2010海淀期末抽测数学试卷答案
北京市海淀区2010-2011高三数学文科期末考试答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且ACBD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；....................................10分当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ，代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
海淀区2010-2011学年度第一学期初一期末数学试题及答案(整理)
海淀区七年级第一学期期末练习数学学校班级姓名成绩一、选择题：（本题共36分，每题3分）在下列各题地四个备选答案中，有且只有一个是正确地. 请将正确选项前地字母填在表格中相应地位置.1．-9地相反数是（A）（B）（C）-9 （D）92．下列各式正确地是（A）（B）（C）（D）3．2010年11月举办国际花卉博览会，其间展出约株新鲜花卉、珍贵盆景、罕见植株，这个数用科学记数法表示，结果正确地是(A)(B)(C)(D)4. 把弯曲地河道改直，能够缩短航程，这样做地道理是(A) 两点之间，射线最短（B）两点确定一条直线（C）两点之间，线段最短（D）两点之间，直线最短5．若是关于地方程地解，则地值为（A）（B）（C）（D）6．右图是由几个相同地小正方体搭成地一个几何体，从左边看得到地平面图形是（A）（B）（C）（D）7．下列运算正确地是（A）（B）（C）（D）8．如图，下列说法中地是（A）直线经过点（B）射线与直线有公共点（C）点在直线上（D）直线与线段相交于点9．若与互为余角，是地2倍，则为（A）20°（B）30°（C）40°（D）60°10．在寻找北极星地探究活动中,天文小组地李佳同学使用了如图所示地半圆仪，则下列四个角中，最可能和∠互补地角为（A）（B）（C）（D）11．如图，数轴上地点A所表示地数为，化简地结果为（A）1 （B）（C）（D）12．已知、为两个不相等地有理数，根据流程图中地程序，当输出数值为48时，所输入地、中较大地数为A．48B．24 C．16D．8二、填空题：（本题共27分，每空3分）13．多项式地一次项系数是.14．有理数5.614精确到百分位地近似数为.15．计算：°´.16. 若有理数、满足，则地值为.17. 如图，将一副三角板地直角顶点重合,可得,理由是等角（或同角）地；若=，则=º. 18．若使用竖式做有理数加法运算地过程如图所示，则代数式地值为..19．如图，在每个“〇”中填入一个整数，使得其中任意四个相邻“〇”中所填整数之和都相等，可得地值为.20．左图是一个没有完全剪开地正方体，若再剪开一条棱，则得到地平面展开图可能是下列六种图中地．（填写字母）三、解答题（本题共18分，第21题8分，每小题各4分，第22题5分, 第23题5分）21．计算：（1）；（2）+.解：解：22．解方程：.解：23．先化简，再求值：，其中，.解：四、解答题：（本题共5分）24.列方程解应用题：在“读书月”活动中，学校把一些图书分给某班学生阅读，若每个人分3本，则剩余20本；若每个人分4本，则还缺少25本.这个班有多少名学生？解：五、解答题：（本题共8分，第25题4分、第26题4分）25. 魔术师为大家表演魔术. 他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师立刻说出观众想地那个数.（1）如果小明想地数是，那么他告诉魔术师地结果应该是；（2）如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想地那个数是；（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想地那个数，请你说出其中地奥妙.解：26．阅读：在用尺规作线段等于线段时，小明地具体做法如下：已知：如图，线段.求作：线段,使得线段.作法: ①作射线；②在射线上截取.∴线段为所求.解决下列问题：已知：如图，线段.（1）请你仿照小明地作法，在上图中地射线上作线段，使得；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）（2）在（1）地条件下，取地中点.若,求线段地长.（要求：第（2）问重新画图解答）解：六、解答题：（本题共6分）27．小知识：如图，我们称两臂长度相等（即）地圆规为等臂圆规. 当等臂圆规地两脚摆放在一条直线上时，若张角，则底角.请运用上述知识解决问题：如图，个相同规格地等臂圆规地两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：，，，，…（1）①由题意可得=º；②若平分，则=º；（2）=º（用含地代数式表示）；（3）当时，设地度数为，地角平分线与构成地角地度数为，那么与之间地等量关系是，请说明理由. （提示：可以借助下面地局部示意图）解：海淀区七年级第一学期期末练习数学答案2011.1一、选择题：（本题共36分，每题3分）二、填空题：（本题共27分，每空3分）13．；14．5.61；15．（全对才得分，写成不得分）； 16.；17.余角相等，130；18．20；19．8；20．A、B、E（注：若有错误地选项，不得分；若没有错误地选项，对一个，给1分）；三、解答题：（本题共18分，第21题8分，每小题各4分，第22题5分，第23题5分）21．（1）.解法一：原式---------------------3分． ----------------------4分解法二：原式 ----------------------3分． ----------------------4分（2）.解：原式＝ ----------------------3分＝＝1. ----------------------- 4分22．解方程：.解：方程两边同时乘以6，得. ----------------------2分. ----------------------3分.. ----------------------4分. ----------------------5分23．先化简，再求值：，其中，.解：原式----------------------2分. ----------------------3分当，时，原式 ---------------------- 4分. ----------------------5分（直接代入求值地，若答案正确给2分，否则不给分）四、解答题：（本题共5分）24. 解：设这个班有名学生. ----------------------1分. ----------------------3分.. ----------------------4分答：这个班有名学生. ----------------------5分(注：没有列方程解应用题，但是有解题步骤，并且答案正确地，给2分)五、解答题：（本题共8分，第25题4分，第26题4分）25.解：（1）4；----------------------1分（2）88；----------------------2分（3）设观众想地数为. ----------------------3分.因此，魔术师只要将最终结果减去5，就能得到观众想地数了.----------------------4分（注：第（3）问没有列代数式或方程解决，但是分析较为合理地，给1分)26．解：（1） (点和点各1分)--------------2分（2）∵为线段地中点，∴.如图1，点在线段地延长线上.∵,图1∴.∴.∴ . ----------------------3分如图2，点在线段上.∵,图2 ∴.∴.∴ .综上所述，地长为1或.----------------------4分（注：第（2）问没有过程但是两个结论都正确地，给1分)六、解答题：（本题共6分）27．解：（1）①10；----------------------1分②35；----------------------2分（2）；----------------------4分（注：写成地不扣分，丢掉括号地不扣分）（3）；----------------------5分理由：不妨设.根据题意可知，.在△中，由小知识可知.∴==.在△中，由小知识可知.∵平分，∴ ==.∵，∴=.∴=.∴=.∴.----------------------6分(对于本卷中学生地不同解法，请老师根据评分标准酌情给分)。
北京市海淀区2010-2011学年九年级数学第一学期期末试卷
海淀区九年级数学第一学期期末练习2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2(-=（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．92．已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 3．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．164．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO =30º， 则∠ACB 的大小为 （ ）A ．60ºB ．30ºC ．45ºD ．50º 5．下列一元二次方程中没有．．实数根的是（ ）A ．2240x x +-=B ．2440x x -+=C ．2250x x --=D ．2340x x ++=6．如图，有一枚圆形硬币，如果要在这枚硬币的周围摆放几枚与它 完全相同的硬币，使得周围的硬币都和这枚硬币相外切，且相邻 的硬币相外切，则这枚硬币周围最多可摆放（ ） A ．4枚硬币 B ．5枚硬币 C ．6枚硬币D ．8枚硬币7．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°8．如图，E ，B ，A ，F 四点共线，点D 是正三角形ABC 的边AC 的中点，点P 是直线AB 上异于A ，B 的一个动点，且满足30C PD ∠=︒， 则 （ ） A ．点P 一定在射线BE 上 B ．点P 一定在线段AB 上C ．点P 可以在射线AF 上 ，也可以在线段AB 上D ．点P 可以在射线BE 上 ，也可以在线段二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B .若PA ＝6，则PB ＝ ． 10x 的取值范围是 .11．如图，圆形转盘中，A ，B ，C 三个扇形区域的圆心角分别为150°，120°和90°. 转动圆盘后，指针停止在任何位置 的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘）， 则转动圆盘一次，指针停在B 区域的概率是 .12．（1） 如图一，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上.△MNP 沿线段AB 按A B →的方向滚动， 直至△MNP 中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过的路程为 ；（2）如图二，正方形MNPQ 的边长为1，正方形ABCD 的边长为2，点M 与点A 重合，点N 在线段AB 上， 点P 在正方形内部，正方形MNPQ 沿正方形ABCD 的边按A B C D A →→→→→的方向滚动，始终保持M ,N ,P ,Q 四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ 回到初始位置为止，则点P 经过的最短路程为 .()A M NPB 图二图一图三(A D Q（注：以△MNP 为例，△MNP 沿线段AB 按A B →的方向滚动指的是先以顶点N 为中心顺时针旋转，当顶点P 落在线段AB 上时， 再以顶点P 为中心顺时针旋转，如此继续. 多边形沿直线滚动与此类似.）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：)+⨯解：14．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由.15．解方程：24120x x +-=．16．如图，在ABC △中，AB 是O 的直径，O 与AC 交于点D ，60,75AB B C =∠=︒∠=︒，求B O D ∠的度数；17．如图，正方形ABC D 中,点F 在边BC 上，E 在边BA 的延长线上. （1）若D C F △按顺时针方向旋转后恰好与DAE △重合.则旋转中心是点 ；最少旋转了 度；（2）在（1）的条件下，若3,2AE BF ==,求四边形BFD E 的面积.18．列方程解应用题：随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2009年为10万只，预计2011年将达到14.4万只．求该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率.ADC BODCFBEA四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在△ABC 中，120,C ∠=︒,4A C B C A B ==，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC分别相切于点D ，E . （1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积.20．如图，O 为正方形ABC D 对角线AC 上一点，以O 为圆心，O A 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M .（1）求证：C D 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为1，求正方形ABC D 的边长.21．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1,2,3，先任取一张，将其编号记为m ，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n .（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况； （2）求关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根的概率.22．如图一，AB 是O 的直径，AC 是弦，直线EF 和O 相切与点C ，AD EF ⊥，垂足为D .（1）求证C AD BAC ∠=∠；（2）如图二，若把直线EF 向上移动，使得EF 与O 相交于G ，C 两点（点C 在点G 的右侧），连结AC ，AG ，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与C A D ∠相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由.图一图二五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B.（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B 处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点(2,0)，此时PQ恰好是O的切线，连接OQ. 求QOP∠的大小；解：（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点(2,0)处不动，求点Q 再经过5秒后直线PQ被O截得的弦长.解：24．已知关于x的方程221(1)04x a-++=有实根.（1）求a的值;（2）若关于x的方程2(1)0mx m x a+--=的所有根均为整数，求整数m的值.25．如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆1O和半圆2O，其中1O和2O分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E图一图二(备用图)（1）连结1122,,,,,O F O D DF O F O E EF ，证明：12DO F FO E △≌△；（2）如图二，过点A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P和点Q ，连结PQ ，若∠ACB =90°,DB =5，CE =3，求线段PQ 的长;（3）如图三，过点A 作半圆2O 的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线FA 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连结PA . 证明：PA 是半圆1O 的切线.7．海淀区九年级数学第一学期期末练习图二Q图三参考答案及评分标准 2011.1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=⨯…………………………….…………………………….2分=…………………………….…………………………….4分=6 …………………………….…………………………….5分 14．（1）解： 48, …………………………….…………………………….1分0.81…………………………….…………………………….2分（2）解：()90P =射中环以上…………………………….…………………………….4分从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8. …………………………….…………………………….5分 注：简述的理由合理均可给分 15．解法一：因式分解，得()()620x x +-= …………………………….…………………………….2分于是得 60x +=或20x -=126,2x x =-=…………………………….…………………………….5分 解法二：1,4,12a b c ===-2464b ac ∆=-=…………………………….…………………………….2分4822x a-±==…………………………….…………………………….4分126,2x x =-=…………………………….…………………………….5分16．解：在ABC △中，60,75B C ∠=︒∠=︒ ,45A ∴∠=︒.…………………………….…………………………….2分A B 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D, ∴290D O B A ∠=∠=︒.…………………………….…………………………….5分 17．解：（1）D ；90︒.…………………………….…………………………….2分（2）D C F D E A △旋转后恰好与△重合， D C F D AE ∴△≌△.3,2AE CF BF ∴===又. 5BC BF C F ∴=+=.AED BFDE ABFD S S S ∴=+△四边形四边形DCF ABFD S S ∆=+四边形ABCD S =正方形2BC =25=5分18．解：设该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为x . ……………….1分依据题意，列出方程()210114.4x += (2)分化简整理，得： ()21 1.44x +=,解这个方程，得 1 1.2x +=±, ∴ 120.2, 2.2x x ==-.∵ 该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数. ∴ 2.2x =-舍去.∴ 0.2x =.…………………….…………………………….4分答：该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%. …………….5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）解：连结OD ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E . ∴D C O EC O ∠=∠,且O D AC ⊥. ∵AC BC =，∴C O AB ⊥且O 是AB 的中点. ∴122AO AB ==.