高一必修五余弦定理(一)

解的情况
一解 无解 无解 一解 两解 一解 A
a
b
A a
b
bsinA
三、掌握“边角互化”的解题思想
相关知识复习： 1.向量的数量积： a b a b cos 2.勾股定理：a2+b2=c2. 用向量方法证明： 好处：不用做辅助线
A c b
C
a
B
问题： （1）已知A,B,b,求a 用正弦定理 （2）已知A,a,b,求B,C 用正弦定理 （3）已知a,b,C两边一夹角
2 2 2
C b
A c
a
B
余弦定理好处： 不用判断解个数 与勾股定理联系？P6
在ABC中，
2 2
b c a cos A 2bc
2
b2 c 2 a 2 A为 角 直 ； 2 2 2 b c a A为 角 锐 ； 2 2 2 b c a A为 角 钝
在△ABC中,若a=5、b=7、c=9，判断 △ABC是锐角三角形还是钝角三角形.
3 1 2 3 1 cos150
7

b2 c 2 a 2 cos A 2 2 2 2bc a b c 2bc cos A a 2 c 2 b2 2 2 2 b a c 2ac cos B cos B 2ac c 2 a 2 b 2 2ab cos C a 2 b2 c 2 cos C 2ab
用法：知两边及其夹角求 三角形的第三条边. 用法：知三边求三角形 的三个角.
例1、在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a² +c² =b² -2bccosA
=60² -2×60×34×cos41o≈1676.82 +34²
7 8 c 2 8 c cos 60
2 2 2

整理得 c 8c 15 0
2
解方程思想
解得 c 3或c 5
练习：已知在△ABC中，a=1，b= 7 ，B=60o，求c. c=3
解题小结： 在解三角形时，需由已知条件的不同，合理选用 正、余弦定理求解，一般应注意以下四种情况： （1）知两角及一边 先求第三角，再用正弦定理求另外两边. （2）知两边及其中一边的对角： ①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边； ②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角 先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边 用余弦定理求三个角. 特别地，第二种情况还需知道如何判断解的个数.
b2 c 2 a 2 87.82 161.72 134.62 cos A 0.5543 2bc 2 87.8 161Baidu Nhomakorabea7
∴A≈56°20′
c 2 a 2 b 2 134.62 161.72 87.82 cos B 0.8398 2ca 2 134.6 161.7
2+ 6 ，
3.求三角形面积
ABC中，A 30o , c 3, a 1, 求三角形面积.
4.在△ABC中，判定△ABC的形状． (1)cosA∶cosB = b∶a ，(2) a=bcosC
作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1， ∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长 。
2 2
c a b 2ab cos C
2
A
c=？
B
c a 2 b2 2ab cos C
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的 夹角为C，试求AB边的长c. 思路2：作AD⊥BC于D ∵在Rt△ADC中，CD=bcosC C ∴BD=a-bcosC 又∵AD=bsinC b ∴在Rt△ADB中， c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2 =b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C A =a2+b2-2abcosC
算最大角的余弦值 学案P38达标2
在三角形的六个基本元素中，已知哪三 个元素可以解三角形？ ASA,AAS,SAS,SSS 针对上述类型，分别用哪个定理求解为宜？ 已知一边两角：正弦定理； 已知两边及对角：正弦定理； 已知两边及夹角：余弦定理；
已知三边：余弦定理.
例3、已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c. 解：由余弦定理得 b2 a 2 c 2 2ac cos B
A
B
D
C
作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1， ∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长 。
解：∵∠B＝60o，∠ADC＝150o A ∴∠BDA＝30o，∠BAD＝90o，
∵BD＝2
B ∴AB=2sin30o=1，AD=2sin60o= 3
D
C
AC AD2 DC 2 2 AD DC cos ADC
D
a
c=？
B
c a b 2ab cos C
2 2
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的 夹角为C，试求AB边的长c.
如图所示建立直角坐标系，点A，B的坐标分别是 什么？ 根据两点间的距离公式可得什么结论？
y A b x C a
A(bcosC，bsinC)
B
B(a，0)
c = a + b - 2ab cosC
2
2
2
C
c a b 2ab cos C
2 2 2
同理可得a b c 2bc cos A
2 2 2
b
a
b2 a 2 c 2 2ac cos B
A
c=？
B
余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
∴a≈41(cm)
故由正弦定理可得
c sin A 34 sin 41 34 0.656 sin C 0.5440. a 41 41 ∵c<a，故C是锐角
∴利用计算器可求得 C≈33° ∴B=180o-(A+C)=180o-(41o+33o)=106°
例2、在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。 解：
∴B≈32°53′
C 180 ( A B) 180 (56 20 32 53 ) 90 47
' '
'
利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； （2）已知三边，求三个角. 练习：在△ABC中
（1）已知b=8，c=3，A=60o，求a； 7
（2）已知a= 3 3 ，c=2，B=150o，求b； 7 （3）已知a=2，b= 2 ，c= 3 1，求A. 45o
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习 一、正弦定理可解决两类三角问题： 1、知两角及一边，求其它的边和角； 2、知两边及其中一边的对角，求其它的边和角.
注意：第二种类型的问题可能有一解、两解、无解三种情况.
二、已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况：
A的范围
A为钝角或直角 a,b关系 a＞b a≤b a＜bsinA A为锐角 a=bsinA bsinA＜a＜b a≥b
结合正弦定理，
c = a + b - 2ab cosC 可作什么变形？
2 2 2
sin C = sin A + sin B - 2 sin A sin B cosC
2
2
2
1、在△ABC中，已知a= 解三角形（保留根号）.
2+ 6 cm，B=45o， 3，c = 2
2、在△ABC中，已知a=2 3，b= 2 2 c= 解三角形（保留根号）。
C a
b
A
c=？
B
确定三角形方法？ ASA, AAS, SAS, SSS
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的 夹角为C，试求AB边的长c. 思路1：依条件可知，| CB | a ,| CA | b, AB CB CA
2 2 | AB | | CB CA |
C a
2 2 CB CA 2CB CA b 2 2 | CB | | CA | 2 | CB || CA | cos C