2021年高考数学一轮复习讲练测：专题2.3 函数的奇偶性与周期性(精测)(原卷版)

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高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题检测(带答案)

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题检测（带答案）验证奇偶性的前提要求函数的定义域必需关于原点对称。

以下是函数的奇偶性与周期性专题检测，请大家细心停止检测。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，那么f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.那么b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，那么f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(结构法)结构函数f(x)=sin x，那么有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，应选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，那么以下不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.函数f(x)=那么该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，那么f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=那么以下结论错误的选项是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.假定x是在理数，-x，x+1是在理数;假定x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).那么D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.假定函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，那么实数a=________. 解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，那么f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.假定g(x)=f(x)+2，那么g(-1)=________.解析由于y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如下图，那么使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如下图.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，那么满足f(2x)=f的一切x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.那么(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对恣意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判别函数f(x)的奇偶性.解 (1)由于对定义域内恣意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..函数f(x)对恣意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，那么f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x10，所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0，所以f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，那么f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，那么f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，那么f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)假定f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的一切x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，那么01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生温习函数的知识有协助。

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-3函数的奇偶性与周期性-教师版

专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。

2021届高三数学(理)一轮复习学案：第二章第三节函数的奇偶性及周期性含解析

第三节函数的奇偶性及周期性[最新考纲][考情分析][核心素养]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍将是2021年高考考查的热点．题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度，分值为5分到10分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有1f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于2y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有3f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于4原点对称►常用结论(1)函数奇偶性的几个重要结论①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．④奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(2)有关对称性的结论①若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称．②若对于R上的任意x都有f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；若f(x)＋f (2a －x )＝2b ，则函数f (x )关于点(a ，b )中心对称．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )f (x )的最小正周期．►常用结论定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |；若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f （x ），f (x ＋a )＝－1f （x ）(a >0)，则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和点(b ，0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、走进教材2．(必修1P 35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案：B3．(必修4P 46A 10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．答案：1 三、易错自纠4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0或x >1}B ．{x |x <－1或0<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |－1<x <0或0<x <1}解析：选D 由题意，得f (－x )＝－f (x )，∵x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0.奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致图象如图所示：则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}，故选D ．5．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)6．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以f (0)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋0＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2. 答案：－2考点一函数奇偶性的判断与应用|题组突破|1．(2019届山东青岛二模)下列函数是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x sin x B ．f (x )＝x 2＋4x ＋4 C ．f (x )＝sin x ＋cos xD ．f (x )＝log 3(x 2＋1＋x )解析：选A 选项A 、B 、C 、D 中函数的定义域均为R .对于选项A ，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝(－x )(－sin x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数是偶函数；对于选项B ，f (－x )＝x 2－4x ＋4≠f (x )，所以函数不是偶函数；对于选项C ，f (－x )＝sin(－x )＋cos(－x )＝－sin x ＋cos x ≠f (x )，所以函数不是偶函数；对于选项D ，f (－x )＝log 3(x 2＋1－x )＝log 31x 2＋1＋x ＝－log 3(x 2＋1＋x )＝－f (x )，所以函数是奇函数，不是偶函数．故选A ．2．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－5D ．5解析：选D 设F (x )＝f (x )＋x ，由已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，得F (x )＝F (－x )，即f (x )＋x ＝f (－x )－x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，∴f (－2)＝f (2)＋2×2＝5.3．(2020届贵阳摸底)若f (x )＝a －22x ＋1是奇函数，则a ＝________．解析：解法一：因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1⇒a ＝12x ＋1＋12－x ＋1＝12x ＋1＋2x2x ＋1＝1. 解法二：因为函数f (x )是奇函数且x ∈R ，所以f (0)＝0，即a －21＋1＝0⇒a ＝1.答案：1 ►名师点津应用函数奇偶性可解决的3类问题(1)判定函数奇偶性 ①定义法 ②图象法 ③性质法设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(2)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(3)利用函数的奇偶性求值首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．考点二函数周期性的判断及应用|题组突破|4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2015)＝________．解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数，则f (2015)＝f (671×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：－25．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2016)＋f (2017)＋f (2018)的值为________．解析：∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称， ∴f (x )是R 上的奇函数．又f (x ＋2)＝f (－x )， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4， ∴f (2017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2016)＋f (2018)＝f (2016)＋f (2016＋2)＝f (2016)－f (2016)＝0，∴f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＝4.答案：4 ►名师点津函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．考点函数性质的综合应用——多维探究函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主，多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合．●命题角度一单调性与奇偶性结合【例1】(2019年全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 314>f (2－23)>f (2－32)C ．f (2－32)>f (2－23)>f ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．f (2－23)>f (2－32)>f ⎝⎛⎭⎫log 314 [解析]∵f (x )是定义域为R 的偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (log 34)． ∵log 34>log 33＝1，0<2－32<2－23<20＝1， ∴0<2－32<2－23<log 34.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (2－32)>f (2－23)>f ⎝⎛⎭⎫log 314，故选C ． [答案]C●命题角度二周期性与奇偶性结合【例2】(2020届四川五校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，1]时，f (x )＝2x ＋ln x ，则f (2019)＝________．[解析]由f (x )＝f (x ＋4)得f (x )是周期为4的函数，故f (2019)＝f (4×505－1)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(2＋ln1)＝－2.[答案]－2●命题角度三单调性、奇偶性与周期性结合【例3】已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a[解析]由①得，f (x )在[4，8]上单调递增；由②得，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故f (x )是周期为8的周期函数，所以c ＝f (2017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③得，f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．结合f (x )在[4，8]上单调递增可知，f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .故选B ．[答案]B ►名师点津函数性质综合问题的求解方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)函数周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．|跟踪训练|1．(2019届石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选BA 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故D 错误．故选B ．2.(2019届四川达州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选D ∵偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2.∴a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1，0]上单调递减，∴a >c >b ，故选D ．考点函数性质的创新探究应用【例】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，其图象如图，关于点(0，1)对称．又f (－x )＝2－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝2，∴y ＝f (x )的图象也关于点(0，1)对称．又∵y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，∴由图象对称性可知，这些交点也关于点(0，1)对称．不妨设点(x 1，y 1)与(x m ，y m )关于点(0，1)对称．点(x 2，y 2)与(x m －1，y m －1)关于点(0，1)对称，….由对称性可知x 1＋x m ＝0，x 2＋x m －1＝0，…，y 1＋y m ＝2，y 2＋y m －1＝2，….∴∑m i ＝1(x i ＋y i )＝∑m i ＝1x i ＋∑m i ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .故选B ．[答案]B ►名师点津求解函数对称性问题的关键是利用条件判断出函数的对称中心或对称轴．|跟踪训练|(2019届江西南昌模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x ＋2)＝4，g (x )＝sin πx ＋2.若函数f (x )的图象与g (x )的图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．nB ．2nC ．3nD ．4n解析：选C因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sinπx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以∑ni＝1x i＝n，∑ni＝1y i＝2n，所以∑ni＝1(x i＋y i)＝3n，故选C．。

