二次函数的图像和性质 (第一课时)精品课件
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二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
《二次函数的图像》第一课时教学课件
1 顶点坐标
顶点的x坐标为-Vx，y坐标为Vy。
2 轴对称线方程
轴对称线的方程为x = Vx。
二次函数图像的几个特殊情况
当二次函数的a、b和c的值满足特定条件时，图像可能具有一些特殊的形状和 性质。这些特殊情况需要我们额外关注和分析。
一元二次方程与二次函数的联 系
一元二次方程的一元二次项系数可以决定二次函数的图像开口方向以及顶点 的坐标。通过对一元二次方程进行因式分解，可以找到对应的二次函数的顶 点。
二次函数图像的坐标变化规律
1
沿x轴方向平移
2
当在二次函数中加上或减去常数时，
图像会沿x轴左右平移。
3
缩放
4
当对二次函数进行拉伸或压缩时， 图像会沿x轴或y轴方向进行缩放。
二次函数图像的基本性质
开口方向
当a大于0时，图像开口向上；当a小于0时， 图像开口向下。
顶点
顶点是图像的最高点或最低点，记为(Vx, Vy)。当a大于0时，Vy是最小值；当a小于 0时，Vy是最大值。
轴对称线
轴对称线是通过顶点并垂直于x轴的直线。 它将图像分成对称的两部分。
零点
零点是二次函数图像与x轴相交的点，即 使y等于0的点。
《二次函数的图像》第一 课时教学课件
欢迎来到《二次函数的图像》第一课时教学课件！本课程将介绍二次函数的 定义、图像的基本性质、与一元二次方程的联系，以及图像的坐标变化规律。 还将讨论平移、翻折和缩放，特殊情况的图像以及顶点坐标和轴对称线。
二次函数的定义
二次函数是一个以二次方程表示的函数，形如：y = ax^2 + bx + c。其中，a、b 和c是常数，a不等于0。
沿y轴方向平移
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
二次函数的图像和性质第一课时ppt课件
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
这条抛物线是轴对称
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图 象
开口方向
y Ox 向上
y
O
x
向下
顶点坐标 对称轴
(0 ,0) y轴
(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
函数y=－
1 2
x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2
的图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第1课时)
对 称 取 点
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
二次函数的图像和性质PPT课件
顶点形式
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的图象和性质（1）课件ppt
新知讲解
（2）描点：以
（3）连线：
x取的值为横坐
光滑的曲线顺
D
标，相应的函
次连接
A
数值为纵坐标，
描出相应的点
a
精品
新知讲解
点 A 与点 A′，点 B 与点
B′， …，它们有什么关系？
D
关于 轴对称
由此你能作出什么猜想?
y=x2的图象关于 轴对称
A
a
精品
新知讲解
观察图像，你还得到了二次函数y=x2 的什么特点？
D
A
a
1.2 二次函数的图
象与性质（1）
湘教版
九年级下
精品
导入新知
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)
D
2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还
A
记得吗，请列出来。
一条直线．
列表、描点、连线
a
二次函数图象是什么形
状呢？是否可以借鉴一
次函数的图像画法呢？
2
2
2
1 2
y
x 的图象沿着x轴翻折并将
象关于x轴对称．因此只要把
2
1 2
y
x 的图象．如图的绿色
图象“复制”出来，就可得到
2
A
曲线．
a
精品
新知讲解
观察图象，归纳与总结：
y轴
(0，0)
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是________．当
D
上
低
a>0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在
二次函数的图象与性质(第1课时)精选教学PPT课件
她想她真是命苦，刚上班没几天就遇到了这样恐怖的事情，怕是没有生还的可能了。 终于他被警察包围了，所有的警察让他放下枪，不要伤害人质，他疯狂地喊着：“我身上好几条人命了，怎么着也是个死，无所谓了。”说着，他用刀子在她颈上划了一刀。
她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性不大了。 “害怕了？”劫匪问她。
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
列表
x －3 －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
