第二章 §2.2向量的减法
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章§2.2向量的减法 Word版含答案
2．2 向量的减法1．问题导航(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？(2)点O ，A ，B 为平面中的任意三点，则AB →＝OB →－OA →对吗？ (3)在向量运算中a ＋b ＝c ＋d ，是否有a －c ＝d －b 成立？ 2．例题导读P 79例4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差．P 80例5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模． 试一试：教材P 81习题2－2 A 组T 4你会吗？向量的减法向量的减法相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a ，零向量的相反向量仍是零向量定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝b －a ，即b －a 可以表示为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量性质：①－(－a )＝a ， ②a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0，③假如a 与b 互为相反向量， 则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝01．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的差向量不行能与这两个向量共线．( )(2)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( ) (3)相反向量是共线向量．( )解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误． (2)正确．由于两个向量的差仍旧是一个向量，所以向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．(3)正确．依据相反向量的定义知，该说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√2．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.由向量的加法及几何意义，可得：①a ＋b ＝b ＋a ，正确；由向量的减法及其几何意义，得a －b ＝－(b －a )，即②错误；0－a ＝－a ，③正确；依据相反向量的定义及性质得－(－a )＝a ，④正确；而a ＋(－a )＝0≠0，⑤错误． 3.OC →－OA →＋CD →＝________．解析：OC →－OA →＋CD →＝(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.答案：AD →4．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.解析：由于a 与b 反向，所以|a －b |＝|a |＋|b |＝2. 答案： 21．相反向量满足的两个条件 (1)两个向量的方向相反． (2)两个向量的长度相等． 2．相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法． (2)为向量的“移项”供应依据．利用(－a )＋a ＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．3．对向量减法的三点说明 (1)减法的几何意义a －b 的几何意义是：当向量a ，b 的起点相同时，从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． (2)与向量加法的关系a －b ＝a ＋(－b )，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (3)向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．已知向量作差向量如图，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b －c .(链接教材P 79例4)[解] 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c .法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC →，则OC →＝a ＋b －c .方法归纳求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算．平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．1．(1)如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .(2)如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解：(1)作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .(2)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)． (链接教材P 81习题2－2A 组T 5)[解] (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.(3)法一：原式＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 方法归纳 (1)(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，留意观看是否有这两种形式的向量消灭．同时留意向量加法、减法法则的逆向运用．2．(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( ) A ．a ＋b ＝c B ．a －b ＝d C ．b －a ＝d D ．c －a ＝b (2)化简下列各式： ①OP →－OQ →＋PM →－QM →； ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)．解：(1)选B.依据向量加法的平行四边形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d .c －a ＝AC →－AB →＝BC →＝AD →＝b ，故选B.(2)①OP →－OQ →＋PM →－QM →＝QP →＋PM →－QM →＝QM →－QM →＝0. ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)－(EF →－EA →)＝AC →＋CE →－AF →＝AE →－AF →＝FE →.用已知向量表示其他向量设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.[解] 由题意可知四边形OADB 为平行四边形，所以OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .所以DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )． 又四边形ODHC 为平行四边形，所以OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b .所以BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .若题中的条件不变，如何用向量a ，b ，c 表示出向量AH →？解：由例题解析可得OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ，则AH →＝OH →－OA →＝c ＋a ＋b －a ＝b ＋c . 方法归纳用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)留意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)留意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.3.(1)如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．且AB →＝a ，AC →＝(2)如图所示，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.解：(1)由于BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD→＝OA →－OB →＋OC →，所以OD →＝a －b ＋c .故填a －b ＋c .(2)由于四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ，CE →＝AE →－AC →＝c －b ，所以BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B .BD →－CF →＋DF →＝0 C .AD →＋CE →－CF →＝0 D .BD →－BE →－FC →＝0[解析] 由于D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →，所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立． BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立， AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． [答案] A[错因与防范] (1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母挨次出错而导致错误．(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量学问与平面几何学问的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形供应依据．其次，要记准向量减法的几何意义，依据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减．4．(1)如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，则b ＋c －a 等于( )A.OA → B ．OB →C.OD →D ．OA →＋b(2)如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________．解析：(1)法一：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以DA →＝CB →，所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →，所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →.