2014年秋季新版苏科版九年级数学上学期1.3、一元二次方程的根与系数的关系教案7
苏科版数学九年级上册1.3《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
苏科版数学九年级上册1.3《一元二次方程根与系数的关系》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册1.3《一元二次方程根与系数的关系》是本册教材中的一个重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的概念和解法已经有了一定的理解。
但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，学生可能还比较难以理解，需要通过实例和练习来逐步消化。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.能够运用根与系数的关系解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何运用根与系数的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.案例分析法：通过实例分析，让学生理解根与系数之间的关系。
3.练习法：通过练习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件：展示一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.实例：提供一些实际问题，让学生分析。
3.练习题：设计一些练习题，让学生巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。
例如：一根木头锯成两段，第一段长x米，第二段长y米，已知x+y=10，xy=20，求x和y的值。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。
通过PPT课件，展示根与系数之间的关系，并用公式表示。
同时，解释根与系数之间的关系如何应用于实际问题。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题，巩固所学知识。
设计一些练习题，让学生独立完成，并解答疑问。
4.巩固（10分钟）让学生通过实例，分析一元二次方程的根与系数之间的关系。
提供一些实际问题，让学生分组讨论，并得出结论。
1.3一元二次方程的根与系数关系
（1）直接开平方法 （3）公式法
（2）配方法 （4）因式分解法
观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有 什么关系吗？（发现规律）
ax 2 bx c 0
x1
1
－1 2
x2
2
－2 3
x 2 3x 2 0
x 2 3x 2 0
x2 5x 6 0
x2 5x 6 0 x 2 3x 0
初中数学九年级上册 （苏科版）
1.3 一元二次方程的 根与系数的关系
1.求根公式法
x 公式: 注意点: b b 4ac 2 b 4ac 0 2a
2
(1)化成一般形式再确定a，b，c； (2)计算b2-4ac，看结果的符号再代入公式.
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）方程右边化为 0 ； （2）将方程左边分解成两个 一次因式 的乘积； （3）至少 有一个 因式为零，得到两个一元一次 方程； （4）两个 一元一次方程的解就是原方程的解． 3. 解一元二次方程的方法：
2
x1 x2
b
b 4ac b b 4ac ． 2a 2a
b＋ b 4ac b b 4ac x1＋x2＝ ＋ 2a 2a
2 2
＝
b
2b b ＝ ＝ ． a 2a
b 4ac b 2a
2
b 4ac
2
x1 x2＝
2
b
2
＝
－2
0
－3
3
两根的积与 常数项相等， 两根的和与 一次项系数 互为相反数．
【解释规律】
你能解释刚才的发现吗？
一般地，在一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）中，
苏科版数学九年级上册《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
苏科版数学九年级上册《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》这一节主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，理解并掌握根的判别式、根与系数的关系式，能够运用这些知识解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固这一知识点。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的求解方法，对一元二次方程有一定的认识。
但部分学生可能对根与系数之间的关系理解不深，因此在教学中需要通过具体例题和练习题让学生加深对这一知识点的理解。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.能够运用根的判别式和根与系数的关系式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何运用根的判别式和根与系数的关系式解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解并掌握知识点，通过小组合作学习促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题。
2.准备教学PPT。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习一元二次方程的求解方法，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生直观地理解这一知识点。
同时，给出根的判别式和根与系数的关系式。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用根的判别式和根与系数的关系式求解一元二次方程的根。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过PPT上的案例，让学生运用根的判别式和根与系数的关系式解决实际问题。
教师引导学生思考，巩固所学知识点。
5.拓展（5分钟）让学生分组讨论，思考如何运用根的判别式和根与系数的关系式解决更复杂的问题。
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的根与系数的关系根的判别式》教学设计
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的根与系数的关系根的判别式》教学设计一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系根的判别式》是苏科版数学九年级上册第1章的内容。
本节内容是在学生掌握了二次三项式分解、求根公式的基础上进行学习的，是进一步研究二次方程的性质和解决实际问题的基础。
教材从实际问题出发，引导学生探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次三项式分解、求根公式等知识，具备了一定的数学基础。
但学生对一元二次方程的根与系数的关系的理解和应用能力还有待提高。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、实验、探究等活动，发现并总结一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系，掌握根的判别式的概念和计算方法。
2.能够运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
3.培养学生的观察、实验、探究能力，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式的概念和计算方法。
2.教学难点：运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、实验、探究等活动，发现并总结一元二次方程的根与系数的关系。
2.利用多媒体辅助教学，展示实验过程，直观地演示一元二次方程的根与系数的关系。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用案例教学法，结合实际问题，培养学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
苏科版初中数学九年级上册《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷
苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣22．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣63．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．94．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．36．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为；12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为．14．当整数m＝时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝．18．方程的整数解有组．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣2【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）和x1x2的值，再把所求代数式化为两根和与两根积的式子即可求得答案．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，则原式＝x1x2﹣2x1﹣2x2+4＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（﹣1）+4＝﹣1+2+4＝5，故选：C．