∵120C ∠=︒,∴60D C O ∠=︒. ∴30A ∠=︒.∴在R t AO D △中，112OD AO ==.即半圆的半径为1.…………………………….…………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AO C △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得： 222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得3x =3x =-舍去）∴1142233ABC S AB O C =⋅=⨯⨯=△……….…………………………….4分 ∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为2π,∴326S π=-=阴影 …………………………….…………………………….5分20．（1）解：过O作O N C D⊥于N ，连结OM ，则O M B C ⊥.∵ AC 是正方形ABC D 的对角线， ∴ AC 是B C D ∠的平分线. ∴ OM =ON.即圆心O 到CD 的距离等于⊙O 半径， ∴ C D 与⊙O 相切.…………………………….…………………………….3分 （2）由（1）易知M O C △为等腰直角三角形，OM 为半径， ∴ OM =MC =1.∴ 222112OC OM MC =+=+=, ∴OC =.∴1AC AO OC =+=+ 在R t A B C △中，AB =BC ,有 222AC AB BC =+ ∴ 222AB AC = ∴A B =…………………………….…………………………….5分 故正方形ABC D221．（1）解：依题意画出树状图（或列表）如下或…………………………….…………………………….2分注：画出一种情况就可给2分（2）解：当240m n ->时，关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根，而使得240m n ->的m ，n 有2组，即(3，1)和(3，2). ………….…………………………….4分则关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根的概率是13.∴P （有两个不等实根）=13.…………………….5分22．（1）证明：如图一，连结OC ，则O C EF ⊥，且OC=OA , 易得O C A O AC ∠=∠. ∵ AD EF ⊥，∴OC//AD.123123312mn∴O C A ∠=C A D ∠,∴C AD ∠=O A C ∠. 即 C AD BAC ∠=∠.…………………………….…………………………….2分 （2）解：与C A D ∠相等的角是BAG ∠.…………………………….…………………………….3分证明如下： 如图二，连结BG .∵ 四边形ACGB 是O 的内接四边形， ∴ 180ABG AC G ∠+∠=︒. ∵ D ，C ，G 共线， ∴ 180AC D AC G ∠+∠=︒. ∴ AC D ABG ∠=∠. ∵ AB 是O 的直径, ∴ 90BAG ABG ∠+∠=︒ ∵ AD EF ⊥∴ 90C AD AC D ∠+∠=︒ ∴ C AD BAG ∠=∠.…………………………….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题823．（1）解：如图一，连结AQ ． 由题意可知：OQ =OA =1. ∵OP =2,∴A 为OP 的中点.∵PQ 与O 相切于点Q ,∴OQP △为直角三角形. …………1分 ∴112AQ O P O Q O A ==== . (2)分即ΔOAQ 为等边三角形.∴∠QOP =60°． …………3分（2）解：由（1）可知点Q 运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q 点落在O 与y 轴负半轴的交点处（如图二）.设直线PQ 与O的另外一个交点为D ，过O 作OC ⊥QD 于点C ，则C 为QD 的中点.…………4分∵∠QOP =90°，OQ =1，OP =2,图一图二∴QP=…………5分 ∵1122OQ OP QP OC⋅=⋅,∴OC=…………6分∵OC ⊥QD ，OQ =1，OC,∴QC=5∴QD=5． …………7分24．（1）解：∵关于x的方程为221(1)04x a -++=为一元二次方程，且有实根.故满足：220,1(4(1)0.4a a ≥⎧⎪⎨∆=--⨯⨯+≥⎪⎩ ……….…………………………….2分（注：每个条件1分） 整理得 20,(1)0.a a ≥⎧⎨-≤⎩∴1a =……….…………………………….4分（2）由（1）可知1a =,故方程2(1)0mx m x a +--=可化为2(1)10mx m x +--=.①当m =0时，原方程为10x -=，根为1x =，符合题意. ………………………….5分 ②当m ≠0时，2(1)10mx m x +--=为关于x 的一元二次方程，2222(1)4(1)12421(1)0m m m m m m m m ∆=--⨯⨯-=-++=++=+≥.此时，方程的两根为 1211,x x m==-.∵两根均为整数, ∴m =1±.………………………….7分 综上所述，m 的值为1-，0 或1.25．（1）证明：如图一，∵1O ，2O ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，∴1O F ∥AC 且1O F =A 2O ，2O F ∥AB 且2O F =A 1O ， ∴∠B 1O F=∠BAC ，∠C 2O F=∠BAC , ∴∠B 1O F=∠C 2O F∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点， ∴1O F =A 2O =2O E ，2O F =A 1O =1O D ，………………………….2分∠B 1O D =90°，∠C 2O E =90°， ∴∠B 1O D=∠C 2O E . ∴∠D 1O F=∠F 2O E .∴12DO F FO E △≌△.………………………….3分（2）解：如图二，延长CA 至G ，使AG =AQ ,连接BG 、AE .∵点E 是半圆2O 圆弧的中点， ∴AE=CE=3 ∵AC 为直径 ∴∠AEC =90°，∴∠ACE =∠EAC =45°，AC=，∵AQ 是半圆2O 的切线，∴CA ⊥AQ ，∴∠CAQ =90°，∴∠ACE =∠AQE =45°，∠GAQ =90° ∴AQ =AC =AG=同理：∠BAP =90°，AB =AP=∴CG=GAB =∠QAP ∴AQP AGB △≌△.……………………..5分 ∴PQ =BG图一图二∵∠ACB =90°， ∴BC =∴BG = ∴PQ=.……………………..6分（3） 证法一：如图三，设直线FA 与PQ 的垂足为M ，过C 作CS ⊥MF 于S ，过B 作BR ⊥MF 于R ，连接DR 、AD 、DM.∵F 是BC 边的中点，∴ABF ACF S S =△△. ∴BR=CS ，由（2）已证∠CAQ =90°, AC =AQ, ∴∠2+∠3=90°∵FM ⊥PQ , ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3, 同理：∠2=∠4,∴AMQ CSA △≌△，∴AM=CS ， ∴AM=BR ，同（2）可证AD=BD ，∠ADB =∠ADP =90°,∴∠ADB =∠ARB =90°, ∠ADP =∠AMP =90°∴A 、D 、B 、R 四点在以AB 为直径的圆上，A 、D 、P 、M 四点在以AP 为直径的圆上， 且∠DBR+∠DAR =180°,∴∠5=∠8, ∠6=∠7, ∵∠DAM +∠DAR =180°, ∴∠DBR =∠DAM∴DBR DAM △≌△， ∴∠5=∠9, ∴∠RDM =90°， ∴∠5+∠7=90°， ∴∠6+∠8=90°， ∴∠PAB =90°，∴PA ⊥AB ,又AB 是半圆1O 直径， ∴PA 是半圆1O 的切线.……………………..8分证法二：假设PA 不是是半圆1O 的切线，如图四，过点A 作半圆1O 的切线交BD 的延长线于点P '， 则点P '异于点P ，连结P Q '，设直线FA 与PQ 的R图三PP垂足为M ，直线FA 与P Q '的交点为M '.延长AF 至N ，使得AF =FN ，连结BN ，CN ，由于点F 是BC 中点，所以四边形ABNC 是平行四边形.易知，180B A C A C N ∠+∠=︒， ∵AQ 是半圆2O 的切线,∴∠QAC =90°，同理90P A B '∠=︒. ∴180P AQ BAC '∠+∠=︒. ∴P AQ ACN '∠=∠.由（2）可知，,AQ AC AB AP '==,∴P AQ NCA '△≌△. ∴NAC P QA '∠=∠. ∵90QAC ∠=︒,∴90NAC M AQ '∠+∠=︒.即 90AQM M AQ ''∠+∠=︒.∴90AM Q '∠=︒. 即 P Q AF '⊥.∵ PQ AF ⊥,∴ 过点Q 有两条不同的直线P Q '和PQ 同时与AF 垂直.这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.所以PA 是是半圆1O 的切线.。
2009-2010学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
2009-2010 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8 小题，每小题4 分，满分32 分）1．（4 分）下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．（4 分）将抛物线y＝x2 平移得到抛物线y＝x2+5，正确的叙述是（）A．向上平移5 个单位B．向左平移5 个单位C．向下平移5 个单位D．向右平移5 个单位3．（4 分）如图，在△ABC 中，D、E 两点分别在AB、AC 边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC 为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：24．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3 的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）5．（4 分）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD＝28°，则∠BAD 的度数为（）A．28°B．56°C．62°D．72°6．（4 分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．7．（4分）如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为（）A． B． C． D．8．（4 分）一种胸花图案的制作过程如图1﹣图3，图1 中每个圆的半径均为1．将图1 绕点O 逆时针旋转60°得到图2，再将图2 绕点O 逆时针旋转30°得到图3，则图3 中实线的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）9．（4 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是．10．（4 分）若二次函数y＝2x2﹣3 的图象上有两个点A（1，m）、B（2，n），则m n（填“＜”或“＝”或“＞”）．11．（4 分）如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．12．（4 分）图1 中的“箭头”是以AC 所在直线为对称轴的轴对称图形，∠BAD＝90°，AB＝2．图2 到图4 是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1 中BC 的长为．三、解答题（共13 小题，满分72 分）13．（5 分）计算：．14．（5 分）解方程：x2+x﹣1＝0．15．（5 分）化简：．16．（5 分）如图，在△ABC 中，D、E 两点分别在AC、AB 两边上，∠ABC＝∠ADE，AB ＝7，AD＝3，AE＝2.7，求AC 的长．17．（5 分）已知：k 是方程3x2﹣2x﹣1＝0 的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7 的值．18．（5 分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x，y 满足下表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）m 的值为；（2）求这个二次函数的解析式．19．（5 分）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1 所示放置在同一平面内．从图1 中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E 三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ABE≌△ACD．20．（5 分）圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物．拱门的地面宽度为200 米，两侧距地面高150 米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100 米，求拱门的最大高度．21．（5 分）已知：在△ABC 中，∠B 为锐角，，AB＝15，AC＝13，求BC 的长．22．（5 分）如图，已知△ABC，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D，DE⊥AC 于E．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若，DE＝6，求⊙O 的直径．23．（7 分）如图1，已知四边形ABCD，点P 为平面内一动点．如果∠PAD＝∠PBC，那么我们称点P 为四边形ABCD 关于A、B 的等角点．如图2，以点B 为坐标原点，BC所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，点C 的横坐标为6．（1）若A、D 两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD 关于A、B 的等角点P 在DC 边上时，则点P 的坐标为；（2）若A、D 两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD 关于A、B 的等角点P 在DC 边上时，求点P 的坐标；（3）若A、D 两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD 关于A、B 的等角点，其中x＞2，y＞0，求y 与x 之间的关系式．24．（8 分）当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A.B.C.（1）正确的选项是；（2）如图1，△ABC 中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2 方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC．25．（7 分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（8，0），与y 轴交于点C（0，﹣4）．直线y＝x+m 与抛物线交于点D、E（D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当m＝2 时，求∠DCF 的大小；（3）若在直线y＝x+m 下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF＝45°，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为．（第（3）问不要求写解答过程）2009-2010 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8 小题，每小题4 分，满分32 分）1．（4 分）下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，对称轴是长方形一组长边的垂直平分线．正确；B、不是轴对称图形．错误；C、不是轴对称图形．错误；D、不是轴对称图形．错误．故选：A．【点评】掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（4 分）将抛物线y＝x2 平移得到抛物线y＝x2+5，正确的叙述是（）A．向上平移5 个单位B．向左平移5 个单位C．向下平移5 个单位D．向右平移5 个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（0，5），∴是抛物线y＝x2 向上平移5 个单位得到，故选：A．【点评】上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，而纵坐标发生了改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小．3．（4 分）如图，在△ABC 中，D、E 两点分别在AB、AC 边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC 为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3∴S△ADE：S△ABC＝4：9故选：A．【点评】熟练掌握三角形的性质．4．（4 分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3 的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】直接根据顶点式的特殊形式求顶点坐标．【解答】解：因为y＝（x﹣2）2﹣3 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（2，﹣3）．故选：D．【点评】主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．5．（4 分）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD＝28°，则∠BAD 的度数为（）A．28°B．56°C．62°D．72°【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B 的度数，即可求得∠BAD 的度数．【解答】解：连接BD∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB＝90°∵∠B＝∠ACD＝28°∴∠BAD＝90°﹣∠B＝62°．故选：C．【点评】考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．6．（4 分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x 的正半轴上，∴﹣＞0．故选：D．【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7．（4分）如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为（）A．B．C．D．【分析】过C 点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′＝∠B，把求tan B ′的问题，转化为在Rt△BCD 中求tan B．【解答】解：过C 点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．在Rt△BCD 中，tan B＝＝，∴tan B′＝tan B＝．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．