第二讲 有限单元法的理论基础
2_有限单元法的基本概念和理论基础
① ② Y2 X2
结点载荷
1 3
Fy12
Fy22
结点力
Fx22
2
Fx12
① ②
2
Fy23 Fx11
3
Fx23
8 /37
有限元法的基本概念
非法结构离散
结点不合法
不同材料
9 /37
有限元法的基本概念
单元类型
杆单元 梁单元
单元图形
结点数 结点自由度 2 2 2 3 3 4 3 4 4 2 2 2 6 3
∂x ∂σ y ∂y + + ∂y ∂τ yx ∂x ∂τ zy + + ∂z ∂τ yz ∂z +X =0 +Y = 0
∂τ zx ∂σ z + + +Z =0 ∂z ∂y ∂x τ xy = τ yx τ xz = τ zx τ yz = τ zy
21 /37
应力分量
可以证明： 这六个量在P点 可以证明：如果σ x、σ y、σ z、τ xy、τ yz、τ zx这六个量在 点 是已知的，就可以求得经过该点 经过该点的任何面上的正应力和剪应 是已知的 ， 就可以求得 经过该点 的任何面上的正应力和剪应 应力状态， 因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态 力 ， 因此 ， 这六个量可以完全确定该点的 应力状态 ， 它们就 称为在该点的应力分量。 称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此， 一般说来 ， 弹性体内各点的应力状态都不相同 ， 因此 ， 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量， 是坐标x 的函数。 是坐标 、y、z的函数。 的函数 六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示： 六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场及热传导等领域中。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法，并阐述其在工程实践中的应用。
2. 基本原理有限单元法的基本原理是将复杂的连续体问题离散化为若干简单的子域，即有限单元。
每个有限单元由一个或多个节点组成，通过将子域内的导数方程或平衡方程转化为代数方程，再通过求解这些代数方程得到全局解。
有限单元法的基本步骤如下： - 确定问题的几何形状和边界条件； - 将几何形状分割为有限个单元，并为每个单元定义适当的数学模型； - 根据单元的数学模型建立刚度矩阵、质量矩阵等，并通过组装成全局矩阵； - 应用合适的边界条件，并求解线性或非线性代数方程组； - 根据代数方程组的解，计算各个单元内部的物理量。
3. 数值方法有限单元法中常用的数值方法包括： - 剖分方法：将连续域剖分为若干简单的有限单元，常用的有三角形剖分和四边形剖分。
- 元素类型：根据问题的特性选择合适的单元类型，如线性元、三角元、四边形元等。
- 积分方法：采用高斯积分等方法对每个单元内的积分方程进行数值求解。
- 方程求解：对线性方程组采用直接法（如高斯消元法）或迭代法（如共轭梯度法）进行求解。
- 后处理：根据问题的要求，进行应力、位移、应变等物理量的计算和显示。
4. 应用实例有限单元法广泛用于工程实践中，以下为其常见应用实例：- 结构力学：用于模拟建筑物、桥梁、飞机等结构的应力和变形。
- 流体力学：用于模拟流体在管道、水槽、风洞等中的流动。
- 电磁场：用于模拟电磁场在电路、电机、天线等中的分布。
- 热传导：用于模拟热传导在导热管、散热器、热交换器等中的传热情况。
5. 结论有限单元法作为一种数值计算方法，在工程实践中得到了广泛应用。
通过将连续问题离散化为有限单元，再通过数值方法求解代数方程组，可以获得连续问题的近似解。
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限单元法课件第二章有限单元法的基本原理
u x
x
0
0
x
y
z xy
v y w z u v
0
0
yz
zx
y x y
v
w
0
y
0
x
0
z
u
v
0
w
z y z y
w x
u z
z
0
x
3.物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间的关系,这
对于平面弹性体而言,上述外力的虚功为
W f T Pc f T PvdV f T Psds V
四、平面问题的定义
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
1.平面应力问题
当结构满足以下两个条件时,则认为是平面应力问题。
(1)几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸,即结构 形状成薄板形。
(2)载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均 匀分布,而板平面不受任何外力作用。
参照下图,判断是否是平面应力问题。
一般地,当结构厚度 t L 15 时,结构可作为平面应力问题.
