北京中考数学大串讲
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题02 一元二次方程
x
7 2
x1
7 2 , x2
7 2
（2） x2
3x
2
x2
3x
3 2
2
2
3 2
2
x
3
2
2
17 4
x
3 2
17 x 3
2
2
17 2
x1
3 2
17 2
,
x2
3 2
17 2
知识大全
考点三 用公式法求解一元二次方程
1.求根公式 一元二次方程
，当
时，
2.判别式
一元二次方程根的判别式：
．
①当
解：
如果关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0a 0 有一个根是 1，
（1） 3x2 4x 4 0
那么我们称这个方程为“方正方程”.
二次项系数化 1，得x2 4 x 4 0 ， 33
移项，得 x2 4 x 4 ， 33
配方，得
x2
4 3
x
4 9
4 3
4 9
，即
x
2 3
2
16 9
＞0 时，原方程有两个不等的实数根
；
②当
时，原方程有两个相等的实数根
；
③当
时，原方程没有实数根.
3.公式法步骤
用公式法解关于x的一元二次方程
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定 a、b、c的值（要注意符号）；
③求出
的值；
④若
，则利用公式
的步骤： 求出原方程的解；
若
，则原方程无实根.
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考点三 用公式法求解一元二次方程
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考点二 用配方法求解一元二次方程
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题01 丰富的图形世界
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
【变式训练1】如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是 圆锥
，
这其中蕴含的数学事实是 面动成体
．
知识大全
正方体的11种展开图
考点二 展开与折叠
知识大全
考点二 展开与折叠
【典例讲解】
(3)由此猜想棱柱有___n__2___个面，____3_n___条棱，____2_n___个顶点．
(4)你发现棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？
棱柱的面数+顶点数-棱数 2
知识大全
考点一 生活中的立体图形
【变式训练】(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），填写下表中空缺 的部分：
3.求几何体的表面积或体积
（1）圆柱表面积： S表 2rh r2 圆柱体积： V r2h
（2）圆锥体积： V 1 r2h
3
由直角三角形绕一条直角 边旋转一周得到
由一个长方形绕一条边旋转得 到
认识知作者识 大 全
4.几何体的分类
（1）按形状分类 柱体：圆柱和棱柱； 锥体：圆锥和棱锥； 球体:球
【变式训练1】从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示，
(1)写出这个几何体的名称：_圆柱_____； (2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留Π）
侧面积为 6π ；表面积为 8π
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考点二 展开与折叠
【变式训练2】如图，这是一个长方体的表面展开图．（单位：cm）
（1）这个长方体的表面有 4 个完全相同的长方形． （2）它的表面积是 256 平方厘米，体积是 256 立方厘米
中考数学考点大串讲(北师大版)：勾股定理必刷易错30题(解析版)
专题01勾股定理（易错30题3种题型）一、探索勾股定理1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）在ABC 中，5AB AC ，6BC ，D 是BC 的中点，则ABC 的面积为（）A ．12B ．24C ．10D ．20【答案】A【分析】如图，过A 作AD BC 于,D 证明224,3,CD BD AD AC CD再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，过A 作AD BC 于,D 5,6AB AC BC ，∴223,4,CD BD AD AC CD ∴116412.22ABC S BC AD 故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，证明CD BD 是解本题的关键．2．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（）A ．13B ．14C ．15D ．26【答案】A 【分析】分别设正方形F 、G 、E 的边长为x 、y 、z ，由勾股定理得出29x ，26y ，222z x y ，即最大正方形E 的面积为2z ．【详解】解：如图，分别设正方形F 、G 、E 的边长为x 、y 、z ，则由勾股定理得：2358x ，2235y ，222z x y ，即最大正方形E 的面积为：28513z ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．（2023春·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，CE 平分ACB 交AB 于点E ，CF 平分ACD ，EF BC ∥，EF 交AC 于点M ，若5CM ，则22CE CF （）A ．75B ．100C ．120D ．125【答案】B 【分析】根据角平分线的定义推出ECF △为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得222CE CF EF ，进而可求出22CE CF 的值．【详解】解：CE ∵平分ACB ，CF 平分ACD ，12ACE ACB ，12ACF ACD ，即1()902ECF ACB ACD ，EFC 为直角三角形，又EF BC ∥∵，CE 平分ACB ，CF 平分ACD ，ECB MEC ECM ，DCF CFM MCF ，5CM EM MF ，10EF ，由勾股定理可知222100CE CF EF ．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出ECF △为直角三角形．4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）在ABC 中，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且4,5,7a b c ，则ABC 的面积为．【答案】46【分析】作CD AB 于点D ，设AD x ，则7BD x ，先根据2222AC AD BC BD 求出x ，再求出CD ，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作CD AB 于点D ，设AD x ，则7BD x ，由勾股定理得，2222AC AD BC BD ，∴ 2222547x x ，解得297x =，∴22222986577CD AC AD，∴ABC 的面积为∶1186746227AB CD ．故答案为：46．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么222 a b c ．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．5．（2023春·海南海口·八年级统考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90BAC ，4BC ，分别以AB AC 、为直径作半圆，面积分别记为1S 、2S ，则12S S ．【答案】2π【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知12S S 等于以斜边为直径的半圆面积．【详解】解：2222121111228228AB AC S AB S AC ，所以 2221211288S S AC AB BC ，故答案为：2π．【点睛】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．6．（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，把一块等腰直角三角形零件（ABC ，其中90ACB ），放置在一凹槽内，三个顶点A 、B 、C 分别落在凹槽内壁上，已知90ADE BED ，测得3cm 4cm AD BE ，，该三角形零件的面积为2cm ．【答案】12.5/1122/252【分析】先证明ACD CBE ≌得到4cm CD BE ，利用勾股定理求出5cm AC ，再根据三角形面积公式进行求解即可．【详解】解：∵90ACB ，∴90DCA ECB ，∵90ADE BED ，∴90DAC DCA ，∴DAC ECB ，又∵AC CB ，∴ AAS ACD CBE △≌△，∴4cm CD BE ，在Rt ADC 中，由勾股定理得225cm AC AD CD ，∴2112.5cm 2ABC S AC BC △，∴该三角形零件的面积为212.5cm ，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明ACD CBE ≌得到4cm CD BE 是解题的关键．7．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，在55 的正方形网格中，每一个小正方形的顶点为格点，且每一个小正方形的边长为1四边形ABCD 为格点四边形．(1)求AD 的长；(2)仅用无刻度的直尺过点C 作CE AD ，垂足为E ，并简单说明理由．【答案】(1)5(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）选取格点,,,F H G M ，作射线,MF GH ，两射线的交点为I ，连接CI 交AD 于点E ，则点E 为所求的点．【详解】（1）解：由图可知，AD 是直角边分别为3,4的直角三角形的斜边故22345AD （2）解：选取格点,,,F H G M ，作射线,MF GH ，两射线的交点为I ，连接CI 交AD 于点E ，则点E 为所求的点．取格点,K L ，∵4,3,90IK AL CK DL CKI DLA∴IKC ALD△≌△KIC DAC90DAC ACE KIC ACECE AD【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．熟记相关数学结论是解题关键．8．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）如图，在Rt ABC △中，90C ，AM 是中线，MN AB ，垂足为点N ，求证：222AN BN AC ．【答案】见解析【分析】在直角三角形BNM 和ANM 中利用勾股定理可以得到222BN BM MN ，222AN AM MN ，然后得到22222222()()BN AN BM MN AM MN BM AM ；又在直角三角形AMC 中，222AM AC CM ，代入前面的式子中即可得出结论．【详解】解：证明：MN AB ∵于N ，222BN BM MN ，222AN AM MN 2222BN AN BM AM ，又90C ∵，222AM AC CM 22222BN AN BM AC CM ，又BM CM ∵，222BN AN AC ，即222AN BN AC ．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的中线；熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．9．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，长方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，若5AE ，3BF ，求CD 的长【答案】9【分析】由折叠的性质可知5EF AE ，再结合勾股定理即可求解．【详解】解：由折叠的性质可知5EF AE ．∵四边形ABCD 为长方形，∴90B Ð=°，AB CD ，∴2222534BE EF BF ，∴549CD AB AE BE ．即CD 的长为9．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．10．（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）如图，一文物C （看作一点）被探明位于地面A 点垂直往下36米处，由于A 点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A 点15米的B 处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC 上，则要取出文物C 至少要挖（）A ．39米B ．3119米C ．42米D ．51米【答案】A 【分析】根据题意可知：14,4890AB AC BAC ，，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵14,4890AB AC BAC ，，∴2222153639BC AB AC ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成勾股定理是解题的关键．11．（2023春·河北保定·八年级校考期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图，在用弦图验证勾股定理时，用到的面积相等关系是（）A ．ABH EFGHS S 正方形△B ．ABCD EFGH S S 正方形正方形C ．4ABH EFGH ABCDS S S 正方形正方形△D ．2ABH ABCD EFGHS S S 正方形正方形△【答案】C 【分析】设DE AH BG CF a ，AE BH CG DF b ，根据题意求出224ABH EFGH S S a b 正方形 ，22ABCD S a b 正方形，进而求解即可．【详解】设DE AH BG CF a ，AE BH CG DF b ，∴ 2221442ABH EFGH S S b a ab a b 正方形 ，22222ABCD S AD DE AE a b 正方形，∴4ABH EFGH ABCD S S S 正方形正方形△．故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．（2023秋·全国·八年级专题练习）边长为1的正方形OABC 在数轴上的位置如图所示，点B 表示的数是（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B 【分析】由于正方形OABC 的边长为1，可知OAB 为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出OB 的长，即可得到B 点表示的数．【详解】解：∵正方形OABC 的边长为1，∴在等腰直角OAB 中，22112OB =+=．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形OABC 为正方形判断出OAB 为直角三角形是解题的关键．13．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（）A ．5尺B ．6尺C ．8尺D ．10尺【答案】D【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．【详解】解：设绳索长为x 尺∴根据题意得： 22248x x 解得10x ．∴绳索长为10尺，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．14．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、12cm ，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm ，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间（包括3cm 与5cm ，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L 的范围是．【答案】16cm 17cmL 【分析】当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为12cm ，则15cm 17cm L ；如图，当吸管底端位于点A 时，位于盒体内的长度最长，经过点A ，D ，E 的截面如下图1，根据勾股定理分别求得，5cm DE ，Rt ADE △中，13cm AE ，则16cm 18cm L ；综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端底端位于点A 时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为16cm 17cm L .【详解】解：当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为12cm ，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间，则15cm 17cm L ；如图，当吸管底端位于点A 时，位于盒体内的长度最长，经过点A ，D ，E 的截面如下图1，如图2为长方体上底面，5cm DG ，4cm CG ，1cm EH CH JG ，∴4cm DJ DG JG ，3cm JE GH CG CH ，∴225cm DE DJ JE ．如图１，Rt ADE △中，222212513(cm)AE AD DE ，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间，则16cm 18cm L ；综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端位于点A 时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为16cm 17cm L .【点睛】本题考查长方体的截面图，勾股定理；具备一定的空间想象能力，熟练勾股定理的运用是解题的关键．15．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为．【答案】120【分析】根据勾股定理求出AE 的长度，再根据三角形的面积公式求出AEF △的面积，即可求出阴影部分面积．【详解】解：在Rt AEF 中，222213125AE EF AF ，∴110251232AEF S AE AF ，∴阴影部分的面积430120 ．故答案是：120．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．16．（2023春·全国·八年级期末）如图，长方形ABCD 的边AD 在数轴上，若点A 与数轴上表示数1 的点重合，点D 与数轴上表示数4 的点重合，1AB ，以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E ，则点E 表示的数为．【答案】110 /101【分析】根据勾股定理计算出AC 的长度，进而求得该点与点A 的距离，再根据点A 表示的数为1﹣，可得该点表示的数．【详解】解：在长方形ABCD 中，1(4)31AD AB CD ，，∴22223110AC AD CD ，则点A 到该交点的距离为10，∵点A 表示的数为1 ，∴该点表示的数为：110 ，故答案为：110 ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．17．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中空白部分的面积，可以得到的数学等式是_______；(2)将图1中两个阴影的长方形沿着对角线切开，则可以得到四个全等的直角三角形，其中两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形时，中间空白图形是边长为c 的正方形．试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a b c 、、之间满足怎样的等量关系．(3)应用：已知直角三角形两条直角边长为6和8，求这个直角三角形斜边上的高．