新疆兵团第二师华山中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理(含解析).doc

华山中学2021-2022第二学期高二期中考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B ⋂=（ ） A. 3(3,)2-- B. 3(3,)2-C. 3(1,)2D. 3(,3)2【答案】D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算. 【此处有视频，请去附件查看】2.设函数()1f x x =-，则42x f f x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为( ) A. 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,4C. [)1,+∞D. 1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由函数()1f x x =-解得1x ≥，再由函数42x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到12x ≥且41x ≥，即可求解．【详解】由题意，函数()1f x x =-满足10x -≥，即1x ≥，所以函数42x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足12x ≥且41x ≥，解得24x ≤≤，即函数42x f f x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为[]2,4，故选B ． 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的概念，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知函数()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列图象符合的是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】当10x -≤≤时，函数()2f x x =-的图象是一条线段，当01x <≤时，函数()12f x x =，表示一个幂函数，即可求解．【详解】由题意，函数()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=<≤，可得当10x -≤≤时，函数()2f x x =-的图象是一条线段， 当01x <≤时，函数()12f x x x ==，表示一个幂函数，且单调递增，综上可知，选项A 符合题意，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记一次函数和幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4.某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛场数为( )A. 222658C C C B. 222658C C C ++C. 222658A A AD. 219C【答案】B 【解析】 【分析】分别求出高一的6个班级、高二的5个班级、高三的8个班级举行班与班之间篮球单循环赛需要比赛的场数，再由分类计数原理，即可求解，得到答案．【详解】由题意，高一的6个班级举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为26C ，高二的5个班级举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为25C ， 高三的8个班级举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为28C ，由分类计数原理，可得共需要进行比赛的场数为222658C C C ++，故选B ．【点睛】本题主要考查了组合数的应用，以及分类计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用组合数的公式，以及分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.从2位女生，4位男生中选3人参加数学竞赛，且至少有1位女生人选，则不同的选法共有( ) A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：选1女2男，选2女1男，分别利用组合知识以及分步计数乘法原理求解，然后利用分类计数原理可得结果. 【详解】选3人分两种情况：若选1女2男，有122412C C =种选法，若选2女1男，有21244C C =种选法，根据分类计数原理可得，共有12416+=，故选B.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6.已知数据1x ，2x ⋯，n x 的平均数3x=，方差(6,0)±，则数据137x +，237x +，…，37n x +的平均数和标准差分别为( )A. 16，36B. 22，6C. 16，6D. 22，36【答案】C 【解析】 【分析】根据数据137x +，237x +，…，37n x +的平均数为37x +，即可求解．【详解】由题意，数据1x ，2x ⋯，n x 的平均数3x=，方差(6,0)±，则数据137x +，237x +，…，37n x +的平均数为3733716x +=⨯+=，6==， 故选C ．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和标准差的求法，其中解答中熟记平均数和方差（标准差）的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.下列说法错误的是（ ）A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+至少经过其样本数据点中的一个点 D. 在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好 【答案】C【解析】对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.8.某同学在只听课不做作业情况下，数学总不及格.后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程ˆˆ1.6yx a =+，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为( ) A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入回归直线的方程，即可求解． 【详解】由题意，可得5864782878481866,8455x y ++++++++====，即样本中心点为(6,84)，代入回归直线方程ˆˆ1.6y x a =+，解得74.4a =， 即ˆ 1.4467.yx =+， 当ˆ90y=时，90 1.467.4x =+，解得10x ≈，故选C ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，把样本中心代入回归直线方程，求得ˆa的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算2K 的观测值10k =，则下列选项正确的是（ ） A. 有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响 B. 有99.5％的把握认为使用智能手机对学习无影响 C. 有99.9％的把握认为使用智能手机对学习有影响 D. 有99.9％的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合2K 的观测值k 由独立性检验的数学思想给出正确的结论即可. 【详解】由于2K 的观测值10k =7.879>,其对应的值0.0050.5%=，据此结合独立性检验的思想可知：有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响. 本题选择A 选项.【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．10.已知2(2)nx x y +-的展开式中各项系数的和32，则展开式中52x y 项的系数为()A. 120B. 100C. 80D. 60【答案】A 【解析】 【分析】先由x=y=1，求得n=5，得到展开式中含2y 项()()23232625353 22mm m m m m C y C x x C C x y ----=，确定m 的值，代入即可求解．【详解】由题意，令x=y=1，得232n =，解得n=5，则展开式含2y 项的项为()()2323262535322mm m m m m C y C x x C C x y ----=，令6-m=5，得m=1，即展开式中52x y 项的系数为221532120C C =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，以及展开式的系数问题的求法是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11.记()()()77017211x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为( )A. 1B. 2C. 129D. 2188【答案】C 【解析】()()()727017211x a a x a x -=+++++中，令0x =，得70172128a a a =++⋅⋅⋅+=.∵()72x -展开式中含7x 项的系数为70772(1)1C -=-∴71a =-∴0167128129a a a a ++⋅⋅⋅+=-= 故选C.点睛：二项式通项与展开式的应用：(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.(2)展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.③有关组合式的求值证明，常采用构造法.12.将三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望()Eξ为()A. 179B.199C. 2D.73【答案】A【解析】试题分析：由题意知的所有可能取值为，，，，，故答案为A.考点：离散型随机变量的数学期望.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____.