【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 推理与证明章末归纳总结2
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《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.2应用举例第1课时
• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量 的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得， 根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求 出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速 航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直 线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC， 且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则 两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽 度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设C到AB的距离为CD， 则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点 之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第2章 2.1 第2课时 演绎推理
1-2
警察在海边找到了两间简易小屋，一间朝南，一间朝北，
主人都是一对年轻夫妇．不过这两间屋打扫得干干净净，找不 出痕迹． 后来警察根据一些情况，立即做出了判断．这些情况是： (1)两间小屋结构几乎完全相同，只是阁楼的小窗一个朝
北，一个朝南；
(2)站在海岸上，面向海的方向是南面，背面对着丘陵； (3)少女被关的3天都是晴天，而且一点风也没有． 那么，你知道少女被关在哪一间小屋里吗？
在x轴的上方．
当x>1时，f(x)＝x3(x－1)＋x2＋1>0，所以函数f(x)的图象在 x轴的上方． 综上所述，函数f(x)的值恒为正，所以其图象在x轴的上 方．
第二章 2.1 第2课时
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1-2
三 数形结合思想在推理中的应用 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，“数”与 “形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直 观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维 和形象结构有机结合，应用数形结合思想，就是充分考查数学 问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示 其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思 路，从而使问题得到解决．
第二章 2.1 第2课时
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1-2
(4)不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，(大前提) 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，(小前提) 所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(结论) 证明通常简略地表述为 a∈R，b∈R⇒(a－b)2≥0 ⇒a2＋b2≥2ab 2 2 同理b ＋c ≥2bc⇒(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋ c2＋a2≥2ca 2bc＋2ca ⇒ 2(a2 ＋ b2 ＋ c2)≥2(ab ＋ bc ＋ ca) ⇒ a2 ＋ b2 ＋ c2≥ab ＋ bc ＋ ca.
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理
第二章
2.1
2.1.2
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1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
第二章
2.1
2.1.2
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自主预习学案
第二章
2.1
2.1.2
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第二章
2.1
2.1.2
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[方法规律总结 ]
出结论．
应用演绎推理证明时，必须确切知道每
一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得
第二章
2.1
2.1.2
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第二章
2.1
2.1.2
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演绎推理在代数问题中的应用
1 证明 f(x)＝x2在(0，＋∞)上为减函数．
[分析] 解答本题所依据的大前提是“在区间(a，b)内，若 1 f ′(x)<0，则 y＝f(x)在(a，b)内是减函数．”小前提是“f(x)＝x2 在(0，＋∞)上满足 f ′(x)<0”． 写解题过程的关键环节就是验证 f ′(x)<0 在(0， ＋∞)上成 立．
第二章 2.1 2.1.2
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其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M. S是P 结 论：__________. 利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具 中所有元素也都具有性质P 有性质P，S是M的一个子集，那么S ________________________. 3 ．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只 结论 必定是 要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________ 正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理 不一定 正确． 的结论__________
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第2章 2.1 第1课时 合情推理
1-2
三 归纳推理
1．定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出
这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简 称归纳)．
即：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”，得出“一 切金属都能导电”． 2．归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质． (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
第二章
推理与证明
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1-2
5．换元法 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变 量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代 换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来 新的启迪和方法．
第二章
推理与证明
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第二章
2.1
第1课时
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1-2
观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， „„ 照此规律，第n个等式可为_________________________． [答案] (n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2n×1×3ׄ×(2n－1)．
第二章
2.1
第1课时
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1-2
六 几种常见类比
1．类比定义 关键要找出两个概念的相似性和不同点，得出结论的异 同． 2．类比性质
关键要深刻理解已知性质的内涵与外延及应用，通过类比
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第4章 4.2 结构图
第四章 4.2
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1-2
北京期货商会组织结构设置如下： (1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大 会与会长办公会共辖理事会； (2)会长办公会下设会长，会长管理秘书长； (3)秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广 委员会、发展创新委员会． 绘制其组织结构图．
概念 应用
第四章
4.2
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1-2
课时作业
（点此链接）
第四章
4.2
第四章
4.2
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1-2
[误解] 老人带物过河的流程图如图．
第四章
4.2
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1-2
[辨析]
在设计过河的流程时，注意到两个条件：(1)狼与
羊不能单独在一起；(2)羊与青菜不能单独在一起．显然第一步 只能是狼与青菜在一起，需要先把羊运过去，回来后，第二步 运狼或青菜都可以， 但运到对岸以后， 都不能与羊单独在一起， 所以应该同时再把羊带回来，第三步，把青菜(或狼)运到对岸， 再回来接羊，这样就解决了运送的难题．
1-2
三 画结构图的具体步骤 一般地，画结构图的具体步骤如下： (1)从头至尾抓住主要脉络分解成若干部分； (2)将每一部分 提炼成简洁的语言放在矩形框内；(3)各部分按逻辑顺序排列， 并用线段或有向箭头连接．
第四章
4.2
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1-2
第四章
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1-2
北京期货商会组织结构设置如下： (1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大 会与会长办公会共辖理事会； (2)会长办公会下设会长，会长管理秘书长； (3)秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广 委员会、发展创新委员会． 绘制其组织结构图．
概念 应用
第四章
4.2
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1-2
课时作业
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第四章
4.2
第四章
4.2
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1-2
[误解] 老人带物过河的流程图如图．
第四章
4.2
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1-2
[辨析]
在设计过河的流程时，注意到两个条件：(1)狼与
羊不能单独在一起；(2)羊与青菜不能单独在一起．显然第一步 只能是狼与青菜在一起，需要先把羊运过去，回来后，第二步 运狼或青菜都可以， 但运到对岸以后， 都不能与羊单独在一起， 所以应该同时再把羊带回来，第三步，把青菜(或狼)运到对岸， 再回来接羊，这样就解决了运送的难题．
1-2
三 画结构图的具体步骤 一般地，画结构图的具体步骤如下： (1)从头至尾抓住主要脉络分解成若干部分； (2)将每一部分 提炼成简洁的语言放在矩形框内；(3)各部分按逻辑顺序排列， 并用线段或有向箭头连接．
第四章
4.2
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1-2
第四章
《成才之路》2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件第二章推理与证明章末归纳总结2
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2， 这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 相矛盾， 从而假设不成立，原命题成立， 即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.
