传递函数方块图及其等效变换
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2-6 第六节 系统的方块图及其变换法则
第六节 系统的方块图及其变换法则一、方块图及方块图的建立方块图（结构图）——是系统中各环节的功能及信号流向的图解表示法。
1、方块图的组成（四要素）（1）信号线箭头表示信号传递方向。
在线上写出信（2表示信号的引出位置。
注意：仅表示取出信号而不取出能量，所以同一位置的引出信号其数值和性质完全相同。
（3。
()()()=C s G s R s由于系统结构和元、部件物理特性所定，信号传递不可逆，即信号只能沿信号线方向传递，不能倒传递。
2、方块图的建立（2）分析法①根据系统运动规律建立数学模型，包括元、部件的数学模型。
②零初始条件下进行拉氏变换。
③从输出量开始，依次导出各变量之间的单向关系。
()C s ④连接各相同变量的首尾箭头线。
例1：如图质量弹簧系统（设地面无摩擦），画出其方块图。
建模：()()()1212f t f f fKy t f By t ⎧−−=⎪=⎨⎪=⎩拉氏变换：()()()()()()2121F s F s F s mS y s F s KY s F s BSY s ⎧−−=⎪=⎨⎪=()()1o u t i t dtC ⎨=⎪⎩∫拉氏变换，应用实积分定理()()01tf d F Sττ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫ s1GR GHC C R R GH=±⇒==⋅∓()E s ——误差信号()B s ——反馈信号()G s ——前向通道传递函数()H s ——反馈通道传递函数()()G s H S ——开环传递函数()()()1G s G s H S ∓——闭环传递函数 一般用()s φ表示闭环传递函数：()()()()1G s s G s H S φ=∓当为负反馈时()()()()1G s s G s H S φ=+特别当()1H s =（称为单位负反馈）此时：()()()1G s s G s φ=+4、引出点的移动应用等效法则，使引出点变化前后进入同一位置的输出信号值不变。
2G R G =±⎜⎟⎝⎠的情况下，移动引出点或比较点，把交错环打开，从内向外简化。
3.2 系统方框图及其等效变换
方框图的等效变换
1. 环节的串联
特点: 前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号
10
方框图的等效变换
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效 环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串 联的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环 节的传递函数的乘积，如有 n 个环节串联则等效 传递函数可表示为：
3
方框图的组成
比较点
两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。
4
方框图的组成
分支点
表示信号测量或引出的位置 注意：同一位置引出的信号，大小和性质完全一样。
5
绘制系统方框图的步骤
写出系统中每一个部件的运动方程，进 行拉氏变换得到传递函数 一个部件用一个方框表示，方框内填入 相应的传递函数
根据信号的流向，将各方框依次连接起 来，并将输入量置于系统方框图的最左 端，输出量置于最右端
6
绘制系统方框图的步骤
例画出下列RC电 路的方框图。
R ui i C （a） uo
解：利用基尔霍夫电压定律及电容元件 特性可得：
ui uo i R idt u o c
闭环传递函数 Gc (s)
G( s) 1 G( s) H ( s)
13
H(s)=B(s)/C(s)
C (s) G (s) E (s) B ( s ) H ( s )C ( s ) E (s) R(s) B( s)
[1 G(s) H (s)]C (s) G(s) R(s)
11
方框图的等效变换
2.环节的并联
2-3 方框图的等效变换
±
（a）
从图 2-15 中可见，
图 2-15 环节并联方框图
（b）
X 2 (s) = G2 (s) X i (s)
X o (s) = X1 (s) ± X 2 (s)
从而得到
X o (s) = (G1(s) ± G2 (s)) X i (s) = G(s) X i (s)
因而
G(s) = G1 (s) ± G2 (s)
便是这个环节或元件的传递函
数 G(s) 或 H (s)（如图 2-13 ( b ）
所示）。它表示对信号进行数学
变换。显然，函数方块的输出变
O
量等于该方块输人变量与传递
函数的乘积。即 X 0(s) = G(s)X e (s) ；
X f (s) = H(s) X 0 (s) 。
（2）信号线 带箭头的直线，箭头表示信
Xi(s)
G1(s) X1 (s) G 2 (s) Xo(s)
Xi(s)
（a）
图 2-14 环节串联方框图
Xo(s) G(s)
（b）
简化为一个等效方块图，从而求得系统的传递函数。
1．串联方块的等效
图 2-14（a）所示的传递函数为 G 1(s) 和 G 2 (s)两个方块，若 G 1(s) 的输出量作为 G 2 (s)的 输人量，则 G1(s) 和 G 2 (s)称为串联连接，图 2-14（b）是它的等效方块图。从图 2-14（a）得
图 2-15（a）所示传递函数分别为 G1(s) 和 G 2 (s)两个方块，如果它们有相同的输人量，而 输出量等于两个方块输出量的代数和，则 G1(s) 和 G 2 (s)称为并联连接，图 2-15（b）是它的等
效方块图。
Xi(s)
动态结构图及其等效变换
再进行内回路反馈和并联变换，得下图。
22
N1 +
解：
