、设函数xy z e =，则z
x ∂=∂（ ）
A.xy e
B.xy xe
C.xy ye
D.xy xye
14、设函数xy z e =，则z
y
∂=∂（ ）
A.xy e
B.xy xe
C.xy ye
D.xy xye
15、设函数2
3
32z x y =+，则22z
x
∂=∂（ ）
A. 6x
B. 26y
C. 12y
D. 6 16、设函数2
3
32z x y =+，则22z
y
∂=∂（ ）
A. 6x
B. 26y
C. 12y
D. 6 17、设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的邻域内有定义，如果对于该邻域内异于00(,)x y 的点(,)x y 都有(,)f x y <00(,)f x y ，则称00(,)f x y 为函数(,)f x y 的
（ ）。
A.极大值
B.极小值
C.最大值
D.最小值 18、设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的邻域内有定义，如果对于该邻域内异于00(,)x y 的点(,)x y 都有(,)f x y >00(,)f x y ，则称00(,)f x y 为函数(,)f x y 的
（ ）。
A.极大值
B.极小值
C.最大值
D.最小值
19、同时满足0000(,)0
(,)0x y f x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩的点00(,)x y 称为函数
(,)f x y 的（ ）。
A.可导点
B.驻点
C.极值点
D.最值点 20、在许多实际问题中，求多元函数的极值时，其自变量常常受一些条件的限制，这类问题称为条件极值问题。
在解决这类问题时，常用的方法是（ ）。
A.拉格朗日乘数法
B.归纳法
C.推理法
D.常数变异法
一 计算题
1.求下列函数的偏导数 （1）y z xe -=
（2）()ln 2z x y =- （3）cos x z e y =
（4）2x y z e +=
（5）设
323z xyz a -=确定了二元隐函数
(,)z f x y =，求
z x ∂∂,z y
∂∂.
（6）设
0z e x y z -=确定了二元隐函数
(,)
z f x y =，求z x ∂∂,z y
∂∂.
2.求下列函数的全微分 (1) sin z x xy =-
（2）2
sin u xy z =+
二、应用题
1、求函数(,)f x y =322
421x x xy y -+-+的极值.
2、求函数2
2
(,)4()f x y x y x y =---的极值.
3、若将正数12分成三个正数,,x y z 之和，使得
32u x y z =为最大。
则这三个正数分别是多少？
4、某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.。