新北师大版九年级数学上册菱形的判定导学案

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北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》导学案：菱形的性质与判定

北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》导学案菱形的性质与判定（第一课时）【学习目标】1.理解菱形的定义；2.探索并证明菱形的性质定理；3.会利用菱形的性质进行计算和证明.【知识梳理】菱形的定义 1. 叫做菱形.菱形是的平行四边形.菱形的性质 2.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有条对称轴. 3.从菱形的定义可以探究菱形具有的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质.(2)菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质.特殊在“边”上的性质是：特殊在“对角线”上的性质：【典型例题】知识点一菱形的定义1.有一组_______相等的______________是菱形知识点二菱形的性质2.如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=6cm ，BD=8cm,求这个菱形的周长.3.如图,在菱形ABCD 中,过点B 作BE ⊥AD 于点E,BF ⊥CD 于点F.求证:AE=CF.【巩固训练】1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相垂直D.四个角都相等2.如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD 、AC 的中点，若EF ＝3，则菱形ABCDD A B C （2题图）的周长是（）A ．6 B.18 C ．24 D ．303.已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm ，则较短对角线的长是 .4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，若点A 的坐标为（12，13），则点C 的坐标是 .5.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD=120°，点E 是AB 的中点，点F 是AC 上的一动点，则EF+BF 的最小值是6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于 O ，∠BAD=60°BD=6，求AB 与AC 的长.7.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM 、DN ．（1）求证：四边形BMDN 是菱形；（2）若AB ＝4，AD ＝8，求菱形BMDN 的面积和对角线MN 的长．（2题图）（5题图）（4题图）（6题图）O A D C B （7题图）北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》导学案菱形的性质与判定（第二课时）【学习目标】掌握菱形的判定方法，并会解决有关的计算和证明.【知识梳理】一、从“对角线”和“边”两方面得到菱形的判定定理：菱形的判定定理（1）：菱形的判定定理（2）_____________________________二、独立证明菱形的判定定理（1）,(2).1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：求证：证明：2.四条边都相等的四边形是菱形 .已知：求证：证明：【典型例题】知识点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形1.四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD是菱形.知识点二：四条边都相等的四边形是菱形2.如图，在△ABC中，AC=BC,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，连接DE,DF.求证：四边形DFCE是菱形.【巩固训练】2题图1.下列条件中,能判断四边形是菱形的是( )A对角线相等的平行四边形 B对角线互相垂直且相等的四边形C对角线互相平分且垂直的四边形 D对角线互相垂直的四边形3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）2题图A 、AB=BCB 、AC=BC C 、∠B=60°D 、∠ACB=60°3.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC ，点E 是AH上一点，延长AH 至点F ，使FH ＝EH ．求证：四边形EBFC 是菱形．4.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的点，且BE ＝DF ，连接AE ，CF ．（1）求证△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ，若AB ＝AD ，求证：四边形AFCE 是菱形．5.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边BC ，AB 上的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝2DE ，连接CE 、AF ．（1）证明：AF ＝CE ；（2）当∠B ＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．3题图 3题图 5题图 4题图北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》导学案菱形的性质与判定（第三课时）【学习目标】1.掌握菱形的面积公式；2.会灵活运用菱形的有关知识进行计算和证明.【知识梳理】1. 菱形的面积公式如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，若把菱形ABCD 看成△ABD 和△BCD ，而AO 和OC 分别是它们的高：S 菱形ABCD =S △ABD +S △BCD = + =21BD × ，即菱形的面积等于乘积的。

九(上)1.1.1菱形的性质与判定导学案(新北师大版).doc

则相邻两角的度数为。

2、将一个长为10cm 宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线九（上）1.1.1菱形的性质与判定导学案（新北师大版）题§ 1.1.1菱形的性质与判定学习目标 1.我要掌握掌握菱形的概念.2.我要掌握菱形的性质：1.菱形的四条边相等；2.菱形的对角线互相垂直3.我要能够利用菱形的性质解决简单的问题学习重点菱形性质的探索过程学习难点学生数学说理能力的培养学习方法自主合作交流探究环节一自主学习行四边形的性质:3、菱形的性质:环节二交流展示二.交流展示 1、完成课本p2做一做，你有怎样的结论呢？ 2. 如图，四边形abcd 是边长为13 cm 的菱形，其中对角线bd 长10 cm,求：（1）对角线ac 的长度；（2）菱与判定环节三能力提升1、已知菱形周长为80, —对角线长20,习请同学们精读教材 p2-4的内容，回答问题：1、菱形的概念:.2 、平 4、菱形的四边;两条对角线，并形abed 的面积新北师大版九（上）1.1.1菱形的性质（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）a.新北师大版九（上） 1.1.1菱形的性质与判定b .新北师大版九（上）1.1.1菱形的性质与判定c .新北师大版九（上）1.1.1菱形的性质与判定d .新北师大版九（上）1.1.1菱形的性质与判定题§ 1.1.1菱形的性质与判定学习目标 1.我要掌握掌握菱形的概念.2.我要掌握菱形的性质：1.菱形的四条边相等；2.菱形的对角线互相垂直3.我要能够利用菱形的性质解决简单的问题学习重点菱形性质的探索过程学习难点学生数学说理能力的培养学习方法自主合作交流探究环节一自主学习.自主学习请同学们精读教材p2-4的内容，回答问题：1、菱形的概念: .2 、平行四边形的性质:3、菱形的性质:4、菱形的四边;两条对角线，并环节二交流展示二.交流展示1、完成课本p2做一做，你有怎样的结论呢？ 2. 如图，四边形abed是边长为13 cm的菱形，其中对角线bd长10 cm,求：（1）对角线ac的长度；（2）菱形abcd的面积新北师大版九（上）1.1.1菱形的性质与判定环节三能力提升1、已知菱形周长为80, —对角线长20,则相邻两角的度数为。

