6.1-2定积分的应用
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1nn n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b ab a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
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微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
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与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
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二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
第6章定积分及其应用解析
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记||T|| max{x1, x2 , , xn } ，如果不论对[a, b]
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
积 表
分 变
黎曼积分
达 式
量
[a , b] 上不可积 .
n
若
lim
T 0 i1
f (i )xi
不存在，则称
f (x) 在
注意:
1o. 定积分是积分和的极限，其结果是一个数，
它只与被积函数 f 和积分区间[a, b] 有关，而与
所用的积分变量的记号无关 .
即
b
b
b
f ( x)dx f (t)dt f (u)du .
例如，求由曲线y x 2 ,直线y 0, x 0, x 1所围
平面图形的面积。
公元前二百 多年前的阿 基米德就已 会用此法求 出许多不规 则图形的面 积
Aera=?
阿基米德
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a
a
a
2o. 当 T 0, 分点个数n ;但反之不然.
3o. 若 f 在 [a, b]的某一个积分和的极限不存在 ，
或若 f 在 [a, b] 的某两个积分和的极限都存在但 极限值 不相等，则 f ( x) 在[ a , b ] 上不可积.
4o . 如果 f ( x) 在 [a, b] 上可积 ， 则
定积分及其应用
下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.
、平面图形的面积
根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形
(1)由一条曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及x轴围成的平面图形
O
(8,4)
-2
y
y+dy
4
A1
A2
(2,-2)
y2=2x
y=x-4
x
y
图6-11
O
x
a
b
xy=f(x)ຫໍສະໝຸດ 图 6-13( b) y x+dx
x
1
x
O
图6-14
x
图6-15
(a)
y
y+dy
2
1
y
O
(b)
O
a
A(x)
b
x
图 6-16
O B x a P Q
01
02
A
a
x
R
03
图6-17
y
当 在区间[a,b]上的值有正有负时,则由曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.
O
x
b
a
y=f ( x)
y=g( x)
图
图 6-9
x
y
O
x
x+dx
y
O
图6-10
y
a
b
x+dx
x
-a
本章的基本要求 理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿―莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. 重点 定积分的概念和性质， 牛顿―莱布尼茨公式， 定积分换元法和分部积分法， 利用定积分计算平面图形的面积.
第六章 定积分的应用(教学笔记)
2 .选择积分变量并定区间：选取 x 为积分变量，则 0 ≤ 3 .给出面积元素在 0 ≤ x ≤ 2 上， 在 2 ≤ x ≤ 8 上， 4 .列定积分表达式
4
−4
事实上, 也可以选择 x 为积分变量, 积 分 区 间 为 [0， 如图, 当小区间 8] . 面积微元为 [ x, x + dx] 取 在 [0， 2] 中 时 ,
dA = [ 2 x − (− 2 x )]dx , 而当小区间取
在 [2， 8] 中 时 , 面 积 微 元 为
4
y
y = 2x
(8,4)
dA = [ 2 x − ( x − 4)]dx , 因此, 积分区间
须分成 [0， 即所给图形由 2] 和 [2， 8] 两部分,
o
x=4 -y
y = − 2x
x
直线 x = 2 分成两部分, 分别计算两部分的面积再相加, 得所求面积, 即
A = ∫ [ 2 x − (− 2 x )]dx + ∫ [ 2 x − ( x − 4)]dx
解：
a 0 x = a cos t , (0 ≤ t ≤ 2π ) ， S = 4 ∫ ydx = 4∫π b sin td (a cos t ) = π ab 0 2 y = b sin t ,
或S = 4
∫
b
0
xdy = 4 ∫ 2 a cos td (b sin t ) = π ab
n
i
的极限
方才是精确值 A 。关键是确定 ∆ Ai ≈ f (ξ i ) ∆ x i ( ∆ Ai − f (ξ i ) ∆ xi = o ( ∆ xi ) )
定积分的应用
定积分的应用在我们的生活中，有很多场景都需要用到定积分。
而在数学上，定积分也起到了重要的作用。
定积分可以计算曲线下的面积，如求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的面积。
接下来，我们将介绍一些常见的定积分的应用。
一、曲线下的面积假设我们有一个区间 $[a,b]$，以及一个函数 $f(x)$。
我们可以使用定积分来计算这个函数在该区间上的曲线下的面积。
这个面积可以用下面的式子来计算：$$ S=\int_{a}^{b}f(x)dx $$ 其中，$\int$ 表示定积分。
如果我们以 $f(x)\geq 0$ 的形式进行了定义，那么定积分就可以计算出曲线下的正面积。
例如，如果我们要计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积，我们可以通过下面的定积分来计算：$$ S=\int_{0}^{1}x^2dx $$利用积分的定义，可以将该式子化简为：$$ S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\Delta x $$ 其中，$\Delta x=\frac{1}{n}$ 且 $x_i=i\Delta x$。
如果我们取 $n=100$，你会发现：$$ S=0.010050167\cdots $$ 这时，我们就可以知道函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积为约为 $0.010050167$。
二、体积类似于计算曲线下的面积，定积分也可以用于计算体积。
我们可以使用定积分来计算旋转曲面的体积，例如旋转曲面、扫描曲面等。
例如，假设我们需要计算曲线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围在 $y$ 轴旋转一周所形成的立体的体积，我们可以使用下面的公式计算出体积：$$ V=\int_{0}^{1}\pi y^2dx $$替换掉 $y=x^2$ 的值，我们得到：$$ V=\int_{0}^{1}\pi x^4dx $$ 计算该定积分的结果为：$$ V=\frac{\pi}{5} $$ 所以，曲线$y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围所形成的立体的体积为$\frac{\pi}{5}$。
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
定积分及其应用
设f（x）≥0，则由曲线y=f（x）、直线x=a、x=b以及x轴所围成的
曲边梯形的面积等于以区间［a，b］的长度为底、以f（ξ ）为高的 矩形的面积（见图6-3）．
图 6-3
6.1 定积分的概念与性质
【例6-4】 不计算定积分，比较下列各组积分值的大小. 解 （1）因为当x∈［1，2］时，lnx≤lnx2，由定积分的上述性质得 （2）因为当x∈0，π4时，sinx≤cosx，同样由定积分的上述性质得
第二步 取近似. 把每小段［ti-1，ti］上的运动视为匀速，任取时刻ξ i∈［ti-1，ti］，做乘
积v（ξ i）Δ ti，显然这小段时间所走路程Δ si可近似表示为 Δ si≈v（ξ i）Δ ti,i=1,2,…,n
第三步 求和. 把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即
第四步 取极限. 记 ，则 （6-2）
6.1 定积分的概念与性质
由定积分的定义，前面两个实例可分别表述为：
由曲线y=f（x）（≥0），直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形面积为 以速度v（t）（≥0）做变速直线运动的物体，从时刻T1到T2通过的路程为
下面我们不加证明地给出函数f（x）在区间［a，b］上可积的两个充分条件. 定理6.1 若函数f（x）在区间［a，b］上连续，则f
分∫xaf(x)dx存在,此时x既表示积分上限,又表示积分变
量.因定积分与积分变量无关,为避免混淆,把积分变量x 改写成t,于是上面的定积分可以写成∫xaf(t)dt.