8．（4 分）一种胸花图案的制作过程如图1﹣图3，图1 中每个圆的半径均为1．将图1 绕点O 逆时针旋转60°得到图2，再将图2 绕点O 逆时针旋转30°得到图3，则图3 中实线的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】利用正多边形的性质求出∠AOB 即可解决问题．【解答】解：根据题意，∠AOB 可以看成正十二边形的中心角＝＝30°，∴∠AO′B＝60°，∴实线的长为12×＝4π，故选：D ．【点评】本题考查弧长公式、正多边形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）9．（4 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是 x≠2 ．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．10．（4 分）若二次函数y＝2x2﹣3 的图象上有两个点A（1，m）、B（2，n），则m＜n （填“＜”或“＝”或“＞”）．【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答．【解答】解：y＝2x2﹣3 的对称轴为x＝0，开口方向向上，顶点为（0，﹣3）．对于开口向上的函数，x 距离对称轴越近，y 值越小，1 比2 距离近，所以m＜n．【点评】本题主要考查二次函数的性质．对于开口向上的函数，x 距离对称轴越近，y 值越小．11．（4 分）如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（9，0）．【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．【点评】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．12．（4 分）图1 中的“箭头”是以AC 所在直线为对称轴的轴对称图形，∠BAD＝90°，AB＝2．图2 到图4 是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1 中BC 的长为2．【分析】正方形的性质可知AB 为正方形边长，2AE 为正方形边长，又AB＝2，在R△ ABE 中，由勾股定理求BC 的长度．【解答】解：由正方形的性质，得AB＝AA′＝2AE，又AB＝2，∴AE＝1，BE＝＝，再由折叠的性质，得BC＝2BE＝2．【点评】本题考查轴对称的性质，有一定的难度，关键在于结合图形进行解答．三、解答题（共13 小题，满分72 分）13．（5 分）计算：．【分析】首先对特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝（4 分）＝．（5 分）【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．14．（5 分）解方程：x2+x﹣1＝0．【分析】观察原方程，可用公式法进行求解，首先确定a，b，c，再判断方程的解是否存在，若存在代入公式即可求解．【解答】解：a＝1，b＝1，c＝﹣1，b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法．15．（5 分）化简：．【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．【解答】解：原式＝＝2x﹣4．故答案为2x﹣4．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．16．（5 分）如图，在△ABC 中，D、E 两点分别在AC、AB 两边上，∠ABC＝∠ADE，AB ＝7，AD＝3，AE＝2.7，求AC 的长．【分析】已知∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC 的长．【解答】解：在△ABC 和△ADE 中，∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A∴△ABC∽△ADE（2 分）∴（3 分）∴＝＝6.3（5 分）【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力．17．（5 分）已知：k 是方程3x2﹣2x﹣1＝0 的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7 的值．【分析】将一根k 代入方程3x2﹣2x﹣1＝0，可得：3k2﹣2k﹣1＝0；再将代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7 去括号，整理，问题可求．【解答】解：∵k 是方程3x2﹣2x﹣1＝0 的一个根，∴3k2﹣2k﹣1＝0，∴3k2﹣2k＝1；∴（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7，＝k2﹣2k+1+2（k2﹣1）+7，＝k2﹣2k+1+2k2﹣2+7，＝3k2﹣2k+6，＝1+6，＝7．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程；解题时，常常将其代入方程，对式子合理变形来解决问题．18．（5 分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x，y 满足下表：（1）m 的值为 0 ；（2）求这个二次函数的解析式．【分析】（1）根据二次函数的对称性结合表中数据可看出对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，﹣4），所以x＝3 和x＝﹣1 是关于直线x＝1 成轴对称的关系，故可得m＝0；（2）方法一：利用交点式求解，设这个二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），再找一组点的坐标代入即可求出a 值；方法二：利用顶点式求解，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，同样也是找一组点的坐标代入即可求出a 的值．【解答】解：（1）0；（2）解法一：设这个二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）∵点（0，﹣3）在函数图象上，∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3）．解得a＝1∴这个二次函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）；解法二：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4∵抛物线经过点（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4．解得a＝1∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．【点评】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．会从所给出的数据中发现其对称关系，求出顶点坐标，抛物线与x 轴的交点坐标是解题的关键．19．（5 分）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1 所示放置在同一平面内．从图1 中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E 三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ABE≌△ACD．【分析】题中两个三角形均为等腰直角三角形，所以可得其腰相等，再加上一个角相等，即可证明其全等．【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90，即∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE 和△ACD 中，，∴△ABE≌△ACD．【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，把实际问题转化为数学问题是一种能力，要注意培养．20．（5 分）圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物．拱门的地面宽度为200 米，两侧距地面高150 米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100 米，求拱门的最大高度．【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD 的中垂线为y 轴，CD 所在的直线为x 轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B 的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题．【解答】解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系（1 分）此时，抛物线与x 轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0）．设这条抛物线的解析式为y＝a（x﹣100）（x+100）（2分）∵抛物线经过点B（50，150），可得150＝a（50﹣100）（50+100）．解得．∴抛物线的解析式为．当x＝0 时，y＝200（4 分）∴拱门的最大高度为200 米．（5 分）解法二：如图所示建立平面直角坐标系．（1 分）设这条抛物线的解析式为y＝ax2．（2 分）设拱门的最大高度为h 米，则抛物线经过点B（50，﹣h+150），D（100，﹣h）．可得解得，（4 分）∴拱门的最大高度为200 米．（5 分）【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题．21．（5 分）已知：在△ABC 中，∠B 为锐角，，AB＝15，AC＝13，求BC 的长．【分析】过点A 作AD⊥BC 于D，解直角三角形ABD 可求出BD，AD 的长，解直角三角形ACD 可求出CD 的长．进而求BC 的长．【解答】解：过点A 作AD⊥BC 于D．在△ADB 中，∠ADB＝90°，∵sin B＝，AB＝15，∴AD＝AB•sin B＝．由勾股定理，可得＝＝9．在△ADC 中，∠ADC＝90°，AC＝13，AD＝12，由勾股定理，可得．∵AD＜AC＜AB，∴当B、C 两点在AD 异侧时，可得BC＝BD+CD＝9+5＝14．当B、C 两点在AD 同侧时，可得BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4．∴BC 边的长为14 或4．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．22．（5 分）如图，已知△ABC，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D，DE⊥AC 于E．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若，DE＝6，求⊙O 的直径．【分析】（1）连OD，先证明OD∥AC，再证明OD⊥DE．（2）由∠C 的余弦值得到∠C 的度数，接着可得到三角形BOD 是等边三角形，由此得三角形ABC 也是等边三角形．求出DC 就可得到AB．【解答】（1）证明：如图，连接OD；（1 分）∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∵O 为AB 中点，D 为BC 中点，∴OD 为△ABC 的中位线．∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°．即OD⊥DE．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．（2 分）（2）解：∵，∴∠C＝60°．（3 分）∵OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝60°．∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB＝60°．∴△ABC 为等边三角形．∵在△EDC 中，∠DEC＝90°，DE＝6，∴．（4 分）∵D 为BC 中点，∴．∴AB＝．∴⊙O 的直径为．（5 分）【点评】熟悉切线的判定定理．证明圆的切线问题要转化为证明线段垂直的问题．同时也要熟悉等边三角形的性质以及含30 度的直角三角形三边的数量关系．记住特殊角的三角函数值．23．（7 分）如图1，已知四边形ABCD，点P 为平面内一动点．如果∠PAD＝∠PBC，那么我们称点P 为四边形ABCD 关于A、B 的等角点．如图2，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，点C 的横坐标为6．（1）若A、D 两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD 关于A、B 的等角点P 在DC 边上时，则点P 的坐标为（6，2）；（2）若A、D 两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD 关于A、B 的等角点P 在DC 边上时，求点P 的坐标；（3）若A、D 两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD 关于A、B 的等角点，其中x＞2，y＞0，求y 与x 之间的关系式．【分析】（1）画出点A、D 坐标，根据四边形ABCD 是矩形可得点P 在CD 的中点处，写出相应坐标即可；（2）易得点P 的横坐标为6，利用△PAD∽△PBC 可得点P 的纵坐标；（3）可分点P 在直线AD 的上方，或下方两种情况进行探讨：当点P 在直线AD 的上方时，点P 在线段BA 的延长线上，利用点A 的坐标可得相关代数式；当点P 在直线AD 的下方时，利用（2）中的相似可得相关代数式．【解答】解：（1）由图中可以看出P（6，2）．故答案为（6，2）；（2）依题意可得∠D＝∠BCD＝90°，∠PAD＝∠PBC，AD＝4，CD＝4，BC＝6．∴△PAD∽△PBC，∴，∵PD+PC＝CD＝4，∴．∴点P 的坐标为；（3）根据题意可知，不存在点P 在直线AD 上的情况；当点P 不在直线AD 上时，分两种情况讨论：①当点P 在直线AD 的上方时，点P 在线段BA 的延长线上，此时有y＝2x；②当点P 在直线AD 的下方时，过点P 作MN⊥x 轴，分别交直线AD、BC 于M、N 两点，与（2）同理可得△PAM∽△PBN，PM+PN＝4，由点P 的坐标为P（x，y），可知M、N 两点的坐标分别为M（x，4）、N（x，0）．∴．可得．∴．综上所述，当x＞2，y＞0 时，y 与x 之间的关系式为y＝2x 或．【点评】主要考查了相似三角形的应用；易错点在于分情况探讨等角点的位置；难点在于利用相似三角形的判定与性质得到点P 的纵坐标．24．（8 分）当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A.B.C.（1）正确的选项是 C ；（2）如图1，△ABC 中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2 方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC．【分析】（1）利用关系式sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．（2）构造直角三角形，过A、C 点作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D，CE⊥AB 于E，根据三角函数知识，可用α表示出AB 的长度，再表示出AE 和BE 的长度，AB＝AE+BE，分别让带有α两式相等即可．（3）要求三角形的面积，必须找到三角形的一边和这条边上的高；过点A 作AG⊥CD 交CD 的延长线于G 点．根据题意可知CD 和AD 的长度，和∠ADG 的度数，根据上述得出的结论，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG 中，AD 已知，根据三角函数关系式即可得出AG 的长度，代入S△ADC 的面积公式即可．【解答】解：（1）C．2sin（α+30°）＝2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）＝．故答案选C．（2）如图，过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D．∵∠B＝30°，∠BAC＝α，AC＝1，∴∠ACD＝α+30°．∴在△ADC 中，∠ADC＝90°，AD＝AC•sin∠ACD＝sin（α+30°）．∵在△ABD 中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝2sin（α+30°）过点C 作CE⊥AB 于E．∴在△CEA 中，∠AEC＝90°，CE＝sinα，AE＝cosα．在△BEC 中，∠BEC＝90°，．∴．∴．（3）由上面证明的等式易得．如图，过点A 作AG⊥CD 交CD 的延长线于点G．∵△ABD 和△BCD 是两个含45°和30°的直角三角形，BD＝，∴∠ADG＝75°，AD＝8，．∵sin75°＝sin（45°+30°）＝＝．∴在△ADG 中，∠AGD＝90°，．∴S△ADC＝＝＝．【点评】本题考查了三角函数和化积差的函数式，要求学生掌握正余弦、正余切的和化积差和积差化和，熟练应用．25．（7 分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（8，0），与y 轴交于点C（0，﹣4）．直线y＝x+m 与抛物线交于点D、E（D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当m＝2 时，求∠DCF 的大小；（3）若在直线y＝x+m 下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF＝45°，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为﹣．（第（3）问不要求写解答过程）【分析】（1）已知抛物线过A（﹣2，0）、B（8，0）两点，可设交点式y＝a（x+2）（x ﹣8），再将点C（0，﹣4）代入求a 即可；（2）由抛物线解析式可知对称轴为x＝3，与y 轴的交点（0，﹣4），可求MC 的长，y ＝x+2，可知D、F 两点坐标，计算DM，FM，判断C、D、F 三点在以M 为圆心的圆上，利用圆周角定理求∠DCF 的大小；（3）当直线y＝x+m 下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF＝45°，且满足条件的点P 只有两个时，仿照（2）可求满足条件的m 的值．【解答】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），∵抛物线与y 轴交于点C（0，﹣4），∴﹣4＝a（0+2）（0﹣8）．解得．∴抛物线的解析式为，即；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x＝3，∵m＝2，∴直线的解析式为y＝x+2，∵直线y＝x+2 与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，∴F、D 两点的坐标分别为F（3，5），D（﹣2，0）．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M，可得CM＝FM＝MD＝5，∴F、D、C 三点在以M 为圆心，半径为5 的圆上．∴∠DCF＝．（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，﹣）设F（3，3+m），则FG＝m+3+，设D 关于对称轴的对称点为D1，当四边形DGD1F 为正方形时，满足题意，此时P 点与顶点G 重合，或者与D1 重合，故DD1＝F′G，D 点横坐标为：x＝﹣（F′G﹣3）＝﹣，纵坐标为﹣（F ′G﹣3﹣m）＝，将D 点坐标抛物线解析式，解得．【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，已知抛物线与x 轴的两交点，可设交点式，综合运用圆的知识，解答抛物线中角的问题．。