（2）求C/N1,设R=0,N2=0, 得右图。
C(s) G3(1 G2 ) N1(s) 1 G2 G1G2G3
23
解（3）求C(s)/N2(s)，设R=0,N1=0，得下图。
则：
0 N2(s) C(s)
C(s) 1 N2 (s)
24
X(s)
X(s)
R(s)
C(s)
R(s)
C(s)
Y(s)
C(s) R(s) X (s) Y (s)
Y(s)
C(s) R(s) Y (s) X (s)
7. 相邻的比较点和引出点之间可以调换位置，如下图 所示。
17
相邻引出点之间的移动
R(s)
R(s)
R(s)
R(s) C(s)
R(s)
R(s) R(s)
动态结构图及其等效变换
1
§ 2.3 动态结构图及其等效变换
一、动态结构图(方块图) 1.定义
动态结构图是图形化的数学模型，它是一种系 统输入和输出之间因果关系的简略图示方法，表示 了系统输出、输入信号之间的动态传递关系。
2
2. 组成要素 传递方块: 表示输入、输出信号之间的传递关系 C(s)=G(s)E(s)，B(s)=H(s)C(s)
(s) )
RI CsU
(s) I(s) c (s) Uc (
s)
1 R
U r
1 Cs
( I
s) (s)
U
c
(
s)
绘制上式各子方程的方框图：
r ( s ) r ( s ) - c ( s ) r ( s ) - c ( s ) I ( s ) I ( s ) c ( s )
22
N1 +
解：
（2）求C/N1,设R=0,N2=0, 得右图。
C(s) G3(1 G2 ) N1(s) 1 G2 G1G2G3
23
解（3）求C(s)/N2(s)，设R=0,N1=0，得下图。
则：
0 N2(s) C(s)
C(s) 1 N2 (s)
24
X(s)
X(s)
R(s)
C(s)
R(s)
C(s)
Y(s)
C(s) R(s) X (s) Y (s)
Y(s)
C(s) R(s) Y (s) X (s)
7. 相邻的比较点和引出点之间可以调换位置，如下图 所示。
17
相邻引出点之间的移动
R(s)
R(s)
R(s)
R(s) C(s)
R(s)
R(s) R(s)
动态结构图及其等效变换
1
§ 2.3 动态结构图及其等效变换
一、动态结构图(方块图) 1.定义
动态结构图是图形化的数学模型，它是一种系 统输入和输出之间因果关系的简略图示方法，表示 了系统输出、输入信号之间的动态传递关系。
2
2. 组成要素 传递方块: 表示输入、输出信号之间的传递关系 C(s)=G(s)E(s)，B(s)=H(s)C(s)
(s) )
RI CsU
(s) I(s) c (s) Uc (
s)
1 R
U r
1 Cs
( I
s) (s)
U
c
(
s)
绘制上式各子方程的方框图：
r ( s ) r ( s ) - c ( s ) r ( s ) - c ( s ) I ( s ) I ( s ) c ( s )
《自动控制原理》第二章传递函数
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s)G 2 ( s) H ( s)
∑ C ( s ) = Φ ( s) R( s) + Φ ( s) N ( s) =
G2 ( s )[G1 ( s) R ( s) + N ( s )] 1 + G1 ( s)G 2 ( s ) H ( s)
20
N ( s)
14
例2.23
R(s)
G4 G1 A G3 H2 H1
C
p1 = G1G2G3
_
-
B
G2
C (s)
∆1 = 1
L1 = −G1 G 2 H 1
p2 = G1G4
∆2 = 1
L2 = − G 2 G 3 H 2 L3 = −G 1 G 2 G3
L4 = − G 4 H 2
注意：回路 注意： 找不全是最 大的问题
5
1 R 1 G1 -1 1 G2 -1 1 G3 -1 K C
1
-1
•前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向， 前向通路 只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 •回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 回路 •回路中所有支路的乘积称为回路增益。 回路中所有支路的乘积称为回路增益。 回路中所有支路的乘积称为回路增益 •不接触回路：回路之间没有公共节点时， 不接触回路：回路之间没有公共节点时， 不接触回路 不接触回路。 这种回路叫做 不接触回路。 •在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。 在信号流图中， 在信号流图中 可以有两个或两个以上不接触回路。
传递函数及方块图剖析
则G(s) = Uo s = RCS
(RC = T
K 1
Ui s RCS + 1
K = 1)
Gs k
4 积分环节
s
时间域方程
xo t k xi t dt
X o s
k
X i s
s
X o s X i s
k s
例9
i2(t)
i1(t) ui(t)
R
A
B
C
_
K0 +
uo(t)
ui (t) = -C duo (t)
传递函数及 典型环节的传递函数
一、传递函数定义：
在初始条件为零时，线性
定常系统输出象函数 Xo s与输 入象函数 Xi s 之比。
Gs
X o s Xi s
Xi s Gs Xo s
设线性定常系统的微分方程为：
a
0
xon
t
a1
x
n1
o
t
a
n1
x
o
t
a
n
x
o
t
b0
x
m
i
t
b1
x
m
i
1
t
bm 1
x i
t
则G(s) = Uo s =
1
Ui s RCS + 1
(RC = T)
例4
弹簧-阻尼系统
K
xi
t
xo
t
D
dxo
dt
t
KXi s KXo s DsXo s
