2018届高三数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本理
2018版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明算法复数12.1归纳与类比教师用书文北师大版
2018版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数 12.1 归纳与类比教师用书文北师大版1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N＋)．( ×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199 答案 C解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123. 2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人 答案 C解析 A 、D 是归纳推理，B 是类比推理，C 符合三段论模式，故选C.3．(2017·济南质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是________． 答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 4．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为________________．答案 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，b 29＝b 1＋n ·b 17－n ，可知存在的等式为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)．5．(2016·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1 n ＋1 2(n ∈N ＋)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________. 答案n ＋22n ＋2解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34(1－19)＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23(1－116)＝58， 推测f (n )＝n ＋22n ＋2.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2016·山东)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2 (2016·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝________.答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n. 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋1 2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n . … …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 (2017·大连月考)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 答案 D解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)(2015·陕西)观察下列等式：1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为_________________________________________________________ _______________．(2)(2016·抚顺模拟)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．答案 (1)1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(2)183解析 (1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. (2)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.题型二 类比推理例5 (1)(2017·西安质检)对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|OA →＋|OA →|OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________． (2)求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，解得x ＝1＋52(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋1…的值为________．答案 (1)V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 (2)1＋32解析 (1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为V O －BCD·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0.(2)令1＋12＋1…＝x ，则有1＋12＋1x ＝x ，解得x ＝1＋32(负值已舍去)．思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.题型三 演绎推理例6 已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )． (1)试证明：f (x )为R 上的单调增函数；(2)若x ，y 为正实数且4x ＋9y＝4，比较f (x ＋y )与f (6)的大小．(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)解 ∵x ，y 为正实数，且4x ＋9y＝4，∴x ＋y ＝14(x ＋y )(4x ＋9y )＝14(13＋4y x ＋9x y )≥14(13＋2 4y x ·9x y )＝254， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 4y x ＝9xy ，4x ＋9y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝154时取等号，∵f (x )在R 上是增函数，且x ＋y ≥254>6，∴f (x ＋y )>f (6)．思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误(2)(2016·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案(1)C (2)B解析(1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．(2)A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.10．高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 014是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N ＋，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12，b 1＝4×52＝a 4， b 2＝5×62＝a 5， b 3＝9× 2×52＝a 9， b 4＝ 2×5 ×112＝a 10，b 5＝14× 3×52＝a 14，b 6＝3×5 ×162＝a 15，…b 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k 5k －1 2. (2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N ＋，所以A ＝N ＋，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①； 对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②； 对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③.④不符合，故填④.答案 (1)①5 035 ②5k 5k －12(2)④1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．推理过程 D ．没有出错答案 A解析 推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误．故选A. 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．4．(2016·泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…按照这样的规律，则2 016所在等式的序号为( ) A ．29 B ．30 C ．31 D ．32答案 C解析 由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n ＋1，…，其前n 项和S n ＝n [3＋ 2n ＋1 ]2＝n (n ＋2)且S 31＝1 023，即第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有63个偶数，故2 016在第31个等式中．5．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．6．把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N ＋)是位于这个三角形数表中从上往下第i 行，从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．答案 107解析 由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i ＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(j －1)，所以j ＝44，所以i ＋j ＝107.7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 8．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案 111222O PQ R O P Q R V V -- ＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为111222O PQ R O P Q R V V -- ＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. 9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13 1＋3 ＝33 1＋3 ＋13 1＋3 ＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33.由此猜想f (x )＋f (1－x )＝33.证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x3＋3·3x＝13x ＋3＋3x3 3＋3x ＝3＋3x3 3＋3x ＝33.10．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)11.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)． 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)． (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)， 所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 017)＋f (2 0162 017)＝2， f (22 017)＋f (2 0152 017)＝2， f (32 017)＋f (2 0142 017)＝2， …，f (2 0162 017)＋f (12 017)＝2. 所以f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)＝12×2×2 016＝2 016.。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十二章推理证明、算法、复数12.5含解析
