二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 -2sin²(θ)二倍角正切公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))这些公式是三角函数中的重要定理，可以用于求解各种三角函数的问题。
下面将对这些公式进行推导和证明。
首先，我们先推导二倍角正弦公式。
假设有一个角θ，那么其二倍角为2θ。
可以通过三角函数的和差化积公式推导出二倍角正弦公式。
根据三角函数的和差化积公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)因此，得到二倍角正弦公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)接下来，我们推导二倍角余弦公式。
同样地，我们仍然使用三角函数的和差化积公式。
根据三角函数的和差化积公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)又根据三角恒等式sin²(θ) + cos²(θ) = 1，我们可以将上式进一步变形：cos(2θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 1因此，得到二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) =2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)最后，我们推导二倍角正切公式。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
(5)降幂扩角变换： cos2α＝12(1＋cos 2α)； sin2α＝12(1－cos 2α)； sin αcos α＝12sin 2α. 2．解决给值求值问题的一般思路：一是先化简(变形)三 角式，再代入求值；二是由已知变形，获得所求解的式子．其
关键是找出条件和结论两者之间的关系．
＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
1．二倍角公式给出了倍角 2α 与单角 α 之间的关
系．对于“二倍角”应该有广义的理解，不仅限于 2α 是 α 的二倍形式，其他如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角， 2α＋π2是 α＋π4的二倍角．
80°＝4. 80°
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 2 12 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 13 13
2
sin4 sin[ (2 )] 2 sin2 cos2 2
5 12 120 2 ( ) 13 13 169
理解公式的推导方法
S(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
C(α+β)
作 商
T(α+β) β＝α
T2α
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作业
教材P137面习题3.1 A组14、15、
18、19（2）（4）题
tan 2的值.
例5. 已知 tan 2, 求 sin 2 , cos 2 ,
tan 2的值.
2 tan sin 一般地： 2 1 tan2 2 1 tan cos 2 2 1 tan
万能公式 2 tan tan 2 2 1 tan
公式中角有什么特点？
cos 1 sin
2 2
cos2 cos sin
2 2
(1 sin ) sin
2 2
公式左端的角是右端 角的二倍
1 2 sin
2
灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
两倍角的正弦、余弦、 正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
二倍角的正弦余弦和正切公式
二倍角的正弦余弦和正切公式二倍角公式是用来求解二倍角的三角函数的公式，以正弦、余弦和正切为例，其公式分别为：1.正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ该公式说明了一个角的正弦的两倍可以通过该角的正弦和余弦相乘来得到。
2.余弦的二倍角公式：余弦的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ该公式说明了一个角的余弦的两倍可以通过该角的余弦平方与正弦平方的差来得到。
3.正切的二倍角公式：正切的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)该公式说明了一个角的正切的两倍可以通过该角的正切的两倍与1减去该角的正切的平方的商来得到。
这些二倍角公式可用于简化复杂的三角函数表达式，以便更轻松地计算和求解。
下面将更详细地解释这些公式的推导和应用。
根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：sinΦ = 对边 / 斜边那么对边到底边的距离可以通过利用余弦函数来表示为：sinΦ = cos(Φ - 90°)将Φ代入，并展开cosine函数的定义：sin2θ = cos(2θ - 90°)根据余弦的差积公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ将(2θ-90°)分解为(2θ)与(90°)：cos(2θ - 90°) = cos2θcos90° + sin2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：cos(2θ - 90°) = sin2θ因此，可得到正弦的二倍角公式：sin2θ = cos(2θ - 90°)由于cos(2θ - 90°) = sin2θ，所以可以进一步化简为：sin(2θ) = 2sinθcosθ根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：cosΦ = 邻边 / 斜边那么邻边到底边的距离可以通过利用正弦函数来表示为：cosΦ = sin(Φ + 90°)将Φ代入，并展开sine函数的定义：cos2θ = sin(2θ + 90°)根据正弦的和积公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ将(2θ+90°)分解为(2θ)与(90°)：sin(2θ + 90°) = sin2θcos90° + cos2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：sin(2θ + 90°) = cos2θ因此cos2θ = sin(2θ + 90°)由于sin(2θ + 90°) = cos2θ，所以可以进一步化简为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ根据三角函数的定义，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边令角度Φ等于2θ，则有：tanΦ = 对边 / 邻边可以利用正弦和余弦的定义来表示对边和邻边：tanΦ = sinΦ / cosΦ将Φ代入，根据正弦和余弦的二倍角公式：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)通过之前推导的正弦和余弦的二倍角公式代入，即可得到正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2sinθcosθ) / (cos^2θ - sin^2θ)由于正弦的倒数是余弦，所以可以进一步化简为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)综上所述，正弦、余弦和正切的二倍角公式可以帮助我们计算和求解二倍角的三角函数。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
第五章 三角函数
3．已知 cosα＝31，则 cos2α 等于( C )
A．31
B．32
C．－97
D．79
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
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第五章 三角函数
4．(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)的值为( D )
第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、 余弦与正切公式
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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第五章 三角函数
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第五章 三角函数
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对吗？ (2)公式中的角α是任意角吗？
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第五章 三角函数
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提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的 二倍角，3α 是32α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α2是α4的二倍角，…这里蕴 含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关 系的．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．