北师大版初中数学九年级上册《1 菱形的性质与判定菱形的性质》赛课导学案_1

第一章特殊的平行四边形§1.1 菱形的性质与判定（一）【一、教材依据】本节课是新版初中教材（2012年12月第一版）北师大版九年级上册，第一章特殊的平行四边形，第一节菱形的性质与判定第一课时的内容.【二、设计思路】教学模式和教学策略：本节课主要以“教师主导—学生主体”的教学思想为指导，采用讲授式、探究式学习、自主学习及合作学习等策略完成本节课的教学内容，教学步骤如下：知识回顾，情境导入→解决问题，探求新知→例题讲解，巩固新知→练习与提高→课堂小结→达标测试.指导思想和设计理念：以新课程标准所规定的教学原则为指导思想和理论依据，从学生的认知规律出发，依托现代信息技术，通过观察分析、小组交流讨论等活动，促使学生积极主动参与教学过程，充分发挥学生的个性和优势，使每个学生均有所收获.教材分析：本章是教材的一个系统延续，是继八年级下册最后一章（第六章）平行四边形的继续，本章研究特殊的平行四边形：菱形、矩形、正方形，那么在四边形的知识板块上就系统了.学情分析：九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质. 动手操作也有了一定的能力.其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础.【三、教学目标】（一）知识与技能：1.知道菱形在现实生活中有广泛的应用；2.熟记菱形的有关性质和识别条件，并能灵活应用.（二）过程与方法：经历探索菱形的性质和识别条件的过程，在观察、操作和分析的过程中，进一步增进主动探究的意识，体会说理的基本方法.（三）情感、态度与价值观：体会菱形的图形美．现代教学手段：同桌合作探究，学生多讲、多点评，教师指导【四、教学重点】菱形的性质的探究以及菱形性质的应用．【五、教学难点】灵活运用菱形的性质.【六、教学准备】资源收集：课本、导学案、教案书、教参所带的光盘等.课件制作：PPt制作菱形纸片【七、教学过程】一、知识回顾、导入新课教学内容：1.八年级下册最后一章我们讲了平行四边形，请问：平行四边形的性质有哪些？（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；（2）越国青铜器.1965年在湖北江陵望山1号墓出土.剑长55.7厘米.剑首为圆箍形，剑格正面用蓝色玻璃背面用绿松石嵌出花纹，剑身饰菱形暗纹.剑身有“越王勾践自作用剑”8 个鸟篆铭文.制作精良、犀利异常，是东周兵器中的精品，反映出越国当时制剑工艺的高水平.现藏于湖北省博物馆.3.下列图片中有你熟悉的图形吗？教学说明：1.让学生口答,老师板书；2.请一位同学朗读这段文字，老师说明：我们的祖先都在使用菱形形状的物品，说明菱形的美观；3.ppt 演示，学生欣赏、观察：这些图片中都含有菱形.设计目的：1.为后面学习菱形的性质做好铺垫；2.让学生了解有关知识，增强学生的爱国精神；3.学生欣赏生活中的有关图片，特别是最后一张图片是我们学校的大门，让学生有了亲切感，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣.形的定义，让学生先说，老师补充.设计目的：通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力.让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”.2.菱形性质的探究（1）想一想，再交流菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？菱形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分.中心对称图形. （平行四边形具有的性质）菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流.请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：①菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？②菱形中有哪些相等的线段？相等的角？有哪些等腰三角形？有哪些直角三角形？有哪些全等的三角形？已知四边形ABCD是菱形相等的线段：AB=CD=AD=BC ，OA=OC ，OB=OD相等的角：∠DAB=∠BCD ，∠ABC =∠CDA ，∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA全等三角形有：Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD（2）已知：如图1-1，在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD② ∵AB=AD ∴△ABD 是等腰三角形又∵四边形ABCD 是菱形 ∴OB=OD （菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD 中，∵OB=OD ∴AO ⊥BD即AC ⊥BD定理菱形的四条边都相等.