第三章 连续性方程
第3章-磁流体力学方程
第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。
§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,)n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1） (,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f t ααα=⎰ （3-2）231(,)(,)()(,,)22r r vv r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r vq E B f t I t tm αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3)首先定义等离子体矩方程： 将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分， （1） ()()v v v v f g d g fd g t tt∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3）()()()[]()v v v vv vv v v v vq f qE f g E d g d mm qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流体力学 连续性方程
第3章流体动力学基础教学要点一、教学目的和任务1、本章目的1）使学生掌握研究流体运动的方法2）了解流体流动的基本概念3）通过分析得到理想流体运动的基本规律4）为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础2、本章任务1）了解描述流体运动的两种方法；2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平均流速等；3）掌握连续性方程、伯努利方程、动量方程，并能熟练应用于求解工程实际问题动量方程的应用二、重点、难点1、重点：流体流动中的几个基本概念，连续性方程，伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。
2、难点：连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应用。
三、教学方法本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。
所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。
流体动力学：是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。
研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体流体动力学:研究流体运动规律及流体与力的关系的力学。
3.1 流体运动要素及研究流体运动的方法一、流体运动要素表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、ρ、γ和F等。
研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。
（1）每一运动要素都随空间与时间在变化；（2）各要素之间存在着本质联系。
流场：将充满运动的连续流体的空间。
在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。
二、研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
（1，质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。
用于研究流体的波动和震荡等（2）欧拉法（“站岗”的方法）欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而不是跟随个别质点。
其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。
连续性方程能量方程
∴流量 Q = v2 A2
=7×π×0.052 / 4=0.0137m3/s
由连续方程 v2 = v A = v ( D )2 4v
A2
d
解得水平管段：v =1.75m/s
确定测压管高度Δh：
以2-2断面为基准，建立3－3和2－2断面 的能量方程
29
H 3 Δh
3
h
0 22 0
z3=h=1m
E1=E2 +hw ， 即E1 > E2
——单位重量液体的总机械能
伯努利方程式表示单位重液体体所具有的位能、 压能及动能之和即总机械能沿程减小。不同断面的单 位重液体体总机械能差就是能量损失，伯努利方程式 是能量守衡定律在水力学中的应用，又称为能量方程。
请判断下列说法哪一个是正确的， 并说明为什么？
6.能量方程的主要应用： (a) 求解：平均流速，动水压强，
作用水头，水头损失，流向等
(b) 毕托管（流速仪） (c) 文丘里流量计 (d) 孔口出流，水泵与虹吸管 计算等
例2：输水圆管全管路 hw =3.5m。已知
H =5m，h =1m，D =0.1m，d =0.05m, 求
管中流量？若测压管到出口间的水头损失 hw’=0.2m，求测压管高度△h。
h
H
b
A1
M A2
[例]
7.能量方程的推广：
34
1）沿程有流量输入或输出的能量方程
（１）沿程有分流的：
q 1
q 2
q 3
q1 1
对断面1-2，1-3分别列
1
出伯努利方程式：
2 q2 32
3 q3
z
1
p1
2
