第5章 离散傅立叶变换与快速算法3
[理学]离散傅里叶变换及其快速算法
![[理学]离散傅里叶变换及其快速算法](https://img.taocdn.com/s3/m/a4bbbd1b0912a21615792901.png)
非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) /序列的傅里叶变换
• 定义序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为：
X (e ) DTFT{x(n)}
j n jn x ( n )e
• 序列x(n)的离散时间傅里叶逆变换(IDTFT)为：
x(n) IDTFT{X (e j )} 1 2
按时间抽取的FFT算法
• 设N=2M，M为正整数，如取N=23=8，即离散时间信号为
x(n) {x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)}
• 按照规则①将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数， 另一组序号为奇数，即
{x(0), x(2), x(4), x(6) | x(1), x(3), x(5), x(7)}
X (e j )e jn d
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散）
1 Xk T
T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
x(t )
k
X k e jk1t
k 0, 1, 2,
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续）
05-第五章-快速傅里叶变换(蝶形运算)
W
r N
的确定
W
r N
的确定
以N=8为例：
m 1 时 W N r W ， N j/4 W 2 j m W 2 0 ,j 0
m 2 时 W N r W ， N j/2 W 2 j m W 4 j,j 0 , 1
m 3 时 W N r W N ， j W 2 j m W 8 j,j 0 , 1 , 2 , 3 N2M,第L级：
8.0 1024 1 048 576 5 120 204.8
12.8 2048 4 194 304 11 264 372.4
64 4049 192
21.4
24
5.3.3 按时间抽取的FFT算法的特点
序列的逆序排列
同址运算（原位运算）
蝶形运算两节点间的距离
W
r N
的确定
25
序列的逆序排列
序列的逆序排列
以N/2点序列x1(r)为例
x1x (1 2 (l2 l)1 ) x3 x(4 l()l)
l0,1, ,N1 4
则有
N21
N4 1
N4 1
X1(k) x1(r)WNrk2 x1(2 l)W N 2l2k x1(2 l 1 )W N (2 2 l 1 )k
r0
l 0
l 0
N41
N41
x3(l)W N lk 4W N k2 x4(l)W N lk 4
FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是 DFT的一种快速计算的算法。
3
5.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
DFT的运算量
设复序列x(n) 长度为N点，其DFT为
N1
X(k) x(n)WNnk n0
k=0，，…，N-1
5_离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
6 X (k ) X * (( N k )) N RN (k )， 若 x(n) imagenary
2016/6/2 大连理工大学 26
• 【满足圆周共轭对称性的序列】
2016/6/2
大连理工大学
27
• 【圆周卷积和性质】
– 若： DFT x1(n) X1(k ), DFT x2 (n) X 2 (k )
* * 2 DFT x (( n )) R ( n ) X (k ) N N 1 * 3 DFTRe x(n) X ep (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 1 * 4 DFT jIm x(n) X op (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 5 X (k ) X * (( N k )) N RN (k ), 若 x(n) real
( n) 和 a k 分别表示周期性信号和频谱。 –定义新符号： x
–定义矩形序列符号 RN (n) 和
RN (k )
为
1, 0 n N 1 1, 0 k N 1 RN (n) 或 RN (k ) 0, 其它 n 0, 其它 k
( n) 和 a k –有限长序列 x(n) 和 ak 可以认为是周期性序列 x 的一个周期。
谱或系统的频率响应也是数字化的。 –实际应用中的信号总是有限时宽的、且为非周期的。希 望信号频谱也是有限频宽、且非周期的。 –考察前面介绍的4种傅里叶级数或傅里叶变换，没有任
何一种能够满足这种需求。
–因此，发展新的傅里叶变换方法以适应数字信号处理实 际应用的要求称为数字信号处理理论的一个重要任务。 –这就为DFT的发展提供了需求和动力。
离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示 特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。
即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。
步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点 方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
图像识别
通过对图像进行DFT变换， 提取特征向量，可用于图 像的分类、识别和检索。