显然,当x在区间a,b上任意变动时,对应于每一个x值,积
分∫xaf(t)dt.都有一个确定的数值与之对应,所以在区间 a,b上定义了一个关于上限x的函数,记作Φx,即
6.1 定积分的概念与性质
初中数学知识归纳定积分的计算和应用
初中数学知识归纳定积分的计算和应用初中数学知识归纳——定积分的计算和应用定积分是数学中重要的概念之一，具体来说，它是用来计算曲线与x轴之间的面积的。
在初中数学中，我们通常不会涉及具体的计算过程，但是了解其基本原理和应用是十分重要的。
下面将介绍定积分的计算方法和应用。
一、定积分的计算方法1. 几何意义定积分的计算可以理解为曲线与x轴之间的面积计算。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算函数在区间[a, b]上的点与x轴之间的面积。
具体而言，这个面积可以被分成许多矩形的和，每一个矩形的高度为f(x)，宽度为dx。
当我们将这些矩形的面积相加，并让dx无限接近于0时，我们就可以得到一个近似的结果。
通过极限的推导，我们可以得到定积分的计算公式：∫[a, b] f(x)dx。
2. 基本计算方法在初中数学中，我们主要了解一些基础的函数的定积分计算方法，例如多项式函数、幂函数和三角函数等。
对于多项式函数，我们可以使用基本的求导公式来计算其定积分。
例如，对于函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用公式∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数，来计算其定积分。
对于幂函数和三角函数，我们可以使用换元法和分部积分法来计算其定积分。
通过合适的变量替换和部分积分，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而进行计算。
3. 数值计算方法在实际问题中，我们常常无法找到函数的原函数，无法直接计算定积分。
这时，我们可以使用数值计算方法来近似计算定积分的值。
常用的数值计算方法有矩形法和梯形法。
矩形法将区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
梯形法则是将区间分成若干个梯形，计算这些梯形的面积之和作为定积分的近似值。
随着小矩形或梯形越来越多，近似值也会越来越接近真实值。
二、定积分的应用1. 几何应用定积分的最主要的应用之一就是计算曲线与x轴之间的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算椭圆、抛物线和心形线等曲线的面积。
45001标准6.1.2的理解和应用
45001标准6.1.2的理解和应用摘要：1.45001 标准的概述2.6.1.2 条款的内容解释3.6.1.2 条款的应用实例4.总结与建议正文：【1.45001 标准的概述】45001 标准，全称为“GB/T 45001-2020 职业健康安全管理体系要求及使用指南”，是我国在2020 年发布的一项关于职业健康安全管理体系的国家标准。
该标准旨在为企业提供一个统一的职业健康安全管理框架，帮助企业有效地识别和管理职业健康安全风险，从而降低员工在工作过程中可能遭受的伤害和疾病风险。
【2.6.1.2 条款的内容解释】在45001 标准中，6.1.2 条款主要涉及组织的职业健康安全目标和计划。
具体来说，这一条款要求组织应制定、实施和保持职业健康安全目标，以消除危险源和降低职业健康安全风险。
此外，组织还应制定和实施职业健康安全计划，确保目标的实现。
【3.6.1.2 条款的应用实例】为了更好地理解和应用6.1.2 条款，我们可以通过以下实例进行说明：假设某企业存在化学品泄漏的风险，可能导致员工中毒。
为了降低这一风险，企业需要制定职业健康安全目标。
具体来说，企业可以设定目标：在接下来的一年内，将化学品泄漏事故减少50%。
为了实现这一目标，企业需要制定相应的计划，包括但不限于：- 对现有化学品存储、搬运和操作流程进行评估，找出可能导致泄漏的关键环节；- 针对关键环节，制定改进措施，如加强员工培训、更新设备、完善应急预案等；- 定期检查和评估改进措施的实施效果，对未达到预期效果的措施进行调整和优化；- 对实现目标的过程进行持续监测，确保目标达成。
【4.总结与建议】总之，45001 标准6.1.2 条款要求组织制定和实施职业健康安全目标和计划，以降低职业健康安全风险。
在实际应用中，组织应根据自身实际情况，制定合适的目标和计划，确保职业健康安全管理工作的有效实施。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。
在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。
接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。
1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。
2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。
考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。
公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。
3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。
设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。
公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。
4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。
设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。
同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。
曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。
以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。
在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。
定积分的应用
定积分的应用定积分是数学中的一个重要概念，它在许多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和性质，并探讨其在几何学、物理学和经济学等领域中的应用。
首先，让我们回顾一下定积分的定义。
在数学中，定积分是一个函数与另一个函数之间的一种关系，通常表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)是被积函数，x是积分变量，dx表示对x的微小变化。
定积分表示的是函数f(x)在给定区间[a,b]上的面积或曲线下的总体积。
定积分具有以下几个重要的性质。
首先，如果f(x)是[a,b]上的连续函数，那么定积分存在且唯一。
这一性质保证了定积分的可靠性和确定性。
其次，定积分的值可以通过积分的上限和下限来计算。
换句话说，定积分是一个函数的区间值。
最后，定积分的值可以通过一种基本定理来计算，即牛顿—莱布尼茨公式。
该公式告诉我们，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分可以通过求F(x)在区间[a,b]上的差值来计算。
在几何学中，定积分有着广泛的应用。
通过计算曲线下的面积，我们可以求解两个曲线之间的交集、计算物体的体积等。
例如，如果我们要求解一个曲线和x轴之间的面积，我们可以将该曲线表示为y=f(x)，然后计算∫f(x)dx在所给区间上的值。
同样地，我们可以使用定积分来计算曲线的弧长，通过公式∫√(1+(dy/dx)^2)dx来实现。
定积分在几何学中的应用还包括求解曲线的重心和弦长等问题。
物理学是另一个应用定积分的领域。
在物理学中，物体的质量、力、功和能量等都与空间的分布有关。
通过将物体分成许多微小的部分，并计算每个部分的质量或力的大小，我们可以使用定积分来对整个物体的质量或力进行求和。
例如，我们可以使用定积分来计算一个线密度为λ(x)的细线段的质量，通过公式∫λ(x)dx来实现。
同样地，我们可以使用定积分来计算一个变力F(x)在区间[a,b]上所做的功，通过公式∫F(x)dx来实现。
定积分在物理学中的应用还包括计算速度、加速度和热量等。
定积分的应用
图1-1图1-2定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称;它的创立;被誉为“人类精神的最高胜利”..在数学史上;它的发展为现代数学做出了不朽的功绩..恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分;是数学的一个重要的分支;它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具..凡是复杂图形的研究;化学反映过程的分析;物理方面的应用;以及弹道﹑气象的计算;人造卫星轨迹的计算;运动状态的分析等等;都要用得到微积分..正是由于微积分的广泛的应用;才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展;解决了许多的困难..以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用..1 定积分的概念的提出1.1问题的提出曲边梯形的面积如图1所谓曲边梯形;是指由直线a x =、b x =b a <;x 轴及连续曲线)(x f y =0)(≥x f 所围成的图形..其中x 轴上区间],[b a 称为底边;曲线)(x f y =称为曲边..不妨假定0)(≥x f ;下面来求曲边梯形的面积..由于c x f ≠)(],[b a x ∈无法用矩形面积公式来计算;但根据连续性;任两点],[,21b a x x ∈ ;12x x -很小时;)(1x f ;)(2x f 间的图形变化不大;即点1x 、点2x 处高度差别不大..于是可用如下方法求曲边梯形的面积..