1.1.1集合的含义及表示例题
1.1.1集合的含义与表示
小题狂做
1、若以集合A={-1，1},B={0，2},则集合 {z︱z=x+y,x A,y B} 中的元素个数为（ ） 。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2 、若以集合S={a,b,c}( a,b,c R)中三个元素为边可 构成三角形，那么此三角形不可能是（ ） 。 A.锐角三角形 C. 钝角三角形 B. 等腰三角形 D.直角三角形
【分析】集合相等当且仅当集合中元素全部相同。且同一集合中的元素互异。
【解析】由A=B，即A与B的元素一样，则
a+d=aq （Ⅰ）a+2d=aq2
Hale Waihona Puke (Ⅱ)2a+d= aq2 a+2d= aq
由（Ⅰ）消去d，得aq
－2aq＋a=0.
根据已知条件，显然a 0, d 0,解得q=1. 但当q=1时，a=aq=aq2 ，这与集合中元素的互异性矛 盾，故q=1舍去.
05 集合的分类
集合通常可分为有限集、无限集、空集.
（1）有限集 含有有限个元素的集合叫做有限集. (2) 无限集 含有无限个元素的集合叫做无限集. 如{所有的等腰三角形} （3）空集 不含任何元素的集合叫做空集.
你学到了什么？
1、元素与集合的概念 2、常用数集的符号 3、集合中元素的三个特征 ：确定性，互异性， 无序性 4、集合的表示方法：列举法，描述法，图示法 5、集合的分类：有限集，无限集，空集
例题
（2）用描述法表示所有奇数的集合。
解： 任何一个奇数都可以表示为x=2k+1(k z)的形式， 所以我们可以把所有奇数的集合表示为 E={ x Z︱x=2k+1,k z}.
例题
（3）分别用列举法和描述法表示 x2－2=0的所有实数根组成的集合。 方程
2014秋入学高中数学必修一第一章_集合与函数概念分节详解及练习
§1.1.1 集合的含义与表示¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．§1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.A BB A A B A B A ． B ．C ．D ．【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.§1.1.3 集合的基本运算（一）¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到B （读作“B （读作“{|B x x ={|B x x =¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求ð.\【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()ABC ； （2）()A A BC ð.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.§1.1.3 集合的基本运算（二）¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9AB =，求实数a 的值.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14B 组题2）【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若AB =B ，求实数a的值．【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= .§1.2.1 函数的概念¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y =.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.§1.2.2 函数的表示法¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．.【例2】已知f (x )=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.【例3】画出下列函数的图象： （1）|2|y x =-；（2）|1||24|y x x =-++.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当(2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.§1.3.1 函数的单调性¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.§1.3.1 函数最大（小）值¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac ba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.【例3】求函数2y x =的最小值.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.§1.3.2 函数的奇偶性¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.复习【例1】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= .【例2】已知()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明.【例3】集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A B B =，求实数m 的取值范围.【例4】设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x ∈R .。
教材完全解读 必修1 第1章1.1.1 集合的含义与表示
第1章节 集合与函数概概念1．1．1 集合的含义与表示例题1 2011·湖北咸宁必修1过关检测题下列所给的对象能构成集合的___________。
（1）所有的正三角开；（2）高一数学必修1课本上的所有难题； （3）比较接近1的正整数全体；（4）某校高一年级的确16岁以下学生；（5）平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； （6）参加北京奥运会的年轻运动员； 例题2 2011·黄冈调考题含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,b aa ，也可表示为{}0,,2b a a +，求20112010b a+的值。
例题3 2011·东莞高一统考题 已知集合{}0322=--∈=x mxR x A ，若集合中A 中至多有一个元素，求实数m 的取值范围。