在频谱分析中的应用
频谱估计
通过DFT对信号进行频谱分析， 可以估计信号的频率分布和强度。
调制识别
利用DFT对接收信号进行频谱分析， 可以识别信号的调制方式和参数。
雷达目标识别
通过对雷达回波信号进行DFT变换， 可以提取目标特征，实现目标分类 和识别。
图像处理
在图像处理领域，DFT被广泛应用于图像频域分 析和变换编码等技术。庄算法等快速算法的应用 ，使得图像处理更加高效，为图像压缩、图像增 强等技术的发展提供了重要支撑。
科学计算
在科学计算领域，DFT被广泛应用于数值分析和 数值计算。庄算法等快速算法的出现，提高了科 学计算的精度和速度，为科学研究和工程设计提 供了更加可靠的数值分析方法。
PART 02
DFT的基本原理
离散傅里叶级数（DFS）
定义
离散傅里叶级数是周期为N的复数序 列x[n]，其可以通过三角函数的线性 组合来表示。
公式
X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] * w^(kn) / sqrt(N)
离散傅里叶变换（DFT）的定义
定义
DFT是对于有限长序列x[n]的变换，将x[n]映射到频域X[k]。
对未来研究和应用的展望
算法优化
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化庄算法等快速算法，提高计算效率和精度， 以满足更加复杂和大规模的信号处理、图像处理、通信系统和科学计算等应用需求。
应用拓展
随着数字化时代的到来，离散傅里叶变换及其快速算法在各个领域的应用前景将更加广 阔。未来可以进一步拓展其在人工智能、物联网、量子计算等领域的应用，推动相关技
离散傅立叶变换
（2）x(n)的4点DFT
X 1 (k ) x(n)W
n 0 3 kn 4
W
n 0
3
kn 4
4, 0,
k 0 k 1, 2, 3
9
（3）x(n)的8点DFT
X 2 (k ) x(n)W8kn W8kn e
n 0 7 3
3 j
2 kn 81610例题 Nhomakorabea图形显示
从图可见，同一 序列不同点数的 DFT是不相同的。 比较可以发现， 对原序列尾部补 零后增加的谱线 只是有规律地插 在频谱的一个周 期内。
11
DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、傅里叶变换和DFT分别为
X ( z ) Z [ x(n)] x(n) z n
X (k ) X ( z) z W k e j 2k / N
N
0≤k≤ N-1 0≤k≤ N-1
X (k ) X (e jw ) w 2k / N
第一式表明，序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n)
的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第 一个取样点应取在z= 1处。 第二式说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区 间[0，2π]上的N点等间隔取样。
m 0
N 1
23
循环卷积定理证明
证明
X (k ) DFT [ x(n)]
kn x1 (m) x2 (( n m)) N RN (n)WN n 0 m 0
N 1 N 1
kn x1 (m) x 2 (( n m)) N WN m 0 n 0
N 1
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要
所以 整个N点DFT运算共需要：
实数乘法次数： 4 N2
实数加法次数： N×2(2N-1)= 2N(2N-1)
6
DFT运算量的结论
N点DFT的复数乘法次数举例 N 2 4 8 16 32 N2 4 16 64 256 1028 N 64 128 256 512 1024 N2 4049 16384 65 536 262 144 1 048 576
（2）周期性 （3）可约性 另外，
( n N ) k n( k N ) nk WN WN WN
mnk nk WmN WN
nk nk / m WN WN /m
( k N / 2) k WN WN
N /2 WN 1
8
5.3 按时间抽取的基2-FFT算法
算法原理 按时间抽取基-2FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较 按时间抽取的FFT算法的特点 按时间抽取FFT算法的其它形式流程图
23
FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N N2
N log 2 N 2
计算量 之比M
N
N2
N log 2 N 2
计算量 之比M
2
4 8 16 32 64
4
16 64 256 1028 4049
1
4 12 32 80 192
离散傅里叶变换及快速算法
（5-5）
W e N
j
2 N
的性质:
正交性，周期性，
共轭对称性（偶序列），可约性。
§5．离散傅里叶变换及快速算法
1.离散傅里叶级数
1.2离散傅里叶级的计算
例5-1 求出下面周期序列的DFS
x(n) 0 ,1,2,3, 0 ,1,2,3, 0,1,2,3
n0
为改进嵌套循环计算的效率，将循环结构改为矩阵形式计算
§5．离散傅里叶变换及快速算法
0.概述
离散时间傅里叶变换(DTFT)是通过周期频谱 来描述一个离散信号序列，即DTFT是连续变 量w的连续函数。离散傅里叶变换(DFT)则是 针对有限长序列，是对DTFT采样后得到的离 散序列。 此种表示方法非常有利于数值计算以及数字信 号处理算法的DSP硬件实现。 本章将研究离散傅里叶级数，离散傅里叶变换 (DFT)，及离散傅里叶变换的快速算法FFT。
（5-3）
n0
称之为离散傅里叶级数DFS的系数。是一个基波周期为N的 周期序列。
X (k) X (k N)
§5．离散傅里叶变换及快速算法
W e 在DFS变换中引入复数 N
j
2 N
将DFS正反变换描述为