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第五章 三角函数
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2．已知 sinα＝35，cosα＝54，则 sin2α 等于( D )
A．57
B．152
C．1225 [解析]
D．2245 sin2α＝2sinαcosα＝2245.
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2
2012-12-1
sin A 3 5 3 得 A tan cos A 5 4 4
3 2 2 tan A 4 24 tan 2A 2 2 1 tan A 7 3 1 4
2 tan B 2 2 4 tan 2B 2 2 1 tan B 1 2 3
13 2 cos 1 sin
2
5 1 ( ) 13
2
12 . 13
于是 5 12 120 sin 2 2 sin cos 2 ( ) 13 13 169 5 2 119 cos 2 1 2 sin 2 1 2 ( ) 13 169 sin 2 120 169 120 t an 2 cos 2 169 119 119
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
k k k
2 2
2
( T(+) ) ( T(-) )
2012-12-1
tan A tan B 11 tan A B 1 tan A tan B 2
2 tan A B 44 tan 2 A 2B 2 1 tan A B 117
2012-12-1
二倍角的正弦、 余弦 、正切
sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2 2 cos 1 2 1 2 sin 2 tan tan 2 1 tan
2012-12-1
sin2+cos2=1
sin2=1-cos2
三角函数的二倍角公式
三角函数的二倍角公式二倍角公式有正弦函数的二倍角公式、余弦函数的二倍角公式和正切函数的二倍角公式。
1.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式可以通过将θ角的两倍表示为θ+θ，然后利用和差化积公式推导而来：2sinθcosθ = sin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθ =2sinθcosθ这个公式的应用非常广泛。
例如，在求解三角方程或者在计算三角函数的值时，如果出现了sin(2θ)的形式，可以直接使用这个公式。
2.余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ首先，我们可以使用和差化积公式将cos²θ - sin²θ表示为cos(θ+θ)。
然后，通过将cos²θ和sin²θ展开为cos²θ = 1 -sin²θ和sin²θ = 1 - cos²θ，可以得到cos(2θ)的其他推导公式。
这个公式在解决关于余弦函数的三角方程以及求解三角函数的值时非常有用。
3.正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)这个公式可以从sin(2θ) / cos(2θ)推导出来。
首先，将sin²θ + cos²θ = 1推导为sin(2θ)² + cos(2θ)² = 1、通过相应的代换，可以得到tan(2θ)的表达式。
这个公式在求解正切函数的值以及在解决与正切函数相关的三角方程时非常有用。
这些二倍角公式不仅可以用来简化计算，而且还可以用来求解三角方程以及证明一些三角恒等式。
因此，对这些公式的掌握和理解是学习和应用三角函数的重要基础。
此外，除了二倍角公式，还存在一些其他的三倍角、半角等公式，它们在一些更复杂的三角函数问题中也会有所应用。
二倍角公式
二倍角公式
二倍角公式是三角函数中的一种重要的公式，它用于计算角度的倍数。
在三角函数中，角度的一倍被称为原角，两倍被称为二倍角。
二倍角公式可以通过原角的余弦、正弦或正切来表示。
下面我们将介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1. 正弦的二倍角公式：
根据三角函数的定义，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
正弦的二倍角公式可以表示为：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
2. 余弦的二倍角公式：
余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
余弦的二倍角公式可以表示为：
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ
或者
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
或者
cos(2θ) = 1 - 2sin²θ
3. 正切的二倍角公式：
正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
正切的二倍角公式可以表示为：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)
这些二倍角公式可以用于计算二倍角的正弦、余弦和正切值。
在实际问题中，二倍角公式在三角函数的求解和应用中具有广泛的应用。
例如，在解三角方程、证明三角恒等式和计
算三角函数值等方面都会用到二倍角公式。
总结起来，二倍角公式是三角函数中的重要公式，包括正弦、余弦和正切的二倍角公式。
它们可以通过原角的正弦、余弦或正切来计算二倍角的值。
这些公式在解决实际问题和证明三角恒等式时起到了重要的作用。
正弦、余弦、正切的二倍角公式
的二倍角; 2
公式巩固训练
（1）sin = 2sin(
（2）cos 6 = cos2(
)cos( ); 1
)-si3n2(
2
) 3
= 2cos2( )-1 3
= 1-2sin2( ); 3
(3) sin( )
2 sin
c os
.
4
8
8
二倍角公式(正用)
sin2α 2sinαcosα
cos2α cos2α sin2α
24 24 12
12 12
62
练习2 化简：
1 (sin 5 cos 5 )(sin 5 cos 5 )
12
12
12
12
原式＝sin 2 5 cos2 5 cos 5 3
2 cos4 sin 4 12
12
62
22Βιβλιοθήκη 原式＝ ( cos 2sin
2
)(cos 2
sin 2
tan2α
2tanα 1 tan2α
根据公式口答下列各题：
(1)2sin15 cos15
(2)cos2π sin2π
6
6
(3)
1
2tan30 tan230
11
22 3
二倍角公式(逆用)
1、sin150 cos150
2、sin 2 cos2
8
8
3、 1
tan 22.5 tan2 22.5
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
问题一
利用 sin(+) cos(+)
tan( )
推出 sin2 cos2 tan2的公式吗？
三角函数中两倍角公式
三角函数中两倍角公式
三角函数中两倍角公式是三角函数中的一个基本公式，用于计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。
这些公式在三角函数的计算、化简和证明中都有广泛的应用。
两倍角公式包括正弦、余弦和正切三个部分，具体如下：
1.正弦的两倍角公式：
sin2α=2sinαcosα
这个公式表示一个角的两倍的正弦值等于这个角的正弦值乘以余弦值的两倍。
2.余弦的两倍角公式：
cos2α=cos2α−sin2α
或者等价地，
cos2α=2cos2α−1
cos2α=1−2sin2α
这个公式表示一个角的两倍的余弦值等于这个角的余弦值的平方减去正弦值的平方，或者等于2乘以余弦值的平方减去1，或者等于1减去2乘以正弦值的平方。
3.正切的两倍角公式：
tan2α=1−tan2α2tanα
这个公式表示一个角的两倍的正切值等于这个角的正切值的两倍除以1减去正切值的平方。
这些公式可以通过三角函数的定义、和差公式以及三角恒等式推导出来。
在实际应用中，它们可以用来简化复杂的三角函数表达式，或者用于求解涉及两倍角的三角函数问题。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
专题57 高中数学二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)