由于DA →＝b ，所以AD →＝－DA →＝－b ，所以OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b .所以c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.(2)BE →－DC →＋ED →＝BE →＋CD →＋ED →＝BE →＋ED →＋CD →＝BD →＋CD →，由于BD →＋CD →＝0，所以BE →－DC →＋ED →＝0. 答案：(1)A (2)01．若BA →＝a ，BC →＝b ，则CA →等于( ) A ．0 B ．a ＋b C ．b －a D ．a －b解析：选D.CA →＝BA →－BC →＝a －b .故选D.2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .3．已知a 、b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________． ①若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同； ②若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反； ③若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 有相等的模； ④若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同． 解析：当a 、b 方向相同时有 |a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |，当a 、b 方向相反时有||a |－|b ||＝|a ＋b |，|a |＋|b |＝|a －b |， 因此①②④为真命题． 答案：①②④, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D ．EF →＝－OF →－OE →解析：选B.依据向量的减法的定义可得EF →＝OF →－OE →. 2．下列式子不正确的是( ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C .依据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确；由于AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；依据向量加法的多边形法则，D 正确．3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A .CB → B ．BC → C .CD → D ．DC →解析：选C .在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 4.如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则EF →＋EF →＝( ) A .AB → B .AB →＋DC → C .DC → D ．AD →＋BC →解析：选B .由于EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，又EA →与ED →互为相反向量，BF →与CF →互为相反向量，所以EA →＋ED →＝0，BF →＋CF →＝0.所以EF →＋EF →＝ED →＋DC →＋CF →＋EA →＋AB →＋BF →＝(ED →＋EA →)＋DC →＋AB →＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．(3，8) C ．[3，13] D ．(3，13) 解析：选C .当AB →与AC →不共线时，有BC →＝AC →－AB →(如图所示)， 由三角形三边的不等关系可知8－5<|BC →|<8＋5，即3<|BC →|<13， 当AB →与AC →共线反向时，|BC →|＝13； 当AB →与AC →共线同向时，|BC →|＝3，所以3≤|BC →|≤13.6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA → ＝CA →－DA →＋DA →＝CA →.答案：CA →7．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________．(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________．解析：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝PQ →＋QO →－(QM →＋MO →)＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →.答案：(1)AD → (2)PQ →8．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________．解析：|AB →－AD →|＝|DB →|＝12＋12＝ 2. 答案： 2 9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量： (1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF . 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.所以|a －b ＋c |＝2. [B.力量提升]1．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →＋OA →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选A .①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0； ②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0.2．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的外形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形解析：选B .由于OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 即BA →＝CD →，又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形．3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________解析：由于菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案：24．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 解析：由于四边形ACDF 是平行四边形，所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →， DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →， CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →， CA →－CD →＝DA →，由于四边形ABDE 是平行四边形，所以AB →＋AE →＝AD →，综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④. 答案：①④5．在五边形ABCDE 中，设AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .解：由于m －p ＋n －q －r＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r ) ＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.延长AC 到M ，使|CM →|＝|AC →|，则CM →＝AC →，所以AC →＋AC →＝AC →＋CM →＝AM →.所以向量AM →为所求作的向量，如图所示．6．(选做题)如图，已知点O 是△ABC 的外心，H 为垂心，BD 为外接圆的直径．求证：(1)AH →＝DC →；(2)OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：(1)由题意，可得AH ⊥BC ，DC ⊥BC ， 所以AH ∥DC .又DA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以DA ∥CH ， 所以四边形AHCD 为平行四边形．所以AH →＝DC →.(2)在△OAH 中，OH →＝OA →＋AH →，而AH →＝DC →，所以OH →＝OA →＋DC →.又在△ODC 中，DC →＝DO →＋OC →，而DO →＝OB →，所以DC →＝OB →＋OC →.所以OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。
2.2.2向量的减法(共18张PPT)
例2、如图,已知向量AB
a,
AD
b，DAB
120o，
且
|
a||
b
|
3，求
|
a
b|
和
|
a
b
|
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD， C
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC
a
b，DB
a
b
故
|
AC
||
a
b
|
，| DB
||
a
b
|
D b
12O`0o a B
起点，作 BC b，
连接AC， 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b
的和，记作 a b ，即 c a b ．
a
注意求和过程：
c
b
b a
这种作出两向量之和的方法叫三角形法则． 三角形法则 “首尾相接，首尾连”
平行四边形法则：
当向量 a 与 b 不平行时， 作 AB a ，AD b， 以AB、
A
因为DAB 120O，所以DAC 60O
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3 由于菱形对角线互相垂直平分
所以AOD是直角三角形， | OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
22
所以 |
a
b
|
3，| a
b |
3
3
uuur 例3、如图，平行四边形ABCD中，AB
ar，
那么向量的减法有什么规律呢？
我们来看一个例子：已知向量a、b求作向量a-b。
a
a-b
b
从加法的概念考虑, 所求的向量a-b与b的 和为a，因而向量a-b 应以b的末端开始， 指向a的末端。
第1部分 第2章 2.2 2.2.2 向量的减法
5．将本例中条件变为“BA＝a，BC ＝b，CA＝c”， 作向量 a＋b－c，并求其模．
解：如图：a＋b＝ BA＋BC ＝BD， ∴a＋b－c＝ BD－CA . 作 BE ＝CA，所以 a＋b－c＝ ED， 且| ED|＝|a＋b－c|＝2.