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
x (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
x
1 N
WN* X
WN WNkn 0
k,n
N
1
1 1
1
WN1
1
W ( N 1) N
1
W ( N 1) N
离散傅里叶变换及其快速算法
ak 也是以 N周期的周期序列，满足 ak
~ X (k ) Nak
ak 。令 ln
（3.5）
将式（3.4）代入，得
N 1 j kn ~ ~ N X ( k ) x ( n )e n 0 2
k
（3.6）
~ X (k ) 式中， 是以N为周期的周期序列，称为
~ x (n) 的离散傅里叶级数，用DFS表示。
~(k )， N 相位为 幅度为 X
~ arg[ X (k )]
。
基波分量的频率为 2 N ，幅度为
~ 为arg[ X (1)]
~ X (1) N
，相位
。
x ( n ) 以 N 8 为周期 n) 【例3-1】设 x(n) R4 (，将
进行周期延拓，得到周期序列 幅频特性。
~ x ( n)
2016-12-8
解：根据定义求解
14 12 e 8e
j
j
2 k 6
10e
j
j
2 2k 6 j 2 5k 6
2 3k 6
6e
2 4k 6
10e
X (0) 60 X (3) 0
X (1) 9 j 3 3 X (4) 3 j 3
X (2) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3
x 3(n )
当k取奇数（ k=2m+1 ，m=0，1，…， N/4-1 ）时
N n(2 m 1) X 1(2m 1) x 1(n ) x 1 n 4 W N 2 n 0 N 4 1 N n mn x 1(n ) x 1 n W W N N 4 4 n 0 2
快速傅里叶变换 - 维基百科,自由的百科全书
对于实数输入，且输入为偶对称或奇对称的情形，可以更进一步的省下时间以及记忆体，此时 DFT可以用离散余弦转换或离散正弦转换来代替（Discrete cosine/sine transforms）。由于 DCT/DST也可以设计出FFT的算法，故在此种情形下，此方法取代了对DFT设计的FFT算法。
DFT可以应用在频谱分析以及做折积的运算，而在此处，不同应用可以用不同的算法来取代，列 表如下：
实数或对称资料专用的算法
在许多的运用当中，要进行DFT的资料是纯实数，如此一来经过DFT的结果会满足对称性： =
而有一些算法是专门为这种情形设计的（e.g. Sorensen, 1987）。另一些则是利用旧有的算法 （e.g. Cooley-Tukey），删去一些不必要的演算步骤，如此省下了记忆体的使用，也省下了时 间。另一方面，也可以把一个偶数长度且纯实数的DFT，用长度为原本一半的复数型态DFT来表示 （实数项为原本纯实数资料的偶数项，虚数项则为奇数项）。
快速傅里叶变换 维基百科，自由的百科全书
和
是两个分别关于串行
计算出 的前N/2个点，对于后N/2个点，注意
位根的对称性，于是有以下变换公式：
奇数号和偶数号串行N/2点变换。由此式只能
和
都是周期为N/2的函数，由单
。
这样，一个N点变换就分解成了两个N/2点变换。照这样可继续分解下去。这就是库利-图基快速 傅里叶变换算法的基本原理。根据主定理不难分析出此时算法的时间复杂度为
用来做频谱分析的情况下，DFT可用下列的算法代替：
DCT DST
https:///wiki/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2
信号处理中常用的数学变换
局部性
HHT能够揭示信号的局部特征，对信号的细节变 化敏感。
物理意义明确
IMF分量与物理现象有明确的对应关系，有助于 理解信号的内在机制。
希尔伯特-黄变换的应用
机械故障诊断
在机械故障诊断中，HHT可以用于提取故障信号的特征，如齿 轮箱的故障检测。
地震信号处理
在地震学中，HHT用于分析地震信号，提取地震事件的参数， 如地震位置和震级。
灵活性
可以选择不同的小波基函数， 以满足不同信号处理的需求。
时频局部化
能够在时间和频率上聚焦到信 号的任意细节。
小波变换的应用
信号降噪
通过小波变换去除信号中的噪 声成分。
特征提取
利用小波变换提取信号中的特 定特征，如边缘、突变点等。
图像压缩
通过小波变换对图像进行压缩 ，减少存储和传输的数据量。
故障诊断
04
HHT得到的IMF分量具有明确的物理意义，而傅里叶变换和小波变换 得到的结果可能与实际物理现象不太直接相关。
THANK YOU
感谢聆听
信号处理中常用的数学变换
目
CONT • Z变换 • 小波变换 • 希尔伯特-黄变换（HHT）
01
傅里叶变换
定义与性质
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法，通过将 信号表示为不同频率的正弦波的线性组合，可以揭示信号的频率 成分。
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、对称性和周期性等性 质，这些性质在信号处理中具有广泛的应用。
拉普拉斯变换适用于分析具有收敛性的函 数，而傅里叶变换适用于分析周期性的函 数；拉普拉斯变换的收敛条件比傅里叶变 换更宽松，能够处理更广泛的一类函数。
03
Z变换
定义与性质
第五章离散傅里叶变换及其快速算法
第五章离散傅里叶变换及其快速算法1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1)时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
成效：持续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
(2)时域截断：缘故：工程上无法处置时刻无穷信号。
方式：通过窗函数(一样用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方式：周期延拓中的搬移通过与)δ的卷积来实现。