一、选择题
1．(2015·内蒙古鄂托克旗高级中学高二期中)请看下列推理
• [解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且 n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾； 对于C， 过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例 如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直 线不唯一．
二、填空题
5．已知等式
cosα·cos2α
＝
sin4α 4sinα
，
cosα·cos2α·cos4α
• 6．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线 BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则 cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，可写出类似的命题： _______________
_______________________________________
____________
• 7．设f(x)＝x(ex＋a·e－x)(x∈R)是偶函数，则 实数a＝__________.
• [答案] －1
• [解析] 本题考查函数的奇偶性、演绎推理等 知识．
• 由条件知，g(x)＝ex＋a·e－x为奇函数，故g(0) ＝0，
• 解得a＝－1.
• 三、解答题
• 8．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)、 f(2)、f(3)、…，f(10)的值，同时作出归纳推 理，并用n＝40验证猜想是否正确．
• 5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作 为推理依据．书写证明过程时，一定要注意 不能把“假设”误写为“设”，还要注意一 些常见用语的否定形式．
一、选择题
1．(2015·内蒙古鄂托克旗高级中学高二期中)请看下列推理
• [解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且 n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾； 对于C， 过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例 如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直 线不唯一．
二、填空题
5．已知等式
cosα·cos2α
＝
sin4α 4sinα
，
cosα·cos2α·cos4α
• 6．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线 BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则 cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，可写出类似的命题： _______________
_______________________________________
____________
• 7．设f(x)＝x(ex＋a·e－x)(x∈R)是偶函数，则 实数a＝__________.
• [答案] －1
• [解析] 本题考查函数的奇偶性、演绎推理等 知识．
• 由条件知，g(x)＝ex＋a·e－x为奇函数，故g(0) ＝0，
• 解得a＝－1.
• 三、解答题
• 8．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)、 f(2)、f(3)、…，f(10)的值，同时作出归纳推 理，并用n＝40验证猜想是否正确．
• 5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作 为推理依据．书写证明过程时，一定要注意 不能把“假设”误写为“设”，还要注意一 些常见用语的否定形式．
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第3章 3.2 第2课时 复数的乘法和除法
第2课时 复数的乘法和除法
第三章
3.2
第2课时
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1-2
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
第三章
3.2
第2课时
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1-2
课前自主预习
第三章
3.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 · 选修1-1
第三章
3.2
第2课时
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1-2
复数的除法运算
计算： 2－i 2 (1) ＋ (1 － i) ； 3－4i1＋i2 i－2 3 1＋i 6 3 (2) ＋(5＋i )－( ). 1＋2 3i 2
[解题提示]
先按复数四则运算法则运算，最后写成 a＋
a＋bi 规定两个复数法的运算法则： (a ＋ bi)÷ (c ＋ di) ＝ ＝ c＋di a＋bic－di ac＋bd＋bc－adi ac＋bd bc－ad ＝ ＝ 2 ＋ i(a、 b、 c、 c＋dic－di c2＋d2 c ＋d2 c2＋d2 d∈R，c＋di≠0)． 在进行复数除法运算时，通常先把 (a ＋ bi)÷ (c ＋ di) 写成 a＋bi 的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数 c－di，把 c＋di 分母变为实数，化简后，就可得到所求结果．
第三章
3.2
第2课时
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1-2
已 知 复 数 z ＝ (5 ＋ 2i)2(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则 z 的 实 部 为 ________． [答案] 21 [解析] 为21. ∵z＝(5＋2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，∴z的实部
第三章
3.2
第2课时
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1-2
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
第三章
3.2
第2课时
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1-2
课前自主预习
第三章
3.2
第2课时
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第三章
3.2
第2课时
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1-2
复数的除法运算
计算： 2－i 2 (1) ＋ (1 － i) ； 3－4i1＋i2 i－2 3 1＋i 6 3 (2) ＋(5＋i )－( ). 1＋2 3i 2
[解题提示]
先按复数四则运算法则运算，最后写成 a＋
a＋bi 规定两个复数法的运算法则： (a ＋ bi)÷ (c ＋ di) ＝ ＝ c＋di a＋bic－di ac＋bd＋bc－adi ac＋bd bc－ad ＝ ＝ 2 ＋ i(a、 b、 c、 c＋dic－di c2＋d2 c ＋d2 c2＋d2 d∈R，c＋di≠0)． 在进行复数除法运算时，通常先把 (a ＋ bi)÷ (c ＋ di) 写成 a＋bi 的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数 c－di，把 c＋di 分母变为实数，化简后，就可得到所求结果．
第三章
3.2
第2课时
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1-2
已 知 复 数 z ＝ (5 ＋ 2i)2(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则 z 的 实 部 为 ________． [答案] 21 [解析] 为21. ∵z＝(5＋2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，∴z的实部