定理菱形的两条对角线互相垂直.教学说明：学生随着问题一步一步探究，在学生探究的基础上，学生得出菱形具有的特殊性质，在活动中，尽可能让学生独立完成，必要时可以交流，教师只在适当的时候给予帮助.可以请一位同学板书证明过程.老师板书菱形的性质设计目的：由于采用了动手操作和图示的教学手段，在教师的引导下让学生观察，发现，用自己的语言表达出菱形的性质.通过实际问题情境，让学生亲身参加了探索发现，获取知识和技能的全过程.三、例题讲解，巩固新知教学内容：例：如图1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.解：∵四边形ABCD 是菱形∴AB=AD （菱形的四条边相等）AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直） 116322OB OD BD ===⨯= 在等腰三角形ABC 中∵∠BAD=60°∴△ABD 是等边三角形∴AB=BD=6在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2∴OA ==∴2AC OA ==.教学说明：请一位同学板书计算过程，老师和其他同学共同指出书写是否完整，再进行补充.一定注意学生说理的逻辑性.设计目的：这道题是对菱形性质的直接应用，让学生理解菱形的性质，并能用它来解决有关的问题.四、牛刀小试教学内容：1.菱形具有而平行四边形不一定有的性质是( B )(A)对角线互相平分 (B)四条边都相等(C)对角相等 (D)邻角互补2.已知:如图1-3,在菱形ABCD 中,直线AE 交边BC 于点E ，直线 AF 交CD 于点F,且BE=DF. 求证：∠1=∠2. 图1-3 证明：∵菱形ABCD∴AB=AD ，∠B=∠D在△ABE 和△ADF 中∴△ABE ≌△ADF∴AE=AF∴∠1=∠2.3.如图1-4，在菱形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O.已知AB=5cm ，AO=4cm ，求 BD 的长.解：∵菱形ABCD∴AC ⊥BD 即∠AOD=90°，且BD=2OD B D 图1-4在Rt△AOD中，由勾股定理得，3OD===∴BD=2OD=6.教学说明：师生共同完成牛刀小试，教学时，给学生留一定的时间思考.设计目的：让学生在老师的带领下完成练习，关注性质怎么应用，过程怎么书写.五、课堂小结内容：师生互相交流总结本节所学，菱形的定义、菱形的性质以及应用.教学说明：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）.设计目的：让学生对本节课有一个整体的感受.六、达标检测内容：1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_3cm_____.2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60度,则∠ABD＝ 60°_.3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（C ）A.10cmB.7cmC. 5cmD.4cm4.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD 边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ A ）(A)3.5 (B)4 (C)7 (D)145.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数. 72°C BDA O教学说明：给学生留一点时间，让他们独立完成，然后对一下答案，让组长统计错误的题，老师进行讲解.若时间充裕，可以让学生再做一做第4、5两题.这里可以抢答.设计目的：对学生今天所学知识的一个检测.【八、板书】§1.2 菱形的性质与判定（一）一、菱形的定义：二、平行四边形的性质（菱形的性质）（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；（2）另一边：定理的证明和例题的书写【九、教学反思】本节课的设计注重“双基”教学，着重培养学生的发展逻辑思维能力和语言表述能力，教学中给学生提供了一个个探究的“舞台”，让学生在自主探索和合作探索过程中得出结论，培养了学生合作交流的能力、动手操作的能力和有条理的表达能力，不但使学生主动获取知识，而且能感知到研究数学问题的一些基本方法.本节课学生对于菱形定义和性质的掌握还是比较扎实的，不足的是学生第一次录课，比较紧张，有一些同学没有积极发言.。