【答案】(1)2222()a b ab a b (2)222c a b(3)245【分析】（1）空白部分是两个正方形的面积和，空白部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；（2）中间的是边长为c 的正方形，因此面积为2c ，也可以从边长为()a b 正方形面积减去四个直角三角形的面积即可；（3）利用（2）中等式求出斜边，再利用面积法求出结果．【详解】（1）解：方法一：空白部分是两个正方形的面积和，即22a b ；方法二：空白部分也可以看作边长为()a b 的面积，减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即2()2a b ab ，由两种方法看出2222()a b ab a b ，故答案为：2222()a b ab a b ；（2）中间正方形的边长为c ，因此面积为2c ，也可以看作从边长为()a b 的面积减去四个两条直角边分别a 、b 的面积，即22()2c a b ab ，整理得：222c a b ；（3）∵6a ，8b ，∴斜边226810c ，∴斜边上的高为6824105 ，答：斜边的长为245．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，勾股定理的证明，解题的关键是结合图形，利用面积得出等量关系．18．（2023春·山西忻州·八年级统考期末）阅读与思考阅读下列材料并完成相应的任务．我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”．以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m 为奇数 3m ，则a m ， 2112b m 和2112c m 是勾股数．方法2：若任取两个正整数m 和 n m n ，则22a m n ，2b mn ，22c m n 是勾股数．任务：(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形．(2)学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m ，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．【答案】(1)见解析(2)总共需要兰花220盆【分析】（1）方法一：21(1)02m c a ，10c b 得c a ，c b ，进行计算得222221=(1)2a b m c，即可得；方法二：先求出a 、b 、c 的平方，即可作答，（2）根据这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m 得角三角形的三边长为7m 24m 25m ，，，则方形AHFD 的边长为31m ，正方形BCEG 的边长为25m ，根据个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，即可得正方形AHFD 上摆放兰花的盆数，方形BCEG 上摆放兰花的盆数，即可得【详解】（1）解：方法一：∵ 222111121(1)0222c m m m c m a m，10c b ，∴c a ，c b ，222224222211(+21)=1(121)42a b m m m m c m ，∴a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形；方法二：∵22a m n ，2b mn ，22c m n ，∴424222m m a n n ，2224b m n ，422242c m m n n ，∴222 a b c ，∴a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形；（2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m ，∴直角三角形的三边长为7m 24m 25m ，，，∴正方形AHFD 的边长为：7+24=31(m)，正方形BCEG的边长为：25m，∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，∴正方形AHFD上摆放兰花的盆数为：32+31+31+30=124（盆），正方形BCEG上摆放兰花的盆数为：244=96（盆），∴总共需要的兰花数量为：124+96=220（盆），答：总共需要兰花220盆．【点睛】本题考查了勾股数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．19．（2023秋·全国·八年级专题练习）问题情境：勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．定理表述：（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；尝试证明：（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．定理应用：（3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段AE铺设，需要绕道沿着矩形的边AB和BC铺设管道，经过测量16BE 米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工AB 米，12程队计算绕道后费用增加了多少元？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8000元【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据等积法可进行求解；（3）利用勾股定理可进行求解．【详解】解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么222a b c （2） 21122S a b a b a b 梯形，2ABE ABCS S S 梯形211222c ab 212c ab ，∴221122a b c ab ，∴222 a b c ；（3）在Rt ABE △中，2220AE AB BE ，∴ 16122010008000 （元）；答：增加了8000元．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得18m,30m AC BC ．求A ，B 两点间的距离．【答案】A ，B 两点间的距离是24m【分析】直接由勾股定理求出AB 的长即可．【详解】解：由题意可知，90,18m,30m BAC AC BC ，∴ 2222301824m AB BC AC ，答：A ，B 两点间的距离是24m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出AB 的长．三、勾股定理的应用21．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中18cm AB ，12cm BC ，10cm BF ，点M 在棱AB 上，且6cm AM ，N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为（）A ．20cmB ．2106cmC ． 12234cmD ．18cm【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可．【详解】解：如图1，∵18cm AB ，12cm BC GF ，N 是FG 的中点，∴16cm 2FN FG ，∴ 18612cm BM ， 10616cm BN ，∴ 22121620cm MN ；如图2，∵18cm AB ，12cm BC GF ，N 是FG 的中点，∴16cm 2FN FG ，∴ 186618cm PM ，10cm NP ，∴2218424210610MN ．∵202106 ，∴蚂蚁沿长方体表面从点M 爬行到点N 处的最短路程为20cm ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．22．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距（）A ．25海里B ．30海里C ．40海里D ．32海里【答案】B【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90 ，根据题目中给出的1.5小时和速度可以计算AC ，BC 的长度，在直角ABC 中，已知AC ，BC 可以求得AB 的长．【详解】解：如图，作出图形，因为东南和西南的夹角为90 ，所以ABC 为直角三角形．在Rt ABC △中，16 1.524(km)AC ，121.518(km)BC ，则2222241830(km)AB AC BC故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定ABC 为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB 是解题的关键．23．（2023春·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为BAF 时，顶部边缘B 处离桌面的高度BC 为7cm ，此时底部边缘A 处与C 处间的距离AC 为24cm ，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为DAF 时（点D 是点B 的对应点），顶部边缘D 处到桌面的距离DE 为15cm ，则底部边缘A 处与E 之间的距离AE 为（）A ．20cmB ．18cmC ．12cmD ．10cm【答案】A 【分析】勾股定理解Rt ABC △得出25cm AB ，勾股定理解Rt ADE △即可求解．【详解】解：依题意，247AC BC ，，在Rt ABC △中， 2225cm AB AC BC ，∵AB AD 25 ，15DE ，在Rt ADE △中， 2222251520cm AE AD DE，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．24．（2023春·四川南充·八年级校考期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是．【答案】16m /16米【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图，由题意得m ,8m 6BC AC ，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：226810AB （米）．所以大树的高度是10616 （米）．故答案为：16m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．25．（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，一梯子AB 斜靠在竖直的墙AO 上，测得5m AO ，若梯子的顶端沿墙下滑1m ，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动1m ，梯子到CD 的位置，则梯子的长度为m ．【答案】41【分析】设m BO x ，利用勾股定理用x 表示出AB 和CD 的长，进而求出x 的值，然后由勾股定理求出AB 的长度．【详解】解：设m BO x ，由题意得：1m AC ，1m BD ，5m AO ，在Rt AOB △中，根据勾股定理得：222225AB AO OB x ，在Rt COD 中，根据勾股定理得： 22222511CD CO OD x ，∴ 22225511x x ，解得：4x ，∴ 22225441m AB AO BO ，即梯子AB 的长为41m ．故答案为：41．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．（2023秋·八年级课时练习）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x 尺，则根据题意列方程为：．【答案】 222310x x 【分析】设折断处离地面x 尺，根据勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：如图，设折断处离地面x 尺，根据题意可得：2223(10x)x ，．故答案为：2223(10x)x 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．27．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm BC ，动点P 从点A 出发沿A B C D A 运动，速度是2cm /秒；点Q 从点C 出发沿C B A D C 运动，速度是4cm /秒，设它们的运动时间为t 秒．（1）当1t 时，连接PQ ，PQcm ；（2）若P 、Q 两点第一次相遇时，t秒；第2次相遇时，t 秒．【答案】1010310【分析】（1）先求得8216BP ，12418BQ ，再利用勾股定理即可求解；（2）根据相遇时间=总路程÷速度和得出第一次相遇的时间，再求出第二次相遇的时间即可．【详解】解：（1）当1t 时，8216BP ，12418BQ ，∴226810PQ ，故答案为：10（2）若P 、Q 两点第一次相遇时，10812243t （秒），从第一次相遇到第二次相遇需要的时间为： 202812243，故P 、Q 两点第2次相遇时，10201033t（秒）故答案为：103；10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、行程问题中的相遇问题．抓住“相遇时间=路程和÷速度和”是解题关键．28．（2023秋·河南郑州·八年级郑州市扶轮外国语学校校考开学考试）如图，长方体的长15cm BE ，宽10cm AB ，高20cm AD ，点M 在CH 上．且5cm CM ．(1)求线段DM的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?【答案】(1)55DM(2)蚂蚁爬行的最短距离是25cmCD ，利用勾股定理即可求解；【分析】（1）根据长方体的性质求出10（2）将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较．【详解】（1）解：10CM ，AB CD∵，52222，10555DM CD CM线段DM的长为55．（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm22AM2010525cm要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：22AM20510529cm只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第个图32220105537cmAM∵25529537∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．29．（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽5米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离AC 为3米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离ED 为2米，则CB 的长度为多少？【答案】CB 的长度为2米．【分析】根据勾股定理222AC BC AB ，222BD DE BE ，列方程即可得到结论．【详解】解：根据勾股定理得，222AC BC AB ，222BD DE BE ，∵AB BE ，∴2222AC BC BD DE ，∴ 2222352BC BC ，∴2BC ，答：CB 的长度为2米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．30．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 为某街心花园的平面图，经测量50m AB BC AD ，503m CD ，且90B Ð=°．(1)试判断ACD 的形状，并说明理由；(2)若射线BA 为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个监控装置来监控道路BA 的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过65m ．已知摄像头能监控的最大范围为周围50m （包含50m ），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据2 1.4 ，3 1.7 ）【答案】(1)直角三角形，见解析(2)符合要求，见解析【分析】（1）根据90B Ð=°，勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理，即可；（2）过点D 作DE BA 于点E ；作A 点关于DE 的对称点A ，连接DA ，根据直角三角形的性质，得45BAC ，根据90DAC ，则45DAE ∠，三角形ADE 是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE ，可推出AA ，即可．【详解】（1）解：（1）ACD 是直角三角形．理由如下：∵90B Ð=°，50m AB BC AD ，∴在Rt ABC △中222AB BC AC ，∵25000AC ，∵22502500AD ， 25037500CD ，∴227500AD AC ，∴22AD AC CD ，∴CAD 是直角三角形．（2）符合要求，理由如下：过点D 作DE BA 于点E ；作A 点关于DE 的对称点A ，连接DA ，∴90DEA ，∵90B Ð=°，AB BC ，∴45BAC ，∵90DAC ，∴45DAE ∠，∴DE AE ，∴在Rt DEA V 中222DE EA AD ，∴222500AE ，∴252AE ，∴50270m AA ，∵70m 65m ，∴该监控装置符合要求．。
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题02 实数
5的算术平方根的相反数是 5 ．
那么a 62 36 ， a 4b 的算术平方根是 4，a 4b 16 ，
【变式训练2】
解得：b 5 ；
已知： a 2 b 1 0 ，那么a b 2023 的值为 -1
【变式训练3】
（2）解： ， a b2 2 36 52 2 36 25 2 9
∴ a 4，b 22 ．
已知2a 1 的平方根为3 ，a 3b 2 的立方根为4 ．（2）由（1）知 a 4，b 22 ，
(1)求a ，b 的值；
∴ a b 1 4 22 1 25 ，
(2)求a b1的算术平方根．
∵25 的算术平方根为 25 5 ，
∴ a b1的算术平方根是 5．
知识大全
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考点二 平方根
1.正数有两个平方根，它们互为相反数 0只有一个平方根，它是0本身 负数没有平方根
2.平方根的应用 （1） a 叫做a的平方根，也称为 二次方根 。 （2）一般地，正数a的正的平方根记作 a ，负的平方根记作 a ， 正数a的平方根记作 a ，读作 正、负根号a . （3）一个正数有 2 个平方根，它们互为相反数；0的平方根 0； 负数没有平方根。 （4）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；开平方运算与平方运算是互逆的运算.
．
那么其平方根为 3 ．
已知正数 a 的两个不同的平方根分别是2x 2 和63x ，a 4b
的算术平方根是 4．
(1)求 a，b 的值；
(2)求 a b2 2 的平方根．
知识大全
考点二004 0.0004 0.04 4 400 40000 …
正分数集合：⑤⑧⑨ ，
正分数集合：{ …}． 非负整数集合：{ …}；
北京市中考数学第一单元数与式单课考点聚焦热考精讲预测探究省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
1
1
A．－9
B.9
C．－9
D．9
(D)
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第1课时┃ 京考探究
► 热考二 科学记数法
例 3 [2012·北京] 首届中国(北京)国际服务贸易
交易会(京交会)于 2012 年 6 月 1 日闭幕，本届京交会期
间 签 订 的 项 目 成 交 总 金 额 达 60110000000 美 元 ． 将
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝______(_a_＋b)2－2ab
完全平方 公式
(a－b)2＋2ab (a±b)2＝ ____________
惯用恒 (1)a2 ＋ b2 ＝ ____________ ＝
18－1. 解： 原式＝1＋3 2－2× 22－8＝－7＋2 2.
