正,余弦定理的向量证明
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3、在 中， ， ，则 ____．
4、在 ABC中，若 ，求角A。
5、用余弦定理证明：在 中，当 为锐角时， ；
D
C
B
A
当 为钝角时， ．
6、如图，在四边形 中，已知 ,
， , ,
，求 的长．
7、在 中，已知 ，
求 的最大内角；
8、已知 的两边 是方程 的两个根，三角形的面积是 ，周长是 ，试求 及 的值；
课题
正、余弦定理
总课时数
课型
新授课
编定人：管玉秀
执教时间
教
学
目标
知识
目标
掌握正，余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
能力
目标
利用向量的数量积推出正余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用正，余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感
目标
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
Βιβλιοθήκη Baidu, ,
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ；
（2） 等价于 ， ，
（二）联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
二、典例分析
例1．在 中， ， ， ，求 ， 。
分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边，求另两边和一角的问题
解：
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，求⑴b,⑵A.
⑴解：∵
= cos
=
=
∴
注：求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin 又∵ ＞
＜ ∴ ＜ ，即 ＜ ＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
练习:第8页第1（1）、2（1）题。
例3．在 中， ， ， 是方程 的两个根，且 ，求：①角 的度数；② 的长度；③ ．
三、归纳总结
1）正，余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
一、新知探究
（一）利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？
在锐角 ABC中，过A作单位向量j垂直于 ，则有j与 的夹角为 ,j与 的夹角为 ,等式 ,
,
同理，过C作单位向量j垂直于 ，可得
在钝角 ABC中，过A作单位向量j垂直于 ，则有j与 的夹角为 ，j与 的夹角为 .等式 ,
同样可证得
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
重点
正，余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学方法
探究学习，学案导学
教学手段
彩笔，三角板
教学过程
师生活动
学情分析：定理以学生探究为主，注重启发诱导，上课要积极鼓励学生，提高学生学习兴趣。要充分积累方法，注重解的情况分析，总结规律，逐步提高。教会学生思考问题的方法，规范化训练要求严格化，分层要求作业，引导好学生积极参与，循序渐进的提高。通过题目及时探究结论与要求，教会学生运算技能，精彩一练以后强化，难度不大。
六、板书设计
课题
正，余弦定理推导例1例3
正，余弦定理
例2练习
七、预习提纲
参照学案预习题纲
积极调动学生探究的兴趣。
引导学生从向量方面入手，讨论交流，进一步体会利用向量解决问题的方便。
引导学生归纳探究，培养学生自学能力。
讨论，交流，加深学生对新学的余弦定理的理解。
通过典型例题，培养学生解决问题的能力
思考：有几种方法？
（2）正，余弦定理的应用范围：
四、作业设计
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：
（1）在△ABC中，若_
（2）在△ABC中，若 ，求证： 。
五、精彩一练
1、在 中，已知 ， ， ，则 __________， ______________．
2、在 中，如果 ， ， ，那么 ___________， 的面积是____________．
如图1．1-5，设 ， ， ，那么 ，则A
C B
(图1．1-5)
从而
同理可证 , .
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 , , .
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
培养学生自学能力。
巩固提高。
练习巩固
4、在 ABC中，若 ，求角A。
5、用余弦定理证明：在 中，当 为锐角时， ；
D
C
B
A
当 为钝角时， ．
6、如图，在四边形 中，已知 ,
， , ,
，求 的长．
7、在 中，已知 ，
求 的最大内角；
8、已知 的两边 是方程 的两个根，三角形的面积是 ，周长是 ，试求 及 的值；
课题
正、余弦定理
总课时数
课型
新授课
编定人：管玉秀
执教时间
教
学
目标
知识
目标
掌握正，余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
能力
目标
利用向量的数量积推出正余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用正，余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感
目标
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
Βιβλιοθήκη Baidu, ,
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ；
（2） 等价于 ， ，
（二）联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
二、典例分析
例1．在 中， ， ， ，求 ， 。
分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边，求另两边和一角的问题
解：
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，求⑴b,⑵A.
⑴解：∵
= cos
=
=
∴
注：求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin 又∵ ＞
＜ ∴ ＜ ，即 ＜ ＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
练习:第8页第1（1）、2（1）题。
例3．在 中， ， ， 是方程 的两个根，且 ，求：①角 的度数；② 的长度；③ ．
三、归纳总结
1）正，余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
一、新知探究
（一）利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？
在锐角 ABC中，过A作单位向量j垂直于 ，则有j与 的夹角为 ,j与 的夹角为 ,等式 ,
,
同理，过C作单位向量j垂直于 ，可得
在钝角 ABC中，过A作单位向量j垂直于 ，则有j与 的夹角为 ，j与 的夹角为 .等式 ,
同样可证得
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
重点
正，余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学方法
探究学习，学案导学
教学手段
彩笔，三角板
教学过程
师生活动
学情分析：定理以学生探究为主，注重启发诱导，上课要积极鼓励学生，提高学生学习兴趣。要充分积累方法，注重解的情况分析，总结规律，逐步提高。教会学生思考问题的方法，规范化训练要求严格化，分层要求作业，引导好学生积极参与，循序渐进的提高。通过题目及时探究结论与要求，教会学生运算技能，精彩一练以后强化，难度不大。
六、板书设计
课题
正，余弦定理推导例1例3
正，余弦定理
例2练习
七、预习提纲
参照学案预习题纲
积极调动学生探究的兴趣。
引导学生从向量方面入手，讨论交流，进一步体会利用向量解决问题的方便。
引导学生归纳探究，培养学生自学能力。
讨论，交流，加深学生对新学的余弦定理的理解。
通过典型例题，培养学生解决问题的能力
思考：有几种方法？
（2）正，余弦定理的应用范围：
四、作业设计
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：
（1）在△ABC中，若_
（2）在△ABC中，若 ，求证： 。
五、精彩一练
1、在 中，已知 ， ， ，则 __________， ______________．
2、在 中，如果 ， ， ，那么 ___________， 的面积是____________．
如图1．1-5，设 ， ， ，那么 ，则A
C B
(图1．1-5)
从而
同理可证 , .
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 , , .
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
培养学生自学能力。
巩固提高。
练习巩固