《成才之路》2015-2016学年高中数学北师大版选修1-2课件第3章§1第2课时类比推理
3．合情推理的思维过程大致为： 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想
→ 归纳、类比 → 提出猜想 合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一 个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证 明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路 和方向．
已知△ABC 的边长分别为 a、b、c，内切圆半径为 r，用 S
△ABC 表示△ABC 的面积，则 S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结论
有：若三棱锥 A－BCD 的内切球半径为 R，则三棱锥体积 VA－
BCD＝________.
• [分析] 解答本题的关键是确定好类比对 象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类 比空间中面积，平面中面积类比空间中体 积． [答案] 13R(S△ABC＋S△A长
的点的集合；球是空间中到定点的距离等于
定长的点的集合．这两个定义很相似．于是
我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将
平面上的圆与空间中的球进行类比．
[解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有 相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的 对应关系：
3．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( ) A．若“a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0，则 a ＝b” B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc” C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 推理与证明
第三章 §1 归纳与类比
第2课时 类 比 推 理
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理
[分析]
观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数
名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其
进行证明．
3 [解析] 猜想：sin α＋cos (α＋30° )＋sinαcos(α＋30° )＝4. 证明：sin2α＋cos2(α＋30° )＋sinαcos(α＋30° ) 1－cos2α 1＋cos2α＋60° sin2α＋30° －sin30° ＝ ＋ ＋ 2 2 2 cos2α＋60° －cos2α 1 1 ＝1＋ ＋2sin(2α＋30° )－4 2 3 1 1 3 ＝4－2sin(30° ＋2α)＋2sin(2α＋30° )＝4. 3 2 2 所以 sin α＋cos (α＋30° )＋sinαcos(α＋30° )＝4成立．
第二章
2.1
2.1.1
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典例探究学案
第二章
2.1
2.1.1
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数与式的归纳
观察以下各等式：
3 sin 30° ＋cos 60° ＋sin30° cos60° ＝4，
2 2
的推理．
4．合情推理 已有的事实 ， 经 过 归 纳 推 理 和 类 比 推 理 都 是 根 据 ____________ 观察、分析、比较、联想 类比 ，然后 归纳 、 ________ ______________________ ，再进行 ________ 猜想 的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说， 提出________
1 [解析] 不等式的左边是i2的前 n＋1 项和，右边的分母是 1 1 1 2 ，分子是 2n ＋ 1 ，故一般性的结论是 1 ＋ 22 ＋ 32 ＋ „ ＋ n2 ＋
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.2.2 反 证 法
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-2
又A∈m，B∈m，∴m⊂α.
即过a、b、m有一个平面α 假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α. 则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个 平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．
第二章
2.2
2.2.2
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-2
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－ 12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、 q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩 法，但很难证，故考虑采用反证法．
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的
思考过程、特点． 2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-2
重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．
难点：应用反证法解决问题．
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-2
用反证法证明否(肯)定式命题
x－2 已知函数 f(x)＝a ＋ (a>1)． x＋1 用反证法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第1章 1.1 独立性检验
[解题提示]
4 (1)由对创建工作满意的概率为 填充统计表； 5
(2)求出 χ2 与两个临界值比较．
第一章
1.1
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1-2
[ 解题提示 ]
判断独立性．
将数据代入 χ2 计算公式与临界值进行比较，
2 72 × 8 × 18 － 14 × 32 [解析] χ2＝ ＝4.726. 40×32×50×22
因为 4.726>3.841，所以我们有 95%的把握说，屠宰场与零 售点猪肉带菌率有差异．
[方法总结] 在 2×2 列联表的独立性检验中，通过计算统 计量 χ2 的大小，可判断独立性是否成立．
1-2
计算χ2的值 某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙 门氏菌带菌情况，结果如下表，试检验屠宰场与零售点猪肉带 菌率有无差异． 带菌头数 不带菌头数 合计 屠宰场 8 14 22 32 18 50 40 32 72
第一章 1.1
零售点
合计
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P(A)·P(B)，则事件A与B相互独立，通过公式可以求相互独立
事件的概率．
第一章
1.1
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1-2
甲、 乙两人分别对一目标进行一次射击， 记“甲射击一次， 击中目标”为事件 A，“乙射击一次，击中目标”为事件 B， 则在 A 与 B， A 与 B， A 与B， A 与 B 中， 满足相互独立的有( A．1 对 C．3 对 [答案] D B．2 对 D．4 对 )
1.互斥事件：_________________________________.