Gs
Xo s Xi s
K Ds
K
D
1 s 1
K
Gs Ks
传递函数方块图及其等效变换
Xr(s)
W1
…
Wn
± Xc(s) ± ±
Xr(s)
W(s)
Xc(s)
仪表维修工
方块图
•
3)、反馈连接方式的等效变换：元件 方块图的反馈连接，输入经正向通道的 元件方框图传输到输出，而输出又经反 馈通道的元件方框图传输到输入端。 Xr(s) ±
W2(s)
E(s)
W1(s)
Xc(s)
仪表维修工
方块图
由图可得：
Xr(s) ±
E(s)Ｂ(s)源自X c ( s) W1 (s) E ( s) E ( s ) X r ( s ) B( s ) B( s) W2 ( s) X c(s)
W1(s)
W2(s)
Xc(s)
\ X c ( s ) W1 ( s )[ X r ( s ) ± W2 ( s ) X c ( s ) ］ X c (s) W1 ( s ) X r ( s) 1 +W 1( s )W2 ( s )
仪表维修工
方块图
①从输入端移到输出端
Xi(s)
设分支点在A处， 则此时的各分支输出 分别为：
A
W(s) X1(s)
X0(s)
X 0 (s) W ( s) X i (s) X 1 ( s) X i (s)
仪表维修工
方块图
将分支点移到B点处，则此时的两个输 出信号为：
X 0 ( s) W ( s) X i ( s) X 2 ( s) X 0 ( s) W ( s) X i ( s) W ( s) X 1 ( s)
仪表维修工
方块图
1、
Ur(s) B – – A
Uc(s)
1 — R1
W1
…
Wn
± Xc(s) ± ±
Xr(s)
W(s)
Xc(s)
仪表维修工
方块图
•
3)、反馈连接方式的等效变换：元件 方块图的反馈连接，输入经正向通道的 元件方框图传输到输出，而输出又经反 馈通道的元件方框图传输到输入端。 Xr(s) ±
W2(s)
E(s)
W1(s)
Xc(s)
仪表维修工
方块图
由图可得：
Xr(s) ±
E(s)Ｂ(s)源自X c ( s) W1 (s) E ( s) E ( s ) X r ( s ) B( s ) B( s) W2 ( s) X c(s)
W1(s)
W2(s)
Xc(s)
\ X c ( s ) W1 ( s )[ X r ( s ) ± W2 ( s ) X c ( s ) ］ X c (s) W1 ( s ) X r ( s) 1 +W 1( s )W2 ( s )
仪表维修工
方块图
①从输入端移到输出端
Xi(s)
设分支点在A处， 则此时的各分支输出 分别为：
A
W(s) X1(s)
X0(s)
X 0 (s) W ( s) X i (s) X 1 ( s) X i (s)
仪表维修工
方块图
将分支点移到B点处，则此时的两个输 出信号为：
X 0 ( s) W ( s) X i ( s) X 2 ( s) X 0 ( s) W ( s) X i ( s) W ( s) X 1 ( s)
仪表维修工
方块图
1、
Ur(s) B – – A
Uc(s)
1 — R1
传递函数
结论
n个环节依次串联的等效传递函数， 个环节依次串联的等效传递函数， 个传递函数的乘积。 等于n个传递函数的乘积。即
G ( s ) = G ( s ) 1 G2 ( s ) L Gn ( s )
(2)并联连接的等效变换 (2)并联连接的等效变换
R(s)
G1(s)
C1(s)
C2 (s)
+ C(s)
+
C (s )
⇓
R (s )
G1(s) +G2(s) +L+ Gn (s)
(b)
图2-27
n个方框并联的等效变换
(3)反馈连接的等效变换
R(s)
C(s) = G(s)E(s) + E(s) = R(s) ± B(s) B(s) H(s) B(s) = H(s)C(s) (a) 图2-28 反馈连接的等效变换 ⇓
一、动态结构图的概念 二、动态结构图的建立(绘制方法 动态结构图的建立 绘制方法) 绘制方法 三、结构图的等效变换
一、动态结构图的概念(组成) 动态结构图的概念(组成) 动态结构图的概念
把各环节或元件的传递函数填在系统原理方 块图的方块中， 块图的方块中，并把相应的输入输出以拉氏变 换来表示，就可得到传递函数方块图。 换来表示，就可得到传递函数方块图。 这种图既说明了信号之间的数学物理关系，又 这种图既说明了信号之间的数学物理关系， 描述了系统的动态结构， 描述了系统的动态结构，因此称为系统的动态 结构图。 结构图。 RC网络为例说明动态结构图的一般构成 网络为例说明动态结构图的一般构成。 以RC网络为例说明动态结构图的一般构成。
第四节
系统的动态结构图
求取传递函数时， 求取传递函数时，需要对微分方程组或经拉氏 变换后的代数方程组进行消元。 变换后的代数方程组进行消元。如果方程组的 子方程数较多，消元仍是比较麻烦， 子方程数较多，消元仍是比较麻烦，而且消元 之后，仅剩下输入输出两个变量, 之后，仅剩下输入输出两个变量,信号中间的传 递过程得不到反映。而采用结构图或信号流图， 递过程得不到反映。而采用结构图或信号流图， 将便于求取系统的传递函数， 将便于求取系统的传递函数，同时能形象直观 地表明信号在系统或元件中的传递过程。因此， 地表明信号在系统或元件中的传递过程。因此， 结构图和信号流图作为一种数学模型， 结构图和信号流图作为一种数学模型，在控制 理论中得到了广泛的应用。 理论中得到了广泛的应用。
方框图等效变换和信号流图——《自动控制原理-理论篇》第2
x1
x2
x1
x2x3 x3x1源自x3合点分点互移所需要的变换规则很麻烦，不 易记。所以最好避开合点分点的互移。只用分点 前移或后移及合点前移和后移的变换处理。
（6）各分点或合点之间互移
x
x
x
x
x
x
x1
x4
x2
x3
x1
x4
x3
x2
相邻分点可互换位置、可合并 相邻合点可互换位置、可合并
方框图等效变换基本规律