专题57 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法 公式 S 2α sin 2α＝2sin αcos α C 2α cos 2α＝cos 2α－sin 2α T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α2.余弦的二倍角公式的变形3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.(2)降幂公式：sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.4．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ； (3)cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x . (4)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，即sin2α＝2tan α1＋tan 2α. (2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，即cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.题型一 给角求值1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°[解析]2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.2．求下列各式的值：(1)cos 415°－sin 415°；(2)1－2sin 275°；(3)1－tan 275°tan 75°；(4)cos 72°cos 36°；(5)2tan150°1－tan 2150°；[解析] (1)cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (2)1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. (3)1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75°＝2×1tan 150°＝－2 3.(4)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(5) 原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3. 3．求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8＝________；(2)12－cos 215°＝________；(3)1－tan 215°tan15°＝________.[解析] (1)∵sin 3π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)原式＝12(1－2cos 215°)＝－12cos30°＝－34.(3)原式＝2tan30°＝2 3.4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于 [解析]原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.5．sin 4π12－cos 4π12等于[解析] 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32 6．sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是 [解析]原式＝12sin 40°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.7．求下列各式的值：(1)1sin 10°－3cos 10°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.[解析] (1)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.8．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°＝[解析] 原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1.9．cos20°cos40°cos80°值为 .[解析]原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.10．cos π7cos 3π7cos 5π7的值为[解析] ∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin8π78sinπ7＝－18.11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.[解析] 原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6°＝12sin12°cos12°cos24°cos48°cos6°＝14sin24°cos24°cos48°cos6°＝18sin48°cos48°cos6°＝116sin96°cos6°＝116cos6°cos6°＝116题型二 给值求值1．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247 B.2425，725，247 C ．－2425，－725，247 D.2425，－725，－247[解析]因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247.2．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于[解析] ∵cos α＝－513，α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213(舍正)因此，sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－513＝120169. 3．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. [解析]tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.4．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝[解析]∵sin α－cos α＝43，∴1－2sin αcos α＝169，即1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.5．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝[解析]因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.6．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．[解析]∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0， ∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.7．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝ [解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sin α·cos α＝2cos 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α＝cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，又sin α>0，∴sin α＝558．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是 [解析]设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23， ∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459. 9．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解析] (1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.10．已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． [解析](1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. 11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．[解析]∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos2αcos π4＋sin2αsin π4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145.12．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin2x ＝__________. [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，∴sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝98100而sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝2100－98100＝－96100＝－2425. 13．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α等于 [解析]因为sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725 14．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.15．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.[解析]sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 16．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.