2-4随机变量的函数分布 [兼容模式]
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随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
随机变量函数及其分布
应用
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量 控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动 等。
PART 04
随机变量函数数学期望与 方差
REPORTING
WENKU DESIGN
数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均 值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
https://
随机变量函数及其分 布
https://
REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即 多个随机变量的线性组合的数学期望等 于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随 机变量数学期望的线性变换。
性质 常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该 随机变量方差的线性变换的平方 。
定义：方差是随机变量取值与其 数学期望之差的平方的平均值， 反映了随机变量取值的离散程度 。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、 随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市 场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估 值。
THANKS
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量 控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动 等。
PART 04
随机变量函数数学期望与 方差
REPORTING
WENKU DESIGN
数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均 值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
https://
随机变量函数及其分 布
https://
REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即 多个随机变量的线性组合的数学期望等 于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随 机变量数学期望的线性变换。
性质 常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该 随机变量方差的线性变换的平方 。
定义：方差是随机变量取值与其 数学期望之差的平方的平均值， 反映了随机变量取值的离散程度 。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、 随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市 场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估 值。
THANKS
§4、随机变量函数的分布
y 0, y 0,
变限函数 求导
y 0, 0, f ( y ) 1 f ( y ) ( 1 ), y 0, X X 2 y 2 y y 0, 0, 1 [ f X ( y ) f X ( y )], y 0. ■ 2 y
1 e 2
,
y 0, y 0.
此时称Y服从自由度为1的χ 2-分布．
8
【例3】设随机变量X～U(0,1)，求Y = eX 的概率 密度． 【解】因随机变量X～U(0,1)，即X的概率密度为
如图， f X ( x )的分段定义 将 x轴分为三部分: (-∞,0),[0,1),[1,+ ∞)； 相应地， y e x 将 y轴也分为 三部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
1 x ln y h( y ), h( y ) , y
g (0) 1, g (1) e, 1, e,
由公式得：
16
1 f X (ln y) | |, 1 y e, fY ( y ) y 0, 其它,
1 , 1 y e, y 其它. 0,
0dx 1dx ln y;
0 0 ln y
故当1<y<e时,
FY ( y) ln y;
11
(3) 当 y > e 时:
FY ( y) P{Y y}
P{Y 1} P{1 Y e} P{Y y} P{X 0} P{0 X 1} P{1 X ln y}
假设在 [ a, b] 上恒有 g ( x) 0[ g ( x) 0] ，此时
min[g (a), g (b)], max[g (a), g (b)].
4随机变量的函数及其分布2-4
1 [ ( y ) X ( y )], y 0 fY ( y) 2 y X 0 , y0 1 y y 1 1 1 y2 e 2 , y 0 1 e 2, y 0 1 2 y 2 2 ( ) 2 0 , y0 0 , y0
P{X 2 1 y} P{X 2 y 1 }
P{ y 1 X y 1} , 0 , FX ( y 1) FX( y 1), 0 , y 1 其它
y 1 其它
又∵ X ~ R( 1,2),
∴ Y 的具体概率密度为
Pictures