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第2课时┃ 京考探究
实数综合运算为中考必考考点之一，主要考查负指数 幂、特殊角三角函数值、二次根式化简、零指数幂、绝对 值化简．
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第2课时┃ 京考探究
► 热考二 实数大小比较 (1)在进行实数混合运算时，首先要明确与实
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第2课时┃ 考点聚焦 ► 考点2 实数大小比较
正数大__于______零，小负于数
代数比较 规则
__大_于___零，正数________一 切较负大数；；两两个个负正数小数，，绝绝对对 值值 大大 反
而________
右边
几何比较 规则
在数轴上表示两左个边实数， ________数总是大于 ________数
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第2课时┃实数运算与实数大小比较
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第2课时┃ 考点聚焦
考点聚焦
► 考点1 实数运算
内容
提醒
中考数学考点大串讲(北师大版)：勾股定理必刷基础30题(解析版)
专题01勾股定理（基础30题3种题型）一、探索勾股定理1．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）在Rt ABC △中，90C ，12a ，16b ，则c 的长为（）A ．26B ．18C ．20D ．21【答案】C【分析】根据勾股定理222 a b c ，即可．【详解】∵在Rt ABC △中，90C ，12a ，16b ∴2222121620c a b 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用．2．（2022秋·江苏扬州·八年级仪征市第三中学校考阶段练习）下列各组数中，是勾股数的为（）A ．1，2，3B ．4，5，6C ．6，8，10D ．7，8，9【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．【详解】解：A 、221236 ∵， 这组数不是勾股数；B 、222456+¹Q ， 这组数不是勾股数；C 、2226810 ∵， 这组数是勾股数；D 、222789 ∵， 这组数不是勾股数，故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222 a b c ，则ABC 是直角三角形．3．（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则正方形E 的面积是（）A ．47B ．37C ．34D ．13【答案】A 【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和．【详解】解：由勾股定理得：正方形F 的面积 正方形A 的面积 正方形B 的面积223534 ，同理，正方形G 的面积 正方形C 的面积 正方形D 的面积222313 ，∴正方形E 的面积 正方形F 的面积 正方形G 的面积341347 ．故选：A ．【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．4．（2023春·福建福州·八年级统考期中）在ABC 中，90C ，若3AB ，则222AB BC AC ．【答案】6【分析】利用勾股定理得222BC AC AB ，再代入计算即可．【详解】解：在ABC 中，90C ∵，222BC AC AB ，2222222(3)6AB BC AC AB ，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解题的关键．5．（2023·北京丰台·二模）如图所示，正方形网格中，三个正方形A ，B ，C 的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积A B C S S S ，，之间的关系．【答案】A B CS S S 【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：239A S ，2525B S ，正方形C 的边长为223534 ，∴ 23434C S ，∴A B C S S S ，，之间的关系为A B C S S S ，故答案为：A B C S S S ，【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．（2022秋·七年级单元测试）数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若n 为直角三角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为．【答案】1n /1n【分析】首先确定各勾股数中的较长直角边、斜边，认真观察，总结规律，不难得出．【详解】解：因为3、4、5中较长直角边是4、斜边是541 ；5、12、13中较长直角边是12、斜边是13121 ；7、24、25中较长直角边是24、斜边是25241 ；9、40、41中较长直角边是40、斜边是41401 ；…∴若n 为直角三角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为1n ．【点睛】此题考查勾股数之间的规律，认真观察是关键．7．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知在ABC 中，906cm 2cm ACB AC BC ，，，求AB 的长．【答案】210cm【分析】利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，906cm 2cm ACB AC BC ，，，∴由勾股定理得222262210cm AB AC BC ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键．8．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，某人从A 地到B 地共有三条路可选，第一条路是从A 地沿AB 到达B 地，AB 为10米，第二条路是从A 地沿折线AC CB 到达B 地，AC 为8米，BC 为6米，第三条路是从A 地沿折线AD DB 到达B 地共行走26米，若,,C B D 刚好在一条直线上．(1)求证：90C ；(2)求AD 和BD 的长．【答案】(1)见解析(2)AD 的长为17米，BD 的长为9米【分析】（1）通过计算得出222AC BC AB ，再根据勾股定理的逆定理即可证明．（2）先设一条线段长x ，根据已知条件及勾股定理可列出关于x 的方程，然后求解即可．【详解】（1）证明：∵8AC 米，6BC 米，10AB 米，∴222AC BC AB ，∴ABC 是直角三角形，即90C ；（2）解：设AD x 米，则 26BD x 米，∴ 62632CD BC BD x x （米），在Rt ACD 中，由勾股定理得：2228(32)x x ，解得：17x ，则2626179x ．答：AD 的长为17米，BD 的长为9米．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，设未知数、运用方程解题是本题的关键所在．9．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）如图①、图②均为43 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．(1)与ABC 全等，以点B 为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．(2)与ABC 全等，且不与ABC 重合．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出符合题意的格点三角形即可；（2）根据题意画出对应的全等三角形即可．【详解】（1）解：如图①中，BCE 即为所求，（2）解：如图②所示，BFK 即为所求；【点睛】本题主要考查了画格点三角形，画全等三角形，正确理解题意是解题的关键．10．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝4，BC ＝3，165AD ，求CD 、BD 的长．【答案】CD 的长为125，BD 的长为95【分析】在Rt △ACD 中，利用勾股定理列式求出CD ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理列式计算即可求出BD ．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ADC 和△BDC 是直角三角形，在Rt △ACD 中，222AC AD CD ，∴22221612455CD AC AD ，在Rt △BCD 中，222BC CD BD ，∴2222129355BD BC CD ，答：CD 的长为125，BD 的长为95．【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．11．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”．他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是（）A ．三角形内角和定理B ．勾股定理C ．勾股定理的逆定理D ．斜边、直角边定理【答案】B 【分析】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的数学背景．熟知相关数学史即可．12．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：222114422a b ab c ab ，整理得222 a b c ．证明的这个定理是（）A ．勾股定理B ．勾股定理的逆定理C ．祖暅原理D ．费马定理【答案】A 【分析】根据勾股定理作答即可．【详解】解：由222114422a b ab c ab ，整理得222 a b c ．而a 、b 、c 是直角三角形的三边，∴证明的定理是勾股定理，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键．13．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（）A ．《周髀算经》B ．《九章算术》C ．《海岛算经》D ．《几何原本》【答案】A【分析】加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处．【详解】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键．14．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为2cm .【答案】49【分析】根据勾股定理计算即可【详解】解：最大的正方形的面积为22749cm ，由勾股定理得，正方形E 、F 的面积之和为249cm ，∴正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为249cm ，故答案为49．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222 a b c ．15．（2023秋·全国·八年级专题练习）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾3a ，弦5c ，则小正方形ABCD 的边长．．是.【分析】根据勾股定理计算即可解题．【详解】解：根据勾股定理可得2222534b c a ，∴小正方形ABCD 的边长为431 ，故答案为：1．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．16．（2023春·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，数轴上点A 所表示的数为a ，求 a ．【答案】15 /51【分析】根据勾股定理算出斜边长度解题即可，注意是从-1开始．【详解】解：如图，由勾股定理得221115BC CA ．∵点C 表示-1，∴点A 表示的数是15a ．故答案为：15 ．【点睛】本题主要考查了数轴的意义和勾股定理，理解数轴的意义的是解答关键．17．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A ，E ，D 在同一条直线上，90A D ，AE CD a ，AB ED b ，BE CE c ．(1)填空：BEC ______ ，根据三角形面积公式，可得BEC 的面积 ______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得BEC 的面积 ______．(2)求证：222 a b c ．【答案】(1)90，212c ，212c【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；（2）用两种不同的方法表示梯形ABCD 的面积，计算化简后，即可得出222 a b c ．【详解】（1）解：AE CD a ∵，AB ED b ，BE CE c ，BAE ≌ SSS EDC ，ABE DEC ，90ABE AEB ∵，90AEB DEC ，90BEC ，BEC 的面积21122BE CE c，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得BEC 的面积22222111112222222a b a b ab a ab b ab a b ab ab c ，故答案为：90，212c ，212c ；（2）证明：Rt ABE ∵ ≌Rt DEC △，AEB DCE ，BE EC c ，90D ∵，90DCE DEC ，90AEB DEC ，90BEC ，BEC 是等腰直角三角形，Rt ABE Rt CDE Rt BEC ABCD S S S S ∵梯形，2222AB CD AD AE AB ED DC BE EC，即2222a b a b ab ba ca ，2222222a ab bc ab ，222a b c ．【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．18．（2021秋·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知某开发区有一块四边形空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A =90°，∠CBD =90°，DB =5m ，CD =13m ，DA =4m ，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入【答案】需要投入资金为7200元【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的长，在直角三角形ABD中可求得BA的长，由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC 构成，则容易求解．【详解】证明：连接BD∵∠A=90°，∠CBD=90°，∴△CBD，△ABD为直角三角形，在Rt△CBD中，BC2=CD2-BD2∴222213512BC CD BDm在△ABD中，AB2=BD2-AD2∴AB=2222543BD ADm∴四边形ABCD面积=S△BAD十S∆DBC=12∙AD∙AB+12∙DB∙BC=1143+512=6+30=3622m2，36×200=7200（元）所以需要投入资金为7200元．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出△CBD，△ABD为直角三角形，用勾股定理求出BC，AB 的长是解题的关键．19．（2022春·八年级单元测试）洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．【答案】214米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理可得：x2+52=（x+2）2，解得，x=21 4．答：旗杆的高度为214米．【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，请在数轴上找到表示17的P点．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】因为17＝16＋1，则首先作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是17，再以原点为圆心，以17为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查运用数轴上的点来表示一个无理数，比较基础．21．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（）A．2米B．3米C．4米D．4.5米【答案】B【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米，将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边，梯子顶端到地面的距离为：22543 （米），故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意将实际问题转化为数字问题是解题的关键．22．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，垂直地面的旗杆在离地3m 处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m ，则旗杆折断前的高度为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m ，旗杆离地面3m 折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为 22345m ，所以旗杆折断之前高度为3m 5m 8m ．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理在解实际问题中的运用，弄清勾股定理存在的条件是重点，解题的关键是理解文字语言的含义．23．（2023秋·八年级课前预习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D 为1.5m ，则小巷的宽为（）．A ．2.4mB ．2mC ．2.5mD ．2.7m【答案】D【分析】,ACB A BD △△是直角三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意可知，,ACB A BD △△是直角三角形，在Rt ABC △中， 2.4AC ，0.7BC ，∴22222(2.4)(0.7) 5.760.49 6.25AB AC BC ， 2.5AB ，在Rt A BD 中， 2.5A B AB ， 1.5A D ，则2 2.25A D ，∴22 6.25 2.252BD A B A D，∴小巷的宽为0.72 2.7m CB BD ，故选：D ．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．24．（2023秋·八年级课前预习）如图，一个圆桶底面直径为5cm ，高12cm ，则桶内所能容下的最长木棒为cm ．【答案】13【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可．【详解】解：如图，AC 为圆桶底面直径，BC 为圆桶的高，∵5cm AC ，12cm BC ，∴2222512=13cm AB AC BC ，∴桶内所能容下的最长木棒为：13cm ．故答案为：13．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理．25．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距海里．【答案】10【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴90BAC ，两小时后，两艘船分别行驶了428 ，326 海里，根据勾股定理得：228610 （海里）．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．26．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，则它爬行的最短距离为．【答案】13m/13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，5AC ，9312BC ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC ，13AB ，故答案为：13m ．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．27．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一架5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m ，若梯子的顶端下滑1m ，则梯足将滑动多远？【答案】1米【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得，22534m OA ，如果梯子的顶度端下滑1米，则413m OA ．在直角三角形A B O 中，根据勾股定理得到：4m OB ，则梯子滑动的距离就是431m OB OB ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．28．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？【答案】9120尺【分析】设折断处离地的高度为x 尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：设折断处离地的高度为x 尺，由勾股定理得： 222310x x ，解得9120 x ，答：折断处离地的高度为9120尺．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．29．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O 同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．【答案】90海里【分析】根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），根据勾股定理得：2222547290AB AO BO海里，即3小时之后两客轮之间的距离90海里．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．30．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？【答案】10cm【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示．∵BC＝2cm，棱长为6cm，∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm由勾股定理得，AB＝2222＝10（cm），BD AD86答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．。
