第四章力学量随时间的演化与对称性

故有 其中 Cn (0) 为
Cn (t) = Cn (0)e
−
iEn t h
时力学量的概率分布函数， t = 0 时力学量的概率分布函数，所以
Cn (t) = Cn (0)
2
2
即守恒量A的测量概率与时间无关， 即守恒量 的测量概率与时间无关，即概率分布不 的测量概率与时间无关 随时间而变化。 随时间而变化。
例如，中心力场中的粒子， 例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守 但由于三个分量互相不对易， 恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们 并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。 并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。
三、举例 1、自由粒子动量守恒 、
∧ 2
ˆ = P 自由粒子的哈密顿算符： 自由粒子的哈密顿算符：H 定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，
即[ F , H ] = 0, [G , H ] = 0, 但[ F , G ] ≠ 0
则：体系能级一般是简并的。 体系能级一般是简并的。
证明： 证明：
由于[F , H] = 0, F与H可以有共同本征函数φ， Hφ = Eφ, Fφ = F 'φ
可见：
d2A ˆ ˆ ˆ －h 2 2 = [[ A, H ], H ] dt
§4.2守恒量与对称性 守恒量与对称性
（一）关于对称性
无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象 无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.
德国数学家魏尔（ 德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称 ） 他对上述现象作了如下表述： 性.他对上述现象作了如下表述： 他对上述现象作了如下表述 若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射 若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射 对称或双向对称的. 对称或双向对称的 若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身， 若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对 转动的对称性. 轴的转动的对称性 轴的转动的对称性
推论：如果体系有一个守恒量 ， 推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 不简并（即对应于某能量本征值 只有一个本 ϕ E 征态），则 ϕ E 必为 的本征态。 征态）， ），则 必为F的本征态 的本征态。
证明： HFφE = FH φE = FEφE = EFφE
又，
∧ ∧2 H , l = 0 ∧ ∧ H , lα = 0 (α = x , y , z )
∧2 ∧ ∧ ∧
所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量 所以粒子在中心力场中运动时，
v2 ˆ , lˆ , lˆ , lˆ 都是守恒量。 l x y z 都是守恒量。
20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系. 爱 世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系 世纪初 因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原 理从力学推广于全部物理学， 理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研 究引力.20世纪中 世纪中， 究引力 世纪中，人们还看到规范对称性决定着各 种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右 种相互作用的特征 如粒子物理弱相互作用下由左右 不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能 不对称，这意味着有对称又有不对称 从上述中已能 看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到 物理学中的对称性已被研究得何等深入， 物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多 么博大深邃的人类的智慧， 么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一 起来了. 起来了
(a) 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定 与经典力学守恒量不同， 即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态， 一个体系在某时刻 是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条 是否处于某守恒量的本征态 件决定。若在初始时刻 具有确定值， 件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量 具有确定值，则以后任 ，守恒量A具有确定值 何时刻它都具有确定值，即体系将保持在 的同一个本征态 的同一个本征态。 何时刻它都具有确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。 由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是， 由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是， 好量子数 若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即 若初始时刻 并不具有确定值（这与经典力学不同），即ψ(0) 并不具有确定值 ），