海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末数学答案.doc
海淀区九年级第一学期期末练习数 学参考答案及评分标准 2011.1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=…………………………….…………………………….2分=…………………………….…………………………….4分 =6 …………………………….…………………………….5分 14．（1）解： 48,…………………………….…………………………….1分 0.81…………………………….…………………………….2分 （2）解：()90.8P =射中环以上…………………………….…………………………….4分从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8. …………………………….…………………………….5分 注：简述的理由合理均可给分 15．解法一：因式分解，得()()620x x +-= …………………………….…………………………….2分于是得 60x +=或20x -=126,2x x =-= …………………………….…………………………….5分解法二：1,4,12a b c ===-2464b ac ∆=-= …………………………….…………………………….2分482x -±==…………………………….…………………………….4分126,2x x =-= …………………………….…………………………….5分16．解：在ABC △中，60,75B C ∠=︒∠=︒Q ,45A ∴∠=︒. …………………………….…………………………….2分AB Q 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D, ∴290DOB A ∠=∠=︒. …………………………….…………………………….5分17．解：（1）D ；90︒. …………………………….…………………………….2分 （2）DCF DEA Q △旋转后恰好与△重合， DCF DAE ∴∆∆≌.3,2AE CF BF ∴===又. 5BC BF CF ∴=+=. AED BFDE ABFD S S S ∆∴=+四边形四边形DCF ABFD S S ∆=+四边形 ABCD S =正方形2BC =25=…………………………….…………………………….5分 18．解：设该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为x . ……………….1分依据题意，列出方程 ()210114.4x += ……………………….…………………………….2分 化简整理，得： ()21 1.44x +=,解这个方程，得 1 1.2x +=±, ∴ 120.2, 2.2x x ==-.∵ 该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数.∴ 2.2x =-舍去.∴ 0.2x =. …………………….…………………………….4分 答：该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%. …………….5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）解：连结OD ，OE ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E . ∴OD AC ⊥,且DCO ECO ∠=∠. ∵AC BC =，∴CO AB ⊥且O 是AB 的中点. ∴122AO AB ==. ∵120C ∠=︒,∴60DCO ∠=︒. ∴30A ∠=︒.∴在R t AOD △中，112OD AO ==. 即半圆的半径为1.…………………………….…………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AOC △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得： 222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得x =x =舍去）∴11422ABC S AB OC =⋅=⨯=△. ……….…………………………….4分∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为2π,∴2S π=-阴影 …………………………….…………………………….5分20．（1）解：过O 作ON CD ⊥于N ，连结OM ，则OM BC ⊥.∵ AC 是正方形ABCD 的对角线，∴ AC 是BCD ∠的平分线. ∴ OM =ON.即圆心O 到CD 的距离等于⊙O 半径，∴ CD 与⊙O 相切. …………………………….…………………………….3分 （2）由（1）易知MOC △为等腰直角三角形，OM 为半径， ∴ OM =MC =1.∴ 222112OC OM MC =+=+=, ∴OC∴1AC AO OC =+=+ 在R t ABC △中，AB =BC ,有 222AC AB BC =+ ∴ 222AB AC =∴AB =…………………………….…………………………….5分故正方形ABCD的边长为22. 21．（1）解：依题意画出树状图（或列表）如下或123123312m n…………………………….…………………………….2分（2）解：当240m n ->时，关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根，而使得240m n ->的m ，有2组，即(3，1)和(3，2). ………….…………………………….4分则关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根的概率是13.∴P （有两个不等实根）=13…………………….5分22．（1）证明：如图一，连结OC ，则OC EF ⊥，且OC=OA , 易得OCA OAC ∠=∠.∵ AD EF ⊥，∴OC//AD.∴OCA ∠=CAD ∠,∴CAD ∠=OAC ∠. 即 CAD BAC ∠=∠.…………………………….…………………………….2分 （2）解：与CAD ∠相等的角是BAG ∠.…………………………….…………………………….3分证明如下： 如图二，连结BG .∵ 四边形ACGB 是O e 的内接四边形， ∴ 180ABG ACG ∠+∠=︒. ∵ D ，C ，G 共线， ∴ 180ACD ACG ∠+∠=︒. ∴ ACD ABG ∠=∠. ∵ AB 是O e 的直径, ∴90BAG ABG ∠+∠=︒ ∵ AD EF ⊥∴90CAD ACD ∠+∠=︒ ∴ CAD BAG ∠=∠.…………………………….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8图一图一23．（1）解：如图一，连结AQ ．由题意可知：OQ =OA =1. ∵OP =2,∴A 为OP 的中点.∵PQ 与O e 相切于点Q ,∴OQP △为直角三角形. …………1分∴112AQ OP OQ OA ==== . …………2分即ΔOAQ 为等边三角形. ∴∠QOP =60°． …………3分（2）解：由（1）可知点Q 运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q 点落在O e 与y 轴负半轴的交点的位置（如图二）.设直线PQ 与O e 的交点为D ，过O 作OC ⊥QD 于点C ，则C 为QD 的中点. …………4分 ∵∠QOP =90°，OQ =1，OP =2, ∴QP=. (5)∵1122OQ OP QP OC ⋅=⋅, ∴OC . …………6分∵OC ⊥QD ，OQ =1，OC ,∴QC ∴QD …………7分 24．（1）解：∵关于x 的方程为221(1)04x a -++=为一元二次方程，且有实根.故满足：220,1(4(1)0.4a a ≥⎧⎪⎨∆=--⨯⨯+≥⎪⎩ ……….…………………………….2分（注：每个条件1分） 整理得 20,(1)0.a a ≥⎧⎨-≤⎩∴1a =……….…………………………….4分（2）由（1）可知1a =,故（2）中的方程2(1)0mx m x a +--=可化为2(1)10mx m x +--=.①当m =0时，原方程为10x -=，根为1x =，符合题意.………………………….5分图二②当m ≠0时，2(1)10mx m x +--=为关于x 的一元二次方程，Δ=2222(1)4(1)12421(1)0m m m m m m m m --⨯⨯-=-++=++=+≥.此时，方程的两根为 1211,x x m==-. ∵两根均为整数, ∴m =1±.………………………….7分综上所述，m 的值为1-，0 或1.25．（1）证明：如图一，∵1O ，2O ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，∴1O F ∥AC 且1O F =A 2O ，2O F ∥AB 且2O F =A 1O ， ∴∠B 1O F=∠BAC ，∠C 2O F=∠BAC , ∴∠B 1O F=∠C 2O F∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点， ∴1O F =A 2O =2O E ，2O F =A 1O =1O D ， ………………………….2分∠B 1O D =90°，∠C 2O E =90°， ∴∠B 1O D=∠C 2O E . ∴∠D 1O F=∠F 2O E .∴12DO F FO E △≌△. ………………………….3分（2）解：如图二，延长CA 至G ，使AG =AQ ,连接BG 、AE .∵点E 是半圆2O 圆弧的中点， ∴AE=CE=3∵AC 为直径 ∴∠AEC =90°，∴∠ACE =∠EAC =45°，AC∵AQ 是半圆2O 的切线，∴CA ⊥AQ ，∴∠CAQ =90°， ∴∠ACE =∠AQE =45°，∠GAQ =90° ∴AQ =AC =AG=图一图二同理：∠BAP =90°，AB =AP=∴CG=∠GAB =∠QAP ∴AQP AGB △≌△.……………………..5分∴PQ =BG ∵∠ACB =90°，∴BC∴BG∴PQ=……………………..6分（3） 证法一：如图三，设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CS ⊥MF 于S ，过B 作BR ⊥MF 于R ，连接DR 、AD 、DM.∵F 是BC 边的中点，∴ABF ACF S S =△△. ∴BR=CS ，由（2）已证∠CAQ =90°, AC =AQ, ∴∠2+∠3=90°∵FM ⊥PQ , ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3, 同理：∠2=∠4,∴AMQ CSA △≌△，∴AM=CS ， ∴AM=BR ，同（2）可证AD=BD ，∠ADB =∠ADP =90°,∴∠ADB =∠ARB =90°, ∠ADP =∠AMP =90°∴A 、D 、B 、R 四点在以AB 为直径的圆上，A 、D 、P 、M 四点在以AP 为直径的圆上， 且∠DBR+∠DAR =180°,∴∠5=∠8, ∠6=∠7, ∵∠DAM +∠DAR =180°, ∴∠DBR =∠DAM ∴DBR DAM △≌△， ∴∠5=∠9, ∴∠RDM =90°， ∴∠5+∠7=90°， ∴∠6+∠8=90°， ∴∠P AB =90°，∴P A ⊥AB ,又AB 是半圆1O 直径， ∴P A 是半圆1O 的切线.……………………..8分证法二：假设P A 不是是半圆1O 的切线，如图四，过点A 作半圆1O 的切线交BD 的延长线于点P '，图三则点P '异于点P ，连结P Q '，设直线F A 与PQ 的 垂足为M ，直线F A 与P Q '的交点为M '.延长AF 至N ，使得AF =FN ，连结BN ，CN ，由于点F 是 BC 中点，所以四边形ABNC 是平行四边形. 易知，180BAC ACN ∠+∠=︒， ∵AQ 是半圆2O 的切线,∴∠QAC =90°，同理90P AB '∠=︒. ∴180P AQ BAC '∠+∠=︒. ∴P AQ ACN '∠=∠.由（2）可知，,AQ AC AB AP '==,∴P AQ NCA '△≌△. ∴NAC P QA '∠=∠. ∵90QAC ∠=︒,∴90NAC M AQ '∠+∠=︒. 即 90AQM M AQ ''∠+∠=︒.∴90AM Q '∠=︒. 即 P Q AF '⊥.∵ PQ AF ⊥,∴ 过点Q 有两条不同的直线P Q '和PQ 同时与AF 垂直.这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.所以P A 是是半圆1O 的切线.Q图四。
北京市海淀区2010届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 (文科) 2010.11．sin225︒=（ ） A ．1B ．1-CD． 2. 下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域内的点是（ ）A ．(02)，B ．(20)-，C ．(02)-，D ．(20)，3. 双曲线222y x -=的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B. y =C. y =D.2y x =±4.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为( ) A. 分层抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,分层抽样 C.分层抽样,系统抽样 D. 简单随机抽样, 系统抽样5. 已知,m n 是两条不同直线， ,αβ是两个不同平面.下列命题中不．正确的是 （ ） A ．若m ∥α，n αβ= ，则m //nB ．若m //n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则αβ⊥ 6. 如图，向量-a b 等于 （ ） Ａ. 1242--e e B. 1224--e eC. 123-e eD. 123-e e7. 若直线l 与直线7,1==x y 分别交于点Q P ,，且线段PQ 的中点坐标为)1,1(-，则直线l 的斜率为（ ）A.31 B.31- C.23- D.328.已知椭圆C ：1422=+y x 的焦点为12,F F ，若点P 在椭圆上，且满足212||||||PO PF PF =（其中O 为坐标原点），则称点P 为“★点”.那么下列结论正确的是 A ．椭圆C 上的所有点都是“★点” B ．椭圆C 上仅有有限个点是“★点” C ．椭圆C 上的所有点都不是“★点”D ．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★点”第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9.抛物线24y x =的准线方程是____________10. 某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的S = .11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________________.正视图侧视图俯视图12.在区间[2,2]-上，随机地取一个数x ，则2x 位于0到1之间的概率是____________.13.已知1F 为椭圆22:12x C y +=的左焦点，直线1:-=x y l 与椭圆C 交于B A 、两点，那么11||||F A F B +的值为_______.14.对于函数()f x ，若存在区间[,],()M a b a b =<，使得{|(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”.请你写出一个具有“稳定区间”的函数__________;（只要写出一个即可) 给出下列4个函数：①()xf x e =；②3()f x x =，③()cos2f x x p= ④()ln 1f x x =+ 其中存在“稳定区间”的函数有_______（填上正确的序号）15. （本小题共12分） 已知集合S ={x |205+<-x x }，P ={ x | 1a +<x 215a <+ }，（Ⅰ）求集合S ；（Ⅱ）若S P ⊆，求实数a 的取值范围.16. （本小题共13分）某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲乙两班各抽取6名同学，所得分数的茎叶图如右图所示：(I)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由; (II)现从甲班这6名同学中随机抽取两名同学,求他们的分数之和大于165分的概率.甲班乙班198760228027635617. （本小题共14分）长方体1111ABCD A B C D -中11,2AB AA AD ===.点E 为ＡＢ中点.(I)求三棱锥1A ADE -的体积； (II)求证：1A D ⊥平面11ABC D ； （III ）求证：1BD // 平面1A DE .[来源:学科网ZXXK]18. （本小题共13分）函数2()1x af x x +=+()a R ∈ .（I ）若)(x f 在点(1,(1))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值； （II ）若()f x 在1x =处取得极值，求函数()f x 的单调区间.19. （本小题共14分）已知圆C 经过点(2,0),(0,2)-A B ，且圆心在直线y x =上，且，又直线:1l y kx =+与圆Ｃ相交于P 、Q 两点. （I ）求圆Ｃ的方程；（II ）若2OP OQ =-，求实数k 的值；（III ）过点(0,1)作直线1l 与l 垂直，且直线1l 与圆Ｃ交于M N 、两点,求四边形PMQN 面积的最大值.20. （本小题共14分）已知函数()2f x x m =+，其中m R ∈.定义数列{}n a 如下：10=a ，()*1,+=∈n n a f a n N . （I ）当1m =时，求234,,a a a 的值；（II ）是否存在实数m ，使234,,a a a 构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m 的值，若不存在，请说明理由； （III ）求证：当14m >时，总能找到k N ∈，使得2010k a >.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）参考答案及评分标准 2010．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9.1-=x 10. 25 11.1224π+ 12.2113.328 14.x y = ；②, ③15．（本小题共12分） 解：（I ）因为052<-+x x ，所以0)2)(5(<+-x x . ……………………………2分 解得25x -<<, ……………………………4分 则集合{|25}S x x =-<<. ……………………………6分[来源:学|科|网]（II ）因为P S ⊆, 所以⎩⎨⎧+≤-≤+152521a a , ……………………………8分解得⎩⎨⎧-≥-≤53a a , ……………………………10分所以]3,5[--∈a . ……………………………12分 注： 若答案写为(5,3)a ?-，扣1分. 16．