2021版新高考数学一轮复习讲义：第二章第四讲函数的奇偶性与周期性 (含解析)

第四讲函数的奇偶性与周期性ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．重要结论1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |. 3．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点(a ＋b2，0)对称．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x 为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＋a 2x －1a 2x ＋1为奇函数； (3)函数f (x )＝log ab －xb ＋x为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的为( BCD ) A ．若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0B ．若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称C ．若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称D ．2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(－∞，0)的一个周期题组二走进教材2．(必修1P 35例5改编)函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2＋cos x ，f (x )＝1x ＋|x |中，偶函数的个数是2.3．(必修1P 45T6改编)若奇函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数；若偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数．4．(必修4P 46T10改编)已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 3(x 2＋3)，则f (2019)＝1.题组三考题再现5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( D )A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，5分)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( C )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析] 解法一：∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，∴f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C ．解法二：由题意可设f (x )＝2sin(π2x )，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一函数的奇偶性考向1 判断函数的奇偶性——自主练透例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(1＋x )1－x1＋x； (2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0；(5)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2；(6)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (0)≠0.[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f (－x )，再判断f (－x )与f (x )之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．[解析] (1)由题意得1－x1＋x ≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不存在奇偶性，为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(3)函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎨⎧－1≤x ≤1，x ≠0.故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x，这时有f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (6)已知对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，不妨取x ＝0，y ＝0，则有2f (0)＝2[f (0)]2，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1.取x ＝0，得f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，所以f (y )＝f (－y )．又y ∈R ，所以函数f (x )是偶函数．名师点拨 ☞判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于f (x )或－f (x )，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)考向2 函数的性质的综合应用——多维探究角度1 利用奇偶性求参数的值或取值范围例2 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( B ) A ．－13B ．13C ．12D ．－12(2)已知f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，则f (a )的值为( A )A ．76B ．13C ．25D ．23[解析] (1)依题意b ＝0，且2a ＋(a －1)＝0， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.(2)因为f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，所以f (0)＝a 2－32＝0，得a ＝3，所以f (x )＝32－32x ＋1.所以f (a )＝f (3)＝32－39＝76.故选A ．角度2 函数奇偶性与单调性结合例3 (1)若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为减函数，则不等式f (x )＋f (x －12)<0的解集为( C )A ．(14，＋∞)B ．(－1，14)。

函数的奇偶性及周期性——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)

|2－x|，0≤x<1，
∈R，若 f(－5)＝f(4.5)，则 a＝( )
A．0.5
B．1.5
C．2.5
D．3.5
2 / 20
【例 2】已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与 x 轴的交点的个数为( )
一、题型全归纳
题型一函数奇偶性的判断
【题型要点】判断函数奇偶性的方法
(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断．
(2)利用函数图象特征判断．
(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
C．2
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【例 1】已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋… ＋f(50)＝( )
A．－50
B．0
A．2
B．3
C．4Leabharlann D．5题型四函数性质的综合应用
【题型要点】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

