2012矩阵论复习
矩阵理论 复习资料
最小的.
|| Ax ||a || A ||a max || A || x || x ||a
2) 它的两种表达形式
|| Ax ||a ( max || Au ||a ) || A ||a max ||u||a 1 x || x ||a
3) 它是自相容矩阵范数 论1) (推 .
返回
定理 5 设 A C nn，则
(1) || A || 2
|| x|||| y||1
max
| y H Ax |
( 2) ||
2 A || 2 ||
A ||1|| A ||
定理3
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§6 范数的应用
(1) 矩阵A可逆,A与其扰动矩阵 A满足 什么条件时,A A可逆?
(2) 当A A可逆, A 与( A A) 的
1
299 999.5 300 000 （A A) . 100 000 100 000
1
返回
定义 1
设A是可逆矩阵，称
K p ( A) || A || p || A1 || p
是矩阵A的条件数.
设A C nn ,|| A ||a 是从属于向量范数 || x ||a 的算R 1 也是上三角矩阵,且对角
|| A || 是C n上的范数.
定义 2
设 在Vn ( P )上定义了|| x ||a , || x ||b 两种向 C1 || x ||a || x ||b C2 || x ||a x Vn ( P )
量范数，若存在常数 1 0, C2 0，使得 C
则称 || x ||a 与 || x ||b 等价.
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证明：
( E A1 A)1 A1b A1b
矩阵论复习题
矩阵论复习题矩阵论复习题矩阵论作为线性代数的重要分支，涉及到矩阵的性质、运算以及应用等方面。
在学习矩阵论的过程中，复习题是提高理解和巩固知识的重要工具。
本文将通过一些典型的矩阵论复习题，帮助读者回顾和加深对矩阵论的理解。
1. 矩阵的乘法性质与运算规则(1) 证明矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
(2) 若矩阵A是m×n阶矩阵，矩阵B是n×p阶矩阵，证明矩阵乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
(3) 证明单位矩阵是矩阵乘法的单位元，即对于任意矩阵A，有AI=IA=A。
2. 矩阵的逆与行列式(1) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵唯一。
(2) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵也可逆，且逆矩阵的逆等于A。
(3) 若矩阵A可逆，证明其转置矩阵也可逆，且转置矩阵的逆等于A的逆的转置。
(4) 证明若矩阵A可逆，则其行列式不为零，即|A|≠0。
3. 矩阵的特征值与特征向量(1) 若矩阵A的特征值为λ，证明矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。
(2) 若矩阵A的特征向量为v，证明对于任意非零实数k，kv也是矩阵A的特征向量。
(3) 若矩阵A的特征向量v1和v2对应于不同的特征值λ1和λ2，证明v1和v2线性无关。
(4) 若矩阵A的特征向量v对应于特征值λ，证明对于任意正整数n，(A^n)v对应于特征值λ^n。
4. 矩阵的相似与对角化(1) 若矩阵A与矩阵B相似，证明矩阵B与矩阵A相似。
(2) 若矩阵A与矩阵B相似，矩阵B可对角化，证明矩阵A也可对角化。
(3) 若矩阵A可对角化，证明A的特征向量组成的矩阵P可逆，且A=PDP^-1，其中D为对角矩阵。
通过复习以上的矩阵论题目，可以加深对矩阵的性质、运算规则、逆与行列式、特征值与特征向量以及相似与对角化的理解。
同时，通过解题的过程，还可以提高解决问题的能力和运用矩阵论知识的技巧。
希望读者能够充分利用这些复习题，巩固所学的矩阵论知识，为进一步深入学习打下坚实的基础。
河海2012矩阵论试卷
2012年硕士生《矩阵论》试卷 任课教师 .学院专业 学号 姓名 .一、填空题（共26分）1. （4分）实数域上的矩阵空间2210()|,02ij V A a AB BA B ⨯⎧⎫⎛⎫====⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的维数为 ，其一组基为 。
2. （4分） 4阶实矩阵A 的特征多项式是22(1)(2)λλ--，A 可对角化， 则A 的最小多项式为 。
3. （12分）设2113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 1||||A α= ， A α∞= ， ||||m A ∞= ，1A ，A ∞= ， 2()cond A = 。
4.（4分）矩阵幂级数00.10.70.30.6kk +∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑绝对收敛，则级数的和是 。
5. 已知14=32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则)(A ρ= 。
二、判断题（每题2分，共10分）1. 一组标准正交基到另一组正交基的过渡矩阵是正交矩阵。
（ ）2. 数域P 上的两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同。
（ ）3. 设,n n A B C ⨯∈，则T A A 和相似。
( )4. n 阶单位矩阵I 的从属于任何向量范数的算子范数I 都为1。
（ ）5. 设有矩阵序列{}()12:,,,,k k A A A A 则A 为收敛矩阵的充要条件是1A < .( )三、计算题（共50分）1. (10分) 在22R ⨯中,设基 (I) ：11000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 21100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 31110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 基(II): 11011B ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 20111B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 41101B ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 试求从基(I)到基(II)的过渡矩阵。
2.（10分）在[]2x P 中，设2321)(x k x k k x f ++=，线性变换A 为23(())A f x k k =++ 21312()()k k x k k x +++。
矩阵论复习
2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算
(1)定义 (2) 运算（交与和，直和）
1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性.
