压电材料矩形板的热振动分析
基于压电元件的振动控制技术研究
基于压电元件的振动控制技术研究摘要：振动控制一直都是机械、精密仪器、航空等领域研究的课题，在各种新型的减振技术被提出的同时，具有良好的机电耦合特性的压电材料也被广泛的应用在减振领域。
本文利用带压电分支电路的压电悬臂梁模型，研究了利用压电元件的压电效应特性对振动结构体振动被动控制的方法，运用Matlab对该模型进行了频率响应分析，利用Ansys对其进行了模态分析，实验分析了压电元件对机械系统振动特性的影响，验证了理论的结果。
关键词：机电耦合；振动控制；压电效应；分支电路0引言随着人们对减振技术的研究，压电元件对振动控制的研究受到了广泛的关注。
振动存在于人们的生活、工作等各个领域，往往带来的是一些消极的影响。
例如，振动以弹性波的形式传播，会产生噪声污染。
振动还影响着人们的日常生活和工业生产。
比如，工厂中各种机器设备的振动幅度若超出一定的范围，将会对操作人员的健康产生极大的危害；航空发动机叶片、叶轮的振动会减少发动机的寿命，使机械零件产生疲劳，重则还会危害飞行人员的安全等。
如此可见，振动带来的危害是不可小觑的，如何降低振动对周围环境设备和人体带来的危害就变得尤为重要。
1项目介绍有些机械由于结构的复杂，在研究和加工过程中，每个环节上出现误差，都很可能造成整机产生振动。
本课题主要利用压电元件良好的机电耦合特性，将压电片表面电极与控制电路相连，压电元件作为机械部分与电路部分的媒介，以被动控制的方式来达到减振的目的。
通过给振动结构体附加压电元件并外接一个电路，改变结构的动态特性，使系统振动产生的能量转化为电能并通过其他形式消耗掉，以此来改变固有频率、振动位移的幅值和振动的衰减率等，从而起到减振的效果。
当压电片等效的电容和连入电路中的电感元件组成谐振电路的谐振频率与系统的固有的共振频率相近时，则会起到吸震作用。
电阻分支电路电阻电感分支电路图1 压电分支电路2压电材料及压电效应压电材料具有正压电效应和逆压电效应的性质，不仅能作为制动器，也能作为传感设备。
一类矩形厚板的振动分析
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｅ ｐ ｐ ｒ ｐｒ ｓ ｎ ｓ ｗ ｍｅ ｈｏ ｏｒ ｈｅ ｆ ｅ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ｌ ｓ ｓ ｏ ｈ ｃ ｅ ｔ ｎｇ ａ ｓｒ ｃ ： ａ ｅ ｅ ｅ ｔ ａ ｎｅ ｔ ｄ ｆ ｔ ｒ ｅ ｉ ｒ ｔｏｎ ａ ａ ｙ ｉ ｆ ｔ ｉｋ ｒ ｃ ａ ｕｌｒ
２ ４１ ） １ ２２
摘 要 ： 用 离散 奇异卷积 方 法对基 于 Ｍｉｄｉ 运 ｎｌ ｎ剪切 变形理 论 的 具有 纵 向 中心 线 内部 支撑 的矩 形 厚 板 ， 行 自由振动 分析．此 方法采 用 Ｇａ ｓ ｅ ａ序 列核 作为基 函数 ， 进 ｕｓ ｌ ｄｔ 并结 合 ｐ 一 Ｒ ｙｅ ｈ Ｒ ｔ ｂ２ ａ ｌ ｇ — ｉ ｉ ｚ 方法 的边界 函数 得到 一种新 型 的 Ｒ ｔ ｉ ｚ方法．数值 结果表 明 ， 此方 法精确有 效．
Ｖｏ１ ＮＯ． ．６ ４
００ Ａｕ ２ ７ ｇ．
文 章 编 号 ：６ １ ７ ４ （ ０ ７ ０ —０ ８ — ０ １ ７ — １ ７２ ０ ）４ ４ ７ ４
一
类矩形厚范 学 院 数 学 与 计 算科 学 学 院 ，广 东 湛 江 ５ ４ ４ ； ．江 南大 学 理 学 院 ，江 苏 无 锡 １ ２０ ８ ２
关 键 词 ： ａ ｌｉｈＲ ｔ 法 ； ｎ ｌ Ｒ ｙｅ — ｉ ｇ ｚ方 Ｍｉｄｉ 理 论 ； 散 奇 异 卷 积 ｎ板 离 中 图 分 类 号 ： ９ ＴＢ ｌ Ｑ ２ ； ｌ 文 献标识 码 ： Ａ
Ｔｈｅ Ｖｉ ｒ ｔｏ ａ ｙ ｉ ｆ Ｏｎ ｐｅ ｏ ｃ ａ ｇ ｌ ｒ Ｍ ｉ ｄ ｉ ａ ｅ ｂ ａ ｉ ｎ Ａｎ ｌ ｓ ｓｏ ｅ Ｔｙ ｆ Ｒｅ ｔ ｎ ｕ ａ ｎ ｌｎ Ｐｌ ｔ
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动高军;黄再兴【摘要】表面贴装形式中PCB板可简化为四边固支矩形薄板.基于刚性板的小挠度理论,推导了热载下四边固支矩形PCB薄板的自由振动微分方程.从微分方程中得出,热载下的PCB薄板等效于面内受均布张力的薄板,进而通过结构力学方法将热载下四边固支薄板振动问题转换为受面内均布张力固支薄板振动问题.利用虚位移理论,得出了温度沿厚度均匀线性变化的热载下四边固支矩形PCB薄板固有频率和自由振动的挠度值的计算方法.讨论了热载下温度、薄板的几何尺寸对矩形PCB薄板自由振动固有频率的影响.结论可为矩形PCB薄板在热载下的振动分析以及固有频率计算提供方法上的参考.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(033)012【总页数】5页(P75-79)【关键词】PCB矩形薄板;热环境;四边固支;微分方程;固有频率【作者】高军;黄再兴【作者单位】南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016;南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016【正文语种】中文【中图分类】O343表面贴装技术(SMT)以其成本低、集成度高、电子组件重量轻、易于自动化等优点广泛应用于微电子电路[1-2]。
影响表面贴装电子产品可靠性的主要环境因素是热和振动冲击,特别是在环境振动和热载荷的复杂环境下，两类载荷共同影响贴装形式元器件的内力情况，导致振动产生的动态应力和热疲劳应力相互叠加引起封装的失效，从而影响整个封装形式可靠性与寿命。
同时，这两种载荷相互间产生耦合，并非仅仅只表现为两种载荷作用的简单叠加。
目前，已发现大型的工作站随工作温度升高到一定程度会产生共振，从而会影响其正常工作。
明显地，这是由热环境温度的变化导致封装结构固有频率改变带来的问题。
该问题涉及封装结构固有频率与环境温度的相互耦合，但目前还缺乏定量的研究。
已有学者分别对振动和热环境下表面贴装形式电子元器件的结构和可靠性进行了一些研究[3-6]。
方形压电片厚度剪切振动模式
方形压电片厚度剪切振动模式英文回答：Piezoelectric materials are widely used in various applications due to their ability to convert mechanical energy into electrical energy and vice versa. One of the most common piezoelectric materials is the square piezoelectric plate, which can undergo different vibration modes depending on its thickness.In the case of shear vibration, the squarepiezoelectric plate deforms in a shearing motion, where the opposite edges of the plate move in opposite directions. This mode of vibration is characterized by the displacement of the plate in a diagonal direction, with the center of the plate remaining relatively stationary.The thickness of the square piezoelectric plate plays a crucial role in determining the shear vibration mode. Generally, for a given material and plate geometry, thereare multiple thicknesses at which the plate can resonate in shear mode. These thicknesses correspond to the resonant frequencies of the plate, where the plate exhibits maximum vibration amplitude.For example, let's consider a square piezoelectric plate made of PZT (lead zirconate titanate) material. If the plate has a thickness of 1 mm, it may resonate at a frequency of 10 kHz in shear mode. However, if the thickness is increased to 2 mm, the resonant frequency may shift to 5 kHz. This change in resonant frequency is due to the change in the plate's mechanical properties, such asits stiffness and mass, which are influenced by the thickness.The ability to control the shear vibration mode by adjusting the thickness of the square piezoelectric plate is advantageous in various applications. For instance, in the field of ultrasonic imaging, different frequencies of shear vibrations can be used to generate images with varying resolutions. Thicker plates can provide lower frequency vibrations, which are suitable for deeper tissueimaging, while thinner plates can produce higher frequency vibrations for more detailed imaging of superficial tissues.中文回答：压电材料因其能够将机械能转化为电能以及反之的能力而被广泛应用于各种应用中。
