质数与合数练习奥数讲座
【七年级奥数】第21讲 质数和合数（例题练习）
第21讲质数和合数——例题一、第21讲质数和合数1.四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是大于70的最小质数．求它们的和．【答案】解：最小的奇质数是3，唯一的一个偶质数是2，小于30的最大质数是29，大于70的最小质数是71．因此，它们的和为3+2+29+71=105．【解析】【分析】在解有关质数的问题时，知道一些小常识是有用的，如1既非质数又非合数，2是唯一的偶质数，也是最小的质数，3是最小的奇质数等．另外，200以内的质数共有25个，它们为：2、3、5、7、I1、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，53、59、61、67、71、73，791 83、89、97。
2.有7个不同的质数，它们的和是60．其中最小的是多少?【答案】解：若7个不同的质数都是奇质数，则它们的和必为奇数，不可能等于60，所以这7个不同的质数中有偶数，而我们知道2是唯一的偶质数，所以这7个质数中必有2；2又是所有质数中最小的，所以这7个质数中最小的质数就是2．【解析】【分析】本题利用了2是唯一的偶质数和最小的质数这一特性．不难得出这7个质数是2、3、5、7、11、13、19．3.若n为正整数，n+3与n+7都是质数．求n除以3所得的余数．【答案】解：我们知道n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种；若余数为0，即n=3k(k是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3|n+3．又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．若余数为2，即n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3|n+7；n+7不是质数，与题设矛盾．所以，n除以3所得的余数只能为1．【解析】【分析】一个整数除以m后，余数可能为0，1，…，m-1，共m种．将整数按除以m所得的余数分类，可以分成m类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数，另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，对m=3时，就可将整数分为三类．即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是数论中的一种重要思想方法，有着广泛的应用．4.设n1与n2是任意两个大于3的质数，N1=n12−1 , N2=n22−1 ,N1与N2的最大公约数至少为多少?【答案】解：∵n1是大于3的质数，∴n1不是3的倍数，n1 =3k+1或3k+2，在n1 =3k+1时，n1 -1=3k是3的倍数；在n1 =3k+2时，n1 +1=3k+3是3的倍数；无论哪种情况，N1=n1−1=(n1+1)(n1−1) 都是3的倍数．又∵n1是奇数，∴n1=4k+1或4k+3．在n1=4k+1时，n1+1=4k+2是2的倍数，n1-1=4k是4的倍数，所以N1是8的倍数．在n1=4k+3时，同理可得N1是8的倍数．由于3与8互质，故24|N1．同理，24|N2．另外，取n1 =5，则N1=24．综上所述，N1与N2的最大公约数至少为24．【解析】【分析】从上例中，我们可以得到两个重要结论：(1)若n不是3的倍数，则n2除以3，余数为1．(2)若n是奇数，则n2除以8，余数为1．5.有人说：“任何七个连续的整数中一定有质数”．对吗?【答案】解：不对．如90、91、92、93、94、95、96这七个连续整数全部是合数，没有质数．【解析】【分析】合数：因数除了1和它本身之外还有其他因数的数；质数：因数只有1和它本身的数.由此分析即可.6.设自然数n1>n2 ，且有n12−n22=79 ，试求n1与n2的值．【答案】解：依题可得：n12−n22=(n1+n2)(n1−n2)=79 ，∵整数n1>n2，∴n1+n2与n1−n2 都是正整数，又∵79是一个质数，由质数的性质，及n1+n2 > n1-n2得：，解得：.【解析】【分析】质数：因数只有1和它本身的数，根据质数的性质列出二元一次方程组，解之即可.7.n是不小于40的偶数．试证明：n总可以表示成两个奇合数的和．【答案】证明：因为n是偶数，所以，n的个位数字必为0、2、4、6、8中的某一个．( 1 )若n的个位数字为0，则n=15+5k(k≥5为奇数)．( 2 )若n的个位数字为2，则n=27+5k(k≥3为奇数)．( 3 )若n的个位数字为4，则n=9+5k(k≥7为奇数)．( 4 )若n的个位数字为6，则n=21+5k(k≥5为奇数)．( 5 )若n的个位数字为8，则n=33+5k(k≥3为奇数)．综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数之和．【解析】【分析】奇合数：指不能被2整除的合数；即除了偶合数之外的其余合数都是奇合数.根据偶数定义可知n的个位数字必为0、2、4、6、8中的某一个，分情况讨论，即可得证.8.证明有无穷多个n，使多项式n2+3n+7( 1 )表示合数；( 2 )是11的倍数．【答案】证明：只需证（2）当n=11k+1(k≥1)时，多项式n2+3n+7=(11k+1)2+3(11k+1)+7=11(11k2+5k+1).∴是11的倍数．∵11k2+5k+1>1，∴这时n2+3n+7是合数．【解析】【分析】令n=11k+1(k≥1)，代入多项式，计算、化简得n=11(11k2+5k+1)，从而可得式11的倍数，由11k2+5k+1>1，可得n是表示合数.。
第03讲 质数合数(学生版)-四升五暑期数学奥数培优讲义
一、质数与合数（五上）1、质数与合数的概念质数：除了1和它本身外，没有其他因数的数．合数：除了1和它本身，还有其他因数的数．质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数．分解质因数：把一个合数写成若干质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．互质数：除了1以外没有其他公因数的两个数叫做互质数．2、质数的特点（1）100以内的质数（25个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97（2）质数的特点A ．有且只有一个偶质数；B ．除了2和5，其余质数的末尾只能是1、3、7、9；C ．质数中仅有一个数是2、3、5、7、……的倍数．3、质数的应用（1）平方判断法：判断m 是否为质数，首先寻找到不大于m 的最大平方数，然后用1至n 中的所有质数依次去除m ，如果都不能整除，则m 是质数；否则其为合数．（2）分解质因数的常见方法：短除法，分拆相乘（3）平方数性质：分解质因数后，质因数的个数为偶数个；约数个数为奇数个；约数不是成对出现的；个位数字为0、1、4、5、6、9．一、 质数合数1、下面是主试委员会这第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；第3讲 质数与合数 四升五 暑期知识点课堂例题杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．