2. 若1, 2, …, r线性无关，则向量组1= 1+k1r ,
2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关.
(3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使
得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵
(4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T
在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征
向量。
(5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式
6. 不变子空间
定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果
3.线性变换的矩阵 T (1,2,,n)=(1,2,,n)A
rankT=rankA, nullT=n-rankA
（1,2,,n 为 线性空间V 的一个基）
4. 线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式.
5. 化简线性变换的矩阵 (1) 线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似
i 1 j 1
2
2
1 1 0 1 取 A1 , A2 ,W L( A1 , A2 ) 0 0 1 1
（1）求W的一个基；
（2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基.
2. 已知欧式空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为A,
1 i j 证明在Vn中存在基1,2,,n，使满足 ( , ) i j 0 i j
3. 求向量组
1 (1,2,1,0) 1 (2,1,0,1) 2 (1,1,1,1) 2 (1,1,3,7)
矩阵论复习大纲
第一章1 线性空间概念（封闭性）2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3）8 不变子空间，正交变换，酉交变化例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α，T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与12W W ⋂的维数，并求出12W W ⋂解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+()⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==711022-203-5-30121-17110301111121211,,,2121行变换ββααA B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000310040101-001000031007110121-1得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--⨯X ββαα.即0711*******121211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------X解得()(){}.4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321TTk W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即例2 设3R 上线性变换T 为,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++=求T 在基TT T)111(,)110(,)101(321-===ααα下的矩阵B.解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为：,10111012123213132321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵,101110121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-又从C e e e )()(321321=ααα 得过渡矩阵,111101112,1111101011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-C C所以.4212204511⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-AC C B3.设3R 中，线性变换T 为：.3,2,1,==i T i i βα其,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321T T T ==-=ααα与.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321T T T =-==βββ求（1）T 在基321,,ααα下的矩阵。
矩阵论试题参考答案(2012年)
n n 1 , det X xik X ik xij X ij xik X ik ，其中 X ik 是 xik 的代数 det X k 1 k j
余子式，
det X X ij ，从而 xij
det X 1 xij
xij
1 det X
2012 年矩阵论试题参考答案
一、(16 分) 已知 4 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, 2, 2 ，且其一阶和二阶行列式因子分别为
D1 1, D2 2.
