空瓶换酒3(稿件)

空瓶换酒——由一道“生活中的数学题”引发的思考·邓忠洪摘要：既注重生活经验，又具有数学头脑的人，他不仅学会生活，而且能享受生活——用所有的空瓶，换最多的酒来畅饮！生活为我们数学提供了素材，创设了情景，只要我们学会用数学思维方法来解决中生活的数学问题，那么我们的学习和生活质量就会好，幸福指数就会高，生活就一定甜甜美美。

关键词：生活数学问题思考生活中有许多客观事物的存在，很多人都熟视无睹觉得理所当然没有必要进行深入的思考，更没有必要运用数学思维来思考，就像当年大家没有发现苹果为什么只往地上掉一样。

所以，我们教师尤其是数学教师必须有意引导，转变学生思考问题的观念——有意识地运用数学思维来思考解决生活中的问题。

生活为我们数学思维提供了丰富的素材，创设了情景，所以，我们非常有必要用数学思维方法来解决中生活的很多问题。

一、【现象】小学有这样一道“生活中的数学”题：“某商店出售啤酒，为了回收空瓶，规定每3个空瓶可以换一瓶啤酒。

爸爸买了11瓶啤酒，他最多可以喝多少瓶啤酒？（思路点睛：第一次喝完后的空瓶可再换啤酒。

）”笔者发现两种现象——收集到两种解答方案，一种是“商家”用他的生活经验设计的，这种现象（方案）还比较普遍，被大多数人所理解和接受；另一种是“消费者”结合生活，用我们的数学思想和方法来设计的，这种现象（方案）极其少见，多数人认为只是理论而已，不切实际，生活中根本行不通。

商家（生活经验）【思路点睛——第一次喝完后的空瓶可再换啤酒】：解：11－2＝9（瓶） 9÷3＝3（瓶） 3÷3＝1（瓶）1＋2＝3（瓶） 3÷3＝1（瓶） 11＋3＋1＋1＝16（瓶）答：他最多可以喝16瓶啤酒。

消费者（数学方法）【思路点睛——每（ ）个空瓶可以换一瓶啤酒喝】：买 第一次换第二次换第三次换酒喝了瓶子被换走 酒喝了瓶子还剩下“空瓶换酒”（生活经验）示意图每（2）个空瓶可以换一瓶啤酒（喝） “空瓶换酒”（数学方法）示意图 = =每3个空瓶可以换一瓶啤酒（走）解：11÷（3－1）＋11＝16.5（瓶）答：他最多可以喝16瓶半啤酒。

小学中高段还可以用小数、分数和比例来解。

解：11×（1＋21）＝16.5（瓶）（1个空瓶可以换21瓶酒喝） 或11×212 ＝16.5（瓶）（空瓶个数和换喝瓶数比为2∶1） 答：他最多可以喝16.5瓶啤酒。