例题4 2011·岳阳高一统一考题已知集合{}{}Z n n x x N Z n n x x M ∈-==∈==,13,,3且,,,P c N b M a ∈∈∈设,c b a d +-=则（ ）例题5 2011·河源质检题已知集合{}{}2,,,2,,aq aq a B d a d a a A =++=（a 为常数），若A=B ，求d,q 的值. 例题6 2011·大同市高一调研进考试题用列举法表示下列集合:(1);,26⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-Z x Z x x(2) ⎩⎨⎧∈<∈=,,,*N b a a Z a ba x x 且b ≤}3;(3){N x x y y x ∈=,2),(且1≤x <}4. 例题7 2011·洛阳市质检题下面三个集合:①{};12+=x y x ②}{12+=x y y ；③{}1|),(2+=x y y x 。
（1）它们各自的含义是什么？ （2）它们是不是相同的集合？ 例题8 2011·安庆市高一质检题判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示； （1）被3除余1的自然数组成的集合；（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；（3）二次函数1022-+=x x y 图象上的所有点组成的集合；（4）设a 、b 是非零实数，求abab b b a a y ++=的所有值组成的集合。
高一数学 必修一 第一章 1.1 1.1.1 集合的含义与表示
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2．常用的数集及其记法
常用的 自然
有理
正整数集 整数集
实数集
数集 数集
数集
记法 N N*或N＋
Z
Q
R
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观察下列集合： (1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合； (3)不等式x－2≥3的解集； (4)所有正偶数组成的集合．
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问题1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？ 提示：(1)(2)中的元素可以一一列举出来． (3)(4)中的元素不能一一列举，因为元素有无穷多个． 问题2：设(3)(4)中的元素为x，请用等式(或不等式)分别将 它们表示出来． 提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.
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7．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合．
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解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正 偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为 {x|x＝2n，n∈N*}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正 整数，故x＝3n＋2，n∈N*，所以被3除余2的正整数集合可 表示为{x|x＝3n＋2，n∈N*}． (3)第一象限内的点的横坐标大于0，且纵坐标大于0，故平 面直角坐标系中第一象限的点组成的集合为{(x，y)|x>0， y>0}.
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1．集合是一个原始的不加定义的概念，像点、 直线一样，只能描述性地说明．集合中的元素是确 定的．
2．集合是由元素组成的，元素与集合是“属于” 或“不属于”的关系．
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3．集合的表示法常见的有描述法与列举法．一般 是当集合中元素的个数较多或无限时，用描述法；当集 合中元素的个数较少时，用列举法．
1.1.1集合的含义与表示
设 是集合A上的一个运算，若对任意a,b ,有a b ,则称A对运算 封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即A＝{1，4，9，16，25，…}.若 分别是；①加法，②减法③乘法，④除法，则A对运算 封闭的序号有.
10.求参数的取值范围
（1）已知集合元素个数求参数问题的解题策略：已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法灵活掌握，弄清其实质，即集合中的元素是什么.
高考水平突破：
1、由a，-a，|a|， 构成的集合中，最多含有元素的个数是（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2、含有三个实数的集合可表示为{a， ，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2014=（）
A. 0B. 1 C.－1 D. 2
3、已知x，y都是非零实数，z= + + 可能的取值组成集合A，则（）.
（2）集合问题方程化的思想：对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题.
（3）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组元素若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合。故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的元素。
例题2判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）全体高个子的中国人构成一个集合；
（2）由1， ， ，｜－ ｜， 组成的集合有五个元素；
D.上海的所有高楼
2、已知A＝{x|3-3x>0}，则有（）.
高中数学：1.1.1集合的含义与表示 (23)
题型四 方程的解集 例5 如果方程ax＋b＝0的解集为A，cx＋d＝0的解集为B， 利用A，B表示： (1)(ax＋b)(cx＋d)＝0的解集； (2)(ax＋b)(cx＋d)≠0的解集．
第13页
【解析】 (1){x|(ax＋b)(cx＋d)＝0}＝{x|ax＋b＝0}∪{x|cx ＋d＝0}＝A∪B.