1.(6 分) 求 A 的不变因子和最小多项式； 2.(4 分) 求 A 的 Jordan 标准形； 3.(6 分) 求实数 t 的取值范围，使 cos At 为收敛矩阵. 解 . 1 ． 因 为 D4 即 为 A 的 特 征 多 项 式 ， 且 A 的 特 征 值 为 1, 2, 2, 2 ， 故
A 的最小多项式为 mA d 4 1 2 ．
2．由 A 的不变因子知， A 的初等因子为
1, 2, 2, 2 ，故 A 的 Jordan 标准形
1 2 ． 为 J 2 2
u1 1 , , m , v1 m 1 , , m n , u2 1 , , m , v2 m 1 , , m n ，则
T T T T
x y u1 u2
a
v1 v2
b
u1 a u2
D4 1 2 . 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知 D3 2 ，
3 2
从而 A 的不变因子为
华中科技大学硕士研究生矩阵论2012年试题
矩陣論2012年試題一、 填空題：（每個空3分，共27分）1、設矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=i i i i i A 1013122131,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111X ,其中1-=i ，則______,1=AX .______1=A 2、設矩陣1000030012-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P A ，則______;)(dim =A N .______)(λA m 3、矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000a a a a a a A ，則a 滿足條件______時，矩陣冪級數∑∞=0k k A 收斂. 4、論矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221132332211A ，則A 的LDV 分解為.______= 5、設⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/10002/10001A ,)sin(A 的Jordan 矩陣______;)sin(=A J .______)sin(lim =∞>-n n A6、設⎥⎦⎤⎢⎣⎡=201a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1203B ，則矩陣方程0=+XB AX 有非零解的條件是.______≠a 二、（15分）設線性空間3R 上的線性變換T 在基},,{321e e e 下的變換矩陣為⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ， （1） 求變換T 在基},3,{321e e e 下的變換矩陣.（2） 求變換T 在基},,{3211e e e e +下的變換矩陣.三、（15分）設矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000012A （1）求矩陣A 的奇異值分解.（2）求矩陣A 的P M -廣義逆+A .四、（15分）設⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,011L W 是空間3R 的子空間， （1）求空間3R 上的正交投影變換P ，使得P 的象空間.)(W P R =（2）求空間3R 的向量T]3,2,1[=α在投影變換P 下的象. 五、（15分）設⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ，計算矩陣函數.At e 六、證明題：（1）（7分）設A 是可逆矩陣，n σ是矩陣A 的最小奇異值，證明n A σ121=-（2）（6分）設矩陣A 和B 都是n 階方正，證明)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗。
矩阵论知识点
矩阵论知识点最近考试不断，今天终于告一段落了。
矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：（1）线性空间与线性变换（2）范数理论及其应用（3）矩阵分析及其应用（4）矩阵分解（5）特征值的估计（6）广义逆矩阵1.线性空间与线性变换1.1线性空间首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。
然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。
最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。
针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念，直和的概念和集合的并类似，不同的是直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。
以上就是线性空间中所有的知识点。
1.2线性变换及其矩阵这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。
因此A 与B 的特征值相同。
#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。
《高等工程数学（矩阵论）》复习提纲与习题选讲（PDF）
《矩阵论》复习提纲与习题选讲chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 同一线性空间不同基之间的过度矩阵；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交；z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；3]x [R 3]x [R （2） 求在所取基下的坐标；221x x ++ （3） 写出（1）所取基到的另一组基的过渡矩阵；3]x [R 2)1(),1(,1−−x x （4） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （5）求与之间的距离。
221x x ++2x 2x 1+−二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)
![矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)](https://img.taocdn.com/s3/m/a30b5e8571fe910ef12df86e.png)