双向变厚度矩形薄板的自由振动分析
双 向变厚 度 矩 形 薄板 的 自由振 动分 析
薛开 ， 王久 法， 李秋红 ， 王威远 ， 王平
（ 哈 尔滨工程大学 机电工程学院 ， 黑龙江 哈 尔滨 １ ５ ０ ０ ０ １ ） 摘 要： 针对传统级数法 只能求解特定边界条件下矩形板 的振动 问题 ， 通过采用 改进 Ｆ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅ ｒ 级数 的方法 ， 将双 向变厚度
关键 词 ： 变厚度 板 ； 改进的 Ｆ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅ ｒ 级数 ； Ｒ ａ ｙ ｌ ｅ ｉ ｇ ｈ — Ｒ ｉ ｔ ｚ 法； 自由振动
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ — ７ ０ ４ ３ ． ２ ０ １ ２ １ ０ ０ ３ ３
网络 出版 地 址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ２ ３ ． １ ３ ９ ０ ． Ｕ ． ２ ０ １ ３ １ １ １ ２ ． ０ ８ ３ ３ ． ０ ０ ５ ． ｈ ｔ ｍ ｌ 中 图分 类 号 ： Ｔ Ｐ ５ ３ ３ 文 献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ７ ４３ ０ （ ２ ０ １ ３ ） １ １ － １ ４ ５ ６ － ４ ０
第 ３ ４卷第 １ １期 ２ ０ １ ３年 １ １ 月
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Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ １ ｏ ｆ Ｈａ ｒ ｂ ｉ ｎ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ３
Ｆｒ ｅ ｅ ｖ ｉ ｂｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｕｌ ａ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｖ ａ ｒ ｙ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｉ ｃ ｋ ｎ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｔ ｗｏ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
压电薄膜振动散热原理
压电薄膜振动散热原理
压电薄膜是一种能够将电能转化为机械能的材料，在现代电子学中得到了广泛应用。
除了作为传感器、执行器等设备的核心元件外，压电薄膜还可以用于散热。
压电薄膜散热的原理是利用其振动产生的机械能将热量传递到
周围环境中。
当压电薄膜受到电压作用时，其会发生振动，并且这种振动是周期性的。
随着振动的进行，压电薄膜会不断地将其中储存的能量转化为机械能，从而使薄膜表面产生周期性的变形。
这种变形将会导致薄膜表面的气体分子发生振动，进而产生热能。
为了让这种热能能够被有效地散发出去，可以在压电薄膜表面设计一些散热结构。
这些结构的目的是增加薄膜表面的热交换面积，并且让空气或者其他气体能够从薄膜表面流过，带走热量。
同时，通过改变压电薄膜的工作频率或振幅，可以控制薄膜表面产生的机械能量，从而实现对散热效果的调节。
总之，压电薄膜振动散热原理是利用其振动产生的机械能将热量传递到周围环境中。
通过设计合适的散热结构和控制振动参数，可以实现更加高效的散热效果。
- 1 -。
矩形Mindlin板的高频振动分析
图 １
我们来考 虑一 个各 向同性 的矩 形厚 板 （ １ ， 图 ） 长为 ｎ ，
宽为 ｂ厚度 为 ｈ ， 。该板可 以有任 意各种 边界（ 固支 ， 简支 ， 自
本文关注 的是 ｄｌ 类 型的奇 异核 ｅａ ｔ
Ｔ ）＝ ｎ （ ， ｎ＝ ，１ ２ （ ６（ ） ） （ ０ ， ，… ） （） ５
维普资讯
第２ ３卷 第 ４期
Ｖ０ ． ３ １２
Ｎｏ． ４
中州 大学 学报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｚ ＨＯＮＧ ＨＯＵ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｙ Ｚ Ｉ ＳＴ
２０ ０ ６年 １ Ｏ月
０ｃ． ０ ６ ｔ２ Ｏ
丁 ．
矩 形 Ｍｎｌ ｉ ｉ ｄ ｎ板的高频 振动分析
由） 的组合。我们 的 目标是要确定该板 的 自由 动频率 。由 振
收稿 日期 ：０ ６— ５—１ ２０ ０ ０
为 了在计算机 中使 用奇异卷积 的表达式 ， 我们构造 了分
基金项 目： 湛江 师范 学院重点科研资助项 目
作者简介 ： 云山（９３ ） 男 ， 侯 １７一 ， 河南省上蔡 县人 ， 硕士 ， 湛江师范 学院数 学系计算科 学 学院讲 师 ， 从 事计算 数 学方 主要
中图分类号 ： Ｕ ２ Ｔ ３３
文献标识码 ： Ａ
文章编 号 ：０ ８— ７ ５ ２ ０ ）４一Ｏ １ Ｏ １０ ３ １ （０ ６ ０ ｌ５一 ３
文献 ［ ］ Ｍｉｄｉ 的势 能为 ： ２ 知 ｎｌ ｎ板 实践 中， 工程师们经常会遇到桥板 和地板 系统的分析 问 题， 除了边界 支撑之外 ， 还涉及 到墙 壁 的支撑 问题 。在设计 过程 中， 这些 结构 通 常都模 型 化 为具有 直线 支 撑 的连续 板 元 。由于设计 的复杂性 ， 计师们并不能按照设计标 准使用 设 同等 的框架方法 ， 因此需要一种有效 的平板分 析方法。 本文 主要 探讨使用 离散奇 异卷积 （ Ｓ 方法 。 ４和 ｐ Ｄ Ｃ） ’ ｂ Ｉ
具有中间支承的矩形板自由振动分析
２ 当口 Ｙ ） ＞ 时应有 ｒ 口 和± ３口 ＝、 Ｙ ， ＝± １ 口； ３ ／ 一 故有 ／ 口
Ｙ：Ｄｌ ｎ ａ Ｙ＋ ２ｏｈ／ ｈ ｌ Ｄ ｃ ｓｏ Ｙ＋Ｄ ｓ ｈ ３ Ｄ ｃｓｏ Ｙ（ ） ｓ ｉ １ ３ｉ ａＹ＋ ４ｏｈ／ ７ ｎ ３
同样 ， 在上式 中如将 Ｘ， ， ，， ， ， 分别 改 为 ｌ ， ＹＹ ， ， ，
进行 了计算 。
关键词 ：矩形板 ， 混合边界 ， 解析解法 ， 固有频率 ， 型 振
中图分类号 ：０ ２ ３６ 文献标识码 ：Ａ
矩形板 广 泛 应用 于土 木 、 械 等工 程 中。 为 了 防 机 止共振 ， 通常 采用 中间支 座来 提 高结 构 的刚 度 ， 固有 使
刚度．采 用分离 变量 法 ， 令
情形 ：） 口 Ｙ时应有 ｒ 口 和 ±ａ ；ｌ ／ Ｙ １当 ＜ ＝± １ ｉ 口 ＝￣ ＋ ２ 口
和口 ＝￣ 口， ／ 一 相应地有 ｙ
Ｙ：Ｄ ｎ ａＹ＋ ２ｏｈ １ ｌｉｈ ｌ Ｄ ｃｓａ Ｙ＋Ｄ ｓ ｃＹ＋ ４ＯＯ Ｙ （ ） ｓ ３ｉ ￣ Ｄ ＣＳ／ ６ ｎ２ ２
可得 Ｙ＝Ｃ ｎ ｙ＋Ｃ ｅ ｓｙ ｌ ｙ ｓ ｉ ２ｏｈ ｙ＋Ｃ ｓ ｙ ３ｉ ｙ＋Ｃ ｃｓｙ ｎ ４ｏｙ
式中 ｉ 一 。将指数函数表成双曲函数和三角函数 ＝ １
１ 一块板 的一般解的建立
矩 形薄板 （ １ 横 图 ） 向 自 由 振 动 的 微 分 方
程为
（） ５
同 由 样， 第二式可得 ｒ ＝±、 Ｙ。此时可分为二种 ／ ± ／ 口
辔＋磐 ＸＹ ｌ ２ 罂＋￣ ， ： ４ ０
∞ ∞ ０ ７ ０ ７
将 上 式除 以 Ｘ ， Ｙ 然后对 Ｙ微分 二次 可得
任意边界条件下矩形板薄板自由振动特性分析
Abstract: A method based on improved FouPer sePes method ( INSM) was proposed to solve free vibration characteestics of rectangular thin plates under arbitraa boundaa conditions. The plate vibration displacement function
条件;大量计算表明，固支边界条件与弹性边界条件组合中，随着固支边条界范围增大，矩形薄板无量纲频率参数呈增大
趋势;简支及自由边界条件与弹性边界条件组合中，随着弹性边条界的增多，矩形薄板无量纲频率参数呈增大趋势。
关键词：矩形薄板;振动特性;改进傅里叶级数;弹性边界条件
中图分类号：U661.4 文献标志码：A
Key wois: rectangular thin plates; vibration chaeacieeosiocs; ompeoved Foueoee seeoes meihod; eaasioc boundaycondoioon
矩形板结构在船舶、海洋平台、潜艇及波浪能电站 等结构中有着大量的应用，因而设计者需对其振动特
： D0I 10. 13465/j. ski. jvs. 2019. 19.012
Free vibration characteristics of rectangular thin plates under ariitrary boundary conditions Q2 Y&-)1 , Haichao1,Fuzhen1 , MIAO X&ioMg1，2
矩形Mindlin板振动分析的DSC方法
ｆｈ （ ］ （ Ａ ＋ ＋ ） ２ Ｅ ｐ ；ｄ ）