（1） 分割用直线1x x =;2x x =;1-=n x x bx x x a n <<<<<-121 将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形;区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =;n x b =..区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -;用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度;i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积;),,2,1(n i =;整个曲边梯形的面积S等于n 个小曲边梯形的面积之和;即∑=∆=ni i S S 12近似代替: 对每个小曲边梯形;它的高仍是变化的;但区间长度i x ∆很小时;每个小曲边梯形各点处的高度变化不大;所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积;就是;在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ;用以],[1i i x x -为底;)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ;近似代替这个小曲边梯形的面积图1-1; 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.3求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和;即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同;i ξ选取不同是不一样的;即近似值与分割及i ξ选取有关图1－2..4取极限 将分割不断加细;每个小曲边梯形底边长趋于零;它的高度改变量趋于零;曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近;从而和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ的极限就定义为曲边梯形面积的精确值..令 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;当0→λ时;有∑=→∆=ni i i x f S 1)(lim ξλ上面的例子;最终归结为一个特定的形式和式逼近..在科学技术中还有许多同样的数学问题;解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割;近似求和;取极限”这是定积分概念的背景..1.2定积分的定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有界;在],[b a 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个小区间：],,[10x x ],[,],,[,],,[],,[113221n n i i x x x x x x x x --各个小区间的长度依次为：011x x x -=∆;122x x x -=∆;…; 1--=∆n n n x x x在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ;作函数值与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ..并作和=S ∑=∆ni i i x f 1)(ξ记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;如果不论对],[b a 怎样分割;也不管在小区间],[1i i x x -上点i ξn i ,,2,1 =怎样取法;只要当0→λ时;和S 总是趋于确定的极限I ;我们称这个极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分简称为积分;记作⎰ba dx x f )(;即⎰badx x f )(==I ∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ 1其中)(x f 称为被积函数;dx x f )(称为被积表达式;a 称为积分下限;b 称为积分上限;x 称为积分变量;∑=∆ni iixf 1)(ξ称为积分和..（1） 曲边梯形的面积是曲边方程)(x f y =在区间],[b a 上的定积分..即=S ⎰badx x f )()0)((≥x f2定积分在几何学上的应用2.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆;三角形;平四边形;梯形等比较规则的图形面积;然而对于不规则的图形就无能为力了;所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积;部分稍复杂的图形;可能用有限个简单图形的分割也能求出来;但有很大的局限性;定积分的出现为这些问题;提出了很好的解决条件..一般地;由上、下两条连续曲线y=2f x 与y=1f x 以及两条直线x=a 与x=ba<b 所围成的平面图形;它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =-⎰ 1例 求由抛物线2y x =与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A 解 该平面图形如图3所示;先求出 直线与抛物线交点P1;-1与Q9;3.用X=1把图形分成左;右两部分;应用公式 （1） 分别求得它们的面积为1110[(-)]24/3,A x x dx xdx =-==⎰⎰921328()23A x x dx -=-=⎰. A=1A +2A =32/3..2.2定积分在立体几何中的应用 2.2.1由截面面积函数求立方体体积设Ω为三维空间中的一立体;它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与 x=b 之间a<b.为了方便起见称Ω为位于a;b 上的立方体..若在任意一点x ∈a;b 处作垂直于x 轴的平面;它截得Ω的截面面积显然是x 的函数;记得Ax;x ∈a;b;并称之为Ω的截面面积函数..则通过定积分的定义;得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=()ba A x dx ⎰..例 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围立体椭球的体积..解 以平面00()x x x a =≤截椭球面;得椭圆它在yoz 平面上的正投影：22222200221(1)(1)y z x x b c aa+=--..所以截面面积函数为Ax=22(1)x bc aπ-;x ∈-a;a.于是求得椭球体积V=224(1)3ba x bc dx abc a ππ-=⎰..显然;当a=b=c=r 时;这就等于球的体积43π3r ..pQ图2-12.2.2旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为y=()f x ;x ∈a;b 不妨设fx>=0.这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面;则面积公式s=2π(baf x ⎰..如果光滑曲线C 由参数方程x=xt;y=yt;t ∈α;β给出;且yt ≥0;那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2π(y t βα⎰.例 计算圆2x +2y =2R 在1x ;2x ⊂-R;R 上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.. 解 对曲线在区间1x ;2x 上应用公式3;得到 S=2π21x x ⎰=2πR 21x x -..特别当1x =-R; 2x =R 时;则得球的表面积S 球=4π2R .3定积分在经济学中的应用3.1求经济函数在区间上的增量根据边际成本;边际收入;边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量增量就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ 1()()()baC b C a C x dx '-=⎰ 2()()()baL b L a L x dx '-=⎰ 3例 已知某商品边际收入为0.0825x -+万元/t;边际成本为5万元/t;求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ;总成本C ()x ;利润()I x 的改变量增量..解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式1、式2、式3;依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=15300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元例 某厂生产某种产品;每日生产的产品的总成本C 的变化率即边际成本是日产量x 的函数xx C 257)(+=';已知固定成本为1000元;求总成本函数y .解 因总成本是边际成本的一个原函数;所以)(x C ⎰+=dx x)257(c x x ++=507已知当0=x 时;1000)0(=C ;代入上式得1000=c ;于是总成本函数为)(x C 1000507++=x x例 某产品销售总收入是销售量x 的函数)(x R ..已知销售总收入对销售量的变化率即边际收入x x R 52300)(-=';求销售量由100增加到400时所得的销售收入. 解 因销售收入是边际收入的一个原函数;按题意;有)300()400(R R -⎰'=400300)(dx x R⎰-=400300)52300(dx x 4003002)51300(x x -=16000=元3.2求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ;则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率..