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第2章 2.2 第2课时 反证法
当结论中含有“不”、“不是”、“不可
能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体， 适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假 设作为已知条件推导出矛盾．
证明：∵点P在直线a外，∴点P和直线a确定一个平面，设 该平面为α，在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P 有一条直线与a平行．
第二章 2.2 第2课时
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1-2
假设过点P还有一条直线c与a平行． ∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与b、c相交于点P矛盾，故假 设不成立． [方法总结] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两
第二章 2.2 第2课时
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1-2
课堂典例探究
第二章
2.2
第2课时
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1-2
用反证法证明存在性命题 求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于 60°.
[解题提示] 当证明的结论中含有“至少”、“至多”等 词时常用反证法证明． [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即 ∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°. 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于 60°的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不 小于60°.
2.2
第2课时
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1-2
2．思维过程
否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论[即否 定—推理—否定，经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的 “否定”(即肯定原命题)]． 3．常见的主要矛盾 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，常见的主要矛 盾有： (1)与题设矛盾．
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第3章 3.1 数系的扩充与复数的引入
第三章
3.1
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1-2
注意：1.直角坐标平面可表示复平面，形式上不做改变， 要注意纵坐标仍是用 y 表示，不要认为是 yi. 2．复平面内的点与复数的关系 位置 实轴上的点 复数 实数
虚轴(原点除外)上的点 纯虚数 各象限的点 虚数
第三章 3.1
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1-2
下列命题中： ①任意两个确定的复数都不能比较大小； ②z＋ z ＝0⇔z 是纯虚数； ③z＝ z ⇔z∈R. 正确的是________．
[答案] ③
第三章
3.1
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的圆，故选C.
第三章 3.1
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1-2
课堂典例探究
第三章
3.1
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1-2
复数的有关概念 设 m∈R ，复数 z ＝ (2 ＋ i)m2 － 3(1 ＋ i)m － 2(1 － i)． (1)若z为实数，则m＝________；
＋(m2－3m＋2)i. (1)令 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1 或 m＝2.
2 2 m －3m－2＝0， (2)令 2 m －3m＋2≠0，
1 解得 m＝－2.
[答案] 1 或 2
1 －2
[方法总结] b≠0.
复数 z＝a＋bi 为纯虚数的充要条件是 a＝0 且
第三章
3.1
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【成才之路】高中数学 2.1 第1课时 合情推理课件 新人教B版选修1-2
4 ．在下列由火柴杆拼成的一系列图形中，如图，第 n 个
图形由n个正方形组成．
通过观察可以发现，第 4 个图形中，火柴杆有 ________
根；第n个图形中，火柴杆有________根．
[答案] 13 3n＋1 [解析] 由图可知n＝1时，a1＝4；n＝2时，a2＝7； n＝3时，a3＝10；n＝4时，a4＝13， ∴an＝4＋3(n－1)＝3n＋1.
课堂典例讲练
方法警示探究 思想方法技巧
易错疑难辨析
课后强化作业
课前自主预习
相传，春秋时期鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木
工的祖师)一次去林中砍树时，不小心被一株茅草割破了手，
他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子两边长着锋利的齿，他的手 就是被这些小齿割破的．鲁班想，要是用这样齿状的工具， 不是也能很快锯断树木了吗？他经过多次试验，终于发明了 锯子，大大提高了工效．锯子的发明蕴含着怎样的思维过
B．14 D．16
3 ． 若 f(n) ＝ n2 ＋ n ＋ 21 ， n∈N ， 下 列 说 法 中 正 确 的 是 ( ) A．f(n)可以为偶数 B．f(n)一定为奇数
C．f(n)一定为质数
[答案] B
D．f(n)必为合数
[解析] ∵f(n)＝n(n＋1)＋21，n(n＋1)是偶数， ∴n(n＋1)＋21是奇数．
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第二章
推理与证明
福尔摩斯破案的故事家喻户晓，他敏锐的观察力和合理 的推理分析是破案的关键．大家知道他是怎样从作案现场的 蛛丝马迹进行推理破案的吗？
第二章
2.1 合情推理和演绎推理
第二章
第1课时 合情推理
【成才之路】高中数学 第2章 推理与证明本章归纳总结课件 新人教B版选修1-2
本章还学习了证明中的直接证明与间接证明，常用的证
明方法有分析法、综合法及反证法．在解决问题时，经常是 各种方法综合使用．
专 题 探 究
专题一
合情推理与演绎推理 归纳推理
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等 差数列，那么位于表中的第 n 行第 n＋1 列的数是________.