2 分布，也称 X 是自由度为 那么就称随机变量 X 服从 2 量，并简记成 n的
X ~ 2 (n)
返回
退出
Hale Waihona Puke 3.2 标准正态量的平方称为 量
2
重要 量举例
2
则 Y ~ 2 (1) (1)若 X ~ N (0, 1) ， X , Y
2
事实上, 前已证明 Y = X 2 的概率密度确应为
d y8 d FX ( ) FY ( y ) dy 2 dy
1 y8 d y 8 d y 8 ) FX ( ) ( ) fX ( 2 2 dx 2 dy 2
y 8 , 8 y 16 32 0 , 其它
返回
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例2-2 前 半 部 建 立 等 价 关 系
返回
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前 半 部 建 立 等 价 关 系
求 Y 2 X 8的概率密度。 解 ∵Y 的分布函数
FY ( y) P{Y y}
x , 0 x4 例2-1 随机变量 X 的概率密度 f X ( x ) 8 0 , 其它
P{X 2 1 y} P{X 2 y 1 }
P{ y 1 X y 1} , 0 , FX ( y 1) FX( y 1), 0 , y 1 其它
y 1 其它
又∵ X ~ R( 1,2),
∴ Y 的具体概率密度为
Pictures
2 分布，也称 X 是自由度为 那么就称随机变量 X 服从 2 量，并简记成 n的
X ~ 2 (n)
返回
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Hale Waihona Puke 3.2 标准正态量的平方称为 量
2
重要 量举例
2
则 Y ~ 2 (1) (1)若 X ~ N (0, 1) ， X , Y
2
事实上, 前已证明 Y = X 2 的概率密度确应为
d y8 d FX ( ) FY ( y ) dy 2 dy
1 y8 d y 8 d y 8 ) FX ( ) ( ) fX ( 2 2 dx 2 dy 2
y 8 , 8 y 16 32 0 , 其它
返回
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例2-2 前 半 部 建 立 等 价 关 系
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前 半 部 建 立 等 价 关 系
求 Y 2 X 8的概率密度。 解 ∵Y 的分布函数
FY ( y) P{Y y}
x , 0 x4 例2-1 随机变量 X 的概率密度 f X ( x ) 8 0 , 其它
随机变量函数分布
X i~ N (i, i2 ) (i 1 ,2 ,,n )
则对于不全为零的常数 a1,a2,有,an
n
n
a 1X 1 a 2X 2 a nX n~N ( a i i, a i2i2)
i 1
i 1
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 7/15
§5 两个随机变量的函数的分布 1/15 随机变量的函数的分布 随机变量函数的取值范围 会求两个随机变量的和、商、 最大及最小值的分布
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 2/15
设有两个部件 I、I I 其, 工作寿命分别为 X , Y 部件 I 坏了,换上备用部件 继I I 续工作
I
II
部件 I、I I 并联同时工作,仅当两个部件都 损坏时，整个系统才失效
I
II
部件 I、I I 串联同时工作,只要有一个部件 损坏，整个系统就失效
I
II
怎样确定上述各系统的寿命
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 3/15
若 (X,Y)~ f(x,y),怎样求
X Y , m a x { X ,Y } , m in { X ,Y }
x z 10 20 z
0,
第三章 多维随其机变它量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 8/15
设 X ,相Y 互独立且都服从参数为 的指数分布,
求 r.vZXY的概率密度.
由卷积公式有, Z的密度函数为
fZ(z) fX(x)fY(z x)d x
f (x) 1 ex , x 0
(瑞利Rayleigh分布)
0 , z第三0章 多维随机变量及其分布
2.4 随机变量函数的分布
例3 设随机变量 X 的概率密度为
fX
x
x , 0 x 4 8 0 , 其 它
求随机变量Y = 2X+8 的概率密度。
解 记Y 的分布函数为FY (y )，则 FY (y ) = P {Y≤y } = P {2 X ＋8 ≤y } = P { X≤(y －8 ) / 2 }
注意
1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用 以上公式推求Y的密度函数； 2、注意定义域的选择。
例5 证明
设随机变量
X ~ N ( μ , σ ) , 试证明
2
X 的线 .
性 函 数 Y aX b ( a 0 ) 也服从正态分布
X 的概率密度为
fX (x) 1 2 πσ
( x μ) 2σ
Y
g xk X xk
由
Y pk
X pk
x1 p1
x2 p2
xk pk
g ( x1 ) p1
g ( x2 ) p2
g ( xk ) pk
2、当 g xi g x j i j 则把那些相等的值合并起来。 并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布列。
fY ( y ) F y ( y ) [
y3 2
y3 2
,
f X ( x ) d x ]
y3 2 )
2
y 3 3 ( ( ) e 2 0,
(
y3 2
),
y 3, y 3.