【点评】本题主要考查根与系数的关系，把所求代数式化为两根和与两根积的形式是解题的关键．2．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣6【分析】运用一元二次方程根的判别式，确定m与n的关系，结合已知求出．【解答】解：由求根公式可知当一元二次方程根为有理根时判别式的算术平方根比为有理数，△＝（m+1）2+4×2×（3m2﹣4m+n）＝25m2﹣30m+1+8n，要使对任意有理数m，均为有理数，△必须是m的完全平方式，此方程必定有两个相等的根．∴△＝302﹣4×25×（1+8n）＝0，解得n＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及数的规律，有一定综合性．3．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．9【分析】先对原方程进行变形，将其转化为a与b的函数关系式，然后根据自变量b的取值范围来确定a的取值．【解答】解：由a+8b﹣2b2＝7，得a＝2（b﹣2）2﹣1，∵1≤b≤4，∴﹣1≤b﹣2≤2，∴﹣1≤2（b﹣2）2﹣1≤7，即﹣1≤a≤7，∴a可取的整数值有：﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7共9个．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识点，在解答此题时，首先将a转化成关于b的一元二次方程的关系式，然后再根据定义域来确定值域．4．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个【分析】求得和为﹣5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．【解答】解：∵﹣5+0＝﹣5；﹣4+（﹣1）＝﹣5；﹣3+（﹣2）＝﹣5；1+（﹣6）＝﹣5；2+（﹣7）＝﹣5；3+（﹣8）＝﹣5；4+（﹣9）＝﹣5…∴p＝﹣5×0＝0或﹣4×（﹣1）＝4或﹣3×（﹣2）＝6或1×（﹣6）＝﹣6或2×（﹣7）＝﹣14；或3×（﹣8）＝﹣24；或4×（﹣9）＝﹣36…．故选：D．【点评】本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数．5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用已知条件将方程变形，整理为平方差形式，分析两数相乘所有的可能．【解答】解：∵，可变形为：（x﹣7）（y﹣7）＝49∵x，y为整数，当x＝14时，y＝14，当x＝8时，y＝56，当x＝56时，y＝8，∴其他数据都在不符合要求，符合要求的只有三组．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程的解法，整理为整式方程后再进行分析解决，题目比较简单．6．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零【分析】首先把方程变形2007（x+a）＝﹣2008b，根据b＞0可得x+a＜0，进而得到x＜﹣a，再根据方程有正整数解可得：﹣a＞1，即有a＜﹣1，继而得到ab＜0．【解答】解：原方程可化为：2007（x+a）＝﹣2008b，∵b＞0，∴﹣2008b＜0，∴x+a＜0，∴x＜﹣a，若方程有正整数解，则须使得：﹣a＞1，即有：a＜﹣1，∴ab＜0故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程整数根的解法，以及整数的奇偶性，题目比较简单．二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝﹣．【分析】由α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，可得α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，根据根与系数的关系，求出α2+β2，代入变形后的代数式得结果．【解答】解：∵实数α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，∴实数α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，∴α+β＝3，α•β＝﹣11．∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9+22＝31∴+＝＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解决本题的关键是：根据α、β分别满足两个方程而得到α、β是同一个方程的两个根．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为26．【分析】根据韦达定理得a+b＝﹣4，ab＝﹣5，代入a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得．【解答】解：∵方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，∴a+b＝﹣4，ab＝﹣5，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16+10＝26，故答案为：26．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝﹣4．【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，则x1﹣x2＝﹣＝﹣＝﹣4，故答案为：﹣4【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是15．【分析】由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1•x2的值，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2，∴x12+x22﹣x1•x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝32﹣3×（﹣2）＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2018；【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，∴a2+a＝2019，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，故答案为：2018．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此题的关键．12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143＝0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143＝0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）＝39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39＝1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26＝1、5x﹣5a+26＝39联立解得a＝2.8不符合，②当5x﹣26＝39、5x﹣5a+26＝1联立解得a＝18，③当5x﹣26＝3、5x﹣5a+26＝13联立解得a＝8.4不符合，④当5x﹣26＝13、5x﹣5a+26＝3联立解得a＝12.4不符合，∴当a＝18时，方程为5x2﹣90x+325＝0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39＝1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为3，或5，或6，或2．【分析】根据条件|m﹣2|+|m﹣n|＝1，分情况讨论①|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1；②|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0；然后分别可以求出m的值，进而得到n的值，最后分别计算m+n的值．【解答】解：当|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1，∴m＝2，n＝1或n＝3，∴m+n＝3或5．当|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0，∴m＝3或m＝1，n＝m，∴m+n＝6或2．综上，m+n＝3，或5，或6，或2．故答案为：3或5或6或2．【点评】此题主要考查了有理数的绝对值和数学中的分类讨论思想的运用，分类讨论时要考虑全面，此题比较简单，基础性较强．14．当整数m＝1时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．【分析】方程若有解，则方程根的判别式△≥0，求出满足条件的m的取值范围，并求两个解集的公共部分．【解答】解：若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+9＝0，则△＝36﹣36m≥0，解得m≤1，若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，则△＝16m+20≥0，m≥﹣，故﹣≤m≤1，∵m为整数，m＝﹣1，0，1，m＝0时方程mx2﹣6x+9＝0不是一元二次方程，故应舍去，当m＝﹣1时方程mx2﹣6x+9＝0即x2+6x﹣9＝0，解得：x＝﹣3±3，方程的解不是整数，当m＝1时，x2﹣6x+9＝0解得：x1＝x2＝3，两方程的解都为整数，故答案为：m＝1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式等知识点，题目比较典型．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．【分析】首先利用根与系数的关系得出有关x1，x2的方程，利用质数的性质得出方程的解．【解答】解．