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[例 3] 如图，平行四边形 ABCD 中， OA＝a，OB＝b，OC ＝c，试用 a，b， c 表示向量OD. [思路点拨] 寻找图中已知向量与所要表示的向量之间 的关系，然后利用向量的加法或减法来解决． [精解详析] 如图所示，因为OA＝a，OB＝b，OC ＝c， 又 BC ＝OC －OB＝c－b， AD＝OD－OA＝OD－a， 又 BC ＝ AD，所以 c－b＝OD－a，则OD＝a－b＋c.
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[例 2] 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，AB＝ a， BC ＝b， AC ＝c，试作向量 a－b＋c，并求出它的模．
[思路点拨] 可先作a－b，再与c求和．
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[精解详析] 延长 AB 至 F，使| AB|＝| BF |， 连结 CF，由于 BF ＝ AB＝a，
∴CF ＝a－b. a－b＋c＝CF ＋ AC ＝ AC ＋CF ＝ AF . 则 AF 即为所求，如图所示． 且| AF |＝2| AB|＝2.
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法二：( AB－CD)－( AC －BD) ＝( AB－ AC )＋(BD－CD) ＝CB＋( DC － DB) ＝CB＋ BC ＝0. 法三：在平面上取一点 O，则 AB＝OB－OA， ( AB－CD)－( AC －BD) ＝(OB－OA)－(OD－OC )－(OC －OA)＋(OD－OB) ＝OB－OA－OD＋OC －OC ＋OA＋OD－OB＝0.
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6. 如图，四边形 ABCD 中， AB＝a， AD＝b，BC ＝c，则 DC ＝________(用 a，b，c 表示)． 解析： DC ＝ DA＋ AB＋BC ＝－b＋a＋c＝a－b＋c. 答案：a－b＋c
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.（二）自主探究：（预习教材P85—P87） 探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a - .零向量的相反向a 与其相反向量a - 的和是什么？ 如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么 a =____________， b =____________，+ a b =____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +- 的作图方法. 3、已知 a ， b ，在平面内任取一点O ，作== ,OA a OB b ，则__________=- a b ，即- a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是________。
这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.1例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD →＋AB →＝AC →C. AB →－AD →＝BD →D. AD →＋CB →＝2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ ； ⑵OE OA EA -+ .变式：化简AB FE DC ++ .三、交流展示1、化简下列各式：①AB AC DB -- ； ②AB BC AD DB +-- .2、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +- 等于（ ）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB3、下列各式中结果为 O 的有（ ）①++ AB BC CA ②+++ OA OC BO CO ③-+- AB AC BD CD ④+-+ MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③ 4、下列四式中可以化简为 AB 的是（ ）①+ AC CB ②- AC CB ③+ OA OB ④- OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④ 5、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中=== ,,OA a OB b OC c 则 EF =（ ）A ．a b +B ．b a -C ．- c bD ．-b c 四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 下列等式中正确的个数是（ ）. ①a o a -= ；②b a a b +=+ ；③()a a --= ； ④()0a a +-= ；⑤()a b a b +-=- A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在△ABC 中，,BC a CA b == ，则AB 等于（ ）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++ 的结果等于（ ）. A.QP B.OQ C.SP D.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m = ，AD n = ，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+ 时，应满足条件 .B 组：1、化简：AB DA BD BC CA ++-- =_______________。