1 y 3 3 ( ( ) e 2 2 0,
第二章 随机变量及其分布
第一讲 离散型随机变量及其分布 第二讲 随机变量的分布函数 第三讲 连续型随机变量及其分布 第四讲 随机变量函数的分布
2-4随机变量的函数的分布
[f
1(y)] , 其 它.
y
,
得 Y aX b 的概率密度为
1 yb pμ)2
1 e
a 2σ2
2σ
得 Y aX b ~ N (aμ b,(aσ)2 )
1
e , [
y
( b aμ 2(aσ )2
)]2
a σ 2π
y 8} 2
y8
2
pX (x)d x
第二步 由分布函数求概率密度.
pY ( y) Fy( y)
y8
[ 2
pX ( x)d x]
pX (
y 8)( y 8) , 22
所以
pY
(
y)
1 8
(
y
2
8
)
1 2
,
0 y 8 4, 2
0,
其 它.
y8 32
,
8 y 16,
0,
2. 连续型随机变量的函数的分布
方法1 FY ( y) P{Y y} P{ f ( X ) y}
f ( x) y pX ( x)dx ( x )
FY ( y)关于y求导得到Y的密度函数.
方法2
pY
(
y)
pX
[
f 1( 0,
y)][
f
1(
y)]
, y
其 它.
,
注意条件.
其它.
定理(例2.18)
设f x是严格 单调函数 。随机变量X的密度 函数为 pX x, 试证随机变量Y f X 的密度函数为
pY y pX f 1 y f 1 y '
这里x f 1 y为y f x的反函 数。 证明：若f x为严格单调增函数，则f 'x 0,因其反 函数x f 1 y, 存在且亦为严格单调增函数
2-4随机变量函数的概率分布
FY y PY y PgX y f X (x)dx
g( x) y
２. 求Y=g(X)的密度函数fY(y)＝F'Y(y)
6
随机变量函数的分布
例3 设有随机变量X的概率密度函数为
2x, 0 x 1,
fX
(X
)
0,
其它.
随机变量Y=X-4,试求Y的概率密度．
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
16
作业：
P59,33,35,36,37
17
随机变量Y=(X-1)2,试求Y的分布律. 解 ：随机变量Y=(X-1)2的可能取值是0,1,4
所以，P{Y=0} =P{X=1}=0.1,
Y的分布P{律Y=为1}：=P{XY=0}+0P{X=12}=0.34+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{pXk= -01.}1= 0.02.,7 0.2
0, y
y 0.
y fX ( x)dx.
9
随机变量函数的分布
说明：设 X~N(0,1),其概率密度为：
(x)
1
x2
e 2,
x .
2
则 Y=X2的概率密度为：
fY
(
y)
1
y2
e 2,
2 y
0,
y 0, y 0.
说明：Y服从自由度为1的χ2 - 分布
10
随机变量函数的分布
定理 设X 是概率密度函数为fX(x) (a<X<b)的连续型随机变量， 其它区间为零,(a可以是-∞,b可以是+∞).g(x)在(a,b)内严格单调
随机变量函数的分布
一.随机变量函数的概念
设有函数Y gX , 其定义域为随机变量X的一切可能
g( x) y
２. 求Y=g(X)的密度函数fY(y)＝F'Y(y)
6
随机变量函数的分布
例3 设有随机变量X的概率密度函数为
2x, 0 x 1,
fX
(X
)
0,
其它.
随机变量Y=X-4,试求Y的概率密度．
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
16
作业：
P59,33,35,36,37
17
随机变量Y=(X-1)2,试求Y的分布律. 解 ：随机变量Y=(X-1)2的可能取值是0,1,4
所以，P{Y=0} =P{X=1}=0.1,
Y的分布P{律Y=为1}：=P{XY=0}+0P{X=12}=0.34+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{pXk= -01.}1= 0.02.,7 0.2
0, y
y 0.
y fX ( x)dx.
9
随机变量函数的分布
说明：设 X~N(0,1),其概率密度为：
(x)
1
x2
e 2,
x .
2
则 Y=X2的概率密度为：
fY
(
y)
1
y2
e 2,
2 y
0,
y 0, y 0.