第25页
3．已知A＝{x|x<－5或x≥4}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B ⊆A，则实数a的取值范围是________．
答案 a<－8或a≥3 解析 ∵B⊆A，∴a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
第26页
4．设A，B为两个集合，下列四个命题： ①A B⇔对任意x∈A，有x∉B； ②A B⇔A与B没有公共元素； ③A B⇔A⊉B； ④A B⇔存在x∈A，使得x∉B. 其中真命题序号是________．(把符合要求的真命题序号都 写上)
第35页
自助餐走向高考
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1．(2019·课标全国Ⅲ，理)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B
＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
答案 A 解析 集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．
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2．(2019·浙江)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝
第27页
答案 ④
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5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝ 0}，若A∪B＝A，求a的值．
解析 A＝{1，2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∴B＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当B＝∅时，无解． 当B＝{1}时，11＋ ×11＝ ＝aa， －1，得a＝2. 当B＝{2}时，22＋ ×22＝ ＝aa， －1，无解．
必修1第一章1.1.1 集合的含义与表示
科目：高一数学必修1导学案 主编;杏坛中学高一数学备课组 修订人：周才淞 编制日期：2013年上学期 班级 _____ ____ 姓名_______________- 1 -第一章1.1.1 集合的含义与表示【学习目标】1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，知道常用数集的概念及记法；2.掌握集合的表示方法:列举法，描述法； 3 理解集合元素的三个特征.课前预习案一、 教材助读，知识归纳：1．元素的概念： 集合的概念: 2．集合相等的概念：3．集合元素的三个性质 , , 4．元素与集合有几种关系 ,怎么表示5．常用数集的符号,自然数集 整数集 有理数集 实数集 正整数集 二、 课前预习，自我检测：1．以下集合M 与N 中,是不同集合的是( )A ．M={1,2,3}，N={3,2,1} B. M={y ∣2x y =}，N={x ∣2x y =} C ．M={1,2}，N={x ∣x 2-3x+2=0} D.M={-1,1}，N={x ∣x=n)1(-，n ∈N} 2．由1，2，3，1，9组成的集合，用列举法表示为 3．用符号“∈”或“∉”填空①π Q ， ②3.14 Q, ③012=-x 的根 R, ④23- R ⑤-21Z ，⑥cos 030 Z ，⑦0 N ，⑧-1 N ，⑨-3 Q ⑩ 0 +N 。
课堂探究案一、 例题讲解，合作探究：探究1问题解决 ：考查下列几组对象，各组对象能否组成集合，若能组成集合，集合中的元素有哪些？ ① 1～20以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点； ③方程230x x +=的所有实数根； ④好心的人⑤一次函数2x y =与二次函数2x y =的图像交点⑥不等式x-3>0的解 ⑦1，1，2，3，3，3 探究2问题解决 ：用列举法表示下列集合 ① 1～15以内所有的质数的集合；②方程0)1(2=-x x 的所有实数根组成的集合； ③一次函数y=x 与y=2x-1的图象交点组成的集合； 二、 变式练习，能力提升变式练习1：对于集合A={2，4，6}，若a ∈A ，则6-a ∈A ，那么实数a 的值是 。
高一必修一1.1.1集合的含义与表示
注意
（1）大括号不能缺失. （2）有些集合元素个数较多，元素又呈 现出一定的规律，在不至于发生误解的情 况下，亦可如下表示：从1到100的所有整 数组成的集合：{1，2，3，…，100} 自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…} （3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该 集合只有一个元素.a表示这个集合的一个 元素.
两种描方法： （1）文字描述法——用文字把元素所具有 的属性描述出来，如﹛自然数﹜． （2）符号描述法——用符号把元素所具有的属 性描述出来，即 {x| P （ x ） } 或 {x∈A| P （ x ） } 等． 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合．
例7：使用描述法表示下列集合：
（1) 不等式2x-1>3的解集；
有限集与无限集 1、 有限集：含有有限个元素的集合． 2、 无限集：含有无限个元素的集合． 3、 空集：不含任何元素的集合，记作Φ． 如： {x R | x
2
+1 = 0}.