将诗中56个字，从第一行左边第一个字逐字编为1~56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的汉字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．_______________________________________________________________2、设x是正数，x<>表示不超过x的质数的个数，如 5.13<>=，即不超过5.1的质数有3个，那么<<>+<>+<>×<>×<>>的值是__________．19934183、（1）如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出．（2）如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出．（3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出．4、已知P,Q都是质数，并且11932003×=（）．P Q×−×=，则P QA．1919B．679C．655D．3985、有些三位数，它的各位数字的乘积是质数，这样的三位数最大的为A，最小的为B．则A B−=__________．二、分解质因数6、请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660．7、请把下面的数分解质因数：（1）999；（2）10101．8、甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数的和是（）．A．57B．60C．63D．699、三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数．则这三个数是___________________．10、三个连续自然数的乘积等于39270．这三个连续自然数的和等于多少？11、自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方．求a的最小值．12、360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是__________．三、末尾0的问题13、如图，把13，12，15，25，20这5个数依次排列．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个0？14、算式62417514095×××的计算结果的末尾有多少个连续的0？15、算式123100计算结果的末尾有__________个连续的0．××××1、一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．2、三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？3、（龙校五年级春季）若两个质数的差是95，那么它们的积是多少？4、请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660．5、大明的钱数比二明多9元，两人的钱数都是整数元，且他们钱数的积是580，两人的钱数之和是________元．（改自2012年7月29日真题）6、（2009年101中分班）四个连续奇数的乘积是229425，那么这4个奇数的和是（ ）随堂练习A ．86B ．88C ．90D ．927、（2010年四中入学）从1到30这30个连续自然数连乘积的末尾共有________个连续的数码0．1、（2013年首师附入学）若a 是质数，b 是合数，那么下面一定是合数的是（ ）．A ．2a b ++B ．()2a b +×C ．()2a b +÷D ．()2a b −÷2、自然数49，87，101，103，121中，有__________个质数．3、（2013年101中分班）有一个质数是两位数，这两位上的数字相差6，则这个两位数的质数是．4、（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？课后作业5、三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积最大是__________．6、三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和为__________．7、（2013年首师附入学）大明的钱数比二明多9元，两人的钱数都是整数元，且他们钱数的积是580，两人的钱数之和是________元．××□要使这个连乘积的最后3个数字都是0，方框最小应该填（）8、5560A．10B．20C．30D．259、算式12335的计算结果的末尾有__________个连续的0．××××10、（2011年首师附入学）如12345120……的积的××××××××××＝，积的尾部有一个零，计算1234540尾部有___________个连续的零．。
第三讲 整除、质数与合数 精英班 教师版(带完整答案)_5年级奥数讲义与课件
nm…d 000 第三讲整除、质数与合数1.整除问题（1）用位值的知识证明常用的特殊自然数的整除特征1）2 系列：能被 2 和 5 整除的数要看个位，能被 4 和 25 整除的要看末两位，能被 8 和 125 整除的要看末三位。
请大家想想为什么？我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质，假设一个多位数为是nm…dcba则还可以表示为：nm…dcba =nm…d 000 +cba =nm…d ⨯1000 +cba ，由于8 1000 所以8 ，因此只要cba 能被8 整除该数就一定能被8 整除。
2）3 系列：能被 3 和 9 整除只需看各位数字之和能否被 3 和 9 整除，为什么?我们以三位数abc 为例来证明被 9 整除只需看各位数字之和这一性质，如：abc = 100a +10b +c =(99a + 9b)+(a +b +c)显然(99a + 9b)是 9 的倍数，因此只要(a +b +c)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
3）7,11,13 系列：被7、11、13 整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7、11、13整除。
为什么呢？仔细观察我们会发现7×11×13＝1001,比1000大1，由此可以有如下证明：假设一个多位数为是nm…dcba ，有：nm…dcba =nm…d000 +cba =nm…d⨯1000 +cba=nm…d ⨯1001-nm…d +cba =nm…d ⨯1001-(nm…d -cba )，由于 1001 是 7、11、13的倍数，故只要(nm…d -cba)能被7、11、13 整除即可。
4）特别的，我们还有另外一种判别能否被11 整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11 整除，这个定理也是可以证明的，我们以简单的三位数abc 来说明：abc =100a +10b +c = 99a +11b +a -b +c =(99a +11b)+(a +c -b)显然(99a +11b)是 11的倍数，因此只要(a +c -b)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整知识说明除，反之亦然。
数学奥赛辅导 第一讲 奇数、偶数、质数、合数