说明：Y服从自由度为1的χ2 - 分布
10
随机变量函数的分布
定理 设X 是概率密度函数为fX(x) (a<X<b)的连续型随机变量， 其它区间为零,(a可以是-∞,b可以是+∞).g(x)在(a,b)内严格单调
随机变量函数的分布
一.随机变量函数的概念
设有函数Y gX , 其定义域为随机变量X的一切可能
2-4随机变量函数分布
P{Z
zk }=P{g( X ,Y ) zk }
=
g(xi ,y j )=zk
pij
即P{Z=zk }等于满足g(xi ,y j )=zk所有pij之和.
例6 设离散型(X,Y)联合分布律如下表,求: (1)Z=X+Y. (2)W=X-Y 分布律.
X\Y -1 1 2 -1 5/20 2/20 6/20 2 3/20 3/20 1/20
例1 二维离散型随机变量 (X,Y)联合分布律、边际分布 律如下表：问X、Y是否相互独立？
Y\X 0 1 1/6 2 1/6
P(X=i) 1/3
1 P(Y=j) 2/6 1/2 2/6 1/2 2/3 1
当i=0,1, j=1,2时, P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)
所以，X，Y相互独立。
P{a X b, c Y d } P{a X b}P{c Y d }.
(3) 实质: P{ X x | Y y} P{ X x} P{Y y | X x} P{Y y}
2、主要性质
离散型随机变量X ,Y 相互独立 对( X ,Y )所有取值( xi , y j ), P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j ). 即pij pi. p. j 实质: P( X xi |Y yj ) P( X xi ), P(Y yj | X xi ) P(Y y j )
dx
z 1
2 z,
0,
1 z 2 其它
例8 设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度
分别为f
X
(
x
)
1 0
0 x 1, 其它
e y
fY
(
y
)
第5节 随机变量函数的分布
、
Z = XY 仍为连续型随机变量，其概率密度
分别为:
∫ fY ( z) = X
+∞
x
−∞
f ( x, xz)dx
∫ fXY ( z) =
+∞ −∞
1 x
f
⎛ ⎜⎝
x,
z x
⎞ ⎟⎠
dx
当 X 与 Y 相互独立时，有
∫ ∫ fY (z) = X
+∞ −∞
x
fX(x) fY ( xz)dx,
fXY (z) =
令
t
=
x
−
z 2
∫ =
1 − z2 e4
+∞ e−t2 dt ,
2π
−∞
∫Q +∞ −∞
1
− x2
e 2 dx = 1,
2π
∫∴
+∞
1
−( x )2
e 2 d(
x
) = 1,
−∞ π
2
∫∴ +∞ 1 e−t2 dt = 1.
−∞ π
∫ +∞ e−t2 dt = π −∞
∫ ∴
fZ (z)=
1
2π
− z2
e4
+∞ e−t2 dt =
1 − z2 e4
−∞
2π
π=
1
e−
2(
z
2
2
)2
2π 2
即 Z ~ N (0, 2).
注：若
Xi
~
N
(
µi
,σ
2 i
),
i
=
1, 2,L, n且它们相互独
立，则
Z
=
24随机变量函数的分布
于是， F (的)分布函数是
0, y 0
F
(
y)
Байду номын сангаас
y, 0 y 1
1, y 1
这正是[0,1]上的均匀分布的分布函数， 所以，
服从[0,F1](上)的均匀分布U[0,1].
注意，本例中的结论在计算机模拟中有 重要的应用.
★ 定理2.4.1在使用时比较方便，但要
求的条件“ g(x)严格单调，反函数连续 可微”很强，有些场合下无法满足这个 条件，例如 g(x)就无x2法满足条件.对于 无法满足定理2.4.1条件的情况，可以直 接利用分布函数法.
1
1
21
3 12
9
9
解：η的可能取值为1,3,5,7,9,11,它们互不相同， 则η的分布列为
ξ 1 3 5 7 9 11
P11 12 6
1
12
1
3
12
9
9
2） 若 ξ取不同的 时a，i 而函数的取值η中有相等的，
则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加
性把对应的概率相加，就得到η的分布列.不妨设η的
随机p变( x量)函数 的分布函数可g按()如下方法求得：
先求η的分布函数，
F (y ) P ( y ) P { g () y } P ( C y )
其中
.