二、【思考】对比两种解题思路和方法，笔者很有感触，有以下三个方面的思考—— 思考一：我们一定要抓住问题的实质和关键。

两种方法最后争论的焦点集中在：用2个（或1个）空瓶能否换啤酒喝，如果能的话，又能换多少啤酒喝。

如同甲、乙两人各有2个空瓶，面对商家的规定“每3个空瓶可以换一瓶啤酒”，最后甲换了一瓶来喝，而乙呢，认为换不到，提着2个空瓶，看着甲喝。

乙不思考自己为什么换不到，反而埋怨商家不公平。

对待“空瓶换酒”这类生活数学问题，会不会运用数学思维和方法，就会出现两种截然不同的结果。

甲既懂数学又懂生活，人家畅饮美酒；只会生活经验的乙呢，他只有提着两空瓶暗暗落泪的份。

首先，我们要正确解读“规定”。

俗话说，规定是死的，人是活的。

面对同一问题，具有数学思维的人常常会有出乎意料的解决效果。

商家的“每3个空瓶可以换一瓶啤酒”这个“死规定”，我们可以看成“每2个空瓶可以换1瓶啤酒喝（喝完后瓶子是商家的）”这个“人性化规定”。

规定在这里只是一个框架，它具有纲领性和指导性，而不是商家眼中的“死规定”。

只要商家有“空瓶换酒”之规定，那么这个规定的实质就是指空瓶不再是空瓶，空瓶在这里就是能喝的酒，至于几个空瓶可以换一瓶酒喝，那要看具体规定了。

规定“每3个空瓶可以换一瓶啤酒（走）。

”即3个空瓶可以换1个空瓶和它里面的酒，则每2个空瓶就可以换一瓶啤酒喝，只是喝完后的空瓶是商家的。

商家眼里的规定是死的，他那样教条地生搬硬套就是要消费者没事找事，非要每3个空瓶才换一瓶啤酒给你，喝完后的空瓶，哪怕被你消费者带走。

其次，我们要准确地理解“问题”。

因为空瓶不再是空瓶，它能换成酒。

所以“问题”——最多可以喝多少瓶啤酒——该这样理解：不留一个空瓶，将所有的空瓶都换成啤酒喝，这样才是最多可以喝多少瓶啤酒。

而不只是第一次喝完后的空瓶可再换啤酒，或把前几次多的空瓶换了，剩下一两个少的空瓶，认为不能换，只好“丢弃”。

规定和问题不一致，规定是换“走”，要带瓶，而问题是换“喝”，不带瓶。

这只是概念变了，而空瓶与啤酒之间的换算关系没变。

问题在这里不可能改变，只能变通规定来适应问题。

在我们消费者眼中，空瓶不再是空瓶，而是啤酒，即2个空瓶可以换一瓶啤酒喝，只是喝完后的这个空瓶是属于商家的。

也就是说“一个空瓶等同于半瓶啤酒”。

第三，我们要规范地引导“思路”。

解决该问题的重点是什么，难点又是什么。

前者认为重点是明确第一次喝完后的空瓶可再换啤酒，难点是步骤多。

其实本无难点，而是人为地制造出了难点。

后者认为重点是利用等量转化，将规定中的“换走”，改变为问题中的“换喝”。

只要抓住了这个重点，本题就不存在难点了，进而转化为一道简单的题了。

题目后所谓的“思路点睛——第一次喝完后的空瓶可再换啤酒”实质在“画蛇添足”，把学生往“死规定”上引，将一般问题复杂化了。

这样学生会把1、2个空瓶白白“浪费”，不能换成“酒”喝，那么解决不了最多可以喝多少瓶啤酒中的“最多”的这个问题。

而第二种思路点睛——每（2）个空瓶可以换一瓶啤酒（喝）——它才真正起到了思路点睛的作用，将看似复杂的问题简捷化了。

一次性地把11个空瓶换完，避免了换了喝，喝了又换，还要分几次换，甚至换不完，达不到“最多”的目的。

思考二：我们应该用数学的思想和方法来诠释生活，从而享受生活。

具体怎样用空瓶换酒呢？我们采用数学与生活、理论与实践相结合的办法。

数学理论：商家的“每3个空瓶可以换一瓶啤酒”之“死规定”，我们可以看成“每2个空瓶可以换1瓶啤酒喝（喝完后瓶子是商家的）”这个“人性化规定”。

于是，此类题就变得简单了——“某商店出售啤酒，为了回收空瓶，规定每2个空瓶可以换1瓶啤酒喝（喝完后瓶子是商家的）。

爸爸买了11瓶啤酒，他最多可以喝多少瓶啤酒？”这种方法解答，一次性的把11个空瓶换完，很快地得出正确的结果。