例 某银行的利息连续计算;利息率是时间t 单位：年的函数：()0.08r t =+求它在开始2年;即时间间隔0;2内的平均利息率..解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈例 某公司运行t 年所获利润为()L t 元利润的年变化率为()310L t '=⨯/年求利润从第4年初到第8年末;即时间间隔3;8内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末;利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰元/年即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元..3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t 年时的收入为()f t 万元;年利率为r ;即贴现率是()rt f t e -;则应用定积分计算;该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()brt af t e ndt -⎰..设某工程总投资在竣工时的贴现值为A 万元;竣工后的年收入预计为a 万元年利率为r ;银行利息连续计算..在进行动态经济分析时;把竣工后收入的总贴现值达到A;即使关系式Trt ae dt A -=⎰成立的时间T 年称为该项工程的投资回收期..例 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元;竣工后的年收入预计为200万元;年利息率为0.08;求该工程的投资回收期..解 这里1000A =;200a =;0.08r =;则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为0.080.080.0802002002500(1)0.08Tt tT T e dt e e ---==--⎰令 0.082500(1)T e --=1000;即得该工程回收期为110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =--=- =6.39年3.4 利润、产量与开工时数的最佳值的确定例1 某厂生产一种产品;年产量为x 吨时;总费用的变化率即边际费用为)(x f 825.0+=x 单位：百元/吨;这种产品每吨的销售价为3000元;问一年生产多少产品工厂利润最大;并求出年利润的最大值.解 总费用是边际费用的原函数;故=)(x C ⎰+xdx x 0)825.0(x x 8125.02+=而收入函数)(x R x 30=百元;又由)(x L ＝)(x R =-)(x C 2125.022x x -则 )(x L 'x 25.022-=令 )(x L '0=;得88=x 吨..驻点唯一..此时025.0)88(<-=''L ;由实际问题可知;当88=x 时;)(x L 取得最大值96888125.08822)88(2=⨯-⨯=L 百元.因此;年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元..例 2 某工厂生产一种产品;每日总收入的变化率即边际收入是日产量x 的函数x x R 2.030)(-='单位：元/件..该厂生产此种产品的能力为每小时30件;问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大 并求出此最大总收入值.解 由题意)(x R ⎰-=xdx x 0)2.030(21.030x x -=;令 02.030)(=-='x x R ;得150=x ;又02.0)(<-=''x R ;因为)(x R 只有唯一的驻点150=x ;由实际问题知;当150=x 时;)(x R 取得最大值22501501.015030)150(2=⨯-⨯=R .因此;每日取得最大总收入的产量为150件;此时2250)150(=R 元.完成150件产品需要的工时为530150=小时;所以;每天生产这种产品5小时;就使每日收入最大;最大值为2250元..3.5 资本存量问题例1 资本存量)(t s s =是时间t 的函数..它的导数等于净投资)(t I ..现知道净投资t t I 3)(=单位：10万元/年..求第一年底到第四年底的资本存量.解 因资本存量s 是净投资的一个原函数;故=-)1()4(s s dt t ⎰41341232t=＝1410万元所以;第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元..例 2 某银行根据前四年存款情况;知该行现金净存量的变化率是时间t 的函数455.14)(t x f =单位：万元/年;计划从第五年起积存现金1000万元..按此变化率需几年时间解 依题意1000⎰+=xdt t 44455.14即 1000]4)4[(9584949-+=x由此;得 49494589000)4(+=+x 解此方程;得9993.94≈+x6≈x .所以;从第五年积存1000万元现金约需6 年.3.6消费者剩余和生产者剩余在自由市场中;生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述;它的状态可在如图上直观表现如下：0p 的经济意义是供应者会生产此商品的最低价..1p 是消费者会购买此种商品的最高价..1q 是免费供给此种商品的需求量如卫生纸经市场功能调节后;市场将趋于平衡价*P 和平衡数量*q ;两条曲线在),(**p q 相交..消费者以平衡价格购买了某种商品;他们本来打算出较高的价格购买这种商品;消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数..用积分式来表达就是：消费者剩余⎰=*0)(q d dq q Q **q p -＝曲边三角形*1p Mp 面积.生产者以平衡价格出售了某种商品;他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品;生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入..用积分式表达就是生产者剩余⎰-=***)(q s dq q Q q p ＝曲边三角形*0p Mp 面积.4定积分在工程中的应用4.1定积分中值定理定积分中值定理作为定积分的一个重要性质;计算河床的平均深度时;应用定积分中值定理知识..此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中;主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度;以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据..只要测量出河面在某处的宽度B;河床的横断面形状和河床的最大深度h ;则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度h ;即⎰-=ba dx x f ab h )(1m. 例 设一河流的河面在某处的宽度为2 b;河流的横断面为一抛物线弓形;河床的最深处在河流的中央;深度为h ;求河床的平均深度-h .分析：首先;选取坐标系使x 轴在水平面上;y 轴正向朝下;且y 轴为抛物线的对称轴..于是;抛物线方程为y=h-22x b h⋅.然后;运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度-h . 解：河床的平均深度⎰-=b a dx x f a b h )(1=h 32.4.2定积分的近似计算知识的应用近似求物体的截面积;应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识..此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中;主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积;进而计算截面流量即渠系测流..由水利学知识可知;单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量;即Q ＝V/tm 3/s.在水利工程中;流量的计算通常运用公式Q=svm 3/s;即过水断面面积s 与流速v 的乘积..例1有一条宽为24米的大型干渠;正在输水浇灌农田;试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流..分析：根据灌溉管理学知识;首先选择测流断面;确定测线..测流断面选择在渠段正直;水流均匀;无漩涡和回流的地方;断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条..其次;测定断面..先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索;测出测深线的起点距与断面起点桩的水平距离；测线深度;用木制或竹制的测深杆施测;从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深;测得数据如下表..根据施测结果绘出测流断面图;如图所示..第三;利用流速仪施测断面流速..例如;利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四;近似计算渠道过水断面面积和流量... 测线深度施测数据表 单位：m解答：（1） 抛物线法辛卜生公式：A ≈30.67m 2 ； Q=18.40m 3/s. （2） 梯形法：A ≈30.40m 2 ； Q=18.24m 3/s.例 2有一条河流;宽为200米;从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深;测的数据如下表..试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值.. 单位：m4.3微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛;求解物体所受液体的侧压力;应用微元法知识..