x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，p+q＝x1x2﹣x1﹣x2＝28，X1＝＝1+，因为两根均为正整数，且29为质数，所以x2＝2 或x2＝30，即方程可化为（x ﹣2）（x﹣30）＝0，∴方程的两根分别为2，30，（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．故填：29．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及质数的性质，题目比较典型．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是a＝b＝c＝m＝0．【分析】先观察，易得a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解，根据（1）可推知b和d具有相同的奇偶性，然后根据若b和d同为奇数与b和d同为偶数两种情况讨论，最终得知只有a＝b＝c＝m＝0一组解．【解答】解：显然，a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解．为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）＝1．由方程（1）可知，6是5n2的约数，因为6与5互质，所以6是n2的约数，从而6是n的约数，进一步5n2有约数36，因此6又是6a2+3b2+c2的约数，即6是3b2+c2的约数，所以3是c2的约数，故可设n＝6m，c＝3d，代入（1）得2a2+b2+3d2＝10m2（2）b2+3d2＝10m2﹣2a2所以b和d具有相同的奇偶性．①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数：式（2）左边被8除的余数为2+1+3＝6或0+1+3+4；式（2）右边被8除的余数为0或2．此时方程（2）无解，从而方程（1）无解．②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数，（2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8，所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m2不能被8整除，m一定为奇数；这样可设a＝2a1﹣1，b＝2b1，d＝2d1，m＝2m1﹣1，其中a1，b1，d1，m1都是正整数，则方程（2）化为2a1（a1﹣1）﹣10m1（m1﹣1）﹣2＝﹣（b12+3d12），10m1（m1﹣1）﹣2a1（a1﹣1）+2＝b12+3d12（3）由于m1（m1﹣1）及a1（a1﹣1）为偶数，则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b1和d1不能同为偶数，否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立，然而b1和d1同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立，于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解．综上讨论知，方程只有一组解a＝b＝c＝m＝0．【点评】此题考查了方程的解的推理过程，体现了探索发现的过程，通过反证法得出矛盾，逐步去掉多余的信息是解题的关键．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝0．【分析】首先根据|a﹣b|+|ab|＝2分情况讨论，可以分成三种情况；（1）|ab|＝0，|a﹣b|＝2；（2）|ab|＝1，|a﹣b|＝1；（3）|ab|＝2，则|a﹣b|＝0再根据条件a、b是整数分别讨论即可．【解答】解：（1）若|ab|＝0，则|a﹣b|＝2则ab之中必有一个为0若a＝0，则|b|＝2，则b＝±2若b＝0，则|a|＝2，则a＝±2∴ab＝0（2）若|ab|＝1，则|a﹣b|＝1∵a、b是整数∴不存在（3）若|ab|＝2，则|a﹣b|＝0∵|a﹣b|＝0∴a＝b又∵|ab|＝2∴不存在综上：ab＝0【点评】此题主要考查了求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，主要根据条件考虑全面，不要漏掉每一种符合条件的情况，此题综合难度较大．18．方程的整数解有4组．【分析】首先将y用x表示，平方后根据已知条件分析各项数据，得出所有的可能．【解答】解：∵，∴＝x＝1998+y﹣2已知x，y为非负整数，所以1998y是个完全平方数，∵1998＝2×3×3×3×37，y＝2×3×37＝222，x＝888 或者y＝2×3×37×2×2＝888，x＝222，0也是整数，0也有平方根．∴整数解有（888，222），（222888，），（0，1998）和（1998，0）共4组．故答案为：4．【点评】此题主要考查了方程整数解的有关知识，以及完全平方数，题目比较简单．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．【分析】先假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为偶数，进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数．【解答】证明：假设a、b、c全为奇数△＝b2﹣4ac≥0有：x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，∴b2﹣4ac＝n2，∴（b﹣n）（b+n）＝4ac，∵若n为偶数，（b﹣n）（b+n）＝奇数×奇数＝奇数≠4ac，∴n只能为奇数，b﹣n为偶数b+n为偶数，∴（b﹣n）（b+n）＝偶数×偶数＝2a×2c（a≤c），即b﹣n＝2a，b+n＝2c，解得：b＝a+c，此时b＝奇数+奇数＝偶数，与原假设矛盾，∴原假设不成立．∴如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数．【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根、整数的奇偶性问题，注意对于不能直接证明的问题，采用反证法往往是一种不错的方法．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）将a+b＝﹣2、ab＝﹣5代入+＝中即可求出结论；（2）将a2+2a＝5、a+b＝﹣2代入a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，∴a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）+＝＝＝﹣；（2）a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系结合一元二次方程的解找出a2+2a＝5、a+b＝﹣2、ab＝﹣5是解题的关键．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．【分析】（1）计算其判别式，由方程根的情况可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可用m表示出两根之和、两根之积，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）＝8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2﹣3，∵x12+x22＝22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）＝6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9＝0，解得m＝1或m＝﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣4k+13≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2﹣3）＝2k2﹣4k+7，∵x12+x22＝23，∴2k2﹣4k+7＝23，解得k＝4，或k＝﹣2，∵k≤，∴k＝4舍去，∴k＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，∵x12+x22＝11，∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，∵k≤，∴k＝4（舍去），∴k＝﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算；（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，∴（2a）2﹣4（a﹣6）×a≥0，a﹣6≠0，解得，a≥0且a≠6；（2）∵x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵x1x2﹣x1＝4+x2，∴x1x2＝4+x2+x1，即＝4+，解得，a＝24．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．【分析】（1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）≥0，解得k≥﹣；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，由+＝﹣可得：2（x1+x2）＝﹣x1x2，∴2（2k+1）＝﹣（k2﹣2），∴k＝0或k＝﹣4，∵k≥﹣，∴k＝0．【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．【分析】首先根据已知条件可得m2﹣1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．【解答】解：∵m2﹣1≠0∴m≠±1∵△＝36（m﹣3）2＞0∴m≠3用求根公式可得：x1＝，x2＝∵x1，x2是正整数∴m﹣1＝1，2，3，6，m+1＝1，2，3，4，6，12，解得m＝2．这时x1＝6，x2＝4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．【分析】由于方程的类型已经确定，则r≠0，由根与系数关系得到关于r的两个等式，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．