第1列 第1行 第2行 第3行 … 1 2 3 … 第2列 2 4 6 … 第3列 3 6 9 … … … … … …
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第二章
推理与证明
第二章
章末归纳总结
知 识 结 构
学 后 反 思
专 题 探 究
知识结构
学 后 反 思
本章学习的是合情推理、演绎推理，其中，合情推理包 括归纳推理与类比推理，它是一种重要的归纳、猜想的推 理，是发现问题和继续推理的基础．演绎推理是由一般到特 殊的推理．
(3)对任意的 n∈N＋， 4n＋1－1 n＋1n＋2 4n－1 nn＋1 Sn＋1－4Sn＝ 3 ＋ －4( 3 ＋ 2 ) 2 1 2 ＝－2(3n ＋n－4)≤0. 所以不等式 Sn＋1≤4Sn，对任意 n∈N＋皆成立．
专题二 综合法、分析法、反证法的应用
综合法的应用
1 1 1 设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：a＋b＋ab≥8. [证明] ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
假设存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0)，则 FA⊥FB，可得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0， 即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. 整理，得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0. 2k 2 6 将 x1＋x2＝ 及 c＝ 2 代入上式，得 2，x1x2＝ 2 2－k k －2 5k2＋2 6k－6＝0.
【成才之路】高中数学 2.1 第2课时 演绎推理课件 新人教B版选修1-2
∵在三角形中，等边对等角，(大前提) 而在△MBC 中，MB＝MC，(小前提) ∴∠MBC＝∠MCB.(结论) ∵有等量代换，(大前提) 又∠ABC＝π－∠MBC，∠BCD＝π－∠MCB，(小前提) ∴∠ABC＝∠BCD.(结论)
课堂典例讲练
演绎推理的主要形式：三段论
用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)若两角是对顶角，则此两角相等．所以若两角不相等， 则此两角不是对顶角； (2)矩形的对角线相等．正方形是矩形，所以，正方形的对 角线相等； (3)0.332 是有理数．
如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高．求证：
∠ACD>∠BCD.
[证明] 在△ABC中， 因为CD⊥AB， 所以∠ACD＋∠A＝∠BCD＋∠B＝90°.
又AC>BC，所以∠B>∠A，于是∠ACD>∠BCD.
演绎推理的综;0. 求证：f(x)在(0， a b)内单调递减．
[证明] 前提
∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，大
在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，小前提 ∴△ABD为直角三角形．结论
同理△ABE也为直角三角形．
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提
M 是直角三角形 ABD 斜边 AB 上的中点，DM 为中线，小 前提 1 ∴DM＝2AB.结论． 1 同理 EM＝2AB， ∴MD＝ME(关系推理)．
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第二章
推理与证明
第二章
2.1 合情推理和演绎推理
第二章
第2课时 演绎推理
课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究 思想方法技巧
【成才之路】高中数学 2.2 第1课时 综合法与分析法课件 新人教B版选修1-2
1 1 1 4．设 a>0，b>0，c>0，若 a＋b＋c＝1，则a＋b＋c 的最小 值为________．
[答案] 9
[解析] ∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1， 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴a＋b＋c ＝ a ＋ b ＋ c b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋c ＋b＋c ≥3＋2 ba a· b＋2 ca a· c ＋2 cb b· c ＝9，
＋
a＋b＋c 1 a b ab －1＝c ＋c ≥2 c . c －1＝ c 1 1 1 所以(a－1)(b－1)(c －1)≥ bc ac ab 8 a ·b · c ＝8， 1 1 1 故(a－1)(b－1)(c －1)≥8(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
已知 a、b 、c∈R＋ ，求证：(ab ＋a ＋b ＋ 1)(ab ＋ac ＋ bc ＋ c2)≥16abc.
课堂典例讲练
综合法及其应用
已知 a、b、c 是正数，且 a＋b＋c＝1， 1 1 1 求证：(a－1)(b－1)(c －1)≥8.
[证明] 因为 a、b、c∈R ，且 a＋b＋c＝1， a＋b＋c 1 b c bc 所以a－1＝ a －1＝a＋a≥2 a ， a＋b＋c 1 a c ac b－1＝ b －1＝b＋b≥2 b ，
x
同学给出的证法如下：
1 证明：∵f(x)＝e ＋ex，
x
1 ∴f′(x)＝e －ex.
x
1 ∵x>0，∴e >1,0<ex<1，
x
1 ∴e －ex>0，
x
即 f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 他使用的证明方法是( A．综合法 C．反证法 ) B．分析法 D．以上都不是
【成才之路】高中数学 2、2-1-1合情推理课件 新人教B版选修1-2
可以发现： 1÷23＝32，32÷1＝32， 94÷32＝32，287÷94＝32. 后一个数是前一个数的32倍，按照这个规律，括号中 的数应是287×32＝8116＝5116.