此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中;主要应用于计算水闸及输水建筑物如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等上的闸门所受水压力的大小;作为设计或校核闸门结构的一个重要依据..水闸是一种低水头水工建筑物;既能挡水;又能泄水;用以调节水位;控制泄流量；多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边;在水利工程中的应用十分广泛..闸门是水闸不可缺少的组成部分;用来调节流量和上、下游水位;宣泄洪水和排放泥沙等..闸门的形式很多;按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等..闸门的主要作用是挡水;承受水压力是其作用荷载之一..运用微元法计算闸门所受水压力时;设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=fx ＞0;0≤a ≤x ≤bx=a;x=b 及x 轴所组成..x 轴正向朝下;y 轴在水平面上;水的密度为ρ=1000㎏/m 3;则闸门所受的水压力大小为P= ⎰b adx x gxf )(ρN.例 有一个水平放置的无压输水管道;其横断面是直径为6m 的圆;水流正好半满;求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力..分析：首先建立合适的直角坐标系;如图所示;则圆的方程为222r y x =+=9. 然后;运用微元法求解即可.. 解答：P=1.76×105N.5定积分在医学的应用如图显示了人的心血管系统..血液流经全身通过静脉进入右心房;然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气..之后通过肺静脉流回左心房;再通过主动脉流往全身其它部位;进行血液循环..心输出量就是单位时间一分钟内;心脏泵出的血液量;即血液通过动脉的速率..安静状态下;成年男性每搏输出量为60～80毫升;心率75次/分钟;故心输出量约4.5～6升；女性的心输出量比同体重男性的约低10％..人体的血液一直在周身循环;我图4-2们只能人为定义血液流动的起点和终点;即便这样也很难测定心脏单位时间内泵出的血液总量;所以人们就探索利用辅助材料来测定心输出量..最简单的辅助材料就是染料;即指示剂..具体做法是把指示剂加入到右心房;那么指示剂会和血液一起流经心脏泵入动脉..通过一个插入动脉的探头在一段时间内等间隔测量测出流出心脏的指示剂的浓度;直到指示剂基本消失;即指示剂全部流出心脏..那么剩余的问题就是如何利用测得图5-1 图5-2的浓度计算心输出量呢严格意义;只能测定某一时刻指示剂的浓度;是一系列的离散值;我们假定这些离散值在某一微小的时间段内是不变的;所以当时间段分的越细我们测定的值越接近连续值;这种思想使我们很容易想到积分的概念;所以可建立数学模型解决这个问题..解 令ct 是t 时刻指示剂的浓度..如果把时间段0;t 划分成n 个等长的小时间段t ∆;指示剂流量=ctF t ∆;其中F 为我们测定的心输出量;这样总量即为()()n nc t F t F c t t ∆=∆∑∑;令n →∞时;指示剂总0()TA F c t dt =⎰..那么心输出量F=()TAc t dt⎰.这里的A 为已知量;即投入右心房的指示剂总量;ct 通过测量探头读取..6定积分在物理学的应用6.1变力做功在功的问题中;恒力做功是最简单的;公式为W F S =⋅． “以常代变”;功的微元应该通过恒力做功公式得到的．例 1 一压簧;原长1m ;把它每压缩1cm 时所用的力为0.05N ．问在弹性范围内把它由1m 如图6-1压缩到60cm 如图6-2所做的功．图6-1图6-2解令起点为原点;压缩的方向为x 轴的正方向当把弹簧自原点压缩至[]0,0.4之间的任意点x 处时如图6-3图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为()0.0550.01F x x x ==在此力的作用下;再继续压缩一点点dx ;即压缩至x dx +处由于dx 很小;这个压缩过程可认为力()F x 不变;即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元dW ()F x dx = 积分得W ()0.40F x dx =⎰0.45xdx =⎰20.4502x =0.4=()J ．例2 在原点处有一带电量为q +的点电荷;在它的周围形成了一个电场．现在x a =处有一单位正电荷沿x 轴正方向移至x b =处;求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动;移动至无穷远处;电场力要做多少功． 解点电荷在任意点x 处时所受的电场力为()2qF x kx=k 为常数 电场力做功的微元dW 为点电荷由任意点x 处移动至x dx +处时电场力()F x 所做的功 即()2qdW F x dx kdx x == 则移至x b =处电场力做的功2b a qW k dx x=⎰1bkqax =- 11kq a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；移至无穷远处电场力做的功2a qW k dx x +∞=⎰kqa=物理学中称此值为电场在x a =处的电位． 例 3 一圆台形水池;深15m ;上下口半径分别为20m 和10m ;如果把其中盛满的水全部抽干;需要做多少功 解水是被“一层层”地抽出去的;在这个过程中;不但每层水的重力在变;提升的高度也在连续地变化图6-4其中抽出任意一层水x 处厚为dx 的扁圆柱体;如图6-4阴影部分所做的功为抽水做功的微元dW即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则2152203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2152203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭20625g γπ=202125000π=()J ．6.2求物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅;这时密度是常量；但对于密度不均匀密度是变量的物体的质量就不能直接用上述公式了;而应该用微元法． 例 一半圆形金属丝;其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比;求金属丝的质量． 解 建立如图6-5坐标系图6-5则()22l x ky R x γ==-()0k >22y R x'=-()()22ds dx dy =+21y dx '=+22R x=-()l dm x ds γ=⋅2222R k R x dx R x=-⋅-kRdx =RR m kRdx -=⎰22kR =．例 1 设有一心脏线1cos r θ=+形的物质薄片;其面密度()2cos A γθθ=+;试求此物质薄片的质量． 解()22111cos 22dA r d d θθθ==+ ()A dm dA γθ=()()212cos 1cos 2d θθθ=++ ()3145cos 2cos 2cos 2d θθθθ=+++ ()230145cos 2cos 2cos 2m d πθθθθ=+++⎰321145sin sin 2sin sin 023πθθθθθ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ 4π=．例 2 设一立体为曲线211y x=+关于x 轴的旋转体;其上任一点x 的体密度等于其横坐标的绝对值即()x x γ=;试求该立体的质量． 解图6-62211x dV dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭图6-6中小圆柱体体积 ()x dm x dV γ= 2211x dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭()221xdx x π=+()221xm dx x π+∞-∞=+⎰()2221xdx x π+∞=+⎰()()22211x d x π+∞-=++⎰2101x π+∞=-+ π=．6.3 液体压力液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到;即P gh A γ=⋅;其中γ为液体密度;压强gh γ是个常量匀压强．现在如若把薄板垂直放置呢 薄板上的压强还是常量吗 还能用上边那个简单的公式吗 例 1 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门;闸门垂直放置且上边与水面齐如图6-4;试计算闸门一侧所承受的水压力． 解回顾例3;我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地;侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条如图阴影部分所承受的水压力;即dP gxdA γ=2gx ydx γ= 22203gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则15022203P gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰15204403g x x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2315498002009x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭29400000=()N ．参考文献1 华东师大数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社;2001：130-150．2 朱峰．大学物理M.北京：清华大学出版社;2004：15-80．3曹定华．微积分M．上海：复旦大学出版;2006：13-14．4马敏﹑冯梅．经济应用数学M．苏州：苏州大学出版社;2007：13-20．。
6.1定积分的概念与性质
n
式 f (i )xi，它是曲边梯形面积的近似值，即
i 1
n
n
S Si f (i )xi
i 1
i 1
n
(4) 取极限 和式 f (i )xi 与区间[a,b] 的分割方
i 1
法有
关，
也与
的
i
取法
有关
.