(st-nT表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
(4)1。
图1 DFT推导进程示用意(5) 处置后信号的持续时刻傅里叶变换：∑∑∞-∞=-=π--δ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~010/2(i))(~f H 是离散函数，仅在离散频率点SNT k T k kf f ===00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。
(ii) )(~f H 是周期函数，周期为ss T NT N T N Nf 100===，每一个周期内有N 个不同的幅值。
(iii) 时域的离散时刻距离(或周期)与频域的周期(或离散距离)互为倒数。
2 DFT 及IDFT 的概念(1) DFT 概念：设()s nT h 是持续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1/2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆-=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 概念：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛s NT kH 是持续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为：())1,...,1,0(,110/21-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆-=π--∑N k nT h e NTkH NNT kH DFT s N k N nk j s sN (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。
第5章 快速傅立叶变换
2
N 2
N 2
−1
r =0
2
第 5章 快速傅立叶变换
式中 X 1 (k ) 和 X 2 (k ) 分别是 N / 2 点DFT，得到的只是X (k ) 的 ， 前一半项数的结果。 前一半项数的结果。 X 性质可知， 由DFT性质可知， 1 (k ) 、 2 (k ) 都是周期为N / 2 的周期函数 性质可知 X
x3 (0) = x1 (0) = x(0)
x3 (1) = x1 (2) = x(4)
X 3 (0)
N/4点 点 DFT X 3 (1)
X 1 (0)
0 N /2
x4 (0) = x1 (1) = x(2)
x4 (1) = x1 (3) = x(6)
N/4点 点 X 4 (1) DFT
W X 4 (0)
W
k N
-1
X(
(后一半) 后一半)
例如讨论N=8的蝶形流图表示方法 的蝶形流图表示方法 例如讨论 x(2r ) = x1 (r ) , r = 0,1, 2,3 x(2r + 1) = x2 (r )
X (k ) = X 1 (k ) + W8k X 2 (k ), k = 0,1, 2,3 X (k + 4) = X 1 (k ) − W8k X 2 (k ), k = 0,1, 2,3
lk N /4
= ∑ x6 (l )W
l =0
N , k = 0,1,..., − 1 4
2 将系数统一为： k 将系数统一为： N / 2 = WN k 则N=8点DFT就可以分解为四 W N=8点DFT就可以分解为四
个N/4=2点DFT，就可以得到如下流程图 点 ，
实验四 离散傅里叶变换及其快速算法
实验四 离散傅里叶变换及其快速算法一、 实验目的掌握快速傅立叶变换的应用方法；二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。
三、 实验原理和实例分析 （一）离散傅里叶变换离散傅立叶级数变换是周期序列，仍不便于计算机计算。
但离散傅立叶级数虽是周期序列，却只有N 个独立的数值，所以它的许多特性可以通过有限长序列延拓来得到。
对于一个长度为N 的有限长序列)(n x ，也即)(n x 只在)1(~0-=N n 个点上有非零值，其余皆为零，即⎩⎨⎧-≤≤=其他,010),()(N n n x n x把序列)(n x 以N 为周期进行周期延拓得到周期序列)(~n x ，则有：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=其他,010),()(~N n n x n x所以，有限长序列)(n x 的离散傅立叶变换(DFT)为：10,)()]([)(10-≤≤==∑-=-N n W n x n x DFT k X N n knN逆变换为：10,)(1)]([)(10-≤≤==∑-=-N n W k X N k X IDFT n x N n kn N若将DFT 变换的定义写成矩阵形式，则得到： X=A ﹒x ，其中DFT 变换矩阵A 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---2)1(111...1...............11...11N NN N N N N W W W W ADftmtx 函数：用来计算DFT 变换矩阵A 的函数A ＝dftmta （n ）：返回n ×n 的DFT 变换矩阵A 。
若x 为给定长度的行向量，则y ＝x*A ，返回x 的DFT 变换y 。
Ai ＝conj （dftmtx （n ））/n ；返回n ×n 的IDFT 变换矩阵Ai 。