1．条件概率及其性质（1)一般地，设A,B为两个事件,且P（A)>0，称P（B|A）＝错误!为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．在古典概型中,若用n（A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A）＝错误!。
(2）条件概率具有的性质①0≤P（B|A)≤1;②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C｜A)＝P（B|A)＋P(C|A）．2．相互独立事件（1）设A，B为两个事件，若P（AB)＝P(A）P（B），则称事件A 与事件B相互独立．（2）若A与B相互独立,则P（B|A）＝P(B)，P(AB)＝P（A）P(B｜A）＝P(A）P（B）．（3）若A与B相互独立，则A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也都相互独立．3．二项分布（1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验．（2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C错误!p k（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n。
此时称随机变量X服从二项分布,记为X～B(n，p),并称p为成功概率．【知识拓展】超几何分布与二项分布的区别（1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）（1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ×）（2）相互独立事件就是互斥事件．（×)(3)对于任意两个事件,公式P(AB）＝P(A)P（B)都成立．( ×）(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于（a＋b)n二项展开式的通项公式,其中a＝p,b＝1－p.( ×）（5)P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率,P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．（√）1．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）A。
2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：第十二章推理与证明、算法、复数含解析
第十二章错误!推理与证明、算法、复数第一节合情推理与演绎推理突破点（一) 合情推理基础联通 抓主干知识的“源”与“流”类型定义 特点归纳推理 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊考点贯通 抓高考命题的“形"与“神”本节主要包括2个知识点： 1.合情推理; 2.演绎推理。
归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；（2）把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题（猜想）;(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一) 与数字有关的推理例1] 给出以下数对序列:(1，1）（1，2）（2,1）（1,3）(2，2)（3，1）(1,4）(2,3)(3，2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( )A．（m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1,n－m＋1) D．(m，n－m)解析] 由前4行的特点，归纳可得:若a nm＝（a,b）,则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．答案］A易错提醒］解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等．类型(二) 与式子有关的推理例2］(1）(2016·山东高考)观察下列等式：－2＋错误!－2＝错误!×1×2；错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＝错误!×2×3；错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＋…＋错误!－2＝错误!×3×4;错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＋…＋错误!－2＝错误!×4×5；错误!……照此规律，－2＋错误!－2＋…＋错误!－2＝________。
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.3 推理与证明、算法、复数真题演练集训 理
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课外拓展阅读归纳、猜想、证明［典例] ［2016·江西九江模拟］设数列{a n｝的前n项和为S n，并且满足2S n＝a错误!＋n，a n〉0（n∈N＊）．（1)猜想｛a n｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（2）设x〉0，y〉0，且x＋y＝1，证明：错误!＋错误!≤错误!.[审题视角] （1）将n＝1,2，3代入已知等式得a1，a2，a3,从而可猜想a n，并用数学归纳法证明．（2）利用分析法,结合x〉0，y〉0,x＋y＝1,利用基本不等式可证．（1）［解] 分别令n＝1，2，3，得错误!∵a n〉0，∴a1＝1，a2＝2,a3＝3.猜想：a n＝n.∵2S n＝a错误!＋n，①当n≥2时，2S n－1＝a错误!＋（n－1)．②①－②，得2a n＝a错误!－a错误!＋1,即a错误!＝2a n＋a错误!－1.(ⅰ)当n＝2时，a错误!＝2a2＋12－1,∵a2>0，∴a2＝2.（ⅱ）假设当n＝k（k≥2)时，a k＝k,那么当n＝k＋1时,a2，k＝2a k＋1＋a错误!－1＝2a k＋1＋k2－1，＋1∴[a k＋1－（k＋1）][a k＋1＋(k－1）］＝0，∵a k＋1〉0，k≥2，∴a k＋1＋（k－1）>0,∴a k＋1＝k＋1.即当n＝k＋1时也成立．∴a n＝n(n≥2）．显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有a n＝n。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十二章推理证明、算法、复数12.3含解析
1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A）＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积。
3．几何概型试验的两个基本特点（1）无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限多个；(2）等可能性:每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法（1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n（A)＝错误!作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（√）(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（√）（3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √）(4）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √）（5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（×) (6)从区间［1,10］内任取一个数，取到1的概率是P＝错误!。
( ×）1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ）A。
错误! B.错误! C.错误!D．1答案B解析坐标小于1的区间为[0，1],长度为1,［0，3]区间长度为3，故所求概率为错误!。
2．(2015·山东）在区间［0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤121 ()2log x+≤1”发生的概率为（）A.错误!B。
错误!C。
2018课标版理数一轮(12)第十二章-复数、算法、推理与证明1 第一节 数系的扩充与复数的引入
单位),则 +z2的虚部为 答案 -1 解析 ∵z=1-i(i为虚数单位),
z 1 i 1 i z (1 i) 2 = -2i (1 i)(1 i) 2i = -2i=-i, 2
z z
.
∴ +z2= +(1-i)2
故其虚部为-1.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2+x+1=0没有解. (×) (2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi. (×)
(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小. (×)
(4)原点是实轴与虚轴的交点. (√) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是 复数对应的向量的模. (√)
25 9
答案 A 依题意得z= 3-2
z2 2z 已知复数z=1+i,则 = z 1 z 2 2 z (1 i) 2 2(1 i) 2 = = =2i. z 1 i i
.
答案 2i 解析
栏目索引
z ,若z=1-i(i为虚数 3-3 (2016辽宁师大附中期中)设复数z的共轭复数为
= (
A.1
)
B. 2 C. 3 D.2
(2)(2016福建漳州二模)若复数z满足i· z=1+i,则z的共轭复数的虚部是 ( A.i ) B.1 C.-i D.-1
栏目索引
答案 (1)B (2)B 解析 (1)∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi, ∴x+xi=1+yi,
x 1, ∴ y 1,
z |= 10 .故选A. ∴|(1-z)· z |=|1-z|· 10 ,故选A. 5 × 2 = 解法二:|(1-z)· |z |=|2+i|· |z|=
2018年高考数学课标通用(理科)一轮复习配套课件：第十二章 推理与证明、算法、复数12-5
第十二章
推理与证明、算法、复数
§12.5 复
数
考纲展示► 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形 式的四则运算． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
考点1
复数的有关概念
复数的有关概念 (1)复数的定义
a 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是________，
考点2
复数的几何意义
复数的几何意义 (1)复平面的概念 建立直角坐标系 ____________来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴、虚轴
虚轴 ，实轴 实轴 ，y轴叫做________ 在复平面内，x轴叫做________ 实数 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 上的点都表示________ 纯虚数 ． ________
∴a－3＝0，∴a＝3.
(3)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为( A．－4 C．4 4 B．－5 4 D.5
D
)
[解析] 4 的虚部为5.