北京市中考数学专题复习讲义-概率-教师版
概率考情分析从以上的表格可以看出，2015年考查的知识点是“一步概率”，即直接应用公式()nm A P =求概率，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数，考查的知识点较为简单（不涉及2步及以上求概率，没有涉及到树状图和列表法）。
2016-2018考查了用频率估计概率的知识，2016年是根据计算机模拟图钉的实验图来推断用频率估计的合理性，2017年根据植树成活率表格的计算来估计频率，这两年的考法类似，都是对频率估计概率定义的理解与运用，只要掌握好定义及其内涵，就可以轻松地做出来；2018年考查用频率估计可能性的大小问题，属于比较容易问题；纵观近几年中考题，概率难度中等偏易，适合于全体学生做。
基于中考题的分析，我设计了3个问题，前2个问题代表了近5年中考题的2种题型，后一个题型属于拓展题。
一、必考考点：①直接应用公式()nmA P =求概率； ②直接用定义法解决频率估计概率二、常考知识点： 概率的计算1.一步概率（容易：适合所有学生）：直接公式法：()nmA P =；其中n 为所有事件的总数，m为事件A 发生的总次数（n m ≤）。
2.两步及以上概率（中等：适合学有余力的优等生）（1）判断使用列表法还是画树状图法：对于两步概率，使用列表法或者画树状图法均可，对于两步以上概率，只能用画树状图法；（2）确定可能出现的所有结果数n 以及所求事件A 出现的结果数m ；（3）用公式()nmA P =求事件A 发生的概率。
3.用频率估计概率（容易：适合所有学生）定义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率nm稳定于某个常数P ,那么事件A 发生的概率为nm . （1）统计图：一般为折线统计图，观察统计图中频率逐渐趋于某一个数值，显示出一定的稳定性，则可用该频率大致表示事件发生的概率；（2）统计表：①若表格中频率的数据逐渐趋于某一数值，显示出一定的稳定性，则可用该频率大致表示事件发生的概率；②若表格中频率的数据未趋于稳定，则选用频率的平均数来估计事件发生的概率。
北京中考数学大串讲
2010-2011中考串讲调整与提升 6.12背景： 1. 重视双基，减少繁杂计算； 2. 易中难的比例不变，5:3:23. 以能力立意的思想不变4. 重视合情推理和操作的考查原则：总体稳定，局部调整，依据课标，使之更全面更准确地体现课标精神。
题型、题量都保持不变摆正位置、寻找差距：1．需要摆正什么位置?(1)在全校全区以及全市的位置：自己要结合自己理想的学校的情况,看清自己需要努力的方向；(2)在复习状态与复习水平上的位置：对知识的认识、对知识应用的水平、对知识应用时的表达、对解决一个数学问题的能力与水平等是高位吗．2.寻找差距(1)位置摆放的合适吗?(2)复习状态上的差距?知识认识与应用的水平,满足于“懂”或“会”的水平，还是可以应对自如？(3)应考的准备：准备迎接自己人生第一次竞争,参加考试的身体与心理准备如何?(4)应试的技术准备的如何?3.从一点出发编织网络我们所学的数学知识是可以按需要分类的,同时更可以根据需要把我们所学的知识进行网络化,使我们能进一步了解知识之间的关系与联系．4.归纳总结,寻求共性与区别我们所学的知识大致可分为代数与几何以及统计与概率等三部分,按自己对知识的理解应该进行必要的分类,并通过分类发现它们的共性与差异,掌握共性,理解差异是掌握知识的最简单的方法．5.重视细节,重视表达细节关系成败的道理就在于成功包含了过程与结果,它是从“会”到“对”再到“好”的唯一的标准．我们所学知识的求解的过程一般需要有一个过程或说程序化的形式,关键是“程序”．6.关注分析方法,提升能力今年的中考试题说没有模式的含义是：不能照搬以往的试题形式，对我们而言就是需要解决新的问题，而解决新的问题就需要有较强的分析问题的能力．7.应知必会知识应用不丢分初中的数学知识可以分为主干知识及非主干知识．这里所说的应知必会知识就是指主干知识的应用．所谓的主干知识是指：初中数学中的结构性、框架性知识；初中数学中对后续知识的学习，起到建构知识体系起支撑作用的基础性知识；初中数学中必须落实与主要考察的知识；主干知识中还应包括重要的数学方法以及知识所能蕴涵的思想方法．例题选讲：1.（观察法）观察下列顺序排列的等式 9×0＋1=1 9×1＋2=11 9×2＋3=219×3＋4=31 9×4＋5=41 ……猜想：第n个等式（n为正整数）应为。
北京中考知识点归纳数学
北京中考知识点归纳数学北京中考数学知识点归纳主要包括以下几个方面：1. 数与代数：- 有理数：包括正数、负数、零的概念，有理数的四则运算。
- 代数式：涉及代数式的加减乘除，以及代数式的简化和变形。
- 一元一次方程：解法，包括移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
- 一元二次方程：包括因式分解法、配方法、公式法等解法。
- 不等式：不等式的基本性质和解不等式的方法。
2. 几何：- 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆等基本几何图形的性质和计算。
- 相似与全等：相似三角形和全等三角形的判定和性质。
- 圆的性质：圆周角、切线的性质，以及圆与直线、圆与圆的位置关系。
- 空间图形：包括立体图形的表面积和体积的计算。
3. 统计与概率：- 数据的收集与处理：包括数据的收集、整理和描述。
- 统计图表：条形图、折线图、饼图的绘制和解读。
- 概率：事件的概率计算，包括古典概型和几何概型。
4. 函数与图象：- 函数的概念：自变量、因变量、函数值、函数关系式。
- 一次函数：一次函数的图象和性质，包括斜率和截距的计算。
- 二次函数：顶点式、交点式等不同形式的表达，以及图象的对称轴和顶点。
5. 综合应用：- 应用题：将数学知识应用到实际问题中，包括行程问题、工程问题、经济问题等。
- 综合题：涉及多个知识点的综合运用，考查学生的综合分析能力和解决问题的能力。
结束语：北京中考数学知识点的归纳不仅要求学生掌握基础的数学概念和运算技能，还要求能够灵活运用所学知识解决实际问题。
通过系统地复习和练习，学生可以更好地准备中考，提高解题能力和数学思维。
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题02 实数必刷易错50题(原卷版)
专题02实数（易错50题6种题型）一、认识无理数1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）下列实数中，属于无理数的是（）A ．3.14159B ．176C ．3D ．3642．（2021春·福建厦门·七年级校考期中）在2 ，4，2，3.14，327 ，3，这6个数中，无理数共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）在“223,,2,0.1010010007 ”中无理数有个.4．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，数轴上点A 表示的数是．5．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）将下列各数填入相应的集合中：7,0, 2.55555,3.01,9,4.020020002,10%,2有理数集合：{…}；无理数集合：{…}；整数集合：{…}；分数集合：{…}6．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）下面各图都是边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的边所在直线的交点称为格点，若两个格点间的距离是无理数，则称该无理数为这两个格点的“无理间距”．例如，图①中无理间距有2，共有1个（数值相等的，不重复计数，下同）；图②中无理间距除了2外，还有5，22，共有123 个．观察图形，解决下面问题：(1)图③中无理间距应有1236 个，除了2，5，22外，还有________；(2)请在图③中画出端点为格点的线段，使它们的长度分别为你在（1）中所填的无理间距．（每个无理间距画一条线段即可）二、平方根7．（2023秋·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）9的平方根是（）A ．3B ．81C ．3D ．3 8．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知 24a 与1b 互为相反数，则a b 的平方根是（）A ．5B ．3C ．5 D ．39．（2022春·江西新余·七年级校考期中）若12a ，24b ，且0ab ，则a b 的值是．10．（2023春·新疆阿克苏·七年级校考期末）若一个正数的两个不同平方根是35a 和7a ，则这个正数是．11．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）已知3m 的算术平方根是3，12n ，求m n 的算术平方根．12．（2023秋·甘肃武威·八年级统考开学考试）已知2a b 的平方根是3 ，52a b 的算术平方根是4，求3a b 的值．13．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：9 ，4 ，1 这三个数， 946 ， 913 ， 412 ，其结果6，3，2都是整数，所以9 ，4 ，1 这三个数为“完美组合数”．(1)18 ，8 ，2 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．(2)若三个数3 ，m ，12 是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m 的值．三、立方根14．（2023秋·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）若一个数的立方根等于2 ，则这个数等于（）A ．4B ．8C ．8D ．815．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）已知x 是5的算术平方根，则213x 的立方根是（）A ．513-B ．513 C ．2D ．216.（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知311x x ，则x 的值为．17．（2023春·湖南永州·八年级校考开学考试）（1）81的平方根是；（2）若 30.70.027x ，则x．18．（2023春·广东广州·七年级校考期中）已知一个正数的平方根是6a 与29a ，(1)求a 的值；(2)求关于x 的方程3640ax 的解．19．（2022秋·山西太原·八年级校考阶段练习）求下列未知数x 的值(1) 22511000x (2) 3823125x 20．（2021春·上海浦东新·七年级校考期中）已知一个正方体的棱长是7cm ，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的8倍，求新做的正方体的棱长．四、估算21．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）估计1021 的值应在（）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间22．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）如图，用两个面积为29cm 的小正方形拼成一个大的正方形．则大正方形的边长最接近的整数是()A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm23．（2022·湖南株洲·株洲二中校考二模）写出一个大于7小于27的整数．24．（2023春·湖北恩施·七年级校考期中）已知511 的小数部分为m ，511 的小数部分为n ，则m n ．25．（2023秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）已知41a 的立方根是3 ，2 a b 的算术平方根是3，c 是15的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求5a b c 的平方根．26．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）我们知道2 1.414 ，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则为21 ”．(1)21 的整数部分为_______，小数部分可以表示为______；(2)已知31 的小数部分为a ，51 的小数部分为b ，求a b 的值．五、实数27．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）在下列四个实数中，最小的数是（）A ．5 B ．0C ．1D ．328．（2022春·河北邯郸·七年级校考期中）下列说法正确的有几个（）①两个无理数的和可能是有理数；②任意一个无理数都可以用数轴上的点表示；③2m 一定没有平方根；④实数包括有理数、无理数和零；⑤立方根等于本身的数是1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个29．（2023秋·全国·七年级课堂例题）定义21*2a b ab b a b ．若2*3x ，则x 的值是（）A ．4B ．3C ．6D ．730．（2023秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）已知实数m 满足210m m ，则32232024m m m ．31．（2023秋·江西抚州·八年级校考阶段练习）把无理数3，5，11，17表示在数轴上，在这四个无理数中，最有可能被墨迹（如图所示）盖住的无理数是．32．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考阶段练习）观察下列等式：133 ，239 ，3327 ，4381 ，53243 ，63729 ，…，则234202333333 的末位数字是．33．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）实数a 在数轴上对应的点的位置如图，化简：2a a ．34．（湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年九年级期上学期中数学试题）计算：112633(3.14)2 35．（山西省临汾市两县一市2023-2024学年八年级上学期月考数学试题）计算．(1)33116827；(2)3912532 ．36．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．(1)求出这个魔方的棱长；(2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD ，求出阴影部分的面积及其边长；(3)把正方形ABCD 放到数轴上，如图②，使得点A 与1重合，那么点D 在数轴上表示的数为______．六、二次根式37．（山西省临汾市两县一市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）下列计算中正确的是（）A ．1553 B ．3223 C ．2510 D ．571238．（2022春·陕西安康·八年级校考期中）下列各式中，是最简二次根式的是（）A ．3B ．38C ．12D ．6339．（2023秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）下列二次根式中与5是同类二次根式的是（）A ．10B ．20C ．25D ．3040.（2023春·河北沧州·八年级校考期中）当12a 时，式子221a a 的值为（）A ．32a B ．23a C ．1 D ．141．（山西省临汾市两县一市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）计算320154的结果是.42．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）若88y x x 有意义，则3x ．43．（2023秋·四川内江·九年级校考阶段练习）∵2(21)322 ，∴32221 ；∵2(21)322 ，∴32221 ；∵2(23)743 ，∴74323 ．请你根据以上规律，结合你的经验化简843 ．44．（2023春·福建龙岩·八年级校考期中）已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，则化简代数式222(a b)a b 的结果45．（山西省临汾市两县一市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）计算(1) 26363253 ，(2)1512245153108846．（2023秋·贵州·八年级统考阶段练习）计算并解答：(1)12273(2)61822 (3)实数a b 、在数轴上的位置如图所示，且a b ，化简2a a b47．（2023秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）已知,x y 为实数且229913x x y x ，求56x y 的平方根．48．（2023秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，面积为248cm 的正方形的四个角是面积为23cm 的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的底面边长和高分别是多少？（结果保留根号）49．（2022秋·山西太原·八年级校考阶段练习）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非雾的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：333 ，6262624 ，我们称3的一个有理化因式是3，62 的一个有理化因式是62 ．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如11333333 862883326224626262 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)13的有理化因式为______，75 的有理化因式为______；（均写出一个即可）(2)将下列各式分母有理化：①315；②11253 ．（要求；写出变形过程）50．（2023秋·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若23(1)0xy y ．(1)求x ，y 的值；(2)求1111(2)(2)(4)(4)(2022)(2022)xy x y x y x y 的值．。
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题02 一元二次方程(考点清单)(解析版)