Cy {xg(x)y}
而其概P(率密Cy度)常函常数可p用 (ξx)得的分积布分函表数达F： ( x) 来表达或用
F (y)P ( C y)C yp(x)dx
再求η的密度函数，通过对η的分布函数 F求 ( y导) ， 求出η的密度函数.
这种求随机变量函数分布的方法被称为分布函数法.
2.4 随机变量的分布函数
§2.4 随机变量的分布函数
表2-8
• 注2.4.2 由以上分析可见，对离散型随机变量而言， x F x 取不大于 其分布函数 是 的所有可能值的概 X 率之和，即
F x p X xi
xi x
§2.4 随机变量的分布函数
• 2.4.3 连续型随机变量的分布函数
F x x F x f x lim x 0 x
P x X x x lim x 0 x
f x 不是 X 取值 x 的概率，而是反映了 X 在 x • 这表明， 点概率分布的密集程度.
§2.4 随机变量的分布函数
• 例2.4.6 已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为
例2.4.4 设随机变量X服从参数为 0 的指数分布，试求： (1) X的分布函数； (2)对于 0 a b ,求 Pa X b 的值.
e x , x 0, X ~ f x x 0. 0, • （1）由于 F x PX x ，所以
§2.4 随机变量的分布函数
• 约定若 X 服从一般正态分布，即 X 分布函数记为 ( x)，即
x x
N ( , 2 ) ，则其
1 2 ( x) (t )dt e 2 dt （2-21） 2 • 若 X 服从标准正态分布，即 X ~ N 0,1 , 则其分布函 数记为 0 ( x)，即 t2 x x 1 2 0 x 0 (t )dt e dt. （2-22） 2
•解
由 F x PX x ，有
0, 0.3, F x 0.8, 1.
x 1, 1 x 0, 0 x 2, x 2.
第2-4节离散型随机变量函数及其分布律
解： ξ
2 1 0 1 6 2 1 4 1 2 1 6 0
1 1 4 1 2
2 1 6 2
故 η 的分布律为：
p 1 2 η= ξ 2
η
p
0 1 6
1 2 1 2
2 1 3
1
2.
ζ = g (ξ ,η )的分布律的求法 (1)先确定ζ = g (ξ ,η )的所有可能取值， 即ζ = g ( xi , y j ), i, j = 1, 2,L；
3 7/20
(4)
ζ4 P(ζ 4 = i )
-1 17/20
注：若ξ ,η是相互独立的随机变量，它们的分布律分别是： L
k
p{η = j} = qj
j=0,1,2, L
那么ξ + η的分布律为 p{ξ + η = k} = ∑ piqk-i
i =0 k
第2-4节 离散型随机变量函数及其分布律
1.
η = g (ξ )的分布律
设y=g(x)是一元实值函数，ξ 是离散型随机变量，那么η = g (ξ ) 就是随机变量ξ的函数，并且也是一个离散型的随机变量。
例：已知 ξ 的分布列为：
ξ
P
-2 -1
0
1
2 求η = ξ 2 / 2的分布律。
1/6 1/4 1/6 1/4 1/6
(2)将ζ = g ( xi , y j )中相同的值合并，其相应概率相加， 并将ζ 值按从小到大的顺序排列； (3)写出ζ = g (ξ ,η )的分布律。
2
例：设随机变量 (ξ ,η ) 的分布律为：
ξ =i -1 1
试求： (1)
η= j
-1 4/20 2/20
0 3/20 0
2-4随机变量的函数及其分布
g(x)单增 g(x)单减
即 (2)略
fY
( y)
fX
g1( y)
g 1(y) '
, y Y
0
, y Y
10
例2解
由题意
X
的密度为
f
(x
)
1, 0,
0 x 1
其它
(1)函数 y ex 有唯一反函数 x ln y ，且1 y e ， 故由(4.1)得
fY
(y
)
f X 0,
(ln
y
此时
y
sin
x
在
0,
2
及2
,
分别有反函数
x
arcsin
y
及 x arcsin y ，从而由(4.2)
fY
(
y)
f
X
arcsin
y
0
1 1 y2
fX
arcsin y
1 2
1 y2
1 ,0 y 1 1 y2
, 其它
1)当
k
0 时, FY ( y) P{Y
fY ( y)
f
X
(
y
k
b
)
1 k
y}
P X
y b
k
FX
( y b) k
2)
当k
0
时
FY
( y)
P{X
y
b} 1 k
FX
y
b k
1 fY ( y) k
fX
y
k
b
1 k
fX
y
k
b
综合而得：
fY ( y)
1 k
fX
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可知随机变量 Y 的分布律为
n 1， 2， n 1,
2,
Y 是X 的函数：Y g X ，则Y 也是离散型随机变 量，它的取值为 y1 ， y2 ， ， yn ，
或
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PY yn pn
Y P
y1 p1
y2 p2
， yn ， pn
f X [h( y )] | h( y ) |, y , fY ( y ) 0, 其它.