菱形的判定_导学案

19.2.2菱形的判定导学案【学习目标】1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．【学习重难点】菱形的两个判定方法．【学习过程】一、温故知新：1．菱形的定义：2.菱形的性质：边：__________________________;______________________________角：__________________________;______________________________对角线：______________________________________________________对称性：.二、学习新知：探究一：如图，四边形是菱形吗？为什么？归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过探究，容易得到：对角线的平行四边形是菱形证明上述结论：探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。

通过探究，容易得到：的四边形是菱形证明上述结论：例1.如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6求证:四边形ABCD是菱形.三、练习1.判断题，对的画“√”错的画“×”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（）(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（）(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）(4).对角线相等的四边形是菱形（）2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？求证：（1）四边形ABCD是平行四边形(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.(3) 求证：四边形ABCD是菱形.AB CDEF36．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．四、中考链接一、选择题1. （2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A 、一组临边相等的四边形是菱形B 、四边相等的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形故选B ．2. （2011•莱芜）如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB=CD ．下列结论：①EG ⊥FH ，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分∠EHG ，④EG=21（BC ﹣AD ），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、4 故选C ．3.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ．D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形故选：B ．4. (2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是( ) A ．菱形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．矩形 D ．对角线相等的四边形故选D ．5.（2011清远）如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（）A.AB ＝CDB.AD ＝BCC.AB ＝BCD. AC ＝B D 故选C ．二、填空题1. （2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，18c m 2．若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于2. （2011福建省三明市，14,4分）如图，▱ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ，添加一个条件，能使▱ABCD 成为菱形．你添加的条件是（不再添加辅助线和字母）故答案为：AB =BC 或AC ⊥BD 等．三、解答题1. （2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC =CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．解答：证明：∵AD ⊥BD ， ∴△ABD 是Rt △ ∵E 是AB 的中点，∴BE =12AB ，DE =12AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE =DE ，∴∠EDB =∠EBD ， ∵CB =CD ，∴∠CDB =∠CBD ， ∵AB ∥CD ，∴∠EBD =∠CDB ，∴∠EDB =∠EBD =∠CDB =∠CBD ， ∵BD =BD ，∴△EBD ≌△CBD （S A S ）， ∴BE =BC ，∴CB =CD =BE =DE ， ∴菱形BCDE ．（四边相等的四边形是菱形） 2. （2011新疆乌鲁木齐）解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD 且AB ＝CD ，AD ∥BC 且AD ＝BC∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴BE ＝21AB ，DF ＝21CD ， ∴四边形DEBF 是平行四边形在△ABD 中，E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝21AB ＝AD ，而∠DAB ＝60°∴△AED 是等边三角形，即DE ＝AE ＝AD ，故DE ＝BE ∴平行四边形DEBF 是菱形．（2）四边形AGBD 是矩形，理由如下：∵AD ∥BC 且AG ∥DB ∴四边形AGBD 是平行四边形由（1）的证明知AD ＝DE ＝AE ＝BE ，∴∠ADE ＝∠DEA ＝60°， ∠EDB ＝∠DBE ＝30° 故∠ADB ＝90° ∴平行四边形AGBD 是矩形． 3.（2011云南保山）解答：解：是菱形．理由如下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，且PE=PF ， ∴AC 是∠DAB 的角平分线， ∴∠DAC =∠CAE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB ， ∴∠DAC=∠DCA ， ∴DA=DC ，∴平行四边形ABCD 是菱形．4. （2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由．解答：（1）证明：如图，∵AE 平分∠BAD ，∴∠1=∠2，∵AB=AD ，AE=AE ， ∴△BAE ≌△DAE ， ∴BE=DE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠3=∠1， ∴AB=BE ，∴AB=BE=DE=AD ，∴四边形ABED 是菱形．（2）解：△CDE 是直角三角形．如图，过点D 作DF ∥AE 交BC 于点F ，则四边形AEFD 是平行四边形， ∴DF=AE ，AD=EF=BE ， ∵CE=2BE ， ∴BE=EF=FC ， ∴DE=EF ，又∵∠ABC=60°，AB ∥DE ， ∴∠DEF=60°，∴△DEF 是等边三角形， ∴DF=EF=FC ，∴△CDE 是直角三角形．5. （2011•安顺）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF=CE=AE ．（1）说明四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠AEF=∠EAC，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．又∵AE=EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．6. （2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形．解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是菱形．（2）∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴平行四边形AODE是矩形．故答案为：矩形．7. （2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．解答：证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；证明：（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．8. （2011丽江市中考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？解答：解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠CAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．9. （2011浙江宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝21AB，CF＝21CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF，（2）∵∠G＝90°，∴四边形AGBD是矩形，∠ADB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四边形DEBF是菱形．10. （2011浙江衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．解答：（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE=BD又∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD∴AE∥CD，且AE=CD∴四边形ADCE是平行四边形∴AD=CE（2）证明：∵∠BAC =Rt ∠，AD 上斜边BC 上的中线， ∴AD =BD =CD又∵四边形ADCE 是平行四边形 ∴四边形ADCE 是菱形11. （2011•安顺）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF=CE=AE ．（1）说明四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF ∥CA ，∴∠AEF=∠EAC ， ∵AF=CE=AE ，∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA ．又∵AE=EA ，∴△AEC ≌△EAF ， ∴EF=CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=21AB ，∵DE 垂直平分BC ， ∴BE=CE ，又∵AE=CE ，∴CE=21AB ，∴AC=CE ，∴四边形ACEF 是菱形．12. （2011•恩施）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，BC=CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q ．求证：四边形APCQ 是菱形．解答：解：∵AC=AD ，AF 是CD 边上的中线， ∴∠AFC=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°， ∵∠ACF+∠PCA=90°， ∴∠PCA=∠CAF ， ∴PC ∥AQ ，同理：AP ∥QC ，∴四边形APCQ 是平行四边形． ∵△PEC ≌△QFC ， ∴PC=QC ，∴四边形APCQ 是菱形． 13. （2011邵阳）解答：（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．证明：连接AC 、BD ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥AC ，EF =21AC ，HG ∥AC ，HG =21AC ，GF =21BD ，∴EF =HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．（2）添加的条件是AC =BD ．。