（本小题共13分）解：（I ）因为乙班的成绩集中在80分，且没有低分，所以乙班的平均分比较高. ……………………………5分 （II ）设从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分为事件A.……………………………7分 从甲班6名同学中任取两名同学，则基本事件空间中包含15个基本事件，……………………9分 而事件Ａ中包含４个基本事件, ……………………11分所以,154)(=A P . ……………………12分 答：从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分的概率为154.……………………13分 17.（本小题共14分）解；（I ）在长方体1111ABCD A B C D -中，因为1,AB E =为AB 的中点，所以，12AE =， 又因为2AD =，所以111122222ADES AD AE ∆=⋅=⨯⨯= ， …………………2分 又1AA ⊥底面,ABCD ,21=AA 所以，三棱锥ADE A -1的体积31=V 11112323ADE S AA ∆⋅=⨯⨯=. ……………4分 （II ）因为AB ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥1A D . …………………6分 因为11ADD A 为正方形，所以1AD ⊥1A D , …………………7分 又1AD AB A =，所以1A D ⊥平面11ABC D . …………………9分（III ）设1,AD 1A D 的交点为O ,连结OE ,因为11ADD A 为正方形，所以O 是1AD 的中点， …………………10分 在∆1AD B 中，OE 为中位线，所以1//OE BD , …………………11分 又OE ⊂平面1A DE ，1BD ⊄平面1A DE , …………………13分 所以1//BD 平面1A DE . …………………14分18.（本小题共13分）解:(I)22222(1)2'()(1)(1)+--+-==++ x x x a x x af x x x , ………………3分 若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为12， 则 1'(1)2f =. …………………5分 所以，31'(1)42-==a f ，得 a =1. …………………6分(II) 因为()f x 在1x =处取得极值，所以'(1)0f =， ………………7分 即 120a +-=，3a =， …………………8分2223'()(1)+-∴=+x x f x x . …………………9分因为()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，所以有：…………………11分[来源:Z*xx*]所以，()f x 的单调递增区间是∞∞(-,-3),(1,+),单调递减区间是(-3,-1),(-1,1).…………………13分19.（本小题共14分）解：(I)设圆心(,),C a a 半径为r . 因为圆经过点(2,0),(0,2)A B -所以||||AC BC r ==，解得0,2a r == ， …………………2分 所以圆C 的方程是224+=x y . …………………4分 (II)方法一：因为22cos ,2⋅=⨯⨯〈〉=-OP OQ OP OQ , …………………6分所以1cos 2∠=-POQ ,120∠=POQ , …………………7分 所以圆心到直线:10l kx y -+=的距离1d =, …………………8分又=d ，所以0=k . …………………9分方法二：设1122(,),(,)P x y Q x y ,[来源:]因为2214=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，代入消元得22(1)230++-=k x kx . …………………6分 由题意得： 2212212244(1)(3)02131k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩ …………………7分 因为⋅OP OQ =12122⋅+⋅=-x x y y ，又212121212(1)(1)()1⋅=++=⋅+++y y kx kx k x x k x x ,所以, 1212x x y y ⋅+⋅ =2222233212111k k k k k---+++=-+++, …………………8分 化简得: 22533(1)0--++=k k ，所以20, =k 即0k =. …………………9分 (III)方法一：设圆心O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线1,l l 都经过点(0,1)，且1l l ⊥，根据勾股定理，有2211+=d d , …………………10分又根据垂径定理和勾股定理得到，||2|2PQ MN == ………………11分 而1||||2S PQ MN =⋅⋅，即1222 7,S =⨯==≤==…………13分当且仅当1d d =时，等号成立，所以S 的最大值为7. ………………14分方法二：设四边形PMQN 的面积为S . 当直线l 的斜率0=k 时，则1l 的斜率不存在，此时142=⋅=S …………………10分 当直线l 的斜率0≠k 时，设11:1l y x k=-+则2214=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，代入消元得22(1)230k x kx ++-= 所以2212212244(1)(3)02131k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩122|||1=-==+PQ x x k同理得到||MN ==. ………………11分21||||211 22 1S PQ MN k =⋅⋅====+== ………………12分因为221224k k ++≥+=， 所以7272S ≤=⨯=, ………………13分当且仅当1=±k 时，等号成立,所以S 的最大值为7. ………………14分20（本小题共14分）解：（Ｉ）因为10=a ，1m =，所以2(0)1a f m ===，23()2a f m m m ==+=，()()22435a f a m m m ==++=. ………………4分 （II ）方法一：假设存在实数m ，使得234,,a a a 构成公差不为0的等差数列.由（I ）得到2(0)==a f m ，23()==+a f m m m ， ()()2243==++a f a m m m .因为234,,a a a 成等差数列，所以3242=+a a a ， ………………6分 所以，()()2222m m m m mm +=+++， 化简得()22210m m m +-=，解得0m =（舍）,1m =-. ………………8分 经检验，此时234,,a a a 的公差不为0，所以存在1m =-±234,,a a a 构成公差不为0的等差数列.…………9分 方法二：因为234,,a a a 成等差数列，所以3243-=-a a a a ， ………………6分 即222233+-=+-a m a a m a ，所以()()2232320---=a a a a ，即()()323210-+-=a a a a .因为320-≠a a ，所以3210a a +-=解得1m =- ………………8分 经检验，此时234,,a a a 的公差不为0.所以存在1m =-±234,,a a a 构成公差不为0的等差数列. …………9分（III ）因为221111244n n n n n a a a m a a m m +⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又 14m >, 所以令104d m =->. 由1n n a a d --≥，12n n a a d ---≥，……21a a d -≥，将上述不等式全部相加得1(1)n a a n d -≥-，即(1)n a n d ≥-， 因此只需取正整数20101>+k d ，就有2010(1)()2010k a k d d d≥->⋅=. …………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
【精品】海淀区2010-2011度八年级数学上册期末试题及答案
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2010—2011海淀区高三数学(理)期末考试题(带答案)海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 12345678答案B D DC A BD C第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512．M P Ne e e << 13．① ④ 14． 432 (1)2 3 (01)k k k k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分） 解：（I ）xx x f 2cos )32cos()(--=πxx x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ.......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62sin(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x Θ， )65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分 ]1,21()62sin(-∈-∴πx ， 即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分 （II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ， 1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分 π<<A 0Θ ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分 Abc c b a cos 2222-+=Θ ， .....................................10分把73a b ==，代入，得到2320cc -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分） 解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ， 故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ， 故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分 则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3>Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 p 1100 18100 81100.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分 同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：η0 3 6 9p 827 49 29127.......................................5分3E η∴=， .......................................6分 ηξE E >Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =U U ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分则： 123123188******** ()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=U U 故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975 ..................................13分17. （共14分）解：（I ）Θ棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD ，1AO BD ∴⊥ . .......................................2分又1AC AO O =Q I，1,AC AO ⊂平面11ACC A ，⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分⊂1AA Θ平面11ACC A ，∴BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BCΘ四边形ABCD 为菱形，AC BD O=IO ∴是BD 的中点. ....................................... 5分 又Θ点F 为1DC 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//OF 平面11BCC B .......................................8分（III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. Θ侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．ο601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,3,AO AO ==在Rt AOB ∆中，22413OB AB AO =--ABC1B 1C 1A DF1D O得1(1,0,0),3),(0,3,0),3,0)A A D B - ...............................10分 设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n= ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴00111AD n AA n)0,3,1(),3,0,1(1--=-=Θ 11113030x z x ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分 又ΘBD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC 的法向量为23,0)n OB ==u u r u u u r .......................................12分 55353,cos 212121-=⋅-=⋅>=<∴n n n n , Θ二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55 . ....................................14分18. （共13分） 解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24a f -'==-，解得3a =， ....................................3分因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--，即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分（II ） 令()0f x '=，得到1212,0x x a =-= ，由12a ≥可知120a -≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a =-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分② 当112a <<时，1120a -<-<，即1210x x -<<=， 所以，在区间1(1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分 在区间1(2,0)a -上，'()0f x >. .................................9分 故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-. .........10分 ③当1a ≥时，1121x a=-≤-， 所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得： 当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-； 当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p MF =--=+=， 解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. ......................................3分（Ⅱ）联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分 又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)AB x x y y y y y y y y b =-+-+-+-=+.所以 ||25(6432)8AB r b =+， .........................................7分 解得85b =-. .........................................8分 所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分方法二： 联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40xb x b -++=， 依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-，因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分 又2222121212121215||()()(1)()[()4]5(6432)44AB x x y y x x x x x x b =-+-+-+-+， 又||28AB r ==5(6432)8b +， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分 所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=， 点O 到直线l 的距离55d ， .................................................11分 所以321||4224222AOB SAB d b b b b ∆==-++ ..................................................12分 令32()2g b bb =+，20b -<<， 24()343()3g b b b b b '=+=+， b 4(2,)3-- 43- 4(,0)3-()g b ' ＋0 － ()g b 极大由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分 所以当43b =-时，AOB ∆323. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P ． ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈， 从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠．对于上述正整数m ， 从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠, 所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ． 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b L 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉L .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈L ,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2kk +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