做一做
集合 {(x, y) | y = x +1} 与集合
2
{y | y = x +1}是同一集合吗？
答：不是.集合 {(x, y) | y = x2 +1} 2 是点集，集合{y | y = x +1} = {y | y 1} 是数集．
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}． 2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}. 3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
（2）设不超过30的非负偶数为x,且满足
1.1集合
a∈ A .
数学中常用数集及其记法： 数集 自然数集（非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记号 N N*或N+ Z Q R
2．集合的表示法 (1)列举法 当集合中的元素的个数较少时，在表示集合时，可 以把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 把元素括起来．这种表示集合的方法叫做列举法． 例如， 例如 不大于10的正偶数的集合可以用{2，4，6，8，10} 表示. 地球上的四大洋组成的集合表示为 {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.
2.试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合； （3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点 组成的集合.
3． 用符号∈,∉ 填空：
0 _____ N ,−1.5 _____ N , 37 _____ N + ; 0 _____ Z ,−1.5 _____ Z , 37 _____ Q; 0 _____ Q ,−1.5 _____ R, 37 _____ R.
(1) A = {1,2,4}, B = { x | x是8的约数 };
( 2) A = { x | x = 3k , k ∈ N }, B = { x | x = 6 z , z ∈ N };
( 3 ) A = { x | x 是 4与10的公倍数 , x ∈ N + }, B = { x | x = 20 m , m ∈ N + }.
课堂小结
1．知识：本节课我们学习了集合之间的包含与 相等关系，学习了子集、真子集与空集等概念，学 习了表示这些关系与概念的符号，以及集合的Venn 图表示． 2．思想：本节开篇通过实数相等关系、大小关 系类比联想集合之间的基本关系，并归纳得出子集 的基本性质．
1.1.1集合的含义及表示(用)
思考3：列举法表示集合的基本模式是什么？
把集合的元素一一列举出来，元素之间用“，”，并用花括 号“{ }”括起来，即 {a, b, c,}
知识探究（六） 考察下列集合： （1）不等式 2 x 7 3 的解组成的集合； （2）绝对值小于2的实数组成的集合.
思考1：这两个集合能否用列举法表示？ 思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？
⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集 （3）空集--------含有0个元素的集合叫空集 记作 集合的分类 思考4：试列举一个集合的例子， 并指出集合中的元素.
知识探究（二） 集合中的元素有什么特征？ 思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 集合中的元素必须是确定的 思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？ 集合中的元素是不重复出现的 集合的性质 思考3：我班的全体同学组成一个集合， 1，确定性 调整座位后这个集合有没有变化？ 2，互异性 3，无序性 集合中的元素是没有顺序的
(C) 3 (D)0,2,3均可
(A) 2
(B)0 或3
3：方程组
x+y=1 x-y=－1
的解集是：( C
)
A .{x=0,y=1} C .{(0,1)}
B .{0,1} D .{(x,y)|x=0或y=1}
4：M={m|m=2k,k∈Z},X={x|x=2k+1,k∈Z}, Y={y|y=4k+1,k∈Z},则( A )
A .x+y∈M C .x+y∈Y B .x+y∈X D .x+y M
例3 用列举法表示下列集合：
4 A x Z | Z （1 ） ; x 3
（2 ） ( x, y) | x y 3, x N, y N .