2021年高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课时作业理(含解析)新人教A版

2021年高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·茂名一模)已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )∴f (－x )＝－f (x )＝log 2(－x )，∴当x <0时，f (x )＝－log 2(－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1. 答案：B2．(xx·北京西城区期末)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若b ＝0，则f (x )＝x 为奇函数，反之，若f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－x ＋b cos(－x )＝－x ＋b cos x ＝－f (x )＝－x －b cos x ，∴b ＝0，故“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的充要条件．答案：C3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．答案：C4．(xx·福建卷)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数解析：A 显然正确．D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0， x 为无理数，当x ∈Q 时，－x ∈Q ，而D (x )＝D (－x )＝1；当x 为无理数时，－x 也为无理数，此时D (x )＝D (－x )＝0，∴对任意的x ∈R ，D (x )＝D (－x )，∴B 正确．不妨设a ∈Q 且a ≠0，当x 为有理数时，D (x ＋a )＝D (x )＝1，当x 为无理数时，D (x ＋a )＝D (x )＝0，∴D (x )为周期函数，∴C 不正确．∵x 1＝1，D (1)＝1，x 2＝2，D (2)＝1，∴D (x 1)＝D (x 2)，∴D (x )在定义域上不单调．故D 正确．答案：C5．(xx·河南开封第一次模拟)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时， f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时， f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x )解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x ), f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，－(x －4)∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.答案：C6．(xx·云南昆明调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≥0x 2－4x ，x <0，若f (a －2)＋f (a )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1－3或a >－1＋ 3B ．a >1C ．a <3－3或a >3＋ 3D ．a <1解析：法一：当x >0时，－x <0, f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ＝－(－x 2－4x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0, f (－x )＝－(－x )2－4(－x )＝－(x 2－4x )＝－f (x )；又f (0)＝0，因此对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又当x ≥0时，函数f (x )是减函数，于是有f (x )在R 上是减函数，不等式f (a －2)＋f (a )>0，即f (a －2)>－f (a )＝f (－a )，a －2<－a ，a <1，即实数a 的取值范围是a <1.法二：由图象可知，f (x )为奇函数，且为减函数，即f (a －2)>f (－a )，∴a －2<－a ，∴a <1，∴选D.答案：D 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析：f (x )为偶函数，∴对∀x ∈R, f (－x )＝f (x )， ∴a ＝0. 答案：08．(xx·湖北武汉调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0g x ，x <0，若函数f (x )是奇函数，则g (－4)＝________.解析：依题意，x <0，g (x )＝－－x ，∴g (－4)＝－4＝－2，故填－2. 答案：－29．(xx·淄博检测)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0，则f (2 011)、f (2 012)、f (2 013)从大到小的顺序为________．解析：f (x ＋2)＝－f (x )得：T ＝4，又x ＝1为对称轴，且1≤x ≤3时f (x )为减函数知，f (x )在(－1,1)上为增函数，f (2 011)＝f (－1)，f (2 012)＝f (0)，f (2 013)＝f (1)，由f (－1)<f (0)<f (1)得，f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)．答案：f (2 013) f (2 012) f (2 011) 三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}． [热点预测]13．(1)(xx·安徽江南十校高三开学第一考)已知f (x )为偶函数，且f (x ＋4)＝f (－x )，当－3≤x ≤－2时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (2 013)＝( )A.18B.12C ．2D ．8 (2)(xx·济宁月考)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 013)＝( )A ．0B ．2 013C ．3D ．－2 013解析：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，因此函数的周期为4，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，选D.(2)由y ＝f (x ＋1)关于x ＝－1对称知y ＝f (x )关于x ＝0对称，在f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)中令x ＝－3，得f (3)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，f (3)＝0，f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.f (2 013)＝f (6×335＋3)＝f (3)＝0.选A.答案：(1)D (2)A 26206 665E 晞<35052 88EC 裬39239 9947 饇J 26122 660A 昊36922 903A 逺hx35221 8995 覕37815 93B7 鎷。

高考数学一轮复习专题2.3函数的奇偶性与周期性(讲)(2021年整理)

（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.3 函数的奇偶性与周期性（讲）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.3 函数的奇偶性与周期性（讲））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第03节函数的奇偶性与周期性【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测函数的奇偶性与周期性理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性,了解函数的周期性。

2018浙江.51。

判断函数的奇偶性与周期性；2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查,浙江卷常通过三角函数加以考查．3。

备考重点：(1) 抽象函数的奇偶性与周期性;(2)利用奇偶性与周期性求参数取值范围.【知识清单】1。

函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x)＝f（x），那么函数f（x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（－x)＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数关于原点对称对点练习2。

函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x），如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x)，那么就称函数y＝f（x)为周期函数，称T为这个函数的周期。

（2）最小正周期:如果在周期函数f(x）的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x）的最小正周期。

【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】函数，则（）A. 是非奇非偶函数 B。

高考数学一轮复习讲练测专题2.3函数的奇偶性与周期性(讲)文(含解析)

高考数学一轮复习讲练测专题2.3函数的奇偶性与周期性（讲）文（含解析）1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称知识点二函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特别提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.考点一函数奇偶性的判定【典例1】（2019·四川成都七中模拟）判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．【解析】(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：定义法当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．法二：图象法作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－－x2－x2＝4－x2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ，因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋－x2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：f (x )的图像关于原点对称，f (x )为奇函数； f (x )的图像关于y 轴对称，f (x )为偶函数。

2021年新高考一轮复习函数的奇偶性、对称性、周期性

微专题函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x =a+b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1(2019·江苏启东联考)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【解析】因因因因f (x 因1)因因因因因因因f (因x 因1)因因f (x 因1)因因因因f ⎝⎛⎭⎫12因x 因 f ⎝⎛⎭⎫12因x 因因因f (1因x )因f (x )因因因f (x 因1)因因f (x )因因f (x 因2)因因f (x 因1)因f (x )因因因因因f(x )因因因因2因因因因因因因因x 因12因因因因因因因f (x )因因因因因因因因由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例2 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8)＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.例3已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( ) A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=， f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D 正确；故选：ABD ．【巩固训练】1．已知函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg 4x g x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（）A ．0B ．1 C．2) D．2)4.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则 85. （多选题）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(2)f x +为偶函数，下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称B ．f （4）0=C ．(8)()f x f x +=D ．若(5)1f -=-，则(2019)1f =-6．（多选题）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x -与(2)f x -都为偶函数，则( )A ．()f x 为偶函数B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数 7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断： ①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称；③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-；其中正确论断的个数是______________.)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=【答案或提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭, 则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8 【解析】()lg 4x g x x=-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(2f f ∴==+ .4.【答案】－85.【答案】BCD6．【答案】ABD7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.。