【实例4-1】 >> A=dftmtx(4) >> Ai=conj(dftmtx(4))/4 运行结果A =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 - 1.0000i -1.0000 0 + 1.0000i1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 0 + 1.0000i -1.0000 0 - 1.0000i Ai =0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0 + 0.2500i -0.2500 0 - 0.2500i0.2500 -0.2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0 - 0.2500i -0.2500 0 + 0.2500i【实例4-2】如果)4/sin()8/sin()(ππn n n x +=是一个N ＝16的有限序列，用MATLAB 求其DFT 的结果，并画出其结果图，如图4－1所示。
离散傅里叶变换的算术傅里叶变换算法
离散傅里叶变换的算术傅里叶变换算法张宪超1，武继刚1，蒋增荣2，陈国良1（1.中国科技大学计算机科学与技术系，合肥230027；2.国防科技大学系统工程与数学系，长沙410073）摘要：离散傅里叶变换（DFT）在数字信号处理等许多领域中起着重要作用.本文采用一种新的傅里叶分析技术—算术傅里叶变换（AFT）来计算DFT.这种算法的乘法计算量仅为0（N）；算法的计算过程简单，公式一致，克服了任意长度DFT传统快速算法（FFT）程序复杂、子进程多等缺点；算法易于并行，尤其适合VLSI设计；对于含较大素因子，特别是素数长度的DFT，其速度比传统的FFT方法快；算法为任意长度DFT的快速计算开辟了新的思路和途径.关键词：离散傅里叶变换（DFT）；算术傅里叶变换（AFT）；快速傅里叶变换（FFT）中图分类号：TN917文献标识码：A文章编号：0372-2112（2000）05-0105-03An Algorithm for Computing DFT Using Arithmetic Fourier TransformZHANG Xian-chao1，WU Ji-gang1，JIANG Zeng-rong2，CHEN Guo-iiang1（1.Dept.of CompUter Science&Technology，Unio.of Science&Technology of China，Hefei230027，China；2.Dept.of System Engineering&Mathematics，National Unio.of Defense Technology，Changsha410073，China）Abstract：The Discrete Fourier Transform（DFT）piays an important roie in digitai signai processing and many other fieids.In this paper，a new Fourier anaiysis technigue caiied the arithmetic Fourier transform（AFT）is used to compute DFT.This aigorithm needs oniy0（N）muitipiications.The process of the aigorithm is simpie and it has a unified formuia，which overcomes the disadvantage of the traditionai fast method that has a compieX program containing too many subroutines.The aigorithm can be easiiy performed in paraiiei，especiaiiy suitabie for VLSI designing.For a DFT at a iength that contains big prime factors，especiaiiy for a DFT at a prime iength，it is faster than the traditionai FFT method.The aigorithm opens up a new approach for the fast computation of DFT.Key words：discrete Fourier transform（DFT）；arithmetic Fourier transform（AFT）；fast Fourier transform（FFT）!引言离散傅里叶变换（DFT）在数字信号处理等许多领域中起着重要作用.但DFT的计算量很大（N点DFT需0（N2）乘法和加法）.因此，DFT的快速计算问题非常重要.1965年，Cooiey 和Tukey开创了快速傅里叶变换（FFT）方法，使N点DFT的计算量从0（N2）降到0（N iog N），开辟了DFT的快速计算时代.但FFT的计算仍较复杂，且对不同长度的DFT其计算公式不一致，致使任意长DFT的FFT程序非常复杂，包含大量子进程.1988年，Tufts和Sadasiv［1］提出了一种用莫比乌斯反演公式（Mibius inversion formuia）计算连续函数的傅立叶系数的方法并命名为算术傅立叶变换（AFT）.AFT有许多良好的性质：其乘法量仅为0（N）；算法简单，并行性好，尤其适合VLSI设计.因此很快得到广泛关注，并在数字图像处理等领域得到应用.AFT已成为继FFT后一种新的重要的傅立叶分析技术［2~5］.根据DFT和连续函数的傅立叶系数的关系，可以用AFT 计算DFT.这种方法保持了AFT的良好性质，且具有公式一致性.大量实验表明，同直接计算相比，AFT方法可以将DFT的计算时间减少90%，对含较大素因子，特别是其长度本身为素数的DFT，它的速度比传统的FFT快.从而它为DFT快速计算开辟了新的途径."算术傅立叶变换本文采用文［3］中的算法.设A（t）为周期为T的函数，它的傅立叶级数只含有限项，即：A（t）=a0+!Nn=1a n cos2!f0t+!Nn=1b n sin2!f0t（1）其中：f0=1/T，a0=1T"TA（t）dt.令：B（2n，!）=12n!2n-1m=0（-1）m A（m2nT+!T），-1<!