3＋4i 5 (3－4i)z＝|4－3i|＝5，∴z＝ ＝ ，∴z 5 3－4i
(4)[2016· 江苏卷]复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，
[点石成金] 对复数几何意义的理解及应用 → (1)复数z、复平面上的点Z及向量 OZ 相互联系，即z＝a → ＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系， 因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用 数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
1 则λ＋μ的值是________ ．
[解析] (1，－1)， → → → 根据OC＝λOA＋μOB，得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1) ＝(－λ＋μ，2λ－μ)， －λ＋μ＝3， λ＝－1， ∴ 解得 2λ－μ＝－4， μ＝2. ∴λ＋μ＝1.
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十二章推理证明、算法、复数12.1含解析
1．概率和频率（1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A 出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．(2）对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P（A）．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)3。
概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P（A)≤1。
（2)必然事件的概率P（E)＝1.(3)不可能事件的概率P（F)＝0.(4）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P（B)．(5）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则P(A）＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）（1)事件发生频率与概率是相同的．（×）（2）随机事件和随机试验是一回事．（×)(3）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √）（4）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ×）(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（√）（6)两互斥事件的概率和为1。
（×)1．从{1,2，3,4，5}中随机选取一个数a，从｛1，2，3｝中随机选取一个数b，则b>a的概率是（）A。
错误! B.错误! C.错误!D。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十二章推理证明、算法、复数12.6含解析
1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1）均值称E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2)方差称D(X）＝错误!（x i－E（X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根错误!为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质（1)E（aX＋b）＝aE(X)＋b。
（2）D（aX＋b)＝a2D(X)．（a，b为常数）3．两点分布与二项分布的均值、方差（1）若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D（X)＝p（1－p）．(2)若X~B(n，p）,则E（X）＝np，D（X）＝np(1－p)．4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x222()x uσ--，x∈（－∞，＋∞），其中实数μ和σ为参数（σ〉0,μ∈R)．我们称函数φμ，σ（x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方,与x轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称;③曲线在x＝μ处达到峰值错误!；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示一般地,如果对于任何实数a,b (a<b)，随机变量X满足P（a〈X≤b）＝ʃ错误!φμ，σ（x）d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2）．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ〈X≤μ＋σ）＝0。
6826;②P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝0。
9544;③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝0。
2018版高考数学文人教大一轮复习讲义 教师版文档第十
1．算法与程序框图 (1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． ②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． (2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形． 2．三种基本逻辑结构3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能(2)条件语句①程序框图中的条件结构与条件语句相对应．②条件语句的格式a．IF—THEN格式b．IF—THEN—ELSE格式(3)循环语句①程序框图中的循环结构与循环语句相对应．②循环语句的格式a．UNTIL语句b．WHILE语句【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(×)(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定．(×)(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(×)(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(√)(5)5＝x是赋值语句．(×)(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.否则执行第(4)步．(4)输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C.2．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于()A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C. 3．(2017·广州调研)下列赋值能使y的值为4的是()A．y－2＝6 B．2*3－2＝yC.4＝yD.y＝2*3－2答案 D解析赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量．4．(2017·太原月考)如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是()A．k≤6? B．k≤7?C．k≤8? D．k≤9?答案 B解析 第一次执行循环，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S ＝720，k ＝7，此时满足条件．5．执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．答案 3解析 第一次循环：F 1＝3，F 0＝2，n ＝2； 第二次循环：F 1＝5，F 0＝3，n ＝3.此时1F 1＝15＝0.2满足1F 1≤ε＝0.25，故输出n ＝3.题型一 顺序结构与条件结构 命题点1 顺序结构例1 如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？解(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，f(x)＝－x2＋4x.则f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)最大值＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.命题点2条件结构例2执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]答案 A解析 根据程序框图可以得到分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]． 引申探究若将本例中判断框的条件改为“t ≥1”，则输出的s 的范围是什么？解 根据程序框图可以得到，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，此时－5≤s <3；当1≤t ≤3时，s ＝3t ∈[3,9]．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s 属于[－5,9]． 思维升华 应用顺序结构与条件结构的注意点 (1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的． (2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为________．答案 2解析 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值． 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S ＝2x ＋y经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.题型二 循环结构命题点1 由程序框图求输出结果例3 (2016·全国乙卷)执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 执行题中的程序框图，知 第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1，x 2＋y 2<36； 第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，x 2＋y 2>36，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.命题点2 完善程序框图例4 (2017·保定质检)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A ．i >10?B ．i <10?C ．i >11?D ．i <11?