2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1） 对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线 性 子 空 间 ， 设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因 为 AX = XA, 所 以 ， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ） 对 任 意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都 有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠
矩阵论复习资料
矩阵论复习纲要前两讲要求理解并掌握高等代数中的基本概念与理论，这些是矩阵论进一步研究必要的基础。
对应于教材第八章8.1—8.6的内容第一讲 线性空间一、线性空间的定义及性质1. 线性空间的定义与性质 ；2. 线性相关性：线性组合；线性表示；线性相关性；.线性空间的维数 二、线性空间的基与坐标1. 基的定义；2. 坐标的定义；3. 基变换与坐标变换 三、线性子空间的定义及其性质1. 线性子空间的定义 ；2. 线性子空间的性质 ；3. 生成子空间 ；4. 基扩定理 四、子空间的交与和1. 子空间的交与和定义，两子空间的交与和仍为子空间；2 维数公式；3.子空间的直和及直和充要条件第二讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算1. 线性变换的定义；2. 线性变换的性质3. 线性变换的运算：恒等变换; 变换的相等; 线性变换的和,数乘,负变换,乘积,逆变换,线性变换的多项式。
二、线性变换的矩阵表示1、线性变换的矩阵的定义与性质；2. 相似矩阵及其性质三、线性变换及矩阵的值域和核及其性质：()R T 、()N T ；()R A ；()N A 。
四、线性变换的不变子空间 1. 不变子空间的定义 ；2. 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 习题要求：习题八P215 1—24题（选做）第三讲 矩阵的相似对角化与Jodan 标准形第三讲对应于教材第一章1.1-1.3的内容**一、矩阵的相似对角化1. 特征值与特征向量；特征多项式 **例1 已知122224242A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求其特征值和特征向量。
（P1）2. 矩阵的迹与行列式与特征根的关系11nnii ii i trA a λ====∑∑；1d e t nii A λ==∏.3. 性质(1)若A 与B 相似，则detA= detB ，rank(A)=rank(B), tr(A)=tr(B), det(λI-A)= det(λI-B); (2)设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则()()tr A B tr B A =;**4. 矩阵对角化的条件引理 n 阶方阵A 的互不相同的特征根对应的特征向量线性无关。
矩阵论复习
矩阵论复习一、矩阵代数1．矩阵及其运算 2．矩阵的行列式 2.1 行列式的定义 2.2 行列式的性质（1） 行列互换，行列式的值不变；（2） 交换两行（列），行列式的值改变符号；（3） 一行（列）有公因子K ，则K 可提到行列式号外； （4） 两行（列）元素成比例，行列式的值为零；（5） 一行（列）可表示为两组数的和，则行列式等于两个行列式的和； （6）一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。
2.3 行列式的计算2.4 子式、余子式、代数余子式 2.5 主子式、顺序主子式 3．矩阵的逆3.1 定义：对n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA I ==，则称B 为A 的逆矩阵，记为1B A -=。
3.2 矩阵逆的存在与唯一性：如果n 阶矩阵A 可逆，则A 的逆是唯一的。
对n 阶矩阵A ，A 可逆||0A ⇔≠，并且如果A 可逆，则1*1||A A A -=。
3.3 逆矩阵的计算： 用公式 用初等变换4．矩阵的初等变换与初等矩阵 4.1 矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个非零的数乘矩阵的一行（列）； （3）将矩阵一行（列）的倍数加到另一行（列）。
4.2 初等矩阵的定义单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等矩阵row jth row ith j i P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101111011),( ， row ith k k i P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111)(( ，11(,())11ith rowk P i j k jth row ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
4.3 初等矩阵的性质初等矩阵都是可逆的，并且),,(),(1j i P j i P =- ))(())((11--=k i P k i P ， 1(,())(,())P i j k P i j k -=-。
太原理工大学2012矩阵论试题-推荐下载
题号
得分
得分
一
二
一、本题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.
三
1-5 题为填空题：
1．已知 X (t) 为 n 阶未知函数矩阵， A 为已知的 n 阶数字矩阵，并且 d X (t) AX (t) ，则 dt
2．如果
3．
X (t)
A
1
2
3
4
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2012年高考数学 二轮专题复习 专题7第2讲 矩阵与变换课件
又已知曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1，故ba22＝＝14.，
又 a>0，b>0，所以ab＝ ＝21，.
题型三 特征值与特征向量
例 3 已知矩阵 A＝1a －11，其中 a∈R，若点 P(1,1)在矩 阵 A 的变换下得到点 P′(0，－3)．
(1)求实数 a 的值；
(2)求矩阵 A 的特征值及特征向量．
ad－bc
－b aadd－－a bbcc.
4．二阶矩阵的特征值和特征向量
(1)特征值与特征向量的概念
设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向
量 α，使得 Aα＝λα，那么 λ 称为 A 的一个特征值，而 α 称
为 A 的一个属于特征值 λ 的一个特征向量．
(2)特征向量的几何意义
方程．
解 设 P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点 P(x0，y0)在矩阵 A
对应的变换下变为点 P′(x′0，y′0)，则
yx00′′＝10
0 2
xy00，即xy′′00＝＝x20y，0.
x0＝x0′ ∴y0＝y02′
.