[解析]∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，∴tan α＝－12或tan α＝2. ∵α在第二象限，∴tan α＝－12.17．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________． [解析]由tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23，得3tan 2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2，或tan α＝－13.sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22(sin2α＋cos2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α＋1－tan 2αtan 2α＋1， 当tan α＝2时，上式＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2＋1－2222＋1＝210； 当tan α＝－13时，上式＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎫－13＋1－⎝⎛⎭⎫－132⎝⎛⎭⎫－132＋1＝210. 综上，sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝210. 18．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为 [解析]cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式， 得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， 所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 19．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝________. [解析]由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴tan α＝3.∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α＝2sin αcos α＋22cos 2α－22＝2×310×110＋22×⎝⎛⎭⎫1102－22＝5210－22＝0.20．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝ [解析]易得cos ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79. 又cos ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79. 21．若1＋tan α1－tan α＝2019，则1cos 2α＋tan 2α＝________.[解析]1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 019.22．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝________.[解析]∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425， cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250. 23．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． [解析]1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 24．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． [解析]∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010， ∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45. 25．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．[解析] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24.26．已知0<x <π2，sin 2x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． [解析]∵sin 2x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝1－cos x 2－3sin x 2cos x 2＝12－⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－110，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35.∵0<x <π2， 结合sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35<32，易知π6<x ＋π6<π2.∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝34. ∴tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. 27．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α.[解析] (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2k π＜2α＜π2＋2k π(k ∈Z)， ∴2k π－π6＜2α－π6＜π3＋2k π，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6sin π6＝17×32＋437×12＝5314. 28．已知sin 2θ＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. [解析]cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝34， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋342＝78. 29．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值； [解析]∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－22×725＝－31250. 30．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α的值等于 [解析]因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 31．设sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝ [解析]因为sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－59. 32．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． [解析] (1)因为tan α ＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.33．已知sin α＋cos α＝15，且α∈(0，π)．(1)求tan 2α的值；(2)求2sin 2⎝⎛⎭⎫α2＋π6－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. [解析] (1)由sin α＋cos α＝15，得sin αcos α＝－1225，因为α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin α－cos α＝2－(sin α＋cos α)2＝75，解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. (2)2sin 2⎝⎛⎭⎫α2＋π6－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85.34．如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．[解析]∵∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ，∴∠BAC ＝θ，∴AC ＝BC ＝30 m. 又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，∴∠CAD ＝2θ，∴AD ＝CD ＝10 3 m. ∴在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)，在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，∴103sin 4θ＝30sin 2θ， 即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝32，又2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π12， ∴AE ＝30sin π6＝15(m)，∴θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.