y 1 x2 2
4.5
3.125
2
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
描点： 在平面直角坐标系内， 以x取的值为横坐标，相应的 函数值为纵坐标，描出相应的 点，如图
纵坐标随着增大
y 1 x2 的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗 ？ 2
我猜想都有这一性质．
可图以象证在y明轴上右述边两的个部猜分测，都函是数正值确随的自，变即量y取值12的x2增的大图而象增关大于，y简轴称对为称；
“右升”．
连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性不大了。 “害怕了？”劫匪问她。
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
列表
x －3 －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
y 1 x2 2
4.5
3.125
2
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
描点： 在平面直角坐标系内， 以x取的值为横坐标，相应的 函数值为纵坐标，描出相应的 点，如图
纵坐标随着增大
y 1 x2 的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗 ？ 2
我猜想都有这一性质．
可图以象证在y明轴上右述边两的个部猜分测，都函是数正值确随的自，变即量y取值12的x2增的大图而象增关大于，y简轴称对为称；
“右升”．
连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
《二次函数的图像和性质》第一课时PPT课件
A.当x取任何实数时，y的值总是正的 B.x的值增大，y的值也随着增大 C.x的值增大，y的值随着减小 D.图像关于y轴对称
2021
2.分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向，对
称轴与顶点坐标. 3.如何根据函数的图象，
(1)根据图象，求当y=2时，对应的x的值(精确到0.1)；
(2)利用图象，求的 值(精确到0.1).
2021
y 4
3
2
1
y=x2
-2 -
-1
0
1
2021
2x
4.已知二次函数y=ax2的图象如 图，x1<x2，则对应的y值y1,y2 大小关系为y1____y2
5.观察上面画的图象回答：
y4
3
x1 x2 2
1
2
1
0
1 2x
（1）在对称轴右边，y随x的增大而______
（2）在对称轴左边y随x的增大而______
2
坐标系中画函数y=- 1 x2的图象，并观察. 2
2021
y4
y=x2
3
2
1
2
1
0
1 2x
-
1
-
2
-
3
-
y=－x2
4
y4
3
2
y= 12x2
1
2
1
0
1 2x
-
1
-
2
3
y=－ 12x2
-
4
函数 对称轴顶点 开口方向 函数 对称轴顶点 开口方向
y=x2 y轴 原点 向上 y= 12x2 y轴 原点 向上 y=－x2 y轴 原点 向下 y=－12x2 y轴 原点 向下
2021
2.分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向，对
称轴与顶点坐标. 3.如何根据函数的图象，
(1)根据图象，求当y=2时，对应的x的值(精确到0.1)；
(2)利用图象，求的 值(精确到0.1).
2021
y 4
3
2
1
y=x2
-2 -
-1
0
1
2021
2x
4.已知二次函数y=ax2的图象如 图，x1<x2，则对应的y值y1,y2 大小关系为y1____y2
5.观察上面画的图象回答：
y4
3
x1 x2 2
1
2
1
0
1 2x
（1）在对称轴右边，y随x的增大而______
（2）在对称轴左边y随x的增大而______
2
坐标系中画函数y=- 1 x2的图象，并观察. 2
2021
y4
y=x2
3
2
1
2
1
0
1 2x
-
1
-
2
-
3
-
y=－x2
4
y4
3
2
y= 12x2
1
2
1
0
1 2x
-
1
-
2
3
y=－ 12x2
-
4
函数 对称轴顶点 开口方向 函数 对称轴顶点 开口方向
y=x2 y轴 原点 向上 y= 12x2 y轴 原点 向上 y=－x2 y轴 原点 向下 y=－12x2 y轴 原点 向下
二次函数的图象和性质(第1课时)PPT课件
(2)y=x2的图像有最低点吗?如果有,那么最低点的坐标是什么?
0
【做一做】 请再画出函数y=-x2的图像.
2y
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2 -4 -6 -8
y=-x2
-10
2.在如图所示的直角坐标系中,已画出了y=2x2的图像,请再画出 函数y=-2x2的图像.
二次函数y=ax2的图像是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线 叫做抛物线,曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对称 轴的交点叫做抛物线的顶点.
(先画出二次函数的图像.)
画二次函数y=x2的图象
y 10
(1)列表.