数学奥赛辅导第一讲奇数、偶数、质数、合数知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m+4的形式（m∈Z）.（3）任何一个正整数n，都可以写成l的形式，其中m为非n m2负整数，l为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a n a a p p p A 2121⋅= （*）.其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m,,212121<<<⋅= 其中βββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121⋅=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--⋅=此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若nn p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα（简记为∏=+ni i 1)1(α）这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++⋅++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数. 用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22m k >从而add a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b efm k 222≤-<-≤-=- 得e=1， 从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.例4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].如果)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，如果))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.如果2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.如果用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m ,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因而l n =1；当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）若.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）若.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n例5．设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.【证明】对k 用数学归纳法.当k=2时，因),12(312-+++=n n 命题在立.假设k=m 时成立，即,)12()3()1(2n na n a a a n m +=-++++++= （a 为某非负数） 则,)()(2221n n n na n n n na n n n m m +-+=+=⋅=+若记n n na b -+=2（显然b 为非负偶数），于是1),12()3()1(21+=-++++++=+=+m k n b b b n nb n m 即 时，命题成立，故命题得证.例6．在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==n i i X1,0 ① ∑==n i i Y1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数. 综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.例7．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届IMO 预选题）【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 ,11753254321 ααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由,144)1)(1)(1)(1(4321=++++ αααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα,考虑144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n下面讲一个在指定集合内的“合数”的问题.这种合数与通常的合数有区别，题中的“素元素”是指在该集合内的素数，也与通常的素数有区别.例8．设n>2为给定的正整数，{}.,1*N k kn V n ∈+=试证：存在一数,n V r ∈这个数可用不只一种方式表示成数集V n 中素元素的乘积. （第19届IMO 试题）【证明】由于V n 中的数都不小于),2(1>+n n 因而n V n n n n ∈-⋅---)12()1(,)12(,)1(22.显然)12()1(,)1(2-⋅--n n n 是V n 中的素元素.又若（2n －1）2不是V n 中素元素，则有,)12()1()1(,12-=+⋅+≥≥n bn an b a 使由此有,44b a abn n ++=-于是,31≤≤ab 从而b=1,a =1;b=1,a =2,b=1,a =3,对此就有,8,28,2=n 故n=8.这说明 ，当2)12(,8-≠n n 时就是V n 中素元素. 当)]12)(1[()12()1(,.)12()1(,82222--=--=∈--=≠n n n n r V r n n r n n 且显然令时)].12)(1[(--n n 当n=8时，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33∈V 8.综上知，命题得证.例9．已知n ≥2，求证：如果n k k ++2对于整数k （30n k ≤≤）是质数，则n k k ++2对于所有整数)20(-≤≤n k k 都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m 是使n k k ++2为合数的最小正整数.若n m m p n m n ++-≤<2,23是令的最小质因子，则n m m p ++≤2. （1）若m ≥p ，则p|(m －p)2+(m －p)+n. 又(m －p)2+(m －p)+n ≥n ＞p ，这与m 是使n k k ++2为合数的最小正整数矛盾.（2）若m ≤p －1，则n m p m p n m p m p +---=+--+--))(1()1()1(2被p 整除，且.)1()1(2p n n m p m p >≥+--+--因为n m p m p +--+--)1()1(2为合数，所以.12,1+≥≥--m p m m p 由 ,122n m m p m ++≤≤+ 即 ,01332≤-++n m m 由此得363123n n m <-+-≤ 与已知矛盾.所以，对所有的n k k n k n ++-≤<2,23为质数.。