(3)为探究规律，作适当变形：34，58，174，292，3112. 这样一来，分子是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 故括号内的数的分子为 13.再看分母部分：4,8,14,22,32.相 邻两数之差得 4,6,8,10.可见括号内的数的分母应为 32＋12 ＝44.故括号中应填入1434. (4)分成两列数：奇数位的数为 32,16，( ),4,2. 可见前面括号中应填入 8；偶数位的数为
类比推理就是根据两个(或两类)对象在一些属性上相 同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似地推 理形式．类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要 确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证．
在高考中，归纳推理，主要形式是先由已知条件归纳 出一个结论，并对结论进行证明．类比推理主要作为题目 的已知条件给出，并要求考生加以应用或证明，以及由特 殊到一般，由特殊到特殊的处理问题方法．
所谓归纳推理是一种从个别到一般，从实验事实到理 论的一种寻找真理的手段，但它又不同于数学归纳法，我 们这里的归纳推理就是通过归纳而得到的猜想结论．
下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适 当的数：
(1)1,5,9,13,17，( )； (2)23，1,112，214，338，( )； (3)34，58，12，292，3112，( )； (4)32,31,16,26，( )，( ),4,16,2,11.
[解析] 在△DEF 中，由正弦定理得sind D＝sine E＝ f sin F .
类比平面几何中三角形的正弦定理，在四面体 SABC 中，可以猜想：.
(3)为探究规律，作适当变形：34，58，174，292，3112. 这样一来，分子是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 故括号内的数的分子为 13.再看分母部分：4,8,14,22,32.相 邻两数之差得 4,6,8,10.可见括号内的数的分母应为 32＋12 ＝44.故括号中应填入1434. (4)分成两列数：奇数位的数为 32,16，( ),4,2. 可见前面括号中应填入 8；偶数位的数为
类比推理就是根据两个(或两类)对象在一些属性上相 同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似地推 理形式．类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要 确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证．
在高考中，归纳推理，主要形式是先由已知条件归纳 出一个结论，并对结论进行证明．类比推理主要作为题目 的已知条件给出，并要求考生加以应用或证明，以及由特 殊到一般，由特殊到特殊的处理问题方法．
所谓归纳推理是一种从个别到一般，从实验事实到理 论的一种寻找真理的手段，但它又不同于数学归纳法，我 们这里的归纳推理就是通过归纳而得到的猜想结论．
下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适 当的数：
(1)1,5,9,13,17，( )； (2)23，1,112，214，338，( )； (3)34，58，12，292，3112，( )； (4)32,31,16,26，( )，( ),4,16,2,11.
[解析] 在△DEF 中，由正弦定理得sind D＝sine E＝ f sin F .
类比平面几何中三角形的正弦定理，在四面体 SABC 中，可以猜想：.
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第二章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 · 选修1-1
1-2
1 1 当 x∈[－ ， ]时， 2 2 1 f－2>0， f(x)>0 等价于 f1>0， 2 5－a>0， 8 即 5＋a >0. 8
解不等式组得－5<a<5，因此 0<a≤2. 1 1 ②若 a>2，则 0< < ，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变经情况 a 2 如下表：
第二章
章末归纳总结
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1-2
专题四 反证法 [专题解读] 用反证法证明问题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈 现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，解 题都是不完整的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作 为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．
[方法总结] Sn 也可由如下观察发现， 由上表知： S1＝1＋1， S2＝1＋1＋2， S3＝1＋1＋2＋3， S4＝1＋1＋2＋3＋4， 依此类推， 1 便可猜想到 Sn＝1＋1＋2＋3＋4＋„＋n＝1＋ n· (n＋1)． 2
第二章 章末归纳总结
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1-2
专题二 类比推理 [专题解读] 类比推理是一种从特殊到特殊的推理，一般
情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之 间越相关，那么类比得出的命题就越可能为真．这种推理得出 的结论不一定为真，但却能为规律，结论等的发现及证明指明 方向．
第二章
章末归纳总结
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第二章 章末归纳总结
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1-2
π 已知 α，β 均不等于 kπ＋ (k∈Z)，且 sinθ＋cosθ 2
2 2 1 － tan α 1 － tan β 2 ＝2sinα，sinθcosθ＝sin β，求证： ＝ . 1＋tan2α 21＋tan2β
章末归纳总结
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1-2
[解题提示]
在 等 差 数 列 {an} 中 ， 设 公 差 为 d ， bn－am am ＋ n ＝ .在等比数列{bn}中， n－m n－m bn 所以 bm＋n＝ .故填 am
am＋n＝am＋nd＝a＋nd， am＋n＝an＋md＝b＋md，
[解题提示] 要想知道 n 条直线的情况，可以从具体的例 子入手，通过观察、归纳，写出结果．
第二章
章末归纳总结
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1-2
[解析] 设 n 条直线分平面为 Sn 部分，先观察特例，有如 下结果： n 1 2 3 4 5 6 „
Sn 2 4 7 11 16 22 „ 观察上表发现如下规律：Sn－Sn－1＝n(n＝2,3，„)． 这是因为在(n－1)条直线后添加第 n 条直线截得的 n 段中 的任何一段都将它所在的原平面一分为二， 相应地增加 n 部分， 所以 Sn＝Sn－1＋n，即 Sn－Sn－1＝n＝(2,3，„)．
2 2 解不等式组得 <a<5 或 a<－ .因此 2<a<5. 2 2 综合①和②，可知 a 的取值范围为 0<a<5.