专题02一元二次方程（考点清单）思维导图考点一认识一元二次方程【考试题型1】一元二次方程的定义【典例1】下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．20ax bx cB ．2221x x xC ．2220x yD ．2(1)21x x 【答案】D【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.根据一元二次方程的定义进行判断即可；【详解】解：A ．20ax bx c ，当0a 时不是一元二次方程，故不符合题意；B ．2221x x x 是一元一次方程，故不符合题意；C ．2220x y 是二元二次方程，故不符合题意；D ．2(1)21x x 是一元二次方程，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解题的关键．【专训1-1】（2023秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程 211420mm x x 中，m =．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．【详解】解：由题可得：21012m m ，解得：1m ，故答案为：1 ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．【专训1-2】（2023秋·九年级课时练习）某中学数学兴趣小组对关于x 的方程 11210m m x m x 提出了下列问题：(1)是否存在m 的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m 的值，并解此方程；(2)是否存在m 的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m 的值．【答案】(1)存在，0m 时=1x ；1m 时13x =-(2)存在，1m 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可；（2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可．【详解】（1）解：存在，由题可知11m 或10m 或10m 时方程能为一元一次方程，当11m 时，解得0m ，此时程为10x ，解得=1x ；当10m 时，解得1m ，此时方程为310x ，解得13x =-．当10m 时，方程无解；（2）存在．根据一元二次方程的定义可得1210m m，解得1m ．【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．【考试题型2】一元二次方程的一般形式【典例2】将一元二次方程28352x x 化为一般形式后，二次项系数和常数项分别为（）A ．8，5B ．8，7C ．8，3D ．3 ，5【答案】B【分析】先化为一般形式，再解答．【详解】解：∵一元二次方程28352x x 化为一般形式为：28370x x ，二次项系数和一次项系数分别为8，7 ．故选B ．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为 200ax bx c a ．其中a是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【专训2-1】（2023秋·广东汕头·九年级校考阶段练习）把方程 31231x x 化为20ax bx c 的形式为．【答案】26740x x 【分析】利用多项式乘以多项式的运算法则把左边展开，再移项化为一般式即可．【详解】解： 31231x x ∵，269231x x x ，26740x x ，故答案为：26740x x ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为 200ax bx c a ，熟练掌握此知识点是解题的关键．【专训2-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c ，，是Rt ABC △和Rt BED 边长，易知2 AE c ，这时我们把关于x 的形如220 ax cx b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如235240x x 是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)试判断方程2210x x _______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；(2)若=1x 是“勾系一元二次方程”220 ax cx b 的一个根，且四边形ACDE 的周长是12，求ABC 面积．【答案】(1)是(2)2【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，即可求解；（2）根据=1x 是“勾系一元二次方程”220 ax cx b 的一个根，可得2a b c ，再由四边形ACDE 的周长是12，可得2212()a b c ，从而得到22c ，继而得到22248a b a b c ，，再根据222()2a b a ab b ，可得ab =4，即可求解．【详解】（1）解：∵22210x x 这里11a b ，，2c ，∴222 a b c ，∴2210x x 是“勾系一元二次方程”．（2）解：当=1x 时，有20a c b ，即2a b c ，∵四边形ACDE 的周长是12，∴2212()a b c ，∴22212c c ，∴22c ，∴22248a b a b c ，，∵222()216a b a ab b ，∴4ab ，∴122ABC S ab．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键．【考试题型3】一元二次方程的解【典例3】若2x 是方程2100x x m 的一个根，则m 的值是（）A ．16B ．16C ．10D ．10【答案】A【分析】将2x 代入方程，求解即可．【详解】解：把2x 代入2100x x m ，得：221020m ，解得：16m ；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解．解题的关键是掌握方程的解是使方程成立的未知数的值．【专训3-1】（2023秋·河南周口·九年级校联考阶段练习）已知n 是一元二次方程260y y 的一个根，则代数式2222011n n 的值为．【答案】2023【分析】把y n 代入方程260y y ，得260n n ，再由等式性质得22212n n ，然后整体代入即可求解．【详解】解：把y n 代入方程260y y ，得260n n ，∴26n n ，∴22212n n ，∴22220111220112023n n ，故答案为：2023．【点睛】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根和等式性质是解题的关键．【专训3-2】（2023秋·贵州毕节·九年级校考阶段练习）已知0a ，0b ，a b ¹且1x 是方程2100ax bx 的一个解，求2222a b a b的值.【答案】5【分析】先将此代数式进行分解因式化简．化简后为2a b，再将1x 代入方程2100ax bx 中求出a b ，代入计算即可．【详解】解：22()()()222()2a b a b a b a b a b a b ，将1x 代入方程2100ax bx 中可得100a b ，解得10a b ，则52a b．【点睛】本题综合考查了分式的化简与方程解的定义．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．【考试题型1】直接开平方法解方程【典例1】已知三角形的两边长分别是5和7，第三边的长是方程 244x 的根，则此三角形的周长为（）A ．14B ．16C ．18D ．14或18【答案】C【分析】先解一元二次方程，得到第三边长为2、6，再根据三角形三边关系进行判断，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．【详解】解： 244x ∵，42x 或42x ，解得：6x 或2x ，当6x 时，三角形的三边长分别为5、6、7，且567 ，满足三角形三边关系，此时三角形的周长56718 ，当2x 时，三角形的三边长分别为2、5、7，且257 ，不满足三角形三边关系，不符合题意，综上所述，三角形的周长为18，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解一元二次方程，熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键．【专训1-1】（2021秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）如果关于x 的一元二次方程 257x m 可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】7m 【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程 257x m 可以用直接开平方求解，∴70 m ，解得：7m ，故答案为：7m ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．【专训1-2】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若规定两数a ，b 通过运算“※”得4ab ，即4a b ab ※.例如2642648 ※.(1)求212※的值；(2)求2240x x x ※※※中x 的值.【答案】(1)163(2)2x 或4【分析】（1）根据给出的定义，计算即可；（2）根据给出的定义，转化成我们熟悉的运算进行即可．【详解】（1）解：2124212※4223163 ；（2）解：2240x x x ※※※变形为248320x x ，即2280x x ，∴2(1)9x 解得：2x 或4 ．【点睛】本题是一个新定义的题目，考查了二次根式的乘法以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．【考试题型2】配方法解方程【典例2】用配方法解方程2430x x ，配方后的方程是()A ．2(2)0xB ．2(2)4xC ．2(2)0x D ． 227x 【答案】D【分析】移项后方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：移项得243x x ，配方得24434x x ，配方得 227x ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟悉掌握配方的方法是解题的关键．【专训2-1】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）若一元二次方程20x ax b 配方后为 243x ，则ab ．【答案】104【分析】将 243x 展开后，对应相等得到8a ，13b ，代入进行计算即可．【详解】解： 243x ∵，28130x x ，8a ，13b ，813104ab ，故答案为：104．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．【专训2-2】（2023秋·陕西宝鸡·九年级校考阶段练习）解下列方程(1)2288x x ；(2)23920x x （配方法）【答案】(1)122x x ；(2)19576x，29576x ．【分析】（1）移项后运用直接开平方法求解即可；（2）按要求运用配方法求解即可．【详解】（1）解：整理得2440x x ，即 220x ，解得：122x x ；（2）解：移项得2392x x ，配方得：2223233232x x，即2319212x，开方得：35726x ，解得：19576x，29576x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，注意因式分解法要将等式右边化为0，配方法要将二次项系数化为1是解决问题的关键．【考试题型3】配方法的应用【典例3】用配方法将二次三项式2345a a 变形的结果是（）A ．221139aB ．2211333aC ．2211333aD ．2211339a【答案】B【分析】二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．【详解】解：2224442113453()53()39333a a a a a ．故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【专训3-1】（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知226+210x y y x ，求y x ．【答案】1【分析】把原式子化为 22130x y ，根据完全平方式的非负性解出x ，y ，代入求值．【详解】解：∵226+210x y y x ，∴226+2100x y y x ，∴ 22130x y ，∴10x ，30y ，解得：1x ，3y ，∴3(1)1y x ，故答案为：1 ．【点睛】本题考查配方法，非负数的性质，掌握用配方法把原方程化为非负数的和为0的形式是解题的关键．【专训3-2】（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为230a ，所以231a 就有最小值1，即2311a ，只有当0a 时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为230a ，所以231a 有最大值1，即2311a ，只有在0a 时，才能得到这个式子的最大值1．(1)当x 时，代数式22(1)3x 有最（填写大或小）值为；(2)当x 时，代数式2243x x 有最（填写大或小）值为；(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m ，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少【答案】(1)1；大；3(2)1；大；5(3)当花园与墙相邻的边长为4m 时，花园的面积最大为232m 【分析】（1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．（2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．（3）设花园与墙相邻的边长为m x ，则另一边为(162)m x ，由题意得：(162)x x ，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．【详解】（1）解：2(1)0x ∵，22(1)0x ，22(1)33x ，当2(1)0x 时，即1x 时，代数式22(1)3x 有最大值为3，故答案为：1；大；3．（2）222432(2)3x x x x 2222(211)3x x 22(1)5x ，2(1)0x ∵，22(1)0x ，22(1)55x ，当2(1)0x 时，即1x 时，代数式2243x x 有最大值为5，故答案为：1；大；5．（3）设花园与墙相邻的边长为m x ，则另一边为(162)m x ，由题意得：2(162)=216x x x x222=2(844)x x 2=2(4)32x ，当4x 时，22(4)32x 有最大值为：32，当花园与墙相邻的边长为4m 时，花园的面积最大为232m ．【点睛】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键．考点三用公式法求解一元二次方程【考试题型1】根据判别式判断一元二次方程根的情况【典例1】关于x 的一元二次方程25)30(x k x k 的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】B【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可．【详解】解：222(5)4(3)225(1)24k k k k k ，∵2(1)0k ≥，∴2(1)240k ，即0 ，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a 的根与24b ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ0 时，方程无实数根．【专训1-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程220x x m 有两个不相等的实数根，若m 为非负整数，则m 的值为．【答案】0【分析】直接利用当0 时，方程有两个不相等的实数根，进而得出m 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x m 有两个不相等的实数根，∴24440b ac m ，解得：1m ，∵m 为非负整数，∴m 的值为0，故答案为：0．【点睛】此题主要考查了根的判别式，熟练掌握当0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ0 时，方程没有实数根是解题关键．【专训1-2】（2022春·安徽六安·八年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程23210x x m 。
中考数学基础知识大串讲九 考点串讲
串讲九考点串讲图形变换1.轴对称与中心对称.考查重点：（1）理解轴对称和轴对称图形的联系与区别，•会判断一个图形是否是轴对称图形或中心对称图形；（2）掌握轴对称的基本特征，并能用这些特征解决简单的问题（如折叠）；（3）能用轴对称和中心对称的性质设计图案.2.平移与旋转.考查重点：（1）主要考查平移和旋转的基本性质；（2）会按要求画出平移图形或进行图案设计；（3）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.新题演练：新题1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A、B、C、D、解析：本题主要考查轴对称、中心对称的概念.由轴对称和中心对称的概念可知，A、B仅为中心对称图形，C仅为轴对称图形，D既是轴对称图形又是中心对称图形.答案：D新题2：将△ABC先向右平移5个单位，再向下平移三个单位后得△A′B′C′，已知A′(-2,3)，B′(-4,-1)，则A、B两点的坐标分别为（）A．(3,6)，(1,2) B．(-7,6)，(-9,2)C．(m-2,m-3)，(m-4,n-4) D．以上都不对解析：本题考查的相关知识点：用坐标表示平移；点的平移与点坐标的变化；图形的平移相当于图形上各点的坐标进行相应的变化.解题思路：将△ABC平移，可以看作把△ABC中各点分别平移，向右平移5个单位，相当于各点的横坐标都加上5，向下平移3个单位，相当于各点的纵坐标都减去3，由此可求得A、B的坐标.答案：B.新题3：如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点均在格点上．（1）填空：ΔABC是___三角形，它的面积等于____平方单位．（2）将ΔACB绕点B顺时针方向旋转90，在方格图中用直尺画出旋转后对应的ΔA’C’B，则A’点的坐标是（_____，____），C’点的坐标是（_____，____）．解析：先根据题意，借助网格图，确定旋转中心和旋转方向以及旋转角度.关键是确定关键点，以点带线，以线带面来进行画图.另外在网格或坐标系中求三角形面积常用的方法是“割补法”.（1）方法一：计算三条边利用勾股定理逆定理来判断三角形的形状.方法二：利用两个三角形全等，判断三角形的形状.（2）旋转中心为B，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°，由网格图易得A’，C’，在图中描出对应点A’，C’，再画出对应的三角形即可.答案：（1）等腰直角，5；（2）画图略；（3，3），（0,2）.。
2022北京中考数学考前串讲讲义
2022北京中考数学考前串讲讲义1、反比例函数的概念一般地，函数(k是常数，kO)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是xO的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或其次、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永久达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质反比例函数k的符号 kOkO图像y0 xy0 x性质①x的取值范围是xO，y的取值范围是y0;当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，y随x的增大而减小。
①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0;②当k0时，函数图像的两个分支分别在其次、四象限。
在每个象限内，y随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定确定及误是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数的几何意义设是反比例函数图象上任一点,过点Р作轴、轴的垂线，垂足为A，那么(1)AOPA的面积.(2)矩形OAPB的面积。
这就是系数的几何意义.并且无论Р怎样移动，AOPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。
矩形PCEF面积=，平行四边形PDEA面积=1、二次函数的概念一般地，假设，那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法:(1)先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线与坐标轴的交点:当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y 轴的交点C，再找到点C的对称点D。
