第9讲 二次函数的应用(2014!.解析.培优竞赛新方法)

二次函数的应用（最值问题）
【知识纵横】
设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，自变量在没有限制条件时： 当a b x a 2,0-=>时，a
b a
c y 442-=最小值，无最大值； 当a b x a 2,0-=<时，a
b a
c y 442-=最大值，无最小值； 二次函数的最值应用主要体现在以下方面：（不一定是顶点！！！）
（1） 解决实际问题中的最值问题：
①恰当设自变量、因变量；②建立变量间的函数关系；③求出最值。

（2） 探讨几何图形中相关元素的最值：
发现、构造相似三角形、运用面积公式是求几何图形中相关变量函数关系的基本工具，而确定自变量的取值范围是极其重要的一步，基本方法有：
①解由相关量的非负性建立不等式（组）；②考察极端位臵。

（3） 解含参数的二次函数最值问题时，常需要运用分类讨论法，将问题转化为条件限定
的二次函数最值问题的探讨。

注：二次函数的最值问题需在数学思想方法的高位引领下进行，常见的基本方法有：
①由顶点确定最值；②在自变量取值范围内确定最值；③依对称性确定最值。

【例题求解】 【例1】（2014. 江苏省南通市）已知实数m,n 满足m-n 2=1，则代数式
m 2+2n 2+4m-1的最小值等于 。

思路点拨：代入消元，建立关于m 或n 的二次函数。

★【例2】（2014.浙江省嘉兴市）当-2≤x ≤1时，二次函数y= -(x-m)2+m 2+1有最大值4，
则实数m 的值为（ ）
A 、-47
B 、3或 -3
C 、2或-3
D 、2或3或-4
7 思路点拨：顶点坐标（m, m 2+1），最大值一定在顶点处吗？故应就m 与-2≤x ≤1情形全面讨
论。

即根据对称轴的位臵，分三种情况（按界点分段）讨论求解即可 【例3】（2014.四川省成都市）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB=x （m ）．
（1）若花园的面积为192m 2
，求x 的值；
★（2）若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值．
★【例4】（2014.重庆市中考）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．
★★【例5】（湖南省长沙市中考）在建设“两型”社会的过程中，为推进节能减排，发
展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购
买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市
场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售
量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说
明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏
损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为
10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第
一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不
低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
【例6】（2014.山东荷泽市中考）如图，Rt⊿ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、
F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，⊿ABC 与正方形CDEF重叠部分的面积为y，
则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（A ）
A B C D
思路点拨：求函数解析式，确定函数图象，随着x变形，重叠部分形状也改变，注意特殊位臵、临界位臵
别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
（）（）（）（）
5、（2014.青海省西宁市）今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内
解决低收入人群住房问题．已知第x 年（x 为正整数）投入使用的并轨房面积为y 百万平方米，且y 与x 的函数关系式为y=-6
1x+5．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x 年投入使用的并轨房的单位面积租金z 与时间x 满足一次函数关系如下表：
（1）求出z 与x 的函数关系式；
（2）设第x 年政府投入使用的并轨房收取的租金为W 百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？
8、（2014.福建莆田市）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1（元）与销售时间第x 月之间存在如图1（一条线段）的变化趋
势，每千克成本y 2（元）与销售时间第x 月满足函数关系式y 2=mx 2
﹣8mx+n ，其变化趋势如图2．
（1）求y 2的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
★9、（2011海南省中考题）如图，已知抛物线2
29b bx x y -++-=（b 为常数）经过坐标原点O ，且与x 轴交于另一点E ．其顶点M 在第一象限．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点A 是该抛物线上位于x 轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A 作x 轴的平行线交该抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于点B ，DE ⊥x 轴于点C ．
①当线段AB 、BC 的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD 的周长；
②求矩形ABCD 的周长的最大值，并写出此时点A 的坐标；
★★③当矩形ABCD 周长取得最大值时，它面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由．
★★10、（2014.甘肃天水市）如图（1），在平面直角坐标系中，点A （0，﹣6），点B （6，0）．Rt △CDE 中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD 在y 轴上，且点C 与点A 重合．Rt △CDE 沿y 轴正方向平行移动，当点C 运动到点O 时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时，设CE 交AB 于点M ，求∠BME 的度数．
（2）如图（3），在Rt △CDE 的运动过程中，当CE 经过点B 时，求BC 的长．
（3）在Rt △CDE 的运动过程中，设AC=h ，△OAB 与△CDE 的重叠部分的面积为S ，请写出S 与h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．
11、（2011.南宁中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过A （3,0），B （0，-3）两点，点P 时直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t 。

（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；
（2）若点P 在第四象限，连接BM 、AM ，当线段PM 最长时，求ABM ∆的面积；
（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由。

【家庭作业2】
1、(2011日照市中考题)正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM=_____时，四边形ABCN 的面积最大．
★2、（2011年安徽省中考题）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点（不与点A、C 重合）．过点P且垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．若AC=2，BD=1，设AP=x，MN=y，则y关于x的函数图象的大致形状是（B）
A B C D
★3、（辽宁省中考题）如图，已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE，其中1
,2=
=BF
AF。

试在AB上求一点P，使矩形有最大面积。

思路点拨设x
PM
DN=
=，矩形的面积有y，建立y与x的函数关系式，解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围。

4、（2014.湖北省武汉市）九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果。