α1 v1 2g
流体力学中的连续性方程
流体力学中的连续性方程在流体力学中，连续性方程是描述流体运动过程中质量守恒的基本方程之一。
它阐述了流体在运动中质量的守恒原理，即在密度不变的条件下，流体在某一给定截面上的流量必须与该截面的流体入口和出口的流量相等。
本文将详细介绍连续性方程的含义、数学表达形式以及其在流体力学中的应用。
1. 连续性方程的含义连续性方程是基于质量守恒原理推导出来的，在没有外界质量输入或输出的情况下，流体质量在运动中必须保持不变。
该方程依赖于流体的不可压缩性，即密度在流场中不发生变化。
连续性方程描述了在任意给定截面上的流体运动情况，它表明流动的流体在同一截面上的进出量必须相等。
2. 连续性方程的数学表达形式连续性方程可以用数学形式来表示，通常使用流体的质量流率来描述流体在给定截面上的流动情况。
流体的质量流率定义为单位时间内通过给定截面的质量。
设流体通过某一截面的面积为A，流速为v，流体的密度为ρ，则流体的质量流率为ρAv。
根据质量守恒原理，流体在进入和离开给定截面时，质量流率必须相等，即:ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂其中，ρ₁和ρ₂分别为流体在截面一和截面二处的密度，A₁和A₂为截面一和截面二的面积，v₁和v₂为截面一和截面二处的流速。
3. 连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
首先，它用于解决流体力学问题中的流量分布和速度分布计算。
通过应用连续性方程，我们可以根据流量和密度的已知值，求解出流体的流速。
这对于通常需要研究流体的流动速度分布的问题非常有用。
其次，连续性方程也可用于设计流体力学实验。
通过选定不同的截面，我们可以实验测量流速和相应的流量，验证连续性方程是否成立。
实验结果与连续性方程的理论计算相符则证明了实验的准确性。
此外，连续性方程在物理建模和工程计算中也发挥着重要的作用。
根据流体的运动规律和边界条件，我们可以通过连续性方程建立数学模型，并通过求解连续性方程来预测和分析流体运动的行为。
综上所述，连续性方程在流体力学中具有重要的地位和作用。
第三章第三节函数的连续性
第三章 §3 函数的连续性（第一讲）一、函数连续性的定义变量u 的增量 12u u u -=∆ （从1u 变到2u ）可正可负 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义（含0x 点）。
在点0x ， 自变量的增量为 )(00x x x x x x ∆+=-=∆相应有函数的增量 00()()y f x x f x ∆=+∆- 连续性：定义1 若0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 称)(x f 在点0x 连续 定义2 若)()(lim )()(lim 00000x f x x f x f x f x x x =∆+=→∆→或称)(x f 在点0x 连续 （满足3点，1º在0()U x 有定义，2º)(limx f xx →存在，3º 等于)(0x f 在区间上连续：)(x f 在区间I 上每点都连续如：x y sin =在),(+∞-∞连续，x y ln =在),0(+∞连续即I x ∈∀有)()(lim 0x f x x f x =∆+→∆ 注：连续即⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→x f x f xx x x 0lim )(lim 左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→；右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→结论：)(x f 在0x 连续⇔左、右连续（讨论分段函数在分界点的连续性）如：[]6ln )1(lim ln )1ln(lim55=+=+→→x x x x 例1：cos 02()0(0)xx x f x x a ⎧≥⎪+=<>,()0a f x x =求使在连续解： 21)0(=f ， 212cos lim0=++→x x x ax a a x x x x a a x x 21(lim lim00=-+=----→→∴当2121=a时，即1=a 时，)(x f 在0=x 连续。
第3章流体力学连续性方程微分形式
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
3
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
2
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz
流体的连续性方程
流体的连续性方程流体力学是关于流体力学与流动的规律和性质的科学。
在流体的运动过程中，流体的密度和速度都会发生变化。
为了描述这种变化，我们引入了连续性方程，它是流体力学中的重要基本方程之一。
连续性方程是描述流体质量守恒的方程。
它基于以下几个假设：假设流体是连续均匀的，假设流体是非可压缩的，假设流体在稳态流动过程中质量不会减少或增加。
基于这些假设，我们可以得到流体的连续性方程。
在流体力学中，流体的连续性方程可以表示为以下形式：∇·ρv+A=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∇·是散度运算符，A 是质量流量。
连续性方程的物理意义是流体的质量在单位时间内的净流入或流出量等于单位时间内质量积累的速率。
在实际应用中，根据具体问题的不同，连续性方程可以具体表达为不同的形式。
下面将介绍几个常见的连续性方程的应用。
1. 理想流体的连续性方程理想流体是指当流体受到外力作用时不发生黏性耗散的流体。