九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定导学案2(新版)北师大版(2)

第一章特殊平行四边形第1节菱形的性质与判定（二）第2课时菱形的判定【学习目标】1、理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2、在菱形判定方法的探索与综合应用中，锻炼学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。

【学习重点】菱形的两个判定方法。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、菱形的性质：①菱形具有的一切性质。

②菱形的四条边都。

③菱形的对角线，并且每条对角线都一组对角。

二、自主学习阅读教材后，解答下列问题：1、菱形的定义：有一组的平行四边形是菱形。

（定义是性质，也是判别。

）2、菱形的判定：（1）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。

转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过探究，容易得到：对角线的平行四边形是菱形。

（2）李阳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。

通过探究，容易得到：四边的四边形是菱形。

【我的疑惑】模块二合作探究1、如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5，AC=8，DB=6。

求证：四边形ABCD是菱形。

2、如图，两张等宽（即AE=AF）的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？求证：（1）四边形ABCD是平行四边形；（2）四边形ABCD是菱形。

模块三、小结反思讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？1.知识：2.方法：模块四、形成提升1、若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A、AB＝CDB、AD＝BCC、AB＝BCD、AC＝BD2、已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。

求证：（1）△AOE≌△COF；（2）四边形AFCE是菱形。

【拓展延伸】1、已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F ，求证：四边形CDEF 是菱形。

九(上)1.1.1菱形的性质与判定导学案(新北师大版)数学教案

九（上）1.1.1菱形的性质与判定导学案（新北师大版）数学教案标题：九（上）1.1.1 菱形的性质与判定导学案（新北师大版）数学教案一、教学目标1. 学生能够理解菱形的概念，掌握菱形的性质和判定方法。

2. 学生能够通过观察、操作、思考等活动，提高空间想象能力和逻辑推理能力。

3. 学生能够在解决实际问题的过程中，体验数学在生活中的应用。

二、教学重难点重点：理解和掌握菱形的性质和判定方法。

难点：运用菱形的性质和判定方法解决实际问题。

三、教学过程(一) 导入新课教师引导学生回顾平行四边形的相关知识，然后提出问题：“如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是什么形状？”引出菱形的概念。

(二) 新课讲授1. 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2. 菱形的性质：(1) 对角线互相平分；(2) 对角线互相垂直；(3) 对角线平分一组对角。

3. 菱形的判定：(1) 四边都相等的四边形是菱形；(2) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3) 对角线互相平分且一组对角线平分一组对角的四边形是菱形。

(三) 练习巩固教师给出一些题目让学生练习，包括判断是否为菱形，求菱形的面积，解菱形的问题等。

同时，教师要引导学生将所学知识应用到实际生活中，如设计装饰图案、制作工艺品等。

四、小结总结本节课的主要内容，强调菱形的性质和判定方法，并鼓励学生在日常生活中寻找和利用这些知识。

五、作业布置布置一些关于菱形的练习题，以帮助学生巩固所学知识。

六、教学反思在教学过程中，教师要注意观察学生的反应，了解他们的学习情况，以便及时调整教学策略。

同时，教师也要反思自己的教学方法，看是否能更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。

数学北师大版九年级上册菱形的判定学案

《菱形的判定》导学案姓名：_________________一、学习目标1. 探索验证菱形的三个判定依据，体会从一般到特殊的思考问题的方法．2. 了解证明几何问题的思路和方法，提升演绎推理能力．3. 能灵活运用菱形的判定定理．二、学习过程 1. 温故知新复习1：菱形的定义：___________________________________是菱形．复习2：菱形有哪些性质？边：____________________________________________________________；角：____________________________________________________________；对角线：________________________________________________________．请从菱形的性质中，勾画出菱形相对于平行四边形的特殊处． 2. 探索新知菱形的判定依据1（_______）：__________________________________________________．条件：__________________________________________________．探究活动1：已知平行四边形ABCD ，补充条件_______________，可判断其为菱形．已知：平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且_____________．求证：平行四边形ABCD 为菱形．分析思路：解答过程：A总结：（1）菱形的判定依据2：__________________________________________________．条件：__________________________________________________．（2）分析解决几何证明问题的方法：__________________________________________________．练习. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O. AB =2OA =，1OB =. 求证：平行四边形ABCD 为菱形．探究活动2：________________________的四边形是菱形．已知：如图，四边形ABCD 中，______________________．求证：四边形ABCD 为菱形．总结：菱形的判定依据3：__________________________________________________．条件：__________________________________________________．3. 新知运用活动：利用我们探索的三个判定依据，用一张长方形折剪出一个菱形，用笔描出折剪痕迹．并说明为什么你折剪出的图形是菱形．4. 课堂小结问题1. 这节课你学到了哪些知识？问题2. 这节课你学到怎样的方法分析解决几何证明问题？AA。