又∵点 P 在椭圆上，故 x02＋4y20＝1， 从而(x0′)2＋(y0′)2＝1. ∴曲线 F 的方程是 x2＋y2＝1.
易错提醒 (1)矩阵的乘法运算法则掌握不准． (2)直线在 M 的变换下仍为直线，可取两个特殊量，不少考生忽 略了这一点． (3)计算错误．
主干知识梳理
1．矩阵乘法的定义
一般地，我们规定行矩阵 [a11， a12]与列矩阵bb1211 的乘法规
则为[a11，a12]bb1211＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵ac db与列矩
第 2 讲 矩阵与变换
【高考真题感悟】
矩阵论深刻复知识题第二章
第二章内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite 二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite) 变换与对称(Hermite) 矩阵的关系．8 、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交( 酉)矩阵把实对称(Hermite) 矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F上的线性空间V n(F)，若V n(F)中任意两个向量，都有一个确定的数与之对应，记为( , ) ，且满足下列三个条件⑴对称性：(，)(，)，其中(，)表示对数(，)取共轭;称V n (C)为酉空间.H A (a ”)m n ? B (b ij )m n , (A, B) tr(A B)i 1在实多项式空间P n ［x ］及［a,b ］上连续函数空间C ［a,b ］中，函数f(x),g(x) 的内积为b(f(x),g(x)) a f(x)g(x)dx2、向量的长度、夹角、正交性定义| | V (-)，称为 的长度，长度为 1的向量称为单位向量,/I 是的单位向量.长度有三个性质：(1) 非负性：I I 0，且(，)00 ；(2) 齐次性：|k | k|| ,k 表示数k 的绝对值； (3) 三角不等式:线性性:k 2 2, )k 1 ( 1?) k 2(2?)；正定性: (,)0,当且仅当0 时，(,)则称(， )为向量与的内积.当FR 时，称V n (R)为 欧氏空间；当F C 时,其中注意：在R 中, 通常的几个内积:(1) R n中，(，c n中,(X 1,X 2,,X n )T,,k ) k(,); nX i Y ii 1n ____X i y ii 1(力”2, 在C n 中，(,k)k(,,y n )T.R mn 中,n ___a ijb ij .定理（Cauchy-Schwarz 不等式）（,）与的夹角定义为arccos(,)当（，）0时，称与正交，记若非零向量组s两两正交，即（i jj) 0，称s是一个正交组；又若1,i 1,2,,s，则称s为标准正交组，即(i, j)1,i0,ij,j.定理（勾股定理）)0,即3、标准正交基标准正交基指欧氏（酉）空间中由两两正交的单位向量构成的基.构造方法：对欧氏（酉）空间的一个基进行Schmidt正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基.把线性无关向量s正交化为s正交向量组:2,3,,s.再把i单位化：i i,i 1,2,,s，则,s为标准正交组.在标准正交组1, 2, ,n下，向量可表为:X1 1 X2 2 X n n (,1)1 2)2 坐标X i （ , i ）表示在i上的投影长度.4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素的内积为i行j列元素构成的方阵.设欧氏(酉)空间V的一个基为x「X2, , X n，令a j (x「X j)(i,j 1,2, ,n),则该基的度量矩阵为A (a ij)nn •基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵.设酉空间V的一个基为x1,x2, , x n，该基的度量矩阵为A , x, y V在该基下的坐标(列向量)分别为与，那么x与y的内积(x, y) T A •当V为欧氏空间时，(x,y) T A•当此基为标准正交基，酉空间V的x与y的内积(x, y) T，欧氏空间V的x与y 的内积(x, y) T•设欧氏空间V n的两个基分别为(I )X i,X2, ,X n和(n ) y i , y2, , y n，且由基(i )改变为基(n )的过渡矩阵为c,基(I)的度量矩阵为A，基(n)的度量矩阵为B，则有：(1)B C T AC •(2)基(I )是标准正交基的充要条件是 A I •(3)若基(i)与基(n)都是标准正交基，则C是正交矩阵.(4)若基(i)(或(n))是标准正交基，C是正交矩阵，则基(n)(或基(i))是标准正交基.5、正交变换与对称变换(i )关于正交变换，下面四种说法等价：1)T是欧氏空间V n的正交变换，即对于任意的x V n，有(Tx,Tx) (x,x) ；2)对于任意的x, y V n，有(Tx,Ty) (x, y)；3)T在V n的标准正交基下的矩阵为正交矩阵；4)T将V n的标准正交基变换为标准正交基.