平面应力问题的应力特点:
z zx zy 0
根据物理方程， 应变特点:
zx zy 0
z
1
( x
y)
这类结构的应力分量和应变分量分别为:
x
y
T xy
x
y
T
xy
这时,几何方程变为: 物理方程变为:
弹性体在平衡状态下发生虚位移时,外力要做虚功, 大小为
W f T R
虚功 虚位移 外力
在发生虚位移的过程中,弹性体内将产生虚应变 。
应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚
应变能,若用U 表示虚应变能,则
有限单元法的基本原理
Ui , Vi
e
e
结点i从周围各单元移置的结点荷载为
Pi
e
Pi e
Xi Yi
U i X i , Vi Yi
e
e
Fi Pi
e
以 Fe k e 代入
K P
整体刚度矩阵的集成
结点平衡法
F2 Fj1 Fi2 Fm3
y
E
1 2
(
x
y)
xy
2(1 E
)
xy
E
1 2
1
2
xy
x y
xy
E
1 2
1
0
1 0
1
0
0
xxyy
2
D
DBe Se Si S j Sm e
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 cm bm
vi
u
v
j j
u
m
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
cm e B e
bm
vm
2.2 变分原理
泛函 如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量 I 有一个值和它对应，则变量
I 称为依赖于函数y(x)的泛函。记为 I I[ y(x)]
有限单元法的基本思想
α1 α4
α2 x α5 x
α3 α6
y y
应变
x 2， y 6， xy 3 5
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
虚功原理 ——建立等效积分形式的平衡方程
变形体中满足平衡的力系在任意 满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零，即体系外力的虚功与内力的 虚功之和为零。
有限元法分析流程
x
E 1 2
u x
v y
,
xy
E 2(1
)
v x
u y
y
E 1 2
v y
u x
,
x
x
yx
y
fx
0, xy
x
y
y
fy
0
位移表示的平衡微分方程:
x xy
x
xy y
y y
xz z yz
z
pvx pvy
0 0
xz x
yz y
z z
pvz
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
几何方程
应变 ~ 位移
u
第二章 有限元法的基本思想
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
弹性力学 有关知识
有限元法 基本思想
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构、材料力学、流体力学等领域。
它通过将复杂的结构或系统分割成有限数量的小单元，然后建立数学模型，最终求解得到整体系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和在工程实践中的应用。
首先，有限单元法的基本原理是将一个连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元都可以用简单的数学方程描述。
这些单元之间通过节点连接在一起，形成整体系统。
然后，通过施加外部载荷或边界条件，可以得到每个单元的位移、应力等信息。
最终，将所有单元的信息组合起来，就可以得到整个系统的行为。
在工程实践中，有限单元法被广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域。
在结构分析中，可以通过有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机等，从而预测其受力情况和变形情况。
在热传导领域，有限单元法可以用来分析材料的温度分布、热传导性能等。
在流体力学中，有限单元法可以模拟流体的流动情况、压力分布等。
此外，有限单元法还可以与优化算法相结合，用于优化设计。
通过改变单元的尺寸、形状或材料性质，可以得到最优的结构设计。
这在工程实践中具有重要意义，可以降低结构的重量、提高结构的强度和刚度。
总之，有限单元法作为一种数值分析方法，具有广泛的应用前景。
它不仅可以用于工程结构的分析和设计，还可以用于材料力学、流体力学等领域。
随着计算机技术的不断发展，有限单元法将会变得更加高效、精确，为工程实践提供更多的支持和帮助。
以上就是有限单元法的基本原理及在工程实践中的应用，希望对读者有所帮助。
有限单元法作为一种强大的分析工具，将继续在工程领域发挥重要作用。
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。
它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。
有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。