<1（2）则傅立叶系数a n和b n可以由下列公式计算：a n=!［N/n］l=1，3，5，…U（l）B（2nl，0）b n=!［N/n］l=1，3，5，…U（l）（-1）（l-1）/2B（2n，14nl），n=1，…，N（3）第5期2000年5月电子学报ACTA ELECTR0NICA SINICAVoi.28No.5May2000其中：!（l ）=I ，（-I ）r ，0{，l =I l =p I p 2…p r 3p 使p 2\l为莫比乌斯（M bioLS ）函数.这就是AFT ，其计算量为：加法：N 2+［N /2］+［N /3］+…+I -2N ；乘法：2N.AFT 需要函数大量的不均匀样本点，而在实际应用中，若计算函数前N 个傅立叶系数，根据奈奎斯特（NygLiSt ）抽样定律，只需在函数的一个周期内均匀抽取2N 个样本点.这时可以用零次插值解决样本不一致问题.文献［2、3］已作了详细的分析，本文不再重复.3DFT 的AFT 算法3.1DFT 的定义及性质定义1设X I 为一长度为N 的序列，它的DFT 定义为：Y I =Z N-II =0X I w II ，I =0，I ，…，N -I ；w =e -i 2!/N（4）性质1用记号X I 、=、Y I 表示序列Y I 为序列X I 的DFT ，G I 、=、H I ，则：pX I +gG I 、=、pY I +gH I （5）因此，一个复序列的DFT 可以用两个实序列的DFT 计算.故本文只讨论实序列DFT 的计算问题.性质2设X I 为一实序列，X I 、=、Y I ，则：Re Y I =Re Y N -I ，Im Y I =-Im Y N -I （Re Y I 和Im Y I 分别代表Y I 的实部和虚部）（6）因此，对N 点实序列DFT ，只需计算：Re Y I 和Im Y I （I =0，…，「N /2）.3.2DFT 的AFT 算法离散序列的DFT 和连续函数的傅立叶系数有着密切的联系.事实上，若序列X I 是一段区间［0，T ］上的函数A （t ）经过离散化后得到的，再设A （t ）的傅立叶级数只含前N /2项，即：A （t ）=a 0+Z「N /2-II =Ia I coS2!f 0t +Z「N /2-II =I6I Sin2!f 0t（7）则DFT Y I 和傅立叶系数的关系为：Re Y I =「N /2a I /2Im Y I =「N /26I /{2，I =0，…，「N /2（8）式（7）中函数代表的是一种截频信号.对一般函数，式（8）中的“=”要改为“匀”［7］.因此，序列X I 的DFT 可以通过函数A （t ）的傅里叶系数计算.对于一般给定序列X I ，注意到在任意一个区间上，经过离散后能得到序列X I 的函数有无穷多个.对所有这些插值函数，公式（8）都近似地满足（仅式（7）中的函数精确地满足式（8））［7］.AFT 的零次插值实现实质上就是用这些插值函数中的零次插值函数代替原来的函数进行计算的.而从AFT 的零次插值实现方法可知，用AFT 计算傅里叶系数，实际上参与计算的只是函数经离散化后得到的序列，而不必知道函数本身.因此，我们可以任取一个区间，在这个区间上，把序列X算（8）中的“傅里叶系数”，再通过式（8），就可以计算出序列的DFT .算法描述如下（采用［0，I ］区间）：for I =I to 「N /2for m =0to 2I -IB （2I ，0）：=B （2I ，0）+（-I ）mX［Nm /2I +0.5］B （2I ，I /4I ）：=B （2I ，I /4I ）+（-I ）mX［Nm /2I +N /4I +0.5］endforB （2I ，0）：=B （2I ，0）/2I B （2I ，I /4I ）：=B （2I ，I /4I ）/2I endforfor =0to N -I a 0：=a 0+X （ ）/N for I =I to 「N /2for I =I to［「N /2/I ］by 2a I ：=a I +!（I ）B （2II ，0）6I ：=6I +!（I ）（-I ）（K -I ）/2B （2II ，I /4II ）endforRe Y I ：=「N /2a I /2Re Y N -I ：=Re Y I Im Y I ：=「N /2a I /2Im Y N -I ：=-Im Y I endfor endfor图IDFT 的AFT 算法程序AFT 方法的误差主要是由零次插值引起的，大量实验表明，同FFT 相比，其误差是可以接受的（部分实验结果见附录）.4算法的性能4.1算法的程序DFT 的AFT 算法具有公式一致性，且公式简单，因此算法的程序也很简单（图I ）.图2DFT 的AFT 算法进程示意为便于比较，不妨看一下FFT 的流程.图3FFT 算法进程示意可以看出，FFT 的程序中包含大量子进程，且这些子程序都较复杂.其中素数长度DFT 的FFT 算法程序尤其复杂.因此，任意长DFT 的FFT 算法其程序是非常复杂的.4.2算法的计算效率AFT 方法把DFT 的乘法计算量从0（N 2）降到0（N ），它2电子学报2000年计算时间减少90%.当DFT的长度!为2的幂时，FFT比AFT 方法快"对一般长度的DFT，当!含较大素因子时，AFT方法比FFT快；当!的因子都较小时，AFT方法不如FFT快.当DFT长度!本身为一较大素数时，AFT方法比FFT快"附录中给出部分实验结果以便比较"特别指出，对素数长度DFT，FFT的计算过程非常复杂，很难在实际中应用.而AFT方法算法简单，提供了较好的素数长度DFT快速算法"表1是两种算法计算效率较详细的比较"表1长度52191197114832417FFT效率67.30%68.03%72.50%71.23%76.22% AFT方法效率91.39#91.78#91.63#91.81#91.83# 4.3算法的并行性AFT具有良好的并行性，尤其适合VLSI设计，已有许多VLSI设计方案被提出，并在数字图像处理等领域得到应用.DFT的AFT算法继承了AFT优点，同样具有良好的并行性"5结论和展望本文采用算术傅里叶变换（AFT）计算DFT.这种方法把AFT的各种优点引入DFT的计算中来，开辟了DFT快速计算的新途径.