小升初奥数知识点讲解 质数与合数
【小升初奥数知识点讲解】质数与合数
质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<A2<A3<……<AN。
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
</A2<A3<……<AN。
1。
五年级数学质数合数、分解质因数专项题奥数难题课件
• 例4：三个不同的质数相加，和为40,这三个质数的乘积可能是多 少？请全部写出来。
• 40=2+38 38=7+31=19+19
• 19和19相同，不成立
• 40=2+7+31 • • 2×7×31=434
• 练习
• 1.三个不同的质数相加和为28,这三个质数可能是多少？请全 部写出来。
• 2.三个不同质数相加和为52,这三个质数的乘积可能是多少？ 请全部写出来。
质数合数、分解质因数
五年级
• 例1：在三张卡片上分别写上1、3、5,如果随意从其中至少取出 一张组成一个数，其中有几个质数？将它们写出来。
可以抽取的卡片有一张、两张或三张 所以组成的数有： 一位数：1,3,5 两位数：13,15,31,35,51,53 三位数：135,153,315,351,513,531
去掉1和所有合数
质数有：3, 5,13, 31, 53
• 练习
• 1.从1、4、7这3个数字中选出1个、2个、3个，按任意次序排列， 可得到不同的一位数、两位数、三位数，将其中的质数都写出来。
• 2.三张卡片上分别写上1、2、3,从中任意抽出一张、两张或三张， 分别组成一位数、两位数、三位数，其中哪些是质数？哪些是合 数？
总结
• 1.分解质因数：短除法、试除法。 • 2.拆数：解质因数。
第一步：
2 100 2 50 5 25
5
• 第二步： 100=2×2×5×5
119÷7=17 119=7×17
• 练习 • 1.把60分解质因数。 • 2.把221分解质因数。
• 例3：如果两个质数的和是26,这两个质数的乘积可能是多少？请 全部写出来。
第二讲 质数与合数 竞赛班 (带完整答案)_5年级奥数讲义与课件
第二讲质数与合数知识说明1.质数与合数：一个数除了1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。
常用的100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25 个；除了2 其余的质数都是奇数；除了2 和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7 或9。
考点：（1）值得注意的是很多题都会以质数2 的特殊性为考点，例如:两个质数之和为39，求这两个质数的乘积。
分析：因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2，另一个是 37，乘积为 74。
我们要善于抓住此类题的突破口。
（2）除了2 和5，其余质数个位数字只能是1，3，7 或9。
这也是很多题解题思路，需要大家注意2.质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
互质数：公约数只有1 的两个自然数，叫做互质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：30＝2×3×5。
其中2、3、5 叫做30 的质因数。
又如12＝2×2×3＝22 ×3，2、3 都叫做12 的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。
例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.分析：210 分解质因数：210=2×3×5×7，可知这三个数是5、6 和7。
3.判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p（均为整数），使得p能够整除P，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数K 2 ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P 就为质数。
奥数讲义数论专题：3 质数与合数
华杯赛数论专题：3 质数与合数基础知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数.除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9.2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数.3.唯一分解定理每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式.例题例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？【答案】23，37，53，73.【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73.例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数.【答案】23，37，53，73，373【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373.例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质数了.所以个位数只能是 7.这个三位数可以是167、257、347、527或617中间的任意一个.例4.连续的九个自然数中至多有几个质数？为什么？【答案】4个【解答】如果连续的9个自然数在1到20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）.如果这连续的9个数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中的奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必定有一个个位数是5，因而该数为合数.这样，至多另外4个奇数都是质数.综上，连续9个数中最多有4个质数.例5.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【答案】2，11，13或3，7，11【解答】设三个不同质数是a、b、c因为，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，不妨设a＝11，则故可得<I>b</I>=2，c=13，或<I>b</I>=3，c=7，所以三个质数是2，11，13或3，7，11.例6.质数A、B、C、D满足A＋B＝C，A＋C＝D，那么A×C＋B×D是 .【答案】31【解答】如果A、B都是奇数，则C＝A＋B是大于2的偶数，不可能是质数，所以A、B有一个是偶数.同理A、C也有一个是偶数，因此只能是A＝2.那么B＋2＝C，C＋2＝D，即B、C、D是三个连续奇数，必定有一个是3的倍数，那么只能是B＝3，C＝5，D＝7.因此A×C＋B×D＝2×5＋3×7＝31.例7. 将135拆成4个互不相同的质数之和，使得其中两个质数的个位数字分别为1和7. 请写出两种满足要求拆分的方法：135＝________＝________.