(ii )关于对称变换，下面两种说法等价：1)T是欧氏空间V n的对称变换，即对于任意的x, y V n，有(Tx, y) (x,Ty);2)T在V n的标准正交基下的矩阵为对称矩阵.(iii)若T是欧氏空间V n的对称变换，则T在V n的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵.(i v )在欧氏空间V n中，若正交变换T的特征值都是实数，则T是对称变换.6、相似矩阵(1)A C nn相似于上(下)三角矩阵.(2)A C n n相似于Jordan 标准形矩阵.(3)A C n n酉相似于上三角矩阵.(4)设 A C n n，则A H A AA H的充要条件是存在酉矩阵P ，使得P H AP (对角矩阵).(5)设A C n n的特征值都是实数，则A T A AA T的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Q T AQ .(6)实对称矩阵正交相似于对角矩阵.三、典型例题例1、在R n中,设(1, 2, , n), ( 1, 2, , n)，分别定义实数(，)如下:')2；ni)( j)；j 1判断它们是否为R n中与的内积.(k ,n((ki 1i)2i2)12知，当k 0且（，0 时，（k 积.(2)取(1, ,0) 0 ,故该实数不是R n中与的内积.例2、R n中，向量组nk(i 1i2) k（,）0,k( ）.故该实数不是R n中n线性无关的充要条件是与的内l) l) 2)2)n)n)l) 2)n) 证方法一设An），则(i，j) A TA A T A A2 0n线性无关.(x1 1 X2 2 X n n , i )0,i 1,2, ,n , 即X1( 1, 1)Xn (1,n) 0,X1( 2, 1) X n( 2 ,n) 0,X1( n, 1) X n( n ,n) 0,齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式(i, j) 0,即1, 2, , n线性无关.例3、设欧氏空间P[t]3中的内积为1(f,g) 1 f (t)g(t)dt(1)求基i,t,t2的度量矩阵.⑵ 采用矩阵乘法形式计算f(t) 1 t t2与g(t) 1 4t 5t2的内积.解(1)设基1,t,t2的度量矩阵为A @訂3 3，根据内积定义计算a0(i j)an (1,1) 1dt12 ,a12 (1,t)1tdt 01一2、12 .2 1 2 2a13 (1,t ) t2dt13，a22 (t,t) t2dt13，21 a23 (t,t ) t3dt1 0 ,a33 (t2,t 2) 1t4dt125 .由度量矩阵的对称性可得a j a ji (i j) ，于是有2 0 2 3A 0 2 3 0 .2 3 0 2 5(2) f(t)和g(t)在基1,t,t 2下的坐标分别为(1,1,1)T, (1, 4, 5)T，那么2 02 31(f,g) T A(1, 1,1) 0 2 3 0 4 0 .2 3 0 2 5 5例4、欧氏空间P[t]3中的多项式f (t)和g(t)的内积为1(f, g) 1 f(t)g(t)dt ,取f i(t) t，记子空间W L(f i(t))・(1)求W T的一个正交基；(2)将W T分解为两个正交的非零子空间的和.解⑴设g(t) k o k i t kf W T，则有(f i,g) 0,即1 12，1 f i (t)g (t)dt 1 t(k o k1t k2t )dt 0也就是k1 0 .于是可得W T{g(t)g(t) k o k2t2,k o,k2 R}.取W T的一个基为1,t2，并进行正交化可得g1(t) 1,2 (t2,gj~t2g2(t) t- g1那么，g1（t）,g2（t）是W T的正交基.⑵令V1 L(g1(t))M L(g2(t))，则« 与5 正交，且W T« J .例5、已知欧氏空间V2的基治,X2的度量矩阵为采用合同变换方法求V2的一个标准正交基（用已知基表示）.解因为A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得Q T AQ（对角矩阵），计算得1 0 1 1 10 9 , Q 2 1 1 ,113 1C Q—,3^2 3 1则有C T AC E .于是，由（y1,y2）（X1,X2）C可得V2的一个标准正交基为设,V nn nX i i ,y j j ，i 1j 1则(nn,)(X i i , y jj)i 1 j 1(T( ),T( nn))(XT( i ),y j T(i 1j 1n nn nX i y j ( i , j )，i 1 j 1n nj))約」仃(i ),T( j ))i 1 j 1例6、在欧氏空间中，定义与的距离为：d(,) ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答 不一定，例如R 2中向量的平移变换：(x,y) R 2,T(x,y) (x 1, y 1)，i(X i , y i ),2区皿)R 2,T( i )(X i 1,y i1),T( 2) (X 2 ly 1)，d(T( i ),T( 2)) T( 1) T( 2) J(x i X 2)2 (y i y ?)2| 1 2d( 1, 2).虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换.例7、设i , 2,, n 与1, 2, , n 是门维欧氏空间两个线性无关的向量组,证明存在正交变换T ，使T( i ) i ,i 1,2, ,n 的充要条件是(i, j) (i, j ), i, jh 2, , n-证必要性因为T 是正交变换：(T( i ),T( j )) ( i , j )，又已知T( i ) iy i,2(XiX 2), y 2312(XX 2) •故有(i , j ) ( i , j ) •充分性 定义变换T ，使得T( i ) i一的•下证T 是正交变换•已知(i , j )1,2, ,n ，则T 是线性变换，且是唯 (i , j )，则有仃 i ,T j )( i , j )，w( i , j )-例8、设1, 2, 3是欧氏空间V3的一组标准正交基，求出V3的一个正交变换T ,使得1T( 1)—(2 1 2 2 3),31T( 2) -(2 1 2 2 3).3解设T( 3) X1 1 X2 2 X3 3，使得T( 1),T( 2),T( 3)是标准正交的，因T( 1),T( 2)已标准正交，则只要满足(T( 3),T( 1)) 0,(T( 3),T( 2)) 0,T( 3) 1，即2x1 2x2 x30,2X1 X2 2x3 0,x； x；x； 1.1解得X1 1.3,X2 2 3,X3 2 3 ，即T( 3) -( 1 2 2 2 3)，得3T( J,T( 2),T( 3)是标准正交基.因T把标准正交基变为标准正交基，故T是正交变换.另法设T( 3)的坐标为(X1,X2,X3)T，由2 3 X12 3(T( 1),T( 2),T( 3)) ( 1, 2, 3) 2 3 1 3 X2 ( 1, 2, 3)A1 323 X3T是正交变换A为正交阵•由A T A E，解得1x1 1 3 , x2 x3 2 3，则T(3) 3 ( 1 2 2 23)-—例9、设x o是欧氏空间V中的单位元素，定义变换T (x) x 2(x,X o)X o (x V)(1)验证T是线性变换；(2)验证T既是正交变换，又是对称变换;(3)验证x o是T的一个特征向量，并求其对应的特征值.证(1) 设x,y V ，k,l R，则有T(kx ly) (kx ly) 2(kx ly,x0)x0=k[x 2(x,x0)x0] l[y 2(y,x0)x0]= k(T(x)) l(T(y))，故T是线性变换.(2) 因为2(T(x),T(x)) (x,x) 4(x,x0)(x,x0) 4(x,x0) (x0,x0) (x,x)所以T是正交变换.设y V，则T(y) y 2(y,X o)x。
矩阵论复习题
2012矩阵论复习题1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的零空间和像空间的维数.7.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++= 讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.8.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵. 9.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基.10.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.11. 在2[]P x 中，内积定义为：120,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=∀∈⎰ （1）如果()612+-=x x x f ，计算f ；（2）证明：任一线性多项式()bx a x g +=，都正交于()612+-=x x x f . 12.设A 是n n C ⨯上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：22||||||||||||F Ax A x ≤⋅. 13.设n n C A ⨯∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||.14. 设 101202011A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的秩分解.15.已知122112012422A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的最大秩分解。
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一、设线性方程组的解空间{}0==Ax x S A ，其中
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=51
3312
111A ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=54
2452
228A （1）求A S 的一个基，并将其扩充为3