2021年高考数学 2.3 函数的奇偶性与周期性练习

2021年高考数学 2.3 函数的奇偶性与周期性练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由奇函数的概念可知y=x3,y=2sin x是奇函数.2.(xx·广州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg |x|【解析】选C.A中,y=为奇函数,故排除A;B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;D中,y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单调递增,排除D.3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 015)等于()A.-2B.2C.-98D.98【解析】选A.因为f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2 015)=-2.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(xx·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+,则f(2 013)=()A.-1B.0C.1D.±1【解析】选A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2 013)=f(1)=-1,故选A.4.(xx·长春模拟)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选 D.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:≠±f(x),故A,B错;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,显然f(x)不是增函数,故C错,故选D.方法二:(图象法)依据已知可以作出函数f(x)的图象,如图所示,则可知f(x)是有界,且周期为k(k∈Z,k≠0)的非单调函数,其最小正周期为1,故选D.5.若函数f(x)=是奇函数,则a的值为()A.0B.1C.2D.4【解析】选A.由f(-1)=-f(1),得,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.6.(xx·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lg x,则f(f())的值等于()A. B.- C.lg 2 D.-lg 2【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=lg x,所以f()=lg =-2,则f(f())=f(-2),因为函数y=f(x)是奇函数,所以f(f())=-f(2)=-lg 2.7.(xx·黄冈模拟)能够把圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A.f(x)=4x3+xB.f(x)=lnC.f(x)=tanD.f(x)=ex+e-x【解析】选D.由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.A中,f(0)=0,且f(x)为奇函数,所以f(x)=4x3+x为“和谐函数”;B中,f(0)=ln=ln 1=0,且f(-x)=ln =ln=-ln =-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)=ln为“和谐函数”;C中,f(0)=tan 0=0,且f(-x)=tan(-)=-tan =-f(x),所以f(x)为奇函数,故f(x)=tan为“和谐函数”;D中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的图象不过原点,所以f(x)=ex+e-x不是“和谐函数”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.【解析】因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0. 答案:010.(xx·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数.所以解得-1≤m<.(20分钟40分)1.(5分)(xx·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知, f(x)关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)=该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.(5分)(xx·杭州模拟)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图象与y=log4|x|的图象的交点个数是()A.3B.4C.6D.8【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图象如图所示,根据函数y=log4|x|也是偶函数,其图象也关于y轴对称,容易知道它们的交点共有6个.故选C.3.(5分)(xx·西安模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.【解析】f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以f(-x)=-f(x),f(+x)=f(-x)⇒f(x)=f(1-x),所以f(-x)=f(1+x)=-f(x),f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2)=f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.答案:0【加固训练】已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2 015)=.【解析】令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:因为f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以构造符合题意的函数f(x)=所以f(2 015)=答案:4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x), 且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性.(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论.【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))= f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由⇒⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),从而知函数y=f(x)的周期T=10.由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2 014]上有404个解,在[-2 014,0]上有402个解,所以函数y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有806个解.20373 4F95 侕A39850 9BAA 鮪30473 7709 眉WD t37702 9346 鍆rk34576 8710 蜐} [。

2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《2.3函数的奇偶性与周期性》

f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，
∴f(x)＝ 36－x2＋ x2－36＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，
∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
1－x2>0，
(2)由
得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
|x－2|≠2，
关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ln1－x2. －x
所以 f 2 ＝f 2 ＝－f 2
1 ＝ 2 3＝1.
8
题型一函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 36－x2＋ x2－36；
(2)f(x)＝ ln1－x2 ； |x－2|－2
x2＋x，x<0， (3)f(x)＝
－x2＋x，x>0.
36－x2≥0，
解 (1)由
得 x2＝36，解得 x＝±6，
上难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都偶函数
有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都奇函数
有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数
图象特点关于 y 轴对称关于原点对称
(3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称．( √ )
题组二教材改编
2．[P39A 组 T6]已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x(1＋x)，则 f(－1)＝
________. 答案－2
解析 f(1)＝1×2＝2，又 f(x)为奇函数，