但
当分
点非
常稠
密，
亦即分割充分细时，它就可以无限接近曲边梯形
的面积 S . 记 m1iaxn{xni }，
i [ xi1 , xi ]，作积
f (i )xi
( i 1,2,,n )
求和
n
Sn f (i )xi
(6 1)
i 1
记 m1iaxn {xi }，令 0，若不论区间分割如何，
n
i
取法如何
，极限
lim
0
Sn
lim
0 i1
f (i )xi
存在，
则称此极限值为函数 f ( x)在区间[a,b] 上的定积分.
Oa
bx
性质 6.4 设 f ( x) 在 [a,b] 上可积，则 f ( x) 在 [a,b]
上可积，且
b
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
a
(6 10)
由于 f ( x) f ( x) f ( x), x [a,b]
根据性质6.3
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx
记作 b f ( x)dx ，即 a
b
n
f ( x)dx
a
lim
0 i1
f (i )xi
6.1--定积分的概念与性质
第六章定积分《微积分》讲义主讲教师：刘 强Email: cuebliuqiang@ 首都经济贸易大学统计学院§6.1 一、问题的提出定积分的概念与性质引例 曲边梯形的面积问题yy = f ( x)A=?oa b xy解决办法:y用矩形面积近似曲边梯形面积y解决步骤 : 1) 分割(大化小).ay = f ( x)y = f ( x)y = f ( x)ooa b y xxi − 1。
xibxoy = f ( x)abx在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点a = x0 < x1 < x2 < L < xn −1 < xn = b用直线 x = x i 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; oa b x2) 近似替代 在第i 个小曲边梯形上任取 ξ i ∈ [ x i −1 , x i ] 以 [ x i −1 , x i ] 为底 ,y3) 求和.A = ∑ ΔA i ≈ ∑ f (ξ i )Δx ii =1 i =1nny = f ( x)4) 取极限.f (ξ i ) 为高作小矩形,用小矩形面积近似代替 小曲边梯形面积 ΔAi ,y令λ = max {Δx i } ,1≤ i ≤ ny = f ( x)则曲边梯形面积ΔAi ≈ f (ξ i )Δx iΔx i = xi − x i − 1 ,oa• ξibxA = lim ∑ f (ξ i )Δx iλ → 0 i =1noaξibxi = 1 , 2 ,L , n .12. 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动, 速度 v = v (t ) 求在 t ∈ [a , b] 内物体所经过的路程 S . 解决步骤: 1) 分割 在第在 [a , b] 中任意插入 n − 1 个分点 ,2) 近似替代任取 ξ i ∈ [ t i − 1 , t i ] , 以 v (ξ i ) 作为平均速度 , 有Δ Si ≈ v (ξ i )Δt in n i =1 i =1( i = 1 , 2,L, n)3)求和 S = ∑ ΔS i ≈ ∑ v (ξ i ) Δ t i 4) 取极限 . λ = max { Δ t i }1≤ i ≤ n将它分成 n 个小段 [ t i −1 , t i ] ( i = 1 , 2 ,L, n) ,i小段上物体经过的路程为 Δ S iS = lim ∑ v (ξ i )Δt iλ → 0 i =1n[ • t 0 t1 L t i − 1 a]ti L• tn bt[• i ] • • t 0 t1 L t i − 1 t i L t n a bξt二、定积分的定义 上述两个问题的共性: 定义 • 解决问题的方法步骤相同 :设 f ( x )在区间 [a , b ]上有界 ,1. 在 [a , b ]上任意插入 n − 1个分点 :依次记为 a = x0 < x1 < x2 < L < xn−1 < xn = b,记 Δ xi = x i − xi − 1 ,“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”• 所求极限的结构相同:A = lim ∑ f (ξ i )Δx iλ → 0 i =1nλ = max{Δxi };1≤ i ≤ nS = lim ∑ v (ξ i ) Δ t iλ → 0 i =1n2. 在第 i 个子区间 [ xi −1 , xi ] 上任取一点 ξ i ,作乘积 f (ξ i )Δxi , i = 1,2,L, n;3. 作和式 ∑ f (ξ i )Δxi ;i =1nb ∫ a f ( x )dx = lim ∑ f (ξ i )Δxi .nλ → 0 i =14.若不论如何分割 [a , b ], 如何取点 ξ i ∈ [ xi − 1 , xi ],极限 lim ∑ f (ξ i )Δ x i 存在且为同一个常数 ,λ → 0 i =1na : 积分下限 ;f ( x ) : 被积函数;b : 积分上限;f ( x )dx : 被积表达式;则称 f ( x )在区间 [a , b ] 上可积 ,上述极限为 f ( x )在 [a , b] 上的定积分 , 记作 ∫a f ( x )dx , 即b ∫a b[a , b] : 积分区间;x : 积分变量;i =1∑ f (ξ i )Δ x i : 积分和 .nf ( x )dx = lim ∑ f (ξ i )Δxi .λ → 0 i =1n2说明: (1) ∫a f ( x )dx是一个实数，仅与 f ( x )和 [a , b]有关，与积分变量的符号无关 .b( 3) 若 f ( x )在 [a , b] 上连续 , 则f ( x )在[a , b]上可积 . 若 f ( x )在[a , b ]有界 , 且只有有限个间断点 ,即:∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dtbb则 f ( x )在 [a , b] 上可积 .( 2) 当 f ( x )无界时，对于任意大的 M，可以选取 ξ i(4) 补充规定:当a = b时, ∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx = 0;b a使得 ∑ f (ξ i )Δxi > M , ∴ 定积分不存在 .i =1n无界函数一定不可积 . 有界是可积的必要条件 .当a > b时, ∫a f ( x )dx = − ∫b f ( x )dx .b a三、定积分的几何意义f ( x) ≥ 0,例1. 利用几何意义计算定积分 曲边梯形面积 面积的负值(1) ∫ 0 sin x d x2π∫ a f ( x ) dx = Abf ( x) ≤ 0,∫ a f ( x ) dx = − Ayb( 2) ∫ 0 1 − x 2 d x1例2 利用定义计算定积分A1 abA3 A2 A4∫0 x1 2dx .A5b x2 解： Q f ( x ) = x 在[0, 1]上连续，∫ a f ( x ) d x = A1 − A2 + A3 − A4 + A5∴ f ( x ) = x 2 在[0, 1]上可积 .