第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
2.2.2向量的减法
课堂习题答案
1、 （ 1）
b
a
（ 2）
b-a
a
b
b-a
（ 3）
b-a
a
（ 4）
b
b
a b-a
2、 DB,CA, AC , AD,BA. 说明：解题中可以将减法变成加法运算， 如 AB - AD = DA+ 这样计算比较简 AB, 便。 3、
-( a + b )
a+b
-a - b
-( a + b )
教学目标
知识与能力
了解相反向量的概念；会作两个向量的 减向量，并理解其几何意义
过程与方法
提高学生观察、归纳、迁移能力和动手能； 培养学生的转化思想
情感态度与价值观
注重培养学生积极思考、勇于探索的科 学精神以及总结规律、尊重规律的观念
教学重难点
重点：
向量的减法运算及其几何意义
难点：
新课导入
向量
r a
a,b 如图，当两个
向量相加时，能轻易的在图
中表示出来，但是当两个向
b
量想减时，在现有的知识的
a - b = ？？？ 基础上，能表示出来吗？
A C B
它是否是 CB 呢？
2.2.2向量减法运算及其几何意义
There is no elevator to success—only stairs. 成功没有电梯，只有一步一个脚印的楼梯。
B
DAB = 120°， DAC = 60° ΔADC是正三角形，则 | AC |= 3 D
由于菱形对角线互相垂直平分, 所以Δ AOD是直角三角形， 3 3 3 | OD |=| AD | sin60 = 3 = 2 2
第2章§2 2.2 向量的减法
(2) (a) a. (3)a (a) (a) a 0.
(4)如果 a、 b 是互为相反的向量，则：
a=-b ， b=-a， a b 0.
探究三： 向量的减法 向量 a 加上 b 的相反向量，叫作 a 和 b 的差. 即 a b a （ b） 求两个向量的差的运算，叫作向量的减法.
1.(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
2.
D
C
A
B
1、向量的减法的定义
D 不可能，因为对角线方向不同. A B
C
B
C
A
D
解：
B
C
.
A
D
例4
如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、
B、C的向量分别为 a、 b、 c 试用向量 a、 b、 c表示 OD .
D O
C
A
B
OD OA AD OA BC OA OC OB a c b.
探究四：已知向量 a、 如何作 a-b？ b ，
B
b O a
a -b
C
b
.
a
A
如图，作 OA=a,OB=b, 以OA、OB为边作
OACB，连接BA，
不难看出，向量 BA 表示向量 a 与 b 的和，也就是向量 a b.
向量减法法则: O
B
b
.
a
A
两个向量起点相同，则两个向量的差就是连结两向量 终点，指向被减向量终点的向量. 注 意: (1)起点相同； (2)由减向量的终点指向被减向量的终点;
第二章 2.2向量的减法
→ ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝a－b； OA
13
探究点三 : |a－b|与|a|、|b|之间的关系
②当 a 向量 a－b：
→ ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝a－b； OA ③若 a 与 b 反向，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b：
11
探究点二 : 向量减法的法则
反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两 向量起点的字母必须相同， 这样两向量的差向量以减向量的终点字母 为起点，以被减向量的终点字母为终点．
12
探究点三 : |a－b|与|a|、|b|之间的关系
思考 1 若 a 与 b 共线，怎样作出 a－b?
9
探究点二 : 向量减法的法则
反思与感悟 根据向量减法的三角形法则， 需要选点平移作出两个同 起点的向量．
10
探究点二 : 向量减法的法则
例 2 化简下列式子： → → → → (1)NQ－PQ－NM－MP； → －CD → )－(AC → －BD → )． (2)(AB
→ －BC → )－(ED → －EC → )； 跟踪训练 2 化简：(1)( BA → ＋BO → ＋OA → )－(DC → －DO → －OB → )． (2)( AC
思考 4 若 a＋b＝c＋d，则 a－c＝d－b 成立吗？
答 成立．移项法则对向量等式适用．
7
探究点二 : 向量减法的法则
例 1 如图所示，已知向量 a、b、c、d，求作向量 a－b，c－d.
→ → 解 如图所示， 在平面内任取一点 O， 作OA＝a， OB → ＝c，OD → ＝d. ＝b，OC
高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义课件
又四边形ABCD是平行四边形， 所以四边形ABCD是矩形， 所以AD⊥AB， → → 在 Rt△DAB 中，|AB|＝6，|AD|＝8， → →2 → 2 由勾股定理得|DB|＝ |AB| ＋|AD| ＝ 62＋82＝10， 所以|a－b|＝|a＋b|＝10.