2021-2022年高考数学一轮复习专题2.3函数奇偶性讲

2021年高考数学一轮复习专题2.3函数奇偶性讲【考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的基本性质√1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题．【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 函数f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cos x，f(x)＝1x＋|x|中偶函数的个数是________．【答案】2【解析】f(x)＝x2－1和f(x)＝x2＋cos x为偶函数．2．[教材改编] 已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x－1，则f(－2)＝________．【答案】1－ 2【解析】f(－2)＝－f(2)＝－(2－1)＝1－ 2.3．[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log4(x2＋3)，则f(xx)＝________．【答案】1题组二常错题4．函数f(x)＝lg（1－x2）|x＋3|－3是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数．【答案】奇【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x ＋3|－3≠0，得－1＜x ＜1，且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)．∵f (x )＝lg （1－x 2）|x ＋3|－3＝lg （1－x 2）x ，∴f (－x )＝lg （1－x 2）－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．5．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) 【答案】①③6．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (xx)＝________．【答案】2【解析】∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，∴f xx ＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 题组三常考题7．下列函数为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝1x2，②y ＝tan 2x ，③y ＝x ＋cos x ，④y ＝e x ＋e －x.【答案】②【解析】y ＝1x2和y ＝e x ＋e －x是偶函数，y ＝x ＋cos x 是非奇非偶函数，只有y ＝tan 2x 是奇函数．8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________．【答案】2【解析】令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)2＋1＝2.因为f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝2.9．函数f(x)＝2x＋aa·2x＋b是R上的奇函数，则a·b＝________．【答案】1【知识清单】1 函数奇偶性的判断奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2 函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．【考点深度剖析】函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】判断函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的奇偶性；【答案】f (x )既是奇函数又是偶函数．【解析】解：∵由得x ＝±1 ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．【1-2】判断函数f (x )＝4－x2|x ＋3|－3的奇偶性；【答案】f (x )是奇函数．【解析】∵由得－2≤x ≤2且x ≠0. ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．【1-3】判断函数f (x )＝的奇偶性；【答案】f (x )是偶函数．【1-4】判断函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的奇偶性；【答案】f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．【解析】∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为，不关于坐标原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数【思想方法】1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件考点2 函数奇偶性的应用【2-1】已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 【答案】－1.【2-2】设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式的解集为________. 【答案】 (－∞，－2)∪(0,2)．【解析】∵f (x )为偶函数， ∴ ∴xf (x )>0. 或又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．【2-3】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝2x，则f (2 014)－f (2 013)的值为_______.【答案】14【解析】由题可知函数的周期为4，故f (2 014)－f (2 013)＝f (2)－f (1)．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝－2－2＝－14，f (1)＝－f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (2 014)－f (2 013)＝－14＋12＝14.【2-4】已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.【答案】-1【思想方法】①若函数f (x )为偶函数，则函数在y 轴两侧单调性相反；若函数f (x )为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同．②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．【易错试题常警惕】f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式. 解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1). 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.。

2021年高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性与周期性演练知能检测文

2021年高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性与周期性演练知能检测文1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝x 3＋3x －3－xC ．y ＝log 3xD ．y ＝e x解析：选B 选项A ，y ＝－1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但其在定义域上不是单调递增函数；选项B ，y ＝f (x )＝x 3＋3x －3－x 在其定义域R 上是增函数，又f (－x )＝－x 3＋3－x －3x ＝－(x 3＋3x －3－x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )为奇函数；选项C ，y ＝log 3x 的定义域为(0，＋∞)，是增函数但不是奇函数；选项D ，y ＝e x 在其定义域R 上是增函数，但为非奇非偶函数．2．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：选A 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项和D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立．3．(xx·沈阳模拟)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12解析：选A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.4．(xx·温州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B ∵g (x )为偶函数，f (x )为奇函数， ∴g (2)＝g (－2)＝a ，f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①f (－2)＋g (－2)＝－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，②联立①②解得g (2)＝2＝a ，f (2)＝a 2－a －2＝22－2－2＝154.5．(xx·郑州模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 126的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－6解析：选C ∵－3<log 126<－2，∴－1<log 126＋2<0，即－1<log 1232<0.∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (log 126)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1232＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 1232＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 232－1＝－12.6．已知定义域为R 的函数y ＝f (x )在[0,7]上只有1和3两个零点，且y ＝f (2－x )与y ＝f (7＋x )都是偶函数，则函数y ＝f (x )在[－2 013,2 013]上的零点个数为( )A ．804B ．805C ．806D ．807解析：选C 根据条件得出函数的周期，再确定一个周期上的零点个数即可求解．由函数y ＝f (2－x )，y ＝f (7＋x )是偶函数得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2和x ＝7对称，所以周期为10.又由条件可知函数y ＝f (x )在[0,10]上只有两个零点1和3，所以函数y ＝f (x )在[－2 013，2 013]上有402个周期，加上2 011,2 013两个零点，所以零点个数是402×2＋2＝806.7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，即1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，解得a ＝0.答案：08．奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，若f (x )在[0,2]上单调递减，且f (1＋m )＋f (m )＜0，则实数m 的取值范围是________．解析：因为奇函数f (x )在[0,2]上单调递减，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递减．由f (1＋m )＋f (m )＜0得f (1＋m )＜－f (m )＝f (－m )，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，－2≤1＋m ≤2，1＋m ＞－m ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，－3≤m ≤1，m ＞－12，所以－12＜m ≤1，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，19．(xx·台州模拟)函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.解析：∵f (x ＋2)＝1f x，∴f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f 1＝－15. 答案：－1510．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x －4，x ≥2，a －2x ＋4，x ＜2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2，即当a ∈[－2,2]时，f (x )有最小值．故a 的取值范围为[－2,2]． (2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (－0)＝－g (0)，∴g (0)＝0.设x ＞0，则－x ＜0. ∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －4，x ＞0，0， x ＝0，a －2x ＋4， x ＜0.11．(xx·宁波模拟)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式fx ⎝⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集．解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，即0<x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1.∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是x 12<x <1＋174或1－174<x <0.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．[冲击名校]1．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x ＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函数y＝f(x ＋2)的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )A．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)解析：选A 由f(x＋4)＝f(x)可知函数是周期为4的周期函数，函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，则函数y＝f(x)关于x＝2对称，0≤x1＜x2≤2时，有f(x1)＜f(x2)，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)，故f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．2．奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(1)＝9，则f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)的值为________．解析：奇函数f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，则f(2＋x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝f(2)＋f(3)＋f(4)，令x＝0，则f(2)＝0；令x ＝2，则f(4)＝f(0)＝0；由f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－9，故f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝－9.答案：－9[高频滚动]1．已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是( )A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1C．f(x)＝a x D．f(x)＝log a x解析：选B 依题意得a＞0，因此函数f(x)＝ax＋b在区间(0，a)上是增函数；函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2(注意到其图象的对称轴是直线x＝a，开口方向向上)在区间(0，a)上是减函数；函数f(x)＝a x、f(x)＝log a x在区间(0，a)上的单调性不确定(a与1的大小关系不确定)．综上所述，在区间(0，a)上一定是减函数的是f(x)＝x2－2ax＋1.2．(xx·嘉兴模拟)函数y＝(x－2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．解析：y ＝(x －2)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，0， x ＝0，－x 2＋2x ，x <0.函数的图象如图所示，当x <0时，由－x 2＋2x ＝－1，得x ＝1－ 2.借助图形可知1－2≤a ≤1.答案：[1－2，1]29160 71E8 燨p25226 628A 把E27905 6D01 洁`I>26650 681A 栚35858 8C12 谒3ua20315 4F5B 佛i。