【解答】解：由题意可得：r≠0时，设方程的整数根为x1，x2，不妨设x1≤x2，由根据系数关系可得：x1+x2＝＝﹣1﹣①，x1x2＝＝3﹣②，②﹣①得：x1x2﹣（x1+x2）＝4，则x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，由x1≤x2得：x1﹣1≤x2﹣1，5＝1×5＝（﹣5）×（﹣1），∴或，解得：或，将上述x1，x2的值代入②得：12＝3﹣或0＝3﹣解得：r＝﹣或，故存在有理数r的值为：﹣或．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？【分析】（1）假设出装卸工作需要小时数，表示出第一人与最后一人所用时间，再由10小时装卸完毕，列出方程；（2）从装卸时间入手列出方程．【解答】解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时．根据题得，解得x＝16（小时）；（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y﹣1）t小时，按题意，得，即（y﹣1）t＝12．解此不定方程得，，，，，即参加的人数y＝2或3或4或5或7或13．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及不定方程的解法，综合性较强．29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．【分析】分别假设方程的根为奇数、偶数、分数，然后将方程变形，得出矛盾，进而根据有理数的概念可判断出方程x2+2px+2q＝0此方程的根是无理数．【解答】解：①首先，方程的根不可能是奇数；若x为奇数，则x2为奇数，而2px+2q是偶数，因此x2+2px+2q取奇数值，不可能是0；②其次，方程的根不可能是偶数；若x为偶数，则x2+2px能被4整除，而这时常数项2q被4除时余2，因此不能满足x2+2px+2q≠0；③最后，方程的根不可能是分数；若x为分数，则x+p也是分数，而方程可以变为（x+p）2＝p2﹣2q，等号右端的p2﹣2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！综上可知，当p，q是两个奇数时，方程x2+2px+2q＝0不可能有有理根，即此方程的根是无理数．【点评】此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识，注意运用假设法解题，得出矛盾，然后判断假设正确与否，有一定难度．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．【分析】根据求根公式可知：x＝＝（2m﹣3）±，根据4＜m＜40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可．【解答】解：解方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0，得，∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数，∴2m+1＝25或49，解得m＝12或24．∴当m＝12时，，x1＝26，x2＝16；当m＝24时，．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解为x＝．要注意根据实际意义进行值的取舍．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．【分析】（1）根据k2﹣2k＝0得出k的值，进而求出x的值；（2）当k2﹣2k≠0进行分析，利用代入消元法求出k的值．【解答】解：（1）当k2﹣2k＝0，即k＝0或k＝2，①若k＝0时，原方程化为4x+8＝0，即x＝﹣2符合题意；②若k＝2时，原方程化为﹣8x+8＝0，则x＝1符合题意；（2）当k2﹣2k≠0，即k≠0且k≠2时，原方程可化为：（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0，解得x1＝，x2＝，将k＝，代入x2＝得x1x2+2x1﹣x2﹣2＝﹣2，∴或或或∴或或或（舍去），或或，解得：k＝1或﹣2或，综上：k的值为1，﹣2，【点评】此题主要考查了一元二次方程整数根的求法和代入消元法解方程，题目难度不大．。
苏科版九年级上1.3一元二次方程的根与系数的关系含答案解析
1.3 一元二次方程的根与系数的关系当堂检测1．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．－4C ．3D ．－32．一元二次方程x 2－2x －3＝0的两根之和为________，两根之积为________．3．若一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为________．4．如果x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个实数根，那么x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，x 12＋x 22＝________．5．已知α，β是方程x 2＋2x －3＝0的两个实数根，求下列各式的值．(1)α2＋β2；(2)β2－2α.课后训练一、选择题1． 若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( )A ．－10B ．10C ．－16D ．162．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ＋n 的值是( )A ．－10B ．10C ．－6D ．23．设x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，则x 12＋x 22的值是( )A ．19B ．25C ．30D ．314．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－15．若方程x 2＋x －1＝0的两实数根为α，β，则下列说法不正确．．．的是( ) A ．α＋β＝－1 B ．αβ＝－1 C ．α2＋β2＝3 D .1α＋1β＝－1 6.已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( ) A ．3 B ．1 C ．3或－1 D ．－3或17．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或28．[2014·包头]若关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是()A．m≤12B．m≤12且m≠0 C．m<1 D．m<1且m≠0二、填空题9．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________．10．若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝________．11．若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为________．12．若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k的值是________．14．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1，x2，且(x1－2)(x1－x2)＝0，则k的值是________．15．若关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－1＝0的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝3，则m＝________．16．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2015＝________．三、解答题17．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0的两个实数根分别为－2，m，求m，n的值．18．已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求实数m 的值．19．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．答案及解析当堂检测1．D [解析] x 1x 2＝－3.故选D.2．2 －33．3 [解析] 根据题意，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，所以x 1＋x 2－x 1x 2＝2－(－1)＝3.4．6 －5 465．解：∵α，β是方程x 2＋2x －3＝0的两个实数根，∴α＋β＝－2，αβ＝－3.(1)原式＝(α＋β)2－2αβ＝4＋6＝10.(2)原式＝3－2β－2α＝3－2(α＋β)＝3－2×(－2)＝7.课后训练1．[解析] A 在已知方程中，因为a ＝1，b ＝10，c ＝16，所以x 1＋x 2＝－b a ＝－101＝－10.故选A .2．[解析] A ∵关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，∴－2＋4＝－m ，－2×4＝n ，解得m ＝－2，n ＝－8，∴m ＋n ＝－10.故选A .3．[解析] D ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－5，x 1x 2＝－3，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝25＋6＝31.故选D .4．[解析] B 先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入计算即可求出结果．∵x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－3，∴原式＝x 12＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝9＋6－3＝－5. 故选B .[点评] 此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．5．[解析] D 由一元二次方程根与系数的关系，知α＋β＝－1，αβ＝－1，因此，α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－1)2－2×(－1)＝3，显然选项A ，B ，C 均正确．