答案 A解析 经过第一次循环得到s ＝12，i ＝2，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到s ＝12＋14，i ＝3，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到s ＝12＋14＋16，i ＝4，此时的i 不满足判断框中的条件；…；经过第十次循环得到s ＝12＋14＋16＋…＋120，i ＝11，此时的i 满足判断框中的条件，执行输出，故判断框中的条件是“i >10？”．命题点3辨析程序框图的功能例5根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1答案 C解析由程序框图可知，第一次运行：i＝1，a1＝2，S＝2；第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；第三次运行：i＝3，a3＝8，S＝8；第四次运行：i＝4，a4＝16，S＝16.故选C.思维升华与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9 B．18 C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18，故选B.题型三基本算法语句例6阅读下面两个算法语句：图1图2执行图1中语句的结果是输出________；执行图2中语句的结果是输出________．答案i＝4i＝2解析执行图1中语句，得到(i，i·(i＋1))的结果依次为(1,2)，(2,6)，(3,12)，(4,20)，故输出i ＝4.执行图2中语句的情况如下：i＝1，i＝i＋1＝2，i·(i＋1)＝6<20(是)，结束循环，输出i＝2.思维升华解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．(2015·江苏改编)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析I＝1，S＝1；S＝1＋2＝3，I＝1＋3＝4＜8；S＝3＋2＝5，I＝4＋3＝7＜8；S＝5＋2＝7，I＝7＋3＝10＞8.退出循环，故输出S＝7.13．程序框图中变量的取值典例执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的A等于()A．2 047 B．2 049C．1 023 D．1 025错解展示解析将每次运算的A值用数列{a n}表示，将开始的A＝1看作a0，则a1＝2a0＋1＝1，a2＝2a1＋1＝3，…∴a10＝2a9＋1＝210－1＝1 023.答案 C现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2 047.答案 A纠错心得程序框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序．1．(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环．2．(2016·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．8 B．9 C．27 D．36答案 B解析①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，满足k≤2；②S＝0＋13＝1，k＝1＋1＝2，满足k≤2；③S ＝1＋23＝9，k ＝2＋1＝3，不满足k ≤2，输出S ＝9.3．(2015·天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．－10B ．6C ．14D ．18答案 B解析 运行相应的程序，第一次循环：i ＝2，S ＝20－2＝18；第二次循环：i ＝4，S ＝18－4＝14；第三次循环：i ＝8，S ＝14－8＝6；8＞5，终止循环，输出S ＝6，故选B. 4．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i＝9.5．(2017·成都调研)定义某种运算，a b 的运算原理如图所示．设S ＝1x ，x ∈[－2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为( )A ．2B ．－1C ．4D ．3 答案 A解析 由题意可得，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，－2≤x ≤1，1，1<x ≤2，∴S (x )max ＝2，S (x )min ＝0， ∴S (x )max －S (x )min ＝2.6．给出一个算法的程序框图(如图所示)，该程序框图的功能是( )A ．输出a ，b ，c 三数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列 答案 B解析 先比较a ，b 的值，把较小的值赋值给a ；再比较a ，c 的值，把较小的值赋值给a ，输出a .7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)答案 24解析 n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598<3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3<3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6>3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.8．以下给出了一个程序，根据该程序回答：(1)若输入4，则输出的结果是________；(2)该程序的功能所表达的函数解析式为________．答案 (1)15 (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3解析 (1)x ＝4不满足x <3，∴y ＝x 2－1＝42－1＝15.输出15. (2)当x <3时，y ＝2x ，当x >3时，y ＝x 2－1；否则， 即x ＝3，y ＝2. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3.9．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．答案 7解析 本题计算的是这8个数的方差，因为 a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44，所以S ＝(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋428＝7.10．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为：(1)____________； (2)______________． 答案 (1)n 3<1 000 (2)n 3≥1 000解析 第一个图中，n 不能取10，否则会把立方等于1 000的正整数也输出了，所以应该填写n 3<1 000；第二个图中，当n ≥10时，循环应该结束，所以填写n 3≥1 000.11．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值是________．答案 0,1,3解析 根据题意，本程序框图表示分段函数：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5，由于输入的x 值与输出的y 值相等， 由x 2＝x 解得x ＝0或x ＝1，都满足x ≤2； 由x ＝2x －3解得x ＝3，也满足2<x ≤5；由1x ＝x 解得x ＝±1，都不在x >5内，舍去． 可见满足条件的x 共三个：0,1,3.12．(2016·抚州质检)某框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是________．答案 k >8?解析 由题意可知输出结果为S ＝20，第1次循环，S ＝11，k ＝9，第2次循环，S ＝20，k ＝8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为“k >8？”．13．(2016·长沙模拟)运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．答案 [－7,9]解析 该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1.当x <－1时，由0≤3－x ≤10可得－7≤x <－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10恒成立； 当x >1时，由0≤x ＋1≤10可得1<x ≤9. 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]．*14.(2016·宣城模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0152 016，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是________．(填序号)①n ≤2 015？②n ≤2 016? ③n >2 015？④n >2 016?答案 ②解析 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0，得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ， 即g (x )＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 由1－1n ＋1>2 0152 016，得n >2 015. 故可填入②.。
高三数学一轮复习 第十二篇 复数、算法、推理与证明