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， min{g (), g ()}, 1 max{g (), g ()}. 即 x g ( y ) h( y )
X P
-3
1 252
-1
5 252
0
15 252
2
35 252
6
70 252
9
126 252
随机变量 Y 2 X 3 ，试求 Y 的分布律．
解：
随机变量 Y 2 X 3 的取值为
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9， 5， 3， 1， 9， 15，
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
x 2
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
例 8
并且当随机变量 X 在区间 ， 上变化时 ， Y eX 在区间0， 上变化．所以，当 y 0， 时，
设随机变量X ~ N ( , 2 ), 试证明X的线性函数Y aX b (a 0)也服从正态分布.
⑵．利用 Y g X 的分布函数与密度函数之间的 f Y y FY y
§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
y 8 2
例 4 设随机变量 X 具有概率密度： x , 0 x 4, f X (X ) 8 0, 其它. 试求 Y=2X+8 的概率密度. 解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
' ( y) f Y ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y ) f X (h2 ( y )) h2
设随机变量 X ~ N ， 2 ， Y e X ，试求随机变量 Y 的密度函数 fY y ．
解： 由 题设 ，知 X 的密度函数为
1 2 x f x e 2 2 因为函数 y e x 是严格增加的，它的反函数为 x ln y．
2 2 k 1 3 2 k 0 PY 1 PX n PX 2k
1
随机变量． 我们要求的是 Y g X 的密度函数 f Y y ．
再设 Y g X 是 X 的函数 ，我们假定 Y 也是连续型
设 X 是一连续型随机变量， 其密度函数为 f X x ，
§5
随机变量的函数的分布
设 X 是一随机变量， Y 是 X 的函数，Yg X , 则 Y
也是一个随机变量．当 X 取值 x 时，Y 取值 y g x
• • •
离散型 连续型 定理及其应用
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知 Y g X ， 要求随机变量 Y 的分布．
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y} P{X y 8 } 2
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
例 4（续） 整理得 Y=2X+8 的概率密度为：
y 8 , 8 y 16, fY ( y ) 32 0, 其它.
y 0, y 0.
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则 Y = X 2 的概率密度为：
y 1 1 y 2e 2 , fY ( y ) 2 0,
y 0, y 0.
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此时称 Y 服从自由度为 1 的 2分布。
§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
设 随机变量 X 的密度函数为 f X x ， Y X ，试 求随机变量 Y 的密度函数 f Y y ．
例5 设随机变量 X 具有概率密度 f X ( x ), x , 求 Y = X 2 的概率密度. 解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0, 故当 y 0 时 FY ( y ) 0.
20 当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X y}
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其中 yn g xn
n 1， 2，
§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
如果
y1 ， y2 ， ， yn ， 有相同的项，
设离散型随机变量 X 的分布律为
则把这些相同的项合并 （看作是一项），并把 相 应的概率相加，即可得 随机变量Y g X 的分布律.
fY y f X ln y ln y
X
ln y 1 1 exp 2 2 y 2
2
证
X的概率密度为：
1 f X ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x .
由此得随机变量 Y e 的密度函数为
例 2
这些取值两两互不相同 ． 由此得随机变量
设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律.