R 的一个基；
（2）任意3
R ∈βα，
，定义()βαβαT
=,为3R 内积，由（1）所求3R 的基，求一个规范正交基。
二、设1ε，2ε，3ε是欧氏空间3
R 的一个规范正交基，试求一个正交变换3
3
R R T →：
，使 ()1123221333T
εεεε=--
-
；
()
2
1232123
3
3
T εεεε=-
++
三、设1α，2α，3α是3维线性空间V 的一个基，T 是V 上的一个线性变换，T 在基1α，
2α，3α下的矩阵为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=21
1212
112
A ，5011
61,10
7A -⎛⎫ ⎪
=
⎪
⎪⎝
⎭⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----=21
1367233
A 试将A 化为标准型（对角型或Jordan ）标准型），并求V 的一个基，使T 在此基下的矩阵为所求标准型。
四、设矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=20
1034
011
A 1020
1101
0A ⎛⎫
⎪=-
⎪ ⎪⎝
⎭
， 计算：8542234A A A A E -++-。
五、
对于任意矩阵范数,||,||n n C A A ⨯∈在向量空间n C 上定义
,0||,||||||≠=αα
αT
X X 其中n
C
X ∈α,是n 维列向量，证明α
∙
是n C 上一个与
矩阵范数∙相容的向量范数。
六、设
n
m n m ij C
a A ⨯⨯∈=)(,定义实数
ij
j
i a n A ,max =
1. 证明A
是n
m C
⨯中的矩阵范数.
2. 证明该矩阵范数与向量的∞-范数相容.
六、
已知A ＝⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛01
0201
020，b ＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛111或者A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21
1110
101，b ＝⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛111。
1）求A 的满秩分解； 2）求A +；
3）求Ax=b 的最小二乘解；
4）求Ax ＝b 的极小范数最小二乘解。
七、设,2)()(1)(,11.,32
10
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=t X t x t x C A ， 求解常微分方程组的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==C
x t Ax dt t dx )0()
()
(.。
或者
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=321)0(,21
1121
221
x A
四、证：()3
2
21f E A λλλλ=-=-+ （3
分）
令()854234g λλλλλ=-++- （2分） 用()f λ去除()g λ，得
()()()5322
245914
24
3710
g f λλλλλλλλ=+-+-
+-+ （2分） 则有 ()(
)()5
3
2
2
2
4
5
9
14
243710g A f A A A A A E A A E =+-+-+-+ （1分）
由Hamilton-Cayley 定理()0f A =，于是
()2
3
48262437100956106134g A A
A E
--
⎛⎫ ⎪
=-+=- ⎪ ⎪-⎝
⎭ （2分）
五、证：1.非负性：(3分)
(1) ;0||||||||,0>=∈≠∀T
n X X C X αα
（2）.0||||0=⇔=αX X 2. 齐次性：
.||||||||||||||)(||||)(||||||,,αααααX k X k X k kX kX C k C X T
T T n ====∈∈∀(4分)
3. 三角不等式：
.
||||||||||||||||||||||)(||||||,,αααα
α
α
α
α
Y X Y X Y X Y X Y X C Y X T
T
T
T
T
n
+=+≤+=+=+∈∀(4分)
4.相容性：
.
||||||||||||||||||)(||||)(||||||,,,ααα
αα
X A X A X A AX AX C
A C X T
T T
n
n n
=≤==∈∈∀⨯(4
分)
从而，对于任意矩阵范数,||,||n n C A A ⨯∈在向量空间n C 上必存在与之相容的向量范数,0||,||||||≠=αααT X X 其中n n C X ⨯∈α,是n 维列向量。
七、解：1.()()121
120122
3
I A λ
λλλλλλ--=
=++=⇒=-=-+， （2分）
2.令()()()()01,,,t
T t a t a t f t e λλλλ=+=， （1分） 由
（4分）
3.
（4分）
（4分）。