2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.3函数的奇偶性、对称性与周期性练习理北师大版

2.3函数的奇偶性、对称性与周期性考点一函数奇偶性的判断1. 以下函数为奇函数的是()A.f(x)=B.f(x)=e中心考点·精确研析xC.f(x)=cos xx-x D.f(x)=e-e2. 已知函数f(x)=3x-, 则 f(x) ()A. 是奇函数 , 且在 R上是增添的B. 是偶函数 , 且在 R上是增添的C. 是奇函数 , 且在 R上是减少的D. 是偶函数 , 且在 R上是减少的3. 若函数 f(x)(x∈ R)是奇函数 , 函数 g(x)(x ∈ R)是偶函数 , 则()A. 函数 f(g(x))是奇函数B. 函数 g(f(x))是奇函数C. 函数 f(x) · g(x) 是奇函数D. 函数 f(x)+g(x)是奇函数4. 已知定义在 R 上的函数 f(x),对随意的 x1,x 2∈ R都有 f(x 1+x2 )-f(x1)=f(x2)+5,则以下命题正确的选项是()A.f(x) 是奇函数B.f(x) 是偶函数C.f(x)+5是奇函数D.f(x)+5 是偶函数【分析】 1. 选 D. 对于 A, 定义域不对于原点对称 , 故不是奇函数 ; 对于 B, f(-x)=e-x =≠ -f(x),故不是奇函数 ; 对于 C,f(-x)=cos(-x)=cos x-x x x-x是奇函数 .≠ -f(x), 故不是奇函数 ; 对于 D,f(-x)=e-e =-(e -e)=-f(x),2.选 A. 因为函数 f(x) 的定义域为 R, f(-x)=3-x -=-3 x=-f(x),所以函数f(x) 是奇函数 .因为函数y=在R上是减少的,所以函数y=-在R上是增添的.又因为 y=3x在 R 上是增添的 ,所以函数f(x)=3 x-在R上是增添的.3. 选 C. 令 h(x)=f(x)· g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以 h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)· g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.4. 选 C.取 x1=x2=0, 得 f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.判断函数奇偶性的方法(1) 定义法 : 利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠ 0)判断函数的奇偶性.(2)图像法 : 利用函数图像的对称性判断函数的奇偶性.(3)考证法 : 即判断 f(x) ±f( -x) 能否为 0.(4)性质法 : 在公共定义域内有 : 奇±奇 =奇, 偶±偶 =偶 , 奇×奇 =偶 , 偶×偶 =偶 , 奇×偶 =奇.考点二函数的周期性及应用【典例】 1.(2020 ·南昌模拟 ) 已知函数 f(x)=假如对随意的n∈N* , 定义f n (x)=, 那么 f 2 019 (2) 的值为()A.0B.1C.2D.32. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数 , 若对于 x≥ 0, 都有 f(x+2)=-, 且当 x∈ [0,2)时 ,f(x)=log 2(x+1),则 f(-2 017)+f(2019)的值为()3.(2019·重庆模拟 ) 已知奇函数 f(x)的图像对于直线x=3 对称 , 当 x∈ [0,3]时 ,f(x)=-x,则f(-16)=________.【解题导思】序号联想解题1由已知想到周期函数2由 f(x+2)=-, 想到周期函数3由 f(x) 的图像对于直线x=3 对称 , 想到 f(x)=f(6-x)【分析】 1. 选 C. 因为 f (2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,1所以 f n(2) 的值拥有周期性 , 且周期为 3,所以 f2 019(2)=f3× 673(2)=f(2)=2.32. 选 A. 当 x≥ 0 时 ,f(x+2)=-, 所以 f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥ 0)的一个周期.所以 f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-=-1,所以 f(-2 017)+f(2 019)=0.3.依据题意 , 函数 f(x) 的图像对于直线 x=3 对称 ,则有 f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则 f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),则 f(x) 的最小正周期是 12,故 f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案 :21.抽象函数的周期性(1) 假如 f(x+a)=-f(x)(a≠ 0),那么f(x)是周期函数,此中一个周期T=2a.(2) 假如 f(x+a)=(a ≠ 0), 那么 f(x) 是周期函数 , 此中的一个周期T=2a.(3)假如 f(x+a)+f(x)=c(a≠0), 那么 f(x)是周期函数 , 此中的一个周期 T=2a.(5)假如 f(x) 的图像对于 (a,0) 对称 , 且对于 x=b 对称 , 则 T=4|a-b|.(6)假如 f(x) 的图像对于 (a,0) 对称 , 且对于 (b,0) 对称 , 则 T=2|a-b|.2. 函数 f(x)知足的关系f(a+x)=f(b-x)表示的是函数图像的对称性, 函数 f(x) 知足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠ b) 表示的是函数的周期性, 在使用这两个关系时不要混杂.1.(2020 ·菏泽模拟 ) 定义在 R 上的函数 f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1, 则 f的值为()A.1B.-1C.0D.2【分析】选 B. 因为函数f(x) 的周期为π,所以f=f=f, 因为 f(x)为奇函数,所以f=-f=-1.2.(2019 ·长春模拟 ) 已知定义在R 上的函数f(x) 的周期为6, 且 f(x)=则f(-7)+f(8)= ()A.11B.C.7D.【分析】选 A. 依据 f(x)的周期是6, 故 f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4,f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7, 所以 f(-7)+f(8)=11.3. 