Y 2X 3
的分布律为
X -1 pk 0.2
0 0.3
1 0.1
2 0.4
Y P
-9
1 252
-5
5 252
-3
15 252
1
35 252
9
70 252
15
126 252
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
FY ( y )
y
y
f X ( x)dx.
例如,设 X~N(0,1),其概率fY ( y )及变限定积分求导公式得：
( x)
1 2 e , x . 2
x2
1 [ f X ( y ) f X ( y ), fY ( y ) 2 y 0,
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这里 min{g (a ), g (b)}, max{g (a ), g (b)}.
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
补充定理： 若g(x)在不相叠的区间 I 1 , I 2 , 上逐段严格单调，其 反函数分别为 h1 ( y ), h2 ( y ), 均为连续函数，那么 Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为
1 ln y 2 exp fY y 2 y 2 2 0 y0 y0
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y g ( x) ax b, g ( x) a, 满足定理的条件，
y g ( x)的反函数为： x h( y ) y b 1 , 且h( y ) . a a
1 若X为奇数 Y gX 1 若X为偶数
Y 0 pk 0.1
1 0.7
4 0.2
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试求随机变量 Y 的分布律．
解：
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
PY 1
n为奇数
PX n PX 2k 1
k 0
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§5
随机变量的函数的分布
( x )2 2 2
§5
随机变量的函数的分布
例 8(续)
由定理的结论得： x h( y )
1 f X ( x) e 2
, x .
y b 1 , 且h( y ) . a a
例 9 设电压V A sin , 其中A是一个已知的正常数,
f y f X y y 0 fY y X 0 y0
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
定理 设随机变量 X 具有概率密度
定理（续）
f X ( x ) , x ,
又设函数 g ( x) 处处可导，且有 g ( x) 0 (或恒有 g ( x ) 0).
⑵．若 y 0 ，则
FY y PY y P X y
设随机变量 X 的分布函数为 FX y ，随机变量 Y 的分布函数为 FY y
解：
P y X y
FX y FX y
FY y PY y P X y
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P X xn pn
或
如果
y1 ， y2 ， ， yn ，
n 1,
x2 p2
2,
两两不相同，则由
X P
x1 p1
， xn ， pn
PY yn PX xn
y y
本例用到变限的定积分的求导公式
如果 F ( x) 则
( x)
( x)
f (t )dt ,
F ( x) f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x).
n 1， 2， n 1,
2,
Y 是X 的函数：Y g X ，则Y 也是离散型随机变 量，它的取值为 y1 ， y2 ， ， yn ，
或
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PY yn pn
Y P
y1 p1
y2 p2
， yn ， pn
f X [h( y )] | h( y ) |, y , fY ( y ) 0, 其它.
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， min{g (), g ()}, 1 max{g (), g ()}. 即 x g ( y ) h( y )
X P
-3
1 252
-1
5 252
0
15 252
2
35 252
6
70 252
9
126 252
随机变量 Y 2 X 3 ，试求 Y 的分布律．
解：
随机变量 Y 2 X 3 的取值为
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9， 5， 3， 1， 9， 15，
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
x 2
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
例 8
并且当随机变量 X 在区间 ， 上变化时 ， Y eX 在区间0， 上变化．所以，当 y 0， 时，
设随机变量X ~ N ( , 2 ), 试证明X的线性函数Y aX b (a 0)也服从正态分布.
⑵．利用 Y g X 的分布函数与密度函数之间的 f Y y FY y
§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
y 8 2
例 4 设随机变量 X 具有概率密度： x , 0 x 4, f X (X ) 8 0, 其它. 试求 Y=2X+8 的概率密度. 解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
' ( y) f Y ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y ) f X (h2 ( y )) h2
设随机变量 X ~ N ， 2 ， Y e X ，试求随机变量 Y 的密度函数 fY y ．
解： 由 题设 ，知 X 的密度函数为
1 2 x f x e 2 2 因为函数 y e x 是严格增加的，它的反函数为 x ln y．
2 2 k 1 3 2 k 0 PY 1 PX n PX 2k
1
随机变量． 我们要求的是 Y g X 的密度函数 f Y y ．
再设 Y g X 是 X 的函数 ，我们假定 Y 也是连续型
设 X 是一连续型随机变量， 其密度函数为 f X x ，
§5
随机变量的函数的分布
设 X 是一随机变量， Y 是 X 的函数，Yg X , 则 Y
也是一个随机变量．当 X 取值 x 时，Y 取值 y g x
• • •
离散型 连续型 定理及其应用
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知 Y g X ， 要求随机变量 Y 的分布．
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y} P{X y 8 } 2
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
例 4（续） 整理得 Y=2X+8 的概率密度为：
y 8 , 8 y 16, fY ( y ) 32 0, 其它.
y 0, y 0.