2010年北京市海淀区九年级第二学期期末测评数学试卷
2010年北京市海淀区九年级第二学期期末测评数学试卷（分数：120分 时间：120分钟） 2010.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1 . -5的绝对值是（ ）A. -5B.51 C. 51- D. 52. 据统计，到目前为止，北京市的常住人口和外来人口的总和已经超过22 000 000人.将 22 000 000用科学记数法表示为（ ）A. 80.2210⨯ B. 72.210⨯ C. 62.210⨯ D. 62210⨯ 3. 如图是一个正方体的平面展开图，则这个正方体 “美”字所在面的对面标的字是（ ）A ．让B ．生C ．活D ．更4.如图，直线b a //，直角三角板的直角顶点P 在直线b 上， 若︒=∠561，则2∠的度数为（ ）A . 54°B . 44°C . 34°D . 24°5. 某班的9名同学的体重分别是（单位：千克）： 61，59， 70，59，65，67，59，63，57，这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．59，61B ．59，63C ．59，65D ． 57，61 6.下列计算正确的是（ ）A. a a a 632=+B. 632a a a =⋅ C. 842a a a ÷= D. ()23624aa -=7. 若关于x 的一元二次方程()0122=-+-kx x k 的一个根为1，则k 的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 0或18．如右图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 的坐标为（-1），点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边三角形ABC . 当),(y x C 在第一象限内时，下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的是（ ）21Pb aA.B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 若分式132++x x 的值为零，则x = ________________.10. 如图，点A 、B 、C 是半径为6的⊙O 上的点，30B ∠=︒, 则的长为_____________.11．若抛物线26y x x k =-+的顶点的纵坐标为n ,则k n -的值为 .12. 图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为，则图3中线段AB 的长为 .图1 图2 图3 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算：0(3)π-++︒60tan 227)31(2--.14.解不等式组：262(1),23.4x x x x +>-⎧⎪⎨-≤⎪⎩15. 如图，点M 、E 分别在正方形A B C D 的边A B 、B C 上，以M 为圆心，M E 的长为半径画弧，交A D 边于点F .当90E M F ∠=︒时，求证：A F B M =.AC16.已知22690x x y y -+=，求代数式 2235(2)4x y x y x y+⋅+-的值.17．如图，直线y x n =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线4y x=在第一象限内交于点(,4)C m .（1）求m 和n 的值；（2）若将直线AB 绕点A 顺时针旋转15︒得到直线l ，求直线l 的解析式.18. 列方程（组）解应用题：小明乘坐火车从某地到上海去参观世博园，已知此次行程为2160千米，城际直达动车组的平均时速是特快列车的1.6倍.小明购买火车票时发现，乘坐动车组比乘坐特快列车少用6小时.求小明乘坐动车组到上海需要的时间.四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题５分，第21题6分，第22题4分） 19. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6,2,60,30==︒=∠︒=∠BC AD C B ,E 为AB 中点，BC EF ⊥于F ，求EF 的长.20. 已知：如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，点D 在AB 的延长线上，A BCD ∠=∠. (1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 过点C 作AB CE ⊥于E .若54cos ,2==D CE ,求⊙O 的半径.21.2010年1月10日,全国财政工作会议在北京召开.以下是根据2005年—2009年全国财政收入绘制的统计图的一部分（单位：百亿元）.请根据提供的信息解答下列问题： （1） 完成统计图；（2） 计算2005年—2009年这五年全国财政收入比上年增加额的平均数；（3） 如果2010年全国财政收入按照（2）中求出的平均数增长，预计2010年全国财政收入的金额达到多少百亿元？22.阅读： D 为△A B C 中B C 边上一点，连接AD ，E 为AD 上一点. 如图1，当D 为B C 边的中点时，有E B D E C D S S ∆∆=，A B E A C E S S ∆∆=； 当m DCBD =时，有E B D A B E E C DA C ES S m S S ∆∆∆∆==.B图1 图2 图3解决问题：在△A B C 中，D 为B C 边的中点，P 为A B 边上的任意一点，CP 交A D 于点E ．设E D C ∆的面积为1S ，APE ∆的面积为2S . （1）如图2，当1=APBP 时，121S S =的值为__________;（2）如图3，当n APBP =时，121S S =的值为__________;（3）若24=∆ABC S ，22=S ，则APBP 的值为__________.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）.（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C .①当A C =②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（t >0），同时将直线l ：3y x =沿y 轴正方向平移t 个单位.平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形?24.如图，已知平面直角坐标系xOy 中的点(0,1),(1,0)A B ，M 、N 为线段A B 上两动点，过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，过点N 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，交直线E M 于点(,)P x y ，且NFB AEM MPN S S S ∆∆∆+=. （1）AOB S ∆ E O F PS 矩形（填“>”、“=”、“<”），y 与x 的函数关系是 （不要求写自变量的取值范围）； （2）当22=x 时，求M O N ∠的度数；（3）证明: M O N ∠的度数为定值.（ 备用图） （备用图）25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为)2,0(，点D 在x 轴的正半轴上，30O D B ∠=︒，OE 为△BOD 的中线，过B 、E 两点的抛物线26y a x x c =++与x 轴相交于A 、F 两点（A 在F 的左侧）. （1）求抛物线的解析式；（2）等边△O M N 的顶点M 、N 在线段AE 上，求A E 及A M 的长；（3）点P 为△A B O 内的一个动点，设m P A P B P O =++，请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时，线段A P 的长.（备用图）海淀区九年级第二学期期末测评数学试卷答案及评分参考三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算： 0(3)π-++︒60tan 227)31(2--．解： 原式=339321-+⨯+----------------------------------4分=10--------------------------------5分解： 由 ① 得 1x >-．--------------------------------2分 由 ② 得 32x ≥-．--------------------------------4分∴ 不等式组的解集是1x >-.---------------------------------5分 15．证明：∵四边形A B C D 为正方形，∴ 90.A B ∠=∠=︒---------------------------------1分 ∴ 1290.∠+∠=︒ ∵ 90E M F ∠=︒, ∴ 1390.∠+∠=︒∴ 2 3.∠=∠---------------------------------2分 ∵ E 、F 两点在⊙M 上，∴ M F M E =．---------------------------------3分 在△A M F 和△B E M 中，,23,.A B M F E M ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △A M F ≌△B E M ．---------------------------------4分 ∴ A F B M =．---------------------------------5分 16．已知：22690x x y y -+=，求代数式2235(2)4x y x y x y+⋅+-的值．解：22690x x y y-+=， 2(3)0x y -=． ∴3x y =．---------------------------------1分∴ 原式=35(2)(2)(2)x y x y x y x y +⋅++----------------------------------2分=352x y x y+- ---------------------------------3分 =3(3)52(3)y y y y+- --------------------------------4分=145．--------------------------------5分17．解：（1）∵ xy 4=经过(,4)C m ，∴ 1=m ．-------------------------------1分 ∴ 点C 的坐标为)4,1(.∵ 直线y x n =+经过点C )4,1(，∴ 3=n ．-----------------------------2分（2）依题意，可得直线AB 的解析式为3+=x y ．∴直线3+=x y 与x 轴交点为)0,3(-A ，与y 轴交点为)3,0(B ．∴ O A O B =.∴ 45B A O ∠=︒.设直线l 与y 轴相交于D ．依题意，可得︒=∠15BAD . ∴ 30D A O ∠=︒.--------------------3分321在△AOD 中，︒=∠90AOD ,tan ta n 303O D D A O O A∠=︒==∴ 3=OD .∴ 点D 的坐标为)3,0(.-----------------------------4分 设直线l 的解析式为)0(≠+=k b kx y ．∴ ⎩⎨⎧=+-=.03,3b k b ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==.3,33b k∴ 直线l 的解析式为333+=x y ．-------------------5分18．解：设小明乘坐动车组到上海需要x 小时.………1分 依题意，得6.1621602160⨯+=x x.---------------------------------3分解得 10=x .---------------------------4分经检验：10x =是方程的解，且满足实际意义. 答：小明乘坐动车组到上海需要10小时.………5分四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．解：过点A 作AG ∥DC ，交B C 于点G .---------------------------------1分∴ ︒=∠=∠601C . ∵ AD ∥BC ，∴ 四边形AGCD 为平行四边形. -------------------------------2分∴ 2C G A D ==.∵ 6=BC ,∴ 4=BG ．--------------------------3分∵ ,18021︒=∠+∠+∠B ,30︒=∠B∴ ︒=∠902.∴ 在△BAG中，c o s 42A B B G B =⋅=⨯=--------------------------4分又∵ E 为AB 中点，∴ 321==AB BE ． ∵ BC EF ⊥于F ，∴ 2321==BE EF ．--------------------------5分20． （1）证明：连接CO . ---------------------------------1分∵ AB 是⊙O 直径，∴ ︒=∠+∠901OCB .∵ CO AO =，∴ A ∠=∠1． ∵ A ∠=∠5， ∴ ︒=∠+∠905OCB . 即︒=∠90OCD .∴ CD OC ⊥.又∵ OC 是⊙O 半径，∴ CD 为⊙O 的切线．-------------------------3分 （2）∵ CD OC ⊥于C ，∴ ︒=∠+∠903D .∵ AB CE ⊥于E ，∴ ︒=∠+∠9023.∴ D ∠=∠2. ∴co s 2co s D ∠=.--------------------------4分在△OCD 中，︒=∠90OCD ，∴ COCE =∠2cos ，lD∵ 54c o s =D ，2=CE ，∴542=CO ．∴ 25=CO ．∴ ⊙O 的半径为25.--------------------------5分21． 解：(1)-------------------------2分(2)5721001197852++++=2.845421=（百亿元）答：这五年全国财政收入比上年增加额的平均数为2.84百亿元. --------------------4分 （3）2.7692.84685=+（百亿元）答：预计2010年全国财政收入的金额达到769.27百亿元.------------------------6分22．（1）1; ------------------------1分 （2）22n n+;------------------------3分（3）2.-----------------------4分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：令0y =,则2(2)20x a x a +--=.△=22)2(8)2(+=+-a a a ．------------------------------------------ 1分∵ 0>a ,∴ 02>+a ． ∴ △0>.∴ 方程2(2)20x a x a +--=有两个不相等的实数根.∴ 抛物线与x 轴有两个交点. ------------------------------------------ 2分 （2）①令0y =,则2(2)20x a x a +--=， 解方程，得122,x x a ==-. ∵ A 在B 左侧,且0a >, ∴ 抛物线与x 轴的两个交点为A (,0)a -，B (2,0).∵ 抛物线与y 轴的交点为C ，∴ (0,2)C a -. ------------------------------------------3分∴ ,2A O a C O a ==.在Rt △A O C 中，222(A O C O +=，22(2)20a a +=．可得 2a =±．∵ 0a >，∴ 2a =．∴ 抛物线的解析式为24y x =-. ------------------------------------------ 4分②依题意，可得直线'l 的解析式为3y x t =+，'A (2,0)t -,'B (2,0)t +,''4A B A B ==.∵ △''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形，∴ 当''90P A B ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --. ∴ 3(2)4t t -+=.解得 52t =或12t =.-------------------6分 当''90P B A ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-. ∴3(2)4t t ++=.解得52t =-或12t =-（不合题意，舍去）. 综上所述，52t =或12t =.----------------------------------7分24. 解：（1）=∆AOB S E O F P S 矩形；--------------------------------1分y 与x 的函数关系是x y 21=；-----------------------------2分（2）当22=x 时，2221==x y .∴ 点P 的坐标为)22,22(．-------------------3分 可得四边形E O F P 为正方形．过点O 作AB OH ⊥于H . ∵ 在Rt △AOB 中，1==OB OA ，∴ 222=+=OB OA AB ，H 为A B 的中点． ∴ 222==ABOH ．在Rt △EMO 和Rt △HMO 中，2.E O H O O M O M ⎧==⎪⎨⎪=⎩∴ Rt △EMO ≌Rt △HMO ．∴ 21∠=∠．-------------------4分同理可证43∠=∠．∵ ︒=∠+∠+∠+∠904321，∴ 2345∠+∠=︒． 即︒=∠45MON ．-------------------5分（3）过点O 作AB OH ⊥于H .依题意，可得 12O E y x ==，1112E M y x =-=-，2O H =，)2H N H B N B x =-=--. ∴E MH NO E O H =，90O E M O H N ∠=∠=︒.∴△EMO ∽△H N O ．∴31∠=∠．-------------------6分 同理可证24∠=∠．∵ ︒=∠+∠+∠+∠904321，∴ 2345∠+∠=︒．即︒=∠45MON ．-------------------7分25.解：(1）过E 作EG ⊥O D 于G ．---------------------------1分 ∵ ,90︒=∠=∠EGD BOD D ∠=D ∠， ∴ △BOD ∽△EGD ．∵ 点(0,2)B ，30O D B ∠=︒，可得 2=OB ，32=OD ．∵ E 为B D 中点，∴ 21===OD GDDB DEBO EG．∴ 1=EG ，3=GD ．∴ 3=OG ． ∴ 点E 的坐标为)1,3(.-----------2分∵ 抛物线26y a x x c =++经过(0,2)B 、E 两点，∴ 2126a =+. 可得12a =-.∴ 抛物线的解析式为21226y x x =-++.------------------3分（2）∵ 抛物线与x 轴相交于A 、F ，A 在F 的左侧，∴ A 点的坐标为(0).∴ 1A G E G ==,∴ 在△AGE 中，90A G E ∠=︒,A E ==. --------4分 过点O 作O K ⊥A E 于K ，可得△A O K ∽△A E G ．∴O K E G A O A E =． ∴=∴ 13O K =∴ 13A K ==∵ △O M N 是等边三角形,∴ 60N M O ∠=︒．∴ta n 13O KK M K M O ===∠．∴ 13A M A K K M =+=,或13A M A K K M =-=---------6分（写出一个给1分）（3）m --------------7分当m 取得最小值时，线段A P 13.-----------------------------8分（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）。