第十二篇复数、算法、推理与证明(必修3、选修22)第1节数系的扩充与复数的引入知识点、方法题号复数的相关概念1,5,10,12,14,15,19,22复数代数形式的运算3,6,8,9,16,24复数的几何意义2,11,13,18,20复数相等的应用4,7,17,21复数的综合23,25基础对点练(时间:30分钟)1.(2016资阳模拟)复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则实数m的值为( B )(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±2解析:若复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则m2-1=0且m+1≠0,解得m=1.2.(2016重庆模拟)在复平面内,复数i·(1-i)对应的点位于( A )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:因为i·(1-i)=1+i,所以复数i·(1-i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限.3.(2016绵阳模拟)已知i是虚数单位,则等于( D )(A)-1+i (B)-1-i(C)1+i (D)1-i解析:====1-i.4.(2016宿州模拟)设i为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则a+b等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为=b-i(a,b∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,所以a+b=3.5.(2015高考广东卷)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于( A )(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,所以=2-3i,故选A.6.(2015高考四川卷)设i是虚数单位,则复数i3-等于( C )(A)-i (B)-3i (C)i (D)3i解析:i3-=-i+2i=i.故选C.7.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)若a为实数,且=3+i,则a等于( D )(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4解析:因为=3+i,所以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,又a∈R,所以a=4.8.(2015高考湖南卷)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( D )(A)1+i (B)1-i(C)-1+i (D)-1-i解析:z===-i(1-i)=-1-i,故选D.9.(2015高考安徽卷)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)等于( C )(A)3+3i (B)-1+3i (C)3+i (D)-1+i解析:(1-i)(1+2i)=1+i-2i2=3+i.故选C.10.(2016岳阳模拟)已知集合M={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i是虚数单位),若M⊆R,则a等于( C )(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)0解析:集合M={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i是虚数单位),若M⊆R,可知复数x=a+(a2-1)i是实数,所以a2-1=0,解得a=±1.11.(2016茂名模拟)复数1-(i为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是( B )(A)(1,1) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(-1,-1)解析:因为复数1-=1+=1-i,在复平面上对应的点的坐标为(1,-1).12.(2016黄冈模拟)是z的共轭复数,若z+=3,z-=3i(i为虚数单位),z的实部与虚部之和为( B )(A)0 (B)3 (C)-3 (D)2解析:设z=a+bi(a,b∈R),由z+=3,z-=3i,得所以a=b=.所以a+b=3.13.(2016资阳诊断)在复平面内,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB的中点C对应的复数为( D )(A)-4+2i (B)4-2i(C)-2+i (D)2-i解析:因为(1+i)(2-i)=3+i,所以A的坐标为(1,-3),B的坐标为(3,1),线段AB的中点C的坐标为(2,-1),所以线段AB的中点C对应的复数为2-i.14.(2016烟台模拟)设i是虚数单位,a∈R,若是一个纯虚数,则实数a的值为( C )(A)- (B)-1 (C) (D)1解析:==.因为复数是纯虚数,所以解得a=.15.(2015高考北京卷)复数i(1+i)的实部为.解析:i(1+i)=i+i2=-1+i,所以实部为-1.答案:-116.(2015高考天津卷)i是虚数单位,计算的结果为.解析:===-i.答案:-i17.(2016龙岩模拟)已知a,b∈R,i为虚数单位,若a-i=2+bi,则a+b= .解析:因为a-i=2+bi,所以a=2,-1=b,所以a+b=2-1=1.答案:118.(2016盐城模拟)已知复数z=(2-i)(1+3i),其中i是虚数单位,则复数z在复平面上对应的点位于第象限.解析:复数z=(2-i)(1+3i)=5+5i,复数z在复平面上对应的点(5,5)位于第一象限.答案:一19.(2016厦门模拟)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若复数z=3-i,则z·= .解析:由z=3-i,得z·=|z|2=()2=10.答案:1020.(2016宁德模拟)复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为.解析:复数z==-i(1+i)=1-i.复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点(1,-1)到原点的距离为.答案:能力提升练(时间:15分钟)21.(2014高考浙江卷)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:当“a=b=1”时,“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件;当“(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=-1”,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的不必要条件;综上所述,“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.22.(2016钦州模拟)若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为( B )(A)-3 (B)3 (C)-6 (D)6解析:因为==是纯虚数,所以a-3=0,a+3≠0,所以a=3.23.在复平面内,复数z=(-1)+(2x-1)i的对应点位于第二象限,则实数x的范围是( C )(A)(1,+∞) (B)(-∞,0)(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)解析:因为复数z=(-1)+ (2x-1)i的对应点位于第二象限,则解得0<x<1.所以实数x的范围是(0,1).24.(2016福州模拟)已知a,b∈R,i为虚数单位,若a-i=2+bi,则(a+bi)2= .解析:由a-i=2+bi,得a=2,b=-1,所以(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.答案:3-4i25.(2016包头校级模拟)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,且z1=2+i,则= .解析:因为复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,且z1=2+i,所以z2=-2+i,所以====-+i,所以==1.答案:1精彩5分钟1.定义:z2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,则复数-3+4i的平方根是( B )(A)1-2i或-1+2i (B)1+2i或-1-2i(C)-7-24i (D)7+24i解题关键:利用复数相等的充要条件求解.解析:设(x+yi)2=-3+4i,则解得或2.(2016黄山模拟)“复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的( B )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解题关键:根据复数的几何意义先求出点位于第二象限时a的取值范围,再作出判断.解析:复数==.因为复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,所以解得a<-.所以“复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的必要不充分条件.故选B.【教师备用】 (2016泰安校级期中)定义运算 a bc d=ad-bc,若复数x=,y=4i3-xi1+i x+i,则y= .解题关键:理解新运算的含义.解析:x====-i,y==4xi-4-(3+3i-xi+x) =5xi-7-3i-x=-5.答案:-5。
高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第1讲 数系的扩充与复数的引入教案 文
第1讲 数系的扩充与复数的引入一、知识梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ a 2＋b 2(r ≥0，a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ―→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．常用结论(1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(3)i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.(4)|z |2＝|z －|2＝z ·z －.二、习题改编1．(选修12 P60例4改编)计算1－i 1＋i ＋2i ＝ ．答案：i2．(选修12P55A 组T5改编)复数z ＝(x ＋1)＋(x －2)i(x ∈R )在复平面内所对应的点在第四象限，则x 的取值范围为 ．答案：(－1，2) 一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ∈C ，则a 2≥0.( )(2)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( )(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)复数相等概念把握不牢固致误； (2)对复数的几何意义理解有误； (3)复数的分类把握不准导致出错．1．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D.由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C.因为A (6，5)，B (－2，3)，所以线段AB 的中点C (2，4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.故选C.3．i 为虚数单位，若复数(1＋m i)(i ＋2)是纯虚数，则实数m 等于 ．解析：因为(1＋m i)(i ＋2)＝2－m ＋(1＋2m )i 是纯虚数，所以2－m ＝0，且1＋2m ≠0，解得m ＝2.答案：2复数的有关概念(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ )设z ＝3－i1＋2i ，则|z |＝( )A ．2 B. 3 C. 2D ．1(2)(2020·郑州市第一次质量预测)若复数1＋2a i2－i (a ∈R )的实部和虚部相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1 C.16D ．－16【解析】 (1)法一：z ＝3－i 1＋2i ＝（3－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝1－7i5，故|z |＝|1－7i 5|＝505＝ 2.故选C.法二：|z |＝|3－i 1＋2i |＝|3－i||1＋2i|＝105＝ 2.