Ⅱ ＝Ｕ一 （） ３
１ Ｍｉｄｉ 的能量泛 函 ｎｌ ｎ板
考虑一个各向同性 的矩形厚板 （ １ ， 图 ） 长为 。 宽 ， 为 ｂ厚度 为 ｈ ， 。该板 可以有任意 各种边界 （ 固支 ， 简 支， 自由） 的组合 。确定该板 的 自由振动频率 ， ２ 知 由［ ］ Ｍ ｎ ｌ ： 的势能 为 ： ｉｄｉ 板 ｎ
其 中 为角频率 ， Ｐ为板的密度。 于是能量泛 函的表示为 ：
２ 离散奇异卷积 （ Ｓ Ｄ Ｃ）
般地 ， 在分布论中讨论奇异卷积。设 是一个分 布 ， （） 叼 ｔ是测试 函数空 间的一个 函数 ， 异卷积定义为 则奇
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收稿 日 ： ０４一 ８ ｏ 修改稿收到 口期 ： ０ ５ １ — ５ 期 ２０ Ｏ 一 ３ ２ ０ — ０ ２ 第一作 者 侯云 山 男 ， 硕十 ， 讲师 ， ７ 年 ５ １ ３ ９ 月生
１ ０ Ｏｒ ０ ０
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其 中 Ｔ 一 是 一个 奇异 核 。由 于核 的不 同 ， 异 （ ） 奇 卷 积 应用 在 很 多 工 程 问题 中 ， Ｈｌｅｔ 形 ， ｂｌ 如 ｉ ｒ变 ｂ Ａ ｅ 变 形 和 Ｒ ｄｎ变形 。 ａｏ 本文关 注 的是 ｄｌ 类 型 的奇异 核 ｅａ ｔ
基于ANSYS的矩形压电振子瞬态特性分析
孽ｉ积分方法求解结构和其他二阶系统方程。 差分方法 替换 。 ；用于求解显示的瞬态分析； 牛顿法用于隐式瞬态问 根据 辛凯维 奇理 论 ， 用式 （ ） 式 （ ） 利 ２和 ３ 得到 牛
ｉ题的求解 。由于振子压电陶瓷机电耦合瞬态分析过 顿法求解的无条件稳定必须满足 ：
皇；程中， 涉及到 材料非线性、 压电 振子与转子接触非线
｛ ｝ “｝ 。 ， 。 ＝｛。 ＝｛ 。 ≠ 通过 Ｉ ！ ｕ ｛。 ｛ ｝ ｛ ｝ ｝ ｕ ｝ ０ 。 ｃ
命令输入或在瞬态本身开始之前执行一个静态分析 ｉ
载荷步 。进行瞬态分析 中的静载荷步时要关闭瞬态 ！
｛ １ ：（ 一Ｏ ） ｕ＋｝＋（ ｛ ｕ＋ ｝ １ ｔ ｛ １ ｉ “ ｝ 一 ｍ Ｘ 时间积分的影响 ， 结束静载荷分析后会 自动开启 时 间积分 的影 响 。瞬态 时间积 分 的影 响 默认 形 式是开
ｉ０ 引 言
ｉ
１ １牛顿法 理论 介绍 ．
对 于 非线 性 问题 ， Ｎ Ｙ Ａ Ｓ Ｓ用 中心差 分 方法 整合 运动方 程 。牛顿 法 使 用 有 限 差 分 法 ， ｔ ｔ 时 在 到
间 间隔 内 ， ： 有
ｉ
起动 和关 断瞬 态过程所 表 现的特 性是评 价超声
饭 持电棚 ２２ ． 卷 ３ 一 ｌ！第 ０ 第 ． 期 ＿ … ０ 年 ４妻曼 ＾ ． …
《磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》范文
《磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》篇一一、引言随着科技的不断发展，磁场的应用逐渐普及到各个领域，如电机驱动、通信设备以及科学研究等。
在这些应用中，磁性材料的动态性能往往决定着整个系统的稳定性和效能。
近年来，有关磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的随机振动问题逐渐受到研究者的关注。
本文旨在探讨磁场中通入非平稳电流的矩形薄板在随机振动下的特性及影响因素。
二、问题描述当非平稳电流在矩形薄板中流动时，由于电流与磁场之间的相互作用，薄板会产生振动。
这种振动在许多实际应用中具有重要意义，例如电磁式机械能转化系统。
而当振动条件是随机的时候，这会使系统更加复杂和具有挑战性。
为了深入了解这一现象，我们需要对磁场、电流、以及振动等关键因素进行详细分析。
三、理论分析首先，我们需要了解非平稳电流的特性和影响。
非平稳电流通常具有时间变化性，这会导致磁场的变化也具有时间依赖性。
当这种变化的磁场作用于矩形薄板上时，会产生动态的力，从而引发薄板的随机振动。
其次，矩形薄板的材料特性、尺寸以及边界条件等因素也会对随机振动产生影响。
材料的不同磁导率、电导率等特性都会影响电流与磁场的相互作用，进而影响振动的特性。
而薄板的尺寸和边界条件则决定了振动的模式和频率等特征。
四、模型建立与仿真研究为了更深入地研究这个问题，我们可以建立数学模型并使用仿真技术来分析磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的随机振动问题。
首先，我们可以通过Maxwell方程组来描述电流与磁场之间的相互作用关系。
然后，利用有限元法或边界元法等数值方法建立数学模型，模拟不同条件下的随机振动过程。
通过仿真研究，我们可以观察到不同因素对随机振动的影响。
例如，非平稳电流的频率和幅度、矩形薄板的材料特性、尺寸以及边界条件等都会对随机振动的特性产生影响。
通过对比不同条件下的仿真结果，我们可以找到影响系统性能的关键因素和优化方案。
五、实验验证与结果分析为了验证仿真结果的准确性，我们可以进行实验验证。
《磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》范文
《磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》篇一一、引言在现代物理学和工程学中，磁场与电流的相互作用已经成为研究的重要课题。
尤其在电磁学、电子学和材料科学等领域，非平稳电流在矩形薄板中产生的磁场效应及相应的随机振动问题引起了广泛关注。
本文旨在探讨磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的随机振动特性，并对其背后的物理机制进行深入分析。
二、非平稳电流与磁场非平稳电流是指电流随时间发生变化的电流。
当非平稳电流通过矩形薄板时，会诱导产生磁场。
这一过程涉及复杂的电磁学原理，包括电流的时变性质、材料的电导率和磁导率等。
这些因素共同决定了磁场的大小和分布。
三、矩形薄板的振动特性矩形薄板在磁场中的振动特性受到多种因素的影响。
首先，非平稳电流产生的磁场会对薄板产生洛伦兹力，从而引发振动。
其次，薄板的材料属性（如质量、刚度和阻尼）也会影响其振动特性。
此外，随机振动还可能受到外部噪声、温度变化等因素的影响。
四、随机振动的分析方法为了研究矩形薄板的随机振动，我们采用了多种分析方法。
首先，我们通过建立数学模型来描述非平稳电流和磁场的关系，以及它们对薄板振动的影响。
其次，我们利用有限元分析方法对模型进行数值模拟，以获得更精确的结果。
此外，我们还采用了实验方法，通过实际测量来验证模型的准确性。
五、实验结果与讨论通过实验和数值模拟，我们发现在磁场中通入非平稳电流的矩形薄板会产生随机振动。
振动的幅度和频率受到电流的大小、方向、频率以及薄板的材料属性的影响。
此外，我们还发现外部噪声和温度变化也会对随机振动产生影响。
这些结果为进一步理解磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的振动特性提供了有价值的参考。
六、结论与展望本文研究了磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的随机振动特性。
通过建立数学模型、数值模拟和实验测量，我们深入探讨了非平稳电流与磁场的关系以及它们对薄板振动特性的影响。
研究结果表明，非平稳电流在矩形薄板中产生的磁场会引发随机振动，振动的幅度和频率受到多种因素的影响。
《2024年磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》范文
《磁场中通入非平稳电流矩形薄板的随机振动》篇一一、引言随着电子工程与电磁理论研究的不断深入，磁场中的物质相互作用问题引起了广大研究者的兴趣。
本文以矩形薄板为研究对象，关注其磁场中的物理状态变化，特别是在通入非平稳电流的情境下，随机振动特性的分析与研究。
本文旨在探讨非平稳电流对矩形薄板在磁场中振动的影响，为相关领域的研究提供理论依据和实验参考。
二、研究背景与意义在电磁学领域，磁场中物体的振动特性一直是研究的热点。
矩形薄板作为常见的电磁材料之一，其振动特性在工程应用和物理研究中具有重要价值。
特别是在通入非平稳电流的情况下，其振动模式和振动强度将发生显著变化。
因此，对磁场中通入非平稳电流的矩形薄板的随机振动进行研究，不仅有助于理解电磁场与物质相互作用的基本原理，也为相关领域的技术应用提供了理论基础。
三、研究方法与实验设计（一）研究方法本研究采用理论分析、数值模拟和实验验证相结合的方法。
首先，通过理论分析建立数学模型；其次，利用数值模拟软件进行仿真分析；最后，通过实验验证理论模型和仿真结果的正确性。
（二）实验设计1. 实验材料：选择不同材质的矩形薄板作为研究对象。
2. 实验装置：搭建磁场环境，配置电流源以通入非平稳电流。
3. 实验过程：将矩形薄板置于磁场中，并通入非平稳电流，记录其随机振动数据。
四、实验结果与分析（一）实验结果通过实验，我们得到了不同材质的矩形薄板在通入非平稳电流后的随机振动数据。
这些数据包括振动的幅度、频率和持续时间等。
（二）结果分析1. 振动幅度：非平稳电流对矩形薄板的振动幅度有显著影响。
不同材质的薄板表现出不同的振动幅度变化规律。
2. 振动频率：非平稳电流的频率变化对矩形薄板的振动频率有直接影响。
随着电流频率的增加，薄板的振动频率也相应增加。
3. 持续时间：非平稳电流的作用时间对矩形薄板的振动持续时间有影响。
长时间的非平稳电流作用可能导致薄板产生持续的振动。
五、讨论与结论（一）讨论本研究表明，非平稳电流对矩形薄板的随机振动具有显著影响。
Levinson 矩形微板谐振器热弹性阻尼解析解
