点线面的关系—教师版

启优教育个性化辅导讲义科目：高一数学题目：空间几何体年级：高一教师：KEN授课日期：一、平面的基本性质公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

用途：常用于证明直线在平面内.公理2：不共线的三点确定一个平面.．．．推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.用途：用于确定平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）. 用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B. 在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.练习：1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如图12.图12例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.练习：求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.例2 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.图15解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.练习：1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ， ∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线. (2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18. (2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ，∴PQ=10342121=+Q B P B cm.例3 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证：Q ∈l,R ∈l, ∴P、Q 、R 三点共线. 练习：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行. 求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，图20∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1、l 2不平行,∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ，则P ∈l 1⊂α,P ∈l 2⊂γ, ∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P .二、空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表述：等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线：：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； 异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，且FG=BD 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 练习：1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. ⎧⎨⎩ 共面:a b=A,a//b异面:a与b异面//,////a b b c a c ⇒(]0,90θ∈︒︒同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC⊥BD. 求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°. （3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 练习：如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.例3 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.练习：如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE∥DD1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.例4 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG.因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=BC 21，FG∥AD，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求. 由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.练习：1.设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ，∴HG·HE·sin∠EHG=612sin∠EHG.∴612sin∠EHG=312.∴sin∠EHG=22.故∠EHG=45°.∴AB 和CD 所成的角为45°.2.直线与平面的位置关系：例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案：B练习：请讨论下列问题：若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.//ll Allαααα⊂⎧⎪=⎧⎨⊄⎨⎪⎩⎩例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.求证：l与a、b、c共面.证明：如图4,∵a∥b,图4∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l,∴AB⊂α，即l⊂α. 同理b、c确定一个平面β，l⊂β,∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面.练习：已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.∴P∈β，a⊂β，P∉a.又P∈α，a⊂α，P∉a,由推论1：过P、a有且只有一个平面,∴α、β重合.∴PQ⊂α.例3 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.练习：若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例4 若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B 与平面ABCD 相交，直线AB 、CD 在平面ABCD 内，直线AB 与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD 内不存在与a 平行的直线，所以应选D. 答案：D 练习：1.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①. 答案：①2.若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a 平行 (4)α内不存在与a 平行的直线 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直线a ⊄α,∴a∥α或a∩α=A. 如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A3.平面与平面的位置关系：例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系? 解：如图5,直线a 与直线b 的位置关系为平行或异面.图5例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.αβαβαβ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⊥⎩⎩平行：//斜交：=a 相交垂直：解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.图6练习：α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )A.α、β都平行于直线l、mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥βD.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β分析：如图7,分别是A、B、C的反例.图7答案：D例3 α∩β=l,a⊂α,b⊂β,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.图8练习α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.图9直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明.例4 如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，图10（1）画出l的位置；（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.QN即为所求作的直线l.如图10.（2）设QN∩A1B1=P,∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,∴A1P=21D1N=41C1D1=41a. ∴PB1=A1B1－A1P=aaa4341=-.练习画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，图11∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.三、平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：（线线平行线面平行）③性质定理：（线面平行线线平行）2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平////a ba abααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭⇒////aa a bbαβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭⇒l Aα=面内射影的夹角。