北京市海淀区2009-2010学年度第一学期七年级数学期末试卷及答案
海淀区七年级第一学期期末练习数 学2010．1班级 姓名 成绩一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请你把对应题目答案的字母填写在相应的括号中. 1． 3的相反数是（ ）A. －3B. 3C. 31-D. 31 2．下列各式中运算正确的是（ ）A. 156=-a aB.422a a a =+ C.b a ba b a 22243-=- D.532523a a a =+ 3. 下列图形中 ∠1和∠2是同位角的是（ ）A B C D 4．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程这样做的根据是（ ） A. 两点之间，直线最短B. 两点确定一条直线C. 两点之间，线段最短D. 两点确定一条线段5. 有理数-22，(-2)2，|-23|，-21按从小到大的顺序排列是（ ）A ．-21＜-22＜(-2)2＜|-23|B ．-21＜-22＜|-23|＜(-2)2 C ．|-23|＜-22＜-21＜(-2)2D ．-22＜-21＜(-2)2＜|-23|6. 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ） A ．b ＞a ＞0 B ．a ＞b ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．a －b ＞0ba12121221 BA7．若点C 是线段AB 的中点，则下列结论中错误．．的是（ ） A. AC =BC B. AB =2AC C. AC =2AB D. BC =AB 21 8．在下列式子中变形正确的是（ ）A. 如果a =b ，那么a +c =b -cB. 如果a=b ，那么33a b =C. 如果42=a，那么a =2 D. 如果a -b +c =0,那么a =b+c 9. 关于x 的方程ax +3=4x +1的解为正整数, 则整数a 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1或2 D. 2或3 10. 下列四个图形中是某个长方体平面展开图的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．，可用科学记数法表示为 亿元.12．铅笔的单价是a 元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则圆珠笔的单价是 元.13.将一副三角板如图摆放，若∠BAC =31 °， 则∠EAD 的度数是 .14. 若x =－1是方程x 2－2kx －5=0的解, 则k =____________.15．将一张正方形纸片ABCD 沿AM 、AN 折叠，使B 、D 都落在对角线AC 上的点P 处，展开后的图形如图所示，则图中与∠BAM互余的角是 （只需填写三个角）.16. 若一组按规律排列的数的第n 项为n (n +1), 则这组数的第10项为 ；若一组按规律排成的数为： 2，6，-12，20，30，-42， 56，72，-90 ，…，则这组数的 第3n 项是 .EDC BA三、解答题（本题共52分；第17题、第18题各7分；第19 题～第22题各4分；第23 题、第24 题各5分，第25题、第26题各6分） 17．计算：（1）1.0)8.2(2934)2(3÷--⨯+-; 解： （2）1914726235|263131959|-+-. 解：18．解方程：（1）5(x +8)－5=6(2x －7) ； 解：（2）413-x － 675-x = 1 .解：19. 已知平面上点A 、B 、C 、D . 按下列要求画出图形：（1）连接AD ，BC , 延长AD 交BC 延长线于点M .； （2）作直线AC ；（3）作射线DB 交AC 于点O .解：20．先化简，再求值：4y x 2－[6xy －2（4xy －2）－y x 2]＋1，其中x =－21，y =1. 解：21．如图，AB //CD , ∠B =∠D , 试说明∠1=∠2. 请你完成下列填空，把解答过程补充完整.解：∵ AB //CD ,∴ ∠BAD +∠D=180°（ ）.∵ ∠B =∠D ,∴ （ 同旁内角互补, 两直线平行 ）.∴ ∠2=∠1 （ ）.22．列方程解应用题：初一(1)班同学共有45人,在学习几何图形时,同学们利用硬纸片做了很多立体图形模型，课代表统计时发现，恰好男生每人平均做4个，女生平均每人做5个，且男、女生做的数量相等，请问这个班有多少名男生？ 解：21ABC DA BD23．如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，∠COE 是直角，OF 平分∠AOE ，若∠COF =35°，求∠BOD 的度数. 解：24. 如图所示, 把一根绳子对折成线段AB , 从点P 处把绳子剪断, 已知AP :BP =2:3, 若剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm, 求绳子的原长.解：FEO B A D C左手两手伸出的手指数的和为左手 右手 两手伸出的手指数的和为左手 右手26．如图，已知边长为a的正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC的延长线上, EF与（2）（3）附加题：1.（4分）解方程：.2013669201013382007667xx x +-+=+解：2. （6分）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中海淀区七年级第一学期期末练习数 学参考答案及评分标准2010.1说明: 解答与参考答案解法不同, 合理答案均可酌情相应给分.一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B 9．D 10．B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 1.6×103 12. 2.5a 13. 31° 14. 2 15.∠DAM , ∠NAB ，∠AMB ,∠AMP ,∠AND ，∠ANP 中任意写三个；每个角各给1分 16.110(1分), - 3n (3n +1)（2分） 三、解答题（本题共52分；第17题、第18题各7分；第19 题～第22题各4分；第23 题、第24 题各5分，第25题、第26题各6分） 17．解：（1）1.0)8.2(2934)2(3÷--⨯+- 2868++-= …………………………………………………………………3分=26. ………………………………………………………………………………4分（2） 1914726235|263131959|-+- .2171919147195926235263131914726235195926313=-=--+=-+-= 18．解：（1） 5x +40－5=12x －42. ………………………………………………………1分12x －5x =35+42. ………………………………………………………2分……………………………………………………1分 ……………………………………………………2分 …………………………………………………………………………3分x =11. ………………………………………………………3分（2）6(3x －1) －4(5x －7)=24. (1)分18x －6－20 x +28=24. …………………………………………………2分18x －20 x =24－22 …………………………………………………3分x =-1. ……………………………………………………4分19.说明: 图略. 正确画出第(1)问得2分、 第(2)(3)问各1分，累计4分. 20．解：4y x 2－[6xy －2（4xy －2）－y x 2]＋1 =4y x 2－6xy +2（4xy －2）+y x 2＋1=4y x 2－6xy +8xy －4+y x 2＋1 ……………………………………………2分=5y x 2+2xy －3. ………………………………………………………3分 当x =－21，y =1时, 原式=51)21(2⨯-⨯+21)21(⨯-⨯－3=.411- (4)分21．说明： 每空一分,累计四分.依次填: 两直线平行, 同旁内角互补; ∠B ; AD //BC ; 两直线平行,内错角相等.22．解：设这个班有x 名男生,则这个班有（45-x ）名女生. …………………………1分依题意可列方程4x =5(45-x ). …………………………………………2分解得 x =25(人). …………………………………………………………………3分答: 这个班有25名男生. …………………………………………………………4分23． 解：∵ ∠COE 是直角，∴ ∠COE =90°. …………………………………1分 ∴ ∠FOE =∠COE -∠COF =90°-35°=55°. ………2分 ∵ OF 平分∠AOE ，∴ ∠AOF =∠FOE =55°. …………………………………………………………3分∴ ∠AOC =∠AOF -∠COF =55°-35°=20°. ………………………………4分∵ ∠BOD =∠AOC , ∴ ∠BOD =20°. …………………………………………………………5分24. 解：设AP =2x , 则BP =3x . （1）若A 是绳子的对折点, 则最长一段为2AP =60, 解得AP =30 . ………………1分由AP =2x , 可得x =15, BP =3x =45 . ………………………………………2分绳子的原长为2(AP +PB )=2×(30+45)=150(cm). …………………………………3分（2） 若B 是绳子的对折点, 则最长一段为2BP =60, 解得BP =30 . ………………4分由BP =3x ，可得x =10, AP =2x =20.绳子的原长为2(AP +BP )=2×(20+30)=100(cm). …………………………………5分综上, 绳子的原长为150cm 或100cm 说明：漏答一种情况扣2分.FEOBA CA BP25．解：（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指. …………………………………………………………………1分（2）按照题中示例可知：要计算a ×b ，左手应伸出（a -5）个手指，未伸出的手指数为5- (a -5)=10-a ；右手应伸出（b -5）个手指，未伸出的手指数为5- (b -5)=10-b . …2分两手伸出的手指数的和为(a -5)+(b -5)=a +b -10， 未伸出的手指数的积为(10-a )×(10-b )=100-10a -10b +a ×b . ………………………4分根据题中的规则，a ×b 的结果为10×(a +b -10)+(100-10a -10b +a ×b ). ………5分而10×(a +b -10)+(100-10a -10b +a ×b )=10a +10b -100+100-10a -10b + a ×b = a ×b . …6分 所以用题中给出的规则计算a ×b 是正确的. 26．解：（1）四边形EBFD 的面积为16. ………………………1分（2）CF = AE =31AB =3a .∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ BC =CD =AD =AB =a , ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB =90°, AD //BC .∴ S 四边形ACFD =,322)3(2)(2a aa aCD AD CF =+=+ ……………………………………2分 S 四边形EBFD = S 四边形EBCD + S △CFD = S 四边形EBCD + S △AED =S 正方形ABCD =.2a …………3分∴ S 四边形ACFD : S 四边形EBFD =322a : a 2=2:3. ………………………………………4分（3）CF=AE = a - m , FB = a + a - m =2 a - m . 由(2)知∠ABC =90°, AB =BC , 可得 S △AOE + S 四边形EOCB = S △ABC =.2222a AB =S △COF + S 四边形EOCB = S △EBF =.222)2(22m am m a m FB EB -=-=⋅ (5)分∴ S △AOE + S 四边形EOCB - (S △COF + S 四边形EOCB )= .222222222m am a m am a +-=--即 S △AOE - S △COF = .2222m am a +- …………………………………………………6分附加题：FEDC BA O.2013)2(2013671201013402010)2(20076692007)2(---+-=+-x x x ………………………………2分 .2013)2(31322010)2(312007)2(---+-=+-x x x .0)2)(201312010120071(=-+-x ,0)201312010120071(≠+-∴ x －2=0. ……………………………………………………………………………3分∴ x =2. ……………………………………………………………………………4分2. 说明: 答案不唯一, 图略. 每个图各3分: 展开图1分, 分割线2分; 累计6分.。
北京海淀区2010-2011学年度八年级数学上册期末试题及答案(word无水印版)
海淀区八年级第一学期期末练习数学试卷1. 32- 的绝对值是( )A ．32B ．32-C ．8D ．8-2. 假设分式1263+-x x 的值为0，则( ) A ．2-=xB ．2=xC ．21=xD ．21-=x 3. 如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 边上，︒=∠35DBC ，则ADBC ∠的度数为( )A ．︒25B ．︒60C ．︒85D ．︒95 4. 以下计算正确的选项是( )A ．632a a a =⋅B ．236a a a =⋅C ．632)(a a =D ．2)2)(2(2-=-+a a a5. 小彤的奶奶步行去社区卫生院做理疗，从家走了15分钟到达距离家900米的社区卫生院，她用了20分钟做理疗，然后用10分钟原路返回家中，那么小彤的奶奶离家的距离S 〔单位：米〕与时间t 〔单位：分〕之间的函数关系图象大致是( )6. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或 17D ．10或127. 根据分式的基本性质，分式x x --432可变形为( ) A ．432---x xB ．x x ---432C ．xx --423D ．423---x x8. 已知1=-b a ，则b b a 222--的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 9. 如图，BD 是ABC ∆的角平分线，BC DE //，DE 交AB 于E ，假设BC AB =，则以下结论中错误的选项是( )A ．AC BD ⊥B ．EDA A ∠=∠C ．BC AD =2D ．ED BE =10. 已知定点M 〔1x ，1y 〕、N 〔2x ，2y 〕〔21x x >〕在直线2+=x y 上，假设)()(2121y y x x t -⋅-=，则以下说明正确的选项是( )①tx y =是比例函数；②1)1(++=x t y 是一次函数；③t x t y +-=)1(是一次函数；④函数x tx y 2--=中y 随x 的增大而减小； A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④11. 9的平方根是_____.12. 分解因式：=+-y xy y x 22_________________.13. 函数5+=x xy 的自变量x 的取值范围是_______. 14. 如图在中，AC AB =，︒=∠40A ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ， 则=∠DBC _______度.15. 如图，直线b kx y +=与坐标轴交于A 〔3-，0〕，B 〔0，5〕两点， 则不等式0<--b kx 的解集为_________. 16. 观察以下式子：第1个式子：222345=-；第2个式子：22251213=-第3个式子：22272425=-；……按照上述式子的规律，第5个式子为22211(_____)(_____)=-；第n 个式子为_______________________________(n 为正整数)17. 计算：〔1〕10)31()2011(4---+； 〔2〕)4)(()2(2b a b a b a -++-.18. 如图，在34⨯正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在以下列图方．格内．．添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形。
北京市海淀区2010-学年八年级数学上学期期末考试题 人教新课标版