基 于 广 义 热 传 导 理 论 ，文 献［14 ⁃18］在 理 论 上 分 析 了 热 传 导 过 程 中 的 波 动 和 黏 滞 效 应 对 微 /纳 板 谐 振器 TED 的影响。 Sharma 等 基 ［14］ 于 Lord⁃Shulman 理论分析了非轴对称自由振动圆板谐振器的 TED。 在 此 基 础 上 ，Sharma 和 Grover 进 ［15］ 一 步 研 究 了 由 于 空隙率变化而引起的延滞效应对板式谐振器 TED 的影响。Guo 等 采 ［16］ 用双向延滞广义热传导模型求 解 得 到 了 微 圆 板 谐 振 器 逆 品 质 因 子 的 L⁃R［3］形 式 解 析解。Grover 基 ［17］ 于 Kelvin⁃Voigt 材料模型下的广 义热黏弹性理论定量地分析了机械松弛时间和热松 弛时间对微圆板谐振器逆品质因子的影响。最近， Chugh 和 Partap［18］ 在微圆板谐振器的自由振动模型 中 同 时 考 虑 热 松 弛 和 微 伸 长（Microstretch）效 应 ，给 出了 TED 的解析解，发现微伸长参数对临界热弹性 阻尼值具有增强作用。
压电材料矩形板的热振动分析
压电材料矩形板的热振动分析李林利;薛春霞【摘要】为保证压电材料结构在高温环境中安全工作,以压电材料矩形板为研究对象,根据弹性力学有限变形基本理论推导出了其在外激励和恒定温度场共同作用下的振动方程和协调方程.利用Bubnov-Galerkin原理,并引入瑞利阻尼得到热振动的非线性动力学方程.进一步运用多尺度法求得矩形板主共振时的幅频响应方程和相频响应方程.用ANSYS软件进行模态、谐响应及瞬态动力学分析,讨论了温度对横向位移的影响,分析了速度、加速度和最大应力值的变化规律以及最大应力的出现位置,结果表明温度升高和长宽比减小都会使系统的固有振动频率减小,且前者使弯曲挠度增大,后者使弯曲挠度减小.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)001【总页数】7页(P1-7)【关键词】压电材料;热振动;温度场;外激励【作者】李林利;薛春霞【作者单位】中北大学理学院,山西太原030051;中北大学理学院,山西太原030051【正文语种】中文【中图分类】TB1230 引言压电材料的发展极为迅速，广泛应用于压电滤波器、微位移器、驱动器和传感器等电子器件中，在卫星广播、电子设备、生物以及航空航天等高新技术领域都有着重要的地位. 而结构在热荷载下的动力响应问题是目前工程结构热分析的主要研究内容之一. 结构热动力响应主要表现为热振动，持续的热振动又会引发结构的疲劳和破坏，是结构受热失效的主要形式. 故分析压电材料在温度场下的动力响应具有很实际的工程意义. 九十年代初期以来， Bao Y等[1] 研究了电场、热场共同激励下的压电层合梁的静力学问题和压电驱动器通过控制电压施加的非线性静态挠度和固有频率的主动控制效果. 田振国等[2]讨论了载流板的温度、应力、位移与外加电磁场、温度场以及机械载荷的关系. 王书鹏[3] 在传统弹性梁振动理论基础上，通过变换振动系统的位移表达,推导出了弹性支承梁在均布矩形脉冲和三角形脉冲两类冲击荷载下的耦合振动解析解. 李世荣等[4]对压电层功能梯度梁在横向非均匀升温和均匀驱动电压作用下的几何非线性大变形以及大变形构型附近的自由振动进行了定量分析，分析了热荷载和材料梯度性质对变形和振动特性的影响. 苏厚德等[5]研究了上下表面粘贴压电层的功能梯度材料梁在升温及电场作用下的振动以及过屈曲行为. 王涛等[6]用ANSYS有限元计算方法对压电智能结构机电耦合效应下的动力学性质进行了分析. Lee H J等[7]基于分层有限元理论研究了电、热共同作用下功能梯度压电双晶梁的位移和应力问题，并分析了电和热负荷对双芯片驱动器的挠度和应力的影响. 叶文强等[8]对压电振子受纵向冲击时的波动问题进行了研究. Kapuria S等[9]对对称叠层简支钢梁在电热荷载作用下的屈曲问题进行了分析. 薛春霞等[10]利用Karman关于板的大挠度理论导出了在横向磁场和横向载荷共同作用下薄板的非线性运动方程. 由于压电结构的材料特性具有广阔的应用前景，而人们对它的应用研究时间并不长，要充分实现其功能，有许多方面的问题需要研究和解决.鉴于高温环境对压电材料结构的振动行为有很大的影响，但目前很少有文献涉及压电材料矩形板的热振动分析，本文在现有文献的研究基础上，对于压电材料二维板结构，通过弹性力学基本理论、 Bubnov-Galerkin原理、多尺度法等推导出了外激励和恒定温度场作用下的非线性振动方程和协调方程，求得压电材料矩形板主共振时的幅频响应方程和相频响应方程. 用ANSYS软件进行算例分析，讨论了不同的恒定温度场对矩形板的振动频率和振幅的影响，并分析了振动系统最大应力变化规律.1 压电材料矩形板的基本方程以压电材料矩形薄板为研究对象. 以薄板的中面为xoy面，它的法线为z轴，如图 1 所示. 假设板长为a，宽为b，高为h，薄板上侧受外激励为均布力q=q0cosωt.图 1 压电材料矩形板结构Fig.1 Rectangular plate structure of piezoelectric material对于横观各向同性压电材料的矩形薄板，在考虑温度效应时的压电方程[11]为(1)式中：t31=Eα/(1-υ)为热-机械耦合常数， E和υ分别为杨氏模量和泊松比，α为线性膨胀系数； c11,c12,c21,c22,c66为压电材料的刚度； e31为压电系数；ε3为介电系数； m3为热-压电耦合常数； E3为电场； T为温度增量；σx, σy和τxy分别为x方向和y方向的正应力和切应力； DE为电位移； S为熵；α0=C/T0， C为比热， T0为初始温度. 由Von Karman板大挠度理论[12]，位移与应变的关系为薄膜内力(3)式中：为热轴力；为电轴力.弯曲内力(4)式中：为热弯矩，为电弯矩.板的运动方程[13](5)式中： Qx, Qy分别为垂直于x轴及垂直于y轴的截面上单位宽度的横向剪力. 由于c11=c22，注意到c11=c12+2c66，将Mx,My,Mxy,Nx,Ny,Nxy代入平衡方程，得到压电材料矩形板的横向热振动方程如下D4w=hL(φ,w)-e312ME-t312MT-(6)式中：为弯曲刚度.引入应力函数，有(7)应变协调方程变型为2NT=(8)2 非线性热振动方程近似解对于四周简支的压电材料矩形板，可将横向位移w设为(9)式中： X(t)为板中心的无量纲挠度的最大值.由方程(6)， (8)和(9)，利用Bubnov-Galerkin原理，并引入瑞利阻尼得到动力学方程为(10)式中：Z=αm+αkkl，αm,αk为阻尼系数.进行无量纲化，令则系统的无量纲方程变为(11)式中：满足初始条件(12)用多尺度法求解无量纲方程(13)便得到主共振时的幅频响应方程和相频响应方程分别为(14)(15)3 算例分析3.1 模态分析钛酸钡材料的参数值如表 1 所示.表 1 钛酸钡材料参数[14]Tab.1 Barium titanate material parameters参数参数值参数参数值ρ/(kg·m-3)5 700e33/(C·m-2)17.5c11/(N·m-2)1.5 e11ε111 115c12/(N·m-2)0.66 e11ε221 115c22/(N·m-2)1.5 e11ε331 260c66/(N·m-2)0.42 e11α/℃1.0e-5e31/(C·m-2)-4.35m3/(C·cm-2℃-1)2.0e-8e15/(C·m-2)11.4μ0.27进行模态分析时，结构的模态参数由下式求解([D]-ω2[M]){K}=0,(16)式中： [D]为刚度矩阵； [M]为质量矩阵； {K}为模态矩阵. 由于质量矩阵一般不受温度的影响，由式(16)看出，温度引起结构模态频率和振型的变化主要是结构的刚度变化导致的. 温度升高会引起钛酸钡陶瓷的杨氏模量和介电常数发生变化[15] . 本文使用ANSYS 14.0对压电材料矩形板进行有限元建模与仿真，通过模态分析得出矩形板的固有频率及振型. 模型采用SOLID5单元进行分析. 矩形板长为300 mm，板厚为10 mm，分别置于70, 90, 110 ℃的恒定温度场下，当宽b分别为200, 230， 250， 300 mm时，由ANSYS仿真得到前三阶固有频率，其对应结果如表 2.表 2 前三阶固有频率和挠度Tab.2 Natural frequency and deflection of the first three orders温度/℃7090110宽/mm阶/n频率/Hz挠度/mm频率/Hz挠度/mm频率/Hz挠度/mm20011 495.61.317 491 396.31.319 411 360.81.322 5922 315.51.253 382 153.71.254 912 039.21.257 8033 670.31.210 283 435.31.212 733 238.51.241 0023011 217.41.232 851 135.51.234 361 099.31.237 4522 079.11.166 191 935.31.167 531 826.01.171 3332844.41.141 452 659.71.143 392 618.41.147 3425011 089.41.184 251 018.81.185 67945.71.188 6821 973.01.116 461 843.41.117 871 077.61.122 0032 454.41.099 032 300.61.100 842 144.11.104 503001884.81.082 90824.71.084 18788.31.087 1821 806.41.014 221 685.31.015 751586.41.019 8831 806.21.014 371 685.31.015 901 642.51.018 13从表 2 可以得出结论：随着宽度的逐渐增大，长宽比减小，恒定温度场中四边简支的压电材料矩形板的挠度和固有热振动频率都减小. 随着温度升高，恒定温度场中矩形板的固有热振动频率减小，挠度增大. 文献[16]中温度对普通弹性板固有频率和振幅的影响，文献[17]中宽度变化对压电层合板的固有频率的影响，均与本文结论一致，故本文的方法和结论具有可靠性.3.2 谐响应分析在模态分析的基础上，对在70 ℃的恒定温度场下，长a=300 mm，宽为b=300 mm，板厚h =10 mm的压电材料矩形板采用Full方法进行ANSYS谐响应仿真分析. 