解析答案
ห้องสมุดไป่ตู้
规律与方法
→ → 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以 把减法转化为加法.即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如 a－b＝a ＋(－b). 2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向 被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆. → → 3.以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB，AD 分别表示向量AB＝a，AD＝b，则两条 → → → 对角线表示的向量为AC＝a＋b， BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后应用非 常广泛，应该加强.
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得.
解析答案
1
2
3
4
5
4.若菱形 ABCD 的边长为 解析
→ → → 2 ＝________. 2，则 AB － CB ＋ CD
→ → → → → → ＝ → ＝ → ＝ → ＝2. AD AB－CB＋CD AB＋BC＋CD AC＋CD
→ → 解 如图所示，在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b， → → OC＝c，OD＝d.
→ → 则 a－b＝BA，c－d＝DC.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 1
如图所示，在正五边形 ABCDE 中，AB＝m，
→
BC＝n，CD＝p，DE＝q，EA＝r，求作向量 m－p＋n－q －r.
2.2.2向量的减法
重要提请示问: AB重的要相B提A反示向: A量B是 BA
uuur uuur 重要提示 : AB BA
A
B
练习1： （1） (a)
(2)a (a)
_____a__0____(a)
a
__0____
a(3)如__果__ab_, b_互, b为 _相__反_a_的_,向a量 b，那__么0____
b就
可以表示为从向量b的终点指向向量a
的终点的向量.
(比较：如果两个向量a,
b首尾顺次连接，
则a b可表示为从向量a的始点指向向量
向量的减法：
r
r
a
Oa
r
起 A点
r
b
rr
相
b
ab
同
B 指向被减向量
rr
uuur r uuur r
已知向量 a 、b , 在平面内任取一点O，作OA a,OB b,
((33))aa((aa)) 00;; (４)(若3)a,b(是a互) 为0相; 反向量,那么(3)a =_(__ba_), 0b; (=3–_)_a_, (a)
(3)(a1)(b0a)=__00;_;_
§ 2.2 向量的减法
向量的加法：
a r b
首
C
尾
相
ab
r接
b
A
a
B
rr
uuur r uuur r
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
uuur r r
rr
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
r r uuur uuur uuur
向量的减法
本课小结： 1、定义：向量减法的定 义 2、作法：差向量的作法 : 从同一点出发 的两个向量a , b ，a b 就可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a的终点的向量 . 3、思想方法：转化、分 类与数形结合的数学 思想方法
(1)将两向量移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被 减向量 注意与作和向量的区别
练习2:如图：平行四边形ABCD中AB , a, AD b, 用 a, b表示向量 AC, DB. D 解：由向量加法的平行四边形法则，得
AC a b;
由向量的减法可得，
b
A
C
DB AB AD a b.
a
B
变式一: 在本例中,当a,b满足 什么条件时,a+b与a-b相互垂直? （|a| = |b|） 变式二: 在本例中,当a,b满足 什么条件时,|a+b|=|a-b|? （a， b互相垂直） 变式三: 在本例中, a+b与a-b有可能相等吗?
§ 2.2 向量的减法
ab ba ( a b ) c a ( b c)
1.向量的减法
定义: 向量 a加上 的相反向量，叫作 b a b aa ( b( ) b) a 的差，即 a与 b a (b)
a b a (b)
求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
作业
P91 4
课堂练习一
1.Δ ABC中,BC=a,CA=b,则,AB=( ) A.a+b B.–(a+b) C. a-b D. b-a
2．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°. 则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ .
课堂练习二
高中教育数学必修第二册《2.2.2 向量的减法》教学课件
则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线，因此，|A→M|＝21|B→C|＝2. 答案：C
易错辨析 对向量加、减法的几何意义理解不透致误
例 3 [多选题]如图，点 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的交 点，则下列等式一定成立的是( )
变式探究 将本例中的条件改为“▱ABCD 中，∠ABC＝60°，A→B＝ a，A→D＝b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．
解析：依题意，|A→C|＝|a＋b|＝2，如图所示． 而|A→B|＝|a|＝2. ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AB. ∴▱ABCD 为菱形，AC⊥BD. ∴三角形 ABO 是直角三角形，∠ABO＝30°，
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．( √ ) (2)B→A＝O→A－O→B.( √ ) (3)a－b 的相反向量是 b－a.( √ ) (4)两个同向向量的差一定小于这两个向量的和．( × )
2．[多选题]下列等式中正确的是( )
A．a－b＝b－a B．0－a＝－a C．－(－a)＝a D．a＋(－a)＝0
方法归纳
向量加、减法运算的基本方法 (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； (2)运用减法公式A→B－A→C＝C→B(正用或逆用均可)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点 为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．
题型二 用已知向量表示未知向量——师生共研 灵活运用三角形法则或平行四边形法则． 例 1 如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形， 且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用 a，b，c 表示向量B→D，B→E，C→E.
§2.2.2向量的减法及其几何意义
同向共线
反向共线
b
（1）
O
A
B
rr
ab
b
（2）
B
r rO
A
ab
探究问题（三）:向量减法法则的应用 例1.已知向量 a,b, c,d, 求作向量 a b, c d.
bd c a
作法:
A
BD
C
bd
a
c
O
1.在 平 面 上 任 取 点O, 作OA a, OB b, OC
c, OD d .
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2019/5/21
【学习目标】
1.向量的减法运算及其几何意义 2.对向量减法意义的理解，向量减法的 应用。
复习巩固
1.向量加法的三角形法则
首尾相连，起点指向终点
2.向量加法的平行四边形法则
起点相同，对角线为和
3.向量加法满足交换律及结合律
2019/5/21
探究问题（一）:相反向量的概念 定义：与 长度相等，方向相反的向量，叫做
3则向量BA a b
B
两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点， 方向指向被减向量终点的向量.
共起点，连终点，
BA OA OB 方向指向被减数
思 (1)如图，如果从 a 的终点到 b 的终点作向量，那 考 么所得向量是什么？
rr
？ ba
r rb
rr
(2)若向量a、b共线，则应怎样作出 a b 呢？
2.作BA, 2019/5/21 DC , 则BA a b, DC c d为 所 求.
r r r ur 练习 如图，已知a,b,求作a b.
（1）
（2）
2.2.2向量的减法
例 3： 如 图 平 行 四 边 形 A B C D , A B a , D D A b, O C c, c b 证 明 ： c a OA b
O
C
A
a
B
证明：b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
问题1：如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？
问题2：如果 向量a与b共线 例题讲解 那么，b=λa ？
定理讲解 课堂练习 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 引入练习 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
新课讲解 例2
复 习
引入练习 新课讲解 例题讲解 定理讲解
已知非零向量 a （如图）
a
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
a
O A
a
B
a
C
-a
N M
-a
Q
-a
P
课堂练习 小结回顾
相同向量相加以后， 和的长度与方向有什么变化？
复 习
引入练习 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa， 新课讲解 它的长度和方向规定如下： 例题讲解 (1) |λa|=|λ| | a | 定理讲解 (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 课堂练习 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0 小结回顾
复 习
如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
E
课题：§2.2向量的减法
高一年级数学学科编号：38 班级： 学生姓名： 设计人：史旭龙 审核人：安仓娃课题：§2.2向量的减法【学习目标 (1)了解相反向量的概念；(2)掌握向量的减法，会作两个向量的减向量.【学习重点】向量减法的概念和向量减法的作图.【学习难点】对向量减法定义的理解.第一部分【自主学习】1、用“相反向量”定义向量的减法： ①“相反向量”的定义：与长度相同、方向相反的向量记作 _______； ②规定：零向量的相反向量仍是_________； 任一向量与它的相反向量的和是零向量+ (-) = _____； 如果、互为相反向量，则 = -, = -, + =0； ③向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差 即：- = + (-) 求两个向量差的运算叫做_________.2、减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = , OB = , 则BA =-即- 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 3、减法的平行四边形法则作法：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =- ， 则BA BO OA a b =+=- ．做出图形：第二部分【合作探究】1、已知向量、、c 、d ，求作向量-、c -db a B A a b - O2、平行四边形ABCD中，aAD=，用，b表示向量AC、DBAB=，b第三部分【课堂练习】1.下列等式:①+0=②+=+③-(-)=④+(-)=0 ⑤+(-)=- 正确的个数是( )A.2B.3C.4D.52.下列等式中一定能成立的是( )A. AB+AC=BCB. AB-AC=BCC. AB+AC=CBD. AB-AC=CB3.化简OP-QP+PS+SP的结果等于( )A. QPB. OQC. SPD. SQ4.在△ABC中, BC=, CA=,则AB等于( )A.+B.-+(-)C.-D.-5.O为平行四边形ABCD平面上的点,设OA=, OB=, OC=c, OD=d则A.++c+d=0B.-+c-d=0C.+-c-d=0D.--c+d=06.已知OA=, OB=,若|OA|=12,|OB|=5,且∠AOB=90°,则|-|= .7.在正六边形ABCDEF中, AE=, AD=,则BA= .8.已知、是非零向量,则|-=||+||时,应满足条件.第四部分【课后反思】解向量减法的含义，会用向量减法的三角形法则和平行形法则作两个向量的和，并会用它们进行向量的运算.。
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＝12|
uuur BC
|＝2.