在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。
根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。
有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。
它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。
通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。
通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。
3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。
通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。
通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。
5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。
通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。
总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。
有限单元法基础
有限单元法基础
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算
方法，常用于求解连续介质力学问题。
它将连续的物理域划分为有限数量的离散单元（finite elements），通过在每个单元内构建近似函数来描述物理场，再根据物理方程建立离散方程组，通过求解离散方程组来得到物理场的近似解。
有限单元法的基本思路是将连续域离散化为有限数量的小单元，每个小单元内使用适当的数学函数进行插值，将大问题分解为很多个小问题，并利用变量之间的连续性建立全局的离散方程组。
然后通过求解离散方程组得到近似解。
有限单元法的基本步骤包括：
1. 网格划分：将要求解的区域划分为多个离散单元，并在每个单元内选择适当的形状函数。
2. 形函数构造：在每个单元内选择适当的形状函数，用于描述物理场的分布。
3. 整体方程组：根据物理方程在每个单元上的积分，建立整个问题的离散方程组。
4. 边界条件：根据边界条件，将边界上的节点处的值固定为已知值。
5. 求解方程组：利用数值方法求解离散方程组，得到物理场的
近似解。
6. 后处理：根据求解结果，计算所需的物理量并进行分析和验证。
有限单元法具有广泛的应用，适用于各种连续介质力学问题的数值求解，如结构力学、固体力学、流体力学、热传导等。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，且精度和收敛性能较高。
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
第二章 有限单元法的数学基础
解得：
加权余量法示例
E.伽辽金法求解 伽辽金法实质即取近似函数作为权函数. 一项近似解： 则权函数为：
解得：
加权余量法示例
二项近似解： 则权函数为：
解得：
加权余量法示例
该问题的解析解为
什么是泛函
如果对某一类函数中的每一个函数v(x)，按照一定的变换规则 J，都有一个确定的实数，记为J(v)，与之对应，那么就称该 变换是一个泛函。 泛函就是由函数空间到一维欧氏空间R的一个变换，泛函的“自 变量”或者“原象”取自某一类函数，而变换的结果是一个实 数。 例如 由于其满足了 所以可以称为线性泛函。 下面两个属于非线性泛函。
Einstein求和约定
相同的指标是求和指标，称为哑指标， 而其余的指标称为自由指标。 求和约定中求和指标遍历的是空间维数n，若在一个求和表达式 中的求和指标不是遍历空间维数n，则我们不应省略求和号
求和约定的好处示例：三维变形体的平衡方程
变分法的基本引理
在区间[a,b]上有连续n 阶导数的全体函数空间为 子空间 假设 如果存在 则在区间[a,b]上
未知函数的近似解：
标量泛函变分为0：
变分法思想
由于δ的任意性，则
变分法思想
大量工程和物理中的泛函都属于二次泛函，此时
由于
则 求解方程系数矩阵是对称的。
一阶变分 若 且 小或极大函数 但
二阶变分
≥0(或≤0),则u(x)是J(v)的一个极 泛函取极值的充分条件
若
随δu有正有负，则u(x)是J(v)的一个驻点。
变分法思想
连续介质问题的标量泛函：
连续介质问题的解u使标量泛函对微小变化δu取极值或 驻值： 这种求解方法称为变分原理或变分法。
有限元第二讲 有限元法理论基础
2.3.1 塑性力学问题
3.屈服准则
理想弹塑性模型在单向受力时，当应力小于屈 服极限时，材料处于弹性状态。当应力达到屈 服极限时，材料即进入塑性状态。因此，
就是单向受力时的屈服条件。
s
在复杂应力状态下，物体内某一点开始产生塑性变形
时，应力也必须满足一定的条件，它就是复杂应力状
2．3结构非线性有限单元法
在分析线性弹性体系时，假设节点位移无限小；材料 的应力与应变关系满足虎克定律；加载时边界条件的 性质保持不变，如果不满足上述条件之一的，就称为 非线性问题。