在理想流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在理想流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
2. 不可压缩流体的连续性方程不可压缩流体是指密度在流动过程中可以忽略变化的流体。
在不可压缩流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在不可压缩流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
不过需要注意的是，不可压缩流体的连续性方程只能描述速度场的分布，而不能描述流体密度的变化。
3. 积分形式的连续性方程连续性方程还可以表示为积分形式。
在空间中的一个任意闭合曲面S上，流体质量的净流出量等于质量积累的速率，即可以表示为以下积分形式：∮S ρv·n dS = -d/dt ∭V ρ dV其中，S是曲面的边界，n是法向量，V是曲面所包围的体积，∮和∭分别表示曲面和体积的积分。
流体力学 第三章
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
第3章-两相流的基本方程
适用于分层流、波动分层流、环状流等。
基本假设：
1. 两相完全分开流动；
A A A; A A; A A1
2. 两相流速不相等；
W W••S 1
dz A
dz
流体流动方向为正
3.2 单相流体一元流动的基本方程
三. 能量方程
单位时间内， 控制体内总能量的增量 等于加入控制体的热量 与外界对其所作功之和。
dQ dL dE
pg
流体流动方向为正
dp dF g sin W dW
dz dz
dz
3.2 单相流体一元流动的基本方程
g
sin dz
内能的增量
dU d (1 x)U xU
dq pdm dqo dF pdm
两相混合物的能量方程中，总压降梯度
dp dz
m
dF dz
mG2
2
d dz
(1 x)3
'2
(1
)2
x3
''2 2
mg sin
dp dz
m
dF dz
m g sin
mG2
2
dE2
dz
3.4 均相流模型的基本方程
一、均相流模型的基本思想和基本假设
基本思想：通过合理定义两相混合物的平均物性值， 把两相流当作具有这种平均特性，遵守单相流体基本方程的 均匀介质。
基本假设： （1）两相具有相等的速度，即
3-第3讲 连续性方程
u
dx
•
B
u
u dx x
B
u dxdt x
图 6-2 线变形速率
•
明显看出，经过 dt 时间后，沿 x 轴方向 B 点比 A 点多移动了 于 AB 线拉伸的伸长量。故单位长度单位时间的伸长率为 x 的拉伸变形速率。 同理， y 和 z 分别代表沿 y 和 z 方向的拉伸变形速率。
C C’
β α u
图 6-3
D’ D
v dxdt x
x
dx
u(x+dx, y,z) v(x+dx,y,z)
角变形速率与转动
图 6-3 中 A 点的速度分量为 u 和 v，在 D 点的速度分量为
u ( x dx, y, z ) u
u dx x v v( x dx, y, z ) v dx x
中，由于控制体是任意选定的，方程中第一项可写成
dVc dVc V V c c t t
由于
V ui vj wk dA i dydz j dxdz k dxdy
以及高斯公式，方程中第二项可写成
Ac
V dA (udydz vdxdz wdxdy )
显然不满足连续性方程，故不存在这样的流动。 第3节 流体微团运动分解定理
流体微团在运动过程中不断受到外部压力和剪切力的作用， 在这些力的作用下不断的进 行着移动、转动和变形运动。流体微团的运动是一个连续的复杂的运动过程，为此我们将微 团运动的过程进行分析和分类，这就是流体微团运动的分解。 在流场中任取一个流体微团如图 6-1 所示。在微团中任选一个点 A，位于 ( x, y, z ) ，再 任取另外一个点 B，位于 ( x dx, y dy, z dz ) ，下面以 A 为基点，分析 B 点相对于基点 A 的运动过程。
流体力学chap.3连续性方程
t时刻与控制 体位置重合的 流体为系统
B
∫∫∫ ηρ dV
V
ρ → 密度，η → 单位质量流体所含的物理量
2
控制体内物理量 随时间的变化
单位时间内通过控制 面流出与流入控制体 的物理量差值
DN ∂ = ∫∫∫ ηρ dV + ∫∫ ηρ u ⋅ dS Dt ∂t V S
时变项 对流项
(2-31)
∂ 恒定流： ∫∫∫ ηρ dV = 0 ∂t V
物理量N： 质量 m 动量 K
DN = ∫∫ ηρ u ⋅ dS Dt S
= mu
动能
1 mu 2 2
内能E
单位质量物理量
η ： η =1
η =u
{u x , u y , u z }
(2-32) 1 2 η = u η =e 2 e=E/m
如果流体是不可压缩 (3-2)
Dρ =0 Dt
奥高公式
∂ρ ∫∫∫ ∂t dV + ∫∫∫ (∇ ⋅ ρ u)dV = 0 V V ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρ u )]dV = 0 ∂t
∫∫∫ [
V
积分域的任意性
∂u x ∂u y ∂u z div(u ) = ∇ • u = + + =0 ∂x ∂y ∂z
x
5
2 水动力学几种常用形式的连续性方程 （1）铅直平面二维流动的连续性方程为：
∂u x ∂u y + =0 ∂x ∂y
ds 1 s
A2 A A+dA
s
（3－4）
A1
2 （2）水平面二维流动的连续性方程
∂h ∂hU x ∂hU y + + =0 ∂t ∂x ∂y
连续性方程
3.极坐标形式（二维） (r, )
ur r
u r
2
2 r 2 2
2
r 2
1 r
r
0
流函数
不可压缩平面流场满足连续性方程：