【答案】135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67【解答】四个质数不可能同为奇数，至少有一个偶质数，即为2，因此个位数字为1、2、7，所以第四个数字的个位数字是5且是质数，只能是5，所以原题变为把128拆成个位数字为1和7的两个质数之和，128＝31＋97=61＋67，所以135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67.例8.已知两个质数与一个合数的和是293，乘积是10336，那么这三个数中最大的是.【答案】272【解答】因为，其中三个数分别为2、19、272满足要求，故最大的数是 272.例9.请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立，共有______种.□□＋□＝□□×□－□＝□□－□□＝□□÷□＋□【答案】4种【解答】第一个算式：32＋7或37＋2第二个算式：22×2－5或23×2－7第三个算式：72－33第四个算式：72÷2＋3例10.4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个合数，那么在这4个数字所能组成的四位数中，最大的是多少？【答案】8533【解答】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个合数，所以该合数必至少为个质因数之积.而只有3个2相乘才小于10，所以这四个数为3、3、5、8，所能组成的最大四位数是8533.例11.把下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等.14、55、21、30、75、39、143、169【答案】（55、30、169、21）；（143、75、14、39）【解答】先把每个数都分解质因数如下：14＝2×7 21＝3×7 30＝2×3×5 39＝3×13 55＝5×11 75＝3×5×5 143＝11×13 169＝13×13，观察因子得到分组为：（55、30、169、21）；（143、75、14、39）.例12.5个连续质数的乘积是一个形如□△□□△□的六位数，其中□和△各代表一个数字，那么这个六位数是多少？【答案】323323【解答】因为□△□□△□＝□△□×1001＝□△□×7×11×13，又□△□为两个质数的乘积，所以□△□＝17×19=323，故六位数为323323.例13.幼儿园王老师带216元去买皮球，预计正好花光. 可实际上所购皮球价格比预计的便宜2元，个数比原计划的多9个，仍然恰好花光。
五年级上奥数第3讲 质数与合数
五秋第3讲质数与合数一、教学目标一、质数与合数①质数：除了能被1和它本身整除，而不能被其它数整除的数叫质数。
②合数：除了能被1和它本身整除，还能被其它数整除的数叫合数。
③特殊：1既不是质数也不是合数。
④最小的合数是4，最小的质数是2，且2是惟一的偶质数。
二、质数与合数判别方法试除法：用所有比它小的质数从小到大依次去除一个数，如果能够整除，那么这个数一定是合数。
如果不能整除，那么这个数一定是质数（适用于较小质数的判别）。
三、100以内质数表（共25个）四、分解质因数把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（例如：72 ＝2×2×2×3×3二、例题精选【例1】判断下列数哪些是质数，哪些是合数：101，181，111，113，119，123【巩固1】判断下列数哪些是质数，哪些是合数：131，139，143，181，193，201【例2】三个相邻的自然数的乘积是3360，这三个自然数分别是多少？【巩固2】如果一个长方形的面积是1122平方厘米，且长比宽只多了1厘米，你能求出这个长方形的长与宽吗？【例3】把21、30、65、126、143、169、275这七个数分成两组，使两组内数的乘积相等。
【巩固3】把6、13、18、20、27、65这六个数分成两组，使两组内数的乘积相等。
【例4】要使975×935×972×（）的乘积的最后四位数字为0，在括号里最小可以填数字是多少？⨯⨯⨯积的末尾有多少个零？【巩固4】4892538435【例5】一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值和这个平方数。
【例6】10500的因数有多少个？四、回家作业【作业1】把下列各数分解质因数：360 10145865【作业2】五个相邻的自然数之积是55440，求这五个相邻的自然数。
【作业3】要使135×115×35×（）的乘积的最后三位数字为0，在括号里最小可以填数字是多少？【作业4】自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b。
【七年级奥数】第21讲 质数和合数（例题练习）
第21讲质数和合数——练习题一、第21讲质数和合数（练习题部分）1.三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数．求这三个数的积．2.三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小的质数，一个是100以内最大的质数．求这三个数的和．3.两个质数的和是49．求这两个质数的积．4.设p1与p2是两个大于2的质数．证明p1 + p2是一个合数．5.p是质数，p2+3也是质数．求证：p3+3是质数．6.若p与p+2都是质数，求p除以3所得的余数．(p>3)．7.若自然数n1>n2且n12−n22−2n1−2n2=19 ,求n1与n2的值．8.有四个不同质因数的正整数，最小是多少?9.求2000的所有不同质因数的和．10.试证明：形如111111+9×10k(k是非负整数)的正整数必为合数．11.若n是正整数，n+3与n+7都是质数，求n除以6所得的余数．12.n是自然数，试证明10|n5-n．13.证明有无穷多个n，使n2+n+41( 1 )表示合数；( 2 )为43的倍数．14.试证明：自然数中有无穷多个质数．15. 9个连续的自然数，都大于80．其中最多有多少个质数?答案解析部分一、第21讲质数和合数（练习题部分）1.【答案】解：依题可得：最小的奇质数为3，最小的奇合数是9，既不是质数，也不是合数是1，∴这三个数的积是：1×3×9=27.【解析】【分析】奇质数：既是奇数又是合数的数；奇合数：不能被2整除的合数；根据定义分别写出这三个整数，计算即可.2.【答案】解：依题可得：偶质数是2，大于50的最小质数是：53，100以内最大的质数是97，∴这三个数的和为2+53+97=152.【解析】【分析】质数：因数只有1和它本身的数，根据题意写出满足的条件的三个数，计算即可.3.【答案】解：依题可得：49=2+47，∴2×47=94.∴这两个质数的积为94.【解析】【分析】根据质数定义结合已知条件可得这两个数，列式计算即可.4.【答案】证明：∵p1与p2是两个大于2的质数，∴p1、p2都是奇数，∴p1 + p2是偶数，且大于2 ，∴p1 + p2是大于2的偶数，即为合数.【解析】【分析】根据题意可知p1、p2都是奇数，由奇＋奇＝偶即可得证.5.【答案】证明：∵p是质数，当p>2时，∴p2+3被4整除，又∵p2+3也是质数，与已知矛盾，∴必有p=2，∴p3+3=11，是质数．【解析】【分析】由于2是最小的质数，先假设当p>2时得出p2+3被4整除，此时与已知条件矛盾，故p=2时，代入即可得证.6.【答案】解：∵p是质数，∴①p=3k时，∵p>3且是质数，∴不存在这样的p；②p=3k+1时，∴p+2=3k+1+2=3（k+1），此时与p+2为质数矛盾；③p=3k+2时，∴p+2=3k+2+2=3（k+1）+1，符合题意；∴p除以3所得的余数为2.