必修第一册1.1.1集合的含义与表示练习题及答案
1.1.1集合的含义与表示课后配餐一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知3∈{1,a,a−2}，则实数a的值为()．A. 3B. 5C. 3或5D. 无解2.定义集合运算：A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2}，B={0,2}，则集合A∗B中的所有元素之和为()．A. 0B. 2C. 3D. 63.下列各组对象：(1)接近于0的数的全体；(2)比较小的正整数的全体；(3)平面上到点O的距离等于1的点的全体；(4)正三角形的全体；(5)√2的近似值的全体.其中能构成集合的组数是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列说法中正确的是()A. 2019年某汽车制造厂生产的所有汽车组成一个集合B. 某中学年龄较小的学生组成一个集合C. {1,2，3}与{2,1，3}是不同的集合D. 由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素5.已知x2∈{1,0，x}，则实数x的值为()A. 0B. 1C. −1D. ±16.给出下列命题：①√2∈Q；②{1,2}={(1,2)}；③2∈{1,2}；④{⌀}⊆{1,2}，其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.对于数集M，N，定义M+N={x|x=a+b,a∈M,b∈N}，M÷N={x|x=ab,a∈M,b∈N}.若集合P={1,2}，则集合(P+P)÷P的所有元素之和为()A. 272B. 232C. 212D. 152二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）8.下面说法正确的是()①{2,3}≠{3,2}；②{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}；③{x|x>1}={y|y>1}；④{x|x+y=1}={y|x+y=1}A. ①B. ②C. ③D. ④第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.若A={2,3,a2+2a−3},B={a+3,2}，若5∈A,5∉B，则a=．∈Z}，用列举法表示集合A，则A=______．10.已知集合A={x∈Z|32−x四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）11.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．(1)若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合A．(2)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B．(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．∈A，且1∉A．12.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11−a(1)若3∈A，求A；∈A．(2)证明：若a∈A，则1−1a13.用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y =2x −3图象上所有点的集合；(4)方程组{x +y =1x −y =−1的解集．14. 设集合A ={x ∈N|63+x ∈N}．(1)试判断0，2与集合A 的关系;(2)用列举法表示集合A ．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合中元素的性质，属于基础题．根据元素与集合的关系和元素的性质进行求解即可．【解答】解：因为3∈{1,a,a−2}，所以a−2=3或a=3．当a−2=3，即a=5时，满足题意；当a=3时，不满足集合元素的互异性，故舍去．综上可得a的值为5，故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合中元素的性质，元素与集合的关系，属中档题.根据题意求出集合A∗B中所有的元素即可得解．【解答】解：依题意，A={1,2}，B={0,2}，当x=1，y=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=2，当x=2，y=0时，z=0，当x=2，y=2时，z=4，则A∗B={0,2，4}，其所有元素之和为6，故选D．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，属于基础题．根据集合元素的“确定性”，各组进行分析，即可得正确选项．【解答】解：(1)“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(2)“比较小的正整数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(3)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定，能构成集合；(4)“正三角形的全体”的对象是确定，能构成集合；(5)“√2的近似值的全体”的对象不确定，不能构成集合；故(3)(4)正确．故选A．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的含义及集合中元素的性质，属于基础题．根据集合的含义即可得．【解答】解：A项中因为标准明确所以可以构成一个集合；B项中“较小”标准不明确不能构成集合；C项中三个元素组成的集合相等；D项中组成的集合有4个元素．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．属于较易题．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1,0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1,0，0}不成立．当x=1时，集合为{1,0，1}不成立．当x=−1时，集合为{1,0，−1}，满足条件．故x=−1．故选C．6.【答案】B【解析】解：①√2为无理数，∴√2∉Q，故①是假命题；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，故两个集合不相等，所以②是假命题；③由元素与集合的关系，知③是真命题；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，所以{⌀}⊈{1,2}，故④是假命题．故真命题的个数是1，故选：B．①根据√2为无理数，即可判断出①的真假；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，即可判断出真假；③由元素与集合的关系，即可判断出真假；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，即可判断出真假．本题考查了元素与集合之间的关系、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵P ={1,2}，∴a =1或2，∴P +P ={x|x =a +b,a ∈P,b ∈P}={2,3，4}，∴(P +P)÷P ={x|x =2,3，4，1，32}，∴元素之和为2+3+4+1+32=232， 故选：B ．根据定义分别求出(P +P)÷P 中对应的集合的元素即可得到结论．本题主要考查集合元素的确定，根据定义分别求出对应集合的元素是解决本题的关键．8.【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法．