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题03 整式及其加减(考点清单)(原卷版)
专题03整式及其加减（考点清单）思维导图考点一字母表示数【考试题型1】用字母表示数【典例1】一段路，甲车用8小时行完，乙车用6小时行完，甲、乙两车的速度的比是（）A ．8:6B ．3:4C ．4:3【专训1-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）一个三位数，它的十位上的数字是个位上数字的2倍，百位上的数字比个位上数字大2，写出所有满足题目条件的三位数：．【专训1-2】（2018秋·湖北襄阳·七年级校考期中）按照下列步骤做一做：（1）一个两位数的个位上的数是a ，十位上的数是b ，请写出这个两位数；（2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数；请写出这个新两位数；（3）求这两个两位数的和．结果能被11整除吗？为什么？【考试题型2】列代数式【典例2】农村某贫困家庭的孩子读书，享受“两免一补”，加上购置农机产品享受国家补贴，该家庭现在平均每月可减少30%的费用支出．若该家庭原来每月支出m 元，则现在每月的支出为（）A ．30%m元B ．70%m元C ．30%m 元D ．70%m 元a 米，宽为b 米，四角铺上半径为r 米的扇形草地 2r b ，则未铺草地的面积共有平方米．（用含,,,a b r 的代数式表示）【专训2-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）（1）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入．（2）圆柱体的底面半径、高分别是r ，h ，用式子表示圆柱体的体积．（3）有两片棉田，一片有2hm m （公顷，2421hm 10m ），平均每公顷产棉花akg ；另一片有2hm n ，平均每公顷产棉花bkg ，用式子表示两片棉田上棉花的总产量．（4）在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是mm a ，小正方形的边长是mm b ，用式子表示剩余部分的面积．考点二代数式【考试题型1】用代数式表示数与图形的规律【典例1】按如图所示方式用火柴棒搭五边形，搭1个五边形需要5根火柴棒，搭2个五边形需要9根火柴棒，按此规律，搭101个五边形需要（）根火柴棒．A ．401B ．405C ．409D ．505【专训1-1】（2023秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）按下图方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌可坐4人，2张餐桌可坐6人，3张餐桌可坐8人，那么n 张餐桌可坐人．（请用含n 的式子表示）【专训1-2】（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法是数学学习中的重要思想方法之一．【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼成长方形：第（1）个图形中有2张正方形纸片：第（2）个图形中有 212246 张正方形纸片；第（3）个图形中有 212324612 张正方形纸片；第（4）个图形中有 21234246820 张正方形纸片；．．．．．．请你观察上述图形与算式，完成下列问题：【规律归纳】（1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）；（2）根据前面的发现我们可以猜想：2462n ______（用含n 的代数式表示）；规律应用】（3）根据你的发现计算：①246200 ②202204206600…【考试题型2】代数式的书写【典例2】下列各式中，符合代数式书写要求的是（）（1）2314x y ；（2）3a ；（3）2ab ；（4）223a b ．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【专训2-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处：（1）73 ；（2）213b ；（3）2x y ；（4）2m n ；(5)1ab ；(6)10x 米．【专训2-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来．(1)3x ＋1；(2)m ×n －3；(3)2·y ；(4)a ·m ＋b ×n 元；(5)a ÷(b ＋c )；(6)a －1÷b ．【考试题型3】代数式求值【典例3】若代数式223x x 的值是6，则代数式2322x x 的值是（）A ．2B ．1C ．5D ．4【专训3-1】（2022秋·天津滨海新·七年级校考阶段练习）已知225m m ，求下列代数式的值（1）2247m m （2）32335m m m =【专训3-2】（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，2m ，求220212022a b m cd的值．【考试题型4】流程图与代数式【典例4】按如图所示的运算程序，输入x 为5，则输出的数是（）A ．1B ．3C ．5D ．7【专训4-1】（2023秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入x 为2 时，最后输出的结果y 是．【专训4-2】（2022秋·山西朔州·七年级校考期中）如图，小云同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a ”加“★”键再输入“b ”，就可以得到运算2131a b a b★．(1)按此程序计算 23 ★的值为______．(2)小华同学运用小云设置的这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行”，你能说出小华在什么地方出错了吗？考点三整式【考试题型1】单项式的系、次数【典例1】单项式3232a b 的系数和次数分别是（）A ．2 ，8B ．2 ，5C ．2，8D ．8 ，5【专训1-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知下列式子：①243x y；②226.1a b ；③7m；④233a ab b ；⑤z x y ；⑥2412m n ；⑦a （1）其中单项式有（写序号），它们的系数分别是（按前一空答案的顺序作答）．（2）其中多项式有（写序号），它们的次数分别是（按前一空答案的顺序作答）．【专训1-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）若3m nx y （m ，n 为非负整数）是含有字母x 和y 的五次单项式，求nm 的最大值．【考试题型2】单项式的规律【典例2】按一定规律排列的单项式：3579112,4,8,16,32,64x x x x x x ，第n 个单项式是（）A ． 211n n xB ．212n n xC ．221n n xD ．212n nx 【专训2-1】（2023秋·七年级课时练习）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：23456246810x x x x x x ，，，，，，…，按照上述规律，第2023个单项式是．【专训2-2】（2022秋·山西忻州·七年级校考期中）【观察与发现】2x y ，223x y ，235x y ，247x y ，259x y ，2611x y ，…，(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；(2)第2n （n 大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．【考试题型3】多项式的项、项数与次数【典例3】多项式22325xy xy 的次数及最高次项的系数分别是（）A ．3，3B ．2，3C ．5，3D ．3，3【专训3-1】（2022秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）多项式2233237xy x y x y 的最高次项的系数是，它是次项式，常数项为．母x ，y 的多项式，且满足下列条件：（1）是五次三项式；（2）每一项的系数均为1或－1；（3）每一项必须同时含有字母x ，y ，但不能含有其他字母．（4）不含常数项．【考试题型4】降（升）幂排列【典例4】将多项式231a a a 按字母a 升幂排列正确的是（）A ．321a a aB ．231a a a C ．321a a aD ．231a a a 【专训4-1】（2023秋·七年级课时练习）（1）将多项式22336x y y x x 按x 的升幂排列为．（2）把多项式324432143732xy x y x y x y 按y 的降幂排列为．【专训4-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）先阅读下列材料，然后解答问题．材料一：将多项式按某个字母（如x ）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，叫做这个多项式按这个字母（如x ）的降幂（或升幂）排列．如：把多项式2233345x y xy x y 按字母x 的降幂排列为3223345x x y xy y ．材料二：多项式3182x x 中含有3x 项，x 项，常数项，按x 的降幂排列缺2x 项，我们可以补入20x 作为x 的二次项，使原式成为321082x x x 的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项．解答下列问题：(1)把多项式2233345x y xy x y 按字母y 的升幂排列；(2)请补入多项式41x x 的缺项，并按x 的降幂排列．考点四整式的加减【考试题型1】同类型求值【典例1】若242m a b 和62n a b 是同类项，则m 、n 的值是（）A ．3m ，6nB ．3m ，6nC ．12m，6n D ．6m ，4n 【专训1-1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）若单项式33n x y 与1212m xy 的和是单项式，则m n．【专训1-2】（2023秋·河南周口·七年级校考阶段练习）已知m ，x ，y 满足： 235205x m ，213y a b 与23a b 是同类项．求 222223639x xy y m x xy y 的值．【考试题型2】合并同类项【典例2】下列计算正确的是（）A ．32ab ab abB ．22624y yC ．255a a a D ．22232m n mn mn 【专训2-1】（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如2222143x x x x ：则所捂住的多项式是．【专训2-2】（2022秋·辽宁沈阳·七年级校考期末）（1）222243244a b ab a b ；（2） 22266241x x x x ．【考试题型3】去括号【典例3】下列变形中，错误的是（）A ． a b c d a b c dB ． a b c d a b c dC ． a b c d a b c dD ． a b c d a b c d【专训3-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）去括号：（1） 21a b c；（2）227233x y x y．(1)22)343552()(a a a a -+--+；(2)2222)3()()(54253x xy x xy y y xy --+---；(3)[2(3)4]abc ab abc ab abc .【考试题型4】整式的化简求值【典例4】如果a ，b 互为相反数，那么 22623241a a a b 的值为（）A ．1B ．1C ．3D ．3【专训4-1】（2023春·湖北襄阳·七年级统考开学考试）已知112xy x y，则多项式 43y xy x y 的值等于．【专训4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）先化简，再求值：223235161 x xy x x xy ，其中22203x y ．【考试题型5】与某项无关或不含某项【典例5】关于x 、y 的多项式2214xy nxy xy 中不含三次项，则n 的值是（）A ．0B ．4C ．1 D ．4【专训5-1】（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知227A x ax ，23522B bx x．当2A B 的值与x 无关时，a b ．【专训5-2】（2023秋·河南周口·七年级校考阶段练习）（1）若多项式2223226mx xy y x nxy y 的值与x 的取值无关，求 3m n 的值．（2）若关于x ，y 的多项式2264224mx nxy x xy x y 不含二次项，求m n 的值．考点五探索与表达规律【考试题型1】数字类规律探索【典例1】设 S n 表示非负整数的各个数位上的数字之和，例如：00,11,201710S S S ．则 1232018S S S S 的值为（）A ．28127B ．28128C ．28107D ．28117【专训1-1】（2023秋·河南开封·七年级校考阶段练习）观察算式：1234567833,39,327,381,3243,3729,32187,36561, 通过观察，用你所发现的规律确定20223的个位数字是．【专训1-2】（2022年安徽省宣城市第六中学中考模拟数学试题）第1个等式：3211 第2个等式： 2331212 第3个等式： 2333123123 第4个等式：2333312341234 …按照以上规律，解决下列问题．(1)写出第n 个（n 为正整数）等式；(2)利用规律求：3333224620222022 【考试题型2】图形类规律探索【典例2】如图，是用黑棋拼成的图形，其中第①个图形中有3颗黑棋，第②个图形中有5颗黑棋，第③个图形中有7颗黑棋，……，按此规律排列下去，则第⑨个图形需（）颗黑棋．A ．17B ．19C ．21D ．23【专训2-1】（2023秋·山西朔州·七年级校联考阶段练习）如图，物体从点A 出发，按照（第1步）CA B（第2步）D A E F G A B的顺序循环运动，则物体第2024步到达点处．【专训2-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列图形：它们是按一定规律排列的．(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？(2)摆成第n个图案需要几个五角星？(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？。
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题01 丰富的图形的世界必刷压轴30题(解析版)
专题01丰富的图形的世界（压轴30题4种题型）一、生活中的立体图形1．（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B 中所示，故选：B ．【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）物理实验室有高度同为10cm 的圆柱形容器A 和B （如图），它们的底面半径分别为2cm 和4cm ，用一水龙头单独向A 注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A 注水，问6分钟后容器A 中水的高度是（）cm ．（注：若圆柱体底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则2V r h ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A ，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案．【详解】解：3分钟后可以注满容器A ，A 容器的体积为22321040cm V r h ．则6分钟的注入水量为380cm ，设6分钟后容器A 中水的高度是cm x ，当5x 时，22520 ，注入水量20V ．当5x 时，2225452080100 ，注入水量20100V ．当510x 时，2221041040160200 ，注入水量100200V故选：B ．【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想．3．（2021秋·四川绵阳·七年级统考期中）将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（）条棱．A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】五棱柱有15条棱，观察五棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是6条，相减即可求出需要剪开的棱的条数．【详解】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是6条，则至少需要剪开的棱的条数是：15﹣6＝9（条）．故至少需要剪开的棱的条数是9条．故选：C ．【点睛】本题主要考查了立体图形的展开与折叠，准确分析判断是解题的关键．4．（2023秋·七年级课时练习）把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为3cm ，宽为2cm 的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后，所得到的圆柱体的体积是cm 3．（结果保留π）【答案】12π或18π/18π或12π【分析】分绕长边旋转和绕宽边旋转两种情况，分别求出对应圆柱的底面半径和高，再根据旋转的体积=底面积×高求解理解【详解】解：若绕长边3cm 旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为2cm ，高为3cm ，所以圆柱的体积为π·22×3=12π(cm 3)；若绕宽边2cm 旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为3cm ，高为2cm ，所以圆柱的体积为π·32×2=18π(cm 3)，故答案为：12π或18π．【点睛】本题考查平面图形旋转后所得的立体图形、圆柱体的体积，熟记圆柱的体积公式，利用分类讨论求解是解答的关键．5．（2022秋·七年级单元测试）用橡皮泥做一个棱长为4cm 的正方体．如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm 的正方体通孔，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个边长为1cm 的正方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为m 2；（注意：图形（3）不用）【答案】118【分析】根据打孔后的表面积＝原正方体的表面积﹣小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积，打孔后的表面积＝图（1）的表面积﹣4个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小矩形的面积解答即可．【详解】表面积S 1＝96﹣2+4×4＝110（cm 2）；表面积S 2＝S 1﹣4+4×1.5×2＝118（cm 2）．故答案为118．【点睛】本题考查了立体图形，掌握长方体的表面积计算公式是解决问题的关键．6．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是（选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积．（2 圆柱V r h ，213圆锥V r h ，r 为圆柱和圆锥底面半径，h 为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【答案】(1)③(2)39【分析】（1）由四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形可知是面动成体；（2）分别求出圆柱体和圆锥体的体积，作差即可【详解】（1）∵四边形是平面图形，绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形∴是面动成体故选③（2）∵223545V r h圆柱221132633V r h 圆锥∴45639V V V圆柱圆锥【点睛】本题考查面动成体，圆柱和圆锥的体积公式，记忆理解公式是解题的关键7．（2023秋·全国·七年级专题练习）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V ）、面数（F ）和棱数（E ），填写下表中空缺的部分：多面体顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）四面体4六面体86八面体812十二面体2030通过填表发现：顶点数（V ）、面数（F ）和棱数（E ）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉（L .Euler ，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)表见解析，2V F E (2)五(3)6【分析】（1）通过观察，发现棱数 顶点数 面数2 ；（2）根据棱柱的定义进行解答即可；（3）由（1）得出的规律进行解答即可．