v2 ˆ v p ˆ = 是守恒量。 ，证明动量 p 是守恒量。 对于自由粒子， 对于自由粒子，H 2m
例题3： 例题 ：
4.4
教材95页 教材 页。
因此
dA 1 ˆ ˆ 证明： 由于 = [ A, H ], dt ih
d 2 A 1 dA ˆ 1 ˆ ˆ ˆ = [ , H ], = − 2 [[ A, H ], H ] 2 dt ih dt h
概括起来讲，对于 不含时的量子体系， 概括起来讲，对于Hamilton量Ĥ不含时的量子体系，如果 量 不含时的量子体系 力学量Â既不显含时间，又与 对易 对易（ ），则无 力学量 既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â, Ĥ]=0），则无 既不显含时间 ）， 论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其 论体系处于什么状态（定态或非定态）， 的平均值及其 ）， 测量的概率分布均不随时间改变。所以把 称为量子体系 测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系 的一个守恒量。 的一个守恒量。
则有: 则有
dA 1 ˆ ˆ = [ A, H ] dt ih
(4)
二、守恒量
如果Â既不显含时间， 又与Ĥ对易 如果 既不显含时间， Â 又与 对易 [Â, Ĥ]=0 既不显含时间 则有
d A=0 dt
(5)
之下的平均值都不随时间改变 平均值都不随时间改变。 即这种力学量在任何态ψ之下的平均值都不随时间改变。
同时可以证明： 同时可以证明：
此时A的概率分布也不随时间改变 的概率分布也不随时间改变。 在任意态ψ下，此时 的概率分布也不随时间改变。 我们称这样的力学量A为运动恒量或守恒量。 我们称这样的力学量 为运动恒量或守恒量。
•证明守恒量 其概率分布不随时间而变化 证明守恒量F其概率分布不随时间而变化 证明守恒量
即空间反演算符， 即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 x, y, z → −x,− y,−z 它是厄米算符， 它是厄米算符，它的本征值只有 ±1 ， 即 P = ±1
∧
态函数的宇称: 态函数的宇称:
∧ v 1 ，称偶宇称 ψ (r , t). 对应P的本征值 的态 ∧ ∧ v v v Pψ (r , t) =ψ (−r , t) = −ψ (r , t) 对应P的本征值−1 的态，称寄宇称 ψ ′ 得出另一态，称其无确定宇称
3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒 、
ˆ 不显含t ∵ H 不显含
∴
ˆ ∂H =0 ∂t
ˆ ˆ 又∵ [ H , H ] = 0
∴
ˆ ˆ d H ∂H i ˆ ˆ = + [H , H ] dt ∂t h
=0
ˆ 守恒（能量守恒）。 即 H 守恒（能量守恒）。
四、宇称守恒
v v 宇称算符 Pψ (r , t) =ψ (−r , t)
即FφE 也是H的本征值为 E的本征态。但已知 能级E无简并，所以FφE 与φE 只能是同一个 量子态。因此最多只能 相差一个常数因子 F '， 即FφE = F 'φE，所以φE 也是F的本征态（F '本征值）
例题1： 例题 ： 例题2： 例题 ：
判断下列提法的正误94页 判断下列提法的正误 页。
所以
∧ dCn (t) 1 * ∂ψ (x, t) * = ∫φn (x) dx = ∫φn (x) Hψ (x, t)dx dt ∂t ih
∧ En * En 1 * = ∫ ( H φn ) ψ ( x, t )dx = ∫ φn ( x)ψ ( x, t )dx = ih Cn (t ) ih ih
dp 1 v ˆ ˆ = [ p, H ] = 0 dt ih
所以自由粒子的动量是守恒量。 所以自由粒子的动量是守恒量。
________
2、 粒子在中心力场中运动：角动量守恒 、 粒子在中心力场中运动：
p2 ˆ = ˆ + V (r ) H 2m
( l , l x , l y , l z )皆不显含时间
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数ψ(x,t)所描写的态中，力学量 的平均值为 所描写的态中， 所描写的态中 力学量A的平均值为
ˆ A(t ) = ∫ψ * ( x, t ) Aψ ( x, t ) dx
(1)
ˆ ∂A ∂ψ * ˆ dA * * ˆ ∂ψ ψ dx + ∫ Aψ dx + ∫ψ A dx = ∫ψ ∂t ∂t ∂t dt
考虑到[G, H] = 0, 有HGφ = GHφ = EGφ , 即Gφ也是H的本征态，对应于能量本征值E。
由于[F , G] ≠ 0，一般来说，FGφ ≠ GFφ = F Gφ ,
'
即Gφ不是F的本征态。但φ是F的本征态， 因此Gφ与φ不是同一个量子态。但它们又都是H 的本征值为E的本征态，因此能级是简并的。
(2)
ˆ ˆ 由薛定谔方程， 由薛定谔方程，ih ∂ψ = Hψ ⇒ ∂ψ = 1 Hψ ∂t
∂t
ih
1 ˆ * ∂ψ * ∴ = − ( Hψ ) ∂t ih
ˆ dA 1 * ∂A ˆ ˆ ˆ ψ )* Aψ dx + ψ * A( 1 Hψ )dx ˆ ∴ = ∫ψ ψ dx − ∫ ( H ∫ dt ∂t ih ih