故选D .6．[解析] A 根据条件，知α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2，∴1α＋1β＝β＋ααβ＝－（2m ＋3）m 2＝－1， 即m 2－2m －3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，（2m ＋3）2－4m 2>0， 解得m ＝3.故选A .[点评] 本题考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况：(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有两个相等的实数根；(3)b 2－4ac ＜0⇔方程没有实数根．7．[解析] C ∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝[－(m ＋6)]2－4m 2＝0，解得m ＝6或m ＝－2.又∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2，∴m ＋6＝m 2，解得m ＝3或m ＝－2.∵b 2－4ac ＝0，∴m ＝3不符合题意，舍去，即m ＝－2.故选C .8．[解析] B 因为一元二次方程有实数根，所以b 2－4ac ＝4(m －1)2－4m 2＝4－8m ≥0，所以m ≤12.因为x 1＋x 2＝－2(m －1)>0，所以m<1.因为x 1x 2＝m 2>0，所以m ≠0.所以m ≤12且m ≠0.故选B .9．[答案] 25[解析] ∵m ，n 是一元二次方程x 2－4x －3＝0的两个根，∴m ＋n ＝4，mn ＝－3，则m 2－mn ＋n 2＝(m ＋n)2－3mn ＝16＋9＝25.10．[答案] 4[解析] ∵关于x 的一元二次方程x 2－(a ＋5)x ＋8a ＝0的两个实数根分别为2和b ， ∴由根与系数的关系，得2＋b ＝a ＋5，2b ＝8a ，解得a ＝1，b ＝4，∴ab ＝1×4＝4.11．[答案] 0[解析] ∵m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，∴m ＋n ＝－1，m 2＋m ＝1，则原式＝(m 2＋m)＋(m ＋n)＝1－1＝0.12．[答案] 16[解析] 设矩形的长和宽分别为x ，y ，根据题意，得x ＋y ＝8，所以矩形的周长＝2(x ＋y)＝16.13．[答案] 2[解析] ∵方程x 2－6x ＋k ＝0的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝k ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝6k＝3， 解得k ＝2.14．[答案] －2或－94[解析] ∵(x 1－2)(x 1－x 2)＝0，∴x 1－2＝0或x 1－x 2＝0，解得x 1＝2或x 1＝x 2.当x ＝2时，原方程可变为22＋(2k ＋1)×2＋k 2－2＝0，解得k ＝－2；当x 1＝x 2时，此时一元二次方程有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝0，即(2k ＋1)2－4(k 2－2)＝0，解得k ＝－94.故答案为－2或－94. 15．[答案] 0[解析] ∵x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝m 2－1，x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3，∴(2m －1)2－2(m 2－1)＝3，解得m 1＝0，m 2＝2.∵方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－1＝0有两个实数根，∴b 2－4ac ＝(2m －1)2－4(m 2－1)≥0，解得m ≤54. ∴m ＝0.故答案为0.16．[答案] 2026[解析] 由题意可知：m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3， 所以m ，n 是一元二次方程x 2－x －3＝0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m ＋n ＝1，mn ＝－3.又因为n 2＝n ＋3，则2n 2－mn ＋2m ＋2015＝2(n ＋3)－mn ＋2m ＋2015＝2n ＋6－mn ＋2m ＋2015＝2(m ＋n)－mn ＋2021＝2×1－(－3)＋2021＝2＋3＋2021＝2026.17．解：由题意，得m ＋(－2)＝－1，∴m ＝1.又∵－2m ＝n ，∴n ＝－2.18．解：原方程可变形为x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.∵x 1，x 2是原方程的两个实数根，∴4(m ＋1)2－4m 2≥0，∴8m ＋4≥0，解得m ≥－12. 又∵x 1，x 2满足|x 1|＝x 2，∴x 1＝x 2或x 1＝－x 2，即b 2－4ac ＝0或x 1＋x 2＝0.由b 2－4ac ＝0，即8m ＋4＝0，得m ＝－12； 由x 1＋x 2＝0，即2(m ＋1)＝0，得m ＝－1(不合题意，舍去)．故当|x 1|＝x 2时，m 的值为－12. 19．[解析] (1)根据方程有两个不相等的实数根可得b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0，求出k 的取值范围；(2)首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k ＋1＝k 2＋1，结合k 的取值范围解方程即可．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0，解得k ＞34. (2)∵k ＞34， ∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0.又∵x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1.∵|x 1|＋|x 2|＝x 1x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1，∴k 1＝0，k 2＝2.又∵k ＞34， ∴k ＝2.20．解：(1)方程整理，得x 2－2(k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0.∵b 2－4ac ＝4(k ＋1)2－4(k 2＋2k)＝4＞0，∴实数k 的取值范围是任意实数．(2)根据题意，得x 1＋x 2＝2(k ＋1)，x 1x 2＝k 2＋2k ，x 12＋x 22－x 1·x 2＋1＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＋1＝4(k ＋1)2－3(k 2＋2k)＋1＝k 2＋2k ＋5＝(k ＋1)2＋4.∴当k ＝－1时，代数式x 12＋x 22－x 1·x 2＋1取得最小值，该最小值为4.21．解：(1)b 2－4ac ＝4＋4k.∵方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，即4＋4k ＞0，∴k ＞－1.(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k ，∴α1＋α＋β1＋β＝α（1＋β）＋β（1＋α）（1＋α）（1＋β）＝α＋β＋2αβ1＋α＋β＋αβ＝－2－2k 1－2－k＝2. 【数学活动】[解析] (1)根据判别式的意义得到b 2－4ac ＝(2m －1)2－4m 2≥0，然后解不等式即可；(2)把x ＝1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；(3)根据根与系数的关系得到α＋β＝－(2m －1)，αβ＝m 2，利用α2＋β2－αβ＝6得到(α＋β)2－3αβ＝6，则(2m －1)2－3m 2＝6，然后解方程后利用(1)中m 的取值范围确定m 的值．解：(1)根据题意，得b 2－4ac ＝(2m －1)2－4m 2≥0，解得m ≤14. (2)把x ＝1代入方程，得1＋2m －1＋m 2＝0，解得m 1＝0，m 2＝－2.即m 的值为0或－2.(3)存在．根据题意，得α＋β＝－(2m－1)，αβ＝m2. ∵α2＋β2－αβ＝6，∴(α＋β)2－3αβ＝6，即(2m－1)2－3m2＝6，整理，得m2－4m－5＝0，解得m1＝5，m2＝－1.∵m≤1 4，∴m的值为－1. ＝－1.。
九年级数学上册1.3一元二次方程的根与系数的关系什么是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常
什么是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程
答案：
一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
【举一反三】
典例：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
(1)2x2＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)2－4＝0．
思路导引：一般来说，在做此类问题时，要先把方程化成一般形式．因为方程的二次项系
数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程． (1)整理，得2x2－3x－5＝0．二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．9
(2)整理，得x2－2＝0．二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)整理，得x2＋4x＝0．二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
标准答案：（1)二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．
(2)二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．。
1.3一元二次方程的根与系数关系的应用
则:
的值为( A )
A. 1
B.