故选C.(2)因为1＋2a i 2－i ＝（1＋2a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－2a 5＋1＋4a5i ，所以由题意，得2－2a 5＝1＋4a 5，解得a ＝16，故选C.【答案】 (1)C (2)C解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．(2020·安徽省考试试题)z －是z ＝1＋2i 1－i 的共轭复数，则z－的虚部为( )A ．－12B.12 C ．－32D ．32解析：选C.z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，则z －＝－12－32i ，所以z －的虚部为－32，故选C.2．(2020·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b i a ＋i，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A.由3－4i 3＝2－b i a ＋i 得，3＋4i ＝2－b i a ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a ＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.复数的几何意义(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内所对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i(i 为虚数单位)，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【解析】 (1)由已知条件，可得z ＝x ＋y i.因为|z －i|＝1，所以|x ＋y i －i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1.故选C.(2)因为复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.【答案】 (1)C (2)A复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．(2020·南宁摸底联考)已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i1＋i ＝3i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋3i2，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是 ．解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1，2)， OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以λ＋μ＝1.答案：1复数代数形式的运算(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i(2)(2020·江西省五校协作体试题)已知i 是虚数单位，若z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C ．2D ．5【解析】 (1)z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.故选D.(2)1i ＝－i i （－i ）＝－i ，1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i2＝－i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＝(－i)2 018＝i 504×4＋2＝i 2＝－1，所以由z ＋1i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018，得z －i ＝－1，z ＝－1＋i ，所以|z |＝2，故选B.【答案】 (1)D (2)B复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．1．(2020·新疆乌鲁木齐一模)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2＋2z －1＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．2iD ．－2i解析：选B.因为z ＝1＋i ，所以z 2＋2z －1＝（1＋i ）2＋21＋i －1＝2＋2ii＝（2＋2i ）（－i ）－i2＝2－2i.故选B. 2．若复数z 满足2z ＋z ·z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．－1－iB ．－1－2iC ．－1＋2iD ．1－2i解析：选B.设z ＝a ＋b i ⇒2(a ＋b i)＋(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＋2a ＋2b i ＝3－4i ⇒a ＝－1，b ＝－2⇒z ＝－1－2i.[基础题组练]1．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1－i)(x －y i)＝( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选B.x i －y ＝－1＋i ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－y ，x ＝1，所以x ＝1，y ＝1，所以(1－i)(x －y i)＝(1－i)(1－i)＝－2i ，故选B.2．(2020·辽宁辽南协作体一模)已知i 是虚数单位，复数z ＝1－i |i|，下列说法正确的是( )A ．z 的虚部为－iB ．z 对应的点在第一象限C ．z 的实部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：选D.因为z ＝1－i|i|＝1－i ，所以z 的虚部为－1；z 对应的点的坐标为(1，－1)，在第四象限；z 的实部为1；z 的共轭复数为1＋i.故选D.3．(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知复数z ＝（2＋a i ）i1＋i 是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于( )A ．2iB ．－2iC ．iD ．－i解析：选A.z ＝（2＋a i ）i 1＋i ＝－a ＋2i 1＋i ＝（－a ＋2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－a 2＋a ＋22i ，因为z 为纯虚数，所以2－a 2＝0，a ＋22≠0，得a＝2.所以z ＝2i ，故选A.4．(2020·云南民族大学附属中学期中)复数z 满足z (1－i)＝|1＋i|，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为z (1－i)＝|1＋i|，所以z ＝|1＋i|1－i ＝2（1＋i ）2＝22＋22i ，所以z ＝22－22i ，所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，位于第四象限，故选D.5．设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝ ．解析：因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：226．(2020·西安八校联考)若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝ ．解析：因为a ＋b i i ＝（a ＋b i ）（－i ）－i2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，所以b＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.答案：－77．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为 ．解析：因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.答案：－2＋i8．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2；(3)1－3i （3＋i ）2.解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1.(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.[综合题组练]1．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：选C.z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π4＋k π，k ∈Z .故选C.2．(应用型)(2020·成都第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D ．3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数， 所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.因为yx是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3，所以yx的最大值为 3.3．设复数z 满足1＋2z1－z＝i ，则z ＝ ．解析：法一：因为1＋2z 1－z ＝i ，所以1＋2z ＝i －i z ，所以z ＝i －12＋i ＝（i －1）（2－i ）5＝－15＋35i.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为1＋2z 1－z ＝i ，所以1＋2(a＋b i)＝i －i(a ＋b i)，所以2a ＋1＋2b i ＝b ＋(1－a )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝b 2b ＝1－a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝35，所以z ＝－15＋35i.答案：－15＋35i4．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为 ．解析：因为i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0181＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，对应的点的坐标为(0，1)．答案：(0，1)。
高考数学一轮复习 第12章 复数、算法、推理与证明 第1节 数系的扩充与复数的引入课件 文
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 7 _Z__(a_，__b_)_ (a，b∈R)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量O→Z.