公式中： Δ……信号流图的特征式； n……输入节点到输出节点前向通道的总条数； Pk……从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益；
La……为所有不同回路的增益和；
LbLc……为每两个互不接触回路的增益乘积之和； LaLbLc……为每三个互不接触回路增益乘积之和； k ……为在除去与第k条前向通路相接触的回路的
特点：并联环节的等效传递函数等于各个环节传递 函数的代数和。
即： G（S）= G1（S）+ G2（S）+…+ Gn（S）
（3）反馈
x1
x2
G1
G2
x1
G1
x2
1 G1G2
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入 信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。 反馈分正反馈和负反馈两种。 当G2(s)=1时，称为单位反馈系统。
1、分点前移则函数相乘；分点后移则函数相除； (信息取出点等效变换) 2、而合点前移则函数相除；合点后移则函数相乘； (信息注入点等效变换) 3、串联时函数相乘；并联时函数相加；反馈时分 子式为前向通道传函，分母式则为1减或加回路传 函，正反馈时为减，负反馈时为加。(环节合并等 效变换)
《自动控制原理》第二章传递函数
一、控制系统方框图的组成
方框图（结构图）的四要素：
R( s)
G (s) C (s)
自动控制原理
R (s ) +
R( s) C ( s)
c(t )
C (s) C (s)
r (t )
C (s)
R( s)
(d )
(a)
(b)
(c )
（1）方框（方块）:表示输入到输出单向传输间 的函数关系。
r(t)
R (s) G (s)
1 R2
I 2 (s)
U 2 (s)
U 3 (s)
U1 ( s )
1 I1 ( s ) R1
I 2 (s)
1 U 3 (s) sC1
1 R2
I 2 ( s) 1 U 2 (s) sC2
autocumt@
7
中国矿业大学信电学院
一、控制系统方框图的组成
建立方框图的步骤：
自动控制原理
H3
H3
二、系统方框图的等效变换和化简
自动控制原理
例2.21
用方框图的等效法则，求如图所示 系统的传递函数C(s)/R(s)
解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作 适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变 换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移 至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步 化简，其简化过程如下图。
X(s) Y(s) Z(s) C(s) X(s) Z(s)
自动控制原理
C(s) Y(s)
（7）引出点之间互移
X(s)
a
b
C(s) Z(s)
X(s)
a
b
C(s) Y(s) C(s)
2-2 传递函数及方块图
1 R1C1s 1
1 R2C2s 1
C (s)
R1C2 s
(b)
13
2－3
方块图
（C） 消除主反馈回路
R(s) 1 R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1 C (s)
可以看出：方块图的化简方法不是唯一 的，人们应充分地利用各种变换技巧，选择最 简捷的路径，以达到省力省时的目。
B
C + A BC
2
比较点分解
A
+
A BC
A +
-
+
B
+ AG B
A +
-
AG B G
1 G
3
比较点前移
A
G
B
AG BG
B
A 4 比较点后移 + B A AG BG
A B
G
G
+ -
G
5
分支点前移
G
AG
AG
A
G G
AG AG
10
6
分支点后移
A
G
AG
A
AG
G
1 G
A
B
A
A B
方块图
C N (s) G 2 (s) N(s) 1 G 1 (s)G 2 (s)H(s)
G1(s)H(s) 1
当 此时扰动的影响可被抑制 。 设扰动信号N（s）=0
R (s)
时，
C N (s) 0 N(s)
C R (s) G 1 (s)G 2 (s) R(s) 1 G 1 (s)G 2 (s)H(s)
21
4
3第二章(举例2)传递函数及结构图变换
K ( i s 1) ( l s 2 l l s 1) s
v
s
e
s
(T j s 1) (Tk s 2 k Tk s 1)
2 2 j 1 k 1
i 1 d
l 1 e
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理
装置或元件。
C 2 ( s) G2 ( s)R( s)
2. 并联结构的等效变换
• 等 效 变 换 证 明 推 导
R(s) G1(s) G2(s)
C1(s)
C(s)
C2(s)
C ( s ) [G 1 ( s ) G 2 ( s )] R ( s ) C (s) R(s) G1 ( s ) G 2 ( s )
K ——环节的放大系数 T ——环节的时间常数 ——环节的阻尼比
d x r (t ) dt
2
2
2
dx r ( t ) dt
x r ( t )]
1 两个串联的一阶微分环节
延滞环节 例1：水箱进水管的延滞 传递函数：
G (s) X c (s) X r (s) e
s
运动方程式：
出值。
延迟环节从输入开始之初，在0 ~τ时间内没 有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。
水箱进水管的延滞
系统函数方块图
系统函数方块图是一种数学模型，采用
它将更便于求传递函数，同时能形 象直观地表明输入信号在系统或元 件中的传递过程。
1.