已知 f(x) 是定义在 R上的偶函数 , 且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈ [-3,0]时 ,f(x)=6-x , 则 f(919)=________.【分析】因为 f(x+4)=f(x-2),所以 f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即 f(x+6)=f(x),所以 f(x)是周期为 6 的周期函数 ,所以 f(919)=f(153× 6+1)=f(1).又 f(x) 是定义在R上的偶函数 ,答案 :6考点三函数性质的综合应用命题 1. 考什么 : (1) 求函数值、分析式或参数值, 奇偶性与单一性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考察精数学运算、数学抽象、逻辑推理等中心修养.解 2. 怎么考 : 函数奇偶性、单一性、周期性以及对称性( 奇偶性质的扩展) 等知识独自或交汇考察.读学霸奇偶函数对称区间上的单一性好奇函数在两个对称的区间上拥有同样的单一性; 偶函数在两个对称的区间上拥有相反的单一性.方法求函数值、分析式或参数值【典例】 1.(2019·全国卷Ⅱ ) 已知 f(x)是奇函数 , 且当 x<0 时 ,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则 a=________________.2. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数 , 当 x<0 时 ,f(x)=2x2-x, 则当 x>0 时,f(x)=()A.2x 2-xB.2x 2+xC.-2x 2-xD.-2x 2+x【分析】 1. 因为 ln 2>0,所以 -ln 2<0,因为 f(x) 是奇函数 , 所以 f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即(-ln 2)a=-8, 解得 a=-3. -e答案 :-322因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 所以2. 选 C. 当 x>0 时 ,-x<0,f(-x)=2(-x)-(-x)=2x +x,f(x)=-f(-x)=-2x2-x.1. 怎样求奇偶函数对称区间上的分析式?提示 : 将待求区间上的自变量转变到已知区间上, 再利用奇偶性求出.2. 怎样求奇偶函数对称区间上的函数值?提示 : 将待求值利用奇偶性转变为已知区间上的函数值求解.奇偶性与单一性交汇问题【典例】函数f(x) 在 (- ∞,+ ∞) 上是减少的 , 且奇函数 . 若 f(1)=-1,足 -1 ≤ f(x-2) ≤ 1 的 x 的取范是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]【分析】 D. 由已知 , 得 f(-1)=1, 使 -1 ≤ f(x) ≤1 建立的 x 足 -1 ≤ x ≤ 1, 所以由 -1 ≤x-2 ≤ 1 得 1≤ x ≤3, 即便 -1 ≤ f(x-2) ≤ 1 建立的 x 足1≤ x ≤ 3.解决与抽象函数相关的不等式的关是什么?提示 : 利用条件 , 想法去掉“f ”符号即可解决.奇偶性与周期性交【典例】 (2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知f(x) 是定域 (- ∞,+ ∞) 的奇函数 , 足 f(1-x)=f(1+x). 若 f(1)=2,f(1)+f(2)+f(3)+ ⋯ +f(50)= ( )A.-50B.0C.2D.50【分析】C.f(x) 是定域 (- ∞ ,+ ∞ ) 的奇函数 , 像对于原点称, 足 f(1-x)=f(1+x), f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以 f(x) 是周期4 的函数 .又 f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+⋯ +f(50)=12 ×0+f(1)+f(2)=2.怎样求解数多的式子的?提示 : 因多式个数多, 可能与函数的周期性相关, 可依照条件, 先探究函数的周期性 , 再去求解 .1. 函数 f(x) 是定在 R 上的奇函数 , 且 f(x)= g(-8)=()C.2D.3【分析】 A. 方法一 : 当 x<0 ,-x>0,且 f(x)奇函数 , f(-x)=log3(1-x), 所以 f(x)=-log(1-x). 所以3g(x)=-log 3(1-x),x<0,故 g(-8)=-log39=-2.方法二 : 由意知 ,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.2.(2020 ·石家庄模拟 ) 已知 f(x) 是定义在R 上以 3 为周期的偶函数, 若 f(1)<1,f(5)=, 则实数 a 的取值范围为()A.(-1,4)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-1,0)【分析】选 A. 因为函数f(x) 是定义在R 上以 3 为周期的偶函数, 所以 f(5)=f(-1)=f(1),即<1, 化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4.3. 设函数 f(x)=为奇函数,则a=______.【分析】因为f(x)=为奇函数,所以 f(1)+f(-1)=0,即+=0, 所以 a=-1.答案 :-11.(2020 ·滁州模拟 ) 已知 f(x)是定义在R上的偶函数 ,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 017)+f(2 019)的值为________.【分析】由题意得,g(-x)=f(-x-1),因为 f(x) 是定义在R 上的偶函数 ,g(x)是定义在R 上的奇函数 ,所以 g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),所以 f(x-1)=-f(x+1),即 f(x-1)+f(x+1)=0.所以 f(2 017)+f(2 019)=f(2 018-1)+f(2 018+1)=0.答案 :02.(2020 ·榆林模拟 ) 已知 f(x)=2 x+为奇函数,g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数, 则 f(ab)=()A. B. C.- D.-【分析】选 D. 依据题意 ,f(x)=2x +为奇函数,则 f(-x)+f(x)=0,即+=0, 解得 a=-1. g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数, 则 g(x)=g(-x),2x+1)=b(-x)-log 2-x+1),即 bx-log (4(4解得 b=1, 则 ab=-1,所以 f(ab)=f(-1)=2-1 -=-.。