北师大版九年级数学上精品导学案(可打印)1.1.2菱形的判定导学单

九年级数学导学案班级：姓名: 【学习课题】 §1.1 菱形的性质与判定（二）【学习目标】1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.【学习重点】经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．【学习难点】会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 【学习过程】一、温故知新1、菱形的定义：的平行四边形叫做菱形。

2、如图,已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD 的周长为 cm.3、平行四边形的判定：①两组对边的四边形是平行四边形。

②两组对边的四边形是平行四边形。

③一组对边的四边形是平行四边形。

④两组对角线的四边形是平行四边形。

4、线段垂直平分线的性质：5、如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,则只需补充条件就可以判定它是一个菱形.6、在白纸上用尺规作图做出一个边长为10cm 的菱形。

7、想办法用一张长方形纸折剪出一个菱形。

二、探究新知【探究】菱形的判定： 1、求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

已知：求证：证明：2、求证：四边相等的四边形是菱形。

已知：求证：证明：三、应用提升1、已知：如图，ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=5，OA=2，OB=1。

求证：ABCD 是菱形。

2、直击中考：（2017河南）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有（）A ．AC⊥BDB ．AB=BC C ．AC=BD D ．∠1=∠2四、归纳小结菱形的判定①：的平行四边形叫做菱形。

②：的平行四边形是菱形。

③：的四边形是菱形。

五、课后作业1、P7：习题1.2第1题2、P7：习题1.2第2题3、P7：习题1.2第3题*4、（2017贵阳）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是边BC、AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF。

新北师大版九年级数学上册 11菱形的性质与判定(一) 导学案(无答案)

新北师大版九年级数学上册11菱形的性质与判定（一）导学案
学习目标1、菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质外，还具有特殊的性质。
2、理解菱形的性质定理，运用菱形的定义和性质定理进行证明与计算。
一知识链接：
平行四边形的性质：已知一个四边形是平行四边形，它有哪些性质：
（1）（2）
（3）（4）（能以图说明：）
（2）在菱形ABCD中，已知∠ABC=60°,AC=4，则AB=。
（３）已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1 ：2，则BD=cm.（４题）
（４）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，
（如图）则∠EAF=_____
（５）菱形ABCD，若 ∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是_______
练习：如图1，在菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=60°，则AC长为________。
（3）对角线：①__ ___________________________________（平行四边形性质）
根据__________________________________性质得到下面结论：
②______________________________________（两条对角线的位置关系）
3.目标三：例题学习
导读：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点０，∠ＢAＤ=60°， BＤ=６，求菱形ABCD的边长和对角线AC的长。
解：
D
B
A
C
记录：
三、拓展提升
如图，在菱形ABCD中，BD=6， AC=8，求菱形ABCD的周长。
四、课堂小结
1、知识归纳：

九（上）1.1.2菱形的性质与判定导学案（新北师大版）

九（上）1.1.2菱形的性质与判定导学案（新北师大版）
题
§1.1.2菱形的性质与判定
学习目标
1.我要掌握菱形的判定定理(1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；2、四边相等的四边形是菱形)并解决实际问题，会根据已知条件画出菱形.
2.我要能够运用综合法证明菱形的判定定理及其推论（对角线垂直的平行四边形是菱形）.
学习重点
我要掌握严格证明菱形判定定理及其推论.
学习难点
我要运用综合法解决菱形的相关题型.
学习方法
自主合作交流探究
环节一
自主学习
一.自主学习
1、
新北师大版<wbr>九（上）1.1.2菱形的性质与判定菱形的对边 .
菱形的四边 .
菱形的性质：菱形的对角线 .
菱形是对称图形.
菱形的面积= 或菱形的面积=
2、菱形与平形四边形的区边与联系？
3、菱形是轴对称图形，它的对称轴有_____条
环节二
交流展示
新北师大版<wbr>九（上）1.1.2菱形的性质与判定探究一：如图，四边形是菱形吗？为什么？
结论：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
新北师大版<wbr>九（上）1.1.2菱形的性质与判定通过探究，容易得到：对角线的平行四边形是菱形。

九年级数学上册 1.1 菱形的判定(第2课时)导学案 (新版

菱形的判定【学习目标】1．理解并掌握菱形的定义及两种判定方法．2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．3．经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，发展学生主动探究的思想并了解说理的基本方法．4．培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．【学习重点】菱形的两个判定方法．【学习难点】判定方法的证明及运用．情景导入生成问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：性质1：菱形的四条边都相等；性质2：菱形的对角线互相垂直．自学互研生成能力知识模块一探索菱形的判定方法先阅读教材P5－6页内容，然后完成下面的问题。