题型三 给值求角1．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝________.[解析]由原式，得sin 22α＋sin 2αcos α－2cos 2α＝0，∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0，∴2cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0，∴2cos 2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos 2α≠0，sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12，∴α＝π6. 2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为[解析]由题意得⎩⎨⎧ sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②，①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79， 由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427， ∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，∴α＋2β＝π. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，则α= . [解析]∵sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4， sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∴原式可化为1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4，解得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12. 4．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________. [解析]由1－cos2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12. 解法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4. 解法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4. 5．已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值． [解析]∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4， 又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4，∴0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010，∴tan β＝13， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12，∴tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1，故α＋2β＝π4. 6．已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [解析]∵tan α＝13>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1 又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4. 题型四 化简问题1．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于 [解析]原式＝4sin αcos α1＋2cos 2α－1·cos 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α. 2．化简：sin 235°－12sin10°cos10°＝________. [解析]原式＝2sin 235°－12sin10°cos10°＝－cos70°sin20°＝－cos70°sin (90°－70°)＝－13．化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α= . [解析]解法一：原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1. 解法二：原式＝cos2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2＝cos2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos2αcos 2α－sin 2α＝1. 4．化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________. [解析]原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan 2θ－1＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ. 5．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.[解析]原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 6．化简cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________； [解析]cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2(sin30°cos10°＋cos30°sin10°)2sin 240°＝2sin40°2sin40°＝ 2. 7．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 [解析]由sin B sin C ＝cos 2A 2得sin B sin C ＝1＋cos A 2，∴2sin B sin C ＝1＋cos A ， ∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )，∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1，又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°，∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．8．1＋cos100°－1－cos100°＝( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°[解析] 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos50°－22sin50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.[答案] C9．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________． [解析] 因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0， 所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0. 10．设－3π<α<－5π2，化简 1－cos （α－π）2的结果是( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2 [解析] 因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 11．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° [解析]tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 12．1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． [解析] 1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 13．化简：(1)1＋sin20°＋1－sin20°；(2)1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α. [解析] (1)原式＝sin 210°＋cos 210°＋2sin10°cos10°＋sin 210°＋cos 210°－2sin10°cos10° ＝(sin10°＋cos10°)2＋(sin10°－cos10°)2＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10°＝2cos10°.(2)原式＝1＋2sin2αcos2α＋2cos 22α－11＋2sin2αcos2α＋2sin 22α－1＝2cos 22α＋2cos2αsin2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 14．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. [解析] ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 题型五 证明问题1．