【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①p=3k时，②p=3k+1时，③p=3k+2时，再根据p+2为质数解答即可.7.【答案】解：∵n12−n22−2n1−2n2=19 ,∴（n1+n2）（n1-n2）-2（n1+n2）=19，即（n1+n2）（n1-n2 -2）=19，又∵19是质数，n1+n2＞n1-n2，∴，解得：.【解析】【分析】先将原多项式分解因式，再由19是质数，根据质数性质列出方程，解之即可. 8.【答案】解：根据质因数的定义可得最小的四个质数分别为：2，3，5，7；依题可得：2×3×5×7=210.∴有四个不同质因数的最小正整数为210.【解析】【分析】质数：因数只有1和它本身的数，根据质数定义可得最小的四个质数，计算即可.9.【答案】解：∵2000=24×53，∴2000的所有不同质因数的和为：2+5=7.【解析】【分析】先将2000写成几个质因数积的形式，再找出不同的质因数，相加即可.10.【答案】解：111111+9×10k=3×37037+3×3×10k=3×（37037+3×10k），∴这个数除了1和它本身之外，还有因数3，∴形如111111+9×10k(k是非负整数)的正整数必为合数．【解析】【分析】先将原式分解成3×（37037+3×10k），由此可看出除了因数1和它本身之外，还有3这个因数，根据合数定义即可得证.11.【答案】解：依题可得：①n=6k时，∴n+3=6k+3=3（2k+1），与n+3为质数矛盾；②n=6k+1时，∴n+3=6k+1+3=2（3k+2），与n+3为质数矛盾；③n=6k+2时，∴n+7=6k+2+7=3（2k+3），与n+7为质数矛盾；④n=6k+3时，∴n+3=6k+3+3=6（k+1），与n+3为质数矛盾；⑤n=6k+4时，∴n+3=6k+4+3=6（k+1）+1，为质数；∴n+7=6k+4+7=6（k+2）-1，为质数；⑥n=6k+5时，∴n+7=6k+5+7=3（2k+4），与n+7为质数矛盾；∴n除以6所得的余数为4.【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①n=6k时，②n=6k+1时，③n=6k+2时，④n=6k+3时，⑤n=6k+4时，⑥n=6k+5时，将n的值分别代入n+3或n+7，验证是否为质数，逐一分析即可.12.【答案】证明：∵n5-n=n（n4-1）=n(n+1)(n-1)(n2+1)，开始讨论：要使n5-n被10整除，只要该式能够同时被2、5整除即可；∵该式中因式n(n+1)是连续的两个自然数，一定有一个是偶数，∴该式可以被2整除；下面讨论能否被5整除.不妨设：①n=5k，显然原式能被5整除；②n=5k+1时，则n-1=5k，显然原式能被5整除；③n=5k+2时，则n2+1=(5k+2)2+1=25k2+20k+5=5（5k2+4k+1），∴能被5整除，显然原式能被5整除；④n=5k+3时，则n2+1=(5k+3)2+1=25k2+30k+10=5（5k2+6k+2），∴能被5整除，显然原式能被5整除；⑤n=5k+4时，则n+1能被5整除；综上所述：无论n为何值，原式能被5整除.∴10|n5-n【解析】【分析】先将代数式分解因式，即n5-n=n(n+1)(n-1)(n2+1)，原题等价于要使n5-n被10整除，只要该式能够同时被2、5整除即可；因为因式中n(n+1)是连续的两个自然数，一定有一个是偶数，从而可得该式可以被2整除；再来讨论能否被5整除，根据被5整除的余数分成5种情况：①n=5k，②n=5k+1，③n=5k+2，④n=5k+3，⑤n=5k+4，分析计算即可得证.13.【答案】证明：当n=43k+1(k≥1)时，∴n2+n+41=(43k+1)2+(43k+1)+41，=43(43k2+3k+1).∴是43的倍数．∵43k2+3k+1>1，∴这时n2+n+41是合数．【解析】【分析】令n=43k+1(k≥1)，代入多项式，计算、化简得n=43(43k2+3k+1)，从而可得式43的倍数，由43k2+3k+1>1，可得n是表示合数.14.【答案】证明：假设质数有有限多个，最大的一个质数是p；构造出正整数N＝2×3×5×……×p＋1显然N除以2、3、5、……、p都不能整除，有余数1；∴N要么是质数，要么包括一个大于p的质数，这与“最大的一个质数是p”矛盾；∴不存在最大的质数，假设不成立，∴自然数中有无穷多个质数．【解析】【分析】此题用反证法来证明，假设质数有有限多个，最大的一个质数是p；构造出正整数N＝2×3×5×……×p＋1，根据整除的性质分析，可知N要么是质数，要么包括一个大于p的质数，这与“最大的一个质数是p”矛盾；从而可得假设不成立，原命题成立.15.【答案】解：∵9个连续的自然数，∴末尾数字可能是0—9，①当末尾是0，2，4，6，8的数一定能被2整除；②当末尾是5的数一定能被5整除；∴只有末尾是1，3，7，9的数可能是质数；∴至少有4个偶数，5个连续的奇数，∵大于80的质数必为奇数（偶质数只有一个2），又∵每连续三个自然数中一定有一个是3的倍数，∴质数只可能在这5个连续的奇数中，∴质数个数不能超过4，即9个连续的自然数，都大于80．其中最多有4个质数.【解析】【分析】根据题意大于80的9个连续的自然数中末尾数字可能是0—9；根据被2或5整除的数的特性可知只有末尾是1，3，7，9的数可能是质数；即至少有4个偶数，5个连续的奇数，再根据情况分析即可得出答案.。
奥数质数合数分解质因素讲义及答案
数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。
（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。
（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。
）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。
（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（5）因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。
例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。
解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。
例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。
五年级奥数第3讲 质数与合数
知识精讲
严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他 注意，1既不是质数也不是合数。
质数说：1 不是我这儿 的！
合数说：1也 不是我这儿 的！
我们先来看一下关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位 两位质数。
（填写在横线上）
知识精讲
相信对100以内的质数较熟悉的同学做上面的题目会很轻松，质 数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数， 请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数.