运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？答：2个条件：(1)该四边形是平行四边形；(2)该平行四边形有一组邻边相等．1．活动1：探下列步骤画出一个平行四边形：(1)画一条线段长AC＝6cm；(2)取AC的中点O，再以点O为中点画另一条线段BD＝8cm，且使BD⊥AC；(3)顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.猜猜你画的是什么四边形？归纳结论：菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：(1)该四边形是一个平行四边形；(2)该四边形的两条对角线互相垂直．2．证明菱形的判定方法1已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)．3．活动2：画一画，作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？归纳结论：菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形．4．证明菱形的判定方法2已知：如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA.求证：四边形ABCD 是菱形．证明：∵AB＝CD ，AD ＝BC.∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形(菱形定义)．知识模块二菱形判定定理的应用解答下列各题：1．边长等于2cm 的两个等边三角形拼成的四边形一定是一个__菱__形．2．已知四边形ABCD 满足条件AB ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ，则四边形ABCD 的形状一定是菱形．典例讲解：已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别与AD 、AC 、BC 相交于点E 、O 、F.求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四形边ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ，在△AOE和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF，∴△AOE ≌△COF(ASA )，∴AE ＝CF ，∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴▱AECF 是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．对应练习：如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD. 求证：四边形ADCE 是菱形．证明：∵MN 是AC 的垂直平分线．∴DA＝DC ，OA ＝OC ，∠AOD ＝∠EOC＝90°，∵CE ∥AB ，∴∠DAO ＝∠ECO，∴△ADO≌△CEO(ASA )，∴AD ＝CE.∴四边形ADCE 是平行四边形．又∵DA＝DC ，∴▱ADCE 是菱形．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索菱形的判定方法知识模块二菱形判定定理的应用检测反馈达成目标1．如图，可以确定四边形ABCD是菱形的条件是( B)A．AB＝BC，CD＝BDB．∠1＝∠2＝∠3＝∠4C．AB＝CD，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD(第2题图)2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝5，OA＝3，OB＝4，则▱ABCD的周长是__20__．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．证明：由AD⊥BC，BD＝CD，得AB＝AC.再由中位线得证四边形AEDF是平行四边形，AE＝AF.∴平行四边形AEDF是菱形．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定的综合(第3课时)

菱形的性质与判定的综合1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.阅读教材P8-9，能灵活运用菱形的性质及判定.自学反馈1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC=120°，求AC的长.(4)菱形ABCD的面积.活动1 小组讨论例1 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴A C⊥BD,即∠AED=90°，DE=12BD×10=5（cm）∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：222213512(). AE AD DE cm =-=-=∴AC=2AE=2×12=24(cm).（2）S菱形ABCD= S△ABD+ S△CBD=2×S△ABD=2×12×BD×AE= BD×AE=10×12=120(cm2).菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.活动2 跟踪训练1.如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC=°，AC= cm.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是cm2．3. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC ⊥CD与AE交于点P,QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？【预习导学】自学反馈解：(1)6.(2)垂直平分.6.(3)318.(4)3【合作探究】活动2 跟踪训练51.120°32.163.解：由AB=AC=AD，可知△ABC、△ADC是等腰三角形．∵AE是∠BAC的角平分线，AF是CD边上的中线，则∠AEC＝∠AFC＝90°．∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠QCE＝∠PCD＝90°．∴AE∥QC，PC∥AF，∴四边形APCQ是平行四边形．在Rt△PEC和Rt△QFC中，∠PEC＝∠QFC＝90°，∠PCE＝90°－∠PCQ＝∠QCF，由BC=CD，可知EC＝CF，∴Rt△PEC≌Rt△QFC，∴PC＝CQ．∴平行四边形APCQ是菱形．。

北师大版九年级上册数学第2课时菱形的判定导学案2(2)

第2课时菱形的判定一、学习准备：你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？边：__________________________;______________________________ 角：__________________________;______________________________ 对角线：_____________________________________________________对称性：二、学习目标：1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法，明确菱形证明的三种切入方式；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．三、自学提示：（一）、自主学习：1.（菱形的判定方法一）菱形的定义：有的叫做菱形. 2.用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD 是四边形 ∵ ___ ＝____ ∴四边形 ABCD 是菱形3.如图在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，过D 作DE ∥AC 交AB 于E 点, 过D 作DF ∥AB 交AC 于F 点. 求证：（1）四边形AEDF 是平行四边形（2）∠2﹦∠3（3）四边形AEDF 是菱形（二）：合作探究推证菱形判定二、三，并会用该种方法进行有关的证明.1.对角线互形是四边形，如果两条对角线又互相垂直，那么这个四边形的邻边有什么关系，所以如果平行四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形一定是形。

你能用定义证明这个结论吗？（口述你的理由）于是我们等到菱形的判定定理二： 2.用符号语言可以表示为：3.四条边相等的四边形是平行四边形吗？是菱形吗？你能用定义说明理由吗？于是我们等到菱形的判定定理三：4.用符号语言可以表示为：四、学习小结：1.总结分析：三个定理是证定理，条件对比⑴平行四边形+邻边的数量关系（相等）⑵平行四边形+对角线的位置关系（垂直）⑶四条边的数量关系（相等）。