8
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
6
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
4
(2)在直角坐标系
中描点.
2
(3)用光滑的曲线连接各点.
1
-4 - -2 -1 0 1
3
-
2
y=x2
2 3 4x
观察与思考
观察二次函数y=x2的图像,回答下列问题: (1)若将y=x2的图像沿着y轴对折,y轴两侧的部分能够完全重合吗?y=x2的 图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
解析:根据抛物线y=ax2中,当a<0时二次函数的图像开口向下,
得m-3<0,即m<3.故填m<3.
4.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=
1 2
x2和y=-2x2
的图像,并根据图像说出这两个函数图像的开口方向、
对称轴和顶点坐标. 解:先列表:
x … -1.5 -1 0 1 1.5 …
1
y= 2
x2
二次函数y=ax2的图像和性质:
0
【做一做】 请再画出函数y=-x2的图像.
2y
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2 -4 -6 -8
y=-x2
-10
2.在如图所示的直角坐标系中,已画出了y=2x2的图像,请再画出 函数y=-2x2的图像.
二次函数y=ax2的图像是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线 叫做抛物线,曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对称 轴的交点叫做抛物线的顶点.
(先画出二次函数的图像.)
画二次函数y=x2的图象
y 10
(1)列表.
8
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
6
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
4
(2)在直角坐标系
中描点.
2
(3)用光滑的曲线连接各点.
1
-4 - -2 -1 0 1
3
-
2
y=x2
2 3 4x
观察与思考
观察二次函数y=x2的图像,回答下列问题: (1)若将y=x2的图像沿着y轴对折,y轴两侧的部分能够完全重合吗?y=x2的 图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
解析:根据抛物线y=ax2中,当a<0时二次函数的图像开口向下,
得m-3<0,即m<3.故填m<3.
4.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=
1 2
x2和y=-2x2
的图像,并根据图像说出这两个函数图像的开口方向、
对称轴和顶点坐标. 解:先列表:
x … -1.5 -1 0 1 1.5 …
1
y= 2
x2
二次函数y=ax2的图像和性质:
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2.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上,求 m的值和函数解析式 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ②
m2+m
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
3、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确 的是( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
课下 探究
画出函数
2
1 2 y x , y x , y 2 x 2 2
的图象．
注意：自变量的值必须满足取值范围.
建立直角坐标系，以自变量的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值 对应的各点 按照横坐标从小到大的顺序把描出的点用 平滑曲线依次连接起来
（2）如果一个正方形木板的边长为xcm,那么正方 形木板的面积y与边长x的函数关系是什么？
yx
2
y x 2 图像是一条曲线，它的形状类 二次函数
有什么不同点吗？
y=2x2 y=x2 y= 1 x2 2
做一做
1、抛物线 的顶点坐标是 ,对 称轴是 ,在对称轴 侧,y随着x的增大而 增大；在对称轴 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小 值是 ,抛物线 y 5 x 2 2 在x轴的 方(除顶点外).
5 2 y x 2
努 力 就 会 成 功
态 度 决 定 一 切
2的 二次函数y=ax
图象和性质
1.根据题意列函数关系式 (1)矩形的长为4cm，宽为3cm,如果将其长增 2 加xcm、宽增加1cm,则面积增加y cm .请写 出y与x之间的关系式。
y 4x 4
函数图象的画法：
1、列表
2、描点 3、连线
列出自变量与函数的对应值表。
o x
4. 若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
1 2 x 上, 则y1、 y2、 (m+3，y3)在抛物线 y 4 1
y3y
x
2
学而不思则罔 回 头 一 看 ， 我 想 说 …
我有哪些收获呢？ 与大家共分享！
还有什么疑问吗?
似于投篮球或投掷铅球时在空中所经过的路线， 只是这条曲线开口向上，我们把这样的曲线叫做 抛物线。
如二次函数
yx
2
的图像叫做抛物线
y x2
喷泉(1)
请同学们在同一直角坐标系中画出下列二次函数 的图像： （1） （2）
y 2x
1 2 y x 2
2
比较几个函数图像，它们有什么共同特征？