第二章 章末归纳总结
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1-2
[方法总结]
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法
结合起来，根据条件的结构特点转化结论，得到中间结论 Q， 根据结论的结构特点转化条件，得到中间结论 P，若 P 可以推 出 Q 成立， 则结论得证， 这种方法称之为“分析综合法”或“两 头凑法”， 这种方法充分显示了分析法与综合法之间互为前提， 互相渗透的关系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终 点又成为进一步分析的起点．
设公比为 n－m bn am
qn＝a· qn， bm＋n＝bm· q， m m b ＝ b · q ＝ b · q ， ＋ m n n
[答案]
n－m bn am
第二章 章末归纳总结
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1-2
[方法总结]
实际上，等差数列与等比数列的类比是“运
＝3x2－3x，f′(2)＝6， 所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－3＝6(x－ 2)，即 y＝6x－9.
第二章
章末归纳总结
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1-2
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)， 1 令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝ . a 以下分两种情况讨论： 1 1 ①若 0<a≤2，则 ≥ ，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情 a 2 况如下表： x f′(x) f(x) 1 [－ ，0) 2 ＋ 0 0 极大值 1 (0， ] 2 －
[证明] 因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1， 所以由已知条件可得 4sin2α－2sin2β＝1，① 1－tan2α 1－tan2β 要证 2 ＝ 2 ， 1＋tan α 21＋tan β 1－sin2β sin2α 1－ 2 cos α cos2β 只需证 ＝ ， sin2α sin2β 1＋ 2 21＋ 2 cos α cos β
第二章
章末归纳总结
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1-2
专题研究
第二章
章末归纳总结
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1-2
一、知识性专题
专题一 归纳推理
[专题解读] (1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理，由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜测，并不一 定正确． (2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别事物发展某些相 同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命 题．在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表 性，那么推广的一般性结论也就越可靠．在学习中应通过实例
[方法总结] 高考中常以实际问题为背景，以数列知识为
载体考查归纳推理，解决这类问题时，必须明确题目的实质， 结合有关知识进行解决．
第二章 章末归纳总结
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1-2
在平面上有 n 条直线， 任何两条都不平行， 并且 任何三条都不相交于同一点，则这些直线把平面分成多少个部 分？
第二章
章末归纳总结
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1-2
[方法总结]
分析法与综合法是对立统一的两个方法，前
者“执果索因”，利于思考，后者“由因导果”，利于表达， 因此对于较复杂的数学问题，通常用分析法探索证题途径，然 后用综合法加以证明．
第二章
章末归纳总结
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章 推理与证明
第二章
推理与证明
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第二章 章末归纳总结
第二章
章末归纳总结
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3 2 已知函数 f(x)＝ax － x ＋1(x∈R)，其中 a>0. 2
3
(1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 1 1 (2)若在区间[－ ， ]上，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围． 2 2 3 2 3 [解析] (1)当 a＝1 时，f(x)＝x － x ＋1，f(2)＝3，f′(x) 2
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1
知 识 结 构
3
专 题 研 究
2
学 后 反 思
4
随 堂 练 习
第二章
章末归纳总结
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ห้องสมุดไป่ตู้
知识结构
第二章
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第二章 章末归纳总结
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1 即证：cos α－sin α＝ (cos2β－sin2β)， 2
2 2
1 即证 1－2sin α＝ (1－2sin2β)， 2
2
即证 4sin2α－2sin2β＝1， 由于上式与①式相同， 1－tan2α 1－tan2β 所以 ＝ . 1＋tan2α 21＋tan2β
公式，主要是对数列各项特征认真进行观察，结合常见数列的 通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律．
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1 1 当 x∈[－ ， ]时， 2 2 1 f－2>0， f(x)>0 等价于 f1>0， 2 5－a>0， 8 即 5＋a >0. 8
解不等式组得－5<a<5，因此 0<a≤2. 1 1 ②若 a>2，则 0< < ，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变经情况 a 2 如下表：
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专题四 反证法 [专题解读] 用反证法证明问题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈 现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，解 题都是不完整的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作 为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．
[方法总结] Sn 也可由如下观察发现， 由上表知： S1＝1＋1， S2＝1＋1＋2， S3＝1＋1＋2＋3， S4＝1＋1＋2＋3＋4， 依此类推， 1 便可猜想到 Sn＝1＋1＋2＋3＋4＋„＋n＝1＋ n· (n＋1)． 2
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专题二 类比推理 [专题解读] 类比推理是一种从特殊到特殊的推理，一般