取材料阻尼比为0.01，在压电材料矩形板的上表面施加2 MPa频率为 850 Hz 的余弦简谐力作为激励载荷，在 700～1 200 Hz 的频率范围内取50个子载荷步，采用Sparse solver求解器进行求解，得到在恒定温度场下压电材料矩形板最大应力节点处z方向的幅频曲线以及外激励对应力幅值的影响.外激励频率对板横向振动的影响如图 2 所示. 由图 2 可知，当外激励频率远小于885 Hz时，矩形板横向位移较小，横向位移激振力频率在相位上提前180°；当外激励频率等于基频时，矩形板的横向位移急剧增大，且比激振力频率在相位提前90°，即将达到共振状态；随着外激励频率继续增大，离开共振区的矩形板的横向位移幅值迅速减小，此时横向位移与激励力在相位上几乎相同.图 2 外激励频率对板横向振动的影响Fig.2 Influence of external excitation frequency on transverse vibration of plate图 3 所示为外激励频率对板z方向应力的影响. 由图 3 可知，当外激励频率远小于885 Hz时，矩形板横向应力较小，横向应力与激励力在相位上几乎相同；当外激励频率等于基频时，矩形板的横向应力振幅急剧增大，且比激振力频率在相位提前85°，即将达到共振状态；随着外激励频率继续增大，离开共振区的矩形板的横向应力幅值迅速减小，此时横向应力与激励力在相位上几乎相同.图 3 外激励频率对板z方向应力的影响Fig.3 Influence of external excitation frequency on the stress of z direction由图2(a)和图3(a)可看出横向振动位移和z方向应力幅值变化趋势一致，即横向位移越大，内部的应力幅值也越大. 当达到共振时，横向位移和应力响应的幅值急剧增大，但并未无限放大，是因为阻尼对响应峰值具有抑制作用. 故阻尼的设置能较好地抑制结构的振动响应.3.3 温度对横向位移的影响分析为了分析温度对横向位移的影响，通过ANSYS软件对压电材料矩形板进行瞬态响应分析，运用完全法，取阻尼比为0.01，在矩形板上表面施加2 MPa频率为300 Hz的余弦简谐力，得到不同恒定温度场下四边简支的压电材料矩形板最大应力节点1 981的横向位移时程曲线，如图 4 所示.图 4 温度对矩形板横向位移的影响Fig.4 Effect of temperature on transverse displacement of rectangular plate由图 4 可知，在不同恒定温度场的简谐激振力作用下，节点1 981的运动较为混乱，振动情况也比较复杂. 图 4 表示外激励的频率远小于共振频率时横向振动的位移变化，可以看出，随着时间的增加，振动情况都将趋于稳定. 而总体上节点是围绕平衡位置进行周期振动的，温度越高，其横向位移越大，这主要是因为简谐激振力一定的情况下，温度升高这会降低结构的刚度，抵抗荷载作用下的变形能力减弱；且随着时间的增加，其振幅在阻尼的影响下有明显的衰减特征.3.4 薄板最大应力节点的应力响应分析在以上分析的基础上，对薄板上表面施加2 MPa 频率为300 Hz的余弦简谐力作为激励载荷的情况进行具体分析，得到矩形板最大应力节点处横向速度，横向加速度以及最大应力在0.3 s内的时程曲线，如图 5(a)～(c) 所示.图 5 最大应力节点的响应分析Fig.5 Response analysis of the maximum stress node由图 5(a)和图 5(b)可看出，在简谐外力的激励作用下横向速度和横向加速度的时程曲线呈现规律性的变化，为振幅逐渐减小最终趋于稳定的简谐曲线，其振动频率为简谐力的激振频率. 图 5(c) 为最大应力处节点1 981的Von misers应力时程曲线，可看出此节点在稳定阶段应力幅值在0.005 2～5.206 8 MPa间变化，且位移响应幅值越大，应力值也越大. 四边简支的压电材料矩形板在受到恒定温度场和简谐力的激励下做强迫振动时，其最大应力位置出现在板的边缘位置，如图5(d) 所示. 因此在实际应用中，应针对此类现象采取相应的解决方法和对应措施.4 结论本文对恒定温度场下受简谐激振力作用的压电材料矩形板的频率和振幅进行了分析，结论如下：1) 计算结果表明：温度、矩形板的长宽比和外激励对板的动力响应均有一定的影响，长宽比减小，弯曲挠度和固有振动频率都减小. 温度升高，固有振动频率减小，弯曲挠度增大.2) 当外激励频率等于矩形板的固有振动频率时，达到共振状态，矩形板的横向振幅和z方向的应力值急剧增大，且均比激振力频率在相位提前90°.3) 温度场对横向位移的影响非常明显，温度越高，其横向位移越大.4) 振动时最大应力位置出现在薄板的边缘位置，薄板横向位移越大，应力值越大. 当外激励的频率等于压电材料矩形板的固有频率时，会达到共振状态，此时的振幅最大，在工程实际中会造成极大的危害.参考文献：【相关文献】[1]Bao Y, Venkayya V B, Tzou H S. 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(in Chinese)[5]苏厚德，樊建领，俞树荣，等. 粘贴压电层功能梯度材Euler梁热屈曲前自由振动的半解析数值法[J]. 航空材料学报， 2014， 34(6): 90-97.Su Houde， Fan Jianling， Yu Shurong， et al. Pasted piezoelectric layer functional gradient material: the semianalytical numerical method of the free vibration of the pre-buckling of the Euler beam[J]. Journal of Aviation Materials， 2014， 34(6)： 90-97. (in Chinese)[6]王涛，秦荣，李双蓓. 压电智能简支梁力电耦合性能分析[J]. 材料科学与工程学报， 2007(6)：961-964.Wang Tao， Qin Rong， Li Shuangbei. Analysis of mechanical and electrical coupling properties of piezoelectric smart simple supported beam[J]. Journal of Materials Science and Engineering， 2007(6)： 961-964. (in Chinese)[7]Lee H J. Layerwise analysis of thermal shape control in graded piezoelectricbeams[C]∥ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, 2003，21： 1-9.[8]叶文强，薛春霞. 纵向冲击下弹簧连接的压电层合杆波动分析[J]. 中北大学学报(自然科学版)，2014， 35(5)： 530-535.Ye Wenqiang， Xue Chunxia. Wave analysis of piezoelectric laminated rods connected by springs under longitudinal impact[J]. 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基于压电陶瓷的矩形板振动主动控制最优位置的设计
基于压电陶瓷的矩形板振动主动控制最优位置的设计陶伟;王海;杨春来;陈希【摘要】薄板结构因其固有的特性而被广泛应用于土木、机械、航空、航海、化工等工程领域.以四边简支板振动为例,首先基于基尔霍夫假设推导振动微分方程并通过ANSYS验证模态函数精确度;然后根据矩形板模态分析设计两种主动控制抑振器,在COMSOL中仿真出指定点处的位移和总能量.矩形板在一阶固有频率下振动,两种方案抑制率分别为450.8％和453.85％;最后根据抑振器设计方案搭建了矩形板振动实验平台,并设计了两种实验方案,测得自有振动下的矩形板进入稳定状态的时间提前了522.％和263.7％,强迫振动下的矩形板振动达到了56％和65％的抑振,从而验证了控制策略的可行性.【期刊名称】《安徽工程大学学报》【年(卷),期】2017(022)004【总页数】7页(P49-55)【关键词】矩形板;基尔霍夫假设;主动控制;控制策略【作者】陶伟;王海;杨春来;陈希【作者单位】安徽工程大学机械与汽车工程学院,安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院,安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院,安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院,安徽芜湖 241000【正文语种】中文【中图分类】TH16;TP24现代工程设计中广泛采用薄板结构．薄板理论属于弹性力学的范畴，是现代固体力学一个重要的分支．近几十年随着计算机技术的飞速发展，薄板理论也得到了突飞猛进地发展．钱伟长[1]在奇异摄动理论方面独创性地写出了有关固定圆板的大挠度问题的渐近解，国际力学界称之为“钱伟长方程”．国内外众多学者对板的研究越来越深入，其技术的发展也得到高度重视．由靳国永[2]等主编的《结构振动：任意边界条件层合梁、板、壳结构的准确解法》提供了一个完整的理论体系来分析任意边界条件下层合梁、板、壳结构的振动特性．Reddy[3]和Qatu[4]采用不同的理论对夹层板的振动分析进行了总结．此外，Carrera[5]提出了多层板的有限元理论．对振动的控制一般分为3种：振动隔离、振动吸收及振动控制．振动隔离一般是将振源隔离或将系统隔离；振动吸收是添加辅助系统来吸收振源振动从而保护系统；振动控制是在系统中添加驱动力来抑制系统的振动．应用压电陶瓷来抑制振动一般分为两种：振动吸收及振动控制．主动振动吸收装置被应用于集中与分布式系统．第二类控制中的主动与半主动控制被应用于分布式系统．