串联结构的等效变换（１）
• 串联方块图
R(s)
G1(s)
传递函数
传递函数的概念与定义
自动控制原理结构图及其等效变换
9
[例2-11].求例图所示的速度控制系统的结构图。各部分传递 函数罗列如下：
ug ue+ u1
-
+
功率
u u 2 放大器 a
ω Mc
负载
uf
测速发电机
运放Ⅱ：
功放环节：
u2 (s) u1 ( s )
=
K2 (τs
+ 1)
u1(s) K2 (τs +1) u2 (s)
ua (s) u2 (s)
=
K3
这时,Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。
[定义]：表示变量之间数学关系的方块图称为传递函数结构图
或传递函数方框图。
X(s)
Y(s)
G(s)
结构图
2011-03-01
第三节 结构图及其等效变换
2
[例]：
结构
X(t)
Y(t)
电位器
结构图
X(s)
Y(s)
G(s)=K
微分方程：y(t) = k x(t)
2011-03-01
第三节 结构图及其等效变换
Y (s)
±
15
信信号号相相加加点点的的移移动动和和互互换换
把相加点从环节的输出端移到输入端：(比较点或相加点前移)
X1(s) G(s) X 2 (s)
Y (s)
±
X1(s)
±
X2(s) N(s)
G(s) Y (s)
N(s) =? QY(s) = X1(s)G(s)± X2(s), Y(s) = X1(s)G(s)± X2(s)N(s)G(s), ∴N(s) = 1
为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个
第二章 系统的传递函数方框图及其简化.
1 JLs2 JRs km ka
( s )
【例】
解 按图2-22所示的步骤，利用环 节串联、并联和反馈连接合并的规 则进行。多层回环的处理按由内向 外的顺序依次进行变换。得：
【例 】
4.分支点移动的规则
a.分支点前移
X (s)
G (s)
b.分支点后移
X (s)
G (s)
X1 (s) G(s) X (s) X 2 ( s)
1 Js
( s )
kd
二、传递函数方框图的等效变换
1.串联环节的等效变换规则 前一环节的输出为后一环节输入的联接方式成为 环节的串联.若各个环节之间不存在负载效应时,则 串联联接后的传递函数为各个环节传递函数之积.
X i ( s)
G1 ( s )
G( s)
X 1 ( s)
G2 (s)
例.电枢控制式直流电机
为电机输出转速;
M L 为电机总负载力矩; 设M 为电机电磁力矩 ia 为电枢电流; ed 为电枢转动反电势
ua为电枢控制电压;
dia L ia R ed ua dt
d J M ML dt
ed kd
M k mia
分别对上述各式进行Laplcae变换得
( Ls R) I a (s) Ed (s) U a (s)
Ed (s) kd (s)
Js( s) M ( s) M L ( s)
M ( s) km I a ( s)
1 I a (s) [U a ( s) Ed ( s)] ( Ls R)
U a ( s)
前向通道传递函数 G ( s ) 与反馈回路传递函数 H ( s )
控制系统的结构图及其等效变换
Y (s)
前移 R1(s) G(s) Y (s)
注：
R2 (s)
R1 ( s )
Y (s)
G(s)
1/G(s) R2 (s)
相加点进入和出去的信号量纲必须相同，否则不能加减。
b引出点（信号由某一点分开）
分支点分出信号，数值相同
R(s) 后移
G(s)
Y (s)
R(s)
R(s) G(s)
Y (s) R(s)
4.比较点（求和点、综合点） 1.用符号“ ”及相应的信号箭头表示 2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号 或减去此信号
! 注意量纲：相同量纲的物理量
例：二阶RC电气网络
结构图的等效变换和简化
➢系统的结构图通过等效变换和简化后可以方便、快速 地求取闭环系统的传递函数或系统输出量的响应。
➢等效变换和简化的过程对应于消去中间变量求系统传
信号流图的绘制 1. 根据微分方程绘制信号流图 2. 根据方框图绘制信号流图
1. 根据微分方程绘制信号流图
i
A
取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、 Uo (s)作为信号流图的节点 Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点
2. 根据方框图绘制信号流图
方块图转换为信号流 图
信号流图的等效变换法则
•支路增益——支路传输定量地表明变量从支路一端沿箭头方 向传送到另一端的函数关系。用标在支路旁边的传递函数 “G”表示支路传输。
2.