uuur
uuur
uuur
2．如果| AB |＝8，| AC |＝5，那么| BC |的取值范围为
________．
解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算． 答案：[3,13]
“多练悟——素养提升”见“课时跟踪检测(十六)” (单击进入电子文档)
即 a－b＝ a＋(－b)．求两个向量 差 的运算，叫作向量的减法．
uur (2)几何意义：在平面内任取一点 O，作OA＝a，
uuur
uur
OB＝b，则向量 a－b＝ BA ，如图所示．
(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个 向量的差是以减向量的终点为 起点 ，被减向量的终点为 终点
[针对训练]
uuur
uuur
1．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在线段 BC 外，|BC |2＝16，| AB
uuur uuur uuur
uuur
＋ AC |＝| AB－ AC |，则| AM |＝
()
A．8
B．4
C．2
D．1
uuur uuur
解析：选 C 以 AB， AC 为邻边作平行四边形 ACDB，则由
NP ＋ NP ＝2 NP . uur
uuur
答案：(1)0 (2) BA (3)0 (4)2 NP
考点三 向量加法、减法的综合应用
uuur
uuur
[典例] 如图，已知向量 AD＝a， AB＝b，
满足|a|＝2，|b|＝2，且∠BAD＝60°，求|a－b|，
|a＋b|.
uuur
uuur
[解] 由向量减法的三角形法则可知BD＝a－b，AC ＝a
―D→A ＝0.
[法二 “利用―O→A －―O→B ＝―B→A ”] (―A→B －―C→D )－(―A→C －―B→D )＝―A→B －―C→D －―A→C ＋―B→D ＝(―A→B －―A→C )－―C→D ＋―B→D ＝―C→B －―C→D ＋―B→D ＝―D→B ＋―B→D ＝0. [法三 利用―A→B ＝―O→B －―O→A ] 设 O 是平面内任意一点，则(―A→B －―C→D )－(―A→C －―B→D )＝―A→B － ―C→D －―A→C ＋―B→D ＝(―O→B －―O→A )－(―O→D －―O→C )－(―O→C －―O→A ) ＋(―O→D －―O→B )＝―O→B －―O→A －―O→D ＋―O→C －―O→C ＋―O→A ＋―O→D －―O→B ＝0.
＋b，在△ABD 中，因为∠BAD＝60°，AD＝2，AB＝2，所
以△ABD 为等边三角形，四边形 ABCD 是菱形，∴BD＝2，
即|a－b|＝2，AC＝2 3，即|a＋b|＝2 3.
[类题通法]
uuur
uuur
(1) 以 向 量 AB ＝ a ， AD ＝ b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形
的向量．
[点睛] 透析差向量的作法 uur
(1) BA表示 a－b，强调：差向量“箭头”指向被减向量． (2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量 减法的定义 a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显 然，此法作图较繁琐． 作非零向量 a，b 的差向量 a－b，可以简记为“共起点， 连终点，指向被减”．
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个方向相同的向量之差等于 0
(× )
(2)两个相反向量之和等于 0
uuur
uur
uuur
(3)在△ABC 中，BC ＝a，CA＝b，则 AB＝a－b
( √)
( ×)
2．下列运算中正确的是
()
uur uuur uuur A．OA－OB＝ AB
解：法一：如图①所示，在平面内任取一点 O， 作―O→ A ＝a，―A→ B ＝b，则―O→ B ＝a＋b，再作―O→ C ＝c， 则―C→ B ＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取一点 O，作―O→A ＝a，―A→B ＝b， 则―O→B ＝a＋b，再作―C→B ＝c，连接 OC，则―O→C ＝a＋b－c.