王海[6]提出一种基于反演设计思想的传递控制策略，设计了虚拟控制量来控制柔性机械臂运动．王会利[7]等利用压电材料作为传感器和驱动器作用于壁板进行单模态和多模态的主动精致试验．Liu[8]将压电材料的位置矩形考虑进可控性选择，通过奇异值分析比较最后得出控制性与奇异值的关系．Kermani[9]由能控性矩阵研究了悬臂梁控制系统中压电材料因数对振动系统的影响．Han[10]综合考虑系统的可控制和可观性对复合板结构进行主动控制．Halim[11]提出一种基于模态可控性的标准来针对薄板结构配置问题提出解决方案．当板的上下两表面间的距离远小于板自身的基本尺寸时称为薄板．其中，与上下两表面等距离的面称为中面．弹性板的弯曲理论是在基尔霍夫假设的基础上建立的．考虑薄板的一个单元dx×dy作用一个垂直的分布载荷p(x,y)，载荷作用在单元的上表面，假设应力作用于单元的中间面，将分布载荷也转化在中间面，由于单元很小，则认为力与力矩均匀作用于单元的中间面，振动方程如式(1)所示：为了模拟无阻尼结构力学，仅考虑因变量(应变、应力和变形)为时间t的方程，将外加载荷定义为时间t的函数(包括表面惯性力)．根据达朗贝尔原理，将弯曲方程中的弯曲变形转化为：因此无阻尼强迫振动微分方程为：对于自由振动，其方程只与自身的属性有关，是弹性板内在的属性，不附加任何载荷．因此对于自由振动p(x,y,t)=0,则方程改为：方程为四阶无阻尼线性其次偏微分方程．其通解将自由振动问题简化为任意时间任意点的挠度，由于弯曲振动的决定因素是自然频率和模态振型．使用Fourier方法来解决板自由振动的频率问题．假设挠度函数为：其模态振型函数为W(x,y),ω是板振动的频率．将式(5)带入式(4),可得：其中,振型函数W(x,y)满足其边界条件．解上述方程，令ρ(ω)=0，解得其频率方程具有无穷个解，其无穷个解构成一个频谱．一般情况下，二维频谱有两个参数m和n(m=1,2,3,…;n=1,2,3,…,)．其最小频率称为基频ω11．对于每一个频率ωmn，都有一个模态振型函数W(x,y)．建立简支矩形板振型函数为：式中，a,b为板的尺寸；cmn为每一对m,n值对应的振幅．解式(8)得：现假设一个薄板来验证上式的精确性，薄板的各项参数如表1所示.将理论频率值与Ansys仿真相比较，其结果如表2所示.压电控制器的工作原理为压电驱动器通过逆压电效应从而产生弯矩形成闭环控制．压电驱动器的弯矩方向与薄板的弯矩方向相反，压电驱动器产生的运动与薄板横向振动产生的运动方向相反，系统的总动能减小，从而实现矩形板振动的抑制．压电控制器的粘贴位置根据薄板模态分析振型而定，粘贴在薄板的最大应变处．柔性薄板的振动是多级振动的耦合，不同模态下的振动，薄板的最大应变位置会发生改变，并且最大应变处的数量不一．为了便于仿真及后期实验验证，将薄板边界条件改为四周固定．在ANSYS中对其模态分析，得出其前3阶模态值以及压电材料的参数如表3、表4所示.两种控制方案的控制器设计图如图1所示.根据前二阶振型所反应的不同模态下应变最大位置，将压电驱动器粘贴于图1所示位置，分别抑制前两阶模态下的振动．压电驱动器不同的粘贴位置构成了薄板控制器的两种控制方案．方案一，压电驱动器左端点粘贴于薄板(xa1=180 mm，xa2=280 mm)位置处．当薄板一阶振动时，此处的应变最大，弯曲变形最强烈．此方案用以抑制薄板一阶振动；方案二，一片压电驱动器粘贴于薄板(xa3=130 mm，xa4=280 mm)位置处，另一片压电驱动器粘贴于薄板右端相对称位置．两片压电驱动器粘贴位置发生最大应变，此两处为二阶振动的最优控制位置．以薄板上粘贴压电驱动器的中点所对应点的位移和总动能作为矩形板振动强弱的判断依据．通过数值仿真所得的固定点位移和动能变化曲线．根据控制前后曲线峰值的变化量来确定其抑制效果．定义第i阶振动的抑振率为：式中，ED为薄板固定点处位移的抑制率；EK为薄板固定点处总动能的抑制率．N 和P分别为取值个数与对应的数值大小．在COMSOL中，于薄板面点(50，50)位置处施加0．1 mm的正弦位移，频率设定为143 Hz，引起薄板的开环受迫振动，并获得A点的横向位移和A点的总动能．然后，将方案一中的压电驱动器施加幅值为100 V，频率为143 Hz的正弦电压信号模拟其闭环反馈控制，方案一的建模如图2a所示；将相同的正弦电压信号添加到方案二中的压电驱动器中，其建模图形如图2b所示．仿真可以得到薄板开响应、一阶控制、二阶控制下薄板对应点位移和总动能．由于应变最大位置是一个区域，所以将两种方案的驱动器粘贴点根据预设方案往其4个方向偏移20 mm，使其都覆盖应变中心点．在COMSOL中对其4种偏移进行抑制效果对比，从而验证了方案一和方案二中的粘贴位置是最佳抑制位置．其抑制率变化如图3所示．在对压电驱动器施加电压的同时需要考虑其相位角对薄板振动的抑制效果，所以针对性地对某一个相位角区间进行分析，对两个方案取相位角区间[165,195]，测得其抑制率变化如图4所示．根据对两个方案中压电驱动器的位置和相位角的仿真可得，方案一中当压电驱动器相位角为175°时，其对薄板的抑制效果最好；方案二中当压电驱动器相位角为185°时，其对薄板的抑制效果最好．综上可得，两种方案的位移与能量变化图如图5所示．图5显示了薄板在一阶控制前后A点的位移与能量变化．可得ED1=43.32%和EK1=46.84%，即薄板在一阶振动时薄板A点处的位移与总能量抑制率为43．32%和 46．84%．二阶控制位移图如图6所示．由图6可知，薄板在二阶控制前后B点的位移与能量变化．可得ED2=37.49%和EK2=53.28%，即薄板在二阶振动时薄板B点处的位移与总能量抑制率为37．49%和 53．28%．则可得E1=(ED1+EK1)=45.08%,E2=(ED2+EK2)=45.385%．根据如上分析设计矩形板自由振动与强迫振动实验装置，矩形装置系统图如图7所示.矩形板实验装置图如图8所示．在许多工程领域中板的振动可以是微小的弹性振动，也可以是大幅度整体振动，所以实验的设计分为自由振动(大幅度振动)和强迫振动(微小振动)两个部分．(1)自由振动实验.将矩形板的中心点处给予一个5 cm的初始位移来模拟大幅度振动，然后在矩形板的背面黏贴一块压电传感器，通过在矩形薄板背面的PZT传感器测得不加控制的传感数据．设置电压为100 V，在方案一振动控制器上设置频率143 Hz的正弦电压，在方案二控制器上设置频率为221 Hz的正弦电压，通过控制可得一阶控制器运行时的传感电压和二阶控制器运行时的传感电压．两种抑振方案实验效果图如图9所示．方案一和方案二的稳点到达时间都比开环响应早到达，方案一稳定时间提前了52.2%和26.37%．通过实验数据的分析可知方案一和方案二对矩形板的自由振动有抑制效果，抑制效果体现在稳定电压到达时间提前．(2)强迫振动实验．在矩形板的右下角(50 mm,50 mm)处添加一个激励点，然后通过信号发生器以及功率放大器驱动激振台，设置驱动幅值为0.5 mm，设置激振频率为143 Hz的正弦激励．然后根据设计的一阶控制器与二阶控制器的设计方案在矩形板的正面黏贴压电驱动器，在驱动器上施加50 V的电压信号，在一阶控制器上设置频率为143 Hz的正弦电压信号，在二阶振动控制器上设置频率为221 Hz的正弦电压信号，两种方案的PZT传感器数据与开环PZT数据对比如图10所示.由图10可知，薄板在方案一控制下的抑制率为30.28%，在方案二控制下的抑制率为40.61%．根据基尔霍夫理论，对固支边界的矩形板在COMSOL中建模仿真分析，通过所设计的控制器对矩形板抑振．根据仿真分析可得：在合适的位置黏贴压电片并添加适当的电压和相位角后，压电陶瓷片能够抑制矩形板的振动，并且抑制效果是比较明显的．根据实验分析可得：压电陶瓷片在矩形板自由振动时会促使矩形板更快地到达稳定状态；在矩形板受强迫振动时，压电陶瓷片的反向振动作用后，会使矩形板振动幅度减弱．综合仿真与实验可知，基于压电陶瓷的控制器对矩形板振动具有抑制效果．【相关文献】[1] 钱伟长．弹性板壳的内禀理论[M]．上海：上海大学出版社，2012．[2] 靳国永，叶天贵，宿柱．结构振动：任意边界条件层合梁、板、壳结构的准确解法[M]．北京：科学出版社，2015．[3] J N Reddy．Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells:Theory and Analysis[M]．Boca Raton:CRC Press，2004．[4] M S Qatu．Vibrations of Laminated Shells and Plates[M]．Amsterdam:Elsevier，2004．[5] Marco Amabili．Nonlinear Vibrations of Viscoelastic RectangularPlates[D]．Canada:McGill University，2015．[6] 王海,周璇,夏小品,等．柔性关节机械臂的非线性控制策略研究[J]．机械科学与技术,2014,33(1)：22-26．[7] 王会利,李凯翔,陈春兰，等．飞机典型壁板机构主动振动控制试验研究[J]．机械科学与技术,2013,32(10)：1 532-1 537．[8] Z S HaLiu,D Wang．Measures of Modal Controllability and for First-and Second-order Observability In Vibration Control of Flexible Structures[J]．Journal of Guidance,Control and Dynamics,1994,17(6):1 377-1 380．[9] M R Kermani,M Moallem,R V Patel．Optimizing the Performance of Piezoelectric Actuators for Active Vibration Control[C]//International Conference on Robotics & Automation,Washington:IEEE,2002:2 375-2 380．[10] J H Han,I Lee．Optimal Placement of Piezoelectric Sensors and Actuators for Vibration Control of a Composite Plate Using Genetic Algorithms[J]．Smart Materials and Structure,1999,8(2):257-267．[11] D Halim,S O R Moheimani．An Optimization Approach to Optimal Placement of Collocated Piezoelectric Actuators and Sensors on a ThinPlate[J]．Mechatronics,2003,13(1):27-47．。