非线性问题分成两大类：几何非线性和材料非线性。 如果体系的非线性是由于材料的应力与应变关系的非
线性引起的，则称为材料非线性。如铝材和许多高分 子材料。 如果结构的位移使体系的受力状态发生了显著变化， 以至不能采用线性体系的分析方法时则称为几何非线 性。
另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建 筑和厂房，石化厂的反应塔和管道，核电站的安全壳和热交换器， 近海工程的海洋石油平台等，它们可能承受强风、水流、地震以 及波浪等各种动力载荷的作用。
动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传 播问题。
2.2 结构动力学问题的有限元法
可以通过第一章类似的方法建立结构的 运动方程、质量方程、阻尼矩阵结构、 自振频率与振型振型，以及叠加法求解 结构的受迫振动 的基本过程等等。
2.1.1.平面问题的有限元模型
对于杆和梁，模型自然分割，连接形式也和原 系统一致。其计算与结构矩阵匹配。
对连续体，要用有限元法进行矩阵分析，就需 人为地将连续的平板分割成一小块、一小块的 单元，单元有限个，这就称为结构的离散。
有限单元法的数学基础
有限单元法的数学基础1、引言有限元方法归根结底是一种数值计算方法，它有严格的数学证明作为其近似的客观性和合理性的保证。
力学问题最终归结为一组微分方程的边值问题或者初值问题抑或是混合问题。
比如弹性静力学最终归结为L-N 方程的微分提法。
在很难或者根本不可能得到所得方程的理论解的情况下，究竟用什么样的方法才能得到方程的近似解（这种近似解已经能够满足实际工程的需要），在这种情况下，二十世纪五六十年代由结构力学家进而由数学家提出和证明了这种思想方法的合理性。
有限元方法产生于力学计算，但是，它本质上并不是力学的专利。
世间万物的变化过程很多都可以通过微分方程特别是偏微分方程来描述，也就是说，微分方程是很多现象和过程的数学结构，而大多数的微分方程是不能得到理论解的，这时候就可以使用有限元方法来求其近似解，因为有限元方法是求解微分方程（组）的数值计算方法。
它适用于力学的微分方程，也同样适用于其它领域的相应的微分方程的数值求解。
2、有限元方法数学根源对于一个给定的微分方程定解问题，为了求其近似解，我们可以使用Ritz 方法和Galerkin 方法。
下面分别阐述这两种方法，然后讨论有限元方法和他们的关系。
（1） Ritz 法Ritz 法源于最小势能原理，设H 是可分的Hilbert 空间，在H 中取有限维空间Sn ，它是由N 个线性无关向量12,,,N φφφ 张成，即：121,,(,,)NN n n i i N N i S C C C C R ωωφ=⎧⎫≡=∀∈⎨⎬⎩⎭∑用N S 代替H ，在N S 上求泛函J(w)的极值,即求N U ∈N S ，使得()N J U =min ()N N S N J ωω∈实际上寻求N U 只需通过解一个线性方程组1()(,)()02J D F ωωωω=-≥D--------双线性形式 F--------线性泛函1NN i i i C ωφ==∑111,111()(,)()21(,)()2N N NN i i i i i i i i i NN i j i j i ii j i J D C C F C D C C F C ωφφφφφφ====== =-∑∑∑∑∑－因此，()N J ω是一个以12,,,N C C C 为未知数（自变量）的二次多项式12(,,,)N j C C C ，如果二次项的系数矩阵,1,2,,[(,)]i j i j N D φφ= 是正定的，那么12(,,,)N j j C C C = 在N+1维空间是一个开口向上的椭球抛物面，它有且只有一个极（最）小值点，所谓在N S 上求()N J ω的极值，就是确定00012,,,N C C C ，使得：00012(,,,)N j C C C ＝1000,,12min (,,,)N C C R N j C C C ∈极值条件：ijC ∂∂|00012,,,N C C C ＝0 （1,,i N = ） 得:01()()ni ji i i D CF φφφ==∑ (1,,i N = )即：00012[,,,]T N C C C C = 适合方程组：KC=F11[(),,()]T F F F φφ=112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,),,(,)N N N N N N D D D D D D K D D D φφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，， 。
有限单元法基础
节点位移向量
矩阵形式
uie
uvii
,
u
e j
u v
j j
,
ume
uvmm
o
vi
fyi
i(xi,yi)
ui fxi
vm
vj
fym
fxm um
fyj
uj
m(xm,ym)
j(xj,yj) fxj
x
上标T表示矩阵的转置
单元结点位移向量：
ue
uie
T
u
e j
T
ume
1、引言和基本概念
1.1 有限单元法的发展
历史由来
有限单元法的基本思想来源于结构力学中杆系结构的“矩阵分析法”，它产生于 上个世纪40年代。“有限单元法”这一名称于1960年由美国学者Clough. R.W. 首次在一 篇题为“平面应力分析的有限单元法”