通路
沿支路箭头方向穿过各相 连支路的路径。
前向通路 从源节点到阱节点的通路上通过任何节点 不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之 乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
信号流图梅森公式
2.3 传递函数的方块图表示及运算
闭环控制系统方块图
(1)前向通路传递函数--假设N(s)=0 打开反馈后，输出X0(s)与Xi(s)之比。等价于X0(s) 与误差E(s)之比 X 0 ( s) G1 ( s)G2 ( s) G( s) E ( s)
2.3.2 闭环控制系统的方块图
(2)反馈回路传递函数 假设N(s)=0
主反馈信号B(s) 与输出信号X0(s) 之比。 B( s) H ( s ) 当H(s)＝1时，系统叫单位反馈系统。 X 0 (s)
图2-30
G5 G2 G3 G4
R(s)
G7
串联和并联
G5
G6
G1
C(s)
-
H1G2
H2
1 G5
G5 G6 1 G5 H 2
G7 G1G5 G1 (G2 G3 G4 ) C ( s) G( s) R( s ) 1 G7 1 G5 H 2 G1 H1G2 G1G5 1 (G2 G3 G4 )(G1 H 2 ) G1 H1G2
R(s) G(s) （b）
C(s)
图2-24 环节的并联连接
2.3.4 方块图的简化－等效变换 （2）并联连接
C (s) C1 (s) C2 (s) C3 (s) G1 (s) R(s) G2 (s) R(s) G3 (s) R(s) [G1 (s) G2 (s) G3 (s)]R(s)
2.3.4 方块图的简化－等效变换 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递 函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的 等效变换必须遵守一个原则，即变换前后输入输出 之间总的数学关系保持不变。 1、框图的连接方式及运算法则 在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方 块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三 种基本形式的等效法则一定要掌握。
控制工程-系统传递函数方块图及其简化
比较点： x 1 方框： x i (s)
x x2 G(s)
信号从某点分开,信号相加减（相减必须标注负号）
x o(s)
表示输入和输出信号的传递关系
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
二、环节的串联、并联的等效规则
1．环节的串联
Xi(s)
G1(s) X1(s) G2(s)
X0(s) G(s) = X0 (s) = X0 (s) X1(s)
s 1
) +
G1( s G1(Gs1()
) GG22((ss)) sG)2G( 2s ()Hs )(Hs
()
s
)
且 XG0N1((ss))=HN( s()s )>G> N1( s )
=
N≈
(Ns
() s1)+GG1(
G12( s ) s ) GH2((ss))H(
s
)
δ
N
(
s
)
系统抗干扰性较强
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
Xi (s)
X i (s)
+ X0(s) +
若这里的+改为 -的话？
= G1 (s) + G2 (s)
n
G(s) = Gi (s)
i =1
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
三、开环与闭环传递函数
xi(t)
ε(t)
g x0(t)
-
xb(t)
h
Xi(s)
E(s)
G(s)
-
XB(s)
H(s)
1 G1
G1G2·G3 1-G1G2H1
Ｅ
Ｆ Ｘ0
第2章(4)传递函数方块图及其化简
-H1
H1
H3
X i1 0
1
A处相加点跨过G2前移到B点。H2
G2
H2
（注意是前移，不是后移，信号流动方向←）
Xi 2(s) +
+
A
G2 H3
G3
1
+
- G2
-B +
H2 - G1H1
Xo(s)
(1)G2、H3构成反馈环，
H3为反馈支路;
(2)
H2 G2
与( G1H1)构成并联 支路，注意符号！
外环相套或串联 B(s)
(1)分支点后移:B→A (2)分支点前移:A→B
Xi (s) E(s) +
+B (s)
G1
G1
+
-
+
H1
H2
G2 B G3
H2
G3
-
+
G2
B
H1
Xo(s)
A
1+
G2 G2G3
H2
G1
G3
Xo(s)
A
Xi (s) E(s) +
+-
+
B (s)
1+
G2 G2G3
H2
G1
B
G3
Xo(s)
1．方框图的结构要素
jik 04
2
2．系统方框图的建立
(1)列写原始微分方程；
(2)在零初始条件下，对原始微分方程分别进行拉斯变换；
(3)根据因果关系，确定各个原始微分方程分中的输入量与 输出量，并将拉斯变换的结果表示成传递函数方框图的形 式；
(4)按信号的传递过程，依次将上述各个方框图连接起来， 构成整个系统的传递函数方框图，一般输入在左边，输出 在右边。
传递函数以及系统方块图
X (s) L x(t ) x(t )e st dt
0
式中，称 X(s) 为象函数，x(t) 为原函数。 s 为复变数，其量纲为时间的倒数，即频率。 象函数 X(s) 的量纲为 x(t) 的量纲与时间量纲 的乘积。
6
传递函数
传递函数： 在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述线 性定常系统输入量与输出量的关系式。 线性定常系统： 可以用常系数线性微分方程描述的系统。 在零起始条件下，线性定常系统输出量的象函数 Xo(s)与输入量的象函数Xi(s)之比，称为系统的传递 函数G(s)，即
G6 ( s )
G7 ( s )
零点：传递函数分子为零时的 s 值 极点：传递函数分母为零时的 s 值
10
s2 1 如对G ( s) 2 , 其零点为s j或s=-j,极点为s=0或s=2 s 2s