把AFT方法同FFT结合起来，还可以进一步提高DFT的计算速度"参考文献［1］ D.W.Tufts and G.Sadasiv.The arithmetic Fourier transform.IEEE ASSP Mag，Jan.1988：13~17［2］I.S.Reed，D.W.Tufts，Xiao Yu，T.K.Troung，M.T.Shih and X.Yin.Fourier anaiysis and signai processing by use of Mobius inversion for-muiar.IEEE Trans.Acoust.Speech Speech Processing，Mar，1990，38（3）：458~470［3］I.S.Reed，Ming Tang Shih，T.K.Truong，R.Hendon and D.W.Tufts.A VLSI architecture for simpiified arithmetic fourier transform aigo-rithm.IEEE Trans.Signai Processing，May，1993，40（5）：1122~1132［4］H.Park and V.K.Prasanna.Moduiar VLSI architectures for computing the arithmetic fourier transform.IEEE.Signai Processing，June，1993，41（6）：2236~2246［5］Lovine.F.P，Tantaratanas.Some aiternate reaiizations of the arithmetic Fourier transform.Conference on Signai，system and Computers，1993，（Cat，93，CH3312-6）：310~314［6］蒋增荣，曾泳泓，余品能.快速算法.长沙：国防科技大学出版社，1993［7］E.0.布赖姆.快速傅立叶变换.上海：上海科学技术出版社，1976附录：较详细的实验结果（机型：586微机，主频：166MHz单位：秒）2的幂长度长度AFT方法基-2FFT直接算法2560.005160.002400.115120.018600.004400.4410240.075800.01100 1.81素数长度长度AFT方法FFT直接算法5210.03790.14390.449710.13400.4400 1.6014830.3103 1.0904 3.7924170.8206 2.389910.75任意长度长度因子分解AFT方法FFT直接算法13462!6370.270.44 3.1429862!1483 1.26 2.1414.8235793!1193 1.81 1.9222.1646374637 3.0821.4237.4755742!3!929 4.45 2.4752.2964364!1609 5.94 3.5772.6278933!3!8778.96 1.92105.49最大相对误差长度AFT方法FFT1024实部 2.1939>10-2 2.3328>10-2虚部 2.1938>10-29.9342>10-2 2048实部 4.2212>10-3 1.1967>10-2虚部 6.1257>10-3 4.9385>10-2 4096实部 2.3697>10-3 6.0592>10-3虚部 2.0422>10-3 2.4615>10-3张宪超1971年生"1994年、1998年分别获国防科技大学学士、硕士学位"现在中国科技大学攻读博士学位"主要研究方向为信号处理的快速、并行计算等"武继刚1963年生"烟台大学副教授，现在中国科技大学攻读博士学位"主要研究方向为算法设计和分析等"3第5期张宪超：离散傅里叶变换的算术傅里叶变换算法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x n
y n
y n x n * h n
X (k ) DFT [x(n )] H (k ) DFT [h(n )] y n IDFT [X (k )H (k )]
2
存在的问题
在许多应用场合（如语音滤波）输入信号时无 限长的。 尽管目前可以存储几乎所有的输入信号，但是 这样的一种DFT是不现实的；
1 2 fH
34
Ex
考虑一个带限连续信号xc (t ) ，且当 2 2500 时， X c ( j) 0。我们要利用上 图中的系统来估计连续时间谱 X c ( j) 。 为了在尽可能少的基二FFT计算量的条 件下使模拟频率的分辨率不大于10Hz， 则所需要截断多长的信号段？采样周期T 为何值？样本数N的最小值应为多少?
补零并不能提高分辨率， 分辨率在序列进行加窗处理时已经决定了，分辨率 仅取决于截取信号时真正窗的长度和形状。
20
21
22
加窗对频谱的影响->谱泄露
时域上的截断（相乘），在频域上表现 为周期卷积，这将会对信号的频谱起平 滑和能量的分散，即频谱泄漏。
23
24
正弦信号加窗（分辨率降低、谱泄漏）
块卷积的方法主要有两种
4
1）重叠相加法（Overlap)
设h(n)的点数为M，x(n)为很长的序列。
将x(n)分解为很多段，每段为L点， L选择成和M的数量值级相同 用xi(n)表示第i段：
xn, iL n i 1L 于要求模拟频率的分辨率不大于10Hz， 所以： 1
s L 10
截取的信号段长度至少为：0.1秒。为了采样 不使信号失真，则由采样定理可知： T 0.0002 s 从而采样周期 f s 2 * 2500Hz，在0.1秒内只能采 到500个点。所以样本数的最小值为：500。 为了利用FFT，采样点数应为512
2 2 *8 8 64
18
逼近真实
用序列补零将频谱采样点增加为128
19
满足频率分辨率要求的N点DFT能够给出误导 性的频谱抽样图。
人们常常使用补零的方法，这样可以对频谱充分地 过采样，将一些重要的特性表现出来。
可以看出，补零后的DFT得到了较密的谱线图， 更清楚的反应真实情况。但我们必须清醒地认 识到：