R发. 展W.和C应lou用gh, “The Finite Element Method in Plane Stress Analysis,” Proceedings of
数值插值方法简介
y
假定有函数： y=f(x)
不知道函数f(x)的具体形式！
f(x1) 但是知道函数在x1和x2处的值：
y1=f(x1)
y2=f(x2)
o
假定函数在区间[x1，x2]为单值连续函数， x1
怎样求出x1和x2之间任何一点处的函数值？
直线插值方法
通过(x1，y1)和(x2，y2)构造一个直线插值函数：
用的平衡方程、几何方程、本构方程等---泛定方程(16个)。由于微元体的边长是无限小 的，因此在整个弹性单体元中有无限个这种微元体。这种分析方法称为无限小单元法。
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并且
~
v
和
~
v
与微分方程个数相等的函数。
对任意
~
v
~
v
上述积分式均成立，
则表明积分形式与微分方程的定解问题等价。
2 加权余量法
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T v A (u ) f d ~ ~ ~ ~
3
同样，在边界上：
v B (u ) g d ~ ~ ~ ~
T
(v
1
B (u ) g v B (u ) g ) d 0
1
~
1
2
2
~
2
(4)
结合（3）式和（4）式：
T v A (u ) f d ~ ~ ~ ~
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1 引言
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不同领域交叉研究 通过众多学者几十年的研究，数学领域和工程计算领域已经密不可分， 在不断修正认识上错误的前提下打下有限元坚实的理论基础。Ritz变分形 式(对应于最小位能原理)和Galerkin 变分形式(对应于虚功原理)二者实际上 相互等价。现在一般统一称为Ritz- Galerkin变分原理或Galerkin变分原理。 有限元分析领域大师级人物如： Zienkiewicz， Bathe等具有十分深厚的 数学功底，他们的研究亦涉及到误差估计理论、解的收敛性等研究。
Equations ： A (u ) f 0
~ ~
x
~
B (u ) g 0
~ ~ ~
2 加权余量法
因此有：
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T v A ( u ) f d ( v1 A1 ( u ) f 1 v 2 A 2 ( u ) f 2 ) d 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~
武汉大学硕士研究生公开课 2009-2011
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有限单元法
Finite Element Method
主讲团队：徐远杰 教授 胡 衡 副教授
王雁然 副教授 楚锡华 副教授
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第二讲：有限元法的理论基础
1 引言 2 微分方程的等效积分形式和加权余量法 3 变分原理和里兹法 4 弹性力学的基本方程和变分原理 5 小结
方程的分类： 1）稳态问题（平衡问题边值问题）
f ( x, t) f ( x)
~ ~ ~ ~
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与时间无关
g ( x, t) g ( x)
~ ~ ~ ~
场函数解
u u(x)
~ ~ ~
2 加权余量法
2）瞬态问题（传播问题，初边值问题）
f ( x, t)
~ ~
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和
g ( x, t)
~ ~
为t 的函数 为空间与时间的函数
x 场函数的解：u u ( ~ , t ) ~ ~
、 可以理解为时－空域，t 为开域 ( 0 , ) t = 0 时可称为初值条件
2 加权余量法
3）特征值问题
f ( x, t) 0
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要求能量/势能泛函存在，限制了其应用。
应用/计算数学领域 Besseling ， Melosh ，Jones ，Pian 等人证明了有限元单元法 是基于变分原理的Ritz法的另一种形式，与经典Ritz法的区别在于有限 单元法并非全域插值，而是在单元求解区域上插值，进而通过单元叠加 形成全域求解方程，因而可以用来处理很复杂的连续介质问题[2]。 60年代，我国学者冯康独立于西方给出了基于分片插值和变分方法 的偏微分方程的数值解法，可以看作最早给出的二维有限元收敛性的证 明，从而奠定了有限元方法的数学理论基础[3] 。
v B (u ) g d 0 ~ ~ ~
(5 )
2 加权余量法
这里
v1 v v2 ~