－1
C.
5
D.
5 5
应用二:
以
已知两根求作新的方程
x1 , x2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:
2
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
2 的图象上, 又 y ( x 0) x 在一次函数 y x 2 的图象上,则以m,n为根的一元二 次方程为(二次项系数为1): 2 解:由已知得, n 即 m· n=－2 m
4. x1 x2
( x1 x 2 )
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2
2
归纳1: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的 代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
练习2 (1)设
1 1 x1 x2
x x 1 0 的两个实数根 为x1 , x 2
x kx k 2 0 的两个实数根
2
是 x1, x2 且 x x 解：由根与系数的关系得
2 1 2 2
4
求k的值。
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4
x1+x2=-k， x1 ．x2=k+2
又 x 12+ x 2
2
当k=4时， △＜0
(1) x1 x2 3
⑶2X2+3X=0
⑷3X2 = 1
x1 x2 1
x1 x 2
x1 x 2 0
x1 x 2
2 3
1
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
九年级数学上册 1.3 一元二次方程根与系数的关系导学案(无答案)(新版)苏科版
典型例题1.已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根和 的值.
2.写出以-２与１为根的一元二次方程。
3.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3 x -1＝0的两个根的平方和与倒数和。
练习：1.已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
2.设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
一元二次方程根与系数的关系
学习
目标
1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系。
2.能根据根与系数的关系和已知一根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的 未知系数。
3.会利用根与系数的关系求关于两根的代数式的值。
重点难
点
一元二次方程根与系数的关系及应用
难点
探索一元二次方程根与系数的关系
学生活动过程
1.收获2.困惑
六、作业必做习题1.3第1.2题
选作：已知关于 的方程 的两个实数根是 、 ，且
（1）求k的值；（2）求 的值.
反思：
亮点：
不足：
改进
3.猜一猜：请根据以上的观察猜想：方程 的两根 与系数a,b,c之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿．
结论：设 为方程 的两个实数根，证明上述结论:当满足条件______时，方程的两根是 ，两根之和 ______,两根之积 _______.
练习：不解方程，求下列 各方程的两根之和与两 根之积：
（1） ；（2） （3） ；（4）
教师导学过程
一、自主学习（ 独学）
任务1：探索一元二次 方程根与系数的关系
思考：1．解方程 并观察x1 ＋x2,x1·x2与系数的关系
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系什么是一元二次方程的二次项系数一次项系数常数项？素材新版苏
什么是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程
答案：
一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
【举一反三】
典例：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
(1)2x2＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)2－4＝0．
思路导引：一般来说，在做此类问题时，要先把方程化成一般形式．因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程． (1)整理，得2x2－3x－5＝0．二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．9
(2)整理，得x2－2＝0．二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)整理，得x2＋4x＝0．二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
标准答案：（1)二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．
(2)二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．。
一元二次方程的根与系数的关系-九年级数学上册(苏科版)
A．-1
B．3
C．3或-1
D．-3或1
【分析】
∵x2-(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根x1，x2， ∵x1+x2=x1x2，
∴Δ＞0，x1+x2=2m+3，x1x2=m2，
∴2m+3=m2，
即[-(2m+3)]2-4m2=12m+9m＞0，
解得：m=-1或m=3，
谢谢学习
Thank you for learning
0
【分析】
∵α、β为x2+2x-4=0的两根，
∴α2+2α-4=0，αβ=-4，
∴α2=-2α+4，
∴a2+αβ+2α=-2α+4+(-4)+2α=0．
等式左边是二次，右边
是一次，从左到右，可
以达到“降次”的目的
练3、若x1，x2是方程x2=2x+2023的两个实数根，则代数式x13-2x12+2023x2的值
解得：t=- ．
练1-2、已知关于x的一元二次方程5x2+kx-6=0的一个根是2，则它的另一个根是
________．
【分析】
设方程的另一个根为t，
根据题意得：2·t=- ，
解得：t=- ．
【不解方程，求关于根的代数式的值】
例2、已知a、b是一元二次方程2x2+3x-4=0的两个根，那么ab2+a2b的值是
-2
-3
2
x2-5x+6=0
2
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
九年级数学上册 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识拓展 一元三次方程的故事素材 苏科版(2
九年级数学上册１.３一元二次方程的根与系数的关系知识拓展一元三次方程的故事素材(新版)苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（九年级数学上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系知识拓展一元三次方程的故事素材（新版)苏科版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一元三次方程的故事很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题．然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终．１4９4年,意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论．他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样,是根本不可能的．这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角．以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事.故事中第一个出场的人物是一位大学教授,名字叫费罗(Sｃｉpｉoｎe del Ferro,1４6５-1５２6）．他在帕西奥利作出悲观结论不久,大约在１500年左右，得到了x3＋mx=ｎ这样一类缺项三次方程的求解公式.在求解三次方程的道路上,这是一个不小的成功．但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功.相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天,真是不可思议之事！在当时却有其原因.那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败．因此,一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器.最后直到其临终前，大约1５1０年左右,他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人:他的女婿和他的一个学生.他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了.菲奥尔本人的数学才能并不突出,但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世.只不过他“独此一家,别无分店”的招牌却没有挂太长的时间,一个厉害的挑战者塔塔利亚(Nicｃolo Tarｔaｇｌia ｏf Bresｃiａ，1４99—1557）出现在他的面前．这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳.１５1２年,在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症．于是就得了“塔塔利亚"的绰号,意大利语就是“口吃者”的意思．那时他还只有１3岁.然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高的成就.１534年他宣称自己已得到了形如x3+mx=n这类没有一次项的三次方程的解的方法．不久,菲奥尔就听到了挑战者的叫板声,于是我们故事中的两位人物开始碰面了．两人相约在米兰进行公开比赛.双方各出三十个三次方程的问题,约定谁解出的题目多就获胜．塔塔利亚在1535年２月１３日,在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法．