【详解】（1）解：填表如下：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446六面体8612八面体6812十二面体201230顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是2V F E，故答案为：2V F E；（2）解：∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面，有72=5个侧面，这个棱柱是五棱柱，故答案为：五；（3）解：由题意得：棱的总条数为83122（条），由2V F E可得8122F,解得：6F ，故该多面体的面数为6．【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．8．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列多面体，并把下表补充完整.名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数a6棱数b9面数c5（1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱；（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n ，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（4）观察上表中的结果，请写出a ，b ，c 之间关系式___________．【答案】填表见解析；（1）142436，，；（2）28；（3）223n n n n ，，，；（4）2a c b 【分析】由三棱柱的顶点数为：326 ，棱数为：339 ，面数为：235 ；四棱柱的顶点数为：428 ，棱数为：4312 ，面数为：246 ；五棱柱的顶点数为：5210 ，棱数为：5315 ，面数为：257 ；六棱柱的顶点数为：6212 ，棱数为：6318 ，面数为：268 ，即可填表．根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n 棱柱一定有(2)n 个面，2n 个顶点和3n 条棱，进而得出（1）（2）和（3）的答案；（4）根据表格可总结出规律得出a b c ，，之间的关系．【详解】解：填表如下：名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数a681012棱数b9121518面数c 5678（1）十二棱柱有14个面，共有24个顶点，共有36条棱．故答案为：14，24，36；（2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为28棱柱．故答案为：28；（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n ，则它有n 个侧面，共有(2)n 个面，共有2n 个顶点，共有3n 条棱．故答案为：n ，(2)n ，2n ，3n ；（4）a b c ，，之间的关系：2a c b ．故答案为：2a c b ．【点睛】此题主要考查了几何规律型问题，熟记常见棱柱的特征，进而可以总结一般规律：n 棱柱有(2)n 个面，2n 个顶点和3n 条棱是解题关键．二、展开与折叠9．（2023秋·福建龙岩·七年级校考开学考试）有三块相同数字的积木，摆放如下图，相对两个面的数字积最大是（）A．20B．18C．15D．12【答案】A【分析】由前两个图形可知，与6相邻的四个面分别为1、2、4、5，因此与6对面的是3；再由第一和第三个图形可得与1相邻的四个面分别是3、4、5、6．据此分析出各相对面的数字，即可获得答案．【详解】解：根据题意，可知1和2相对，4和5相对，3和6相对，．所以，相对两个面的数字积最大是4520故选：A．【点睛】本题主要考查了正方体相对面上的数字的知识，理解题意，正确分析各相对面上的数字是解题关键．10．（2023秋·湖北恩施·七年级统考期末）一个小立方块六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如下图所示，则C，D，F对面的字母分别是（）A．A、B、E B．A、E、B C．E、B、A D．F、E、B【答案】A【分析】根据第1和第3个图可得出字母A的所有相邻面，进而得出字母A的相对面，同理，根据第1和第2个图可知字母E的所有相邻面，进而得出字母E的相对面，由此可解．【详解】解：由第1和第3个图可知：字母A与字母D，E，B，F是相邻面，字母A与字母C是相对面．由第1和第2个图可知：字母E与字母A，D，B，C是相邻面，字母E与字母F是相对面，字母B与字母D是相对面．即C，D，F对面的字母分别是A，B，E，故选A．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的相对面与相邻面是解题的关键．11．（2023春·九年级单元测试）如图所示，图中每个小正方形的大小都相同，有4个涂了阴影，另外8个都标了字母，若从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的共有（）个．A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题即可．【详解】解：从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的字母有：A 、B 、C 、D 、E 、G ，共有6个，故选：C ．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．12．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，其相对面上两个数之和为8，则x y ．【答案】2【分析】根据正方体展开图判断计算即可．【详解】∵∴“1”与“y ”是对面，“x ”与“3”是对面，∴=5=7x y ，．∴57=2x y ．故答案为2 ．【点睛】本题考查了正方体展开图中相对面的找法，发挥空间想象能力，熟练掌握正方体的展开图，找出正方体的相对面是解题的关键．13．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）有一个正方体，、、A B C 的对面分别是x y z 、、三个字母，如图所示，将这个正方体从现有位置依次翻到第1，2，…，12格，这时顶上的字母是．【答案】y【分析】先确定翻到12后与12重合的面上的字母，再根据已知即可知道相对的面上的字母．【详解】解：翻到1时，C 与1重合；翻到2时，A 与2重合；翻到3时，B 与3重合；翻到4时，z 与4重合；翻到5时，x 与5重合；翻到6时，B 与6重合；翻到7时，C 与7重合；翻到时8，A 与8重合；翻到9时，B 与9重合；翻到10时，x 与10重合；翻到11时，z 与11重合；翻到12时，B 与12重合；∵B 的对面是y ，正方体向上一面的字母是y ；故答案为：y ．【点睛】此题考查了正方体的特征，熟练掌握正方体的特征及相对两个面上的文字是解答此题的关键．14．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图所示，图1为一个棱长为6的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x =___________，y =___________；(2)如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是___________（填6或10或x 或y ）；(3)图1中，点M 为所在棱的中点，在图2中找到点M 的位置，直接写出图2中ABM 的面积___________．【答案】(1)12，8(2)y(3)9或45【分析】（1）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，列式可得答案；（2）根据临面，对面的关系，可得答案；（3）根据展开图面与面的关系，可得M 的位置，根据三角形的面积公式，可得答案．【详解】（1）解：如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则26104x y ，解得12x ，8y ；故答案为：12，8；（2）解：如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是y ．故答案为：y ；（3）解：如图：16392ABM S ，或 16663452ABM S ，故ABM 的面积为9或45，故答案为：9或45．【点睛】本题主要考查了正方体展开图面与面之间的关系，熟悉并熟练掌握展开图面与面之间的关系是解决问题的关键．15．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究：(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是．(3)如图3，有一张边长为50cm 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．②若四角各剪去了一个边长为6cm 的小正方形，这个纸盒的容积．【答案】(1)C(2)环(3)①见解析；②86643cm 【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；（3）①画出相应的图形即可；②先表示出折叠后的长方体的容积，再把6x 代入求值即可．【详解】（1）∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，∴展开图有5个面，再根据正方体的展开图的特征，可得A 选项、B 选项中图形不符合题意，选项C 的图形符合题意，选项D 的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D 不符合题意．故答案为：C ；（2）根据“相间、Z 端是对面”可知，“小”字相对的面为“环”，答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；故答案为：环；（3）①所画出的图形如图所示：②设折叠后的长方体的高为x cm ，底面是边长为 502x cm 的正方形，其面积为 2502x 2cm ，体积为 2502x x 3cm ，当6x 时， 2502x x 2502668664 （3cm ），答：当小正方形边长为6cm 时，纸盒的容积为86643cm ．【点睛】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．三、截一个几何体16．（2022秋·陕西宝鸡·七年级校考期中）如图，用平面截一个几何体，该几何体的截面形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据截几何体所得截面的形状的判断方法进行判断即可．【详解】解：根据判断，该几何体的截面形状是矩形，故选：B ．【点睛】本题考查截一个几何体，熟知判断方法是解题的关键，用一个平面截一个几何体，首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线，再判断截面的形状．17．（2019秋·山东德州·七年级统考期末）下列几何体的截面分别是（）A ．圆、平行四边形、三角形、圆B ．圆、长方形、三角形、圆C ．圆、长方形、长方形、三角形D ．圆、长方形、三角形、三角形【答案】B【分析】根据平面图形得出截面.【详解】由图可知，下列几何体的截面分别是：圆、长方形、三角形、圆.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是认识平面图形，解题的关键是熟练的掌握平面图形.18．（2022秋·七年级课时练习）如图，所示的正方体竖直截取了一个“角”，被截取的那个“角”的体积是．【答案】15cm 3【分析】根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，然后确定出底面积为和高，然后求解即可．【详解】解：根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，三棱柱的体积=12×2×3×5=15（cm 3）．【点睛】本题主要考查了直三棱柱体积的计算，判断出被截取的几何体的形状是解题的关键．19．（2023秋·全国·七年级专题练习）一块长方体的木块，从左面和右面分别裁去长为2厘米和5厘米的长方体，成为一个正方体后，表面积减少了84平方厘米，那么原来长方体的体积为．【答案】90立方厘米【分析】设正方体棱长为x 厘米，根据题意列方程可求得x 的值，进而得到原长方体的长、宽、高的值，再计算体积即可.【详解】设正方体棱长为x 厘米，依题意得245484x x ，解得3x ，则原长方体的宽为3厘米，高为3厘米，长为32510 厘米，则331090V 立方厘米．【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式．20．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图的圆柱体，它的底面半径为2cm ，高为6cm(1)该圆柱的截面图有几种？(2)你能截出最大的长方形吗？(3)截得的长方形面积的最大值是多少？【答案】(1)5；(2)能；(3)24．【分析】（1）根据圆柱的几何特点从不同的角度去截取可以得出5种不同的图形；（2）过上下底面圆的直径得到的截面图形为面积最大的长方形；（3）根据长方形的面积公式即可得出答案．【详解】（1）解：如图1所示，可得出以下5种图形；（2）解：如图2，截面最大的长方形，长为6cm ，宽是4cm ；（3）解：截面长方形的面积最大是：26424()cm ；故截得的长方形面积最大为224cm ．【点睛】此题考查了几何体被截能得到的形状，主要根据截面的形状不仅与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，得出截面最大的长方形是要经过上下底面圆的直径是解决本题的关键．21．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个圆柱的底面半径是5cm ，高是14cm ，把这个圆柱放在水平桌面上，如图．(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是；(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是；(3)请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积．【答案】(1)圆(2)长方形(3)2140cm 【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．【详解】（1）解：所得的截面是圆，故答案为：圆．（2）所得的截面是长方形，故答案为：长方形．（3）在（2）的条件下，经过底面圆心的截面，所截得的最大截面面积为：（252141014140cm）．140cm．因此，在（2）的条件下所截得的最大截面面积为2【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键．四、从三个方向看物体的形状22．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，该立体图形的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：该立体图形的左视图为D选项．故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．23．（2022秋·陕西西安·七年级西安一中校考阶段练习）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从左面看到的几何体的形状图与其他三个不同的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先画出每个几何体从左面看的形状图,比较选择即可．【详解】∵从左面看的形状图为；∵从左面看的形状图为；∵从左面看的形状图为；∵从左面看的形状图为；故选B．【点睛】本题考查了从不同方向看几何体的形状图，正确画出形状图是解题的关键．24．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体（）A．俯视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图改变C．主视图改变，左视图不变D．主视图不变，左视图不变【答案】A【分析】根据从不同的方向得出新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图没有发生改变，左视图和俯视图都发生了变化．【详解】解：将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体的主视图不变，左视图由原来的2列变为1列，俯视图由原来的两层变为一层．故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，根据立体图形得出其三视图是解题关键，注意三种视图的观察角度．25．（2022秋·山西太原·七年级统考期中）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．A．搭成该几何体的小立方块最少有个．B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出种不同的图形．【答案】67【分析】A．根据从左面看和从上面看的图形，在从上面看的图形上相应位置标出摆放的数量即可；B．分别在从上面看到的图形上标出摆放的各种不同的情况即可．【详解】解：A．如图，是符合条件的其中一种摆放方法，共需要6个小立方体，故答案为：6；B．将不同情况的摆放方式，在俯视图上标注出来如下：共有7种不同的摆放方式，故答案为：7．【点睛】本题考查了从不同方向看简单组合体，理解视图的定义，掌握简单组合体的画法及形状是正确解答的前提．26．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少．．要在个面上着色．【答案】2【分析】分析几何体，找到可以保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变的正方体放置位置，计算正方体的着色面即可．【详解】解：为保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，正方体添加的位置如下图所示，∵小正方体添加后，左面、底面和背面被遮挡且不从右面看，∴至少需要在正面、顶部两个面上着色，故答案为：2．【点睛】本题考查几何体，解题的关键是找出小正方体的添加位置．27．（2022秋·七年级课时练习）用10个棱长是1cm的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示，且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱共享，或有一面共享．现有一张3cm×4cm的方格纸（如图②）．将这10个小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，摆出的几何体表面积最大为cm2【答案】52【分析】将正方体露在外面部分最多时，表面积最大，如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大．【详解】解：如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大，最大值＝3×6+2×10+14＝52（cm2），故答案为：52．【点睛】本题考查三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．28．（2022秋·四川广安·七年级统考期末）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．(1)这个几何体由______个小正方体组成，请画出这个几何体从不同方向得到的平面图形．(2)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有______个正方体只有一个面是黄色，有______个正方体只有两个面是黄色，有______个正方体只有三个面是黄色．【答案】(1)10，见解析(2)1，2，3【分析】（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：6，2，2，相加即可；由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；从左边看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从上面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；（2）只有一个面是黄色的在第一列最底层中间那个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个．【详解】（1）解：622=10，所以，这个几何体由10个小正方体组成．故答案为：10；这个几何体从不同方向得到的平面图形，如下图所示：（2）只有一个面是黄色的在第一列最底层中间那个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共2个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个，共3个．故答案为1，2，3．。
中考数学考点大串讲(北师大版)：专题03 概率的进一步认识(考点清单)(原卷版)
