六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆

六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考

《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].

解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．

本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题,其中③④步骤中加入百鸡问题．

复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．

整数分拆问题：11、12、13、14、15．

1．在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为ab ,则数字和为a b +,这个数可以表达为

10a b +,有()()104a b a b +÷+=

即1044a b a b +=+,亦即2b a =．

注意到a 和b 都是0到9的整数,且a 不能为0,因此a 只能为1、2、3或4,相应地b 的取值为2、4、6、8．

综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48．

2．设A 和B 都是自然数,并且满足

1711333

A B +=,那么A+B 等于多少?

【分析与解】 将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3．

3．甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?

【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支．

有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：

将系数与常数对3取模(系数7,3中,3最小)：

得x=2(mod 3),所以x可以取2,此时y取12；x还可以取2+3=5,此时y取5；

即

2

12

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

、

5

5

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

,对应x y

+为14、10

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．

4．有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张, 列方程如下：

由

()

()

601

101001000100002

a b c d

a b c d

+++=

⎧⎪

⎨

+++=

⎪⎩

(2)(1)得9999999940

b c d

++=③

注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元．

5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽

略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数,所以截成若干根这两种型号的短管,截去的总长度必是12的倍数,但374被12除余2,所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米． 另一方面,374=27×12+4×12+2,而36÷12=3,24÷12=2,有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管,剩余2厘米．

因此剩余部分的管子最少是2厘米．

6．某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工x 人,孩子y 人,则女职工3y -x 人(注意,为何设孩子数为y 人,而不是

设女职工为y 人),

那么有()131036x y x y +-+=216,化简为336x y +=216,即12x y +=72．

有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩

. 但是,女职工人数为3y x -必须是自然数,所以只有125

x y =⎧⎨=⎩时,33y x -=满足．

那么男职工数只能为12名

7．一居民要装修房屋,买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来,可以得到许多种长度的木条,例如：O.7+O.7=1.4米,0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中,哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0.7米,0.8米两种木条分别x,y根,则0.7x+0.8y=3.4

3.6,…

即7x+8y=34,36,37,38,39

将系数,常数对7取模,有y≡6,l,2,3,4(mod 7),于是y最小分别取6,1,

2,3,4．

但是当y取6时,8×6=48超过34,x无法取值．

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．

8.小萌在邮局寄了3种信,平信每封8分,航空信每封1角,挂号信每封角,她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然,为了使3种信的总和最少,那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信,然后是航空信,最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．所以,2分,10n+2分应该为平信的邮费,n最小取3,才是8的倍数,所以平信至少要寄4封,此时剩下的邮费为122-32=90,所以再寄4封挂号信,航空信1封即可．

于是,小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．

9.有三堆砝码,第一堆中每个砝码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码,使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】为了使选取的砝码最少,应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18

……4,所以3克、5克的砝码应组合为4克,或4+7k克重．

设3克的砝码x个,5克的砝码y个,则3547

+=+．

x y k

当k=0时,有354

+=,无自然数解；

x y