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2019年第40卷第1期中北大学学报(自然科学版)Vol.40No.l2019 (总第183期)JOURNAL OF NORTH UNIVERSITY OF CHINA(NATURAL SCIENCE EDITION)(Sum No.183)文章编号：1673-3193(2019)01P00VO7压电材料矩形板的热振动分析李林利，薛春霞(中北大学理学院，山西太原030051)摘要：为保证压电材料结构在高温环境中安全工作，以压电材料矩形板为研究对象，根据弹性力学有限变形基本理论推导出了其在外激励和恒定温度场共同作用下的振动方程和协调方程.利用Bubnov-Galerkin原理，并引入瑞利阻尼得到热振动的非线性动力学方程.进一步运用多尺度法求得矩形板主共振时的幅频响应方程和相频响应方程.用ANSYS软件进行模态、谐响应及瞬态动力学分析，讨论了温度对横向位移的影响，分析了速度、加速度和最大应力值的变化规律以及最大应力的出现位置，结果表明温度升高和长宽比减小都会使系统的固有振动频率减小，且前者使弯曲挠度增大，后者使弯曲挠度减小.关键词：压电材料；热振动；温度场；外激励中图分类号：TB123文献标识码：A doi：10.3969/j.issa1673-3193.2019.01.001Thermal Vibration Analysis of PiezoelectricMaterials Rectangular PlatesLI Lin-li,XUE Chun-xia(School of Science,North University of China,Taiyuan030051,China)Abstract:In order to ensure the safety of piezoelectric structure in high temperature environment,piezoelectric materials rectangular plate as the research object,the non-linear vibration equation and the coordination equation in a coupled environment of external excitation and temperature field were derived based on the basic theory of finite deformation of elastic mechanics・The non-linear dynamic equations of thermal vibration were obtained by introducing the Bubnov-Galerkin principle and Rayleigh damping・Further,the amplitude frequency response equation and the phase frequency response equation of rectangular plates were obtained by multi-scale method when the primary resonance occurred.The modal,harmonic response and transient dynamics response o£system were analyzed by using ANSYS software. The effect o£temperature on the transverse displacement response was analyzed.The variations of velocity and acceleration and the characteristics of maximum stress value,maximum stress position were also discussed・The results show that the natural vibration frequency of the rectangular plate decreases with the increase of temperature and the decrease of the length width ratio.The former makes the bending deflection increase but the latter makes it decrease・These conclusions are valuable to engineering practice.Key words：piezoelectric materials；thermal vibration；temperature field；external excitation收稿日期：2018-04-18基金项目：国家自然科学基金资助项目（11202190）作者简介：李林利（1991-）,女，硕士生，主要从事压电材料的非线性分析的研究.通信作者：薛春霞（1973-）,女，教授，主要从事磁电弹材料的非线性力学的研究.2中北大学学报(自然科学版)2019年第1期0引言压电材料的发展极为迅速，广泛应用于压电滤波器、微位移器、驱动器和传感器等电子器件中，在卫星广播、电子设备、生物以及航空航天等高新技术领域都有着重要的地位.而结构在热荷载下的动力响应问题是目前工程结构热分析的主要研究内容之一.结构热动力响应主要表现为热振动，持续的热振动又会引发结构的疲劳和破坏,是结构受热失效的主要形式.故分析压电材料在温度场下的动力响应具有很实际的工程意义.九十年代初期以来，Ba。
Y等⑴研究了电场、热场共同激励下的压电层合梁的静力学问题和压电驱动器通过控制电压施加的非线性静态挠度和固有频率的主动控制效果.田振国等团讨论了载流板的温度、应力、位移与外加电磁场、温度场以及机械载荷的关系.王书鹏⑷在传统弹性梁振动理论基础上，通过变换振动系统的位移表达，推导出了弹性支承梁在均布矩形脉冲和三角形脉冲两类冲击荷载下的耦合振动解析解.李世荣等⑷对压电层功能梯度梁在横向非均匀升温和均匀驱动电压作用下的几何非线性大变形以及大变形构型附近的自由振动进行了定量分析，分析了热荷载和材料梯度性质对变形和振动特性的影响.苏厚德等页研究了上下表面粘贴压电层的功能梯度材料梁在升温及电场作用下的振动以及过屈曲行为.王涛等旧用ANSYS有限元计算方法对压电智能结构机电耦合效应下的动力学性质进行了分析.Lee H J等⑷基于分层有限元理论研究了电、热共同作用下功能梯度压电双晶梁的位移和应力问题，并分析了电和热负荷对双芯片驱动器的挠度和应力的影响.叶文强等凶对压电振子受纵向冲击时的波动问题进行了研究.Kapuria S等凹对对称叠层简支钢梁在电热荷载作用下的屈曲问题进行了分析.薛春霞等匚诃利用Karman关于板的大挠度理论导出了在横向磁场和横向载荷共同作用下薄板的非线性运动方程.由于压电结构的材料特性具有广阔的应用前景，而人们对它的应用研究时间并不长，要充分实现其功能，有许多方面的问题需要研究和解决.鉴于高温环境对压电材料结构的振动行为有很大的影响，但目前很少有文献涉及压电材料矩形板的热振动分析，本文在现有文献的研究基础上，对于压电材料二维板结构，通过弹性力学基本理论、Bubnov-Galerkin原理、多尺度法等推导出了外激励和恒定温度场作用下的非线性振动方程和协调方程，求得压电材料矩形板主共振时的幅频响应方程和相频响应方程.用ANSYS软件进行算例分析，讨论了不同的恒定温度场对矩形板的振动频率和振幅的影响，并分析了振动系统最大应力变化规律.1压电材料矩形板的基本方程以压电材料矩形薄板为研究对象.以薄板的中面为zoy面，它的法线为z轴，如图1所示.假设板长为a,宽为b,高为h,薄板上侧受外激励为图1压电材料矩形板结构Fig.1Rectangular plate structure of piezoelectric material对于横观各向同性压电材料的矩形薄板，在考虑温度效应时的压电方程⑴］为Ox=cnEx+c12e y—e3iE3—t3iT,=c12eI+czzty—e3iE3—t31T,■5=,(1)D e=e31e x+e31e y+e3E3+m3T,.S=bi&+為15+m3E3+«0T,式中：t“=Ea/(l—u)为热-机械耦合常数，E和"分别为杨氏模量和泊松比，a为线性膨胀系数; C11,“2,C21,C22,C66为压电材料的刚度；¢31为压电系数；e3为介电系数；m3为热-压电耦合常数；E3为电场；T为温度增量；4,⑪和j分别为工方向和，方向的正应力和切应力；D e为电位移；S 为爛；a0=C/T0,C为比热，T。