2021年高考数学2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性

函数的概念与基本性质高考第一轮复习第三节函数的奇偶性、周期性与对称性1高考引航2必备知识3关键能力高考引航f (-x )=f (x )f (-x )=-f (x )答案知识清单必备知识f(x+T)=f(x)最小最小正数答案答案基础训练解析1答案解析-3非奇非偶题型归纳题型一函数奇偶性的判断解析关键能力点拨：判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.答案解析DA题型二函数奇偶性的应用答案解析-31-5点拨：与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值:利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)求函数解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)求解析式中的参数值:在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x),f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可利用f(0)=0求解.答案B解析CD题型三函数周期性的应用答案B解析点拨：函数周期性的有关问题的求解策略: 求解与函数周期性有关的问题,应根据题目的特征及周期的定义,求出函数的周期.CC答案解析题型四函数性质的综合应用答案B− ,点拨：(1)已知函数单调递增且为奇函数,求自变量的范围或比较大小,常利用奇、偶函数图象的对称性.(2)已知f(x)是周期函数且为偶函数,求函数值的范围,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)函数的周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.答案CC方法突破方法一整体代换思想在求解函数问题中的应用答案C方法二转化与化归思想在求解函数问题中的应用答案谢谢观赏。

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『高考一轮复习·讲练测』『分项解析·逐一击破』
1．（2020·陕西省咸阳一中模拟）函数f (x )＝9x ＋1
3x 的图象( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于坐标原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称2．（2020·四川省宜宾一中模拟）下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln
1－x
1＋x
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝x sin x 3．（2020·山东省威海一中模拟）已知函数f (x )
＝a －2
e x ＋1
(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )
A ．(－1,1)
B ．(－2,2)
C ．(－3,3)
D ．(－4,4)4．（2020·广东省梅州一中模拟）设函数f (x )是定义
在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(x ＋1)，x ≥0，
g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－25．（2020·山东省烟台一中模拟）若定义在R 上的偶函
数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )
A ．e x －e －
x B.12
(e x ＋e －x ) C.12
(e －
x －e x ) D.12
(e x －e －
x )6．（2020·江西省九江一中模拟）已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．97．（2020·安徽省滁州一中模拟）定义在R 上的函数f (x )，
满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )
A ．403
B ．405
C ．806
D ．8098．（2020·广东省汕头一中模拟）已知函数f (x )＝
log 2(x 2
＋a －x )是奇函数，则a ＝________，若g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，x ≤0，
2x －1，x ＞0，则g (g (－1))＝______.
9．（2020·福建省宁德一中模拟）奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)＝________.10．（2020·安徽省淮南一中模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x ＜0
是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
11．（2020·福建省莆田一中模拟）已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 12．（2020·湖北省宜昌二中模拟）已知f (x )是定义在R 上的函数，并且f (x ＋2)＝1
f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )
＝x ，则f (2 019)＝________.13．（2020·黑龙江省牡丹江一中模拟）已知函数f (x )＝x ＋1
x －1，f (a )＝2，则f (－
a )＝________.
14．（2020·浙江省温州中学模拟）f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．
15．（2020·河南省漯河一中模拟）设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫3
2－x 成立．
(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．
16．（2020·四川师大附中模拟）已知函数()3
2133
f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213
f =-
．（Ⅰ）求实数,m n 的值；
（Ⅰ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 17．（2020·上海格致中学模拟）已知函数()2
1f x x x a =+-+，其中a ∈R .
（1）讨论()f x 的奇偶性；
（2）当()f x 为偶函数时，求使()f x k x ≥恒成立的k 的取值范围.
18．（2020·江苏省启东中学模拟）对任意x ∈R ，给定区间()11,22k k k ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
Z ，设函数()f x 表示实数x 与x 所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值.
（1）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求出()f x 的解析式；()11,22x k k k ⎡
⎤∈-+∈⎢⎥⎣
⎦Z 时，写出绝对值符号表示
的()f x 解析式；
（2）求43f ⎛⎫
⎪⎝⎭，43f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，判断函数()()f x x ∈R 的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当12
1e
a -<<时，求方程()log 0a
f x -=的实根.（要求说明理由，12
12
e
-
>
） 19．（2020·北京101中学高三质检）已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()
()
111f x f x f x -+=+.
（1）证明：2是函数()f x 的周期；
（2）当[)0,1x ∈时，()f x x =，求()f x 在[)1,0x ∈-时的解析式，并写出()f x 在[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时的解析式；
（3）对于（2）中的函数()f x ，若关于x 的方程()f x ax =恰好有20个解，求实数a 的取值范围.。