集合中的元素具有无序性，故①不成立；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②不成立；③④正确．【解答】解：∵集合中的元素具有无序性，∴①{2,3}={3,2}，故①错误；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②错误；由集合的性质知③④正确．故选CD ．9.【答案】−4【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，由题意得{a 2+2a −3=5a +3≠5，解出即可． 【解答】解：若A ={2,3,a 2+2a −3},B ={a +3,2}，若5∈A,5∉B ，则{a 2+2a −3=5a +3≠5，解得a =−4， 故答案为−4．10.【答案】{−1,1，3，5}【解析】解：∵x ∈Z ，32−x ∈Z ，∴2−x =±1或±3，即x =1，3，−1，5， 故A ={−1,1，3，5}，故答案为：{−1,1，3，5}．由x ∈Z 且32−x ∈Z 知2−x =±1或±3，从而求得．本题考查了集合的化简与列举法的应用，属于基础题．11.【答案】解：(1)∵1是A 的元素，∴1是方程ax 2+2x +1=0的一个根， ∴a +2+1=0，即a =−3，此时A ={x|−3x 2+2x +1=0}．∴x 1=1，x 2=−13，∴此时集合A ={−13,1};(2)若a =0，方程化为x +1=0，此时方程有且仅有一个根x =−12，若a ≠0，则当且仅当方程的判别式△=4−4a =0，即a =1时，方程有两个相等的实根x 1=x 2=−1，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合B ={0,1};(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素，由(2)可知此时a =0或a =1， ②A 中一个元素也没有，即A =⌀，此时a ≠0，且△=4−4a <0，解得a >1， 综合 ① ②知a 的取值范围为{a|a ≥1或a =0}【解析】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题.(1)若1∈A ，则a =−3，解方程可用列举法表示A;(2)若A 中有且仅有一个元素，分a =0，和a ≠0且△=0两种情况，分别求出满足条件a 的值，可得集合B ．(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素， ②A 中一个元素也没有，分别求出即可得到a 的取值范围．12.【答案】解：(1)因为3∈A ，所以11−3=−12∈A ，所以11−(−12)=23∈A ， 所以11−23=3∈A ，所以A ={3,−12,23}.(2)证明：因为a ∈A ，有11−a ∈A ，所以11−11−a =1−a −a =1−1a ∈A ．【解析】(1)根据集合A 的定义，找出A 的所有元素即可；(2)有集合A 的定义证明即可．本题是新概念的题目，考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于中档题．13.【答案】解：(1){−2,0，2}，(2){m|m =3k +1,k ∈N}，(3){(x,y)|y =2x −3}，(4)由{x +y =1x −y =−1，解得x =0，y =1，所以集合为{(0,1)}．【解析】本题考查了集合的概念，数集和点集，属于基础题．(1)根据条件直接表示集合即可；(2)根据条件直接表示集合即可；(3)根据条件直接表示集合即可；(4)先求出方程的解，再表示集合即可；14.【答案】解：(1)因为0，2∈N ，当x =0时，63+0=2∈N ，所以0∈A;当x =2时，63+2=65∉N ，所以2∉A .∈N，x∈N，(2)因为63+x所以x只能取0，3，所以A={0,3}．【解析】本题主要考查了集合的表示法，元素与集合的关系，属于基础题．(1)分情况讨论当x=0时，当x=2时，即可求解．∈N，x∈N，只能取0，3，即可得到结论．(2)由题可得63+x。
集合练习题1
1. 1.1 集合的含义及其表示方法（1）1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C ，D ，… 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a ，b ，c ，d ，…2、元素与集合的关系a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作 a ∈A ， a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 记作 a ∉A 3、集合的中元素的三个特性：（1）.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2.）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
比如：book 中的字母构成的集合（3）.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
常见数集的专用符号.N :非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合); N *或N +:正整数集(非负整数集N 内排除0的集合); Z:整数集(全体整数的集合);Q:有理数集(全体有理数的集合); R:实数集(全体实数的集合). 三、 例题例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 分析：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.在选项A 、C 、D 中的元素符合集合的确定性;而选项B 中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.答案：B 变式训练11.下列条件能形成集合的是( D )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工 例题2．下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a ∉NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则R a ∈3分析：(1)元素与集合的关系及其符号表示;(2)特殊集合的表示方法; 答案：A变式训练2判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”(1)所有在N中的元素都在N*中（×）(2)所有在N中的元素都在Ｚ中( √)(3)所有不在N*中的数都不在Z中（×）(4)所有不在Q中的实数都在R中（√）(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（×）(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（√）四、课堂小结1、集合的概念2、集合元素的三个特征，其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3、常见数集的专用符号.1.1.1 集合的含义及其表示方法（1）课前预习学案一、预习目标：初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法二、预习内容：阅读教材填空：1 、集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的（或）。
1.1.1集合的含义与表示
变式.已知x∈R，由1，x，x2组成一个集合，那 么元素x应满足什么条件.