即：
ux uy 0 x y ux u y x y
由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充
要条件
d uxdy uydx
函数ψ称为流函数
有旋、无旋流动都有流函数
y)dl
uxdy u ydx d
q ABd B A
（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程
Байду номын сангаас
uz u y y z
ux uz z x
u y ux x y
由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数φ(x,y,z)存在
的充要条件
d(x, y, z) uxdx uydy uzdz 函数φ称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动
由函数φ的全微分： d dx dy dz
x y z
得：
t x
y
z
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
解：由
ux uy uz 0 x y z
得 uz 4x 4 y z
积分 uz 4(x y)z c 由z=0，uz=0 得 c=0
uz 4(x y)z
2.连续性方程的积分形式
由函数ψ的全微分： d dx dy
x
y
得：
ux
y
uy x
流函数的主要性质：
（1）流函数的等值线是流线；
证明： c d 0 uxdy uydx 0
第三章函数的连续性
第三章 函数的连续性第二章我们研究的是函数随自变量变化的趋势,因而不考虑函数在自变量的极限点的值.这一章我们要专门研究函数在自变量一点的值及其附近的变化情况.自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等，都是连续变化着的.若将这些现象反映在函数关系上，就是指函数的连续性.直观地看，函数的连续性指的是自变量x 的微小变化只能引起因变量()y f x =的微小变化.比如当时间变动很微小时，气温的变化也很微小.我们在生活中常常遇见的都是这样性态的函数. 比如，我们到超市去买水果，水果的售价是重量的函数. 当重量的误差很小时，所引起的应付款的差异是很小的.因此，商家与顾客也不在乎重量少或多了一两钱.但是，自然界有些现象也是突变的.比如，在正常情况下，地壳震动的振幅随时间的变化是渐变的，但在发生强烈地震的很短时间内，地壳振动的振幅会发生突变，造成地壳的断裂和下陷、建筑物的倒塌. 电路开关在闭合时的电压也会陡然增加大很大. 这类函数具有一种突变的性质，即自变量的微小变化可引起函数值的很大跨度的变化.为了描述变量在变化过程中的这两种不同状态，数学上就抽象出函数的连续与间断这两个相互对立的概念.研究这两种函数都必须从分析自变量与函数的增量开始.§3.1 函数的增量与连续概念一、 增量定义3.1 设变量u 从它的一个初值1u 变化到终值2u ，终值与初值的差21u u -被称为变量u 的增量，也称为改变量，记作u ∆，即21u u u ∆=-.增量u ∆可以是正的，也可以是负的. 在u ∆为正的情况下，变量u 从1u 变化到21u u u =+∆时是增大的；当u ∆为负的情况下，变量u 是减少的.现在假定函数()y f x =在点0x 的某一个邻域内是有定义的（图3-1）. 自变量x 从0x 变化到0x x +∆时，称x ∆为自变量x 的增量. 在0x 的邻域内当自变量x 从0x 变化到0x x +∆时，函数()y f x =相应的从0()f x 变化到0()f x x +∆，因此函数()y f x =的对应增量为00()()f x x f x +∆-记作y ∆，即00()()y f x x f x ∆=+∆-，这就是函数()y f x =的增量.假如保持0x 不变而让自变量的增量x ∆变动，一般说来，函数()y f x =的增量y ∆也要随着变动.例1半径为r 的均匀圆形铁片，加热后半径增大r ∆，问面积改变了多少？ 解 设S 为圆形铁片的面积. 半径为r 的圆形铁片面积函数为2()S r r π=.当加热后半径的改变量为r ∆时，其面积改变量222()()()2()S S r r S r r r r r r r ππππ∆=+∆-=+∆-=∆+∆.二、 函数的连续性直观的看，函数连续性的概念可以这样来描述：如果当x ∆趋于零时，函数()y f x =的对应增量y ∆也趋于零，即0lim 0x y ∆→∆=或是000lim[()()]0x f x x f x ∆→+∆-=，那么就称函数()y f x =在点0x 处是连续的. 因此有下述定义：定义3.2 设函数()y f x =在0x 的某一邻域()0U x 内有定义．如果0lim x y ∆→∆=000lim[()()]0x f x x f x ∆→+∆-= （1） 那么就称函数()y f x =在点0x 连续．若令0x x x =+∆，则当0x ∆→时有0x x →，于是函数()y f x =在点0x 连续的定义也可以改写为：()x f x x 0lim →=()0x f （2）由函数()y f x =当0x x →时的极限的定义可知，上述定义也可用""εδ-语言来表述：()y f x =在点0x 连续0ε⇔∀>，0δ∃>，当δ<-0x x 时有()()ε<-0x f x f (为什么不是00x x δ<-<？).下面说明左连续与右连续的概念.如果()00lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=，则称函数()y f x =在点0x 左连续.如果()00lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=，则称函数()y f x =在点0x 右连续.