典型环节的传递函数 xo (t ) kxi (t ) 一. 比例环节
传递函数
G( s ) k
二. 一阶惯性环节 T xo (t ) xo (t ) xi (t ) 传递函数
变换法则： （1）各前向通路传递函数的乘积不变； （2）各回路传递函数的乘积不变。
22
8. 方块图简化 例：化简方块图并求传递函数
G5 ( s ) X i (s )
+ _ +
G2 ( s )
+ _
G1 ( s )
G3 ( s )
A G ( s) 4
G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
23
X o (s )
27
X i (s )
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G5 ( s ) G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )G7 ( s )
0
式中，称 X(s) 为象函数，x(t) 为原函数。 s 为复变数，其量纲为时间的倒数，即频率。 象函数 X(s) 的量纲为 x(t) 的量纲与时间量纲 的乘积。
6
传递函数
传递函数： 在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述线 性定常系统输入量与输出量的关系式。 线性定常系统： 可以用常系数线性微分方程描述的系统。 在零起始条件下，线性定常系统输出量的象函数 Xo(s)与输入量的象函数Xi(s)之比，称为系统的传递 函数G(s)，即
G6 ( s )
G7 ( s )
零点：传递函数分子为零时的 s 值 极点：传递函数分母为零时的 s 值
10
s2 1 如对G ( s) 2 , 其零点为s j或s=-j,极点为s=0或s=2 s 2s
典型环节的传递函数 xo (t ) kxi (t ) 一. 比例环节
传递函数
G( s ) k
二. 一阶惯性环节 T xo (t ) xo (t ) xi (t ) 传递函数
变换法则： （1）各前向通路传递函数的乘积不变； （2）各回路传递函数的乘积不变。
22
8. 方块图简化 例：化简方块图并求传递函数
G5 ( s ) X i (s )
+ _ +
G2 ( s )
+ _
G1 ( s )
G3 ( s )
A G ( s) 4
G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
23
X o (s )
27
X i (s )
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G5 ( s ) G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )G7 ( s )
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Xr(s) ±
W1(s)
W2(s)
仪表维修工
方块图
由图可得： 由图可得：
Xr(s) ±
E(s)
Ｂ(s)
X c ( s) = W1 ( s) E ( s ) E (s) = X r ( s) ± B( s) B( s ) = W2 ( s) X c( s)
W1(s)
W2(s)
Xc(s)
∴ X c ( s ) = W1 ( s )[ X r ( s ) ± 2 ( s ) X c ( s ) ］ W W1 ( s ) X c (s) = X r ( s) 1 +W 1( s )W2 ( s )
Xi(s) A
W(s) X1(s)
B
X0(s)
1/W(s)
X2(s)
仪表维修工
方块图
②从输出端移动到输入端
当分支点在A点 当分支点在 点 处时， 处时，各分支的输 出分别为： 出分别为：
Xi(s)
W(s)
A
X0(s) X1(s)
X 0 ( s ) = X i ( s )W ( s ) X 1( s ) = X 0 ( s ) = X i ( s )W ( s )
仪表维修工
方块图
图中： 图中：指向方块单元的箭头表示 输入量的象函数X 离开方块单元 输入量的象函数 i(s),离开方块单元 的箭头表示输出量的象函数X 的箭头表示输出量的象函数 0(s),写 写 在方块单元中的是传递函数G(s)。 在方块单元中的是传递函数 。
注意：元件方块图具有单向性， 注意：元件方块图具有单向性，即输出对 输入没有反作用。 输入没有反作用。
仪表维修工
方块图
为了达到等效的目的， 为了达到等效的目的，则输出应 分别为： 分别为：
X 2 (s) = W ( s) X i ( s) X 0 ( s) = W ( s) X i ( s)
Xi(s) B
W(s) W(s)
A
X0(s) X1(s)
X2(s)
仪表维修工
方块图
由以上所述， 由以上所述，分支点移动的规则可以归 纳为： 纳为：若分支从方块图的输入端后移到输 出端时， 出端时，应在移动后的分支中串入一个方 块图， 块图，它的传递函数等于所跨越的方框图 的传递函数的倒数。 的传递函数的倒数。 Xi(s) X o(s) Xi(s) Xo(s) W(s)
仪表维修工
方块图
①从输入端移到输出端 Xi(s)
设分支点在A处 设分支点在 处， 则此时的各分支输出 分别为： 分别为：
A
W(s) X1(s)
X0(s)
X 0 ( s) = W ( s) X i ( s) X 1 ( s) = X i ( s)
仪表维修工
方块图
将分支点移到B点处， 将分支点移到 点处，则此时的两个输 点处 出信号为： 出信号为：
X c (s) = W1 ( s ) ± W2 ( s ) W ( s) = X r( s ) X c ( s) = W ( s) X r ( s)
Xr(s)
W(s)
Xc(s)
仪表维修工
方块图
•
设有n个元件方块图， 设有 个元件方块图，它们的传递 个元件方块图 函数为W 函数为 1(s),W2(s)….Wn(s)，它们并联 ， 连接后可等效成一个方块图， 连接后可等效成一个方块图，它的传 递函数为 • W(s)=W1(s)±W2(s)±….±Wn(s),即 ± ± ± 即 等效方块图的传递函数等于这n个并联 等效方块图的传递函数等于这 个并联 元件方块图的传递函数的代数和