uur
uuur
[解] (1)作OA＝a，OB＝b，
uur
uuur
则 BA＝a－b， AB＝b－a(如图①)．
(2)对于－a－b，有下列两种作法：
uur
uuur
uur
法一：作OA＝－a，OB＝b，则 BA＝－a－b(如图②)．
法二：作OuuAr ＝a，OuuBur ＝b，再以OuuAr ，OuuBur 为邻边作▱OACB，
考点二 向量的加、减法运算 [典例] 化简：(―A→B －―C→D )－(―A→C －―B→D )．
[解] [法一 统一成加法]
(
―A→B －
―→ CD
)
－
(
―→ AC
－
―→ BD
)
＝
―A→B －
―→ CD
－
―A→C ＋
―→ BD
＝
―A→B ＋―D→C ＋―C→A ＋―B→D ＝―A→B ＋―B→D ＋―D→C ＋―C→A ＝―A→D ＋
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝ (－a)＋a＝ 0 ； (4)若 a 与 b 互为相反向量，则 a＝－b ，b＝－a ，a＋b＝ 0 .
[点睛] 任何向量与其相反向量必是共线向量，只是
方向相反，但长度不变．
2．向量的减法
(1)定义：向量 a 加上 b 的相反向量 ，叫作 a 与 b 的差，
uuur uuur uuur uur uuur
向量加、减法的几何意义可知 AD＝ AB＋ AC ，CB＝ Auur uur
AC ，因为| AB＋ AC |＝| AB－ AC |，所以| AD|＝|CB|.
又四边形 ACDB 为平行四边形，所以四边形 ACDB 为矩形， uuur
uur uuur uuur (3)OA－OD＋ AD＝________；
uuur uuur uuur uuur (4)OP ＋ MP －ON － MN ＝________.
uuur uuur uur uuur uur
解析u：ur(1)uuAurM ＋uuMur C ＋uuurCA＝uuuAr C ＋uurCA＝uuu0r. uuur uur
[类题通法] 1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
[针对训练]
化简下列各式：
uuur uuur uur (1) AM ＋ MC ＋CA＝________；
uur uuur uuur uuur (2)OA＋OC ＋ BO＋CO ＝________；
uuur B．OQ
uur C． SP
uuur D． SQ
答案：B
()
uuur 4．在平行四边形 ABCD 中，向量 AB的相反向量为______．
uur uuur 答案： BA ，CD
考点一 向量的减法及其几何意义
[典例] 如图，已知不共线的两个非零向量 a，b，
求作向量 a－b，b－a，－a－b.
uuur uuur uuur B． AB－CD＝ DB
uur uuur uur C．OA－OB＝ BA
uuur uuur D． AB－ AB＝0
uur uuur uur 解析：选 C OA－OB＝BA.
uuur uuur uur uur 3．化简OP －QP ＋ PS ＋ SP 的结果等于
uuur A．QP
uuur 则CO ＝－a－b(如图③)．
[类题通法] 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－b， 然后作 a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点 重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的 向量．
[针对训练] 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 a＋b－c.
(2) OuuAr ＋OuuCur ＋uBuOur ＋CuuOur ＝uBuOur ＋OA＋OC ＋CO ＝BA.
(3) OuuAur －OuuDur＋ AuDuur＝ DuAuu＋r ADu＝uur0. uuur uuur uuur
(u4u)ur OP u＋uurMP －uuOur N － MN ＝(OP －ON )＋( MP － MN ) ＝
2．2 向量的减法
一、预习教材·问题导入 1．相反向量定义是什么？ 2．任何向量与其相反向量是共线向量吗？ 3．向量的减法运算及其几何意义是什么？
二、归纳总结·核心必记
1．相反向量 与 a 长度相等、方向相反 的向量，叫做 a 的相反向量， 记作 －a .
(1)规定：零向量的相反向量仍是 零向量；
uuur
uuur
uuur
ABCD，则两条对角线的向量为 AC ＝a＋b，BD＝b－a，DB
＝a－b.
(2)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以
直接使用：①对角线平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2
＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以 a，b 为
邻边的平行四边形为矩形．