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3．复数的运算 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； )＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝ ac＋bd＋c2（＋bdc2－ad）i(c＋di≠0)．
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►名师点津 ——————————————————— 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位 i 的看作 一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
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7．设 i 是虚数单位，若 z＝cos θ＋isin θ，其对应的点位于复平面内的第二象限，则 θ 位于第________象限．
解析：∵z＝cos θ＋isin θ 对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，点(cos θ，sin θ)位于第二
象限，∴cos sin
θθ><00，，∴θ
D．1－2i
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[解析] (1)∵z＝13＋－2ii＝（（13＋－2ii））（（11－－22ii）） ＝13－－（7i＋2i）2i22＝1－5 7i＝15－75i， ∴|z|＝ 152＋－752＝ 2，故选 C. (2)∵z＝i(2＋i)＝2i＋i2＝－1＋2i，∴z＝－1－2i，故选 D. (3)由题意知(2－i)2＝3－4i，设 z＝a＋bi，则 2(a＋bi)＋(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＋2a ＋2bi＝3－4i，所以 a＝－1，b＝－2，所以 z＝－1－2i. [答案] (1)C (2)D (3)B
2018版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.5 复数真题演练集训 理 新人教
2018版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.5复数真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)答案：A解析：由已知，可得⎩⎨⎧m ＋3>0m －1<0⇒⎩⎨⎧m >－3m <1⇒－3<m <1.故选A.2．[2016·山东卷]若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：B解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，∴a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.3．[2016·四川卷]设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4答案：A解析：T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案：B解析：∵x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B.5．[2016·天津卷]已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 答案：2解析：由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎨⎧b ＋1＝a1－b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝1，所以a b＝2.6．[2016·北京卷]设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案：－1解析：(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.课外拓展阅读利用共轭复数的性质解复数方程复数方程是复数学习中的一个重要内容，解题时，不少学生总是迫不及待地将方程中的复数z 设为代数形式a ＋b i(a ，b ∈R )，将复数方程转化为实数方程解决．这种方法有时候是非常费时费力的．有没有解决此类问题的更简单的方法呢？共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位，若能在解复数方程时灵活运用，则可以大大减少运算量，起到事半功倍的效果．共轭复数的性质有很多，在此列举几条供大家参考：(1)z ∈R ⇔z ＝z ；(2)z 是纯虚数⇔z ≠0且z ＋z ＝0或z 2＝－|z |2； (3)|z |2＝z ·z ； (4)|z |＝|z |.这些性质的应用非常广泛，下面以例题的形式展现上述性质在解复数方程中的应用． [典例1] 在复数集中解下列方程： (1)2z －i z ＝1；(2)z －λz ＝ω(λ，ω∈C ，且|λ|≠1)．[解] (1)将原方程两边同时取共轭复数可得2z ＋i z ＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2z －i z ＝12z ＋i z ＝1，解得z ＝23＋13i.(2)将原方程两边同时取共轭复数可得z －λz ＝ω，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧z －λz ＝ωz －λz ＝ω，从而(1－λλ)z ＝λω＋ω. 因为|λ|≠1，所以1－λλ≠0，所以z ＝λω＋ω1－λλ.[方法探究] 求解本题(1)时，常设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入原方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求a ，b .题(2)若用上述方法求解则非常繁琐．[典例2] 已知z ∈C ，解方程z ·z －3i z ＝1＋3i. [解] 原方程可化为－3i z －3i ＝1－z ·z ， 因为z ·z ＝|z |2∈R ，所以－3i z －3i ＝－3i z －3i ＝3i z ＋3i ， 所以(z ＋z )3i ＝－6i ， 所以z ＋z ＝－2.令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝－1.把z ＝－1＋y i 代入原方程可得y 1＝0，y 2＝－3， 所以原方程的解为z 1＝－1，z 2＝－1－3i.[方法探究] 本题巧妙利用z ∈R ⇔z ＝z 这一性质完成了解答．本题也可以采用将原方程两边同时取共轭复数的方法解得z ＋z ＝－2.。
2018版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明算法复数12.4复数教师用书文新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4复数教师用书 文 新人教版1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 A解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A.2．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 答案 C解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 答案 C解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)， 则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.4．(教材改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 5．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一 复数的概念例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3D ．－1,4(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 (1)A (2)A (3)1解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2，故选A.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．(3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i＝1－i ，∴其实部为1. 引申探究1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a ，b 的值． 解 (1＋i)(2－3i) ＝2＋3－i ＝5－i ＝a ＋b i ， 所以a ＝5，b ＝－1.2．将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部． 解 z ＝2 1＋i 3＝2－2＋2i ＝－12－12i ， ∴z 的实部为－12.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．i C.25D ．0(2)如果复数m 2＋i1－m i是实数，则实数m 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 2 D. 2 答案 (1)A (2)A解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝ 2＋a i 1＋2i 5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)因为m 2＋i 1－m i ＝ m 2＋i 1＋m i 1＋m 2＝m 2－m ＋ 1＋m 3 i 1＋m 2是实数，所以1＋m31＋m2＝0，所以m ＝－1，故选A.题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 (1)C (2)B (3)B解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i.(2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)(2016·北京)复数1＋2i2－i 等于( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)C (2)A (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝ 1＋2i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i 5＝i.(3)原式＝[ 1＋i 22]6＋ 2＋3i 3＋2i3 2＋ 2 2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i(2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z|z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 (1)B (2)D (3)D解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.