专题03概率的进一步认识（考点清单）思维导图考点一用树状图或表格求概率【考试题型1】几何概率【典例1】如图所示，一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何点的可性都相同，那么它停在AOB 上的概率是（）A ．18B ．14C ．12D ．34【专训1-1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为．【专训1-2】（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑的4个小正方形形成的图案．(1)一粒米随机落在图中所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，求米粒落在阴影部分的概率；(2)将方格内空白的小正方形 A B C D E ，，，，中取且只取1个涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，那么在备用图形中把该小正方形涂黑，如把B 涂黑.请把满足条件的所有可能都在备用图中涂出来，并求出新图案是轴对称图形的概率．【考试题型2】列举法求概率【典例2】有四根细木棒，长度分别为3cm 5cm 7cm 9cm ，，，，则随机抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．34数，那么组成的两位数是奇数的概率为．【专训2-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）小丽与妈妈用一个如图所示的六等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是能被4整除.妈妈获胜，如果是不能被4整除，则小丽获胜（指针指到线上则重转）．求：(1)转完转盘后指针指向数字是3的倍数概率是多少？(2)这个游戏公平吗？请你说明理由．【考试题型3】列表法或树状图法求概率【典例3】现有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次、乙抛掷3次，则乙掷出正面向上的次数大于甲掷出正面向上的次数的概率为（）A．916B．38C．716D．12【专训3-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）现有四张分别标有字母A，B，C，C的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标字母不同的概率是．【专训3-2】（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)获奖总人数为人，m ，A所对的圆心角度数是°．(2)请将条形统计图补充完整；(3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【考试题型4】游戏公平性【典例4】小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（）A．公平B．对小颖有利C．对小明有利D．无法确定【专训4-1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则（填“公平“或“不公平”）．【专训4-2】（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）桌面上放有形状大小相同的甲、乙两组扑克牌，它们背面朝上，甲组扑克牌是红桃2，红桃3和黑桃4；乙组扑克牌是黑桃5、黑桃6、红桃7，(1)洗匀后随机从甲组扑克牌中摸出一张牌以上面的数作为个位数字，从乙组扑克牌中摸出一张以其上的数作为十位数字，组成的两位数是偶数的概率是；(2)黄震和程祥约定了一个游戏规则：从洗匀后的甲、乙两组扑克牌中各随机摸出一张牌，若摸出的两张牌花色相同，则黄震胜；若花色不同，则程祥获胜，这个游戏规则是否对双方公平？请用列表法或树状图法说明【考试题型5】利用概率计算随机事件发生的平均次数【典例5】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（）粒．A．125B．1250C．250D．2500【专训5-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买个这样的电子产品，可能会出现1个次品．【专训5-2】（2023·河南驻马店·九年级专题练习）为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成A B 、两组，每组100只，其中A 组白鼠给服甲离子溶液，B 组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：离子残留百分比分组2.5~3.5 3.5~4.5 4.5~5.5 5.5~6.5 6.5~7.57.5~8.5给服甲离子白鼠（只数1827302212给服乙离子白鼠（只数）5a15b2015（注：表中12~A A 表示实验数据x 的范围为12A x A ）若记A 为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到()P A 的估计值为0.70．（1） a _______；b _______．（2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：(30.01)(40.08)(50.27)(60.30)(70.22)(80.12) 6.00 ，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值．（3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．离子残留百分比分组中位数众数方差给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38给服乙离子白鼠的实验组6.36.21.8【考试题型6】概率在转盘抽奖中的应用【典例6】如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（）A．①②④③B．③②④①C．③④②①D．④③②①【专训6-1】（2023春·九年级课时练习）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是．【专训6-2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：方案一：是直接获得20元的礼金卷；方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．指针指向两红一红一蓝两蓝礼金券（元）27927(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．【考试题型7】概率在比赛中的应用【典例7】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（）A．两次求助都用在第1题B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助D．两次求助都用在第1题或都用在第2题【专训7-1】（2018秋·九年级单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏（填“公平”、“不公平”）．【专训7-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．【考试题型8】概率的其他应用【典例8】一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于12022，则密码的位数至少需要设（）A．五位B．四位C．三位D．二位【专训8-1】（2023秋·湖北黄石·七年级统考阶段练习）一个不透明的袋子里装有除颜色外其他完全相同的红、白、黄三种颜色的球各10个，至少要摸()个才能保证摸出两个不同颜色的球，至少摸()个才能保证摸出两个黄色的球．【专训8-2】（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）；(2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________；(3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率．考点二用频率估计概率【考试题型1】求某事件的频率【典例1】期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（）A．0和4B．0和3C．2和4D．0和2【专训1-1】（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是．【专训1-2】（2023秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896b295480601摸到白球的频率mna0.640.590.590.600.601(1)上表中的a_________，b _________；(2)“摸到白球”的概率的估计值是_______(精确到0.1)；(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．【考试题型2】由频率估计概率【典例2】如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（）A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443 B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.440【专训2-1】（2023秋·福建三明·九年级校考阶段练习）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为．【专训2-2】（2021秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996116295480601摸到白球的频率mn0.590.640.580.59a0.601(1)上表中的a______；(2)从袋中随机摸出一个球，“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）；(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的小球？【考试题型3】用频率估计概率的综合应用【典例3】一个不透明的袋子中有若干个白球，为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球（黑球与白球除颜色外，其他均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋子中有白球（）A．18个B．26个C．28个D．40个【专训3-1】（2023春·湖南永州·九年级校考阶段练习）一个不透明口袋中装有2个红球和若干白球，它们除颜色外其它完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，口袋中白球最有可能有个．九年级专题练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896116295484601摸到白球的频率mn0.580.640.580.590.6050.601(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（精确到0.1）(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？。
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2010-2011中考串讲调整与提升 6.12背景： 1. 重视双基，减少繁杂计算； 2. 易中难的比例不变，5:3:23. 以能力立意的思想不变4. 重视合情推理和操作的考查原则：总体稳定，局部调整，依据课标，使之更全面更准确地体现课标精神。
题型、题量都保持不变摆正位置、寻找差距：1．需要摆正什么位置?(1)在全校全区以及全市的位置：自己要结合自己理想的学校的情况,看清自己需要努力的方向；(2)在复习状态与复习水平上的位置：对知识的认识、对知识应用的水平、对知识应用时的表达、对解决一个数学问题的能力与水平等是高位吗．2.寻找差距(1)位置摆放的合适吗?(2)复习状态上的差距?知识认识与应用的水平,满足于“懂”或“会”的水平，还是可以应对自如？(3)应考的准备：准备迎接自己人生第一次竞争,参加考试的身体与心理准备如何?(4)应试的技术准备的如何?3.从一点出发编织网络我们所学的数学知识是可以按需要分类的,同时更可以根据需要把我们所学的知识进行网络化,使我们能进一步了解知识之间的关系与联系．4.归纳总结,寻求共性与区别我们所学的知识大致可分为代数与几何以及统计与概率等三部分,按自己对知识的理解应该进行必要的分类,并通过分类发现它们的共性与差异,掌握共性,理解差异是掌握知识的最简单的方法．5.重视细节,重视表达细节关系成败的道理就在于成功包含了过程与结果,它是从“会”到“对”再到“好”的唯一的标准．我们所学知识的求解的过程一般需要有一个过程或说程序化的形式,关键是“程序”．6.关注分析方法,提升能力今年的中考试题说没有模式的含义是：不能照搬以往的试题形式，对我们而言就是需要解决新的问题，而解决新的问题就需要有较强的分析问题的能力．7.应知必会知识应用不丢分初中的数学知识可以分为主干知识及非主干知识．这里所说的应知必会知识就是指主干知识的应用．所谓的主干知识是指：初中数学中的结构性、框架性知识；初中数学中对后续知识的学习，起到建构知识体系起支撑作用的基础性知识；初中数学中必须落实与主要考察的知识；主干知识中还应包括重要的数学方法以及知识所能蕴涵的思想方法．例题选讲：1.（观察法）观察下列顺序排列的等式 9×0＋1=1 9×1＋2=11 9×2＋3=219×3＋4=31 9×4＋5=41 ……猜想：第n个等式（n为正整数）应为。
2．观察下面的式子 31＝3 32＝9 33＝27 34＝81 35＝243 36＝729 37＝2187 38＝6561 39＝19683……，它的个位数字的变化有一定规律，用你发现的规律直接写出 910的个位数字。
3．用红白两种颜色的正六边形地面砖，按如图所示的规律拼成若干个图案。
（1个图案中有红色地砖块。
4．定义运算“@”的运算法则为:x @y ＝4+xy 则（ 2 ＠ 6 ）＠ 8 =5．(1) 数a ，b 满足()()1212=+-+b a a a 求：b a b a a 424422+-+-的值.(2) 若1=x 时，代数式 12++bx ax 的值为5，则 1-=x 时，代数式 12++bx ax 的值等于（ ）A.0B.－3C.－4D.－56.（1）当x 取何值时,分式是整数.（2）已知设比较M ,N 的大小.（3求的值.7. 试用 x+2 的幂的形式表示 x 2-2x-3 .8 .求证:a 、b 为任意值时, 4a 2+ b 2 - 8a + 2b + 6的值恒为正.9.某牛奶加工厂现有100吨鲜牛奶准备加工后上市销售，该工厂的加工能力是，如果制成奶片每天可加工鲜奶10吨，如果制成酸奶每天可加工鲜奶30吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部加工完毕．该厂应安排几天制奶片，几天制酸奶，才能使任务在4天内正好完成？如果制成奶片销售每吨奶可获利2 000元，制成酸奶销售每吨奶可获利1 200元，那么该厂出售这些加工后的鲜牛奶共可获利多少元？10. 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教 室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． ⑴求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由． 1,xy =11.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数.12. 已知关于x 的方程212123+=--+n x m x 的解是非负数，则m 与 n 的关系是（ ） A ．n m 3≥ B ．3m n ≥ C ．n n 3= D ．3nm >13.x 、y 同时满足三个条件：①p y x -=-423 ②p y x +=-234 ③y x >，则（ ）A ．1->pB ．1<pC ．1-<pD ．1>p14.若方程组{1333+=+=+k y x y x 的解为x 、y 且42<<k ，则y x -的取值范围是（ ）A ．210<-<y x B ．10<-<y x C ．13-<-<-y x D ．11<-<-y x15.16．17.甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图6所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米； （2）甲在途中停留了0.5小时； （3）乙比甲晚出发了0.5小时； （4）相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5）甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象描述的说法有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个18. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了_____h．开挖6h时甲队比乙队多挖了_____m；（2）请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？19．如图（1），在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm. 点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止. 若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时，点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b cm，点Q的速度变为每秒d cm. 图（2）是点P出发x秒后△APD的面积（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图（3）是点Q出发x秒后△AQD的面积（cm2）与x（秒）的函数关系图象.20．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，•现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？21．我区某农场A、B两村盛产柑桔， A村有柑桔200吨， B村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D 两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨， D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x 吨，A、B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为 yA 元和 yB 元．（1）请填写下表，并分别求出 yA 、yB 与x之间的函数关系式；（2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力， B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．22 农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业。
他准备用40m 长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m 的墙， 设计了如图一个矩形的羊圈。
（1）请你求出张大伯矩形羊圈的面积； （2）请你判断他的设计方案是否合理？ 如果合理，直接答合理；如果不合理又 该如何设计？并说明理由。
23.24.抛物线的图象如图，则下列结论：① abc ＞0； ② a+b+c=2 ③ a ＞21；④ b ＜1. 其中正确的结论是（ ）. （A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④26.27.29.30.已知：关于x 的一元二次方程012)1(22=+++-m x m x （1）求证：方程有两个实数根；（2）设0<m ，且方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x <），若y 是关于m 的函数，且y ＝1216x x -，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m 的方程02=-+m y 的解．例4：在⊙O中，△ABC是内接三角形,且AB=AC,点P是⊙O中的一个动点．求证：AB+AC>PB+PC．一题多解，开阔思路:四边形ABCD 是正方形，点M 是AD 边上不同于A 、D 的点，点N 是CD 的中点.若1010sin =∠ABM ，求证：MBC NMB ∠=∠ 例30如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与点C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H . （1）求证：① △BCG ≌△DCE ； ② BH ⊥DE ；（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由.。