海淀区八年级第一学期期末练习数 学2011．1学校 班级 姓名 成绩一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请你把对应题目答案的字母填写在相应的括号中.1.-32的绝对值是（ ）A. 32B. -32C. 8D. -8 2．若分式3621x x -+的值为0，则（ ） A ．x ＝-2 B ．x ＝2 C ．x ＝12 D ．x ＝-123. 如图, △ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上, ∠DBC =35︒, 则∠ADB 的度数为（ ）A ．25︒B ．60︒C ．85︒D ．95︒4．下列计算正确的是（ ）A ．632a a a =⋅ B ． 632a a a ÷=C ．632)(a a = D ．2)2)(2(2-=-+a a a5．小彤的奶奶步行去社区卫生院做理疗，从家走了15分钟到达距离家900米的社区卫生院， 她用了20分钟做理疗，然后用10分钟原路返回家中，那么小彤的奶奶离家的距离S （单位：米）与时间t （单位：分）之间的函数关系的图象大致是（ ）6．已知一个等腰三角形的两边长分别为5, 6, 则它的周长为（ ）A. 16B. 17C. 16或17D.10或127. 根据分式的基本性质，分式x x --432可变形为（ ） A ． 234x x --- B ．x x ---432 C ．xx --423D ．423---x x8．已知1=-b a ，则a 2 -b 2-2b 的值为（ ）A B CDA ．0B ．1C ．2D ．49．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE//BC ，DE 交AB 于E , 且AB= BC ，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．BD ⊥AC B ．∠A =∠EDA C ．BC =2AD D ．BE =ED10．已知定点 M （x 1, y 1）、N （x 2, y 2）在一次函数y =x +2的图象上，且x 1>x 2，若t =(x 1-x 2)( y 1- y 2), 则下列说法正确的是（ ）①y =tx 是正比例函数; ②y =(t +1)x +1是一次函数; ③ y =(t -1)x +t 是一次函数; ④ 函数y =-tx -2x 中，y 随x 的增大而减小 A ．①②③ B ．①②④ C ． ①③④ D ．①②③④二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 9的平方根是___________.12.分解因式: x 2y-2xy ＋y = ．13.函数y =5+x x的自变量x 的取值范围是 .14. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A =40︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D . 连接BD ，则∠DBC = .15．如图，直线b kx y +=与坐标轴交于A (-3，0)、B (0，5)则不等式0<--b kx 的解集为 .16. 观察下列式子:第1个式子: 52 -42 = 32,第2个式子: 132 -122= 52,第3个式子: 252 -242= 72,⋯⋯按照上述式子的规律, 第5个式子为 ( ) 2-( ) 2 =112; 第n 个式子为 (n 为正整数).三、解答题（本题共52分；第17题8分；第18 题～第21题各4分；第22题～第24题 各5分; 第25题6分; 第26题7分）NMDCBAEADC17.计算: （1）;31)2011(41-⎪⎭⎫⎝⎛--+解：（2）(2a-b ) 2+ (a +b )(4a -b ). 解：18. 如图，在4⨯3正方形网格中, 阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内．．．添涂2个小正方形，使它们成为轴对称图形． 解：19．先化简，再求值: x x x x 241122+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中1-=x .解：20. 如图, △ABC 中, AB =AC , AM 是BC 边上的中线, 点N 在AM 上, 求证NB =NC .方法一 方法二证明:21.如图, 已知直线b x y +=21经过点A (4, 3), 与y 轴交于点B . （1）求B 点坐标；（2）若点C 是x 轴上一动点, 当AC +BC 的值最小时, 求C 点坐标. 解：22．如图,在四边形ABCD 中, ∠B =90°，DE //AB 交BC 于E 、交AC 于F ，NABC∠CDE =∠ACB =30°，BC =DE ．（1）求证：△FCD 是等腰三角形； （2）若AB=4, 求CD 的长. (1) 证明：(2) 解:23. 小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片, 使它的长宽之比为3 : 2, 请你说明小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片. 解：F DC B A24. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，H 、G 分别在AC 、AB 边上，且HD =BD . （1）求证：∠B 与∠AHD 互补；（2）若∠B +2∠DGA =180°, 试探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.解：G H DC B25. 设关于x的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=, 我们称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=（其中m +n =1）为这两个函数的生成函数．（1）请你任意写出一个y =x +1与y =3x -1的生成函数的解析式； （2）当x =c 时，求y =x +c 与y =3x -c 的生成函数的函数值；（3）若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P (a , 5)，当a 1b 1= a 2b 2=1时，求代数式m 2(a 12a 2+b 12) +n 2(a 22a 2+b 22)+46mn 的值. 解：26.如图, 已知A (-1, 0), B (0, -3), 点C与点A关于坐标原点对称, 经过点C的直线与y轴交于点D, 与直线AB交于点E, 且点E在第二象限.（1）求直线AB的解析式;（2）若点D ( 0, 1), 过点B作BF⊥CD于F, 求∠DBF的度数及△BEF的面积;（3）若点G（G不与C重合）是动直线CD上一点, 且BG=BA, 试探究∠ABG与∠ECA 之间的关系.解：海淀区八年级第一学期期末练习数学参考答案与评分标准 2011.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. A 2．B 3. D 4．C 5．D 6．C 7. A 8．B 9．C 10．B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. ±3 12. y (x -1)213. x ≠ -5 14. 30 15．3->x16. 61, 60 ( 1分) ; (2n 2+2n +1) 2-(2n 2+2n ) 2 =(2n +1)2( 2分)三、解答题（本题共52分；第17题8分；第18 题～第21题各4分；第22题～第24题 各5分; 第25题6分; 第26题7分）说明：解法不同于参考答案, 正确者可参照评分标准相应给分..03123120114 (1):17.1=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-）（解 (2) (2a-b ) 2+ (a +b )(4a -b )=4a 2 -4ab +b 2 +4a 2 -ab +4ab -b 2………………………………………………3分=8a 2-ab . ……………………………………………………………………4分 18. 答案不唯一，参见下图. 正确画出一个图给2分; 累计4分.221419.121(2)(2)(2)1.2: x x x x x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭-+=⋅+--=-解………………………………………………3分 ………………………………………………4分………………………………………………3分………………………………………………2分当1-=x 时, 原式=3221)1(121-=----=--x x 20. 证明: ∵ AB =AC , AM 是BC ∴ AM ⊥BC . ∴ AM 垂直平分BC .∵ 点N 在AM 上，∴ NB =NC . 21. 解：(1)由点A (4, 3)在直线b x y +=21上, 得.4213b +⨯= b =1.∴ B (0, 1). ………………………………………1分(2) 如图, 作点A (4, 3)关于x 轴的对称点A ' (4, -3), 连接BA '交x 轴于点C , 则此时AC +BC 取得最小值. …………………………………2分 设直线BA '的解析式为1+=kx y , 依题意-3=4k +1. k =-1.∴ 直线BA '的解析式为1+-=x y . …………………………………………………3分 令y =0, 则x =1.∴ C (1, 0). …………………………………………………4分22．解: (1) 证明：∵ DE //AB , ∠B =90°， ∴ ∠DEC =90°.∴ ∠DCE =90°-∠CDE =60°. ∴ ∠DCF =∠DCE -∠ACB =30°.∴ ∠CDE =∠DCF . …………………………………………………1分 ∴ DF =CF .∴ △FCD 是等腰三角形. …………………………………………………2分(2) 解: 在△ACB 和△CDE 中,⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=︒=∠=∠,30,,90 CDE ACB DE BC DEC B ∴ △ACB ≌△CDE .∴ AC =CD . …………………4分在Rt △ABC 中, ∠B =90°, ∠ACB =30°，AB =4,∴ AC =2AB =8.∴ CD =8. …………………………………………………………5分FD A用心 爱心 专心1123. 解：设长方形纸片的长为3x (x >0)cm ，则宽为2x cm ，依题意得3x ⋅2x =300. ……………………………………………………………………2分6x 2=300.x 2=50.∵ x >0，∴ x =50. (3)分∴ 长方形纸片的长为350cm. ∵ 50>49,∴50>7.∴ 350>21, 即长方形纸片的长大于20cm. …………………………………………4分由正方形纸片的面积为400 cm 2, 可知其边长为20cm, ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. …………………………5分24. 解:（1）证明：在AB 上取一点M , 使得AM =AH , 连接DM .∵ ∠CAD =∠BAD , AD =AD ,∴ △AHD ≌△AMD . ……………………1分 ∴ HD =MD , ∠AHD =∠AMD .∵ HD =DB ,∴ DB= MD .∴ ∠DMB =∠B . …………………………2分∵ ∠AMD +∠DMB =180︒,∴ ∠AHD +∠B =180︒. ………………………3分 即 ∠B 与∠AHD 互补.（2）由（1）∠AHD=∠AMD , HD =MD , ∠AHD +∠B =180︒.∵ ∠B +2∠DGA =180︒, ∴ ∠AHD =2∠DGA . ∴ ∠AMD =2∠DGM .∵ ∠AMD =∠DGM +∠GDM . ∴ 2∠DGM=∠DGM +∠GDM .∴ ∠DGM =∠GDM . ………………………………………………………………4分 ∴ MD =MG . ∴ HD = MG . ∵ AG = AM +MG ,∴ AG = AH +HD . ……………………………………………………………5分 25. 解：（1）答案不唯一. 比如取m =2时， n =-1.HD C BA用心 爱心 专心12生成函数为y =2(x +1)-(3x -1)=-x +3，即y =-x +3. ……………………………1分（2）当x =c 时，y =m (x +c )+n (3x -c )=2c (m +n ). ……………………………………………2分∵1=+n m ,∴ y =2c (m +n )=2c . ……………………………………………3分（3）法一：∵点 P (a , 5) 在11b x a y +=与22b x a y +=的图象上,∴ 511=+b a a ，522=+b a a . …………………………………………………4分 ∴ a 12a 2+b 12=( a 1a +b 1)2-2 aa 1b 1 =52-2 aa 1b 1, a 22a 2+b 22= (a 2a +b 2)2-2aa 2b 2=52-2aa 2b 2. …………………………………………………5分当 a 1b 1= a 2b 2=1时,m (a 12a 2+b 12) +n (a 22a 2+b 22)+ 2ma +2na = m (52 -2a ) + n (52 -2a ) + 2ma +2na =25(m +n ). ∵1=+n m ,∴ m (a 12a 2+b 12) +n (a 22a 2+b 22)+ 2ma +2na =25(m +n )=25. ……………………………6分 法二：∵点P (a , 5)在11b x a y +=与22b x a y +=的图象上,∴ 511=+b a a ，522=+b a a . …………………………………………………4分 当 a 1b 1= a 2b 2 =1时,m (a 12a 2+b 12) +n (a 22a 2+b 22)+2ma +2na= m (a 12a 2 +2aa 1b 1+b 12) +n (a 22a 2 +2aa 2b 2+b 22)=m (a 1a +b 1) 2+ n (a 2a +b 2) 2…………………………………………………5分=m ⋅52+n ⋅52=25(m +n ). ∵ m +n =1,∴ m (a 12x 2+b 12) +n (a 22x 2+b 22)+2ma +2na =25(m +n )=25. ……………………………6分 26. 解：（1）依题意，设直线AB 的解析式为3-=kx y .∵ A （-1，0）在直线上，∴ 0= -k -3. ∴ k=-3.∴直线AB 的解析式为33y x =--. …………………………………………1分（2）如图1，依题意，C （1，0），OC ＝1. 由D （0，1）,得OD ＝1.在△DOC 中，∠DOC ＝90°，OD ＝OC ＝1.可得 ∠CDO ＝45°. ∵ BF ⊥CD 于F , ∴ ∠BFD ＝90°.用心 爱心 专心13∴ ∠DBF ＝90°-∠CDO =45°. …………………2分可求得直线CD 的解析式为 1.y x =-+ 图1 由 331y x y x =--⎧⎨=-+⎩，，解得23.x y =-⎧⎨=⎩，∴ 直线AB 与CD 的交点为E (-2，3). …………………………………………3分过E 作EH ⊥y 轴于H , 则EH ＝2. ∵ B (0，- 3), D (0，1), ∴ BD ＝4.∴ 114241 6.22BCE BDE BDC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=………………………………4分 （3）连接BC , 作BM ⊥CD 于M .∵ AO =OC ,BO ⊥AC , ∴ BA =BC .∴ ∠ABO =∠CBO .设 ∠CBO =α，则∠ABO =α，∠ACB =90︒-α. ∵ BG =BA ， ∴ BG =BC . ∵ BM ⊥CD ,∴ ∠CBM =∠GBM .设∠CBM =β，则∠GBM =β，∠BCG ＝90︒-β.(i) 如图2，当点G 在射线CD 的反向延长线上时，∵ ∠ABG =222(),αβαβ+=+∠ECA =180(90)(90).αβαβ----=+∴ ∠ABG =2∠ECA . (ii) 如图3，当点G 在射线CD 的延长线上时， ∵ ∠ABG =222(),αβαβ-=-∠ECA =(90)(90).βααβ---=-∴ ∠ABG =2∠ECA . 综上，∠ABG =2∠ECA 说明：第（3）问两种情况只要做对一种给 2。
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海 淀 区 七 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学 答 案 2011.1
一、选择题：（本题共36分，每题3分）
二、填空题：（本题共27分，每空3分）
13．5-； 14．5.61； 15．7913'︒（全对才得分，写成7873'︒不得分）； 16. 2-； 17.余角相等，130； 18．20； 19．8； 20．A 、B 、E （注：若有错误的选项，不得分；若没有错误的选项，对一个，给1分）；
三、解答题：（本题共18分，第21题8分，每小题各4分，第22题5分，第23题5分） 21．（1）12524(
)236-⨯+-. 解法一：原式12524(24)(24)2
3
6
=-⨯+-⨯
--⨯
121620=--+ ---------------------3分
8=-． ----------------------4分 解法二：原式1243
=-⨯
----------------------3分
8=-． ----------------------4分 （2）2
21
9(3)(1)
2
-÷
+-.
解：原式＝29(1)9
⨯+- ----------------------3分
＝21-
＝1. ----------------------- 4分 22．解方程：
14112
3
x x --=-.
解：方程两边同时乘以6，得
3(1)2(41)6x x -=--. ----------------------2分
33826x x -=--. ----------------------3分 8338x x +=+.
1111x =. ----------------------4分 1x =. ----------------------5分
23．先化简，再求值：22
23(2)x y x y +--（），其中2
1=
x ，1-=y .
解：原式22622x y x y =+-+----------------------2分 243x y =+. ----------------------3分
当2
1=
x ，1-=y 时，
原式2
1
4()3(1)2
=⨯+⨯- ---------------------- 4分
1
4(3)4
=⨯+-
1(3)=+-
2=-. ----------------------5分
（直接代入求值的，若答案正确给2分，否则不给分） 四、解答题：（本题共5分）
24. 解：设这个班有x 名学生. ----------------------1分
320425x x +=-. ---------------------- 3分 432025x x -=+.
45x =. ---------------------- 4分
答：这个班有45名学生. ---------------------- 5分
(注：没有列方程解应用题，但是有解题步骤，并且答案正确的，给2分) 五、解答题：（本题共8分，第25题4分，第26题4分） 25. 解：（1）4； ---------------------- 1分 （2）88； ---------------------- 2分
（3）设观众想的数为a . ---------------------- 3分
36753
a a -+=+.
因此，魔术师只要将最终结果减去5，就能得到观众想的数了. ---------------------- 4分 （注：第（3）问没有列代数式或方程解决，但是分析较为合理的，给1分)
26．解：（1）
(点D 和点'D 各1分) --------------2分
（2）∵ E 为线段A D 的中点， ∴ 12A E A D =
.
如图1，点D 在线段A B 的延长线上. ∵ 5,3A B B D ==, ∴ 8AD AB BD =+=. ∴ 4A E =.
∴ 1BE AB AE =-=. ----------------------3分 如图2，点D 在线段A B 上. ∵ 5,3A B B D ==, ∴ 2AD AB BD =-=. ∴ 1AE =.
∴ 4BE AB AE =-=.
综上所述，BE 的长为1或4.----------------------4分 （注：第（2）问没有过程但是两个结论都正确的，给1分) 六、解答题：（本题共6分）
27．解：（1）①10；----------------------1分 ②35；----------------------2分 （2） 1
80(90)2
n --
；----------------------4分
（注：写成160(90)2
n
-
的不扣分，丢掉括号的不扣分）
（3） 45αβ-=︒；----------------------5分 理由：不妨设1n C k -∠=. 根据题意可知，2
n k C ∠=
.
在△11n n n A A C --中，由小知识可知11n n n A A C --∠=902
k α=︒-.
∴ 11n n n A A C +-∠=180α︒-=902
k ︒+
.
图1
图
2
在△1n n n A A C +中，由小知识可知1n n n A A C +∠= 904
k ︒-.
∵ N A n 平分11n n n A A C +-∠，
∴ 1∠=
12
11n n n A A C +-∠=454
k ︒+
.
∵ 1n n n A A C +∠=1n n C A N ∠+∠， ∴ 904k ︒-=454
k β︒+
+.
∴ 902
k ︒-
=45β︒+.
∴ α=45β︒+.
∴ 45αβ-=︒.----------------------6分
(对于本卷中学生的不同解法，请老师根据评分标准酌情给分)。