由极限与左、右极限的关系，不难知道函数()f x 在点0x 连续()f x ⇔在点0x 既左连续又右连续.思考：怎样用函数极限的归结原则表述函数在一点连续？（提示：函数()f x 在点0x 右连续的充分必要条件是：对任何从0x 的右边趋于0x 的点列n x （0n x x →且0n x x ≥） ，都有0lim ()()n n f x f x →∞=.） 例 2 讨论函数 ()21,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩在点0=x 的连续性.解 因为()()00lim lim 11x x f x x ++→→=-=-， ()()200lim lim 11x x f x x -+→→=+=，而()00f =，所以()f x 在点0=x 既不右连续，也不左连续，从而它在点0=x 不连续(见图3-2).区间上的连续函数：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.思考：函数在区间上不连续是什么意思？例3 证明 00lim sin sin x x x x →=，0x R ∀∈. 证 利用三角函数的和差化积公式sin sin 2cos sin 22x y x y x y +--= 以及不等式sin x x ≤ 得到000sin sin 2cos sin 22x x x x x x +--=0002sin 222x x x x x x --≤≤=- ， 所以由夹逼准则知道00lim sin sin 0x x x x →-=，即00lim sin sin x x x x →=. 因此sin y x =在点0x 连续，由于0x 是R 中任意一点，故sin y x =在它的定义域(,)-∞+∞内连续. 类似，还可以说明余弦函数cos y x =在定义域(,)-∞+∞内是连续的.三、 函数的间断点函数()y f x =在点0x 连续的定义包含着下列三点含义：（1）()y f x =在点0x 有定义；（2）()y f x =在点0x 有极限，也就是说()f x 在0x 的左、右极限均存在而且相等；（3）()y f x =在点0x 的极限值等于()f x 在0x 的函数值.上述三条中只要有一条不满足，就称函数()f x 在0x 处间断，使得函数()f x 不连续的点0x 称为此函数的不连续点或间断点.下面举例来说明函数间断点的几种常见类型.例4 正切函数tan y x =在2x π=处没有定义，所以点2x π=是函数tan x 的间断点.又因 2lim tan x x π→=∞, 我们称2x π=为函数tan x 的无穷间断点.例5 函数1sin y x =在点0x =没有定义，所以点0x =是函数1sin x的间断点.函数xy 1sin =的图象如图3-3所示.可见，当0→x 时，其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数．我们称点0x =是函数1sin x的振荡间断点.例6 函数,1,()1, 1.2x x y f x x ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩ 这里11lim ()lim 1x x f x x →→==，但是1(1)2f =，所以()1lim x f x →()1f ≠. 因此点1x =是函数的间断点. 但是如果改变函数()f x 在点1x =的定义：令(1)1f =，则函数()f x 在点1x =成为连续的。
流体力学的连续性方程
流体力学的连续性方程流体力学是研究流体在运动过程中的力学性质的学科。
其中，连续性方程是流体力学中的重要基本方程之一，描述了流体质点在运动过程中的连续性特征。
本文将介绍流体力学的连续性方程，并探讨其在流体力学研究中的应用。
一、连续性方程的基本原理连续性方程是基于流体质点的质量守恒定律推导而来的。
它描述了在稳态条件下，流体在运动中的连续性特征。
连续性方程的基本原理可以通过以下推导得到：考虑一个质量元dV，在任意时刻t处于速度场中，流体通过其两个相对面的质量流量之差与时间t的导数成正比，即：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρu)dA)/∂x其中，ρ是流体的密度，dA是质量元dV的表面积，u是流体的速度。
由于流体的质量守恒定律，可以得到∂(ρdV)/∂t = -∂(ρu)dA/∂x将上式中dA展开，得到：∂(ρdV)/∂t = -∂(ρux)dA/∂x - (ρudy)dA/∂y - (ρudz)dA/∂z根据偏导数的定义，上式可以变形为：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρux)dV)/∂x - (∂(ρuy)dV)/∂y - (∂(ρuz)dV)/∂z再次对上式进行变形，得到：∂ρ/∂t + (∂(ρu)/∂x)dV/∂x + (∂(ρv)/∂y)dV/∂y + (∂(ρw)/∂z)dV/∂z = 0由于密度ρ是一个常量，上式可以继续简化为：∂ρ/∂t + u(∂ρ/∂x) + v(∂ρ/∂y) + w(∂ρ/∂z) = 0这就是流体力学中的连续性方程。
二、连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
下面我们将介绍其中的几个重要应用。
1. 流体的运动学特性连续性方程可以描述流体质点在运动中的连续性特征。
通过解连续性方程，可以获得流体的速度场分布，进而推导出流体的压力、密度等物理量的变化规律。
2. 流量计算连续性方程可以用于计算流体通过管道、沟渠等通道的流量。
通过将连续性方程应用到通道的不同截面上，可以获得截面处流速与流量之间的关系，从而实现流量的计算与预测。
第三章 流体运动的描述与连续性方程
Traffic Flow
Q
.Y .