解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，
∴ x≠1且x≠－1且x≠0.
3、 所给下列关系正确的个数是( )
A．1 C．3
B．2 D．4
4、含有4x，x2两个元素的集合，求x 的取值范围_____。
及时练习：
1、考查下列每组对象能构成一个集合有____： (1)著名的数学家； (2)某校2014年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数； (4)2012年度诺贝尔文学奖获得者．
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中
元素x应满足什么条件.
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.
解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.
解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，
∴ x≠1且x≠－1且x≠0.
例3已知集合 A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
【高考导航】集合的含义与表示是高考的 必考题型，一般以选择填空形式出现，分 值5分 一、学习目标：1.了解集合的含义，理解 集合的三要素，掌握常用数集及其记法； 2.体会元素与集合之间的关系，能判断某 一元素“属于”或“不属于”某一集合；
二、学习重点：元素与集合之间的关 系； 三、学习难点：集合的三要素。
问题 看下面几个例子，它们有何共 同特点？
(1)1～20以内的所有素数； (2)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根 ； (3)南乐职专2018年入学的所有高一 学生．
1.集合的概念:
一般地，我们把研究对象统称为元素.
1.1.1集合的含义及表示(二)
• • • • •
例2:用描述法表示下列集合. (1)正奇数集; (2)大于3且小于10的整数组成的集合; (3)方程x2+ax+b=0的解集; (4)平面直角坐标系中第一象限的点集.
分析:首先搞清楚集合的元素是什么,然后用描述法表示集合.
• • • • •
解:(1){正奇数}={x|x=2k+1,k∈N}; (2){大于3且小于10的整数} ={x∈Z|3<x<10}; (3){x|x2+ax+b=0}; (4){(x,y)|x>0且y>0}.
三、集合的分类
• 有限集——含有有限个元素的集合。 • 无限集——含有无限个元素的集合。 空集：不含任何元素的集合。记作 ， 2 { 如： x R | x 1 0} 下列选项中正确的个数有（ ） ① 0 ； ② ； ④ a 。 A．1 B.2 C.3 D.4 ③0
0 ；
补充练习
x y 2 1.方程组 的解集用列举法表示 x y 5 为________；用描述法表示为 .
2. 用列举法表示为
{( x, y) | x y 6, x N , y N}
.
二、集合的表示方法
1.列举法
在用列举法表示集合时应注意以下四点:
(1)元素间用分隔号“,”;
(2)元素不重复; (3)不考虑元素顺序; (4)对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元 素有明 显规律,可用列举法,但是必须把元素间的 规律显示清楚后 方能用省略号.
如“中国的直辖市”构成了一个
集合,用列举法表示为{北
所具有的属性描述出来，如﹛自然数﹜ （2）符号描述法——用符号把元素所具有 的属性描述出来，即{x| P（x）}或{x∈A| P （x）}等。 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
1.1.1.集合的含义与表示
集合的表示方法
问题3：阅读教材，讨论列举法和描述法各自的 适用范围以及特点.