(2)z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________.答案 (1)A (2)i (3)22＋(22＋1)i 解析 (1)z ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选A. (2)(1＋i 1－i )2 017＝[ 1＋i 21－i 1＋i ]2 017＝i 2 017＝i.(3)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 017＝i 1＋23i 1＋23i＋(21－i )[(21－i)2]1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i. 题型三 复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8 a －2 >0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．24．解决复数问题的实数化思想典例 (12分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3 a 2＋b 2＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[9分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[12分]1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A.2．(2017·天津质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4 答案 D解析 ∵2i－a 1－i ＝2i －a 1＋i1－i 1＋i＝2i －a 2－a 2i ＝(2－a 2)i －a2，a ∈R ， ∴2－a2＝0，∴a ＝4. 3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 答案 D解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝ 3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2017·南昌月考)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i. 又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.5．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个答案 C解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．6．集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．3 答案 D解析 由题意可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，经检验符合题意．*7.对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y | 答案 D解析 |z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2 ＝ |x |＋|y | 2＝|x |＋|y |，故选D.8．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，23) 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 9．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为______． 答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．10．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i )2 017＝________. 答案 i解析 由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，所以(m ＋n i m －n i )2 017＝(1＋i 1－i)2 017＝i 2 017＝i. 11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根． 由根与系数的关系知，⎩⎨⎧ 1＋2i ＋ 1－2i ＝－b ， 1＋2i 1－2i ＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.12．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案 ④解析 由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．13．计算：(1) －1＋i 2＋i i 3； (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i； (3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2；(4)1－3i 3＋i 2. 解 (1) －1＋i 2＋i i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝ 3＋i －i 3＋i 2＝－i 3＋i＝ －i 3－i 4 ＝－14－34i. 14．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13 a ＋5 a －1＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.*15.若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5 a －b i a 2＋b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i.∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
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第一节数系的扩充与复数的引入
A组基础题组
1.(2016湖南一模)已知复数z=,则z-|z|对应的点所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.(2016山西四校联考)i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值是( )
A.-2
B.-1
C.0
D.
3.(2016湖北优质高中联考)已知复数z=1+i(i是虚数单位),则-z2的复数是( )
A.-1+3i
B.1+3i
C.1-3i
D.-1-3i
4.(2016江西鹰潭余江一中月考)设z=+(1+i)2,则||=( )
A. B.1 C.2 D.
5.(2016安徽江南十校3月联考)若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为( )
A. B.-1 C.1 D.
6.已知a∈R,若为实数,则a= .
7.复数|1+i|+= .
8.已知复数z=,是z的共轭复数,则z²= .
9.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i:
(1)与复数2-12i相等?
(2)与复数12+16i互为共轭复数?
(3)对应的点在x轴上方?
10.计算:(1);
(2);
(3)+;
(4).
B组提升题组
11.“+(1+i)2=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)”是“点(a,b)在第一象限”的( )
A.既不充分也不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.充分不必要条件
12.设z1,z2是复数,则下列命题中的假．命题是( )
A.若|z1-z2|=0,则=
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1²=z2²
D.若|z1|=|z2|,则=
13.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.
14.已知复数z1=cos 15°+sin 15°i和复数z2=cos 45°+sin 45°i,则z1²z2= .
15.复数z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若+z2是实数,求实数a的值.
答案全解全析
A组基础题组
1.B ∵复数z===+i,
∴z-|z|=+i-=+i,对应的点所在的象限为第二象限.故选B.
2.C ∵==-i=a+bi,
∴∴lg(a+b)=lg 1=0.
3.B -z2=-(1+i)2=-2i=1-i-2i=1-3i,其共轭复数是1+3i,故选B.
4.D z=+(1+i)2=+2i=1-i+2i=1+i,∴=1-i,∴||=.
5.A 由z(1-i)=|1-i|+i,得z===+i,z的实部为,故选A.
6.答案-
解析===+i,
∵为实数,∴=0,∴a=-.
7.答案i
解析原式=+=+=+i-=i.
8.答案
解析∵z======-+i,
∴z²==+=.
9.解析(1)根据复数相等的充要条件得
解之得m=-1.
(2)根据共轭复数的定义得
解之得m=1.
(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得m2-2m-15>0,
解之得m<-3或m>5.
10.解析(1)==-1-3i.
(2)====+i.
(3)+=+=+=-1.
(4)=
==
=--i.
B组提升题组
11.A +(1+i)2=+(1+i)2=2(1+i)2=4i,∴4i=a+bi,即a=0,b=4.因点(0,4)在y轴上,不在第一象限,故选A.
12.D A中,|z1-z2|=0,则z1=z2,故=成立.
B中,z1=,则=z2成立.
C中,|z1|=|z2|,则|z1|2=|z2|2,即z1=z2,C正确.
D不一定成立,如z1=1+i,z2=2,
则|z1|=2=|z2|,但=-2+2i,=4,≠.
13.答案
解析因为|z-2|=,即|(x-2)+yi|=,所以(x-2)2+y2=3,而(x-2)2+y2=3表示一个圆,表示圆上的点
(x,y)与原点连线的斜率,令k=,则y=kx,当直线与圆相切时,斜率最大或最小.由=,得
k2=3,∴k=±,∴的最大值为.
14.答案+i
解析z
1²z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°²sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i=+i.
15.解析+z 2=+(a2-10)i++(2a-5)i=+[(a2-10)+(2a-5)]i=+(a2+2a-15)i.
∵+z2是实数,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.
∵a+5≠0,∴a≠-5,故a=3.。