证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝－4 3. [解析] 左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos 212°－1)＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin (12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48° ＝－43＝右边，所以原等式成立．2．求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；(2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.[解析] (1)左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立． (2)法一：左边＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin2θcos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边． 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边． 3．求证：1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝tan θ2. [解析] 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2.4．求证：(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)sin4x＝tan x . [解析] 证法一：左边＝(2sin x cos x －2sin 2x )(2sin x cos x ＋2sin 2x )sin4x ＝4sin 2x (cos 2x －sin 2x )sin4x ＝4sin 2x cos2x 2sin2x cos2x＝4sin 2x 2×2sin x cos x＝tan x ＝右边．故原等式成立．证法二：左边＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x )2－1＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x ＋cos2x ＋1) ＝sin2x ＋1－cos2x sin2x ＋1＋cos2x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x (cos x ＋sin x )2cos x (sin x ＋cos x )＝tan x ＝右边． 故原等式成立．。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点包括倍角公式、条件求值问题常有两种解题途径、证明三角恒等式常用方法、二倍角公式的使用技巧等部分，有关二倍角的正弦、余弦、正切公式的详情如下：
倍角公式
条件求值问题常有两种解题途径
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
证明三角恒等式常用方法
从左边推到右边；
从右边推到左边；
找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．
二倍角公式的使用技巧
1．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用．
2．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．
主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α等．
3．变形用：将公式进行简单等价变形后，利用其新形式．主要形式有1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
4．三角函数式的化简要注意“三变”：
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．。
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教学设计
一、内容及其解析
1.内容: 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.解析: 本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式后的内容,其的中心任务是通过以知的和（差）角公式知识,探索两二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用。
二、目标及其解析
目标：1 .由和（差）角公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2 .掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特点与功能；
3 .能运用公式解决基本三角函数式的化简、求值、证明等问题。
解析：1.使学生经历由和（差）角公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式的探究程，培养学生的探索精神；
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特点与功能，了解这些公式的内在联系；
3.进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会到一般与特殊，换元等数学思
想在三角恒等变换中的作用。
三、教学问题诊断分析
我们在组织和引导探索公式的过程中，不仅要考虑学生学习积极性的问题，还有探索过程必需的基础知识学生是否熟练掌握的问题，运用已学知识和方法的能力问题.。
四、教学支持条件分析
为了加强学生对二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解，帮助学生克服在学习过程中可能遇到的障碍，我将由和（差）角公式出发，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，让学生更好的理解二倍角的正弦、余弦正切公式的理解。
五、教学过程
（一）教学基本流程
1．复习公式，引出课题
问题1：什么是和（差）角公式
问题2：能利用()S αβ±、()C αβ±、()T αβ±推导出sin 2α、cos 2α、tan 2α的公式吗？ 问题3：在和角公式中，当βα=时，能得出什么结论？
2．得到公式
二倍角公式： 推导公式：
sin 22sin cos ααα= 2cos 22cos 1αα=-
22cos 2cos sin ααα=- 2cos 212sin αα=- 22tan tan 21tan α
αα
=
-
3．通过例题及变题，熟练掌握倍角公式：
例5：已知5sin 2,.1342
ππ
αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值。
例6：在ABC ∆中，4
cos ,tan 25
A B ==，求()tan 22A B +的值
4．目标检测 1、求值
①0
sin15cos15= ②2
2
cos
sin 8
8
π
π
-=
③0
20tan 22.51tan 22.5-= 2、已知1
tan 23α=，求tan α的值。
3、已知3
sin()5
απ-=，求cos 2α的值。
5．学生小结，教师评价：
问题4：我们学习了两角差的余弦公式，你能归纳一下本节主要的知识点吗？
学 案
3．1．3 二倍角差的正弦、余弦、正切公式
班级 姓名 学号
一、学习目标
1.由和（差）角公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特点与功能；
3.能运用公式解决基本 三角函数式的化简、求值、证明等问题。
思考题：（1）2
12sin 75-=
（2）0
20
2tan151tan 15
-= （3）若1
sin cos 5
αα+=
，则sin 2α= 二、问题与例题
问题1：()cos αβ-与任意角,αβ的正弦、余弦值之间有什么关系呢？ 问题2：()cos αβ-会等于cos cos αβ-吗？ 例题1：你能利用差角余弦公式求0
cos15的值吗？ 例题2：已知4sin 5α=
，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，5cos 13β=-，β是第三象限角，求()cos αβ-问题3：联系公式和本题的条件，要计算()cos αβ-，应作哪些准备？ 问题4：我们学习了两角差的余弦公式，你能归纳一下本节主要的知识点吗？
三、目标检测 1、求值
①0
sin15cos15= ②2
2
cos
sin 8
8
π
π
-=
③0
20
tan 22.51tan 22.5
-= 2、已知1
tan 23
α=，求tan α的值。
3、已知3
sin()5
απ-=
，求cos 2α的值。
配餐作业
一、基础题(A 组)
1、2
2
sin cos
8
π
π
-等于
（ ）
A 、 C D 、2、0
sin15sin 75的值为 （ ） A 、12
B 、13
C 、14
D 、15
3、下列各式中，值为12
的是
（ ）
A 0
B 、2
2cos
112
π
-
C D 、00
2sin15cos15
4、化简：
（1）0
cos36cos72
（2）0
cos 20cos 40cos60cos80
二、巩固题(B 组)
5、已知1sin cos 4
αα+=，0απ ，求cos 2α的值
三、提高题(C 组)
6、已知1tan 7α=，1tan 3
β=，并且α、β均为锐角，求2αβ+。