【答案】3 5【解析】试题分析：从5个球中任选2个，共有2510C=种选法.2个球颜色不同，共有11326C C=种选法.所以所求概率为63105 p==.考点：古典概型及组合数的计算. 【此处有视频，请去附件查看】14.用0到9这10个数字，可以组成_______个没有重复数字的三位奇数．【答案】320【解析】【分析】从1,3,5,7,9中任选一个数排在个位，再从剩余的8个非零数字中任选一个数字排在首位，再从剩余的8个数字中任选一个数字排在十位，最后由分步计数原理，即可求解．【详解】由题意，从1,3,5,7,9中任选一个数排在个位数，共有155C=种方法，再从剩余的8个非零数字中任选一个数字排在首位，共有188C=种方法，从剩余的8个数字中任选一个数字排在十位数，共有188C=种方法，由分步计数原理，组成没有重复数字的三位奇数共有588320⨯⨯=种．【点睛】本题主要考查了数字的排列问题，其中解答数字的排列问题时，要注意最后一位数字的要求，以及数字0不能排在首位，合理分类讨论是解答额关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：)mm检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为______．【答案】22.5【解析】根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位数应在20∼25内，设中位数为x，则0.3+(x −20)×0.08=0.5， 解得x =22.5；∴这批产品的中位数是22.5. 故答案为：22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法： ①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； ③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.16.若对任意[]x 1,3∈-，都有()2ax a 1x 20-++≥成立，则实数a 的取值范围用区间表示为：______________ 【答案】[16, 3+【解析】 【分析】分类讨论0a =与0,0a a ><时，函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值，建立不等式，即可求解实数a 的取值范围，得到答案．【详解】由题意，当0a =时，()2f x x =-+在区间[1,3]-上单调减函数， 且()33210f =-+=-<，不满足题意；当0a >时，二次函数()2(1)2f x ax a x =-++图象的对称轴为111222x a =+>， 若11322x a =+<，则15a >，函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值为11()022f a +≥， 即2610a a -+≤，解得33a -≤≤+135a <≤+若11322a+≥，则105a <≤，函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值为(3)0f ≥， 解得16a ≥，取1165a ≤≤；当0a <时，二次函数()f x 的图象的对称轴为1tan 2μθ=，函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值为(3)0f ≥，解得16a ≥，此时a 不存在；综上可知，实数a 的取值范围是136a ≤≤+ 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据二次函数的图象与性质，合理分类讨论，，求得函数的最小值，建立不等式上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.已知(2nx+的展开式中各项的二项式系数之和为32． ()1求n 的值； ()2求(2nx的展开式中2x 项的系数； ()3求(2nx x⎛⎝展开式中的常数项． 【答案】(1)5. (2)80. (3)-30. 【解析】分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为2n 求解即可．（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解．（3）根据52x⎛+ ⎝展开式的通项并结合组合的方法求解．详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得232n =， 解得5n =．（2）由题意得52x⎛+ ⎝的通项公式为()3555215522rrr r r r r T C x C x ---+==， 令3522r-=，解得2r =， 所以52x⎛+ ⎝的展开式中2x 项的系数为325280C ⨯=．（3）由（2）知，52x ⎛⎝展开式的通项为3552152r rrr TC x--+=，令3512r-=-，解得4r =； 令31522r -=，解得3r =． 故2nx x ⎛ ⎝展开式中常数项为5445335522104030C C ---=-=-． 点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1r n r rr n T C a b =－＋的特点，一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回通项求解，注意r 的取值范围(r ＝0，1，2，…，n )．（2）使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r ＋1项，而不是第r 项；②通项公式中a 和b 的位置不能颠倒．18.通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下22⨯列联表：()1从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；()2根据以上22⨯列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？ 下面的临界值表供参考：(参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中)n a b c d =+++【答案】(Ⅰ) 7(10P =Ⅱ)见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论． 解析：(Ⅰ)根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A 、B 、C ，不挑同桌有2人，记为d 、e ； 从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ABd ABe ACd ACe Ade BCd BCe Bde Cde ，，，，，，，，，共10种；这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为ABC ABd ABe ACd ACe BCd BCe ，，，，，，，共7种；故所求的概率为710P =； (Ⅱ)根据以上22⨯列联表，计算观测值22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平ABCD ．（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）设2AP =，6AD =3ADC π∠=，求异面直线PD 与AB 所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（23【解析】 【分析】（1）由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，又由PA ⊥平面ABCD ，得BD PA ⊥，利用线面垂直的判定定理，得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理，即可证得结论； （2）由//AB CD ，则异面直线PD 与AB 所成角的余弦值，即为直线PD 与CD 所成角的余弦值，即求cos PDC ∠，再CPD ∆中，由余弦定理，即可求解．【详解】（1）由题意，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BD PA ⊥， 因为AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PAC ．（2）因为底面ABCD 为菱形，所以//AB CD ，则异面直线PD 与AB 所成角的余弦值，即为直线PD 与CD 所成角的余弦值，即求cos PDC ∠， 由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以PA AD ⊥， 在直角APD ∆中，2AP =6AD =，则222PD AP AD =+=由底面ABCD 为菱形，6,3AD ADC π∠==，所以6AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以PA AC ⊥， 所以在直角APC ∆中，2222PC AP AC +=在CPD ∆中，由余弦定理得22226223cos 42226PDC ∠==⨯⨯，即异面直线PD与AB．【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）67．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X=．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为67．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)， 故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67． 所以，事件A 发生的概率为67． 点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．21.已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围【答案】(1) x+y-1=0. (2) 22ln 22a e -<≤-. 【解析】 【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.选考题共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。