将 [0,1] n 等份, 分点为xi =i n( i = 0 , 1 ,L, n)Δxi = 11 n ∑ f (ξ i )Δxi = 3 ∑ i 2 n i =1 i =1nf (ξ i )Δxi =i2 n3nyi 取ξ i = , n则 f (ξ i )Δxi =y = xξ i2Δxii2 = 3 n2∴=1 1 ⋅ n( n + 1)( 2n + 1) = 1 ⎛ 1 + 1 ⎞ ⋅ ⎛ 2 + 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n3 6 n⎠ ⎝ n⎠ 6⎝1 2 ∫0 x dx = lim ∑ f (ξ i )Δ x i nλ → 0 i =1oi n1 x= limn→ ∞1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1⎛ ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜ 2 + ⎟ = n⎠ ⎝ n⎠ 3 6⎝3四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)1.4、对于任意的实数 a , b, c , 都有b c b ∫ a f ( x ) dx = ∫ a f ( x ) dx + ∫ c f ( x ) dx∫ a dx = b − ab2. 3.∫ a k f ( x ) dx = k ∫ a f ( x ) dxb bbb( k 为常数)b（积分对于积分区间具有可加性）∫ a [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ a f ( x ) dx ± ∫ a g( x ) d x5. 若在 [a , b] 上 f ( x ) ≥ 0 , 则证: Q∴i =1 b推论1b b b ∫ a [α f ( x ) ± β g ( x )]d x = α ∫ a f ( x ) d x ± β ∫ a g( x ) d x∑ f (ξ i ) Δx i ≥ 0n i =1n∫ a f ( x ) dx ≥ 0 .blim ∫a f ( x ) d x= λ →0 ∑ f (ξ i ) Δx i ≥ 0推论2. 若在 [a , b] 上 f ( x ) ≤ g ( x ) , 则 （单调性）b6、设 f ( x )在 [a , b]上连续， f ( x ) ≥ 0, 且不恒等于 0,∫ a f ( x ) dx∫ a f ( x ) dxbbb≤ ∫ g( x ) d xab则 证明b ∫ a f ( x ) dx > 0 .推论3.≤ ∫ a f ( x ) dx(a < b)Q f ( x )在 [a , b]上不恒等于 0,证: Q − f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x )∴ − ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dxa a a b b∴ ∃ x0 ∈ [a , b], 使得 f ( x0 ) > 0, 不妨设 x0 ∈ (a , b ),Q f ( x )在 x0处连续，∴ x0的某个邻域 ( x0 − δ , x0 − δ ),使得 f ( x ) > 1 f ( x0 ), 2即∫a f ( x ) dx ≤ ∫abbf ( x ) dxx +δ x −δ b ∫ a f ( x )dx = ∫ a 0 f ( x ) d x + ∫ x00−δ f ( x ) d x7、若 f ( x )在[a , b]上有最大值 M和最小值 m ,+ ∫x ≥ ∫ x 0− δ f ( x ) d x0b0 +δf ( x ) dx则有 m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a ).abx +δ≥ ∫ x 0− δ0x +δ 1定积分的估值定理2f ( x0 ) d x=1 f ( x0 ) ⋅ 2δ > 0 24例3 估计积分 ∫0 解π1 3 + sin 3 xdx的值的范围. ∀ x ∈ [0, π ],8、若 f ( x )在[a , b]上连续 , 则至少存在一点 ξ ∈ [a , b],f ( x) =1 3 + sin x3使得,∫a f ( x )dx =b abf (ξ )(b − a ).积分中值定理0 ≤ sin 3 x ≤ 1,π1 1 1 ≤ ≤ , 4 3 + sin 3 x 31π证Q m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a ),∴ m≤∫0 4dx ≤ ∫0 3 + sin 3 xdx ≤ ∫0 3dx ,∴1π11 b f ( x )dx ≤ M , b − a ∫a 1 b f ( x )dx , b − a ∫a由介值定理知: ∃ξ ∈ [a , b], 使得 f (ξ ) =即π4≤∫π1 3 + sin 3 x0dx ≤π3.∫a f ( x )dx =bf (ξ )(b − a ).8、若f ( x )在[a , b]上连续, 则至少存在一点 ξ ∈ [a , b],使得例4设f ( x )可导, 且 lim f ( x ) = 1,x → +∞∫a f ( x )dx =bf (ξ )(b − a ).积分中值定理求 limx → +∞ x∫x+23 tf ( t ) sin dt . t◆几何解释：解 由积分中值定理知:存在 ξ ∈ [ x , x + 2],yf (ξ )f (ξ ) =1 b f ( x )dx b − a ∫a使得∫xx+23 3 t f ( t ) sin dt = ξ f (ξ ) sin ⋅ 2 t ξ积分均值o aξ∴ 原式 = 2 lim ξ f (ξ ) sinξ → +∞ξ = 2 × 1× 33= 6.b x5。
6-2-1定积分在几何上的应用
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr 3
2
.
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x (y)、直线y c、y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [(y)]2dy c
d
x(y)
直 径 的 线 段 为 顶 、 高 为 h的 正 劈 锥 体 的 体 积 .
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2y2R2,
o x Rx
垂 直 于 x 轴 的 截 面 为 等 腰 三 角 形
截面面积 A (x ) h y hR 2 x 2
立体体积
R
VhR
R2x2dx 1 R2h. 2
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
图 形 的 面 积 .
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x为积分变量 x[0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( xx2)dx
A01(
xx2)dx 32
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
例 2 计 算 由 曲 线 yx36x和 yx2所 围 成
的 图 形 的 面 积 .