于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目,而对方对他的题目却一题都做不出来．这样他以3０:0的战绩大获全胜.这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉,同时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了.塔塔利亚为这次胜利所激励,更加热心于研究一般三次方程的解法.154１年，终于完全解决了三次方程的求解问题．或许是出于与费罗同样的考虑,或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故,塔塔利亚没有将自己的成果很快发表.于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完全不同的方向.这位半路杀出来的“程咬金”叫卡尔达诺(Ｇiroｌａmo Cardaｎo, 1５０1-１5７６)，一位或许是数学史中最奇特的人物.他的本行是医生,并且是一个颇受欢迎的医生.但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋．除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家,同时是一个占星术家,并在这些知识领域里都获得了重要成果.他行为有些怪异，好赌博,人品看来也不太佳.在他去世后一百年,伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人;没有这些缺点,他将举世无双.”在我们故事中卡尔达诺所要扮演的正是一个将才能与不佳的人品集于一身的不太光彩的角色．在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久,卡尔达诺听说了这一故事．在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果.于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方程大师的奇妙技巧.为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了．但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后,他于153９年3月２5日向卡尔达诺公开了自己的秘密．故事的转折就这样开始了.卡尔达诺并没有遵守自己的诺言,1545年他出版《大术》一书,将三次方程解法公诸于众,从而使自己在数学界名声鹊起．当然，如果说句公道的话,卡尔达诺的《大术》一书并非完全抄袭之作,其中也包含着他自己独特的创造．然而,这种失信毕竟大大激怒了塔塔利亚.15４6年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为,于是一场争吵无可避免地发生了.一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去．１548年8月1０日在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化．卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马.这个学生的名字叫费拉里(LudovｉcｏFerrarｉ，１5２2-156５)，是我们故事中出场的最后一个人物．费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆.主人发现了他的出众才能,接受他为学生和助手.18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学.其最大的贡献是发现四次方程的一般解法.现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了．在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指摘对方不能解四次方程.于是一场数学论争逐渐演变成一场无聊的谩骂．最后客场作战的塔塔利亚以失败而告终,后者宣称了自己胜利.由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡尔达诺公式”,塔塔利亚之名反而湮没无闻了．这对塔塔利亚来说似乎是太不公平了.不过，这又怎么样呢?在历史上,这类争夺优先权的论战又何止这一桩呢?随着时间的推移,多少年过去后,在当时对于个人如此重要的事,对后人而言却不过是“古今多少事,都付笑谈中”而已．塔塔利亚发现的一元三次方程的解法S，那么一元三次方程的一般形式是x3+ｓｘ2＋tｘ+u＝0,如果作一个横坐标平移ｙ＝x＋3我们就可以把方程的二次项消去．所以我们只要考虑形如x3＝px＋ｑ的三次方程．假设方程的解x可以写成x＝a－b的形式,这里ａ和b是待定的参数.代入方程,我们就有a3－3a２ｂ+3ａb2－b3＝p(a－b）+q；整理得到a3-b3=（a-b)（p+3ａb)+q；由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b,使得在x＝a-b的同时,３ａb＋p＝0．这样上式就成为a３－b3＝q;两边各乘以２7a３,就得到27a6－27ａ3ｂ３＝２7qa3；由ｐ＝－３ａb可知27a6 +ｐ＝２７qa3；这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得ａ,进而可解出b和根x.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系
九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系一、一元二次方程根与系数的定义•一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b 和c是已知的实数，且a≠0。
•x是未知数，方程中该变量的二次项系数常被称为a，一次项系数常被称为b，常数项常被称为c。
•方程的根（或解）是满足方程的解x，使得当x代入方程中后等式成立。
二、一元二次方程的根与系数的关系•一元二次方程的根与其系数之间存在一定的关系，可以通过方程的系数推导出方程的根的性质。
判别式•一元二次方程的判别式通过系数a、b和c的值计算，其表达式为D=b2−4ac。
•判别式可以确定方程的根的性质：–当判别式D>0时，方程有两个不相等的实数根；–当判别式D=0时，方程有两个相等的实数根（重根）；– 当判别式 D <0 时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
根与系数的关系• 方程的两个根（或解）分别为 x 1 和 x 2，则有以下关系成立：– 根的和等于一次项系数的相反数的比值：x 1+x 2=−b a – 根的乘积等于常数项与二次项系数的比值：x 1⋅x 2=c a 三、示例题目1. 已知一元二次方程 2x 2−5x −3=0 的两个根为 x 1 和 x 2，根据根与系数的关系，求 x 1+x 2 和 x 1⋅x 2。
根据公式可知，该方程的系数分别为 a =2，b =−5 和 c =−3。
将其代入根与系数的关系公式中：$ x_1 + x_2 = - = - = $$ x_1 x_2 = = = -$所以 x 1+x 2=52，x 1⋅x 2=−32。
四、总结• 一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，可以通过方程的系数计算出方程的根的性质。
• 判别式可以确定方程的根的个数和根的类型。
•根与系数的关系可以通过根的和、根的乘积与方程的系数之间的比值来表示。
五、应用及拓展•一元二次方程的根与系数的关系在解决实际问题中有着广泛的应用，如在物理、经济等领域的模型建立和解析中都会遇到。
苏科版数学九年级上册1.3《一元二次方程根与系数的关系》说课稿
苏科版数学九年级上册1.3《一元二次方程根与系数的关系》说课稿一. 教材分析《一元二次方程根与系数的关系》是苏科版数学九年级上册第1.3节的内容。
本节课的主要内容是引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生掌握根的判别式、根与系数的关系，以及会用这些知识解决实际问题。
教材通过引入一元二次方程的根与系数的关系，让学生进一步理解一元二次方程的解法，提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的解法，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，他们对根与系数之间的关系还没有深入的理解，需要通过实例和探究活动来加深对这个关系的认识。
此外，学生需要进一步培养解决问题的能力和思维能力。
三. 说教学目标1.让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.提高学生的思维能力和探究能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生掌握根的判别式、根与系数的关系。
2.教学难点：理解并应用根与系数的关系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等辅助教学，通过动画、图片、实例等形式，让学生更直观地理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入一元二次方程的根与系数的关系，激发学生的兴趣。
2.探究活动：引导学生通过小组合作学习，探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生通过实际操作和思考，掌握根的判别式、根与系数的关系。
3.案例分析：通过一些实际案例，让学生运用所学的知识解决实际问题，巩固对根与系数之间关系的理解。
4.总结提升：对本节课的内容进行总结，强化学生对一元二次方程根与系数关系的认识。