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则 Y = X 2 的概率密度为：
y 1 1 y 2e 2 , fY ( y ) 2 0,
y 0, y 0.
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此时称 Y 服从自由度为 1 的 2分布。
§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
设 随机变量 X 的密度函数为 f X x ， Y X ，试 求随机变量 Y 的密度函数 f Y y ．
例5 设随机变量 X 具有概率密度 f X ( x ), x , 求 Y = X 2 的概率密度. 解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0, 故当 y 0 时 FY ( y ) 0.
20 当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X y}
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其中 yn g xn
n 1， 2，
§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
如果
y1 ， y2 ， ， yn ， 有相同的项，
设离散型随机变量 X 的分布律为
则把这些相同的项合并 （看作是一项），并把 相 应的概率相加，即可得 随机变量Y g X 的分布律.
fY y f X ln y ln y
X
ln y 1 1 exp 2 2 y 2
2
证
X的概率密度为：
1 f X ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x .
由此得随机变量 Y e 的密度函数为
例 2
这些取值两两互不相同 ． 由此得随机变量
设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律.
Y 2X 3
的分布律为
X -1 pk 0.2
0 0.3
1 0.1
2 0.4
Y P
-9
1 252
-5
5 252
-3
15 252
1
35 252
9
70 252
15
126 252
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
FY ( y )
y
y
f X ( x)dx.
例如,设 X~N(0,1),其概率fY ( y )及变限定积分求导公式得：
( x)
1 2 e , x . 2
x2
1 [ f X ( y ) f X ( y ), fY ( y ) 2 y 0,
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这里 min{g (a ), g (b)}, max{g (a ), g (b)}.
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
补充定理： 若g(x)在不相叠的区间 I 1 , I 2 , 上逐段严格单调，其 反函数分别为 h1 ( y ), h2 ( y ), 均为连续函数，那么 Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为
1 ln y 2 exp fY y 2 y 2 2 0 y0 y0
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y g ( x) ax b, g ( x) a, 满足定理的条件，
y g ( x)的反函数为： x h( y ) y b 1 , 且h( y ) . a a
1 若X为奇数 Y gX 1 若X为偶数
Y 0 pk 0.1
1 0.7
4 0.2
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试求随机变量 Y 的分布律．
解：
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随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
PY 1
n为奇数
PX n PX 2k 1
k 0
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§5
随机变量的函数的分布
( x )2 2 2
§5
随机变量的函数的分布
例 8(续)
由定理的结论得： x h( y )
1 f X ( x) e 2
, x .
y b 1 , 且h( y ) . a a
例 9 设电压V A sin , 其中A是一个已知的正常数,
f y f X y y 0 fY y X 0 y0
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
定理 设随机变量 X 具有概率密度
定理（续）
f X ( x ) , x ,
又设函数 g ( x) 处处可导，且有 g ( x) 0 (或恒有 g ( x ) 0).
⑵．若 y 0 ，则
FY y PY y P X y
设随机变量 X 的分布函数为 FX y ，随机变量 Y 的分布函数为 FY y
解：
P y X y
FX y FX y
FY y PY y P X y
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§5
随机变量的函数的分布
§5
随机变量的函数的分布
设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P X xn pn
或
如果
y1 ， y2 ， ， yn ，
n 1,
x2 p2
2,
两两不相同，则由
X P
x1 p1
， xn ， pn
PY yn PX xn
y y
本例用到变限的定积分的求导公式
如果 F ( x) 则
( x)
( x)
f (t )dt ,
F ( x) f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x).