为初始温度.由Von Karman板大挠度理论口幻，位移与应变的关系为(总第183期)压电材料矩形板的热振动分析(李林利等)3薄膜内力N_r=+C12£y)—幺31N e—S'N t9<Ny=A(ci2e x+C225)—S i N e—S i N t,(3) he6§Yxy,Cll^11—▽仞?勺2N t=Cn十62左ay*(8)式中：N t=\Tdz为热轴力；N e=Esdz为P22非线性热振动方程近似解电轴九弯曲内力h3(d2w I”工=_辽(皿時+加h3(d2W I=_辽(皿狂+他__里d^v_百°"dxSy'—e3i M e_bi Mr,M yM弓—Si M e—biMp,(4)r A\^Tzdz为热弯矩，M e=为电弯矩.板的运动方程'警+挚_Q=0,警+欝_Q=0, dx dy ox dy"毋+黔+M謬+Ny薛+2Np鵲一式中：M t=zdz(5)式中:Qx，Qy分别为垂直于工轴及垂直于》轴的截面上单位宽度的横向剪力.由于C］】=C22，注意到C11=62+2C66,将Mr9My,Mxy,N x,Ny ,Nxy代入平衡方程，得到压电材料矩形板的横向热振动方程如下DV4w=AL(0,s)—e3i V2M e—i3i V2M T—,32uj1m乔+g，才山r o X- 32<l，d2w9324>d2w,d2i>式中:W)—誌左—2猛两+亦薛，于=加薛,D=噜为弯曲刚度.引入应力函数，有(6)N h=_Si N e—^3i N t ,Ny=—^3i N e—^3i N t,N「-㈱•应变协调方程变型为对于四周简支的压电材料矩形板，可将横向位移s设为豹，⑼式中：XQ)为板中心的无量纲挠度的最大值.由方程(6),(8)和(9),利用Bubnov-Galerkin 原理，并引入瑞利阻尼得到动力学方程为X(z)+2XXQ+bX(t)+^3X3(z)=fcoscut,(10)=X(Z)•sinXTasin式中:呵㈢(C11△+^31△】+^31)12^o A怂=雲沪［仔)4+(刊］,Z=a m+akh i,a m yak为阻尼系数.进行无量纲化，令16C11Q416g一"t=ct)o t,coo=Jb\,=(Uo_X=门J dr'/dr2'则系统的无量纲方程变为/(r)+M(r)+/(r)+63/3(r)=kcosujt9式中:d=Z,K=16,pa)Qh27t2'“气盘汽引+(机满足初始条件/(0)=a09/(0)=0.用多尺度法求解无量纲方程f f=—e8f—血/3+&CCOSQ/T,(ID(12)(13)便得到主共振时的幅频响应方程和相频响应方程分别为A2+(20—警&(14)4中北大学学报(自然科学版)2019年第1期B=arctan—---------.警於一03算例分析3.1模态分析(15)钛酸钗材料的参数值如表1所示.表1钛酸钗材料参数Tab.1Barium titanate material parameters参数参数值参数参数值(o/(kg・mT)5700«33/(C•m-2)17.5 cn/(N•m-2) 1.5e11eu1115ci2/(N•m-2)0.66e11£221115C22/(N•m-2) 1.5e11£331260C66/(N•m-2)0.42e11a/9 1.OeT e3i/(C•m-2)-4.35祝3/(C•cm-2°C-1) 2.0e-8«15/(C•m-2)11.440.27进行模态分析时，结构的模态参数由下式求解(［D］—o7［m］){K}=0,(16)式中：［D］为刚度矩阵；［M］为质量矩阵；{K}为模态矩阵.由于质量矩阵一般不受温度的影响，由式(16)看出，温度引起结构模态频率和振型的变化主要是结构的刚度变化导致的.温度升高会引起钛酸顿陶瓷的杨氏模量和介电常数发生变化丽.本文使用ANSYS14.0对压电材料矩形板进行有限元建模与仿真，通过模态分析得出矩形板的固有频率及振型.模型采用SOLID5单元进行分析.矩形板长为300mm,板厚为10mm,分别置于70,90,110°C的恒定温度场下，当宽b分别为200,230,250,300mm时，由ANSYS仿真得到前三阶固有频率，其对应结果如表2.表2前三阶固有频率和挠度Tab.2Natural frequency and deflection of the first three orders温度/97090110宽/mm阶/n频率/Hz挠度/mm频率/Hz挠度/mm频率/Hz挠度/mm 11495.6 1.317491396.3 1.319411360.8 1.32259 20022315.5 1.253382153.7 1.254912039.2 1.25780 33670.3 1.210283435.3 1.21273323&5 1.2410011217.4 1.232851135.5 1.234361099.3 1.23745 23022079.1 1.166191935.3 1.167531826.0 1.17133 32844.4 1.141452659.7 1.14339261&4 1.1473411089.4 1.18425101&8 1.18567945.7 1.18868 25021973.0 1.116461843.4 1.117871077.6 1.12200 32454.4 1.099032300.6 1.100842144.1 1.104501884.8 1.08290824.7 1.0841878&3 1.08718 30021806.4 1.014221685.3 1.015751586.4 1.01988 31806.2 1.014371685.3 1.015901642.5 1.01813从表2可以得出结论：随着宽度的逐渐增大,长宽比减小，恒定温度场中四边简支的压电材料矩形板的挠度和固有热振动频率都减小.随着温度升高，恒定温度场中矩形板的固有热振动频率减小，挠度增大.文献［16］中温度对普通弹性板固有频率和振幅的影响，文献［17］中宽度变化对压电层合板的固有频率的影响，均与本文结论一致，故本文的方法和结论具有可靠性.3.2谐响应分析在模态分析的基础上，对在70°C的恒定温度场下，长a=300mm,宽为6=300mm,板厚/1= 10mm的压电材料矩形板采用Full方法进行AN-SYS谐响应仿真分析.取材料阻尼比为0.01,在压电材料矩形板的上表面施加2MPa频率为850Hz的余弦简谐力作为激励载荷，在700〜1200Hz的频率范围内取50个子载荷步，采用Sparse solver求解器进行求解，得到在恒定温度场下压电材料矩形板最大应力节点处z方向的幅频曲线以及外激励对应力幅值的影响.外激励频率对板横向振动的影响如图2所示.由图2可知，当外激励频率远小于885Hz时，矩形板横向位移较小，横向位移激振力频率在相位上提前180°；当外激励频率等于基频时，矩形板的横向位移急剧增大，且比激振力频率在相位提前90°,即将达到共振状态；随着外激励频率继续增大，离开共振区的矩形板的横向位移幅值迅速减小，此时横向位移与激励力在相位上几乎相同.(总第183期)压电材料矩形板的热振动分析(李林利等)58 60101o o 4 2108 60101010 @ 0 o o0000)4o a 0.002700 750 800 850 900 950 1 0001 050 1 100外激励频率/Hzo o o o o o o o8642086411 11 11 11 1i 20750 800 850 900 950 1 0001 050 1 100外激励频率/Hz(b)相频响应(a)幅频响应图2外激励频率对板横向振动的影响Influence of external excitation frequency on transverse vibration of plateFig. 2图3所示为外激励频率对板z 方向应力的影响.由图3可知，当外激励频率远小于885 Hz 时，矩形板横向应力较小，横向应力与激励力在相位上几乎相同；当外激励频率等于基频时，矩形板的横向应力振幅急剧增大，且比激振力频率5 0 5 053.Z 2 L Lo.edw、赳蹙-R ^l700 750 800 850 900 950 1 0001 050 1 100外激励频率/Hz在相位提前85°,即将达到共振状态；随着外激励 频率继续增大，离开共振区的矩形板的横向应力 幅值迅速减小，此时横向应力与激励力在相位上几乎相同.750 800 850 900 950 1 0001 050 1 100外激励频率/Hz(a)幅频响应(b)相频响应图3外激励频率对板Z 方向应力的影响Fig. 3 Influence of external excitation 由图2(a)和图3(a)可看出横向振动位移和z 方向应力幅值变化趋势一致，即横向位移越大，内部的应力幅值也越大.当达到共振时，横向位移和应力响应的幅值急剧增大，但并未无限放大，是因为阻尼对响应峰值具有抑制作用.故阻尼的设置能较好地抑制结构的振动响应.3.3温度对横向位移的影响分析frequency on the stress of z direction为了分析温度对横向位移的影响，通过an -SYS 软件对压电材料矩形板进行瞬态响应分析,-°'6o200064.20.24l.L o.o.o.o.-O.70.1 0.20.3 0.4 0.5t/s运用完全法，取阻尼比为0. 01,在矩形板上表面施加2 MPa 频率为300 Hz 的余弦简谐力，得到不 同恒定温度场下四边简支的压电材料矩形板最大应力节点1 981的横向位移时程曲线，如图4 所示.图4温度对矩形板横向位移的影响Fig. 4 Effect of temperature on transverse displacementof rectangular plate由图4可知，在不同恒定温度场的简谐激振力作用下，节点1 981的运动较为混乱，振动情况6中北大学学报(自然科学版)2019年第1期也比较复杂.图4表示外激励的频率远小于共振 频率时横向振动的位移变化，可以看出，随着时间的增加，振动情况都将趋于稳定.而总体上节 点是围绕平衡位置进行周期振动的，温度越高,其横向位移越大，这主要是因为简谐激振力一定的情况下，温度升高这会降低结构的刚度，抵抗荷载作用下的变形能力减弱；且随着时间的增加,其振幅在阻尼的影响下有明显的衰减特征.3.4薄板最大应力节点的应力响应分析在以上分析的基础上，对薄板上表面施加2 MPa 频率为300 Hz 的余弦简谐力作为激励载 荷的情况进行具体分析，得到矩形板最大应力节点处横向速度，横向加速度以及最大应力在0. 3 s 内的时程曲线，如图5(a)〜(c)所示.32 112o.@ a o O - -7S • E )、s ■瑕¢挺0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9t/s)()2-200。