解 两曲线的交点
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
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0
1 + θ 2 dθ
3、已知平行截面面积函数的立体体积 、
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 上连续, 则对应于小区间 的体积元素为
dV = A( x) d x
因此所求立体体积为
V = ∫ A( x) d x
a
b
A(x)
a
x
b
x
特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
a b
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 元素法 微元分析法) 微元分析法 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
二、定积分在几何上的应用 y y = f (x) 1、平面图形的面积 、
1）直角坐标情形 ） 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
x
并称此曲线弧为可求长的.
o
(证明略)
定理: 定理 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds = (dx) + (dy)
2
2
y
ds
y = f (x)
′2 d x = 1+ y
因此所求弧长
s=∫ba b源自′2 dx 1+ y
o a
xx+dx b x
= ∫ 1 + f ′2 ( x) dx
0 2 2π =a 0 2
∫
(1 − cos t ) 2 d t
y
o
2π a x
2） 极坐标情形 ） 求由曲线 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 及
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
1 dA = [ϕ (θ )] 2 dθ 2 所求曲边扇形的面积为 1 β 2 A = ∫ ϕ (θ ) dθ 2 α
(sh x)′ = ch x
例8. 求连续曲线段 解: Q cos x ≥ 0 , ∴ − π ≤ x ≤ π 2 2
π
的弧长.
s = ∫ 2π 1 + y′2 dx
−
2
= 2∫ 2 1 + ( cos x) 2 dx
= 2∫
0 π
0
2
π
x = 2 2 [2 sin 2 ] 2 0 =4
x 2 cos dx 2
(8 , 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
y = x−4
(2 , − 2)
x
∴ Ad A = ( y + 4 − 1 y 2 ) dy =∫ 2
−2
4
= 18
例3. 求椭圆
a
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A = y dx
y
b
A = 4∫ y d x
0
利用椭圆的参数方程 x = a cos t (0 ≤ t ≤ 2π ) y = b sin t 应用定积分换元法得
ox
αα
R
x
y
三、定积分在物理上的应用
1、 变力沿直线所作的功 、
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元
a
素为 dW = F ( x) dx 因此变力F(x) 在区间
x x+dx b x
上所作的功为
W = ∫ F ( x) dx
x x = 1 + sh dx = ch dx c c b x sh x b ∴ s = 2∫ ch dx = 2c c 0 0 c x b 1 x (= ch )′ = c ⋅ sh c 2csh c c c c
2
e x + e− x ch x = 2 e x − e− x sh x = 2 (ch x)′ = sh x
第六章 定积分的应用
一、建立积分表达式的微元法 二、定积分在几何上的应用 三、定积分在物理上的应用
一、建立积分表达式的微元法
1、什么问题可以用定积分解决 ? 、
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
定积分定义
2 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 近似值——微分表达式，即任意分割区间[a,b]，任 取一个子区间[x,x+dx]，求出U在该区间的微元，即U的近似 值， 此时将f(x)在[x,x+dx]上看成不变的量f(x)，从而 dU = f ( x) dx （称为积分微元） 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式 U = ∫ f ( x) dx
x
d W= 9π g ρ x dx
故所求功为
x2 5 W = ∫ 9π g ρ x d x = 9π g ρ 0 2 0 = 112.5π g ρ ( KJ )
5
3m x
设水的密 度为 ρ
2、液体侧压力 、
设液体密度为 ρ 深为 h 处的压强: p = g ρ h • 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为
a
b
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律 库仑定律电场力为 库仑定律
r r + dr b a kq 则功的元素为 d W = d r r2 − 1 b = kq ( 1 − 1 ) 所求功为 = kq a b r a
r = ϕ (θ )
dθ
β θ α
x
例5. 计算阿基米德螺线 到 2π 所围图形面积 .
对应 θ 从 0 变
1 2 (aθ ) dθ 解: A = ∫ 0 2 a 2 1 3 2π = θ 2 3 0 4 3 2 = π a 3
2π
θ
o
dθ
2π a x
机动
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例6. 计算心形线 所围图形的面积 .
π
例9. 计算摆线 的弧长 . 解: ds =
y
一拱
(d x )2 dt
2
dy 2 + (d t )
dt
2 2
o
2π a x
= a (1 − cos t ) + a sin t d t
2
= a 2(1 − cos t ) d t t = 2a sin dt 2 2π t − 2 cos t 2π ∴ s = ∫ 2a sin d t = 2a 0 2 2 0 = 8a
则
x
ax
V = 2∫ π y dx
2
0
2
a
(利用对称性)
a 2 b a 2 = 2π 2 ∫ (a − x 2 ) dx = 2π b a 2 x − 1 x3 2 a 0 3 0 a 4 2 = π ab 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 4 π a3 . 3
在第一象限所围
y
y2 = x
2
(1,1)
∴ Ad A = =∫ 0
1
(
x − x dx
o
)
y = x2
x 1 x +d x
x
1 = 3
y 2 = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形 例2. 计算抛物线
的面积 . 解: 由 得交点
(2 , − 2) , (8 , 4)
y y +d y y
o
y 2 = 2x
例12. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并 与底面交成 α 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 2 2 2 x +y =R 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 1 2 2 A( x) = ( R − x ) tanα (−R ≤ x ≤ R) 2 利用对称性 R1 V = 2∫ ( R 2 − x 2 ) tan α d x 0 2 1 3 R 2 = 2 tanα [ R x − x ] 0 3
x R2 x R 2 2 = 4R g ρ [ R − x + arcsin ] 2 2 R 0 = π g ρ R3
0
R2 − x 2 dx
奇函数
3、 引力问题 、
质量分别为 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体 物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 物体 的质点 , 相距 r ,
例10. 求阿基米德螺线r = aθ (a > 0)相应于 0≤θ≤2π 一段的弧长 . 解: d s = r 2 (θ ) + r ′2 (θ ) dθ
2π a x
= a 2θ 2 + a 2 dθ
o
r = aθ
= a 1 + θ dθ 1+
2
∴ s = a∫
2π
θ 1 + θ 2 + 1 lnθ + 1 + θ 2 2π = a 0 2 2
与圆
1 + 2 cos θ + cos 2 θ
1 (1 + cos 2θ ) 解: 利用对称性 , 所求面积 2 1 2 1 2 A = πa + 2 ∫ a (1 + cosθ )2 dθ 2 2 3 1 1 2 2 = π a + a ∫ ( + 2 cosθ + cos 2θ ) dθ 2 2 2 y 1 2 2 3 = π a + a ( π − 2) 2 4 a 2a x o