X ( j) T x(nT )e jnT
n 0 N 1
39
频域离散化栅栏效应
X ( j) T x(nT )e jnT
n 0
N 1
3 、由于数值计算的限制，在频域上也只 能计算离散点（频域抽样）上的数值。 ( f s ) 中也分成N段， 我们将频域的一个周期 即 f s NF0 。每个频域采样点间的间隔 为 F0 。则上式可以进一步化简为：
2.286 w
DFT分析参数的选取
信号的分析，并不是在NT=L为固定值的情况 下，N、T就可以任意取值。
如果N太小，T太大，则无法完成信号的谱分析； 若N太大，T太小，加大了运算量而且没必要。 那么什么样的N、T选择比较合适呢？
T
T的选取要满足无失真采样的条件：
当信号是带限未知时，T越小越好 ；在信号带限已 1 f f 知时，H c L 。 在此基础上再确定N，当然要留有一定的余度。
N 24 ( Asl 12) 1 155 ml
( 2 8.7), 2 50dB 0.1102 0.5842 ( 2 21) 0.4 0.07886 ( 2 21),21dB 2 50dB 0, 21dB 2
33
M
2 7.95
虽然可以通过补零的方法减小这种效应，但 这种固有的频谱采样仍然可能给出信号（连 续未加窗）真实谱的错误导向或不准确的频 谱图。
对应于上面图（c）的情况，我们进行64点的 DFT，其DTFT频谱和采样谱线图如下所示：
16
幅度畸变及衍生频率
17
纯净的假象
0
2 2 *4 16 64
1
可以多采12个数据，也可以采用补零的方法
36
一、DFT对CTFT的逼近
连续时间非周期信号傅里叶变换为：
X ( j) x(t )e jt dt
1 x(t ) 2
X ( j ) e
jt
d
用DFT 方法对该变换逼近：
37
时域离散化周期延拓
1、将x(t )在t轴上等间隔（宽度为T）分 段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲 的幅度为其起始点的抽样值。
进行频谱分析时，往往希望有高分辨率和小的 频谱泄漏，也就是希望有小的主瓣宽度和相对 小旁瓣幅度。
在具体选择窗函数时，要在两者之间进行折衷。 矩形窗函数在给定长度时具有最小的主瓣宽度，但 是却有最大的相对旁瓣幅度。
31
I 0 ( 1 [( n ) / ]] 2 ) w(n) I 0 ( )
主瓣宽度主要取决于窗的长度。主瓣宽度、相对旁瓣 幅度和窗长度之间的折衷关系的近似表达式为：
24 ( Asl 12) N 1 155 ml
32
信号分析与滤波器设计的区别
0 Asl 13.26 0.76609 ( Asl 13.26) 0.4 0.09834 ( Asl 13.26) 13.26 Asl 60 0.12438 ( Asl 6.3) 60 Asl 120
27
0T 1T
64点的矩形窗的幅度谱函数
28
29
频率分辨能力
频率的分辨能力取决于（有效）时间窗的主瓣宽度， 在模拟频域上取决于 2/L ，在离散频域上取决于 2/N 考虑采样间隔T，两者将是等效的。 频率分辨率（HZ）定义为： 1 L fs 1 1 DFT所计算频点间隔（频率步进） ： s N NT L 数字频率步进率和频率分辨率虽然形式上相同，但其 存在根本区别，之间没有必然联系。
h(n)
N-1
0
n
y1(n)＝x1(n)
0
h(n)
L L+N-1
n
y2(n)＝x2(n)
h(n)
0 2L 2L+N-1
n
8
2）重叠保留法( Oversave)
与重叠相加法相同，先将x(n)分段，每段L 个点 不同之处是输入序列xi(n)中不再补零，而是 在每一段的前边补上前一段保留下来的（M1）个输入序列值，组成L+M-1点序列。 每段圆周卷积结果的前（M-1）个点的值
前一段的后（M-1）个点的后一段的前（M1）个点重叠
6
h(n)
0 x(n)
M-1
N-1
n
L
0 2L 3L
n
x0(n)
L-1 N-1
0
n
x1(n)
0
L 2L-1
L+N-1
n
7
x0(n)
L-1 N-1
0
n
x1(n)
0
L 2L-1
L+N-1
n
x2(n)
0 2L 3L-1
2L+N-1
n
y0(n)＝x0(n)
26
DTFT没有对幅度谱的形状产生畸变。
A0 A1
X ( e j )
1T 0T
O
然而加窗后序列DTFT为：
V ( e j ) A0 [W ( 0 )e j 0 W ( 0 )e j 0 ] 2 A1 [W ( 1 )e j 1 W ( 1 )e j 1 ] 2
输入和输出之间的长度严重不对称，需要对FIR滤 波器的单位冲激进行大量补零，浪费大量运算量； 采集完所有输入样本后才能计算滤波输出，导致有 很大的处理延迟，损失实时性；
3
解决方法
采用块卷积
将输入信号分割成多段， 对每段信号利用DFT进行处理， 适当处理后进行衔接
重叠相加法 重叠保留法
xn xi n
i 0
yn xn * hn xi n * hn
i 0
5
输出重叠问题
由于xi(n)为L点，而yi(n)为（L+M-1）点 （设N=L+M-1）， 相邻两段输出序列yi (n), yi+1 (n)必然有 （M-1）个点发生重叠
DFT的应用
DFT是一种算法，可以用硬件实现， 也可以用软件实现 主要有两方面用途：
一、LTI系统实现 二、信号的频谱分析
1
一、利用DFT实现LTI系统(FIR)
出发点：
线性时不变系统可以用线性卷积和来实现和描述； 圆周卷积和在满足一定约束的条件下可以得到线 性卷积； 圆周卷积和可以利用DFT来完成
0 n N 1
N 1 2
Kaiser 和 Schafer 证明，相对旁瓣幅度基本上与窗的 长度无关，只取决于窗的形状，即取决于 ，它们之间的 近似表达式为：
0 Asl 13.26 0.76609 ( Asl 13.26) 0.4 0.09834 ( Asl 13.26) 13.26 Asl 60 0.12438 ( Asl 6.3) 60 Asl 120
当时间窗的长度固定时，采取加密采样点数N，减小采样周期 T是不能提高模拟频率分辨率，也不能提高数字频率步进率 通过补零的方法，可以提高数字频率的分辨率，减小栅栏效 应。但同样不能提高模拟频率分辨率。