5.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x xx x x x x++-+==； ⑨12x x -==⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1. 阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca． 根据上述材料解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2；有两个实数根：x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 【思路点拨】（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围； （2）由y=x 1+x 2=-ba，代入即可求得：y=2-2m ，根据（1）中m 的取值范围，即可求得最小值． 【答案与解析】【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．举一反三：【变式】（杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4；（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，∴m2﹣4m﹣45=0，解得m1=9，m2=﹣5．当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；故m的值为9；（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，解得：m=﹣1，∴方程变为x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，不能组成三角形；当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19．2.（肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x 1﹣x 2）2；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．（1）（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2﹣4x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2==10． （2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=x 1x 2+1+1+==．【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】 【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3.（灌云县期末）已知关于x 的方程x 2+ax ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．【答案与解析】解：（1）在方程x 2+ax ﹣2=0中，△=a 2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8，∵a 2+8≥8，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，解得：a=﹣1．设方程的另一个根为m ， 由根与系数的关系得：2m=﹣2， 解得：m=﹣1．∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且方程2222cx bx a bx ax b ++=++有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．（曲靖一模）已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129-6.（芦溪县模拟）设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．15 B ．12 C ．6 D ．3二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．（凉山州）已知实数m ，n 满足3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且m≠n，则n m m n+= ．9．（濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程 ，使它的两根分别是方程x 2﹣7x ﹣1=0各根的倒数．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 ，（1）当k 为 时，两根互为相反数；（2）当k 为 时，有一根为零，另一根不为零. 12．（仁寿县一模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则m 的值是 ．三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.15．（杭州校级期中）如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1•x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x 2+px+q=0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】A ；【解析】方程化为(c-b)x 2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴ △＝4(b-a)2-4(c-b)(a-b)＝0 即4(a-b)(a-c)＝0，∴ a ＝b 或a ＝c ，∴ △ABC 为等腰三角形．3．【答案】A ；【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A ．4.【答案】C ； 【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b 可看成方程25201290x x ++=的两根， 再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．6．【答案】C ；【解析】解：∵x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，∴x 1+x 2=3，x 1x 2=，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=32﹣2×=6． 故选：C ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】﹣；【解析】解：∵m≠n 时，则m ，n 是方程3x 2+6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．9．【答案】x 2+7x ﹣1=0；【解析】解：设方程x 2﹣7x ﹣1=0的两根为α、β，则有：α+β=7，α•β=﹣1． ∴==﹣7，=﹣1，∴以、为根的方程为x 2+7x ﹣1=0．故答案为：x 2+7x ﹣1=0．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11．【答案】（1）k=0；（2）k=.【解析】解：设方程的两根为x 1, x 2，则x 1+x 2=-=-；x 1x 2= .（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 即x 1+x 2=-=0，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=16>0 ∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零， 即x 1x 2==0，解得k=.又当k=时，x 1+x 2=-≠0，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=>0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.12.【答案】-1.【解析】解：根据题意得x 1+x 2=m ，x 1x 2=2m ﹣1，∵x 12+x 22=7，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=7，∴m 2﹣2（2m ﹣1）=7，解得m 1=﹣1，m 2=5，当m=﹣1时，原方程变形为x 2+x ﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；当m=5时，原方程变形为x 2﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根； ∴m 的值为﹣1． 故答案为﹣1．三、解答题13. 【答案与解析】设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122m x x -=． 由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭， 整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-13，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-13，且k ≠0 . (2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0.则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-kk ，且01)1(2=-+kk k k ，解得k =-1 . 而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-13，且k ≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 .15.【答案与解析】解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x 2﹣4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5=0的解， 当a ≠b 时，a+b=15，a ﹣b=﹣5， +====﹣47；当a=b 时，原式=2．（3）设方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则+==﹣，•==，则方程x 2+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
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一元二次方程根与系数的关系
教学目标：
知识与技能目标：1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2．灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．过程与方法目标：提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
情感与态度目标：知识来源于实际，最后应用于实际．
教学重、难点与关键：
重点：一元二次方程根与系数关系的应用．
难点：某些代数式的变形．
关键：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．
教辅工具：
教学程序设计：。