为了使移动前后各分支信号保持不变， 为了使移动前后各分支信号保持不变， 则输出应分别为： 则输出应分别为：
X 0 (s) = W (s) X i (s) 1 1 X 2 (s) = X 0 (s) = W ( s) X i ( s ) = X i ( s) = X 1( s ) W ( s) W ( s)
W(s)
Xi(s)W(s) Xi(s)W(s)
仪表维修工
方块图
2）相加点的移动规则 ）
①相加点跨越元件方块图的移动 条件：应保证移动前后， 条件：应保证移动前后，总输出量保持不变 A、相加点从方块图的输入端后移到输出端 、 如图所示，相加点原在 点 此时总输出为： 如图所示，相加点原在A点，此时总输出为： X 0 ( s ) = [ X i1 ( s ) ± X i 2 ( s )]W ( s )
仪表维修工
方块图
2）、并联连接方式的等效变换：两个元件 ）、并联连接方式的等效变换： ）、并联连接方式的等效变换 方块图相并联是指两者具有相同的输入， 方块图相并联是指两者具有相同的输入， 并联后的输出则为两元件方块图的输出的 代数和。 代数和。 X1(s) Xc(s) ± X2(S)
Xr(s)
W1(s) W2(s)
Xi1(s)
± A Xi2(s)
W(s)
X0(s) B
仪表维修工
方块图
若后移到B点则总输出为： 若后移到 点则总输出为： 点则总输出为
X 0 ( s ) = W ( s ) X i1 ( s ) ± X i 2 ( s )
Xi1(s) W(s) X0(s) ± Xi2(s)
仪表维修工
方块图
为了保持移动前后一致，则总输出为： 为了保持移动前后一致，则总输出为：
仪表维修工
方块图
二、系统的方框图变换
1、方框图在简单连接时的等效变换 、 1）串联连接方式的等效变换：两个元件方 ）串联连接方式的等效变换： 块图相串联是指它们两者头尾相连接， 块图相串联是指它们两者头尾相连接，即第 一个元件方块图的输出是第二个元件方块图 的输入
Xr(s)
W1(s)
X2(s)
W2(s)
仪表维修工
方块图
串联后的输入输出间的传递函数为： 串联后的输入输出间的传递函数为：
X c (s) W ( s) = = W1 ( s )W2 ( s ) X r ( s)
即：
X c (s) = W (s) X r (s)
所以这两个元件串联后的方块图可等效为： 所以这两个元件串联后的方块图可等效为：
仪表维修工
方块图
1、 、 Ur(s) B – –
1 — R1 Uc(s)
A
— CS
1
1
–
1 1 D — — R2 C C2S
仪表维修工
方块图
2、分支点、相加点的移动规则 、分支点、
1）分支点的移动规则：分支点的移动是指 ）分支点的移动规则： 把分支点由元件方块图的输入端后移到输出 端，或是把分支点由元件方块图输出端前移 到输入端。 到输入端。 等效的要求： 等效的要求：分支点移动前后的各分支 信号应保持不变。 信号应保持不变。
∴反馈连接可以等效为一个方框图
Xr(s)
Xc(s) W(s)
仪表维修工
方块图
其传递函数
W ( s) = X c ( s) W1 ( s ) = X r ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )
即：反馈连接的等效方块图的传递函数等于 前向通道的传递函数除以前向通道的传递函数 与反向通道的传递函数乘积与1的代数和 的代数和。 与反向通道的传递函数乘积与 的代数和。 这里的“ 用于负反馈 用于负反馈， 用于正反馈。 这里的“+”用于负反馈，“-”用于正反馈。 用于正反馈
A(s)
X(s) B(s)
– X0(s)
X0(s) = X(s) + B(s) – A(s)
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方块图
4)、元件方块图：即一个元件或环节的 、元件方块图： 传递函数方块图，具有乘除运算的功能。 传递函数方块图，具有乘除运算的功能。 可表示成： 可表示成： Xi(s) W(s) Xo(s)
根据传递函数的定义，每一个方块单元， 根据传递函数的定义，每一个方块单元，一 般有以下的运算关系： 般有以下的运算关系： X0(s) = W(s) Xi(s)
仪表维修工
方块图
传递函数方块图及其等效变换
一、传递函数方块图的意义及表示方法
在使用传递函数方块图表示系统时， 在使用传递函数方块图表示系统时，要用到 下列四种符号： 下列四种符号： 1）、信号线 ：联接两个方块之间的实线，并用 ）、信号线 联接两个方块之间的实线， ）、 箭头表示信号流向， 箭头表示信号流向，在自控系统中信号只能单向 传输。 传输。 X(s)
X 0 ( s ) = X i1 ( s )W ( s ) ± X i 2 ( s )W ( s )
Xi1(s) Xi2(s)
W(s) ± W(s)
Xo(s)
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方块图
B、相加点从方块图的输出端前移到输入端 、
设相加点原在A点 设相加点原在 点，则总输出为
X o ( s ) = X i1 ( s )W ( s ) ± X i 2 ( s)
1 — W(s)
W(s) Xi(s)
Xi(s)
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方块图
若分支点从方块图的输出端前移到输 入端时， 入端时，应在移动后的分支中串入一个方 块图， 块图，它的传递函数等于所跨越的方块图 的传递函数。 的传递函数。
Xi(s) Xi(s)W(s) W(s) Xi(s)W(s) Xi(s) W(s)
X 0 ( s) = W ( s) X i ( s) X 2 ( s) = X 0 ( s) = W ( s) X i ( s) = W ( s) X 1 ( s)
Xi(s) A
W(s) X1(s)
B
X0(s) X2(s)
可见移动后的该分支输出信号比原信号扩 大了W(s)倍 大了 倍
仪表维修工
方块图
仪表维修工
方块图
2）、分支点：它表示把一个信号分两路 ）、分支点： ）、分支点 或多路）取出的分离点， （或多路）取出的分离点，每路的信号都 是原信号（ 是原信号（把同一个信号分别引至几个元 件中去作为输入信号）。 件中去作为输入信号）。