27
33
37
53
57
73
77
所以：只有23、37、53、73这4个
例题二： （1）如果两个不同质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 （2）如果两个不同质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 （3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 【分析】对于第1小题依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数，那么后两小题 奇数吗？
这样连起来就是： 少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山。
质数表是关键
练习一： 自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然
这实际 的质数
练习一：
解析：
N
（ 都是一位数的质数！） （2、3、5、7）
知道N的数位上的数只能是2、3、 能是3和7。 依次枚举即可：
23
知识精讲
同学们还可以这样做，从大到小，写出100以内的质数。如果你能一个不少的写出来， 内的质数确实掌握得很牢固了，当然同学们写出的，这些质数只是质数大军中的冰山一角， 有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数，101，103，107，109.
小学奥数：质数与合数(二).专项练习及答案解析
5-3-2.质数与合数（二）.题库 教师版 page 1 of1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。
模块一、偶质数2 【例 1】 如果,,a b c 都是质数，并且a b c -=，则c 的最小值是_________【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】 本题考察的是最小的偶质数2，所以c 最小是2.【答案】2【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。
21.五年级奥数第21讲——质数与合数
学生课程讲义只有1和本身两个因数的数称为质数，又叫素数。
除了0和1以外所有的自然数分为两类：一类是质数，如：2,3,5,7……；一类是合数，如：4,6,8,9……。
在自然数中质数与合数都是有无穷多个，在小学阶段，质数就是我们学习的重要内容之一，如：分节质因数，互质数，求最大公因数，最小公倍数等都对质数有所应用。
同时质数在中小学课内外的数学学习中也扮演着重要的角色。
【例1】七个连续的质数，从大到小排列为：a,b,c,d,e,f,g,已知他们的和是偶数，那么c=( )。
随堂练习1设有三个不相同的质数，它们的和是40，这三个质数是（）。
【例2】是否存在两个质数，它们的和等于11 (1)（20个1）随堂练习2在3141,31415,314159,3141592,31415926, 31415927这六个数中，有且仅有一个质数，它是（）【例3】将37拆成若干个不同的质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的最小乘积是多少？随堂练习3一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数的和是（）。
【例4】用0-9这十个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是（）。
随堂练习4正方体纸盒的每个面上都写着一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等，若18对面所写的是质数a；14对面所写的是质数b，35对面所写的是质数c，试求a+b+c的值。
【例5】三个质数倒数和是那么这三个质数和是（）。
随堂练习5三个质数倒数和是这三个质数和是（）。
——梦想从这里起飞【例6】已知三个合数A，B,C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，那么A+B+C的最小值为（）。
随堂练习6已知三个合数A,B,C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值是（）练习题：1.两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是（）。
质数合数专题讲座
质数合数专题讲座知识要点：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
解答：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解答：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解答：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解答：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解答：∵5=5，6=2×3，7=7，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各有2个，所以如把14（2×7）放在第一组，那么7和6（2×3）只能放在第二组，继而15（3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
奥数讲座：质数合数
质数合数分解质因数一、质数与合数的概念自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类：①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只有两个约数（即因数）：1和它本身。
如2、3、5等②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个，除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。
如4、6、8等等③1 1不是质数也不是合数。
既不是质数也不是合数的自然数只有1注意：1不能质数也不是合数2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数4是最小的合数100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
二、质数与合数的应用例1．3个质数的和是80，这3个质数的积最大是多少？解析：由于3个数的和是偶数，所以这3个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以3个数中一定有2。
另两个质数的和是78，要使乘积最大，这两个质数应该相差尽可能小，显然，和是78的两个质数，41和37的差最小，即这两个数的积是最大。
2×37×41=3034这3个质数乘积最大是3034。
例2．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称这样的两位质数为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？解析：设“无暇质数”为ab，那么ba也是质数因此，a、b无为奇数，容易检验，“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97共9个所以，它们的和=11+13+17+31+37+71+73+79+97=429例3．正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。
若18对面所写的质数是a，14对面所写的质数是b，35对面所写的质数是c，那么a+b+c=？解析：由题意可知18+a=14+b=35+c，要想等式成立，a、b、c 的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。
小学奥数数论讲义 8-质数、合数与两大约数定理强化篇
质数、合数与两大约数定理1．质数、合数⑴除了2其余的质数都是奇数；⑵除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9；⑶如何判断一个数是否是质数？⑷常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
2．数字拆分—分解质因式相关名词：质因数、互质数、分解质因数例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
210=2⨯3⨯5⨯7可知这三个数是5、6和7。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。
3．约数个数定理唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积例如：12=2⨯2⨯3=22⨯3约数个数定理：约数个数：(2+1)⨯(1+1)=6所有约数的和：(20+21+22)⨯(30+31)【例 1】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？【巩固1】(2004年希望杯第二届五年级一试第8题，5分)a，b，c，d都是质数，并且a+b=33，b+c= 44，c+d=66，那么cd=。
【巩固2】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。
已知它们的和是偶数，那么d是多少？【例 2】(2008年101中学考题)将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是，如要求最大的质数尽可能的大，那么此时这个最大的质数为。
【巩固】(2010年迎春杯六年级初试试题)用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是。
【例 3】下图为一个长方体，它的正面和上面的面积之和为209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？例3图【巩固】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？【例 4】数160的约数个数是多少？它们的积呢？【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？【例 5】求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数。
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五年级奥数：质数与合数(B)
年级班姓名得分
一、填空题
1. 在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.
2. 小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一
个是合数.这四个数是____、____、____和____.
3. 把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.
4. 有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.
5. 两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.
6. 如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是
_____.
7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.
8. 有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数
____________；第二组数是____________.
9. 有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.