生活实践：如果商家容易沟通，那么爸爸可以先“赊”1瓶啤酒，喝完后加上自己带来的2个空瓶共3个空瓶，再还给商家。

这就享受了“用2个空瓶换一瓶啤酒喝（喝完后的空瓶是商家的）”这种生活。

如果商家非要按“死规定”，爸爸可以找朋友帮忙，先从好朋友处借1个空瓶，然后加上自己的2个空瓶，换一瓶啤酒走，喝完后再将这个空瓶还给好朋友。

试问，商家吃亏没有？明显没有。

好朋友呢？也没有。

这样，爸爸就顺利地用2个空瓶换了一瓶啤酒来喝。

本题中，最后只剩1个空瓶，又怎样换酒喝呢。

第一，可以看成半瓶啤酒，暂时存放在那里，等以后有空瓶一起再换来喝。

第二，可以找朋友合作。

他出2个空瓶，和爸爸这1个空瓶一起去换一瓶啤酒走，俩朋友碰杯，朋友一半，爸爸一半，喝完后的空瓶归朋友。

这样，爸爸和朋友俩人都用1个空瓶换来了半瓶啤酒来喝。

所以爸爸最多可以喝16瓶半的啤酒。

我们不仅仅从生活实例中感悟数学思想和方法，还能在生活实例中灵活运用数学思想和方法。

小学数学中一些具体的思维方法——这里的空瓶换酒问题中用到的转化、代换等——在生活中到处可见。

所以，许多解决生活问题的思路和方法，就是我们解决数学问题的思路和方法。

反之，我们解决数学问题的许多思路和方法，也正是解决生活问题的思路和方法。

将数学教学与生活密切联系起来，把解决生活问题的思路、方法，科学地移植或借鉴到数学学习中，用来解决数学问题，学生更易于理解掌握。

思考三：我们可以根据生活素材来构建“数学模型”。

弗赖登塔尔说“与其说学习数学，不如说学习数学化”。

数学化的过程，其实就是数学建模的过程。

数学模型具一般化、典型化和精确化的特点，所以数学建模的过程体现了思维的分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证。

这个思维过程可以概括为“实践操作——提出猜想——进行验证——自我反思——建立模型”这个过程不仅发展了学生思维，还能让学生体会到从生活情景中发展数学思维，体会到数学与大自然和社会的联系。

如果学生学会了用数学思维和方法来解答生活中的数学问题，那么再难的题也将会难不倒他们了。

如“某商店出售啤酒，为了回收空瓶，规定每7个空瓶可以换两瓶啤酒。

妈妈买了5瓶啤酒，她最多可以喝多少瓶啤酒？”解：5÷（7－2）×2＋5＝7（瓶）答：她最多可以喝7瓶啤酒。

再如“某商店出售啤酒，为了回收空瓶，规定每3个空瓶可以换一瓶啤酒。

爸爸喝了16瓶半啤酒，他至少买了多少瓶啤酒？”分析：规定每3个空瓶可以换一瓶啤酒走，理解成每2个空瓶可以换一瓶啤酒喝，即买的瓶数是换喝的2倍。

然后运用“和倍问题”就能解答了。

解：16.5÷（3－1＋1）×（3－1）＝11（瓶）或16.5÷（1＋21）＝11（瓶）（1个空瓶可以换21瓶酒喝） 或16.5×122 ＝11（瓶）（空瓶个数和换喝瓶数比为2∶1） 答：他至少买了11瓶啤酒。

试问，用第一种方法能正确解答该问题吗？显而易见不能。

可见规范的思路和数学模型在生活中是不可或缺的。

三、【结论】“空瓶换酒”这类生活中的数学题的正确解答过程告诉我们：通过“生活─数学─生活”的实践过程，把学生生活与数学教学有机地结合起来，从而让学生真实地感受、理解、培养数学思维、训练知识技能的形成过程，激发学生学习数学的兴趣，促进学生的数学思维能力、生活能力协同发展，培养学生能灵活运用数学思维来分析、解释、解决现实生活问题的应用能力，树立运筹优化的意识和数学头创新精神，为他们今后能无数学头脑的人，不被生活抛弃，也要被生活捉弄；有脑的人，他不仅学进一步学习数学打下了坚实的基础。

只注重生活经验，会生活，而且能享受生活，生活一定幸福美满。

（作者单位：资阳市雁江区第七小学，四川，资阳，641300）。