ZH
力学量的变化情况, 整个流体的运动可认为是空间各点流动参量变化情况 的综合。
AN G
(1) Lagrangian Method t0 初始时刻流体质点在空间坐标中所对应的位置坐标 (a, b, c) 作为标认该流体质 点的参量, (a, b, c) 称为 Lagrange g g 坐标或随体坐标 坐标或随体坐标。 ( a, b, c ) 将代表不同的流体质点。 若 f 以表示流体质点的某一物理量, 其描述的数学表达式是 ： ( a, b, c, c t ) 称为 Lagrange 变量。 变量
f f a, b, c, t
.Y .
t 时刻流体质点的失径以 r 表示
ZH
Q
r r a, b, c, t
AN G
或
x xa, b, c, t y xa, b, c, t z z a, b, c, t
同样, 压强的Lagrange描述是 p=p(a, b, c,t )。
注: 已知采用Euler描述下的流体质点速度场, 其加速度的计算即速度的随体导 数可采用此公式计算。 数可采用此公式计算
Q
.Y .
ZH
AN G
EXAMPLE 3.1.1 (1 1 2) 的加速度是多少; 已知速度场 ux=4x2+2y+xy, uy=3x-y2+z. 试问(1)点(1,1,2) (2)流动是几元流? (3)流动是恒定流还是非恒定流? 解：
FLUID MECHANICS
Q.Y Zhang Q g
Department of Engineering Mechanics Taiyuan University of Technology
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Δt 时间内通过 A1 进入流管段的流体质量为，
m1 1A1v1t
同一 时间内通过 A2 流出流管段的流体质量为，
m2 2 A2v2t
则有 m1 m2
即
1A1v1t 2 A2v2t
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ 1A1v1 2 A2v2
Av 常数 或
— 稳定流动时的质量连续性
方程
不可压缩的流体作稳定流动时，流管的横截面积与该处平 均流速的乘积为一常量。
A大——v小 ； A小 ——v大
体积流量：单位时间内通过任一截面 A 的流体体积。
Q Av
单位： m3 s1
横截面处的平均流速： v Q A
S1v1
S0v0
S2v2
流体作稳定流动时，同一流管中任一截面处的流体 密度 ρ 、流速 v和该截面面积 A 的乘积为一常量。
Av — 质量流量：单位时间内通过任一截面 A的流体质量。
单位： kg s1
若流体不可压缩 ( ρ1= ρ2 )，则
A1v1 A2v2
或 Av 常数
不可压缩的流体作稳定流动时的 连续性方程
2 Ideal fluid 绝对不可压缩、完全没有黏性（内摩擦）。
3.1.2 Steady flow 1 Flow field 流速随空间的分布称为流体速度场。 2 Flow line (流动流体中各质元流经的路径） 在任一瞬间，在流体中划一些线，使这些线上 各点的切线方向和流体粒子在该点的速度方向相同。
3 Steady flow 如果各流线上各点的速度不随时间而变，则
流动称为稳定流动。
•说明：速度：大小、 方向
各流线不可相交
4 Flow tube 由一束流线围成的管状区域。
3.1.3 Equation of continuity
如图，在稳定流动的流 场中任取一段细流管， 任一横截面上各点物理 量可看作是均匀的。
Study requirement
1、掌握理想流体、稳定流动的概念及其物理意义； 2、掌握连续性方程及其应用； 3、掌握伯努利方程及其应用； 4、了解粘性流体的流动 5、了解粘性流体的运动规律
§3.1 Steady flow of ideal fluid
3.1.1 Ideal fluid 1 Real fluid 水、油……具有可压缩性，黏性。