六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆

六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题,其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．1．在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】 设这个两位数为ab ,则数字和为a b +,这个数可以表达为10a b +,有()()104a b a b +÷+=即1044a b a b +=+,亦即2b a =．注意到a 和b 都是0到9的整数,且a 不能为0,因此a 只能为1、2、3或4,相应地b 的取值为2、4、6、8．综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48．2．设A 和B 都是自然数,并且满足1711333A B +=,那么A+B 等于多少?【分析与解】 将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3．3．甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支．有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3取模(系数7,3中,3最小)：得x=2(mod 3),所以x可以取2,此时y取12；x还可以取2+3=5,此时y取5；即212xy=⎧⎨=⎩、55xy=⎧⎨=⎩,对应x y+为14、10所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．4．有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张, 列方程如下：由()()601101001000100002a b c da b c d+++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩(2)(1)得9999999940b c d++=③注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元．5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数,所以截成若干根这两种型号的短管,截去的总长度必是12的倍数,但374被12除余2,所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米． 另一方面,374=27×12+4×12+2,而36÷12=3,24÷12=2,有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管,剩余2厘米．因此剩余部分的管子最少是2厘米．6．某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工x 人,孩子y 人,则女职工3y -x 人(注意,为何设孩子数为y 人,而不是设女职工为y 人),那么有()131036x y x y +-+=216,化简为336x y +=216,即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 但是,女职工人数为3y x -必须是自然数,所以只有125x y =⎧⎨=⎩时,33y x -=满足．那么男职工数只能为12名7．一居民要装修房屋,买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来,可以得到许多种长度的木条,例如：O.7+O.7=1.4米,0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中,哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米,0.8米两种木条分别x,y根,则0.7x+0.8y=3.43.6,…即7x+8y=34,36,37,38,39将系数,常数对7取模,有y≡6,l,2,3,4(mod 7),于是y最小分别取6,1,2,3,4．但是当y取6时,8×6=48超过34,x无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．8.小萌在邮局寄了3种信,平信每封8分,航空信每封1角,挂号信每封角,她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然,为了使3种信的总和最少,那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信,然后是航空信,最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．所以,2分,10n+2分应该为平信的邮费,n最小取3,才是8的倍数,所以平信至少要寄4封,此时剩下的邮费为122-32=90,所以再寄4封挂号信,航空信1封即可．于是,小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．9.有三堆砝码,第一堆中每个砝码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码,使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】为了使选取的砝码最少,应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4,所以3克、5克的砝码应组合为4克,或4+7k克重．设3克的砝码x个,5克的砝码y个,则3547+=+．x y k当k=0时,有354+=,无自然数解；x y当k=1时,有3511+=,有x=2,y=1,此时7克的砝码取17个,所以共x y需2+1+17=21个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．当k>1时,7克的砝码取得较少,而3、5克的砝码却取得较多,不是最少的取砝码情形．所以共需2+1+17=20个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．10．5种商品的价格如表8—1,其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品,那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件,则有()----++++=60．2.910 4.77.210.614.9b c d e b c d e+++=310,显然e只能取0,1,2．184377120b c d eⅠ有184377b c d++=310,其中d可取0,1,2,3,4．(1)当d=0时,有1843+=310,将系数,常数对6取模得：b cc≡4(mod 6),于是c最小取4,那么有18b=310-43×4=138,b不为自然数．所以d=0时。

不满足；(2)有1843+=233,将系数,常数对6取模得：b cc≡5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-43×5=18,；(3)有1843+=156,将系数,常数对6取模得：b cc≡O(mod 6),于是c最小取0,那么有18b=156,b不为自然数,所以d=2时,不满足；(4)有1843+=79,将系数、常数对6取模得：b cc≡1(mod 6),于是最小那么有18b=79—43=36．(5)当d=4时,有1843+=2,显然不满足．b cⅡ有184377++=190,其中d可以取0、1、2．b c d(1)有1843b c+=190,将系数、常数对6取模有：c≡4(mod 6),于是最小那么有18b=190-43×4=18,(2)当d=1时,有1843b c+=113,将系数、常数对6取模有：c≡5(mod 6),于是c最小取5,即18b+215=113,显然d=1时,不满足；(3)有1843b c+=36,显然有时Ⅲ有184377b c d++=70,d只能取0,有1843+=70,将系数、常数对6取模有：b cc≡4(rood 6),于是c最小取4,那么有18b+172=70,显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有4种不同的选购方法．11．有43位同学,他们身上带的钱从8分到5角,钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?【分析与解】 钱数除以5余0,1,2,3,4的人,分别买0,2,4,1,3张3分的画片．因此,可将钱数8分至5角2分这45种分为9组,每连续5个在一组,每组买3分画片0+2+4+1+3=10张,9组共买10×9=90张,去掉5角1分钱中买的2张3分画片,5角2分中买的4张3分画片,43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张．12．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和,并且其中的一个数的个位数字是1．【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11,31,41,61,71．其中168-11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是两位数,只有168-71=97是两位数,而且是质数,所以168=71+97是惟一解．13．(1)将50分拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能大,那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能小,那么这个最大的质数是多少?【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等,不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29,显然大于50．所以,其中一定可以有某几个质数相等．欲使最大的质数尽可能大,那么应使最小的质数尽可能小,最小的质数为2,且最多可有9个2,那么最大质数不超过50—2×9=32,而不超过32的最大质数为31．又有82502222331=++++++个,所以满足条件的最大质数为31．(2)最大的质数必大于5,否则10个质数的之和将不大于50．所以最大的质数最小为7,为使和为60,所以尽可能的含有多个7．60÷7=8……4,8760=7+7+7++7+4个,而4=2+2,恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60,显然其中最大的质数最小为7．14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币,用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元),于是除了50分和100分外,其他98种币值就可以两两配对了,即(1,99)；(2,98)；(3,97)；(4,96)；…；(49,51)；每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成,则另一个也一定可以,显然50分和100分的币值是可以组成的,因此只需要讨论币值为1分,2分,3分,…,48分和49分这49种情况．1分和3分的币值显然不能构成．2分,4分,6分,…,46分,48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．5分,7分,9分,…,47分,49分等23种奇数币值的只须分别在4分,6分,8分,…46分、48分的构成方法上,用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可,譬如,37分币值的,由于36分币值可用18枚贰分硬币构成,用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币,剩下的币值即为37分．综合以上分析,不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种,即1分,3分,97分,99分．15．小明买红、蓝两支笔,共用了17元．两种笔的单价都是整数元,并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种),可是他无论怎么买,都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【分析与解】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先,不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元,所以含有7,5,1的组合不可能．然后,也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元,那么再买这种笔就可以花去18元,一共花35元．所以含有9,6,3,2的组合也不可能．所以,只有13+4的组合可能,经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知每7个大和尚每天共吃41个馒头,每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头,问：庙里至少有多少个和尚．2．小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声；晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天,它们并不是,每天早晚都见面,在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱,鸡翁直钱五,鸡母直钱三,鸡雏三直一,百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?。