例2 选择适当的方法表示下列集合. (1)大于1且小于9的偶数集合；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)直角坐标平面内坐标轴上的点集合；
例题
例3 用列举法表示下列集合.
(1) M {( x, y) x y 4, x N*, y N*};
问题1：同学们根据集合的含义，举一 些生活中的集合例子.
例题
例１ 判断以下元素的全体是否组成集合，并说 明理由.
(1)正定中学2011年考上一本的所有学生；是
(2)方程 x2 3x 的2所 0有实根； -1，-2 是
(3)不等式 x 7的 所3 有解； 是
(5)正定中学食堂里所有好吃的饭菜；否
上课时，当老师一声口令：“最后一排的 学生在教室后面集合”，最后一排的学生就会 迅速地在教室后面集合，这时老师的一声“集 合”就把“一些确定的不同的对象”集在一起 了。
集合的概念
集合：一些确定的互不相同的对象组成的整 体， 一般用大写字母A, B, C, … 表示.
我们把集合中的对象统称为元素，一般 用小写字母a, b, c, … 表示.
(6)由-1,1,|-1|这三个数能否组成集合． 否
李涛,郑光召,董浩,石磊,杜大阳,邓科雄,牛文凯,王旭阳 男生446号宿舍
郑光召,石磊,王旭阳 ,杜大阳,邓科Байду номын сангаас,李涛,牛文凯,董浩
男生446号宿舍
集合与元素的关系
问题2：全班里所有的学生组成集合A，a表示×× 同学，b表示周杰伦，a, b与A分别有什么关系？
a属于A，记 a ∈A ; b不属于A，记 b ∉ A.
常用数集记法 N 表示_自__然__数__集___ ； N*或N+ 表示__正___整___数___集____ Z 表示___整___数___集______; Q 表示__________有___理___数___集___ R 表示___实___数___集______；
1.1.1 集合的含义与表示
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
{ x∈A | P（x） } 可以是多个呵 代表元素 满足的条件
或
{ x | P（x）}
举例：
（1）不等式x－3＞2的解集； （2）方程 x2 + x +1=0的解集合. （3）抛物线y=x2上的点集；
例题学习
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： • (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合； • (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
随堂练习 4.集合{x|y=x+1，x∈R } 、{y|y=x+1}、 {（x,y）|y=x+1，x、y∈R} 、{y=x+1}是同一 个集合吗？
x y 2 5.方程组 x y 5
的解集用列举法表示 .
为________；用描述法表示为 6. {( x, y) | x 用列举法表示为
新知学习 知识点一：集合与元素的概念 元素：研究对象统称为元素。 通常用小写字母a,b ,…表示。 集合：把一些元素组成的总体叫做集合（集）。 通常用大写拉丁字母A,B,„表示。 A
a
b
c
包裹
注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
新知学习
知识点二：集合的三大特性 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的;
思考题 结合此例,试比较用自然语言、列举法和描 述法表示集合时各自的特点和适用的对象。
新知学习
知识点四：集合的表示方法 3、图示法(Venn图) 常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示 一个集合．
例如：图1-1表示任意一个集合A； 图1-2表示集合{1，2，3，4，5}．
A
图1-1
1,2,3,5, 4.
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用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：(1)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ∈N |61＋x ∈Z ，求M ；(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2x －y ＝0的解集；(3)由|a |a ＋b |b |(a ，b ∈R )所确定的实数集合． 规律方法 (1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然． 变式迁移1 用列举法表示下列集合：
(1)A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }； (2)B ＝{x |(x －1)2(x －2)＝0}；
(3)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}； (4)已知集合C ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫61＋x ∈Z |x ∈N ，求C 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x 2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x －6<5的解集； (4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集．
规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的性质． 变式迁移2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；
(3)不等式x －3>2的解集．
列举法和描述法的灵活运用
【例3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数； (2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；
(3)二次函数y ＝x 2－10图象上的所有点组成的集合．
规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
变式迁移3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合；
(3)二元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x y ＝x 2的解集．。