情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之 间越相关，那么类比得出的命题就越可能为真．这种推理得出 的结论不一定为真，但却能为规律，结论等的发现及证明指明 方向．
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π 已知 α，β 均不等于 kπ＋ (k∈Z)，且 sinθ＋cosθ 2
2 2 1 － tan α 1 － tan β 2 ＝2sinα，sinθcosθ＝sin β，求证： ＝ . 1＋tan2α 21＋tan2β
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[解题提示]
在 等 差 数 列 {an} 中 ， 设 公 差 为 d ， bn－am am ＋ n ＝ .在等比数列{bn}中， n－m n－m bn 所以 bm＋n＝ .故填 am
am＋n＝am＋nd＝a＋nd， am＋n＝an＋md＝b＋md，
[解题提示] 要想知道 n 条直线的情况，可以从具体的例 子入手，通过观察、归纳，写出结果．
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[解析] 设 n 条直线分平面为 Sn 部分，先观察特例，有如 下结果： n 1 2 3 4 5 6 „
Sn 2 4 7 11 16 22 „ 观察上表发现如下规律：Sn－Sn－1＝n(n＝2,3，„)． 这是因为在(n－1)条直线后添加第 n 条直线截得的 n 段中 的任何一段都将它所在的原平面一分为二， 相应地增加 n 部分， 所以 Sn＝Sn－1＋n，即 Sn－Sn－1＝n＝(2,3，„)．
2 2 解不等式组得 <a<5 或 a<－ .因此 2<a<5. 2 2 综合①和②，可知 a 的取值范围为 0<a<5.
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[方法总结]
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法
结合起来，根据条件的结构特点转化结论，得到中间结论 Q， 根据结论的结构特点转化条件，得到中间结论 P，若 P 可以推 出 Q 成立， 则结论得证， 这种方法称之为“分析综合法”或“两 头凑法”， 这种方法充分显示了分析法与综合法之间互为前提， 互相渗透的关系，分析法的终点是综合法的起点，综合法的终 点又成为进一步分析的起点．
设公比为 n－m bn am
qn＝a· qn， bm＋n＝bm· q， m m b ＝ b · q ＝ b · q ， ＋ m n n
[答案]
n－m bn am
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[方法总结]
实际上，等差数列与等比数列的类比是“运
＝3x2－3x，f′(2)＝6， 所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－3＝6(x－ 2)，即 y＝6x－9.
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章末归纳总结
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(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)， 1 令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝ . a 以下分两种情况讨论： 1 1 ①若 0<a≤2，则 ≥ ，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情 a 2 况如下表： x f′(x) f(x) 1 [－ ，0) 2 ＋ 0 0 极大值 1 (0， ] 2 －
[证明] 因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1， 所以由已知条件可得 4sin2α－2sin2β＝1，① 1－tan2α 1－tan2β 要证 2 ＝ 2 ， 1＋tan α 21＋tan β 1－sin2β sin2α 1－ 2 cos α cos2β 只需证 ＝ ， sin2α sin2β 1＋ 2 21＋ 2 cos α cos β
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专题研究
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一、知识性专题
专题一 归纳推理
[专题解读] (1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理，由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜测，并不一 定正确． (2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别事物发展某些相 同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命 题．在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表 性，那么推广的一般性结论也就越可靠．在学习中应通过实例
[方法总结] 高考中常以实际问题为背景，以数列知识为
载体考查归纳推理，解决这类问题时，必须明确题目的实质， 结合有关知识进行解决．
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在平面上有 n 条直线， 任何两条都不平行， 并且 任何三条都不相交于同一点，则这些直线把平面分成多少个部 分？
第二章
章末归纳总结
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[方法总结]
分析法与综合法是对立统一的两个方法，前
者“执果索因”，利于思考，后者“由因导果”，利于表达， 因此对于较复杂的数学问题，通常用分析法探索证题途径，然 后用综合法加以证明．
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第二章 推理与证明
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推理与证明
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第二章 章末归纳总结
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章末归纳总结
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3 2 已知函数 f(x)＝ax － x ＋1(x∈R)，其中 a>0. 2
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(1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 1 1 (2)若在区间[－ ， ]上，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围． 2 2 3 2 3 [解析] (1)当 a＝1 时，f(x)＝x － x ＋1，f(2)＝3，f′(x) 2
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1 即证：cos α－sin α＝ (cos2β－sin2β)， 2
2 2
1 即证 1－2sin α＝ (1－2sin2β)， 2
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即证 4sin2α－2sin2β＝1， 由于上式与①式相同， 1－tan2α 1－tan2β 所以 ＝ . 1＋tan2α 21＋tan2β
公式，主要是对数列各项特征认真进行观察，结合常见数列的 通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律．
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