1.1 菱形的性质与判定第2课时菱形的判定学案 2024-2025北师大版九年级数学上册

1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定1.理解并掌握菱形的判定方法.2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.（重点）3.经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，体会说理的基本方法.（难点）一、复习导入菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：1.四条边都相等；2.两条对角线互相垂直；3.菱形是轴对称图形.二、探索新知活动一除了运用菱形的定义，你能找出判定菱形的其他方法吗？猜想1如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形.已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形（菱形的定义）.判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.设计意图：教材提出的问题具有一定的开放性.由于要判定的图形是平行四边形，因此若考虑边，则容易想到满足的条件是一组邻边相等，这就是定义；若考虑对角线，则可能受性质的启发，想到满足的条件是对角线互相垂直.教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格的证明.活动二除了运用对角线，你还有其他判定菱形的方法吗？猜想2四边相等的四边形是菱形.已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.思考：这里的条件能否再减少一些呢？能否像类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的.判定定理2四边相等的四边形是菱形.证明思路：先证明四边形是平行四边形，再证明它是菱形.教学时应鼓励学生先独立完成，再进行展示交流.活动三如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？有同学是这样做的：先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形.你知道其中的道理吗？设计意图：鼓励学生利用菱形的判定方法，设计制作菱形的方案，并说明已知制作菱形方案的正确性.三、掌握新知例已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝√5，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形.证明：在△AOB中，∵AB＝√5，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝OA2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.设计意图：这是菱形判定定理的直接应用，教学时关注证明思路的探寻与分析：已知四边形ABCD是平行四边形，再具备什么条件就可以成为菱形呢？由已知条件可以证明邻边相等吗？可以证明对角线垂直吗？四、巩固练习1.已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别与AD ，AC ，BC 相交于点E ，O ，F .求证：四边形AFCE 是菱形.证明：∵EF 垂直平分AC ，∴AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，即AE ∥FC .∴∠AEO ＝∠CFO .∴△AEO ≌△CFO .∴OE ＝OF .又∵AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形.又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形.2.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD .又∵点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，∴OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，OF ＝12OB ，OH ＝12OD .∴OE ＝OG ，OF ＝OH .∴四边形EFGH 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 又∵AC ⊥BD ，即EG ⊥HF ，∴四边形EFGH 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.五、归纳小结。

新北师版初中数学九年级上册1.1第2课时菱形的判定公开课优质课导学案

第2课时菱形的判定学习目标：1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.重点：掌握并会应用菱形的判定方法.难点：菱形判定方法的应用.【预习案】课前预习你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？边：__________________________;______________________________角：__________________________;______________________________对角线：_____________________________________________________对称性：【探究案】1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.证明：ADBC我发现, 的四边形是菱形。

2.如下图,在□ABCD 中,若AC ⊥BD,则□ABCD 是什么图形? 证明：我发现, 的平行四边形四边形是菱形. 菱形的判定方法:1、的四边形是菱形符号语言 2、的平行四边形是菱形符号语言课堂活动活动1 预习反馈活动2 例习题分析例 □A BCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB=5，AO=4,OB=3.求证：□ABCD 是菱形。

平行练习1、一个平行四边形的一条边长是15，两条对角线的长分别是12和9，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求它的面积。

oABCDoABCD归纳：S 菱形= =2、如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD 是一个菱形吗？为什么？【训练案】课后巩固1、如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD,且交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，且交AE 于点D ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是菱形。

2、如图，四边形ABCD 是菱形，点M,N 分别在AB,AD 上，且BM=DN,MG ∥AD,NF ∥AB,点F,G 分别在BC,CD 上，MG 与NF 相交于点E.求证：四边形AMEN,EFCG 都是菱形。

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2、习题1.2第1题.
课后反思
理解并掌握菱形的判定方法；会用判定方法进行有关的论证和计算。
学生自主学习学案
课堂同步导案
一、自主学习：
1．菱形的定义：
。定义既可以看成性质，也可以看成。
2.菱形的性质：
二、合作探究：
1、根据菱形的定义，的平行四边形是菱形。
除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个平行四边形是菱形？先想一想，再交流。
定理：的平行四边形是菱形。
（合作完成证明过程）
已知：
求证：
证明：
2、已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？与大家进行交流。（也可以展示）
3、定理：的四边形是菱形。
（合作完成证明过程）
已知：
求证：
证明：
4、看课本“做一做”，说说小颖这样做的道理.
学以致用：
如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5，AC=8，DB=6
苏东中学导学案
励志语言:不为失败找理由，要为成功找方法
科目
数学
课题
菱形的判定
时间
09.02
编号
02
主备人
王冰琦
审核人
胡盟国
张文超
班级
姓名
学习
目标
1．理解并掌握菱形的判定方法；会用判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
教学重难点
求证:四边形ABCD是菱形.
三、课堂检测：
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（）
(2)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱AD交AB于E．求证：四边形AECD是菱形；
四、课后作业：
1、随堂练习。