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、
v1 v = v2 ~
为任意函数向量，
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此后，一些应用/计算数学家、物理学家和工程师从2条分支研究 FEM，形成了成熟的理论体系。即： <1>应用/计算数学领域 研究的目的是建立完整的FEM理论体系，为工程应用奠定必备的理论 基础。
国内长期从事FEM研究的有钱令希、钟万勰、石钟慈 、程耿东 、 龙驭球等。主要从事FEM方法改进研究。
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[FEM相关主流期刊]
应用/计算数学领域
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工科学生学习 FEM、研究FEM、应用FEM的立足点
<2> 工程具体问题计算领域(计算物理/计算力学/工程学) 研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式研究，通过 分析验证解的收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。
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引言
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FEM的概念是由Turner与Clough最早提出的[1]。1952年美加利 福尼亚大学伯克利分校的学者Clough RW应邀参加了波音航空公司夏 季开发小组，在波音公司结构振动分析专家Truner MJ的带领下开展 了三角形机翼结构分析，在经历了运用传统一维梁分析失败后，1953 年Clough在Turner的建议下，运用直接刚度位移法，成功地给出了 用三角单元求得平面应力问题的正确答案；1960年Clough进一步研 究了弹性问题的应力分析，并首次使用“有限元(Finite Element)”这 一术语。
SIAM Journal of Numerical Analysis/SIAM 数值分析 SIAM Journal on Scientific Computing /SIAM科学计算 Computing/计算 Computers and Mathematics with Applications/计算机和数学及应用 Applied Mathematics and Computation/应用数学与计算 Journal of Computational and Applied Mathematics /计算与应用数学 计算数学 应用数学与力学
~ ~
A,B
表示对独立变量 (时间，空间) 的微分算子
2 加权余量法
注：若
~ ~
A,B
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表示线性微分算子，
y(x)
即指：方程中未知函数
dy dx , d
2
及其各阶导数
y
2
Байду номын сангаас
, ...,
d
n
y
n
都是一次的，这种方程
dx
dx
称为线性微分方程。
2 加权余量法
~ ~
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齐次方程
g ( x, t) 0
~ ~
若要有非零解
某些参数取特定值
取决于问题定物理、几何特性。
2 加权余量法
微分方程的等效积分形式
控制微分方程
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Governing
x
~ ~
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工程计算领域 Zienkiewicz，Cheung，Bathe，Cook等进一步拓展了有限元方法， 利用Galerkin变分原理，求解只知道物理问题的本构关系，即偏微分方程 (Partial Different Equations, PDEs)/控制方程(Governing Equations) 和边界条件，但是变分的势能泛函尚未找到或者根本不存在的情况，使得 FEM可应用于几乎所有学科中的PDEs求解 ，真正成为一种计算工具。 Zienkiewicz (1921- )是需要特别提到的一位学者，他是英国威尔士 (Wales)大学土木工程学院教授，担任联合国教科文组织工程数值计算委员 会主席，他在工程FEM计算方面作出了卓越贡献，这些贡献主要体现在他的 600多篇论文与25部专著中。1968年创办FEM主流杂志《International Journal for Numerical Methods in Engineering》，有力地推动了有限元 在工程计算中的应用。
[1]Clough RW. Early history of the finite element method from the view point of a pioneer [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 60: 283-287