10. 主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。
”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。
”主人家的楼号是_____ ,孩子的年龄是_____.
二、解答题
11．甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。
甲说：“两个质数之和一定是质数”.乙说：“两个质数之和一定不是质数”.丙说：“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?
12. 下面有3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次
.把所得数中的质数写出来.
13. 在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数.
———————————————答案——————————————————————
答案:
1. 99
100,98是偶数,99是3倍数,从而知97是1~100中最大的质数,又最小的质数是2,所以最小的质数与最大的质数的和是99.
2. 3,3,5,8
根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将360分解质因数得:360=2⨯2⨯2⨯5⨯3⨯3
所以,这四个数是3,3,5和8.
3. 1992
依题意,将232323分解质因数得
232323=23⨯10101
=23⨯3⨯7⨯13⨯37
从而,全部不同质因数之和
AB=23+3+7+13+37=83
所以,A⨯B⨯AB=8⨯3⨯83=1992.
4． 36岁
根据三个学生的年龄乘积是1620的条件，先把1620分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件进行组合.
1620=2⨯2⨯3⨯3⨯3⨯3⨯5
=9⨯12⨯15
所以,他们年龄的和是9+12+15=36(岁)
5. 83,24
先把1992分解质因数,再根据两个数的和是107进行组合
1992=2⨯2⨯2⨯3⨯83
=24⨯83
24+83=107
所以,这两个数分别是83和24.
6. 14
根据两数之积能整除4875,把4875分解质因数,再根据两数之和为64进行组合.
4875=3⨯5⨯5⨯5⨯13
=(3⨯13)⨯(5⨯5)⨯5
=(39⨯25)⨯5
由此推得这两数为39和25.它们的差是39-25=14.
7. 15
解法一
因为相同两数相加之和为原数的2倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为1.所以原数的2倍加上原数乘以原数应是256-1=255.把255分解质因数得:
255=3⨯5⨯17
=3⨯5⨯(15+2)
=15⨯2+15⨯15
所以,这个数是15.
解法二
依题意,原数的2倍+0+原数⨯原数+1=256,即
原数的2倍+原数⨯原数=256-1
原数的2倍+原数⨯原数=255
把255分解质因数得
255=3⨯5⨯17
=15⨯(15+2)
=15⨯2+15⨯15
所以,这个数是15.
8. 21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.
先把10个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这10个数分成两组:
21=3⨯7 22=2⨯11
34=2⨯17 39=3⨯13
44=2⨯2⨯11 45=3⨯3⨯5
65=5⨯13 76=2⨯2⨯19
133=7⨯19 153=3⨯3⨯17
由此可见,这10个数中质因数共有6个2,6个3,2个5,2个7,2个11,2个13,2个17,2个19.所以,每组数中应包含3个2,3个3,5、7、11、13、17和19各一个.于是,可以这样分组:
第一组数是:21、22、65、76、153；
第二组数是:34、39、44、45、133.
[注]若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):
把20,26,33,35,39,42,44,55,91等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.
答案是如下分法即可:
第一组：20，33，91；
第二组：44，35，39；
第三组：26，42，55.
9． 12
设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除.
因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.这样只要把90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.
2
10. 14；3岁，3岁，8岁
因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，所以所有不同的乘积式是
72=1⨯6⨯12=1⨯8⨯9
=2⨯3⨯12=2⨯4⨯9
=2⨯6⨯6=3⨯3⨯8
=3⨯4⨯6
三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于14.14就是主人家的楼号.如果楼号不是14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是14.亦即三个孩子年龄的和为14.此时三个孩子的年龄有两种可能:2岁、6岁、6岁；或3岁、3岁、8岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是3岁、3岁、8岁.主人家的楼号是14号.
11. 因为两个质数之和可能是质数如2+3=5,也可能是合数如3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.
12. 从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为1、2、3，其中只有2、3是质数.
从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数,都不是质数.所以,两位数的质数只有13,23,31.
因为1+2+3=6,6能被3整除,所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数.
故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个.
[注]这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:12,13,21,23,31,32.再将三个合数12,21,32排除即可.
13. 100以内所有奇数之和是
1+3+5+…+99=2500，
从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和
7⨯(1+3+...+13)+11⨯(1+3+ (9)
=618，
最后再加上一个7⨯11=77（因为上面减去了两次77），所以最终答数为 2500-618+77=1959.
[注]上面解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数,再加上一个公倍数7⨯11,这里限定在100以内,如果不是100以内,而是1000以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有7⨯11的1倍,3倍,…也更多些，这实质上是“包含与排除”的思路.
14. 依题意知,每射一箭的环数,只能是下列11个数中的一个
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
而甲、乙5箭总环数的积1764≠0,这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有0
和10.
而1764=1⨯2⨯2⨯3⨯3⨯7⨯7是由5箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是7，从而可知另外3箭的环数是5个数
1，2，2，3，3
经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有5种：
（1）1，4，9；
（2）1，6，6；
（3）2，2，9；
（4）2，3，6；
（5）3，3，4．
因此，两人5箭的环数有5种可能：
7，7，1，4，9和是28；
7，7，1，6，6和是27；
7，7，2，2，9和是27；
7，7，2，3，6和是25；
7，7，3，3，4和是24。
∵甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少.
∴甲的总环数是24,乙的总环数是28.。